高考数学解题思路：导数利器——三角函数平面向量处理策略

导数利器——三角函数与平面向量
本文档一共给出了28道三角函数和平面向量题目，
每道题目至少2种解法，最多的有12种解法，
一共有89个解法。
题目有层次，有教材基础题 ，有高考题和模拟题，
自主招生题和竞赛题，适合不同程度的学生使用。
目录
第1题 一道求分式型三角式值域的3种解法
第2题 一道由边的关系求角的范围题的2种解法
第3题 三角函数图像变换问题的2种解法
第4题 一道三角形角平分线自主招生题的2种解法
第5题 一道自主招生题的2种解法
第6题 三角形内角平分线定理的2种证法
第7题 三角形重心定理的2种证法
第8题 垂心定理的2种证法
第9题 勾股定理的2种证法
第10题 梯形中位线定理的2种证法
第11题 正弦定理的5种证明方法
第12题 余弦定理的3种证明方法
第13题 求数量积的2种方法例1
第14题 求数量积的2种方法例2
第15题 一个向量题的4种解法
第16题 三角中的特殊变换与一般变换（4个例题各有2种解法）
第17题 二倍角问题的4种证法
第18题 一道三角综合题的2种解法
第19题 一道三角函数不等式恒成立问题的5种解法
第20题 2012年高考数学山东卷第16题的2种解法
第21题 一个向量题的7种解法
第22题 一个向量题的3种解法
第23题 形如恒成立问题的2种解法
第24题 一道三角基础题的12种解法
第25题 一道三角函数竞赛题的7种解法
第1题 一道求分式型三角式值域的3种解法 求函数（）的值域（早年自招题）。
解法一：利用合一公式
，
所以，又，
所以，解得，
所以函数（）的值域为。
解法二：斜率法
，可看成点与连线的斜率，而在圆上， 当与圆相切时分别取到最值，结合图形易得函数（）的值域为．
解法三：导数法
，令得，从而．
第2题 一道由边的关系求角的范围题的2种解法 △的三边满足，求证：．
证法一：由余弦定理，，
又，所以．
证法二：由正弦定理，，
又，所以，所以，又，
所以，所以．
第3题 三角函数图像变换问题的2种解法 怎样由 的图象得到的图象?（基础题）
解析: 利用口诀(伸缩变换的口诀为:不管伸,不管缩,变成倒数往前搁)
解法一(先平移,再伸缩):
解法二(先伸缩,再平移):
第4题 一道三角形角平分线自主招生题的2种解法 在△ABC中，，是角平分线，且，求的取值范围。
解法一：几何法，构造直角三角形
设E为AB的中点，因为AB=2AC，所以AE=AC，连接CE交AD于F．
因为AD平分∠BAC，所以AD⊥CE，且F为CE的中点，过E作EG∥AD交BC于G，则D为CG的中点， 于是所以所以，又△ACF为直角三角形，则于是，所以的取值范围是．
解法二：利用余弦定理
设，，设，由余弦定理
，
，又由三角形内角平分线性质定理，
，所以，即，
所以，又，所以．
第5题 一道自主招生题的2种解法 对任意恒成立，求的最大值．
解法一：特值法，特别快
在中取得，∴，
当时，
，所以的最大值为2.
解法二：构造二次函数
原不等式即即，
令，
当时，的图象是开口向下的抛物线或者直线，
所以只要
由得
若则；
若则由得，故．
（3）由得，
由柯西不等式，，故，
当且仅当即时取等号，此时满足．
综上，的最大值为2.
第6题 三角形内角平分线定理的2种证法 三角形内角平分线定理：
△中，平分交边于，则．
证法一：初中平面几何证法
利用平行线分线段成比例
证明：过作
交于，则，
又，所以，
所以，又由得，
，所以．
证法二：高中三角证法 正弦定理法
证明：在△和△中，
，，而，，
所以所以．
说明：还可以利用面积法
第7题 三角形重心定理的2种证法 三角形重心定理：
三角形的三条中线交于一点，该点到每个顶点的距离等于它到该顶点对边中点距离的2倍．
如图，是△的三条中线，则它们交于一点，且.
证法一：初中平面几何证法，构造三角形中位线法
连接，由已知为△的中位线，
所以，
设交于，则再由得，
同理可证的交点满足同样的性质，所以重合于，且
证法二：高中向量几何证法，利用相等向量法
在中线上取点满足，则，
于是，又为中点，所以，
所以，对于平面ABC内任意点，
所以，同理在中线上取点满足，则
，在中线上取点满足，则
，所以，所以重合于且
第8题 垂心定理的2种证法 若AD、BE、CF是△ABC的三条高，则AD、BE、CF相交于一点．叫做△ABC的垂心．
证法一：初中平面几何证法，运用四点共圆性质
证明：设△ABC的两条高AD、BE相交于点H，连结CH交AB于点F． ∵AD⊥BC于E，BE⊥AC于E，∴A、B、D、E四点共圆，∴∠1＝∠ABE，同理∠2＝∠1，∴∠2＝∠ABE，
∵∠ABE+∠BAC＝90°，∴∠2+∠BAC＝90°即CF⊥AB．
证法二：高中解析几何法，坐标法
如图，以直线BC为x轴，高AD为y轴，建立直角坐标系，
设A(0 , a) , B(b , 0) , C(c , 0)，由两条直线垂直的条件
则三条高的直线方程为：
解（2）和（3）得，
∴，这说明BE和CF得交点在AD上，所以三角形的三条高相交于一点。
第9题 勾股定理的2种证法 勾股定理：直角三角形ABC中，，
则.
证法1：初中平面几何证法，构造正方形法
做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD. 过C作CL⊥DE，
交AB于点M，交DE于点
L.
∵ AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD，
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，
∵ ΔFAB的面积等于，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴ 矩形ADLM的面积 =.
同理可证，矩形MLEB的面积 =.
∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
∴ ，即
因为，所以
证法2：高中向量几何证法，利用数量积法
又，
所以，所以，即
，即．
第10题 梯形中位线定理的2种证法 梯形中位线定理 若、分别是梯形的腰、的中点，则∥∥且.
证法1：初中平面几何证法，构造三角形中位线法
证明：延长到，使，又，
所以，
所以，又E为中点，
所以 ，
又所以∥∥,
且．
证法2: 高中向量几何证法，利用共线向量法，最好利用向量加法的多边形法则
证明：因为，，
又 ，
又，所以设，
则，
所以，所以，
所以∥∥，又可得，又可得
即．即.
第11题 正弦定理的5种证明方法 在⊿ABC中,角A、B、C的对边分别为，则这就是正弦定理．
在这个定理的证明过程中蕴涵着丰富的几何意义．为了简单,仅以锐角三角形为例作简要说明．直角三角形的情形非常简单, 钝角三角形的情形与锐角三角形类似．
证法一 三角形高法
是⊿ABC的边上的高；是⊿ABC的边上的高；是⊿ABC的边上的高．根据这个几何意义，定理证明如下：
作锐角三角形ABC的高CD，则CD=．
所以 ，同理．
因此
证法二 三角形外接圆法
是⊿ABC的外接圆直径． 根据这个几何意义，定理证明如下：
作锐角三角形ABC的外接圆直径CD，连结DB．根据同弧所对的圆周角相等及直径所对的圆周角是直角得，∠A=∠D, ∠DBC=90°,（为⊿ABC的外接圆半径）．
所以，所以．
同理．
因此．
证法三 三角形面积法
是三角形ABC的面积． 根据这个几何意义,定理证明如下：
作锐角三角形ABC的高CD，则CD=．所以三角形ABC的面积．
同理 所以
同除以,再取倒数有．
证法四 向量的数量积法
把变形为．则在锐角三角形ABC中,作高CD,则分别是向量与向量的数量积．利用这个几何意义，定理证明如下：
作锐角三角形ABC的高CD．
因为=,所以0==(),
所以，所以,
即所以．
同理．因此．
证法五 如果想避开分类讨论,可以把三角形放在平面直角坐标系中,利用坐标法．
　证明如下：
　以C为原点,以射线CA为轴的正半轴建立平面直角坐标系,且使点 B落在轴的上方,则AC边上的高即为B点的纵坐标.根据三角函数的定义, B点的纵坐标．
所以三角形ABC的面积．
同理 ．
所以
同除以,再取倒数有．
这种证法之所以避开分类讨论,是因为利用了一般三角函数的定义,前面的四种几何证法都需要分类讨论,因为它们的证明中仅仅利用了锐角三角函数的定义．这个方法是证明正弦定理最简单的方法,体现了坐标法的优越性.
第12题 余弦定理的3种证明方法
在⊿ABC中,角A、B、C的对边分别为，则（另外两个略），这就是余弦定理．
证法一 平面几何法
当为直角角三角形时，根据直角三角形的边角关系和勾股定理很容易验证余弦定理，当为锐角三角形时，在中，作高，则，，于是
在中，由勾股定理，
而，
所以，
，
即.
类似可证，当为钝角三角形时，上述结论仍然成立.
证法二 向量几何法（最好的）
在中，由得：，
即，即.
证法三 解析几何法
如图建立平面直角坐标系，使A点在轴上方，由三角函数的定义，无论是直角、锐角还是钝角，都有，又两点的距离公式，
，
两边平方得
，即.
第13题 求数量积的2种方法例1
若等边△ABC的边长为，平面内一点M满足，则
＝__________.
思路点拨：
一种方法是建立平面直角坐标系，将问题转化为向量的坐标运算即可;
另一种方法是将用表示,然后用数量积的定义计算.
方法一:
以BC的中点为原点，BC所在直线为x轴建立如图(1)所示的
平面直角坐标系，根据题设条件可知
设，则
由得：

，点M的坐标为，.
方法二：
由于


又是边长为的等边三角形，
，
第14题 求数量积的2种方法例2 在正三角形ABC中，D是BC边上的点，AB=3，BD=1，则=________.
方法一：
如图所示，B=60°， 由余弦定理得AD2=32+12-2×3×1×cos 60°=7, ∴AD=，
再由余弦定理得cos ∠BAD=，
所以.
方法二：
∵
= =9+3×1×.
第15题 一个向量题的4种解法
在中，若对于任意，，求角
解法1：由得：，
，即，
所以，
，
，
，即，，，又，
所以，所以.
解法2：由得：，
，
，
，
，
所以，即，又，所以，，所以.
解法3：由得：，
，，
，，，
，，又，所以，
所以.
解法4：考虑的作图：
作向量，则，
于是原题化为恒成立，根据垂线段最短 ，所以.
通过上面两种解法的比较可以看出，利用平面向量的三角形法则和共线向量的意义可以大大缩减运算量，提高解题效率.
第16题 三角中的特殊变换与一般变换（4个例题）
三角变换中,如果遇到特殊角的三角函数,可以运用直接求出角的办法来进行计算或证明,这就是特殊变换;也可以运用有关三角恒等变换的公式进行计算或证明,这就是一般变换.下面通过具体例子来说明怎样合理利用三角中的特殊变换与一般变换.
例1:已知求的值.
解法一: 令则
∴
∴
解法二:
∴ ,.
点评: 本例解法一求出了角的值,为特殊变换, 解法二运用有关三角恒等变换的公式求出了函数的解析式,为一般变换.两种解法都比较简单.若例1中的条件不变,求等,则用第二种解法.
例2: 已知求的值.
解法一: 令则或
∴
∴ =.
解法二:
∴
∴
∴
点评: 注意本例的中的的取值范围是,而例1 的中的的取值范围是.
例3: 已知求
解法一:∵
∴ 或
∴ 或
∴
∴
解法二: ∵
∴ 或
又
∴
∴
点评: 本例解法二利用三角恒等变换的公式(一般变换)比解法一求角(特殊变换)要简单一些.
例4: 已知函数若且是方程的两个根,求证: .
证法一:.
由得: .
∴ =或=
即 =或=（）.
又 （）.
∴ ==或==
∴ （，）
∴ ,
∴ .
证法二:由题意得
∴ =,
∴
∴ (﹡)
∴
∴ ,
又 ∴,
∴ .
点评: 本例解法二利用三角恒等变换的公式(一般变换)比解法一求角(特殊变换)要简单一些.但是(﹡)式的需要利用角的变换:
通过上面的例题分析可以看出,在解决三角变换题时,如果题目条件与特殊角的三角函数值有关系,可以考虑利用特殊变换(求角),也可以利用一般变换(利用三角恒等变换公式). 如果题目条件与特殊角的三角函数值没有关系,则只能利用一般变换.
第17题 二倍角问题的4种证法 已知，，求证：。
证明：法一（直接化角，充分利用角変换）：
因为
所以
，
因为，所以，
又所以，即
法二：（分析法）
考虑先证明，只要证明，只要证明，
只要证，注意到由已知，只要证，
只要证，由已知此式成立，所以成立，
所以或，
由结合可得，又，所以，
所以，，所以，
综上。
法三：可以把法二的分析法改为综合法，但是稍微变通一下，就是从角B的余弦定理写起：
因为，
所以，
所以，所以或，
由结合可得，又，所以，
所以，，所以，
综上。
法四：几何法，构造相似形（实在是太简单了，彰显几何法的魅力）
延长CA到D使AD=AB，则由知，即，
又∠C=∠C，所以△ABC∽△BDC，所以
∠ABC=∠D，∠BAC=∠DBC，又∠D=∠ABD，∠BAC=∠D+∠ABD，所以
∠BAC=2∠D=2∠ABC，即。
第18题 一道三角综合题的2种解法
近几年高考试题中，经常出现解三角形的综合题，这种题型需要利用正弦定理和余弦定理及三角恒等变换,现举例说明怎样灵活运用正、余弦定理和三角恒等变换解三角综合题.
例题:在⊿ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，且2sin+cos2C=1.
(1)求角C的大小；
（2）若试求sin(A-B)的大小.
解：(1)∵A+B+C=,∴=,
∴2sin+cos2C=2coscos2C=1+cosC+2cos2C-1=1,
∴2cos2C+cosC-1=0,
∴cosC=-1(舍去),或cosC=.
又∵0＜C＜,∴C=.
（2）分析一：利用正弦定理，把已知条件中的边的关系转化为角的关系，然后利用三角恒等变换.
解法一: ∵(R为⊿ABC外接圆半径)
∴a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.
∴可以化为sin2A=sin2B+sin2C,又∵sinC=,
∴sin2A-sin2B=.
解到这里,要结合条件A+B=和所求的三角式sin(A-B)对sin2A-sin2B进行三角恒等变换,常见的变形方法有以下两种:
先利用二倍角公式对sin2A-sin2B进行“降幂扩角”变换,再利用和差化积变换,即:
sin2A-sin2B= = (-cos2A+cos2B)
= {-cos[(A+B)+(A-B)]+ cos [(A+B)-(A-B)]}
= [-cos(A+B)cos(A-B)+sin(A+B)sin(A-B)+cos(A+B)cos(A-B) +sin(A+B)sin(A-B)]
= sin(A+B)sin(A-B)= ,又∵sin(A+B)= sin=，
∴sin(A-B)= .
先利用平方差公式对sin2A-sin2B进行变换, 再利用和差化积变换,最后利用二倍角公式,即:
sin2A-sin2B=(sinA+sinB)(sinA-sinB)=2sincos·2 cos sin
= 2sin cos 2sin cos= sin(A+B)sin(A-B)= ,
又∵sin(A+B)= sin=，
∴sin(A-B)= .
分析二：利用正弦定理和余弦定理，把要求的结果sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB化为边的表达式,化简后再化为角的表达式.
解法二: sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB
=-
=,
由已知=,
∴sin(A-B)= ==sinC= sin(A+B)= sin=.
比较上面的两种解法，解法一只利用正弦定理把边化为角，在角变换上技巧性大，变形复杂，比较麻烦；解法二巧用正弦定理和余弦定理，解法比较简单.
第19题 一道三角函数不等式恒成立问题的5种解法
题目：设，且恒成立，求的取值范围.
解法1（分离参数，构造函数，利用导数）：
不等式等价于，
，
.
∵，.
（1）当时，不等式显然成立.
（2）当时，不等式等价于，
令，则，
是减函数， ∴
综上，的取值范围是.
解法2（利用二次函数的性质）：
不等式等价于，
即，
即.
令，则.
令
（1）当时，，符合题意.
（2）当时，符合题意.
（3）当时，∴
综上，的取值范围是.
解法3（分离参数，再分离常数，一般可以利用基本不等式，但是本题中利用基本不等式时等号不成立，于是仍然利用函数的单调性）：
不等式等价于，
即，即.
∵，.
（1）当时，不等式显然成立.
（2）当时，不等式等价于，
设，则，
且，
令，则，
∴是减函数， ∴∴
综上，的取值范围是.
解法4( 利用函数的图象):
不等式等价于，
即，即，
令 ，则，.
在同一个坐标系中作出函数和的图象，
注意到的图象是以为端点的线段，
由图象可知只要即，∴
即的取值范围是.
解法5(直接求导法，注意分类讨论，实际上与解法2类似，只是没有换元) ：
令，
.
∵，∴，，
（1）当时，，是增函数，
符合题意.
（2）当时，时，，时，，
，符合题意.
（3）当时，∴
综上，的取值范围是.
第20题 2012年高考数学山东卷第16题的2种解法 如图1，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点的位置在（0,0），圆在轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（2,1）时，的坐标为___________．
解法一　　利用锐角三角函数定义：
如图2，根据题意可知圆向右滚动了2个单位长，
点P顺时针旋转了弧度，所以，
此时点的横坐标为
纵坐标为
所以．
解法二　利用任意角三角函数定义：
如图3，在坐标系中，以为终边的一个角为，
根据任意角三角函数定义，
，而，
所以．
第21题 一个向量题的7种解法 给定两个长度为的平面向量，它们的夹角为.如图1所示，点在以为圆心的圆弧上变动.若其中，则的最大值是
思考方向一 考虑特值法
解法1 当与重合时，，
当与重合时，，
当从的端点向圆弧内部运动时，，
于是猜想当是的中点时，取到最大值.
当是的中点时，由平面几何知识是菱形，
∴∴
猜想的最大值是.
思考方向二 考虑坐标法
建立如图3，所示的平面直角坐标系，设，则.
于是可化为：
，
∴ （1）
解法2 函数法求最值
由方程组（1）得：
∴，又，
∴当时，
解法3 不等式法求最值
由方程组（1）得：，
∴，
由，及得：，
∴，∴，当且仅当时取等号.
∴
思考方向三 考虑向量的数量积的运算
解法4 两边点乘同一个向量
∵
∴
设，则 ，又，
∴
∴，
∴当时，
解法5 两边平方法
∵∴
∴
，
∴，当且仅当时取等号，
∴
思考方向四 考虑平行四边形法则
过作∥交于，作∥交于，则是平行四边形，由向量加法的平行四边形法则得：
，在中，设，
则 ， 且
解法6 利用正弦定理
，
，由等比性值得：，
∴，∴当时，
解法7 利用余弦定理
∴
，
∴，当且仅当时取等号，
∴
仔细研究上面的解法，可以发现在解决向量问题时一般有三种转化策略，一是利用向量的坐标运算，二是利用向量的代数运算特别是数量积的运算，三是利用向量的几何意义转化为平面几何问题求解.在解答最值问题时，本文利用了函数法和不等式法.当然，本题作为一个填空题或者选择题，能够利用特值和猜想的办法是很好的.
第22题 一个向量题的3种解法 平面内三个向量其中，，
且用表示.
解法一 如图5，过作∥，∥，分别交直线，于，则四边形是平行四边形，由向量加法的平行四边形法则得：
，在中，
∴又，
∴∴
解法二 根据平面向量基本定理，设
则
∴
∴∴∴
解法三 以为原点建立如图所示的坐标系，
则
∴
设
则∴
∴∴
第23题 形如恒成立问题的2种解法 在中，如果不等式恒成立，求实数的取值范围.
代数解法：考虑把两边平方，利用代数运算：
由得：，，，
即，解得：或
几何解法：考虑的作图：
如图，设，则由平面向量的三角形法则.先考虑时的情况：以为圆心，为半径画弧交于点，则是的中点，当，或时，，此时或由图可知当在线段的延长线或其反向延长线上时，都有，由共线向量的意义有：或综上有或
不难看出，当时，
第24题 一道三角基础题的12种解法 已知是某三角形的一个内角，满足．
（1）判断该三角形是锐角三角形还是钝角三角形？
（2）求的值．
这道题是三角函数内容中的一道典型题，该题本身不难，但学生的普遍反映是计算太麻烦了，想不到更好的方法．于是笔者认真总结了一些解法，希望能让学生从中受益．三角函数是高中数学的一块重点内容，它蕴含着丰富的数学思想方法．灵活地借助数学思想方法解题，往往可以避免复杂的运算，优化解题过程，降低解题难度，加快解题速度．在教学中应加以归纳和训练，这样会有助于提高学生的数学素养和思维能力，增强学生分析问题以及解决问题的能力．本文就通过上述例题介绍解三角函数题时常用的一些数学思想及方法．
对于问题（1），我们可以有两种选择：
第一是直接将两边同时平方，可得，即有，可有．由于，故只能，即是钝角，该三角形是钝角三角形．
第二是采用逆向思维，若，则，与题意不符，故只能，即该三角形是钝角三角形．
对于问题（2），我们有如下方法可供选择．
解法一：从三角函数定义出发．可设点是角终边上的一点，令．
则，，．依题意可得．
两边同时平方可整理得，即为，
于是或者，即或．
解法二：从正切函数的定义出发，分别求出和．联立方程组，消去，整理可得方程，即，
解得或．于是有或，
从而或．
解法三：亦可直接求．将两边同时平方，
可得，
整理可得，即，
可解得或．
解法四：利用配方的思想．将两边同时平方，
可得，可解得．
于是，即．联立，
可解得或，从而或．
解法五：利用对偶的思想．在数学解题过程中,合理地构造形式相似，具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这对对偶关系式进行适当的和,差,积等运算，往往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果．如本题中可以构造对偶式，则有，可解得，
代入，可解得．于是或，
从而或．
解法六：可利用半角公式．将两边同时平方，
可得，即．而的终边可以在第三象限也可在第四象限，
故，从而或．
解法七：亦可利用二倍角公式．
将化为，
整理可得，即，
可求得或者，于是或者．
解法八：利用万能公式也能得到的值，进而求．
由及代入，整理可得，以下同解法七．
解法九：亦可利用公式．将两边同时除以将，
可得．两边同时平方，可得，
即，从而直接解得或．
解法十：利用韦达定理构造一元二次方程．将两边同时平方，
可得，可解得．
于是和是一元二次方程的两根．解得或，
从而或．
解法十一：亦可直接构造关于的方程．
将两边同时平方，可得，可解得，
于是，即，故，
从而化为，解得或．
解法十二：利用方程的思想．方程思想是最基本的也是最重要的数学思想方法之一．它从对问题的数量关系分析入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（即方程或方程组），然后通过解方程来使问题获解．
在这题中，可设，则．联立方程组，解得．
再由，即得，整理可得方程，
解得或，即为所求．
我们经常把一些看上去似乎与方程不发生明显联系的数学问题，运用方程的思想而巧妙地解决问题．
本题似乎没有把方程思想的优势体现出来，我们再看这一道例题：
例：已知，求的值．
这道题我们只要将变式为，便可利用上述的各种思路求解的值代入即可．
但是笔者认为利用方程思想解这道题是最简便的．我们只需令，
即得．联立方程组，
解得．再由，即得，
整理得．解得，即所求．
以上笔者运用一题多解给出了一道三角函数题的多种解法，并借此复习了同角三角函数的关系，倍、半角公式、万能公式及一些基本数学思想和方法等．在数学复习课中选练此类题目，可把所学知识与方法有机地串联起来，不失为一种好的学习方法．
第25题 一道三角函数竞赛题的7种解法 《华罗庚数学奥林匹克竞赛集训教材》第169页有这样一道竞赛题：
求满足下式的锐角：
由于此题较难，所以笔者将它作为我校高二竞赛培训中的一道压轴考试题，但考试结果较好。笔者收集了几种颇具代表性的解答，供竞赛教练和同学参考。
解法一：考虑构造余弦定理（此法与教程相同）。
因
在中，设，，则。
如图，，又
所以点E、D重合。设，于是
解法二：运用柯西不等式。
因
当且仅当，即，
因在上递增，又，则。
解法三：分子有理化巧妙化简。
因 ①
则
②
由①+②整理得：
则，从而.
解法四：朴素的化简运算。
原式化为
两边平方得：，
即。
两边平方得：
即，则.
解法五：先换元再构造方程组
令，
则，，
由得：
则，即.
解法六：先转化为解析几何问题，再用三点共线。
原式化为
设点，，，则
又因，则点P在AB上，因AB的方程为，
则，从而。
解法七：先数形结合，再构造方程组。
原式化为
设点，，，
则 ①
由余弦定理知：，
，则 ②
由①②知：
令，则
从而，即.