高考数学解题思路：解几利器——圆锥曲线离心率的终极大招（Word版含解析）

解几利器——圆锥曲线离心率的终极大招
目录
专题一：求离心率常用公式 1
专题二：椭圆离心率的求值 4
1) 定义法求离心率 5
2) 运用通径求离心率 5
6) 运用正弦定理余弦定理求离心率 5
7) 运用相似比求离心率 5
8) 求出点的坐标带入椭圆方程建立等式 5
9) 运用几何关系求离心率 5
方法一 定义法求离心率 5
方法二 运用通径求离心率 6
方法三 运用e=false求离心率 7
方法四 运用false求离心率 8
方法五 运用false求离心率 11
方法六 运用正弦定理、余弦定理、三角函数求离心率 11
方法七 运用相似比求离心率 12
方法八 求出点的坐标带入椭圆方程建立等式 13
方法九 运用几何关系求离心率 14
专题三：双曲线离心率的求解 17
1、定义法关系求离心率 17
2、运用渐近线求离心率 17
6、运用几何关系求离心率 17
方法一 定义法关系求离心率 17
方法二 运用渐近线求离心率 18
方法三 运用e=false求离心率 19
方法四 运用false求离心率 19
方法五 运用结论false求离心率 21
方法六 运用几何关系求离心率 22
专题四：椭圆、双曲线离心率综合运用 25
专题五 根据已知不等式求离心率的取值范围 28
专题六 根据顶角建立不等式求离心率范围 30
专题七 根据焦半径范围求离心率范围 32
专题八 根据渐近线求离心率的取值范围 36

椭圆
公式1
e=false
公式2
e=false
证明：e=false=false=false=false
公式3
已知椭圆方程为false两焦点分别为false设焦点三角形false，false则椭圆的离心率false
证明：false
由正弦定理得：false
由等比定理得：false，即false
∴false。
公式4
以椭圆false两焦点false，false及椭圆上任一点false（除长轴两端点外）为顶点false，false=false，false=β，则false
证明：由正弦定理有false
false ，false
公式5
点F是椭圆的焦点，过F的弦AB与椭圆焦点所在轴的夹角为θ,false，k为直线AB的斜率，且false，则e=false
当曲线焦点在y轴上时，e=false
注：false而不是false
双曲线
公式1
e=false
公式2
e=false证明：e=false=false=false=false
公式3
已知双曲线方程为false两焦点分别为false设焦点三角形false，false则false
证明：false
由正弦定理得：false
由等比定理得：false
即false，∴false。
公式4
以双曲线false的两个焦点false、false及双曲线上任意一点false（除实轴上两个端点外）为顶点的false，false=false，
false=β，则离心率 false（false）
证明：由正弦定理，有false
false， false
即falsefalse
又false， false
公式5
点F是双曲线焦点，过F弦AB与双曲线焦点所在轴夹角为θ,false，k为直线AB斜率，false，则e=false
当曲线焦点在y轴上时，e=false
注：false而不是false
专题二：椭圆离心率的求值
定义法求离心率
运用通径求离心率
运用false求离心率
运用false求离心率
结论false求离心率（A,B为椭圆上任意两点，M为直线AB中点）
运用正弦定理余弦定理求离心率
运用相似比求离心率
求出点的坐标带入椭圆方程建立等式
运用几何关系求离心率
定义法求离心率
已知椭圆C false 的一个焦点为(2,0),则C的离心率为（ ）
A.false B.false C.false D.false
【解析】 false ，∵ a2?4=4?a=22 ，则 e=ca=222=22 ，选C
直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的false，则该椭圆的离心率为( )
A．false B．false C．false D．false
【解析】由直角三角形的面积关系得bc=false，解得false，选B
若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
A.false B.false C.false D. false
【解析】设长轴为2false，短轴为2false，焦距为2false，则false
即false.
整理得：false，选B
椭圆false（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为　 　
【解析】椭圆false（a＞b＞0）左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2
若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，所以（a﹣c）（a+c）=4c2，即a2=5c2，所以e=false
运用通径求离心率
设椭圆Cfalse=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于　 　
【解法一】不妨假设椭圆中的a=1，则F1（﹣c，0），F2（c，0），
当x=c时，由false=1得y=false=b2，即A（c，b2），B（c，﹣b2），设D（0，m），
∵F1，D，B三点共线，∴，得m=﹣false，即D（0，﹣false），∴若AD⊥F1B，
在，即=﹣1，即3b4=4c2，
则falseb2=2c=false（1﹣c2）=2c，即falsec2+2c﹣false=0，
解得c==，则c=，
∵a=1，∴离心率e=false=false
【解法二】由题意得F1（﹣c，0），由通径长可得A（c,false）,B（c,-false），又因DO∥BF2，,O为F1F2中点所以D为F1B的中点，则D（0，false），若AD⊥F1B，则，即false，解得e=false=false。
从椭圆false(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是
【解析】由题意知A(a,0)，B(0，b)，P false
∵AB∥OP，∴false.∴b＝c；又∵a2＝b2＋c2，∴false.∴false
设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是

【解法一】设false，false，由题意易知，false，false
【解法二】由题意易知，false由通径得false，故false，解得e=false
运用e=false求离心率
已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且false，则C的离心率为　 　
【解法一】 如图，，
作DD1⊥y轴于点D1，则由，得，所以，，
即，由椭圆的第二定义得
又由|BF|=2|FD|，得，a2=3c2，解得e==false，
【解法二】kBF=false,false,由e=false得e=false,解得e=false
经过椭圆false(a＞b＞0)的左焦点F1作倾斜角为60°的直线和椭圆相交于A，B两点，若false，求椭圆的离心率。
【解析】直线AB的斜率k=tan60°=false, 带入公式e=false=2˙false=false
运用false求离心率
已知F1、F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若false，且false,则C的离心率为（ ）
A.?1- false?? B.?2- false?? C.?false? ?D.?false-1
【解法一】依题意设PF1=r ，PF2=falser，F1F2=2r，又r+falser=2a，a=falser，2r=2c
∴c=r ∴ e=false=false-1。
【解法二】false=false=false=false-1
椭圆Γ：false(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝false(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于_______
【解法一】∵由y＝false(x＋c)知直线的倾斜角为60°，∴∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°.
∴∠F1MF2＝90°.∴MF1＝c，MF2＝falsec.
又MF1＋MF2＝2a，∴c＋falsec＝2a，即false.
【解法二】false=false=false=false-1。
设椭圆C：false(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　)．
A．false B．false C．false D．false
【解法一】如图所示，在Rt△PF1F2中，|F1F2|＝2c，
设|PF2|＝x，则|PF1|＝2x，由tan 30°＝false，得false.
而由椭圆定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a＝3x，∴false，∴false.
【解法二】false=false=false=false
过椭圆falsea＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（　　）
A．false B．false C．false D．false
【解法一】由题意知点P的坐标为（﹣c，false）或（﹣c，﹣false），
∵∠F1PF2=60°，∴=false，即2ac=falseb2=false（a2﹣c2）．
∴falsee2+2e﹣false=0，∴e=false或e=﹣false（舍去）．
【解法二】false=false=false=false。
运用false求离心率
过点M（1，1）作斜率为﹣false的直线与椭圆C：false=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于　　．
【解法一】设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
∵过点M（1，1）作斜率为﹣false的直线与椭圆C：false=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，∴两式相减可得，
∴a=falseb，∴=b，∴e=false=false．
【解法二】由点差法可得false，1﹣false=false，解得a=falseb，
∴=b，∴e=false=false

运用正弦定理、余弦定理、三角函数求离心率
已知椭圆C：false(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝false，则C的离心率为(　　)．
A．false B．false C．false D．false
【解析】如图所示，根据余弦定理，|AF|2＝|BF|2＋|AB|2－2|BF||AB|cos∠ABF，即|AF|＝6又|OF|2＝|BF|2＋|OB|2－2|OB||BF|cos∠ABF，即|OF|＝5
又根据椭圆的对称性，|AF|＋|BF|＝2a＝14，∴a＝7，|OF|＝5＝c
所以离心率为false
在false中，false，false，若以false为焦点的椭圆经过点false，则该椭圆的离心率false ．
【解析】设false，false则false
false，false
在false中，false，false．若以false为焦点的椭圆经过点false，则该椭圆的离心率false ．
【解析】如图，不妨设|AC|=3，|AB|=4,则|BC|=5，所以2a=8,2c=4,e=false.

运用相似比求离心率
已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（　　）
A． B． C． D．
【解法一】如图，由于BF⊥x轴，故xB=﹣c，yB =，设P（0，t），
∵=2，∴（﹣a，t）=2（﹣c，﹣t）．∴a=2c，∴e==，，选D
【解法二】由题意可知 △BFA∽△POA，且相似比为3:2，则false，解得e==。
求出点的坐标带入椭圆方程建立等式
如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆false（a>b>0）的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B1与直线B2F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为　　．
【解法一】由题意，可得直线A1B1的方程为，直线B2F的方程为
两直线联立则点T（），则M（），由于此点在椭圆上，故有，整理得3a2﹣10ac﹣c2=0
即e2+10e﹣3=0，解得
【解法二】对椭圆进行压缩变换，，，
椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．
延长TO交圆O于N，易知直线A1B2斜率为1，TM=MO=ON=1，，
设T（x′，y′），则，y′=x′+1，
由割线定理：TB2×TA1=TM×TN，，
（负值舍去），
易知：B1（0，﹣1），直线B1T方程：
令y′=0，即F横坐标，即原椭圆的离心率e=
运用几何关系求离心率
已知F1、F2是椭圆C: false（a＞b＞0） 的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为 false 的直线上，△PF1F2为等腰三角形， false,则C的离心率为（ ）
A.?false???? ? B.?false??? ? C.?false? D.?false
【解析】∵过A直线斜率为 false∴tanα= false
即sinα=339=113，∴ 2c113=a+csinβ，sinβ=sin(120°+α)=32·1213-12·113=5213
∴213c=(a+c)·2135，∴e=false，选D
已知O为坐标原点，F是椭圆Cfalse（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（　　）
A．false B．false C．false D．false
【解析】由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），
令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±bfalse=±false，可得P（﹣c，false），
设直线AE的方程为y=k（x+a），
令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），
设OE的中点为H，可得H（0，false），由B，H，M三点共线，可得kBH=kBM，
即为false,化简可得false=false，即为a=3c，可得e=false=false，选A
椭圆false=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=falsex的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是　　．
【解析】不妨令c=1，设Q（m，n），由题意可得，即：
由①②可得：m=，n=，代入③可得：，
解得e2（4e4﹣4e2+1）+4e2=1，可得，4e6+e2﹣1=0．
即4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1=0，可得（2e2﹣1）（2e4+e2+1）=0，解得e=false
设false、false是椭圆E：false=1（false）的左、右焦点，P为直线false上一点，false是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）
A、false B、false C、false D、false
【解析】如图所示，false是等腰三角形，
false，false，
false，false，false，又false，
所以false，解得false，因此false，选C
如图，F1，F2是椭圆C1：false＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)．
A．false B．false C．false D．false
【解析】椭圆C1中，|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，|F1F2|＝2c＝false.又四边形AF1BF2为矩形，∴∠F1AF2＝90°，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，∴|AF1|＝false，|AF2|＝false，∴双曲线C2中，2c＝false，2a＝|AF2|－|AF1|＝false，故false，选D
在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为false(a＞0，b＞0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2.若false，则椭圆C的离心率为__________．
【解析】设椭圆C的半焦距为c，由题意可设直线BF的方程为false，即bx＋cy－bc＝0.于是可知false，false.
∵false，∴false，即false.
∴a2(a2－c2)＝6c4.∴6e4＋e2－1＝0.∴e2＝false. ∴false.
专题三：双曲线离心率的求解
1、定义法关系求离心率
2、运用渐近线求离心率
3、运用e=false求离心率
4、运用false求离心率
5、运用结论false求离心率（A,B为椭圆上的任意两点，M为直线AB的中点）
6、运用几何关系求离心率
定义法关系求离心率
设 F1,F2 是双曲线 false （false，false）的左，右焦点， O 是坐标原点。过 F2 作C的一条渐近线的垂线，垂足为P。若 |PF1|=6|OP| ，则 C 的离心率为（??? ）
A.false B.2 C.false? D.false
【解析】因为 OF2=c ，直线OP的斜率为 false ，则 OP=a,PF2=b
则 |PF1|=6a,OF1=C, cos∠POF1=?cos∠POF2=?ac
则 a2+b2?6a22ac=?ac?e=3
设F1，F2分别为双曲线falsea＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，则该双曲线的离心率为
【解析】∵（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，∴由双曲线的定义可得（2a）2=b2﹣3ab，
∴4a2+3ab﹣b2=0，∴a=false，∴c=false=falseb，∴e=false=false．
设F1，F2分别为双曲线false（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|?|PF2|=falseab，则该双曲线的离心率为
【解析】不妨设右支上P点的横坐标为x,由焦半径公式有|PF1|=ex﹣a，|PF2|=ex+a，
∵|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|?|PF2|=falseab，∴2ex=3b，（ex）2﹣a2=falseab
∴falseb2﹣a2=falseab,∴a=falseb，∴c=false=falseb，∴e=false=false．
已知双曲线E:false（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是　　．
【解析】令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±false，
由题意可设A（﹣c，false），B（﹣c，﹣false），C（c，﹣false），D（c，false），
由2|AB|=3|BC|，可得2?false=3?2c，即为2b2=3ac，
由b2=c2﹣a2，e=false，可得2e2﹣3e﹣2=0，解得e=2（负的舍去）．

运用渐近线求离心率
若双曲线false的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为
【解析】双曲线false的一条渐近线经过点（3，﹣4），可得3b=4a，即9（c2﹣a2）=16a2，
解得e=false=false
中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，2），则离心率为
【解析】∵渐近线的方程是y=±falsex，
∴2=false?4，false=，a=2b，c==a，e=false=，即它的离心率为false．
设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为
【解析】设双曲线方程为false（a＞0，b＞0），则F（c，0），B（0，b）
直线FB：bx+cy﹣bc=0与渐近线y=falsex垂直，所以，即b2=ac
所以c2﹣a2=ac，即e2﹣e﹣1=0，所以或（舍去）
运用e=false求离心率
已知双曲线false的右焦点为false,过false且斜率为false的直线交false于false两点，若false,则false的离心率为

【解法一】设双曲线false的右准线为false
过false分 别作false于false,false于false, false,
由直线AB的斜率为false,知直线AB的倾斜角为false
由第二定义falsefalse
又false
【解法二】直线AB的斜率k=false, 带入公式e=false=2˙false=false
运用false求离心率
设F1，F2是双曲线C：false(a＞0，b＞0)的两个焦点．若在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为__________．
【解法一】如图所示，∵PF1⊥PF2，∠PF1F2＝30°，可得|PF2|＝c.
由双曲线定义知，|PF1|＝2a＋c，
由|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2得4c2＝(2a＋c)2＋c2，即2c2－4ac－4a2＝0，即e2－2e－2＝0，
∴false，∴false.
【解法二】false=false=false=false+1
双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【解法一】如图在Rt△MF1F2中，∠MF1F2=30°，F1F2=2c
∴，
∴
∴，故选B．
【解法二】false=false=false=false。
设△ABC是等腰三角形，∠ABC=120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为（　　 ）
A． B． C． D．
【解法一】由题意2c=|AB|，所以，
由双曲线的定义，有，
∴故选B．来源于微信公众号：数学第六感
【解法二】false=false=false=。
已知F1、F2是双曲线false的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ ）
A．false B．false C．false D．false
【解析】false=false=false=false+1，选D
运用结论false求离心率
己知斜率为1的直线l与双曲线C：false相交于B、D两点，且BD的中点为false.求C的离心率；
【解法一】由题设知，false的方程为：false
带入false的方程，并化简，得false
设false则 false ①
由false为false的中点知false，故false 即false， ②
故false所以false的离心率false
【解法二】由false，即1˙3=false，e=false=2
运用几何关系求离心率
若双曲线falsefalse（false，false）的一条渐近线被圆false所截得的弦长为2，则false的离心率为
解法一：常规解法
根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为false，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到
渐进线的距离为false，∴ 圆心到渐近线的距离为false，即false，解得false.
解法二：待定系数法
设渐进线的方程为false，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为false，
∴ 圆心到渐近线的距离为false，即false，解得false；由于渐近线的斜率与离心率
关系为false，解得false.
解法三：几何法
从题意可知：false，false为
等边三角形，所以一条渐近线的倾斜较为false，
由于false，可得false，渐近线的斜率与离心率关系为false，解得false.
解法四：坐标系转化法
根据圆的直角坐标系方程：false，可得极坐标方程false，由false可得极
角false，从上图可知：渐近线的倾斜角与圆的极坐标方程中的极角相等，所以false，
渐近线的斜率与离心率关系为false，解得false.
解法五：参数法之直线参数方程
如上图，根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为false，可以表示点false的坐标为false，∵ false，false ∴ 点false的坐标为false，代入圆方程中，解得false.
平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：false（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为　 　
【解析】 双曲线C1:false（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±falsex
与抛物线C2：x2=2py联立，可得x=0或x=±，取A（，），则=
∵△OAB的垂心为C2的焦点，∴×（﹣false）=﹣1
∴5a2=4b2，∴5a2=4（c2﹣a2） ∴e=false=false
设F1，F2是双曲线C：false(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为__________．
【解析】不妨设|PF1|＞|PF2|，由false可得false
∵2a＜2c，∴∠PF1F2＝30°，
∴cos 30°＝false，
整理得，c2＋3a2－falseac＝0，即e2－falsee＋3＝0，∴false.
如图，F1，F2分别是双曲线C：false(a，b＞0)的左右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是
A．false B．false C．false D．false
【解析】如图：|OB|＝b，|O F1|＝c．∴kPQ＝false，kMN＝﹣false．
直线PQ为：y＝false(x＋c)，两条渐近线为：y＝falsex．由false，得：Q(false，false)；由false，得：P(false，false)．∴直线MN为：y－false＝﹣false(x－false)，
令y＝0得：xM＝false．又∵|MF2|＝|F1F2|＝2c，∴3c＝xM＝false，解之得：false，即e＝false．
过双曲线false的右顶点false作斜率为false的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为false．若false，则双曲线的离心率是 ( )
A．false B．false C．false D．false
【解析】对于false，则直线方程为false，
直线与两渐近线的交点为B，C，false，
则有false
∵false
专题四：椭圆、双曲线离心率综合运用
已知椭圆M: false (a>b>0）,双曲线N：false . 若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________
【解法一】图中A (c2,32c) ，设椭圆焦距为2c,
又 |AF2|=C?|AF1|=3c 。∴ c+3c=2a?ca=23+1=3?1 ，
又 nm=3?n=3m ，∴ m2+n2=4m2 ，即双曲线离心率为 2mm=2。
【解法二】连接AF1，则∠AF1F2=30°,∠AF2F1=60°
对于椭圆false=false=false=false-1。
连接六边形的对角线AB则∠AOF2=60°，false，则false
已知椭圆C1：false+y2=1（m＞1）与双曲线C2：false﹣y2=1（n＞0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（　　）
A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1 C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1
【解析】 ∵椭圆C1：false+y2=1（m＞1）与双曲线C2：false﹣y2=1（n＞0）的焦点重合，
∴满足c2=m2﹣1=n2+1，
即m2﹣n2=2＞0，∴m2＞n2，则m＞n，排除C，D
则c2=m2﹣1＜m2，c2=n2+1＞n2，
则c＜m．c＞n，e1=，e2=，
则e1?e2=?=，则（e1?e2）2=（）2?（）2====1+=1+=1+＞1， ∴e1e2＞1.
已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=false，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（　　）
A.false B.false C.3 D.2
【解析】设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，
由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，
椭圆和双曲线的离心率分布为e1，e2
∵∠F1PF2=false， ∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cosfalse，①
在椭圆中，①化简为即4c2=4a12-3r1r2， 即，②
在双曲线中，①化简为即4c2=4a22+r1r2，即，③
联立②③得，=4，
由柯西不等式（1+false）（）≥（1×+）2，
即（）=false来源于微信公众号：数学第六感
即，当且仅当时取等号，选A
如图，中心均为原点false的双曲线与椭圆有公共焦点，false是双曲线的两顶点。若false将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )
A．3 B．2 C．false D．false
【解析】设双曲线和椭圆的方程分别为false，false，则false
依题意可得，false，所以false
设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为(　　)．
A．y＝x－1或y＝－x＋1 B．y＝false或y＝false
C．y＝false或y＝false D．y＝false或y＝false
【解析】由题意可得抛物线焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1.
当直线l的斜率大于0时，如图所示，过A，B两点分别向准线x＝－1作垂线，垂足分别为M，N，则由抛物线定义可得，|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|.
设|AM|＝|AF|＝3t(t＞0)，|BN|＝|BF|＝t，|BK|＝x，而|GF|＝2，
在△AMK中，由false，得false，
解得x＝2t，则cos∠NBK＝false，
∴∠NBK＝60°，则∠GFK＝60°，即直线AB的倾斜角为60°.
∴斜率k＝tan 60°＝false，故直线方程为y＝false．
当直线l的斜率小于0时，如图所示，同理可得直线方程为y＝false，故选C.
专题五 根据已知不等式求离心率的取值范围
已知椭圆E：false（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于false，则椭圆E的离心率的取值范围是（　　）
（0，] B．（0，] C．[，1） D．[，1）
【解析】如图，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，
∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a，∴a=2．
取M（0，b），
∵点M到直线l的距离不小于false，
∴，解得b≥1．
∴e==≤=．∴椭圆E的离心率的取值范围是．

椭圆false的焦点为false，false，两条准线与false轴的交点分别为false，若false，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）
Ａ．false Ｂ．false Ｃ．false Ｄ．false
【解析】椭圆false焦点为false，false，两条准线与false轴的交点分别为false，若false，false，false，则false
该椭圆离心率e≥false，取值范围是false
若双曲线false（a＞0,b＞0）上横坐标为false的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( )
A.(1,2) B.(2,+false) C.(1,5) D. (5,+false)
【解析】falsefalse
false或false(舍去),false
设false分别是椭圆false（false）的左、右焦点，若在其右准线上存在false使线段false的中垂线过点false，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
【解析】由已知Pfalse，所以false的中点Q的坐标为false
由false
false
当false时，false不存在，此时false为中点，false
综上得false
专题六 根据顶角建立不等式求离心率范围
1、P为椭圆上任意一点，F1，F2为椭圆的焦点，则∠F1PF2最大当且仅当P为短轴顶点；
2、P是椭圆上的任意一点，A,B为椭圆的长轴顶点，则∠APB最大当且仅当P为短轴顶点；
3、P为椭圆上任意一点，F1，F2为椭圆的焦点，若∠F1PF2=θ ，则椭圆的离心率的取值范围为false≤e<1.
已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足false=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（　　）
A．（0，1） B．（0，false] C．（0，false） D．[false，1）
【解析】设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c
∵false=0，∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆
又M点总在椭圆内部，∴该圆内含于椭圆，即c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．
∴e2=false＜false，∴0＜e＜false．
已知F1、F2是椭圆false(a>b>0)的左右焦点，若椭圆上存在点P,使得∠F1PF2=900，则椭圆的离心率e的取值范围为　 　
【解析】设上顶点为B，只要∠F1BF2≥false,就存在点P使得∠F1PF2=900
所以e=sin∠F1BO≥sinfalse=false，解得false≤e<1.
已知A,B是椭圆false(a>b>0)长轴的两个顶点，若椭圆上存在点P,使得∠APB=1200，则椭圆的离心率e的最小值为　 　
【解析】设上顶点为M，只要∠AMB≥false,就存在点P使得∠APB=1200
所以false=false=false=tan∠AOM≥tanfalse=false
解得false ≤e
已知椭圆C：false两个焦点为false，如果曲线C上存在一点Q，使false，求椭圆离心率的最小值。
【分析】根据条件可采用多种方法求解，如例1中所提的方法均可。本题如借用三角函数的有界性求解，也会有不错的效果。
【解析】设false
根据三角形的正弦定理及合分比定理可得
false
故false
故椭圆离心率的最小值为false
双曲线false的两个焦点为false，若false为其上一点，且
false，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
Ａ．false　 Ｂ．false Ｃ．false　　 Ｄ．false
【解析】设false，false
当false点在右顶点处false
false
false．
专题七 根据焦半径范围求离心率范围
1、F是椭圆的一个焦点，P是椭圆上的任意一点，则a-c≤false≤a+c；
2、F是双曲线的右焦点，若P是双曲线右支上的任意一点，则c-a≤false；
若P是双曲线左支上的任意一点，则false，根据题给等式确定P位置。
3、P是椭圆上的任意一点，则-a椭圆false(a>b>0)的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A．在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（　　）
A．（0，false] B．（0，false] C．[false，1） D．[false，1）
【解析】 由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等而|FA|=false |PF|∈[a﹣c，a+c]
于是false∈[a﹣c，a+c] 即ac﹣c2≤b2≤ac+c2
∴ 又e∈（0，1） 故e∈[false，1）．
已知双曲线false（a>0,b>0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若双曲线上存在一点P使false，则该双曲线的离心率的取值范围是　 　．
【解析】根据正弦定理知false
false，false．
又false，
false，false，
由双曲线性质知false，false，即false，得false，
又false，得false．
已知椭圆false（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为　
【解析】在△PF1F2中，由正弦定理得：
则由已知得：， 即：a|PF1|=c|PF2|
设点（x0，y0）由焦点半径公式，得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a﹣ex0
则a（a+ex0）=c（a﹣ex0），解得：
由椭圆的几何性质知：x0＞﹣a则，
整理得e2+2e﹣1＞0，解得：e<-false或e>false，
又e∈（0，1），故椭圆的离心率：e∈（false，1）。
已知双曲线false的左，右焦点分别为false,点P在双曲线的右支上，且false,则此双曲线的离心率e的最大值为：( )
A . false B . false C. false D . false
【解析】由题意可知false即false由c+a≤false则e≤false.
如果椭圆false上存在一点P，使得点P到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭圆的离心率的取值范围为 （ ）
A．false B．false C．false D．false

【解析】设false，
由题意及椭圆第二定义可知falsefalse
false（当且仅当false三点共线等号成立）false，
把false代入化简可得falsefalse
又falsefalse
已知双曲线false的左、右焦点分别是F1、F2，P是双曲线右支上一点，P到右准线的距离为d，若d、|PF2|、|PF1|依次成等比数列，求双曲线的离心率的取值范围。
【解析】由题意得
因为，所以
从而?，
又因为P在右支上，所以。
所以e≤false
设点P在双曲线false的左支上，双曲线两焦点为false，已知false是点P到左准线false的距离false和false的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。
【解析】由题设false，得false
由双曲线第二定义false，得false
由焦半径公式得：false
则false，即false
解得false
已知点false在双曲线false的右支上，双曲线两焦点为false，false最小值是false，则双曲线离心率的取值范围
【解析】false
由均值定理知：当且仅当false时取得最小值false
又false
所以false，则false
若点O和点false分别是双曲线false的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则false的取值范围为
【解析】∵false是双曲线左焦点，∴false，即false，∴双曲线方程为false
设点Pfalse，则有false，解得false
因为false，false
所以false=falsefalsefalse
此二次函数对应的抛物线的对称轴为false
因为false，所以当false时，false取得最小值falsefalse
故false的取值范围是false
若false为椭圆false长轴两端点，false为椭圆上一点，使false，求此椭圆离心率的最小值。
【分析】建立false之间的关系是解决离心率最值问题常规思路。此题也就要将角转化为边的思想，但条件又不是与焦点有关，很难使用椭圆的定义。故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭圆中false的取值进行求解离心率的最值。
【解析】不妨设false，则false
利用到角公式及false得：false（false）
又点false在椭圆上，故false，消去false，化简得false
又false即false，则false
从而转化为关于false的高次不等式 false解得false
故椭圆离心率的最小值为false。（或false，得：false
由false，故false）（注：本题若是选择或填空可利用数形结合求最值）
专题八 根据渐近线求离心率的取值范围
1、若直线恒过的定点落在双曲线两支之内
①当直线与双曲线只有一个交点时，该直线的斜率k=false
②当直线与双曲线两支都有交点时，该直线的斜率kfalse
③当直线与双曲线单支有两个交点时，该直线的斜率kfalse;
2、若直线恒过的定点不落在双曲线两支之内
①当直线与双曲线只有一个交点时，该直线的斜率k=false或△=0
②当直线与双曲线有两个交点时， △>0
③当直线与双曲线左右两支都有交点时， x1x2<0;
④当直线与双曲线左支有两个交点时， 有false
⑤当直线与双曲线右支有两个交点时， 有false
设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是(　　)．
A．false B．false C．false D．false
【解析】不妨令双曲线的方程为false(a＞0，b＞0)，由|A1B1|＝|A2B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x轴对称，如图．
又∵满足条件的直线只有一对，
∴tan 30°＜false≤tan 60°，即false，∴false.
∵b2＝c2－a2，∴false，即false＜e2≤4.
∴false＜e≤2，即e∈false
设双曲线的左准线与两条渐近线交于A，B两点，左焦点为在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为（　　）
A．（0，false） B．（1，false） C．（false，1） D．（false，+∞）
【解析】渐近线y=±falsex．准线x=±，求得A（）．B（）
左焦点为在以AB为直径的圆内，得出，
b＜a，c2＜2a2 ∴
选B
已知双曲线false的右焦点为F，若过点F且倾斜角为false的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
false　　　　B.false　　　　C.false　　　　D.false
【解析】因为双曲线false的右焦点为F
且过点F且倾斜角为false的直线与双曲线的右支有且只有一个交点
所以该直线的斜率≤渐近线的斜率，即false≤false来源于微信公众号：数学第六感
所以e2=false≥4，解得e≥2，
选C
设双曲线C：false与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．求双曲线C的离心率e的取值范围：
【解析】把双曲线方程和直线方程联立消去false得：false时，直线与双曲线有两个不同的交点则false，false，即false且false
所以false，即false且false。
已知过双曲线false左焦点false的直线false交双曲线于P、Q两点，且false（false为原点），则双曲线离心率的取值范围
【解析】设false，过左焦点false的直线false方程：false
43535609525代入双曲线方程得：false
由韦达定理得：false
false
由OP⊥OQ得false
即false，解得false因为false
所以false，则false所以false