清北精讲——数列微专题综合讲义PDF版含答案
文档属性
| 名称 | 清北精讲——数列微专题综合讲义PDF版含答案 |  | |
| 格式 | |||
| 文件大小 | 3.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-19 10:15:20 | ||
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文档简介
数列微专题
目录
1 通项...............................................................................................................................................2
1.1 减项 作差 求通 项...................................................................................................................2
1.2 递推 求通 项...........................................................................................................................7
2 性质...............................................................................................................................................9
3 构造 数列.....................................................................................................................................13
3.1 构造 等比 数列.....................................................................................................................13
3.2 构造 差数 列.........................................................................................................................19
3.3 取倒 类等 差.........................................................................................................................23
3.4 构造 对数.............................................................................................................................31
4 求和.............................................................................................................................................33
4.1 错位 相减.............................................................................................................................33
4.2 裂项 相消.............................................................................................................................37
4.3 指数 裂项.............................................................................................................................39
4.4 奇偶 并项.............................................................................................................................40
5 单调 性.........................................................................................................................................48
6 周期 性.........................................................................................................................................53
7 不动 点.........................................................................................................................................57
8 放缩.............................................................................................................................................61
9 公式 应用.....................................................................................................................................64
10 与三 角结 合...............................................................................................................................72
11 与函 数性 质结 合.......................................................................................................................77
12 综合 题.......................................................................................................................................88
第 1 页 共 103 页
1 通 项
1.1 减项作差求通项
1.记 2
Sn为数 列?an?的前n项的 和， 若S a n nn n? ? ? ?2 1，则a6 ?
答 案 ：11
2
解 析 ： 2
?S a n n S n a n an n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 n?1 ? ?1 2 1 11n 6
2.设数 列{ }an 前n项和 为S a nn n? ? ?4 3 2，求 an及 Sn
n-1 n?1
答 案 ： 1 0 4? ? ?4?
an ? ? ?? ? 3、Sn 10?? ? ? n?? 103
3 3? ? ?3?
1
解 析 ：S a n an n? ? ? ? ?4 3 2 1 3
因为S a nn n? ? ?4 3 2，① 所以S a nn n? ?1 1? ? ? ?4 3( 1) 2②
②-① 得：S S a n a n a a an n n?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4 3 3 2 ( 4 3 2 ) 4 4 3?1 n n n n? ?1 1
4 4
? ? ?a a a an n?1= 1 +3 = 3? ?n?1 ? ?n ?
3 3
10 4
所以? ?an ?3 是以 为首 项， 为公 比的 等比 数列 ，
3 3
n-1 n-1
则 1 0 4 1 0 4? ? ? ?
an ? ? ? ? ? ?3= ? ? an ? ? 3
3 3? ? 3 3? ?
n?1
前n项和 ?4?
Sn 10?? ? ? n?? 103
?3?
2
3.已知Sn是数 列{ }an 的前n项和 ，an ?0，a a Sn n n? ? ?2 4 3，则{ }an 的通 项公 式为____.
答 案 ： n na ?? 12
解 析 ： 2
a a S an n n? ? ? ? ?2 4 3 31 或a1 ? ?1（舍 ）
因为 2 2
a a Sn n n? ? ?2 4 3① ，所 以有a a Sn n n+1 +1 +1? ? ?2 4 3②
②-① 得： 2 2 2 2
a a a a S S a a a a an n n n n n n n n n n+1 +1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 4 4 4+1 ?1 +1 2 2 0+1
2 2
a a a a a a a an n n n+1? ? ? ? ? ? ? ?2? ? ? ? ? ?+1 0 n n n n?1 2 = 0?1
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因为an ?0，所 以a an n?1? = 2；所 以{ }an 是以3为首 项，2为公 差的 等差 数列 ，
则 n nna ????? 12)1(23
4.设数 列? ?an 的前n项和 是Sn， 1 1? ?aa Sn n? ,1, 3 求? ?an 的通 项公 式.
答 案 ： n?
? 1
an 4
解 析 ：因为a Sn n?1 ? ,3 所以 有a Sn n?3 ,?1
an?1
两式 做差 有a S Sn?1 an ?? 3 3 3 4n ? ? ?n?1 an ?
an
所以 ?
? ?a n 1
n 是以1为首 项，4为公 比的 等比 数列 ，an ?4
n?2
5.设数 列? ?an 满足a1 ? ?1,S an n,求? ?an 的通 项公 式.
3
2 ?
答 案： nn
an ? 2
n?2 n?1
解 析：因 为S an ? n,所以 有S an-1 ? n-1,
3 3
n n n n? ? ? ?2 1 1 1 an n?1
两式 做差 有Sn ?Sn?1 ? a a a an? ?n?1 n?1? ? ?n
3 3 3 3 a nn?1 ?1
2
a 3 4 5 n?1 nn ? )1( ?nn
累乘 法可 得： n ??? ... ? an ??
a1 1 2 3 n?1 2 2
6.设数 列? ?an 的前n项和 是Sn,a a S S1 ? ? ?1, n n n?1 ?1,
（1）求Sn；
（2）求an.
? ，n?? 11
1 ?
答 案 ：Sn ?? ，an ?? 1
n ? n?2,
? nn ? )1(
1 1
解 析 ：a S S S S S Sn n n n n n n?1 ? ? ?1 1? ? ? ? ? ?? ?1 1
S Sn n?1
? ?1 1
所以 数列? ?是以 ?? 1为首 项， 以-1为公 差的 等差 数列 ，
? ?Sn S1
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1 )1(1 ?????? 1
nn ，所 以Sn ??
Sn n
1 1 11 1
Sn Sn1- ????? ， SSa nnn 1- ??????
n n 1- 1- nnnn )1-(
? ，n?? 11
?
所以an ?? 1
? n?2,
? nn ? )1(
2
2S
7.已知 数列 n
? ?an 的前n项和 是Sn，a1 ?1, an ? ?( 2)n .
2 1Sn ?
? ?1
（1）证 明： 数列? ?是等 差数 列；
? ?Sn
（2）求 数列? ?an 的通 项公 式.
1 1
答 案：（1）见 解析 （2）an ? ?
?12 nn ?32
2 2
2S 2S 2
解 析 ：因为 n n
an ? ，所 以有S Sn n? ? ? ? ? ??1 ? ? ? ?S S S Sn n n?1 2 1 2 n
2 1Sn ? 2 1Sn ?
2 2
? ?2 2S S S S S S S S S Sn n n n n n?1? ? ??1 2 ? ? ??2 n n n n?1 ?1 ?0
1 1
? ? ? ? ? ? ?S S S Sn n n n?1 2 ?1 2
S Sn n?1
? ?1 1 1
所以 数列? ?是以 ?1为首 项， 以2为公 差的 等差 数列 ，且 nn ????? 12)1(21
? ?Sn S1 Sn
1 1 1 1
（2）由 上可 得Sn ? Sn?1 ?? , SSa nnn ?1 ??? ?
n?12 n?32 ?12 nn ?32
8.设 数 列? ?an 的 前n项 和 为Sn , 且 a a1 2? ?1, ?nS n an ? ?( 2) n? 为 等 差 数 列, 则? ?an
的通 项公 式an ?
n
答 案 ：an ? n?1
2
解 析 ：设b n S n an n? ? ?( 2 ) n，
? 数列? ?an 的前n项和 为Sn，且a a1 2? ?1,
? ? ?b b1 24, 8, ? ? ? ? ? ? ?b b nn 1 ( 1) (8 4 ) 4n
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即b nS n a nn n? ? ? ?( 2) 4n ;
2 2
当n?2时,S S a an n? ? ? ? ? ??1 (1 ) (1 ) 0n n?1
n n?1
2( 1) 1n n? ?
? ?a an n?1 ,
n n?1
a a
即 n n?1
2? ? ,
n n?1
? ?an 1
?? ? 是以 为公 比，1为首 项的 等比 数列,
? ?n 2
n?1
an ? ?1 n
? ?? ? ? ?an n?1
n ? ?2 2
3 n?1
9. 已知 数列? ?an 的前n项和 是Sn， n naS ?3= .
2
? ?a
（ n
1）求 证：? ?n 为等 差数 列.
? ?3
（2）求 数列? ?an 的通 项公 式.
答 案 ： n
n ? ? ?na + 2) 3( 4
解 析 ：
3 n?1 3
Sn n= a ?3 ? ? ? ? ?a1 a1?9 1a1 8
2 2
3 n?1 3 n 3 3n?1 n
Sn n= .a ?3 ?Sn n-1 -1= a ?3 ?S Sn n n? -1= a a3 3?? n-1?
2 2 2 2
1 3 n n a an n-1
? ? ? ? ? ? ? ? ?a a a an n= 2 =3-1 3 n n-1 4 3 n n?1 = 4
2 2 3 3
? ?a a a
所以 n 1
? ?n 是以 ?? n
6为首 项，-4为公 差的 等差 数列 ，且 n ? ? ? ? ? ? ?6 4( 1) 4 2n n
? ?3 3 3
（ n
2）由 上面 可得 n ? ? ?na + 2) 3( 4
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3
10.（浙 江学 考） 数列{ }an 的前n项和Sn满足S a nn n= - n?N *，则 下列 为 等比 数列 的是
2
A.{ }an +1 B.{ }an -1 C.{ }Sn +1 D.{ }Sn -1
答 案 ：A
3 3 3 3
解 析：S a n S a n S S a n a nn n= - ? = - ? - - - -n n-1 -1 +1 =n n n-1 n-1 +1
2 2 2 2
a a a an n=3 2 +1=3 1-1+ ? n ( n-1+ )所以{ }an +1 是等 比数 列
?
11.已知 数列? ?an 的前n 项和 为Sn ，a a1 2? ?1, 2 且S S S a n Nn n n n? ?2 1? ? ? ? ?3 2 0? ?记
1 1 1 1 ? ?
Tn ? ? ? ? ? ?? ,? ?n N ，若? ?n T? ?6 ? n 对n N? 恒成 立， 则? 的最 小值
S S S S1 2 3 n
____________.
1
答 案 ：6
解 析 ：S S S an n n n? ?2 1? ? ? ?3 2 0 即S S S S Sn n n n n? ?2 1? ? ? ? ?3 2 ?1 0 化简 可得
n n? ??1
a a an n n?2 ? ? 2 ?1，? ?an 为等 差数 列，a nn ? ，Sn ? ，
2
1 2 1 1? ? 1 1 1 1 1? ?
? ? ?2? ? ，T n? ? ? ? ? ? ? ? ?? 2 1? ? ? ?n 6 ?
S n n n nn ? ??1 ? ??1 S S S S n1 2 3 n ? ??1
2n 2 2n 2 1
?? ? ?2 ，n?2 或者n?3 最大 值为
? ? ? ?n n n n? ? ? ?1 6 7 6 6 6 6
n? ?7 n? ?7
n n
1
? 的最 小值 为6
S
12.记 数 列 n
? ?an 的 前n项 和Sn， 已 知2 1 1S a n an n? ? ? ?? ?n ， 且a2 ?5， 若m? n ， 则
2
实数m的取 值范 围为___________.
答 案 ：? ?2,? ?
解 析 ：
2 1 1S a n an n? ? ? ?? ?n ,
2 1 1 1 2S a n a nn n? ?1 1? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?n?1 上式 相减 可得na n an?1 ? ? ?? ?1 1n 即
a an n?1 1
? ? ， 由2 1 1S a n an n? ? ? ?? ?n ，a2 ?5可得a1 ?3，
n n n n? ?1 1? ?
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a an n?1 1 a 1
? ? 累加 可得 n ? ?2 ，a nn ? ?2 1 ，a1 ?3，符 合a nn ? ?2 1.
n n n n? ?1 1? ? n n
故a nn ? ?2 1
S n nn ? ?? ?2
Sn n n? ??2
m? ?n n
2 2
n n? ??1
令 ?
g n( ) ,? ?n N
n
2
3 3 5 1 5
g g g g g(1) 1, ( 2 ) , (3) , ( 4 ) , (5)? ? ? ? ? 开始 逐渐 递减 ，则m? ? ?? ?2, .
2 2 4 1 6
1.2 递推求通项
( 2)( 1)n n n? ?
1.已知 数列 *
? ?an 满足a a a na1 2 3? ? ? ? ? ? ? ?2 3 n ? ?n N? 则an ?______.
3
答 案 ：a nn ? ?1
解 析 ：当n?1时，a1 ? 2
( 2)( 1)n n n? ?
当 *
n?2时，a a a na1 2 3? ? ? ? ? ? ? ?2 3 n ? ?n N? ①
3
( 1) ( 1)n n n? ?
a a a n a1 2 3? ? ? ? ? ? ? ? ?2 3 1? ? n?1 ②
3
①?②并整 理可 得a nn ? ?1，代 入a1 ? 2验证 符合 ，? ? ?a nn 1
2. 若 数 列 2
?an? 是 正 项 数 列 ， 且 a a a n n1 2? ? ? ?… …+ 3n ， 则
a a1 2 a
…… n
? ? ?+
2 3 1n?
答 案 ：2 ( 3)n n?
解 析 ： … … 2
? a a a n n1 2? ? ? ?+ 3n
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? 2
? a a a n n1 2? ? ? ?… …+ 3n
?? 2
?? a a a n n1 2? ?… …+ 1 3 1n?1 ? ? ? ?? ? ? ?
2 an
? ? ? ? ? ? ? ? ?a n a nn 2( 1) 4( 1) 4( 1)n n
n?1
4 ( 2 1)n n? ?
? ? ?2 ( 3)n n
2
3.已知 数列 2
? ?an 中，a1 ? ? ? ?? ?1, 2 3a a a n a1 2 3 ? n n .求数 列? ?an 的通 项公 式.
答 案 ： n?12
an ? n
解 析 ：因为 2
a a a n na1 2 3?2 3 ?? ? ?? n
2
所以 有a a a n a n1?2 3 ( 1) 12 ? ? ? ?3 ?? n?1 ? ? ?
n?12
两式 相减 ： n 12 anna n ???? n
4.已知 数列 2
? ?an 中，a1 ?1,对所 有的n?2都有a a a a n1 2 3? ? ? ? ?... n ，则an等于___.
?1， n?1
?
答 案 ：a ? 2
n ?? n ?
?? ? n?2,
??n?1?
解 析 ： 2
a a a a n1 2 3? ? ? ? ?... n
有 2
a a a a n1 2 3? ? ? ? ? ?... ( 1)n-1
2 ?1， n?1
?
两式 相除 ： ? n ? 2
an ?? ? 所以an ??? n ?
?n?1? ?? ? n?2,
??n?1?
5．已 知数 列 3 n n
? ?an 满足 ：a a a a a1 ? ? ? ? ? ?, 3 , 91 3n n n n?2 ?6 ，则a2015＝（ ）
8
2015 2 0 1 5 2015 2 0 1 5
A．3 3 3 3 3 3
? B． C． ? D．
2 2 8 8 2 2
答 案 ：B .
解 析 ：
由已 知 n
a an n?2 ? ?3 ①
n
a an n?6 ? ? ?91 3 ②
?
由① 可得 ； n 2
a an n? ?4 2? ?3 ③
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由①?③ 得：
n n
a an n?4 ? ? ?10 3 ，则a an n? ?6 2? ? ?90 3 ④
由②?④ 得：
n
a an n?2 ? ?3 ， ⑤
由① ⑤得 n 1 n
a an n?2 ? ? ? ?3 3 ，
8
则 1 n?2 1 n
an?2 ? ? ? ? ?3 an 3 ，
8 8
所以 1 12015 1
a2015 ? ? ? ? ?3 a1 3 0，
8 8
所以 1 2015
a2015 ? ?3 ，
8
故选B．
n 1 n?1 1
6.整数 列{ }an 满足a an n? ?1 1? ? ?3 ，a an n?2 ? ? ?3 ，a2 ?3，则a2 0 1 8 ?（ ）.
2 2
1010 1009 2019 2018
3 3? 3 3? 3 3? 3 3?
A． B． C． D．
2 2 8 8
答 案 ：C.
解 析 ： n 1 n?1 1 n 1
?a an n? ?1 1? ? ?3 ，a an n?2 ? ? ?3 ， ? ? ? ?a an n? ?1 1 3 ，
2 2 2
又由 数列 n
{ }an 为整 数列 ，故a an n? ?1 1? ?3 ，
即 3 5 7 2017
a a4 2? ?3 ，a a6 4? ?3 ，a a8 6? ?3 ，? a a2018 2016? ?3 ，
1008 2019
累加 得： 3 5 7 2017 27(1 9 ) 3 27? ?
a a2018 2? ? ? ? ? ? ? ?3 3 3 3 ?
1 9 8?
2019
3 3?
又?a2 ?3， ? ?a2018 ， 故选 ：C．
8
2 性 质
1.已知 数列? ? ? ?a bn n, 为等 差数 列， 若a b a b1 1 3 3? ? ? ?7 , 2 1，则a b5 5? ?_______
答 案 ：3 5
解 析 ：?? ? ? ?a bn n, 为等 差数 列
? ?? ?a bn n 也为 等差 数列 ? ? ? ? ? ?2? ? ? ? ? ?a b a b a b3 3 1 1 5 5
? ? ? ? ? ? ?a b a b a b5 5 3 3 1 12? ? ? ? 35
第 9 页 共 103 页
S S
2.在 等差 数列 12 10
? ?an 中，a1 ? ?2 0 0 8，其 前n项 和为Sn，若 ? ?2，则S2 0 0 8的 值等 于
12 10
（ ）
A.?2007 B.?2008 C.2 0 0 7 D.2008
答 案 ：B
S ? ?S
解 析 ：由 等 差 数 列 前n 项 和 特 征 2 n
S A n B nn ? ? 可 得 ? ? n
A n B， 从 而 可 判 定? ?为
n ? ?n
S S
等差 数列 ，且可 得公 差 n 1
d ?1，所以 ? ? ? ? ?? ?n d n1 2009，所以S n nn ? ?? ?2009 ，
n 1
即S2 0 0 8 ? ?2 0 0 8
A 7 1n? a
3.已知 n 1 1
? ? ? ?a bn n, 为等 差数 列 ，且前n项和 分别 为A Bn n, ，若 ? ，则 ?_____
B nn 4 27? b1 1
4
答 案 ：3
21
? ? ?a a
a a a a2 1 21? A 4
解 析 ： 11 11 1 21 2 21
? = ? ? ?
b b b b11 11 1 212 ? 21 B 3
? ?b b 21
1 21?
2
点 评 ：本 题 是 经典 考 题 ， 利 用的 等 差 数 列 中项 的 性 质 ， 倒 推回 去 的
A 7 1n? a
4.已知 n 5
? ? ? ?a bn n, 为等 差数 列 ，且前n项和 分别 为A Bn n, ，若 ? ，则 ?_____
B nn 4 27? b6
64
答 案 ： 71
An 7 1n?
解 析：本 题与 上题 进行 区分 ，通 项的 性质 利用 失败 ，所 以回 到形 式上，可 以把 ?
B nn 4 27?
上下 同时 乘以kn，即 2 2
n n ???? 274,7 knknBknknA ，
d 2 ? d?
又因 为等 差数 列的Sn ?an 1??? ?n，所 以可 得： 1 1 5 ??? 64,8,14 kakakd
2 ? 2?
a5 64
2 1 6 ??? 71,31,8 kakbkd ，所 以 ?
b6 71
第 10 页 共 103 页
4.在 等差 数列? ?an 中，a1 ? 0，若 其前n项 和为Sn，且S S1 4 8? ，那 么当Sn取 最大 值时 ，n
的值 为（ ）
A. 8 B. 9 C. 1 0 D. 11
答 案 ：D
解 析 ：
解 法 一：由S S1 4 8? 可得S S a a a1 4 8 9 1 0? ? ? ? ? ?? 1 4 0，可得a a a a1 1 1 2? ? ? ? ?0 1 1 1 2，
因为a1 ? 0，所 以a a1 1 1 2? ?0, 0，从 而S1 1最大
解 法 二 ：也 可 从Sn的 图 像出 发 ， 由S S1 4 8? 可 得Sn图 像 中n ?11是 对 称轴 ， 再 由a1 ? 0与
S S1 4 8? 可 判断 数列? ?an 的 公差d ?0，所 以Sn为 开口 向下 的抛 物线 ，所 以在n ?11处Sn取
得最 大值
?
5.已知 等比 数列 n 1
an的前n项和 为S tn ? ? ?2 1，则 实数t的值 为（ ）
A. ?2 B. ?1 C. 2 D. 0.5
答 案 ：A
解 析 ： 由 等 比 数 列 的 性 质 可 知 其 前 n 项 和 为 n
S A q An ? ? 的 形 式 ， 所 以
n?1 t n t
S tn ? ? ? ? ? ?2 1 2 1，即 ? ? ? ? ?1 2t
2 2
n?12
6.等比 数列? ?an 的前n项和 为Sn 3 ?? r ,则r的值 为（ ）
1 1 1 1
A． B．? C． D．?
3 3 9 9
答 案 ：B
解 析 ： 由 等 比 数 列 的 性 质 可 知 其 前 n
n 项 和 为 S A q An ? ? 的 形 式 ， 所 以
2 1n? 1 n 1
S r rn ? ? ? ? ?3 9 ，即r ??
3 3
7.设等 比数 列? ?an 的前n项和 记为Sn，若S S1 0 5: 1 : 2? ，则S S1 5 5: ?（ ）
3 2 1 1
A. B. C. D.
4 3 2 3
答 案 ：A
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解 析 ： 由 等 比 数 列 的 性 质 可 知 , ， ?? SSSSS 10155105 成 等 比 数 列 ， 令
1 3 3 3
5 10 ;1,2 510 1 1015 SSSSSSS 15 ?????????? ，S S15 5: : 2 =?
2 2 2 4
1 1
8.已知 等比 数列? ?an ， 2 ,aa 5 ?? ，则 数列? ?log2an 的前10项之 和是 （ ）
4 32
A．45 B．-35 C．55 D．-55
答 案 ：D
1 1 1
解 析 ： 3 aqq 1 ?????
8 2 2
an 1
log2 n ?log aa n? ?log212 2q loglog 2 ???? 1，所 以? ?log2an 是 以 a12 ? 1-log 为 首项 ，-1
an?1 2
? ??? 10110
为公 差的 等差 数列 ，S10 ? ?? 55
2
S S1 2 S S3 25
9.等 差 数 列 前n项 和 为Sn， 且S S2 5 2 6? ?0, 0， 则 数 列 , , , ..., 的 最 大 项 是 第
a a a a1 2 3 25
（ ）
A.1项 B.25项 C.24项 D.13项
答 案 ：D
解 析：S S a a a a a a a a a25 26? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0, 0 1 25 1 260, 0 0, 0 0, 013 13 14 13 14
所以 1 da ?? 0,0 ， ...?? aaa 1321 ，且 ...?? SSS 1321 ，所 以S13最大
10.设等 差数 列? ?an 的前n项和 为Sn,若S n S m m nm n? ? ?, ? ?，则 有Sm n? ? _ _ _ _ _ _
答 案 ： ?? nm )(
解 析 ： 2
S n S mm n? ?, ，可设 n ?? B nA nS
? 2
? ??? nBmAmS
则 m
? BnmA ?????
2 1)(
?? n ??? mBnAnS
所以 2
S A m n B m n m n A m n B m nm n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( ) ( )? ?
11.设 数 列{ }an ，{ }bn 都 是 正 项 等 比 数 列 ，Sn，Tn分 别 为 数 列? ?lgan 与? ?lgbn 的 前n项 和 ，
?
且Sn n 1
? ，则lo gb5 a5 ?（ ）.
T n n2
A．5 9 5 3
B． C． D．
3 5 9 5
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答 案 ：C.
解 析 ：设正 项等 比数 列{ }an 的公 比为q，设 正项 等比 数列{ }bn 的公 比为 p，
则数 列{ lg }an 是等 差数 列， 公差 为lgq，{ lg }bn 是等 差数 列， 公差 为lgp．
故 n n( 1)? n n( 1)?
S n an ? ? ? ?lg 1 lgq，同 理可 得T n bn ? ? ? ?lg 1 lgp，
2 2
n n( 1)? n?1
? n alog
Sn n 1 1? ? ? ?lg lg lgq a q1 n?1
又 ? ? 2 ? 2 ? ，
T n n2 n n( 1)? n?1 2n
n blog 1? ?lg log lgp b p1? ?
2 2
则 l g a
? ? ? ? ?5 l g a l g q1?4 S9 1 0 5
lo gb5 a5 ，
l g b l g b l g p T5 1?4 1 8 99
故选 ：C．
12.（2018学 年 浙 江 名 校 协 作 体 高 三 上 开 学 考9） 已 知 公 差 为d的 等 差 数 列? ?an 的 前n项 和
为Sn， 若 存 在 正 整 数n0， 对 任 意 正 整 数m， 有S Sn n m0 0? ?? 0恒 成 立 ， 则 下 列 结 论 不 一 定 成
立的 是（ ）
A.a d1 ?0 B. Sn 有最 小值 C.a an n0 0?1?0 D.a an n0 0? ?1 2 ?0
答 案 ：C.
解 析 ：因为 任意 正整 数m，有S Sn n m0 0? ?? 0恒成 立，
当 S Sn n m0 ? ?0, 0
0? 时， 有Sn0?1?0， 即an0?1?0，
由Sn0 ?0知：an中有 正数 项， 所以d a? ?0, 01 ，
所以a d1 ?0， Sn 有最 小值 Sn0或者Sn0?1，且a an n0 0? ?1 2 ?0，
当S Sn n m0 ? ?0, 0
0? 时，
所以 选C.
点 评 ：此题 主要 考察 等差 数列 的单 调性 、等 差数 列的 前项n和及 其最 值问 题.
3 构 造 数 列
3.1 构造等比数列
?
1.已知 数列? ?an 满足a1 ?1，a an n?1 ? ?2 1，若集 合M n n n t a n N? ? ? ? ?? ? ? ? ?1 1 ,n ?
中有3个元 素， 则实 数t的取 值范 围是__________.
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? ?5
答 案 ：?1, ?
? ?4
解 析 ：a an n?1 ? ?2 1，a an?1? ? ?1 2 1? ?n ，? ?an ?1 是以 首项 为2公比 为2的等 比数 列，
?
得 n n
an ? ?2 1 a1 ?1符合 上式 ，故an ? ?2 1，M n n n t a n N? ? ? ? ?? ? ? ? ?1 1 ,n ?即
n n n? ??1 n n? ??1 ?
n n t? ?? ? ?1 2 ， n ?t ，令g n( ) ,? ?n N ，
2 n
2
3 3 5 1 5
g g g g g(1) 1, ( 2 ) , (3) , ( 4 ) , (5)? ? ? ? ? 开始 逐渐 递减 ， 集合
2 2 4 1 6
? ? ?5
M n n n t a n N? ? ? ? ?? ? ? ? ?1 1 ,n ?中有3个元 素， 则t??1, ?
? ?4
*
2. 已知 数列? ?a ?
n 中，a1 ? ?1，a a nn n?1 ? ? ?2 3 1（n N ），则 其前n项和Sn ? .
?
答 案 ： n 2 23 7
2 ? ? ?n n 4
2 2
解 析 ：设a x n y a xn yn?1? ? ? ? ? ?? ?1 2? ?
n ，则a a xn y xn n?1 ? ? ? ?2
?x?3 ?x?3
所以? ，解 得?
?y x? ? ?1 ?y?2
即a nn?1? ? ? ? ? ?3 1 2 2 3 2? ? ? ?a nn
?? ?a nn ? ?3 2 是首 项为4，公 比为2的等 比数 列.
n?1 n?1
?a nn ? ? ? ?3 2 4 2 ，即a nn ? ? ?2 3 2
2 3 n?1
?Sn ? ? ? ? ? ? ? ? ??2 2 2 5 8 3 2? ? ? ? n ?
n
4 1 2? ?? n n? ?5 3 2? ?
? ?1 2 2?
n?2 23 7
? ? ? ?2 n n 4
2 2
3.设 数列 *
? ?xn 的 各项 都为 正数 且x1 ?1，△A B C内 的点P n Nn? ?? 均 满足△P A Bn 与△P ACn
???? ???? ???? ?
的面 积比 为 1
2 : 1，若P A x P B x P Cn ? ? ? ?n n?1 ? ?2 1 0n n ,则x4的值 为（ ）
2
A.15 B.17 C.29 D.31
答 案 ：A .
第 14 页 共 103 页
???? ???? ???? ? ?
解 析 一 ：由 奔 驰 定 理 2 1x 2
S P A S P B S P C?P BC n P AC n P AB nn ? ? ??n ?n 0,知 n ? ，
1x 1
n?1
2
得： n
x xn n?1? ?2 1，即x xn?1? ? ?1 2 1? ?n ，解得 ：xn ? ?2 1,
所以 4
x4 ? ? ?2 1 1 5.
解 析 二 ：设D为B C边上 的靠 近点C三等 分点 ，如 图所 示，
由题 意知 点Pn在线 段AD上，
? ???? ???? ???? ???? ???? ????
由 1 1 ???? ????
0? ? ? ? ? ? ? ? ? ?P A x P B x P C P A x P A A B x P A A Cn n n?1 ? ?2 1n n n n n?1? ? ? ?2 1n n? ?
2 2
? ?1 ???? ???? ???? ????1
? ? ? ? ? ? ?? ?1 x P A x P A x AB x ACn n?1 ? ?2 1n n n?1 ? ?2 1n ,
? ?2 2
???? ???? ????
故1x A B x A Cn?1 ? ?? ?2 1n 与P An 共线 ，
2
所以2 1xn ? 2
? ，
1x 1
n?1
2
即 n
x xn?1? ? ?1 2 1? ?n ，解得 ：xn ? ?2 1,
所以 4
x4 ? ? ?2 1 1 5.
点 评 ：此 题 主 要 考 察 向 量 的 加 减 运 算 、 向 量 基 本 定 理 ， 奔 驰 定 理 及 运 用 待 定 系 数 法 求 数 列
通 项 公 式.
???? ???? *
4． 如 图 ， 已 知 点D为△ABC的 边 BC上 一 点 ，BC DC?3 ，E n Nn? ?? 为 边AC上 的 一 列
????? ????? ?????
点，满足 1
E A a E B a E Dn ? ? ?n n?1 ? ?3 2n n ，其中 实数 列? ?an 中，a an ? ?0, 11 ，则a5 ?（ ）．
4
A.46 B.30 C.2 4 2 D.161
第 15 页 共 103 页
答 案 ：D．
解 析 ：
???? ???? ???? ????
因为 4
BC DC?3 ，则BC BD? ，
3
????? ????? ???? ????? ???? ????? ????? ????? ????? ?????
所以 4 4 1 4
E C E B BC E B BD E B E D E B E B E Dn n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n n ? ?
n n n n ，
3 3 3 3
????? ?????
设m E C E An n? ，
????? ????? ?????
所以 1 4
E A m E B m E Dn ? ? ?n n ，
3 3
????? ????? ?????
又因 为 1
E A a E B a E Dn ? ? ?n n?1 ? ?3 2n n ，
4
?1 1
? a mn?1 ? ?
?
所以 4 3
? ，
? 4
? ? ?? ?3 2a m
? n
? 3
即a an n?1 ? ?3 2，
所以a an?1? ? ?1 3 1? ?
n ，
又a1? ?1 2，
所以 数列? ?an ?1 表示 以首 项为2，公 比为3的等 比数 列，
?
所以 n 1
an ? ? ?1 2 3 ，
?
则 n 1
an ? ? ?2 3 1，
所以a5 ?161，
故选D．
5.已 知 函 数 y f x? ? ? 的 定 义 域 为 ? ?0,?? ， 当 x?1 时 ， f x? ??0 ， 对 于 任 意 的
x y, 0,? ??? ? ， f x f y f xy? ? ? ? ? ?? ? 成 立 ， 若 数 列 ? ?an 满 足 a f1 ? ? ?1 ，
*
f a? ?n?1 ? ? ?f a n N? ?2 1n ? ?,则a2 0 1 7的值 为（ ）
2 0 1 4 2 0 1 5 2 0 1 6 2017
A. 2 1? B. 2 1? C. 2 1? D. 2 1?
答 案 ：C.
解 析 一 ：由 f x f y f xy? ? ? ? ? ?? ? 得 f ? ?1 0? ，
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x
设 2
x x x x1 2, 0, ,? ?? ?? ? 1 2，所 以 ?1，
x1
? ? ? ?x x2 ? ? ?2 ? ?x2
f x f f x? ? ? ?1 ? ?1 ，所 以 f x f x f? ? ? ?2 ? ? ?1 ? ? 0，
? ? ? ?x x1 1 ? ?x1
所以 *
y f x? ? ?是? ?0,?? 的增 函数 ，且 f a f a n N? ? ? ?n?1 ? ? ?2 1n ? ?，
所以a an n?1 ? ?2 1，即a an?1? ? ?1 2 1? ?n ，
?
解得 ： n 1 2006
an ? ?2 1， 所以a2017 ? ?2 1.
解 析 二：（模 型法 ）由 已知 可构 造对 数函 数 f x x a? ? ? ?? ?log 1a ，
因为 *
f a f a n N? ? ? ?n?1 ? ? ?2 1n ? ?，
所以a an n?1 ? ?2 1，即a an?1? ? ?1 2 1? ?n ，
?
解得 ： n 1 2006
an ? ?2 1， 所以a2017 ? ?2 1.
点 评 ：此题 主要 考察 待定 系数 法求 数列 通项 公式 和数 列单 调性.
x 1
6.（2019届 永康5月 模拟10）已 知数 列 1
? ?xn 满 足x2 ， n n?1 n?2 nxxx ???? ?.4,3),2(
3 3
若对 任意 的 * 3
n ?? 都有 xn 3 ?? ,则x1 ?（ ）
n
9
A．3 B． C．5 D．6
2
答 案 ：C
解 析 ：
1 1
由 n n?1?? xxx n?2)2( ， 不 妨 设 ?xx nn ?1 ( )( n?1???? ?? xx n?2)展 开 后 与 原 式 对 照 ， 解
3 3
2 2
得? ?? 1或?? ，下 面不 妨取??
3 3
2 2
进而 可得 nn ?1 ( n?1 n? )???? xxxxx 12
3 3
2 3
构造xn ? xn?1???? ?)( ，与 上式 对照 ，得? ?? x1
3 5
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3 2 2 ?
故 n 1
n xxx 11 (???? ) ，整 理得 ，
2 2 ? 3
5 5 3 n 1
n xx 1 ( ) ???? x1
5 3 5
2 2 ?
则 n 1 3
x1 ( ) ??? x1
5 3 5
若对 任意 的 * 3 3 3
n ?? 都有 xn 3 ?? ,得 xn 3????
n n n
23 2 ?1 3 3
也即 n
x1 ( ) x1 3??????? ，整 理得
n 5 3 5 n
3 3
3? 3?
n x n
1 ??
2 2 n?1 3 2 2 n?1 3
( ) ??? ( ) ???
5 3 5 5 3 5
3 3
3? 3?
当n ??? 时， lim n ?
??? 5， lim n ?5
n 2 2 n?1 3 n ??? 2 2 n?1 3
( ) ??? ( ) ???
5 3 5 5 3 5
故x1 ?5
故答 案选C.
7.（2019 届 衢 州 二 中 第 一 次 模 拟 16） 在 数 列 ? ?an 及 ? ?bn 中 ， 1 ，ba 1 ?? 11 ，
22 22 n? 11 ?
?1 ???? babaa nnnnn ， ?1 ???? babab nnnnn ．设cn 2 ? ?? ?，则 数列
? ? ? ?cn
? ba nn ?
的前n项和 为 ．
?
答 案 ： n 2 ?42 。
解 析 ：因为 22 22
?1 ???? babaa nnnnn ， ?1 ???? babab nnnnn ， 1 ，ba 1 ?? 11 ，
所以 nn ?? 11 nn )(2， bababa 11 ????? 2，
所以 n
ba nn ?? 2 ；
另一 方面 222
nn ?? 11 nn nn ????? 2)()( nn， bababababa 11 ?1，
?
所以 n 1
ba nn ?2 ；
n
? 11 ? ?ba 2 ?
所以 n n nn n n 1
cn 2 ? ?
? ?? ? 2 ?? 2 n?1 ??? 2
? ba nn ? ba nn 2
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n
? )21(4 ?
则数 列 n 2
? ?cn 的前n项和Sn ? ?? 42 .
?21
8.（2019 届 浙 江 名 校 联 盟 第 二 次 联 考 17） 若 t 3
b b b n N n t R1 ? ? ? ? ? ?2, n n?1 ( * 2, )且 ,若
4 4
bn ?2 对任 意n N? *恒成 立， 则实 数t的取 值范 围是 ．
? ?
答 案 ： ，5
? ??4
? ?2
解 析 ： 由 题 意 得 t t3 3 t 3 11 5
b b2 1? ? ? ? ， 由 ? ? ? ?2 2 ， 得 ? ? ?t ；
4 4 2 4 2 4 2 2
2 2
t t t3 3 3 t t3 3 5 5
b b3 2? ? ? ? ? , ? ? ? ? ?2 2 ,得 ? ? ?4 t .下 面 证 当 ? ? ?4 t 时 ，
4 4 8 16 4 8 1 6 4 2 2
t 3 3 t ? ?3
bn ?2 对 任 意n N? *恒 成 立 ， 由b bn n? ??1 ， 得bn ? ? ?? ?bn?1 ， 所 以 数 列
4 4 t?4 4 4? ?t?
n?1
? ?3 3 2 5t? t 3 2 5t t? ? ?
? ?bn ? 是首 项为2? ? ，公比 为 的等 比数 列，所以bn ? ? ? ? ，
? ?t?4 t t? ?4 4 4 t t? ?4 4 4? ?
n?1 n?1
? ? ? ?
即 2 5 3t t? ? 2 5 3t t? ? 2 5 3 2 8t t
bn ? ? ? ? ，则有 bn ? ? ? ? ? ? ? ?2，综上
t?4 4 4? ? t? t?4 4 4? ? t? t t t? ? ?4 4 4
? ?
所述 ，实 数 5
t的取 值范 围是? ??4， .
? ?2
3.2 构造差数列
1.已 知 数 列? ?an 的 前n项 和 为Sn，a1 ?1，S2 ?2， 且a Sn n? ?1，??an?1（??0），Sn?2成
a a? ?
等差 数列 ，则 数列 n n2
? ?2 的前n项和Tn的表 达式 为 .（用 含有?的式 子表 示）
? 3n?
4 1 4?
答 案 ： ? ?
3?
1 4?
解 析 ：? a Sn n? ?1，??an?1（??0），Sn?2成等 差数 列
?2 2?? ? ? ?a a S Sn n n n?1 ? ?1 2，即2 2?? ? ?a a an n n?1 ?2，从 而a a a an n? ?2 1? ? ? ?2? ? ?
n n?1
（ 当 数 列中an较 多 ， 或者 出 现kan时 ， 可 尝试 构 造 关 于an的 差 数 列）
令b a an n n? ??1 ，则b bn n?1 ? ?2?，所 以? ?bn 是首 项为0，公 差为2?的等 差数 列
?b nn ? ?2 1?? ?
?a a nn n?1? ?= 2 1?? ?，a a a a nn n? ?2 1? ? ? ? ?2? ? ?
n n?1 2?
则a a a a a a nn n n n?2 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?2 1 n n?1 2 2 1?? ?
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? a an n?2? 2 2 1 2 1?? ? ? ?n? ? n?
2 2 4? ?
a a? ?
数列 n n2 ? 2?
? ?2 是首 项为4 ，公 比为4 的等 比数 列.
?? ?2? n
4 1 4? ? 2n?
? ? ?? ?? ? 4 1 4? ??
Tn ? 2? ? 2?
1 4 1 4? ?
2.已 知 数 列? ?an ，? ?bn 满 足a b a a b b a b1 1? ? ? ? ?1, 2 , +n n n n n n?1 ?1 ， 则 下 列 结 论 正 确 的 是
（ ）
A.只 有 有 限 个 正 整 数n 使 得a bn n? 2 B. 只 有 有 限 个 正 整 数n 使 得a bn n? 2
? ?? ?a
C.数列 n
? ?a bn n? 2 是递 增数 列 D. 数列? ?? 2 是递 减数 列
? ?? ?bn
答 案 ：D.
解 析 一 ：由 b a bn n n?1? + 得：a b bn n n? ??1 ，代 入a a bn n n?1? ?2 中得 ：
b b bn n n? ?2 1? ? ?2 0，
设b b b bn n? ?2 1? ? ?? ? ?? ?n n?1 ，整 理得bn?2 ? ? ?? ?? ? ? ?b bn?1 n，
（ 此 种 形式 多 用 于 出 现三 项 递 推 的 时候 ， 斐 波 那 契 数列 公 式 的 推 导也 是 这 样 ）
?? ?? ?2 ???? ?2 1 ???? ? ?2 1
所以? ，解 得：? 或? ，
?? ?? ?1 ???? ? ?2 1 ???? ?2 1
???? ? ?2 1
取? 得：b b ? ?
n?2+ 2 +1 2 1 + 2 +1 ，
? ?
n?1 ? ?? ? b b
? n?1 ? ?
n?
???? ?2 1
2 n 2 n
解得 ：bn= 1 + 2 1 2 ，
? ? ? ?? ?
4 4
1 1n n
an= 1+ 2 1 2 ，
? ? ? ?? ?
2 2
n
所以a bn n? ? ?2 1 2 ，
? ?
当n偶数 时，a bn n? 2 ，当 奇数 时，a bn n? 2 ，
n
an ? ?1 2?
? ?2 ，因 为b b an n n?1? ? ?0，所 以? ?bn 是递 增数 列，
bn bn
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? ?n
? ?? ?1 2?
又因 为? ?是递 减数 列，
? ?bn
? ?
? ?? ?a
所以 数列 n
? ?? 2 是递 减数 列.
? ?? ?bn
解 析 二：（ 利 用 选项 直 接 构 造 ）
a b a b a b a bn?1? 2 = +2 2 2 1 2 2 2 1 2 2n n n n n+1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?
n ? ?
n ? ?? ?a bn n ，
a b? 2 n?1
所以 n?1 +1n ? ?2 1，得 ：a bn n? ? ?2 1 2 ，
? ?
a bn n? 2
当n偶数 时，a bn n? 2 ，当 奇数 时，a bn n? 2 ，
n?1
a bn n? ? ?2 1 2 ，所 以数 列 是递 减数 列，
? ? ? ?a bn n? 2
所以 排除A、B、C.
点 评 ：此题 主要 考察 数列 求和 、待 定系 数法 求数 列通 项公 式、 数列 单调 性.
3.在 数列? ?an 中 ，a1 ?2，若 平面 向量bn= ? ?2, 1n? 与cn= ?? ? ?1 ,a a an n n?1 ?平 行，则? ?an 的
通项 公式 为 .
2
2 3 1n n? ?
答 案 ：an ? 3
解 析 ：由 题 意 可 知2 1 1a n a an ? ? ? ? ?? ? ?
n n?1 ?（ 此 时 化 简 为 n n?1 nanan ????? )1()1()3( 并 不
能 继 续 求通 项 ， 所 以 采取 逐 差 ）
当n?2，2 1a n a an?1 ? ? ? ??
n n?1?
两式 相减 得? ? ? ? ? ?2 3 1 2 1n a n a n a? ? ? ? ? ?n n?1 n?1
? ? ? ? ? ?2 5 1 3 2n a n a n a? ? ? ? ? ?n+1 n n+2
两式 相减 化简 得? ? ? ? ? ?a a a a a an n n n? ?2 1? ? ? ? ??1 2 n n?1
28
而计 算得 出a , a , a1 2 3? ? ?2 5 3
4
故数 列? ?a an n?1? 是以3为首 项， 为公 差的 等差 数列
3
1
a a nn n? ? ??1 ? ?4 5
3
第 21 页 共 103 页
2
2 3 1n n? ?
用累 加法 求得an ? .
3
4.已知 数列? ?an 的前n项和Sn满足S S S S nn n n n?1 ? ? ? ? ?3 3 2 3? ?1 2 ? ?，且
a a a1 2 3? ? ?3, 8, 15,，则an ?____________.
答 案 ： 2
n n?2
解 析 ：由S S S S nn n n n?1 ? ? ? ? ?3 3 2 3? ?1 2 ? ?,可得a a a a nn n n n?1? ? ? ? ??1 2 3? ?
令b a a nn n n? ? ??1? ?3 ，b3 ?2，a a nn n? ? ??1 2 1 经检 验n?2也符 合上 式， 累加 可得
2 2
a n nn ? ?2 a1 ?3符合 上式 ，故a n nn ? ?2
5.已知 数列 n
?an?的前n项的 和为Sn，a a1 2? ?1, 3,且S S S nn n? ?1 1? ? ? ?2 2 ( 2 ),n 若
?
? ? ?( ) 7 ( 2 )S an n? ? ? ? ? n对任 意n N? 都成 立， 则实 数?的最 小值 为
3
答 案 ：32
解 析： n n n n
?S S S S S S S a an n? ?1 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 ,n n n n n? ? ? ??1 ?1 2 n n?1 2 ,an ? ?2 1
n?1 n 2 7n? 2 7n?
Sn ? ? ?2 2 n? ? ? ? ? ? ? ? ??( 2 1) 7 ( 2 )n ? ? ?n n ? ?bn n
2 2
?
? 2 5n 2 5n? 2 7 9 2n n? ?
bn?1 ? ?
n?1 bn?1? bn ? n?1 ? ?n n?1 ? ? ? ? ?b b b b b1 2 3 4 5,
2 2 2 2
3 3
? ? ? ? ?b b b b b9 8 7 6 5,?bn的最 大项 是b5 ? ?实数?的最 小值
32 32
6.已知 数列?an?中 1 n?1 n ???? nannaa ,)2(,1 求数 列?an?的通 项公 式
答 案 ： ? 2
n na
a a a
解 析：同时 除以 n?1 n 1 n 1 1
nnn ?? )2)(1( ， ? ? ? ? ?
nn ?? ? )1()2)(1( nnnn ?? ? )1()2)(1( ?1 nnnn ?2
an?1 1 an 1
? ? ?
?? )2)(1( nnn ? ? )1(2 nnn ?1
? ?
所 以 数 列 an 1 an 1 a1 1 2
? ? ?是 常 数 列 ， 且 ? 1 n ????? na ， 验 证 首 项 成
? ? )1( nnn ?1? ? )1( nnn ? 21 2
立， 所以 ? 2
n na
第 22 页 共 103 页
? ?
点 评 ：把 an
? ?看 成 新 数列 累 加 也 可 以
? nn ? )1( ?
1 2 *
7. 已 知 数 列?an?的 前n 项 的 和 为Sn ， 满 足a1 ?? ,且 aa nn ?1 ?? 2 ?Nn )( ， 则
2 ?2nn
S2n ?_____an ?_______
答 案 ： ? 2
n na
2 2 n? )1(2 1 1
解 析： aa nn ?1 ?? 2 ? ? aa nn ?1 ??? ?
?2nn nn ? )2( nnn ?? )2)(1( ? )1( nnnn ?? )2)(1(
1 ? 1 ?
an ?? ??an?1??? ??
nn ? )1( ? nn ?? )2)(1( ?
? 1 ? 1
所 以 ?an ? ? 是 以 a ??? 1 为 首 项 ， 以 -1 为 公 比 的 等 比 数 列 ，
? nn ? 1
)1( ? 2
1 n n 1
an ? an )1()1( ??????
nn ? )1( nn ? )1(
1 2n
S2n 10 ??? ?
n?12 n?12
点 评 ：也 可 分 奇偶 讨 论
?np
8.已知 数列?an?的前n项的 和为Sn，an ? 24 ,且Sn ? ,3 则P的最 大值 为（ ）
nn ?? 1
A.5.5 B.6 C.6.3 D.6.5
答 案 ：B
?np 1 ? 1 1 ?
解 析 ：an ? 24 p ??? ? 2 ? 2 ?
nn ?? 1 2 ? ?? 1 nnnn ?? 1?
p? 1 ?
所以Sn ?1?? 2 ? 3 Pmax ??? 6
2? nn ?? 1?
点 评： 此 题 裂项 不 是 很 好 想， 要 慢 慢 积 累经 验 ， 观 察 形 式
3.3 取倒类等差
1 9
1.在 公差 不为0的 等差 数列 中，a a a a1 5? ? ?p q ，记 ? 的 最小 值为m；若 数列? ?bn
p q
2 2 1b bn n?1? s
满 足 ?
bn ?0 ，b m1 ? ，bn?1是1 与 2 的 等比 中项，若bn ? 对 于任 意n N?
11 4?bn 2
恒成 立， 则s的取 值范 围是____________.
第 23 页 共 103 页
答 案 ：? ???, 1
1 9 1
解 析 ：因为a a a a1 5? ? ?p q所以 p q? ?6 ? ? ?( )p q 又因 为 p q, 都是 正整 数，
p q 6
1 9 11 2 1
所以 p q? ?2, 4 时候 ? 的最 小值m? ，b m1 ? ? ；
p q 4 1 1 2
2 1b bn n?1? 2 2 1b bn n?1?
bn?1是1 与 2 所以bn?1 ? 2 化简 可得
4?bn 4?bn
2
? ? ? ?2 2 2 1 0? ? ? ? ?b b b b bn?1 n n n n?1 ?1 可得?2b b b b b bn n n? ?1 1? ? ? ? ?1 2? ? n n n? ?1 1 1 0?
1
又因 为公 差不 为0正项 数列 ，所 以2b b bn n n? ?1 1? ? ?1 0，化 简可 得bn?1 ? 2?bn
1 1 1 1
x? 解得x?1 化简 可得 ? ?1， ? ?2，
2?x b bn?1? ?1 1n b1?1
1 n n s 2
? ? ? ? ? ? ? ?2 1 1 1? ? ? ?n n ，bn ? bn ? ? 即2? ? s s?1
bn ?1 n?1 n?1 2 n?1
s?1 s 的取 值范 围是???, 1?
点 评 ：计算 通项 的时 候也 可用 数学 归纳 法
???? ????
2.如 图 ， 点 D 为△ABC 的 边 BC 上 一 点 ， BD DC?2 ， E n Nn? ?? 为 AC 上 一 列 点 ， 满 足
????? ????? ?????1
E A a E D E Bn ? ? ?? ?4 1n n n ， 其 中 实 数 列 ? ?an 满 足 4 5 0an ? ? ， 且 a1 ?2 ， 则
4 5an?1?
1 1 1? ? ? ?? .
a a a1 2? ? ?1 1 1n
n?1
答 案 ：3 3? ?2n
2 2
????? ????? ?????1 2
解 析 ：E D E B E Cn ? ?n n
3 3
????? ????? ????? ??????3 1 ?
设E A E C E D E Bn ? ? ?? ?n ? n n ?
?2 2 ?
第 24 页 共 103 页
3
4 1an ? 2
结合 题意 可知 ? ?
1 1
4 5 2an?1?
5 2an ? 1 3 1 ? ?1
整理 可得an?1 ? ， ? ?4， +2 3 2? ?? ?
4 1an ? a an?1? ?1 1n an?1?1 ? ?an ?1
? ?1
故数 列? ?+2 是以3为首 项，3为公 比的 等比 数列
? ?an ?1
1 1
? ? n n
2 3 ， ? ?3 2
an ?1 an ?1
n
1 1 1 ? n?1
? ? ? ? 3 1 3
? 2 n ? ? 3 3
? ? ? ? ? ? .
a a a 3 3 3 2+ + + n? 2 2n n
1 2? ? ?1 1 1n ? ? 1 3 2 2?
1 1
3. 已 知数 列 2 *
? ?an 满 足a1 ?1，a a an n n? ?? ?1 12 （n?2），若bn ? ? （n?N ），则 数
a an n?1 ?2
列? ?bn 的前n项和Sn ? .
1
答 案 ：Sn ? ?1
2n?1
2
解 析 ：当 2
n?2时，a a an n n? ?? ?1 12 ? ? ?a a an n n? ?1 1? ?2
1 1 1 1 1? ?
? ? ? ?? ?
a a an n n? ?1 1? ??2 2?a an n? ?1 1?2?
2 1 1
? ? ?a a an n n? ?1 1 ?2
1 1 1 1
? ? ? ? ，
a a a an n?1?2 n n?1
所以 当 * 1 1 1 1 1 1
n?N 时， ? ? ? ，即bn ? ?
a a a an n?1 ?2 n n?1 a an n?1
? ?1 1 1 1 1 1 1 1 1? ? ? ?
所以Sn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? 1
? ?a a a a a a a a a1 2 2 3? ? ? ?n n?1 1 1n? n?1
由 2 2
a a an n n? ?? ?1 12 ，a an ? ? ?1 1? ?
n?1 ，对 此等 式左 右两 边取 对数 ：
lg 1 2 lg 1? ? ? ?a an ? ? ?n?1
所以? ?lg 1? ?an ? 是以lg 2为首 项，2为公 比的 等比 数列
n?1 n?1
故lg 1 lg 2 2 2
? ?an ? ? ? ，从 而an ? ?2 1
第 25 页 共 103 页
1 1
所以Sn ? ? ? ?1 1
2n?1 .
an?1 2
? ?
4.首 项为1的 数列 2 1
{ }an 满 足： 当n?2时 ，a a an n n? ?? ?1 1， 记数 列? ?的 前n项 和为Pn，
? ?1?an
前n项积 为Qn，则P Qn n? ?
答 案 ：1．
解 析 ：首项 为1的数 列 2
{ }an 满足 ：当n?2时，a a an n n? ?? ?1 1，
所以 2 1 1
a a a a an n n n n?1 ? ? ? ?( 1)，故 ? ，
a a an n n?1 ( 1)?
即 1 1 1a 1 a
? ? ?n ，由 ? n ，可 以求 得
1?a a a an n n n?1 ?1 1?a an n?1
1 1 1 a a1 2 an 1
Qn ? ? ? ? ? ?? ，
1 1 1? ? ?a a a a a a a1 2 n 2 3 1 1n n? ?
所以 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Pn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ，
1 1 1? ? ?a a a a a a a a a a1 2 n 1 2 2 3 n n?1 n?1
所以 1 1
Q Pn n? ? ? ? ?1 1．
a an?1 n?1
故答 案为 ：1
5.（2019 届 嵊 州 5 月 模 拟 10） 已 知 数 列 2
? ?an 中 ， a1 ?2 ， a a an n n?1 ? ? ?1 ， 记
1 1 1 1 1 1
An ? ? ? ?? ，Bn ? ? ? ?? ，则 （ ）
a a a1 2 n a a a1 2 n
A.A B2019 2019? ?1 B.A B2019 2019? ?1
1 1
C.A B2019 2019? ? D.A B2019 2019? ?
2 2
答 案 ：C
解 析：因为 2 2 2
a a an n n?1 ? ? ?1，所以a a a a an n n n?1? ? ? ? ? ? ?2 1 ( 1) 0n ，所以a an n?1 ? ? 2，
因为 1 1 1 1 1 1 1
a a an?1? ? ?1 ( 1)n n ，所 以 ? ? ? ，所 以 ? ? ，
a a a a an?1? ? ?1 ( 1) 1n n n n a a an n ? ?1 1n?1
所以 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
An ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 1 ，
a a a a a a a a a a1 2 n 1 2? ? ? ? ? ? ?1 1 1 1 1 1 12 3 n n?1 n?1
所以 1 1 an ?1
A2019 ? ?1 ，因 为a a an?1? ? ?1 ( 1)n n ，所 以 ? ，
a2020 ?1 a an n?1?1
第 26 页 共 103 页
a a
所以 1 1 1 1 2? ?1 1 an ?1 a1?1 1 1
Bn ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ，所 以B2019 ? ，
a a a a a a a a1 2 n 2 3? ? ? ? ?1 1 1 1 1n?1 n?1 n?1 a2020 ?1
A B2019 2019? ?1，故A，B不正 确 ，由a1 ? 2可依 次求 的a2 ?3，a3 ?7，由a an n?1 ? ? 2，
1 1 2 1 2 1
a a2 0 2 0 ? ? ? ?1 1 63 ，所 以 ? ，A B2019 2019? ? ? ? ? ? ?1 1 ，
a2020 ?1 6 a2020 ?1 3 3 2
故答 案选C.
点 评 ：本 题 难 点在 于 对 2
a a an n n?1 ? ? ?1的 变 形 ，找 到An和Bn.
2 ?
6.（2019届 诸暨5月 模拟17）已 知数 列? ?an 的 各项 都是 正数 ，a a a n Nn n n? ?1 1? ? ?? ? ．若
n?1
2 ? ??1
数 列? ?an 各 项单 调递 增，则 首项a1的 取值 范围 是 ；当a1 ? 时 ，记bn ? ，
3 an ?1
若k b b b k? ? ? ? ? ?1 2 ? 2019 1，则 整数k? ．
答 案 ：?4.
解 析： 2
a a a a a an n n?1? ? ? ? ? ? ??1 2 2 0n n? ?1 1? ?
n?1 ,得0 2? ?an?1 ，故a1?? ?0, 2 .
由 2 ? 1 1 1
a a a n Nn n n? ?1 1? ? ?? ?两边 取倒 数可 得： ? ? ，所 以
a a an?1?1 n n?1
1 1 1 1
b b b1 2? ? ? ? ? ? ? ?? 2019 ...
a a a a1? ? ?1 1 12 3 2019 ?1
? ?1 1 1 1 1 1 1 1? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3 ? ? ? ? ? ? ?... ?
? ?a a a a a a a a1 2 2 3 3 4? ? ? ? ? 2018 2019 ?
9 1
? ? ?2 a2019
又 2 ? ?
a1 ? ，数 列 2
? ?an 单调 递增 ，所 以 1 1 3? ?
a2019?? ?, 2 ，则 ?? ?, ，则
3 ? ?3 a2019 ? ?2 2
9 1
b b b1 2? ? ? ? ? ? ? ? ?? 2019 ? ?4, 3 ，故 整数k ? ?4.
2 a2019
点 评 ：取 倒 数 合 理 变 形 ，累 加 化 简 ，将bn的 前2019项 和 表 示 为a2019的 函 数 ，结 合 单 调 性 求
出a2019的 取 值 范围 ， 可 得bn的 前2019项 和 的 取值 范 围 ， 从 而得 到k的 值.
2 0 1 7
1 1
7.已 知数 列 *
{ }an 满 足a a1 2? ? ，a a a n N nn n n?1 ? ? ? ?2 ( , 2 )?1 ，则? 的 整数 部分 是
2 i?2 a ai i? ?1 1
第 27 页 共 103 页
（ ）
A．0 B． 1 C．2 D．3
答 案 ：B
1 1 1 1
解 析 ：由a a an n n?1 ? ?2 ?1，得2a a an n n? ?? ?1 1，即 ? ?( )，即
a a a a an n? ?1 1 2 n n n? ?1 1
1 1 1 1 1 1 1? ? ? ?( ) ( )，所 以
a a a a a a a a ai i? ?1 1 2 i i i? ?1 1 2 i i i i?1 ?1
2 0 1 7 1 1 1 1 1 1 1 1
? ? ? ? ? ? ? ?( ? )
i?2 a a a a a a a a a a a a a ai i? ?1 1 1 2 2 3 2 3 3 42 2 0 1 6 2 0 1 7 2 0 1 7 2 0 1 8 ，
1 1 1 1 1 1
? ? ? ? ? ? ?( ) ( 4 ) 2 2
2 a a a a1 2 2 0 1 7 2 0 1 8 2 a a a a2 0 1 7 2 0 1 8 2 2 0 1 7 2 0 1 8
1 1
因为a a1 2? ? ，a a an n n?1 ? ?2 ?1，所 以a a2017 2018? ?1, 1，则0? ?1，
2 a a2 0 1 7 2 0 1 8
2 0 1 7 2 0 1 7
1 1
所以1? ?? 2，所 以则? 的整 数部 分是1．故 选B．
i?2 a ai i? ?1 1 i?2 a ai i? ?1 1
4 ? 1 1 1
8. 数 列 2
? ?an 满 足a1 ? ，a a a n Nn n n?1 ? ? ? ?1? ? ， 则 ? ? ?? 的 整 数 部
3 a a a1 2 2017
分是____________.
答 案 ：2
2
? ?1 3 4
解 析 ： 2 2
a a a an n n?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ?n ，a1 ? ，数 列? ?an 单调 递增a a an n n?1 ? ? ?1
? ?2 4 3
1 1 1 1 1 1
a a an?1? ? ?1 1n n? ?， ? ? ，累 加 ? ? ? 3，
a a an n n? ?1 1?1 a a a2017 1 2018? ?1 1
1 1 1? ? ?? 的整 数部 分是2
a a a1 2 2017
n a n 1
9.已知 数列 n *
{ }an 中a a1 = =2, n+1 ( ),n N? 则? = _ _ _ _ _ _ .
n a+ +1 2 n k=1ak
2
n n+
答 案 ： ;
4
n a 1 n a+ +1 2 n+1 2
解 析 ：因为 n n
an+1 = ,所以 = = + ,
n a+ +1 2 n a n a n a nn+1 n n
1 1 2 1 1 2 1 1
即 = + ,即 - = = -2( )
( 1)n a na n n+ n n+1 ( 1)+ ( 1)n a na n n n n+ n n+1 ( 1) 1+ +
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1 1 1 1- = -2( )
na n a n nn ( 1) 1- n-1 -
1 1 1 1- = -2( )
所以( 1) ( 2 ) 2 1n a n a n n- -n-1 n-2 - -
?
1 1 1 1- = -2( )
2 1 2a a2 1
累加 得：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2- = - + - + - = - = -2 ( ) ( ) ( ) 2(1 ) 2? ；
na an 1 1 2 2 3 1n n n n-
1 1 2 5 2
所以 = + - = -2 ;
na a n nn 1 2
1 5 2 5n
所以 = - = -n( ) 2;
a nn 2 2
n 1 1 1 1
? = + + +?
k=1a a a ak 1 2 n
5 5 2 5 n
= - + - + + -( 2 ) ( 2 ) ( 2 )?
2 2 2
5 5 2 5 n
= + + + -( ? ) 2n
2 2 2
5 ( 1) 1n n-
= + ? -n 2n
2 2 2
2
n n+
= 4
2
n n+
故答 案为 ： ;
4
10.用 3
[ ]x 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 ， 如[1.3] 1? ，[ 1.3] 2? ? ? ， 数 列{ }an 满 足 a1 ? ，
2
1 1 1
a a a n Nn?1? ? ? ?1 ( 1) ( * )n n ， 若Sn ? ? ? ?? ? ， 则[ ]Sn 的 所 有 可 能 取 值 构 成 的 集 合
a a a1 2 n
为（ ）.
A．{0} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{0，1，2，3}
答 案 ：C.
解 析 ： 3
?数列{ }an 满足a1 ? ，a a a n Nn?1? ? ? ?1 ( 1) ( * )n n ，
2
第 29 页 共 103 页
两边 取倒 数， 有 1 1 1- = ，累 加得 ： 1 1 1
Sn = - = -3 .
a a an n- -1 1+1 n a a1- - -1 1n+1 an+1 1
2
a a an n n?1? ? ? ? ? ?? ?1 0 a an n?1 ，所 以{ }an 为递 增数 列.
1 2 1
S1= = ，整 数部 分为0；S2 = -3 ，整 数部 分为1；
a1 3 a3-1
1
S3= -3 ，整 数部 分为2；而Sn <3，?[ ]Sn 的所 有可 能取 值构 成的 集合 为? ?0,1, 2 ．
a4-1
故选 ：C．
1 *
11.已 知数 列{ }an 满 足a a1 2? ?1, ，若a a a a a n N nn n n( 2 ) 3 ( , 2 )? ?1 1? ? n n? ?1 1? ? ? ，则 数列{ }an
3
的通 项an ?（ ）
1 1 1 1
A． n?1 B． n C． n?1 D． n?1
2 2 1? 3 2 1?
答 案 ：B
1 1 1 1
解 析 ： 由 *
a a a a a n N nn n n( 2 ) 3 ( , 2 )? ?1 1? ? n n? ?1 1? ? ? ， 可 得 ? ? ?2 ( ) ， 又
a a a an n n n?1 ?1
1 1 1 1 1 1 n
? ?2， 所 以 数 列{ }? 是 首 相 为2， 公 比 为2的 等 比 数 列 ，即 ? ?2 ， 所
a a2 1 a an n?1 a an n?1
1 1 1 1 1 1 1 1 n n? ?1 2 n
以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1? ? ， 即
a a a a a a a an n n?1 n n? ?1 2 2 1 1
1
an ? n ．故 选B．
2 1?
an ? ?
12. 已 知数 列? ?an 中，a1 ?0，an?1 ? ?( )n N ，数 列? ?bn 满 足：b na n Nn n? ?( )，
3 1an ?
设Sn为数 列? ?bn 的前n项和 ，当n?7时Sn有最 小值 ，则a1的取 值范 围是 .
? ?1 1
答 案 ：? ?? ， -
? ?18 21
a ?
解 析 ：数列 n
? ?an 中，a1 ?0，an?1 ? ?( )n N ，
3 1an ?
1 1
∴ ? ?3
a an n?1
? ?1
∴数列? ?是等 差数 列， 公差 为3，
? ?an
第 30 页 共 103 页
1 1 a
∴ ? ? ? 1
3 1? ?n ，解 得an ?
a an 1 1 3( 1)? ?n a1
n a
∴ ? ? 1
b n an n 1 3( 1)? ?n a1
设Sn为数 列? ?bn 的前n项和 ，当n?7时Sn有最 小值 ，
∴b7 8? ?0, b 0
7a
∴ 1 8a
? 1
0 ， ?0
1 1 8? a1 1 21? a1
? ?1 1
解得 ：a1的取 值范 围是 ：? ?? ， -
? ?18 21
n?1
? ?2 1? an
13. 已知 数列? ?an 满足a1 ?1，an?1 ? n ，则 数列? ?an 的通 项公 式为 .
an ? ?2 1
n
2 1?
答 案 ： n
n?1
? ?2 1? an
解 析 ：由an?1 ? n 得，
an ? ?2 1
n?1 n
2 1 2 1? ?? ?1
a an?1 n
n
? ?2 1?
所以 数列? ?n 是等 差数 列， 公差 为1，首 项为1，
? ?a
n
2 1?
所以 n ? ? ? ? ?1 ( 1) 1n n，
a
n
2 1?
整理 得an ? ，
n
n
2 1?
综上 所述 ，数 列? ?an 的通 项公 式为an ? n
3.4 构造对数
2 ? ?
1. 已 知 数 列 n
? ?an 满 足 a a a a1 2 3? n ?2 ( )n N? ， 且 对 任 意 的 n N? 都 有
第 31 页 共 103 页
1 1 1? ? ? ?? t，则 实数t的取 值范 围为 （ ）
a a a1 2 n
? ?1 ? ?1 ? ?2 ? ?2
A.? ?,?? B. ? ,? ?? C. ? ?,?? D ? ,???
? ?3 ? ?3 ? ?3 ? ?3
答 案 ：D
2
解 析 ：因为 n 2
a a a a1 2 3? n ?2 ，所 以ln ln ln ln ln 2a a a a n1 2 3? ? ? ? ?? n ?①
所以 2
ln ln ln ln ( 1) ln 2a a a a n1 2 3? ? ? ? ? ?? n-1 ?②，
n
? ? 4 1 2
①-②得 2 1n 2 1n
ln ln 2an ? ，所 以an ? ?2 ，所 以 ? n ，
2 an 4
1 1 1 1 1 1 2 1 2? ? ? ?
所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 2? 2 ? n ? ? ?1 n ，
a a a1 2 n ?4 4 4 3 4 3? ? ?
2
所以t ? ，故 答案 选D.
3
点 评 ：本题 考查 如何 由数 列得Sn求数 列通 项an即等 比数 列前n项和 公式.
1
2.已 知 数 列? ?an 满 足a1 ? ，a an?1 ?2 n ， 若b an ? ?lo g 22 n ， 则b b b1 2? ? ? n的 最 大 值
256
是______.
625
答 案 ： .
4
1 1
解 析 ：由a an?1 ?2 n 知log 1 log2 1an? ? ? 2an，即 ：log 2 log 12 1an? ? ? ?2an .
2 2
1 1
即b bn n?1 ? ，考 虑到a1 ? ，故b a1 2 1? ? ? ?lo g 2 1 0
2 256
5 5 5 5
所以b1 ? ?1 0，b2 ? ?5，b3 ? ? ，b4 ? ? ，b5 ? ? ，b6 ? ? ，
2 4 8 16
625
b b b1 2? ? ? n的最 大值 为b b b b1 2 3 4 ? .
4
2
? ?n a?1 n
3.已知 数列? ?an 满足a a1 ? ?1, n?1 2 2 ，则a8 ?（ ）.
2 4a n a nn n? ?
第 32 页 共 103 页
8 8 8 8
A. 64 B. C. D.
9 2? 32 16 7
9 2? 9 2? 9 2?
答 案 ：D
? 2 2
? ?n a1 n n n?1 ? ?
解 析 ：a a1 ? ?1, n?1 2 2 得 ? ? ?2 2? ?
2 4a n a nn n? ? a an+1 ? ?n
2 14
8 7? ? ? ?1
故 ? ? ? ? ? ? ? 7
2 2? ? ? ? ?2 9
a a8 ? ?7 ? ?a1
8
a8 ?
7 .
9 2?
4 求 和
4.1 错位相减
n?1
1 n n n? ? ?1 1 1 ? ?b
1.设 两数 列 ? ? n
? ?an 和? ?bn ，a bn ? ? ? ? ? ?? ? , n ? ， 则数 列? ?的 前n项
? ?3 1 2 2 3 ( 1)? ? ?n n ? ?an
和为 （ ）
n n
1 4 1 3? ? ?? ? ? ?n 1 3 4 1? ?? ?n
A. B.
1 6 16
n n
1 3 4 1? ?? ?n 1 4 1 3? ? ?? ? ? ?n
C. D.
16 1 6
答 案：D
? 1 1 1 1 1 ? ? ?1 bn n?1
解 析：b nn= 1 1? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ?n 1 1 n，所 以 ? ? ?n ? ?3 。
? 2 2 3 n n?1? ? ?n?1 an
? ?b
设数 列 n 0 1 n?1
? ?的前n项和 为Tn，则Tn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 3 2 3? ? ? ? ? ?? n 3 ，
? ?an
1 2 n
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3 1 3 2 3Tn ? ? ? ? ? ?? n 3 ，两 式相 减得 ：
n n
1 2 n n 1 3? ?? ? n 1 ? ? ? ?4 1 3n? ?
4 1 3 3 3 3Tn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? n n ? ?3 ? ?
1 3? ?? ? 4 4
n
? ? ?
所以 1 4 1 3? ? ? ?n
Tn ? 。
1 6
第 33 页 共 103 页
a a3
2.已 知 数 列 n+ +2 1- n
{ }an 中 ， a a1= - =2, 3,2 且 =3 ， 则 数 列 { }an 的 前 n 项 和
a an n+1-3
Sn =_______.
n
答 案 ： 13 ( 6 13) 3+ - ×n
Sn = .
4
解 析 ：由条 件： 令b a an n n= -+1 3 ，则b a a1 2 1= - =3 9，b bn n+1=3 .
故 n+1
{ }bn 为等 比数 列， 其通 项公 式为bn =3 .
即 n+1 n+1 an+1 an an
a an+1- =3 3n ，左 右同 除3 得：
n n+1 - =1.故 n 为等 差数 列
3 3 3
a 5
故 n 5÷ n
n = -n ，即a nn = - ×?? ÷ 3 .利用 错位 相减 ：
3 3 ? 3÷
得：S a a an = + + +1 2 ... n； ①
3 3 3 ... 3S a a an = + + +1 2 n； ②
2 n-1
① 2 3 n 5 n+1 3 (1 3 ) 5- n+1
-② 得：- = - + + + + - - × = - + - - ×2 2 (3 3 ... 3 ) ( ) 3 2Sn n ??n ÷÷ 3
3 1 3 3- ? ÷
n
即： 13 ( 6 13) 3+ - ×n
Sn = 4
点 评 ：二 阶 线 性 递 推 关 系 的 分 式 型 结 构 ，根 据 条 件 ，可 以 构 造 出 辅 助 数 列{ }bn ，进 而{ }an ，
再 利 用 错位 相 减 即 可 求得 目 标.
3.已 知 数 列? ?an 是 各 项 均 为 正 数 得 等 比 数 列 ， 其 前n项 和 为Sn， 点 An ， Bn 均 在 函 数
f x x( ) lo g? 2 的 图像 上，An的 横坐 标为an，Bn的 横坐 标为Sn ?1.直 线An Bn的 斜率 为kn，
1
若k1 ?1，k2 ? ，则 数列? ?a f an n( ) 的前n项和 为Tn= .
2
答 案 ： n
( 2 ) 2 2n? ? ?
解 析 ：由题 意可 知
A a a1 1 2 1( , lo g )，A a a2 2 2 2( , lo g )，B S S1 1( 1, lo g ( 1) )? ?2 1 ，B S S2 2( 1, lo g ( 1) )? ?2 2 ，
第 34 页 共 103 页
? lo g ( 1) lo g2 1S a? ? 2 1
?k1 ?
? S a1 1? ?1 ?a1 ?1 ?
∴? ，解 得 n 1
? ，∴an ?2 ，
? lo g ( 1) lo g2 2S a? ? 2 2 ?a2 ?2
k2 ?
?? S a2 2? ?1
?
∴ n 1 n?1
f a( ) lo g 2 1n ? ? ?2 n ，∴a f a nn n? ? ?( ) ( 1) 2 ，
∴ 0 1 2 3 n-1
Tn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 2 1 2 2 2 3 2 ( - 1) 2n ，
∴ 1 2 3 4 n
2 0 2 1 2 2 2 3 2 ( - 1) 2Tn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n
两式 相减 可得 1 2 n-1 n n
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?Tn 2 2 2 ( 1) 2 ( 2 ) 2 2n n
∴ n
T nn ? ? ? ?( 2) 2 2
点 评 ：一 般 遇 到差 比 数 列 与 等差 数 列 的 积 时， 用 错 位 相 减 法。
ì??y nx n? - +3
4.已 知 ? n
f n( )为 平面 区域I xn: 0 ( , , *)?í > x y R n N 内 的整 点的 个数 ，记a f nn =2 ( )，
??? >??y 0
( 6) ( 1)S f n- +
数 列 n+1
{ }an 前n项 和为Sn， 若" ?n N*，
n+1 ?c恒 成立 ， 则 实数c的 取值 范 围
4
是___.
答 案 ： 135
c? .
32
ì??y nx n? - +3
解 析：因为 ?
I x?
n: 0 ( , , *)í > x y R n N 中，y n x? - -( 3).可行 域中 有点 ，则0 3<??? >??y 0
若x=1，则y n=1, 2, 3...2 ；
若x=2，则y n=1, 2, 3... ；
故 f n n( ) 3= ， n n n
a nn = ×3 2 ，利 用错 位相 减解 得：S nn = × - +6( 2 2 1)
n
( 6) ( 1)S f n+ - + 18 1 2 ( 1) 9 1 1( )n n n n- + - +( )( )
所以 n 1
n+1 = n+1 = n+1
4 4 2
2
9 1 1( )( )n n- + 9 1 1 9 2( )( )n n n n- + -( ) 9 4 1(- + -n n )
令g n( )= n+1 ，则g n g n( 1) ( )+ - = n+1 - =n n+1 ，
2 2 2 2
考虑 到当n?3时，g n g n( 1) ( ) 0+ - >
当n?4时， g n g n( 1) ( ) 0+ - <
第 35 页 共 103 页
故 135 135
g n g( ) ( 4)max = = ，故c? .
32 32
点 评 ：本 题 以 线 性 规 划 整 点 为 模 板 ， 形 成 数 列 ， 利 用 错 位 相 减 求 和 后 ， 利 用 新 数 列 的 单 调
性 研 究 最值 问 题 ， 整 个题 目 流 程 多 ，易 错 ， 对 学 生 要求 很 高 。
n
5.已 知数 列? ?an 中 ，设a a a n N1 1? ? ? ?1, 3 1n n? ? ?? ，若bn ?
n n?2 ?an，Tn是? ?bn 的 前n项
? ?3 1 2? ?
和， 若不 等式 n n?
?? ?1
2 2 T nn 对一 切的n N? ?恒成 立， 则实 数?的取 值范 围是 .
? ?
答 案 ： 3
? ???, .
? ?2
1 1? ? ? ?1 3
解 析 ：a an? ? ?3? ?n?1 可知 数列? ?an ? 为首 项为 ，公 比为3的等 比数 列
2 2? ? ? ?2 2
n n
1 3 3
? ? ? ?n?1 n ? ?3 1? n
an 3 ,bn ?
n n?2? ?? ? n?1
2 2 2 ? ?3 1 2? ? ? ?2 2
n?2
用错 位相 减法 可求 出Tn ? ?4 n?1
2
1
原不 等式 化简 为?? ?2 n?1 恒成 立
2
3
?? .
2
?9
? n?1,
6.数列? ?an 的通 项公 式为an ??2 ，则 数列? ?an 的前n项和Sn ?_____
? 2 n
? nn ?? 2,3
2 ?
nn ??? n 1
答 案 ： ? ? ? 31
Sn 2
9
解 析 ： 222 n
Sn n ????? 3...32
2
27 n?
????? 1232
3Sn n 3...32
2
相减 3 n n?
????????? 12
Sn nn 33)12(...53272
令 3 ????? n
Tn n 3)12(......53
则 4 n n?
??????? 1
Tn n n 3)12(3)32(...533
相减 得 3 54 n n?1 n?1
Tn ? ? ? n 3)12(3...332532 ?
n nT ???????????? 273)1(
2 n?
??? 1
n?1 n?12 ? ?nn 31
n )(nS n 32731272 Sn ????????? 2
第 36 页 共 103 页
4.2 裂项相消
1.各 项 均 为 正 数 的 数 列 2 2
? ?an 首 项 为2， 且 满 足a a a n n an n n? ? ? ??1 ( 1) 0n?1 ， 公 差 不 为 零
b
的 等差 数列 n
? ?bn 的 前n项 和为Sn， S5 ?1 5，且b b b1 3 9, , 成 等比 数列，设cn ? ，则 数列
an
? ?cn 的前n项和Tn ?______________.
1
答 案 ：1? .
? ?n?1 !
解 析 ：由 2 2
a1 ? 2，an均为 正数 ，a a a n n an n n? ? ? ??1 ( 1) 0n?1 知：
设? ? ? ?a na a n an n n? ? ? ??1 ? 1 0n?1? ，则a n an ? ?? ?1 n?1，故a n n a nn ? ? ? ?? ? ? ?1 ... 1 !1
等差 数列? ?bn 满足S5 ?1 5，故5 1 5b3 ? ，b3 ?3，b b b1 3 9, , 成等 比，不难 得b1 ?1，即b nn ? ，
b n n? ?1 1 1 1
所以 n
cn ? ? ? ? ? ，
a n n n nn ? ?? ?1 ! 1 ! ! 1 !? ? ? ??
? ? ? ?1 1 1 1 1 1? ? 1
故Tn ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ... ?? ?? 1
? ? ? ?1! 2 ! 2 ! 3 ! ! 1 ! 1 !?n n? ?? ? ? ?n?
2.已知 数列 *
? ?an 中，a1 ?1，若 对任 意的n N? 都有a a nn n?1 ? ? ?1，
1 1 1 1 1 1
则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ______________.
a a a a a a1 2 3 2017 2018 2019
2019
答 案 ：1010
n n? ??1 1 1 1? ?
解 析 ：a a nn n?1 ? ? ?1通过 累加 法可 得an ? ，? ? ?2? ?，
2 a n nn ? ??1
1 1 1 1 1 1 ? 1 1 1 1 1 2019?
则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 + + +? ? ? ? ? ? ? ?=
a a a a a a1 2 3 2017 2018 2019 ? 2 2 3 2019 2020 1010?
n x
3.（2019 届 温 州 九 校 第 一 次 联 考 10） 已 知 数 列? ?an 的 通 项an ? ，
? ? ? ? ? ?x x n x? ? ?1 2 1 1?
*
n?N ，若a a a1 2? ? ? ?? 2018 1，则 实数x可以 等于 （ ）
A． 2 5 1 3 1 1
? B．? C．? D．?
3 12 4 8 6 0
答 案 ：B
第 37 页 共 103 页
解 析 ：
数列? ?an 的通 项：
n x 1 1
an ? ? ? ，
? ? ? ? ? ?x x n x? ? ?1 2 1 1? ? ? ? ? ? ?x x n x? ? ? ?1 2 1 1 1?? ?? ? ? ? ? ? ? ?x x n x? ? ?1 2 1 1?
∴a a a a1 2 3? ? ? ?? 2 0 1 8
x x2 3x 2018x
? ? ? ? ??
x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 1 1 2 1 3 1 1 2 1 2018 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?x x ? x?
? ?1 1 1? ? ? 1 1 ?
? ? ? ?? ?1 ? ? ?? ? ?
? ?x x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 3 1? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
? 1 1 ?
? ?? ? ? ?
?? ? ? ? ? ?x x? ?1 2 1 2017 1 1 2 1 2018 1? x x x? ? ?? ? ? ? ? ?? x? ?
1
? ?1 ?1，
? ? ? ? ? ?x x? ?1 2 1 2018 1? x?
∴? ? ? ? ? ?x x? ? ? ?1 2 1 2018 1 0? x ，
∴ ? ? ?1 1 1 1 1? ? ?
x? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ?, 1 ,? ? ? ?? ? ? , ? ? ?? , ，
? ? ?2 3 2016 2017 2018? ? ?
在选 项中 仅有 5 1 1? ? 5
? ? ? ?? ?, ， ∴x? ? .
1 2 2 3? ? 1 2
4.设等 差数 列{ }an 的前n项和 为S *
n，Sm?1 ?13，Sm ?0，Sm?1 ? ?15，其中m N? 且m?2．则
1
数列{ }的前n项和 的最 大值 为（ ）
a an n?1
2 4 1 2 4 6
A． B． C． D．
1 4 3 1 4 3 1 3 1 3
答 案 ：D
解 析 ：因 为Sm?1 ?13，Sm ?0，Sm?1 ? ?15，所 以a S S a S Sm m m? ? ? ? ? ? ? ??1 13, m m m? ?1 1 15，
所 以 等 差 数 列{ }an 的 公 差d a a? ? ? ?m m?1 2， 又 由Sm ?0，Sm?1 ? ?15， 解 得a1 ?13， 所 以
a nn ? ?15 2 ，当an ?0时，n?7.5；当an?1 ?0时，n?6.5，所 以
1 1 1 1 1 1
数 列{ }的 前6项 和为 正 数， 所 以 ? ? ?( )， 所
a an n?1 a a n n n nn n?1 (1 5 2 )(1 3 2 ) 2 1 3 2 1 5 2? ? ? ?
1
以 数 列 { } 的 前 n 项 和 的 最 大 值 为
a an n?1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( ? 1 ) (1 ) ．故 选D．
2 1 1 1 3 9 1 1 7 9 3 2 1 3 1 3
第 38 页 共 103 页
1 ? ?
5.已 知 函 数 f x? ?? ， 点O为 坐 标 原 点 ， 点A n f n n Nn? ?, ? ? ? ?? ， 向 量i?? ?0, 1 ，?n是 向
x?2
????? ? cos cos? ?1 2 cos?n
量 OAn 与 i 的 夹 角 ， 则 使 得 ? ? ? ?? t 恒 成 立 的 实 数 t 的 取 值 范 围
sin sin sin? ? ?1 2 n
为 .
? ?1
答 案 ：? ?,?? .
? ?3
????? ? 1
OA i
? n? ?
cos ? ? n 2 ?
解 析 ： n ????? ? cos n 1 1
2 ? ?
OA i ,
n 2 ? ?1 si n t an 2? ?n n n n? ??
n ?? ?? ?n?2
cos cos? ?1 2 cos?n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1? ? ? ?
t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?1 ? ? ? ?
sin sin sin 2 3 2 4 1 1 2 2 2 1 2? ? ?1 2 n ? n n n n? ? ? ? ? n n? ? ?
恒成 立.
1 3 1 1 1? ?
t? ? ? ?? ? .
2 2 2 3 3? ?
6. （ 2019 届 温 州 8 月 模 拟 10 ） 已 知 数 列 ? ?an 中 各 项 都 小 于 1 ，
1 2 2
a a a a a n N1 ? ? ? ? ?, 2n n n n? ?1 1 ( *)，记S a a an ? ? ? ? ?1 2+ + ,n 则S1 0?（ ）.
2
A．? ?1 ? ?1 3 ? ?3
? ?0, B．? ?, C．? ?, 1 D．? ?1, 2
? ?2 ? ?2 4 ? ?4
答 案 ：B.
解 析 ： 裂项 放 缩.
由 2 2
a a a a a a a an n n n n n? ?1 1? ? ? ? ? ? ?2 ? ?1 1? ? ? ?2 1n n ；
因为 数列 1
? ?an 中各 项都 小于1，所 以a an n+1, 同号 ，a1= ，得 ：0 1<2
a
又 n+1 an- -1 1 an 1 0- 1
= = < =1，所 以a a an n+1< ? < <0 n .
a an n+1- - -2 2 2 1an+1 2
又 2 2 2 2
a a a a a a a a an n n n n n n? ?1 1? ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ?1 1 1? ? ? ?
n n
2
1
而 2 2 2 3 1 1
0<( ) ( ) ( )1 10 10 ?? 10 ÷
2 4 2 2? ÷
1 ? ?
因为 1 3
0<2 ?2 4?
4.3 指数裂项
? an?1
1.已 知 n 1
S *
n 为 数 列 ? ?an 的 前 n 项 和 ， 若 an ? ?2 3 （ n?N ）， 若 bn ? ， 则
S Sn n?1
第 39 页 共 103 页
b b b1 2? ? ? ?? n .
1 1
答 案 ： ?
n?1
2 3 1?
an?1
解 析 ：? ?3 ?? ?an 是首 项为2，公 比为3的等 比数 列
an
? n
Sn ? ?3 1
n n?1 n
an?1 2 3? ? ? ? ?3 1 3 1? ? ? 1 1
bn ? ?
n n?1 ?
n n?1 ? ?n n?1
S Sn n?1 ? ? ? ?3 1 3 1 3 1 3 1? ? ? ?? ? ? ? 3 1 3 1? ?
? 1 1 1 1? ? ? ? 1 1 ?
?b b b1 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? n ? 2 ? ? 2 3 ? ?? n n?1 ?
?3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
1 1
? ?
n?1
2 3 1?
4.4 奇偶并项
1 ． 如 果 有 穷 数 列 *
a a a n N1 2, ,? n? ?? 满 足 条 件 ： a a a a a a1 2 1? ? ?n n n, ,? ? 1 ， 即
a a i ni n i? ?? ?1? ?1, 2? ，我 们称 其为“对 称数 列”，例 如：数 列1, 2, 3, 3, 2, 1和 数列1, 2, 3, 4, 3, 2, 1都
为“对 称 数 列”， 已 知 数 列 *
? ?bn 是 项 数 不 超 过 2 1,m m m N? ? ? ? 的“对 称 数 列”， 并 使 得
2 1m?
1, 2, 2 , 2? 依 次 为 该 数 列 中 连 续 的 前m项 ， 则 数 列? ?bn 的 前2009项 和S2009所 有 可 能 的 取
值的 序号 为（ ）
① 2 0 0 9 2009 m m? ?1 2 2009 m m? ?1 2 2009
2 1? ；②2 2 1? ?? ； ③3 2 2 1? ? ? ； ④2 2 1? ?
A．①② ③ B． ②③ ④ C． ①② ④ D．①③ ④
答 案 ：D．
解 析 ：
因 为 数 列 * 2 1m?
bn是 项 数 不超 过2 1,m m m N? ? ? ?的“对 称 数 列”， 并 使 得1, 2, 2 , 2? 依 次 为 该数
列中 前连 续的m项，
所以 分数 列的 项数 是偶 数和 奇数 讨论 ，
若数 列含 偶数 项， 则数 列可 设为 1 2 1 1 2 1m m? ?
1, 2 , 2 , 2 , 2 2 , 2 ,1? ? ，
2009
1 1 2? ?? ?
当 2009
m? ?1 2008时，S2009 ? ? ?2 1，
1 2?
所以 ①正确 ；
第 40 页 共 103 页
当1004 1 2008? ? ?m 时，
m 2 2009m?
1 1 2 1 1 2? ? ? ?? ? ? ?
所以 m m? ?1 2 2009
S2009 ? ? ?2 ? ? ?2 2 1，
1 2 1 2? ?
所以 ④正确 ；
若数 列含 奇数 项， 则数 列可 设为
1 2 2 1 2 2 1m m m? ? ?
1, 2 , 2 , 2 , 2 , 2 2 , 2 ,1? ? ，
当 2009
m? ?1 2008时，S2009 ? ?2 1，
当1004 1 2008? ? ?m 时， 所以
m?1 2 1 2009m? ?
1 1 2? ?? ?
m?1 1 1 2? ?? ?
m m? ?1 2 2010
S2009 ? ?2 ? ?2 ? ? ? ?3 2 2 1，
1 2? 1 2?
所以 ③正确 ，
故选D．
2.已 知数 列{ }an 满 足a an n+1 = +1，数 列{ }bn 满 足b bn n+1 = - +3，若a b a b1 1 2 2= =, ,记Sn为
数列{ }a bn n+ 的前n项和 ，则Sn = _ _ _ _ _ _ _ _ .
ì 2
n n+4
? ,n为 偶 数 ；
?
答 案 ： 2
Sn =í 2
?n n+ -4 1
? ,n为 奇 数 .
? 2
解 析 ：数列{ }an 满足a an n+1- =1,所以{ }an 为公 差为1的等 差数 列；
又因 为b bn n+1+ =3，令n =1,则b b1 2+ =3，即a a1 2+ =3，
而a a2 1- =1，所 以a a1 2= =1, 2,所以a nn = .
S a b a b a bn = + + + + + +( ) ( ) ( )1 1 2 2 ? n n
= + + + + +(a a a b b b1 2 ? n) ( )1 2 ? n
n n( 1)+
= + + +( )b b b1 2 ? n
2
令{ }bn 的前n项和 为Tn，则 当n为偶 数时 ，
第 41 页 共 103 页
T b b bn = + +1 2 ? n
= + + + + +( ) ( ) ( )b b b b b b1 2 3 4 ? n n-1
= + + +3 3 3?
n
= ?3
2
3n
= 2
当n为奇 数时 ，
T b b bn = + +1 2 ? n
= + + + + + +b b b b b b b1 2 3 4 5( ) ( ) ( )? n n-1
= + + + +1 3 3 3?
n-1
= + ?1 32
3 1n-
= 2
2
n n n n n( 1) 3 4+ +
所以 ，当n为偶 数时 ，Sn = + = ；
2 2 2
2
n n n n n( 1) 3 1 4 1+ - + -
当n为奇 数时 ，Sn = + = .
2 2 2
n n
3.设Sn为数 列? ?an 前n项和 ，a1 ?0，若an?1 ? ? ? ? ? ?[1 1 ] 2? ? ? ? ? ?a n Nn ? ，
则S1 0 0=________________.
1 0 1
2 2?
答 案 ： 3
解 析 ：
2 1k? 2 1k? 2 1k?
当n k? ?2 1，k N? ?，a2k ? ? ? ? ? ? ?[1 1 ] 2 2? ? ? ? ? ?a2 1k?
当 n
n k?2 ,k N? ?,a a2 1 2k? ? ?2 2k ,
2 4 98
? ? ? ?a a3 22 2 0,a a5 4? ? ?2 2 0,a a99 98? ? ?2 2 0,又a1 ?0
101
3 99 2 2?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?S a a a a a a a100 1 2 3 100 2 4 100= 2 + 2 + + 2 =? ? ? ? ? ? 3
n
4.已知 数列? ?an 的前n项和 为Sn，若a a nn?1? ? ?? ?1 n ，则S40 ? .
答 案 ：105
第 42 页 共 103 页
解 析 ： 列举 法
当n为偶 数时 ，a a nn n?1? ? ；当n为奇 数时 ，a a nn n?1? ? .
?a a2 1? ?1，a a3 2? ?2，a a4 3? ?3，a a5 4? ?4，a a6 5? ?5，a a7 6? ?6，??
?a a1 3? ?1，a a2 4? ?5，a a3 5? ?1，a a4 6? ?9，a a5 7? ?1，a a6 8? ?13，??
从而S a a a a a a a a a a a a40 1 3 3 5? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? 37 39 ? ?? ?? ?2 4 4 6? ? ? ?? 38 40 ??
? ? ? ? ?1 0 1 5 9? ???
???????
10个
=105
n
5．（2019届 绿色 联盟5月 模拟17）已 知数 列 *
? ?an 满 足a a n n Nn?1? ? ? ?? ?1 n ? ?，记 数列? ?an
的前n项和 为Sn，则S6 0 ? ．
答 案 ：930．
解 析 ：
n
因为a a nn?1? ? ?? ?1 n ，
所以a a a a a a a a a a2 1 3 2 4 3 5 4? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1, 2, 3, 4? 50 49 49，
得a a a a a a a a a a a a3 1 4 2 7 5 8 6 9 11 12 10? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1, 5, 1, 13, 1, 21，
即从 第一 项开 始， 依次 取2个相 邻奇 数项 的和 都等 于1，
从第 二项 开始 ，依 次取2个相 邻偶 数项 的和 构成 以为5首项 ，以8为公 差的 等差 数列 ，
所以S60的前 项和 为：
15 14?
15 1 15 5 8 930? ? ? ? ? ? ．
2
故答 案为930．
n?1
6.设数 列? ?an 的前n项和 为Sn,已知a2 ?2,a an?2 ? ? ?? ?1 1n ,则S40 ?( )
A．2 6 0 B．250 C．240 D．230
答 案 ：C.
n?1
解 析： 由a an?2 ? ? ?? ?1 1n , 当n为 奇数 时,有a an n?2 ? ?1, 当n为 偶数 时, a an n?2 ? ?1, 数
列? ?an 的偶 数项 构成 以2为首 项,以1为公 差的 等差 数列, 则
第 43 页 共 103 页
S a a a a a a40 1 3? ? ? ? ? ? ? ?? ... 39 2 4? ? ... 40 ?
? ? ? ? ? ?1 10 2 3 ... 21? ?
( 2 21) 20? ?
? ?10 2
?240
所以C选项 是正 确的.
n
1 1 ( 1) 5? ? ?
7. 已 知数 列? ?an 满 足a1 ? ? ，a b b a bn n n n n?1 ? ??1 ，且bn ? ( )n N? ，则 数列
2 2
? ?an 的前2n项和S2n取最 大值 时，n? .
答 案 ：8
n
1 ( 1) 5? ? ??2,n为奇数
解 析 ：由 ?
bn ? ( )n N? ，则bn ?? ，由a b b a bn n n n n?1 ? ??1 可知 ，
2 ?3， 为偶数n
?
当n k N? ? ?2 1( k )为奇 数时 ，? ? ?2 3 2a a2 2 1k k? ，
?
当n k N? ?2 ( k )为偶 数时 ，3 2 3a a2 1 2k? ? ? ?k ，
1 1
∴3 3 1a a2 1 2 1k? ? ?k? ，∴a a2 1 2 1k k? ?? ? ，因 此数 列? ?a2 1k? 成 等差 数列 ，公 差为 ，首 项
3 3
1
为? .
2
n 2
1 n n? ??1 1 2n n
∴?a n2 1k? ? ? ? ? ? ? ?
k?1 2 2 3 6 3
1 1 7
同理 可得 ：a a2 2 2k k? ? ? ? ，因 此数 列? ?a2k 成等 差数 列， 公差 为? ，首 项为 .
2 2 4
n 2
7 1 (n 1)n n?
∴?a n2k ? ? ? ? ? ? ? 2n
k?1 4 2 2 4
2 2 2
n n n n2 4 1 1 6
∴ 2
S2n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2n n n( 8)
6 3 4 1 2 3 1 2 3
16
∴当n?8时， 数列? ?an 的前 数列2n项和 数列S2n取最 大值 .
3
故答 案为8.
8.已知 数列 * 2
? ?an 满足a a nn n?1? ? ?4 3，且? ?n N ，a nn ? ?2 0，则a3的取 值范 围是（ ）
第 44 页 共 103 页
A．? ??2,15 B．? ??18, 7 C．? ??18,19 D．? ?2,19
答 案 ：D．
解 析 ：?a a nn n?1? ? ?4 3，? ? ? ? ?a a nn n? ?2 1 4 1 3? ? ，两 式相 减得a an n?2 ? ?4，
?? ?an 奇数 项与 偶数 项分 别为 公差 为4的等 差数 列，
当n k? ?2 1，k Z? 时，a a k2 1 1k? ? ?4 ，? ? ? ? ? ? ?a k a k a2 1k? 4 2 2 1 21 ? ? 1 ，
即a n an ? ? ?2 2 1，n为奇 数；
当n k?2 ，k Z? 时，a a k2 2k ? ? ?4 1? ?，? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a k a k a k a2k 4 4 4 3 2 2 32 1 ? ? 1，
即a n an ? ? ?2 3 1，n为偶 数.
?2 2 ,n a n? ? 1 为 奇 数
? ?an ? .
?2 3 ,n a n? ? 1 为 偶 数
2
?a nn ? ?2 0，
2
2 ? ?1 5
?① 当 2
n为奇 数时 ，可 化为2 2 2 0n a n? ? ? ?1 ，即a n n n1 ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 2? ? ，
? ?2 2
?当n?1时，a1? ?2；
2
②当n为偶 数时 ，可 化为 2 2 ? ?1 5
2 3 2 0n a n? ? ? ?1 ，即a n n n1 ? ? ? ? ? ?2 2 3 2? ? ，
? ?2 2
?当n?2时，a1?15.
? ? ? ?2 15a1 ，又a a3 1? ?4，? ? ?2 19a3 ，故 选D．
2
9. 已 知 数 列? ?an 的 首 项a t1 ? ， 其 前n项 和 为Sn， 且 满 足S S n nn n? ? ??1 2 ， 若 对 任 意
n N? ?，a an n? ?1恒成 立， 则实 数t的取 值范 围是_____________
1 3
答 案 ： ? ?t .
4 4
解 析 ：由 2
a t1 ? 和S S n nn n? ? ??1 2 ①，知 ：
当n?1时，a a a1 1 2? ? ?3，即a t2 ? ?3 2
第 45 页 共 103 页
2
当n?2时，S S n nn n?1? ? ? ? ?? ? ? ?1 2 1 ② ，
①-② 得：a a nn n? ? ??1 2 1
故n?3时，a a nn n?1? ? ?2 1，即 ：a an n? ?1 1? ? 2
故：a a2 3? ?5，即 ：a t3 ? ?2 2
?a a1 2?
? 1 3
对任 意n N? ?，a an n? ?1恒成 立? ??a a2 3，解 得： ? ?t .
? 4 4
?a a3 4?
2
10.已 知 数 列? ?an 的 首 项 a m1 ? ， 前 n 项 和 为 Sn ,且 满 足 S S n nn n? ? ??1 3 2 ， 若 对
? ?n N?，a an n? ?1恒成 立， 则m 的取 值范 围是_____________.
? ?5
答 案 ：? ??2,
? ?3
解 析 ：
2
?S S n nn n? ? ??1 3 2 ，? ?n 1时，a m2 ? ?5 2
2
当n?2时，S S n nn n?1? ? ? ? ?3 1 2 1? ? ? ?
? ? ?a a nn n?1+ 6 1，a a nn n? ? ??1 6 7，? ? ? ?a a an n? ?1 1 6 ? ?n 奇偶 项分 别成 等差 数列 ，
? ? ? ?a k m2k 6 1 2 ，a k m2 1k? ? ? ?6 6
?? ?n N?，a an n? ?1恒成 立
5
? ? ?n k2 1时，6 1 2 6 1 1k m k m m? ? ? ? ? ? ? ?? ? 3
n k?2 时，6 1 2 6 1 1 2k m k m m? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?
? ?5
综上 所述m? ?? ?2,
? ?3
11.已 知数 列 2
? ?an 的 首项a a1 ? ， 其前n项 和为Sn， 且满 足S S nn n? ??1 4 ?n n N? ?2, ??， 若
对任 意n N? ?，a an n? ?1恒成 立， 则a的取 值范 围是 （ ）
A．? ?3, 5 B．? ?4, 6 C．?3, 5? D．?4, 6?
第 46 页 共 103 页
答 案 ：A．
2
解 析 ： 2
?S S nn n? ??1 4 ? ?n?2 ，? ? ? ?S S nn n?1 4 1? ? ，相 减得a a nn n?1? ? ?8 4 ? ?n?2 ，
故a a nn n? ?2 1? ? ?8 12，相减 得a an n?2 ? ?8? ?n?2 .又a a1 ? ，? ? ?S S2 1 16，即2 16a a? ?2 ，
? ? ?a a2 16 2 ，a a3 ? ?4 2 ，? ? ? ? ? ? ?a a n n a2 2n 8 1 8 8 2? ? ，a a n n a2 1 3n? ? ? ? ? ? ?8 1 8 4 2? ?
? a a? ?16 2
?
又因 为a an n? ?1恒成 立，? ? ? ? ? ?? 8 8 2 8 4 2n a n a ，解 得3 5? ?a ，故 选A．
??8 4 2 8 1 8 2n a n a? ? ? ? ? ?? ?
2
n n?19
12.（2019石 家 庄二 模 ） 已知 数 列 *
? ?an 的 前n项 和 为Sn， 且S Sn n?1? ? ?? ?n N ， 若
2
a2 ? ?4，则Sn取最 小值 时n? .
答 案 ：10
解 析 ：
方法 一：
2
n n?19
∵ *
S Sn n?1? ? ?? ?n N ① ，可 知此 数列 为等 差数 列，由 等差 数列 前n项 和性 质，知 数
2
2
? ? ? ?n n? ? ?1 1 9 1
列? ?an 为单 调递 增的 数列 ，将n换为n?1得，S Sn n? ?2 1? ? ② ，
2
② -①得a a nn n? ?2 1? ? ?9，当n?9时，a a1 1 1 0? ?0，
又a2 ? ?4，∴a1 1 ?0，a1 0 ?0，∴ 当n?1 0时，Sn取最 小值.
方法 二：
2
设 2 * *
S an bn c nn ? ? ? ?? ?N ，则S a n b n c nn?1 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 1 ? ?N ，
2
2 n n?19 *
S S a n a b n a b cn n?1? ? ? ? ? ? ?2 2 2? ? 2 ，对 应系 数S Sn n?1? ? ?? ?n N ：
2
? 1
? 2a?
? 2
? 19
?2 2a b? ? ? 2
?
?a b c? ? ?2 0
解 得 1 19 1 19 1 1812 2
a? ，b? ?5，c? ， 故S n n nn ? ? ? ? ? ?5 ? ?10 ， 由 等 差 数 列 前n项
4 8 4 8 4 8
和性 质， 知数 列? ?an 为单 调递 增的 数列 ，∴ 当n?1 0时，Sn取最 小值.
第 47 页 共 103 页
5 单 调 性
1.已 知 数 列 2
? ?an 满 足n a n a n nn?2 ? ? ? ?( 2 ) ( 2 )n ? , 其 中a a1 2? ?1, 2， 若a an n? ?1 对
?
? ?n N 恒成 立， 则实 数?的取 值范 围为
答 案 ：?0 +，??
解 析 ：由 2
na n a n n n nn?2 ? ? ? ? ? ?( 2) ( 2 ) ( 2)n ? ?
a a
得 n n+ 2 ? ??,
n n?2
? ?a
? 数列 n
? ? 的奇 数项 与偶 数项 均是 以?为公 差的 等差 数列,
? ?n
?a a1 2? ?1, 2, ?当n 为奇 数时,
an n n? ?1 1
? ? ? ? ?1 ( 1) 1? ? ,
n 2 2
2
n n?
? ? ?an ? n ;
2
当n 为偶 数时,
an n n?2
? ? ? ? ?1 ( 1) 1? ? ,
n 2 2
2
n n?2
? ? ?an ? n.
2
当n 为奇 数时,由a an n? ?1, 得
2 2
n n n n? ( 1) 2( 1)? ? ?
? ? ?? n ?? ?n 1,
2 2
即?( 1) 2n? ? ? .
2
若n R? ?1,? ,若n?1 则?? ? , ? ?? 0；
n?1
当n 为偶 数时,由a an n? ?1, 得
2 2
n n n n?2 ( 1) ( 1)? ? ?
? ? ?? n ?? ?n 1,
2 2
第 48 页 共 103 页
2
即3 2n?? ? ,? ? ?? ,即??0.
3n
综上, ?的取 值范 围为?0 +，??
2.已 知各 项不 为零 的数 列{ }an 的 前n项 和为Sn， 且满 足S an n= -? 1， 若? ?an 为 递增 数列，
则?的取 值范 围是_____________
答 案 ：?>1或?<0..
解 析 ：由S an n= -? 1知：
当 1
n=1时，a a1 1= -? 1，且??1，即a1= ；
?-1
当n?2时，S an- -1= -?n 1 1，则S S a an n- = --1 ? ?n n-1，即? ?a an-1= -( )1 n
? a
由于 数列 n
{ }an 各项 不为 零， 故??0，故 = ；
?-1 an-1
故? ?an 为等 比数 列， 且为 递增 数列.
ì?? 1 ì? 1
?a1= >0 ??a1= <0
? ?
则? ?-1 ? ?-1
í ， 或í 解得 ：?>1或?<0.
?? ? ? ?
??q= >1 ??q= ?( 0, 1)
?? ?-1 ??? ?-1
点 评 ：含 参 数 列 的 单 调 性 ， 首 先 根 据 前n项 和 与 第n项 关 系 ， 求 得 首 项 和 递 推 关 系.再 根 据
等 比 数 列单 调 性 的 推 论求 解 即 可.
?
3.已 知 数 列 n 3
? ?an 的 通 项 公 式 为 a n tn ? ? ? ， 数 列 ? ?bn 的 通 项 公 式 为 bn ?3 ， 设
a b
? ?n n? a bn n? ?
cn ，在 数列? ?cn 中，c c c Nn ? ?3? ?，则 实数t的取 值范 围为 （ ）.
2 2
? ?7
A.?3, 4? B.? ?3, 6 C.? ?4, 6 D.? ，7
3 ?
? ?
答 案 ：B
?a a bn n n, ?
解 析 ：由题 意可 得cn ???b a bn n n, ?
数列? ?an 为递 减数 列，? ?bn 为递 增数 列
?
结合c c c N n?3 2 3? 7
n ? ?3? ?知当n?2时? ? ?n t 3 ，即? ? ?2 3t 恒成 立， 此时t? 3
? ?
n?3时? ? ? n 3 4 3
n t 3 ，当n?4即? ? ?4 3t 恒成 立， 此时t?7
第 49 页 共 103 页
若a b 0
3 3? ，即? ? ?3 3t ，t?4，此 时c t a3 ? ? ? ? ?1 2 2，解 得t?3，故3 4? ?t
若a b 0
3 3? ，即? ? ?3 3t ，t ?4，此 时c t b3 ? ? ? ? ?3 3 4，解 得t?6，故4 6? ?t
综上 所述 t?? ?3, 6 .
4.已 知 数 列 *
? ?an 中 ，a1 ?1，n a a a? ?n n n?1? ? ?1，n N? 若 对 任 意 的 正 整 数n， 存 在
an?1 2
t?[1, 3]，使 得不 等式 ? ? ?t at2 1成立 ，则 实数a的取 值范 围为___________.
n?1
答 案 ：[-1, )??
a a 1 1 a 1
解 析 ： n n?1 n
n a a a? ?n n n?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 a1 1 ,? ? ?a nn 2 1
n n n n n n?1 ?1
an?1 2 1 1n? a
? ? ? ?2 ,单调 递增 ， n?1
? ? ??n ， ?2，
n n n? ? ?1 1 1 n?1
? ?an?1 2 2 ? ?t 3
? ? ? ?? ? t at2 1，即t at? ? ?2 1 2，? ? ? ?a ? ? ，? ? ?a 1
? ?n?1 max ? ?2 2t min
? 2 2
n a n, n?1 ?
5.数列? ?an 满足an ?? 2? ?n? 2 ，若 数列? ?an 是等 比数 列， 则a1的取 值范 围
?2 ,a a nn n? ?1 1 ?
是 .
9
答 案：a1 ? 2
解 析： 数 列 2 2 2
? ?an 是 等 比 数 列 ， 所 以 a a a n1 ? ? ?2 , 3 ,2 ? n?1 ， 且 此 数 列 通 项 公 式 为
n?1
a an ? ?1 2 ，
2 2 2
所以 n?1 2 ? ?n?1 ? ?n?1 ? ?n?2
a n a1? ? ? ? ?2 1? ? 1 ，令 ，则 ，
n?1 cn ?
n?1 cn?1 ?
n
2 2 2
2 2 2
所以 ? ?n n? ?2 1? ? 2?n 9
c cn n?1? ? ? ? ，即 ： ? ? ? ? ，所 以只 要 ? ?
n n?1 n c c c c1 2 3 ? n a c1 2
2 2 2 2
*
6.（2019届杭 州4月模 拟9）已知 数列? ?an 满足2a a an n n? ?? ?1 1（n N? ，n?2），则（ ）
A．a a a5 2 1? ?4 3 B．a a a a2 7 3 6? ? ?
C．3? ?a a a a7 6 6 3? ? ? D．a a a a2 3 6 7? ? ?
答 案 ：C
第 50 页 共 103 页
解 析：由2a a an n n? ?? ?1 1， 可得a a a an n n n? ? ?? ?1 1 ， 所以a a a a a a a a4 3 5 4 6 5 7 6? ? ? ? ? ? ? ，
所以a a a a a a a a a a6 3 6 5 5 4 4 3 7 6? ? ? ? ? ? ? ? ?3( )，即3? ?a a a a7 6 6 3? ? ? ．故 选C．
7.（2019 届 余 高 、 缙 中 、 长 中 5 月 模 拟 10） 已 知 数 列 ? ?an 满 足 a a1 ? ?0 ，
2 ?
a a ta n Nn n n?1 ? ? ? ?? ?，若 存在 实数t，使? ?an 单调 递增 ，则a的取 值范 围是 （ ）
A．? ?0, 1 B．? ?1, 2 C．? ?2, 3 D．? ?3, 4
答 案 ：A
解 析：因为 2 ?
a a1 ? ?0，a a ta n Nn n n?1 ? ? ? ?? ?，存 在实 数t，使? ?an 单调 递增 ，所 以
2
? ? ? ? ?a ta a an n n 0，解 得0? ? ? ?a a tn 1，下 面求t的范 围
（1）此 时是 不行 的， 交点 为 t
t? ,1 抛物 线中 点横 坐标 为 所以 应该 有它 的反 面， 即
2
?t
? t?? 1
?2
? t?? 2
? ?t ?
f? ? t?? 1
?? ?2?
（2）这 时候 也是 可以 的， 所以 有 t tt ???? 21
2
a的取 值范 围是? ?0, 1 ．故 选A．
8.（2019 届 浙 北 四 校 12 月 模 拟 10） 已 知 数 列 ? ?an 是 一 个 递 增 数 列 ， 满 足
第 51 页 共 103 页
a N a n n Nn? ? ? ?* , 2 1, * ,an 则a4 ?（ ）.
A.4 B．6 C．7 D．8
答 案 ：B.
解 析 ：由a N an + n 1
因为 数列? ?an 是一 个递 增数 列， 所以a aa1 = ?3 1，所 以a1只能 取1, 2, 3.
当a1=1时，a aa1 = =1 3（舍 ）.
可得a a a1> ? = >1 3a1 1，即a1只能 取2.
当a1=2时，a a a a a aa1 = = = = = =2 3, 5, 7a2 3 a3 5 .
因为a a a3 4 5< < ，且a N4 ? +，所 以a4 =6.故选B.
2
9．（2019届 杭二 热身 考17） 数列? ?an 满 足a a a ca1 ? ? ? ? ?1, n n n?1 1， 若? ?an 单 调递 增， 则
实数c的取 值范 围是_________．
答 案 ：? ?3,?? ．
解 析 ：
因为 2
a a a ca1 1? ? ? ? ?1, n n n? 1，
又因 为? ?an 单调 递增 ，所 以an ?1，
即 2
a a ca c2 1 1? ? ? ? ? ? ?1 2 1，
所以c?3，
由 2
? ?an 单调 递增 ，得a a ca an n n n?1 ? ? ? ? ?1 ，
所以 1 1
c a? ? ? ? ? ? ?1 1 2 3n an ，
an an
当且 仅当 1
an ? ，即an ?1时取 等号 ，
an
所以 实数c的取 值范 围为? ?3,?? ．
n? 2011
10.数列? ?an 中，an ? ,则此 数列 最大 项、 最小 项分 别是 （ ）
n? 2012
第 52 页 共 103 页
A.a a1 50, B. a a1 44, C. a a45 44, D. aa 5045 .,
答 案 ：C
解
目录
1 通项...............................................................................................................................................2
1.1 减项 作差 求通 项...................................................................................................................2
1.2 递推 求通 项...........................................................................................................................7
2 性质...............................................................................................................................................9
3 构造 数列.....................................................................................................................................13
3.1 构造 等比 数列.....................................................................................................................13
3.2 构造 差数 列.........................................................................................................................19
3.3 取倒 类等 差.........................................................................................................................23
3.4 构造 对数.............................................................................................................................31
4 求和.............................................................................................................................................33
4.1 错位 相减.............................................................................................................................33
4.2 裂项 相消.............................................................................................................................37
4.3 指数 裂项.............................................................................................................................39
4.4 奇偶 并项.............................................................................................................................40
5 单调 性.........................................................................................................................................48
6 周期 性.........................................................................................................................................53
7 不动 点.........................................................................................................................................57
8 放缩.............................................................................................................................................61
9 公式 应用.....................................................................................................................................64
10 与三 角结 合...............................................................................................................................72
11 与函 数性 质结 合.......................................................................................................................77
12 综合 题.......................................................................................................................................88
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1 通 项
1.1 减项作差求通项
1.记 2
Sn为数 列?an?的前n项的 和， 若S a n nn n? ? ? ?2 1，则a6 ?
答 案 ：11
2
解 析 ： 2
?S a n n S n a n an n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 n?1 ? ?1 2 1 11n 6
2.设数 列{ }an 前n项和 为S a nn n? ? ?4 3 2，求 an及 Sn
n-1 n?1
答 案 ： 1 0 4? ? ?4?
an ? ? ?? ? 3、Sn 10?? ? ? n?? 103
3 3? ? ?3?
1
解 析 ：S a n an n? ? ? ? ?4 3 2 1 3
因为S a nn n? ? ?4 3 2，① 所以S a nn n? ?1 1? ? ? ?4 3( 1) 2②
②-① 得：S S a n a n a a an n n?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4 3 3 2 ( 4 3 2 ) 4 4 3?1 n n n n? ?1 1
4 4
? ? ?a a a an n?1= 1 +3 = 3? ?n?1 ? ?n ?
3 3
10 4
所以? ?an ?3 是以 为首 项， 为公 比的 等比 数列 ，
3 3
n-1 n-1
则 1 0 4 1 0 4? ? ? ?
an ? ? ? ? ? ?3= ? ? an ? ? 3
3 3? ? 3 3? ?
n?1
前n项和 ?4?
Sn 10?? ? ? n?? 103
?3?
2
3.已知Sn是数 列{ }an 的前n项和 ，an ?0，a a Sn n n? ? ?2 4 3，则{ }an 的通 项公 式为____.
答 案 ： n na ?? 12
解 析 ： 2
a a S an n n? ? ? ? ?2 4 3 31 或a1 ? ?1（舍 ）
因为 2 2
a a Sn n n? ? ?2 4 3① ，所 以有a a Sn n n+1 +1 +1? ? ?2 4 3②
②-① 得： 2 2 2 2
a a a a S S a a a a an n n n n n n n n n n+1 +1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 4 4 4+1 ?1 +1 2 2 0+1
2 2
a a a a a a a an n n n+1? ? ? ? ? ? ? ?2? ? ? ? ? ?+1 0 n n n n?1 2 = 0?1
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因为an ?0，所 以a an n?1? = 2；所 以{ }an 是以3为首 项，2为公 差的 等差 数列 ，
则 n nna ????? 12)1(23
4.设数 列? ?an 的前n项和 是Sn， 1 1? ?aa Sn n? ,1, 3 求? ?an 的通 项公 式.
答 案 ： n?
? 1
an 4
解 析 ：因为a Sn n?1 ? ,3 所以 有a Sn n?3 ,?1
an?1
两式 做差 有a S Sn?1 an ?? 3 3 3 4n ? ? ?n?1 an ?
an
所以 ?
? ?a n 1
n 是以1为首 项，4为公 比的 等比 数列 ，an ?4
n?2
5.设数 列? ?an 满足a1 ? ?1,S an n,求? ?an 的通 项公 式.
3
2 ?
答 案： nn
an ? 2
n?2 n?1
解 析：因 为S an ? n,所以 有S an-1 ? n-1,
3 3
n n n n? ? ? ?2 1 1 1 an n?1
两式 做差 有Sn ?Sn?1 ? a a a an? ?n?1 n?1? ? ?n
3 3 3 3 a nn?1 ?1
2
a 3 4 5 n?1 nn ? )1( ?nn
累乘 法可 得： n ??? ... ? an ??
a1 1 2 3 n?1 2 2
6.设数 列? ?an 的前n项和 是Sn,a a S S1 ? ? ?1, n n n?1 ?1,
（1）求Sn；
（2）求an.
? ，n?? 11
1 ?
答 案 ：Sn ?? ，an ?? 1
n ? n?2,
? nn ? )1(
1 1
解 析 ：a S S S S S Sn n n n n n n?1 ? ? ?1 1? ? ? ? ? ?? ?1 1
S Sn n?1
? ?1 1
所以 数列? ?是以 ?? 1为首 项， 以-1为公 差的 等差 数列 ，
? ?Sn S1
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1 )1(1 ?????? 1
nn ，所 以Sn ??
Sn n
1 1 11 1
Sn Sn1- ????? ， SSa nnn 1- ??????
n n 1- 1- nnnn )1-(
? ，n?? 11
?
所以an ?? 1
? n?2,
? nn ? )1(
2
2S
7.已知 数列 n
? ?an 的前n项和 是Sn，a1 ?1, an ? ?( 2)n .
2 1Sn ?
? ?1
（1）证 明： 数列? ?是等 差数 列；
? ?Sn
（2）求 数列? ?an 的通 项公 式.
1 1
答 案：（1）见 解析 （2）an ? ?
?12 nn ?32
2 2
2S 2S 2
解 析 ：因为 n n
an ? ，所 以有S Sn n? ? ? ? ? ??1 ? ? ? ?S S S Sn n n?1 2 1 2 n
2 1Sn ? 2 1Sn ?
2 2
? ?2 2S S S S S S S S S Sn n n n n n?1? ? ??1 2 ? ? ??2 n n n n?1 ?1 ?0
1 1
? ? ? ? ? ? ?S S S Sn n n n?1 2 ?1 2
S Sn n?1
? ?1 1 1
所以 数列? ?是以 ?1为首 项， 以2为公 差的 等差 数列 ，且 nn ????? 12)1(21
? ?Sn S1 Sn
1 1 1 1
（2）由 上可 得Sn ? Sn?1 ?? , SSa nnn ?1 ??? ?
n?12 n?32 ?12 nn ?32
8.设 数 列? ?an 的 前n项 和 为Sn , 且 a a1 2? ?1, ?nS n an ? ?( 2) n? 为 等 差 数 列, 则? ?an
的通 项公 式an ?
n
答 案 ：an ? n?1
2
解 析 ：设b n S n an n? ? ?( 2 ) n，
? 数列? ?an 的前n项和 为Sn，且a a1 2? ?1,
? ? ?b b1 24, 8, ? ? ? ? ? ? ?b b nn 1 ( 1) (8 4 ) 4n
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即b nS n a nn n? ? ? ?( 2) 4n ;
2 2
当n?2时,S S a an n? ? ? ? ? ??1 (1 ) (1 ) 0n n?1
n n?1
2( 1) 1n n? ?
? ?a an n?1 ,
n n?1
a a
即 n n?1
2? ? ,
n n?1
? ?an 1
?? ? 是以 为公 比，1为首 项的 等比 数列,
? ?n 2
n?1
an ? ?1 n
? ?? ? ? ?an n?1
n ? ?2 2
3 n?1
9. 已知 数列? ?an 的前n项和 是Sn， n naS ?3= .
2
? ?a
（ n
1）求 证：? ?n 为等 差数 列.
? ?3
（2）求 数列? ?an 的通 项公 式.
答 案 ： n
n ? ? ?na + 2) 3( 4
解 析 ：
3 n?1 3
Sn n= a ?3 ? ? ? ? ?a1 a1?9 1a1 8
2 2
3 n?1 3 n 3 3n?1 n
Sn n= .a ?3 ?Sn n-1 -1= a ?3 ?S Sn n n? -1= a a3 3?? n-1?
2 2 2 2
1 3 n n a an n-1
? ? ? ? ? ? ? ? ?a a a an n= 2 =3-1 3 n n-1 4 3 n n?1 = 4
2 2 3 3
? ?a a a
所以 n 1
? ?n 是以 ?? n
6为首 项，-4为公 差的 等差 数列 ，且 n ? ? ? ? ? ? ?6 4( 1) 4 2n n
? ?3 3 3
（ n
2）由 上面 可得 n ? ? ?na + 2) 3( 4
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3
10.（浙 江学 考） 数列{ }an 的前n项和Sn满足S a nn n= - n?N *，则 下列 为 等比 数列 的是
2
A.{ }an +1 B.{ }an -1 C.{ }Sn +1 D.{ }Sn -1
答 案 ：A
3 3 3 3
解 析：S a n S a n S S a n a nn n= - ? = - ? - - - -n n-1 -1 +1 =n n n-1 n-1 +1
2 2 2 2
a a a an n=3 2 +1=3 1-1+ ? n ( n-1+ )所以{ }an +1 是等 比数 列
?
11.已知 数列? ?an 的前n 项和 为Sn ，a a1 2? ?1, 2 且S S S a n Nn n n n? ?2 1? ? ? ? ?3 2 0? ?记
1 1 1 1 ? ?
Tn ? ? ? ? ? ?? ,? ?n N ，若? ?n T? ?6 ? n 对n N? 恒成 立， 则? 的最 小值
S S S S1 2 3 n
____________.
1
答 案 ：6
解 析 ：S S S an n n n? ?2 1? ? ? ?3 2 0 即S S S S Sn n n n n? ?2 1? ? ? ? ?3 2 ?1 0 化简 可得
n n? ??1
a a an n n?2 ? ? 2 ?1，? ?an 为等 差数 列，a nn ? ，Sn ? ，
2
1 2 1 1? ? 1 1 1 1 1? ?
? ? ?2? ? ，T n? ? ? ? ? ? ? ? ?? 2 1? ? ? ?n 6 ?
S n n n nn ? ??1 ? ??1 S S S S n1 2 3 n ? ??1
2n 2 2n 2 1
?? ? ?2 ，n?2 或者n?3 最大 值为
? ? ? ?n n n n? ? ? ?1 6 7 6 6 6 6
n? ?7 n? ?7
n n
1
? 的最 小值 为6
S
12.记 数 列 n
? ?an 的 前n项 和Sn， 已 知2 1 1S a n an n? ? ? ?? ?n ， 且a2 ?5， 若m? n ， 则
2
实数m的取 值范 围为___________.
答 案 ：? ?2,? ?
解 析 ：
2 1 1S a n an n? ? ? ?? ?n ,
2 1 1 1 2S a n a nn n? ?1 1? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?n?1 上式 相减 可得na n an?1 ? ? ?? ?1 1n 即
a an n?1 1
? ? ， 由2 1 1S a n an n? ? ? ?? ?n ，a2 ?5可得a1 ?3，
n n n n? ?1 1? ?
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a an n?1 1 a 1
? ? 累加 可得 n ? ?2 ，a nn ? ?2 1 ，a1 ?3，符 合a nn ? ?2 1.
n n n n? ?1 1? ? n n
故a nn ? ?2 1
S n nn ? ?? ?2
Sn n n? ??2
m? ?n n
2 2
n n? ??1
令 ?
g n( ) ,? ?n N
n
2
3 3 5 1 5
g g g g g(1) 1, ( 2 ) , (3) , ( 4 ) , (5)? ? ? ? ? 开始 逐渐 递减 ，则m? ? ?? ?2, .
2 2 4 1 6
1.2 递推求通项
( 2)( 1)n n n? ?
1.已知 数列 *
? ?an 满足a a a na1 2 3? ? ? ? ? ? ? ?2 3 n ? ?n N? 则an ?______.
3
答 案 ：a nn ? ?1
解 析 ：当n?1时，a1 ? 2
( 2)( 1)n n n? ?
当 *
n?2时，a a a na1 2 3? ? ? ? ? ? ? ?2 3 n ? ?n N? ①
3
( 1) ( 1)n n n? ?
a a a n a1 2 3? ? ? ? ? ? ? ? ?2 3 1? ? n?1 ②
3
①?②并整 理可 得a nn ? ?1，代 入a1 ? 2验证 符合 ，? ? ?a nn 1
2. 若 数 列 2
?an? 是 正 项 数 列 ， 且 a a a n n1 2? ? ? ?… …+ 3n ， 则
a a1 2 a
…… n
? ? ?+
2 3 1n?
答 案 ：2 ( 3)n n?
解 析 ： … … 2
? a a a n n1 2? ? ? ?+ 3n
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? 2
? a a a n n1 2? ? ? ?… …+ 3n
?? 2
?? a a a n n1 2? ?… …+ 1 3 1n?1 ? ? ? ?? ? ? ?
2 an
? ? ? ? ? ? ? ? ?a n a nn 2( 1) 4( 1) 4( 1)n n
n?1
4 ( 2 1)n n? ?
? ? ?2 ( 3)n n
2
3.已知 数列 2
? ?an 中，a1 ? ? ? ?? ?1, 2 3a a a n a1 2 3 ? n n .求数 列? ?an 的通 项公 式.
答 案 ： n?12
an ? n
解 析 ：因为 2
a a a n na1 2 3?2 3 ?? ? ?? n
2
所以 有a a a n a n1?2 3 ( 1) 12 ? ? ? ?3 ?? n?1 ? ? ?
n?12
两式 相减 ： n 12 anna n ???? n
4.已知 数列 2
? ?an 中，a1 ?1,对所 有的n?2都有a a a a n1 2 3? ? ? ? ?... n ，则an等于___.
?1， n?1
?
答 案 ：a ? 2
n ?? n ?
?? ? n?2,
??n?1?
解 析 ： 2
a a a a n1 2 3? ? ? ? ?... n
有 2
a a a a n1 2 3? ? ? ? ? ?... ( 1)n-1
2 ?1， n?1
?
两式 相除 ： ? n ? 2
an ?? ? 所以an ??? n ?
?n?1? ?? ? n?2,
??n?1?
5．已 知数 列 3 n n
? ?an 满足 ：a a a a a1 ? ? ? ? ? ?, 3 , 91 3n n n n?2 ?6 ，则a2015＝（ ）
8
2015 2 0 1 5 2015 2 0 1 5
A．3 3 3 3 3 3
? B． C． ? D．
2 2 8 8 2 2
答 案 ：B .
解 析 ：
由已 知 n
a an n?2 ? ?3 ①
n
a an n?6 ? ? ?91 3 ②
?
由① 可得 ； n 2
a an n? ?4 2? ?3 ③
第 8 页 共 103 页
由①?③ 得：
n n
a an n?4 ? ? ?10 3 ，则a an n? ?6 2? ? ?90 3 ④
由②?④ 得：
n
a an n?2 ? ?3 ， ⑤
由① ⑤得 n 1 n
a an n?2 ? ? ? ?3 3 ，
8
则 1 n?2 1 n
an?2 ? ? ? ? ?3 an 3 ，
8 8
所以 1 12015 1
a2015 ? ? ? ? ?3 a1 3 0，
8 8
所以 1 2015
a2015 ? ?3 ，
8
故选B．
n 1 n?1 1
6.整数 列{ }an 满足a an n? ?1 1? ? ?3 ，a an n?2 ? ? ?3 ，a2 ?3，则a2 0 1 8 ?（ ）.
2 2
1010 1009 2019 2018
3 3? 3 3? 3 3? 3 3?
A． B． C． D．
2 2 8 8
答 案 ：C.
解 析 ： n 1 n?1 1 n 1
?a an n? ?1 1? ? ?3 ，a an n?2 ? ? ?3 ， ? ? ? ?a an n? ?1 1 3 ，
2 2 2
又由 数列 n
{ }an 为整 数列 ，故a an n? ?1 1? ?3 ，
即 3 5 7 2017
a a4 2? ?3 ，a a6 4? ?3 ，a a8 6? ?3 ，? a a2018 2016? ?3 ，
1008 2019
累加 得： 3 5 7 2017 27(1 9 ) 3 27? ?
a a2018 2? ? ? ? ? ? ? ?3 3 3 3 ?
1 9 8?
2019
3 3?
又?a2 ?3， ? ?a2018 ， 故选 ：C．
8
2 性 质
1.已知 数列? ? ? ?a bn n, 为等 差数 列， 若a b a b1 1 3 3? ? ? ?7 , 2 1，则a b5 5? ?_______
答 案 ：3 5
解 析 ：?? ? ? ?a bn n, 为等 差数 列
? ?? ?a bn n 也为 等差 数列 ? ? ? ? ? ?2? ? ? ? ? ?a b a b a b3 3 1 1 5 5
? ? ? ? ? ? ?a b a b a b5 5 3 3 1 12? ? ? ? 35
第 9 页 共 103 页
S S
2.在 等差 数列 12 10
? ?an 中，a1 ? ?2 0 0 8，其 前n项 和为Sn，若 ? ?2，则S2 0 0 8的 值等 于
12 10
（ ）
A.?2007 B.?2008 C.2 0 0 7 D.2008
答 案 ：B
S ? ?S
解 析 ：由 等 差 数 列 前n 项 和 特 征 2 n
S A n B nn ? ? 可 得 ? ? n
A n B， 从 而 可 判 定? ?为
n ? ?n
S S
等差 数列 ，且可 得公 差 n 1
d ?1，所以 ? ? ? ? ?? ?n d n1 2009，所以S n nn ? ?? ?2009 ，
n 1
即S2 0 0 8 ? ?2 0 0 8
A 7 1n? a
3.已知 n 1 1
? ? ? ?a bn n, 为等 差数 列 ，且前n项和 分别 为A Bn n, ，若 ? ，则 ?_____
B nn 4 27? b1 1
4
答 案 ：3
21
? ? ?a a
a a a a2 1 21? A 4
解 析 ： 11 11 1 21 2 21
? = ? ? ?
b b b b11 11 1 212 ? 21 B 3
? ?b b 21
1 21?
2
点 评 ：本 题 是 经典 考 题 ， 利 用的 等 差 数 列 中项 的 性 质 ， 倒 推回 去 的
A 7 1n? a
4.已知 n 5
? ? ? ?a bn n, 为等 差数 列 ，且前n项和 分别 为A Bn n, ，若 ? ，则 ?_____
B nn 4 27? b6
64
答 案 ： 71
An 7 1n?
解 析：本 题与 上题 进行 区分 ，通 项的 性质 利用 失败 ，所 以回 到形 式上，可 以把 ?
B nn 4 27?
上下 同时 乘以kn，即 2 2
n n ???? 274,7 knknBknknA ，
d 2 ? d?
又因 为等 差数 列的Sn ?an 1??? ?n，所 以可 得： 1 1 5 ??? 64,8,14 kakakd
2 ? 2?
a5 64
2 1 6 ??? 71,31,8 kakbkd ，所 以 ?
b6 71
第 10 页 共 103 页
4.在 等差 数列? ?an 中，a1 ? 0，若 其前n项 和为Sn，且S S1 4 8? ，那 么当Sn取 最大 值时 ，n
的值 为（ ）
A. 8 B. 9 C. 1 0 D. 11
答 案 ：D
解 析 ：
解 法 一：由S S1 4 8? 可得S S a a a1 4 8 9 1 0? ? ? ? ? ?? 1 4 0，可得a a a a1 1 1 2? ? ? ? ?0 1 1 1 2，
因为a1 ? 0，所 以a a1 1 1 2? ?0, 0，从 而S1 1最大
解 法 二 ：也 可 从Sn的 图 像出 发 ， 由S S1 4 8? 可 得Sn图 像 中n ?11是 对 称轴 ， 再 由a1 ? 0与
S S1 4 8? 可 判断 数列? ?an 的 公差d ?0，所 以Sn为 开口 向下 的抛 物线 ，所 以在n ?11处Sn取
得最 大值
?
5.已知 等比 数列 n 1
an的前n项和 为S tn ? ? ?2 1，则 实数t的值 为（ ）
A. ?2 B. ?1 C. 2 D. 0.5
答 案 ：A
解 析 ： 由 等 比 数 列 的 性 质 可 知 其 前 n 项 和 为 n
S A q An ? ? 的 形 式 ， 所 以
n?1 t n t
S tn ? ? ? ? ? ?2 1 2 1，即 ? ? ? ? ?1 2t
2 2
n?12
6.等比 数列? ?an 的前n项和 为Sn 3 ?? r ,则r的值 为（ ）
1 1 1 1
A． B．? C． D．?
3 3 9 9
答 案 ：B
解 析 ： 由 等 比 数 列 的 性 质 可 知 其 前 n
n 项 和 为 S A q An ? ? 的 形 式 ， 所 以
2 1n? 1 n 1
S r rn ? ? ? ? ?3 9 ，即r ??
3 3
7.设等 比数 列? ?an 的前n项和 记为Sn，若S S1 0 5: 1 : 2? ，则S S1 5 5: ?（ ）
3 2 1 1
A. B. C. D.
4 3 2 3
答 案 ：A
第 11 页 共 103 页
解 析 ： 由 等 比 数 列 的 性 质 可 知 , ， ?? SSSSS 10155105 成 等 比 数 列 ， 令
1 3 3 3
5 10 ;1,2 510 1 1015 SSSSSSS 15 ?????????? ，S S15 5: : 2 =?
2 2 2 4
1 1
8.已知 等比 数列? ?an ， 2 ,aa 5 ?? ，则 数列? ?log2an 的前10项之 和是 （ ）
4 32
A．45 B．-35 C．55 D．-55
答 案 ：D
1 1 1
解 析 ： 3 aqq 1 ?????
8 2 2
an 1
log2 n ?log aa n? ?log212 2q loglog 2 ???? 1，所 以? ?log2an 是 以 a12 ? 1-log 为 首项 ，-1
an?1 2
? ??? 10110
为公 差的 等差 数列 ，S10 ? ?? 55
2
S S1 2 S S3 25
9.等 差 数 列 前n项 和 为Sn， 且S S2 5 2 6? ?0, 0， 则 数 列 , , , ..., 的 最 大 项 是 第
a a a a1 2 3 25
（ ）
A.1项 B.25项 C.24项 D.13项
答 案 ：D
解 析：S S a a a a a a a a a25 26? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0, 0 1 25 1 260, 0 0, 0 0, 013 13 14 13 14
所以 1 da ?? 0,0 ， ...?? aaa 1321 ，且 ...?? SSS 1321 ，所 以S13最大
10.设等 差数 列? ?an 的前n项和 为Sn,若S n S m m nm n? ? ?, ? ?，则 有Sm n? ? _ _ _ _ _ _
答 案 ： ?? nm )(
解 析 ： 2
S n S mm n? ?, ，可设 n ?? B nA nS
? 2
? ??? nBmAmS
则 m
? BnmA ?????
2 1)(
?? n ??? mBnAnS
所以 2
S A m n B m n m n A m n B m nm n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( ) ( )? ?
11.设 数 列{ }an ，{ }bn 都 是 正 项 等 比 数 列 ，Sn，Tn分 别 为 数 列? ?lgan 与? ?lgbn 的 前n项 和 ，
?
且Sn n 1
? ，则lo gb5 a5 ?（ ）.
T n n2
A．5 9 5 3
B． C． D．
3 5 9 5
第 12 页 共 103 页
答 案 ：C.
解 析 ：设正 项等 比数 列{ }an 的公 比为q，设 正项 等比 数列{ }bn 的公 比为 p，
则数 列{ lg }an 是等 差数 列， 公差 为lgq，{ lg }bn 是等 差数 列， 公差 为lgp．
故 n n( 1)? n n( 1)?
S n an ? ? ? ?lg 1 lgq，同 理可 得T n bn ? ? ? ?lg 1 lgp，
2 2
n n( 1)? n?1
? n alog
Sn n 1 1? ? ? ?lg lg lgq a q1 n?1
又 ? ? 2 ? 2 ? ，
T n n2 n n( 1)? n?1 2n
n blog 1? ?lg log lgp b p1? ?
2 2
则 l g a
? ? ? ? ?5 l g a l g q1?4 S9 1 0 5
lo gb5 a5 ，
l g b l g b l g p T5 1?4 1 8 99
故选 ：C．
12.（2018学 年 浙 江 名 校 协 作 体 高 三 上 开 学 考9） 已 知 公 差 为d的 等 差 数 列? ?an 的 前n项 和
为Sn， 若 存 在 正 整 数n0， 对 任 意 正 整 数m， 有S Sn n m0 0? ?? 0恒 成 立 ， 则 下 列 结 论 不 一 定 成
立的 是（ ）
A.a d1 ?0 B. Sn 有最 小值 C.a an n0 0?1?0 D.a an n0 0? ?1 2 ?0
答 案 ：C.
解 析 ：因为 任意 正整 数m，有S Sn n m0 0? ?? 0恒成 立，
当 S Sn n m0 ? ?0, 0
0? 时， 有Sn0?1?0， 即an0?1?0，
由Sn0 ?0知：an中有 正数 项， 所以d a? ?0, 01 ，
所以a d1 ?0， Sn 有最 小值 Sn0或者Sn0?1，且a an n0 0? ?1 2 ?0，
当S Sn n m0 ? ?0, 0
0? 时，
所以 选C.
点 评 ：此题 主要 考察 等差 数列 的单 调性 、等 差数 列的 前项n和及 其最 值问 题.
3 构 造 数 列
3.1 构造等比数列
?
1.已知 数列? ?an 满足a1 ?1，a an n?1 ? ?2 1，若集 合M n n n t a n N? ? ? ? ?? ? ? ? ?1 1 ,n ?
中有3个元 素， 则实 数t的取 值范 围是__________.
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? ?5
答 案 ：?1, ?
? ?4
解 析 ：a an n?1 ? ?2 1，a an?1? ? ?1 2 1? ?n ，? ?an ?1 是以 首项 为2公比 为2的等 比数 列，
?
得 n n
an ? ?2 1 a1 ?1符合 上式 ，故an ? ?2 1，M n n n t a n N? ? ? ? ?? ? ? ? ?1 1 ,n ?即
n n n? ??1 n n? ??1 ?
n n t? ?? ? ?1 2 ， n ?t ，令g n( ) ,? ?n N ，
2 n
2
3 3 5 1 5
g g g g g(1) 1, ( 2 ) , (3) , ( 4 ) , (5)? ? ? ? ? 开始 逐渐 递减 ， 集合
2 2 4 1 6
? ? ?5
M n n n t a n N? ? ? ? ?? ? ? ? ?1 1 ,n ?中有3个元 素， 则t??1, ?
? ?4
*
2. 已知 数列? ?a ?
n 中，a1 ? ?1，a a nn n?1 ? ? ?2 3 1（n N ），则 其前n项和Sn ? .
?
答 案 ： n 2 23 7
2 ? ? ?n n 4
2 2
解 析 ：设a x n y a xn yn?1? ? ? ? ? ?? ?1 2? ?
n ，则a a xn y xn n?1 ? ? ? ?2
?x?3 ?x?3
所以? ，解 得?
?y x? ? ?1 ?y?2
即a nn?1? ? ? ? ? ?3 1 2 2 3 2? ? ? ?a nn
?? ?a nn ? ?3 2 是首 项为4，公 比为2的等 比数 列.
n?1 n?1
?a nn ? ? ? ?3 2 4 2 ，即a nn ? ? ?2 3 2
2 3 n?1
?Sn ? ? ? ? ? ? ? ? ??2 2 2 5 8 3 2? ? ? ? n ?
n
4 1 2? ?? n n? ?5 3 2? ?
? ?1 2 2?
n?2 23 7
? ? ? ?2 n n 4
2 2
3.设 数列 *
? ?xn 的 各项 都为 正数 且x1 ?1，△A B C内 的点P n Nn? ?? 均 满足△P A Bn 与△P ACn
???? ???? ???? ?
的面 积比 为 1
2 : 1，若P A x P B x P Cn ? ? ? ?n n?1 ? ?2 1 0n n ,则x4的值 为（ ）
2
A.15 B.17 C.29 D.31
答 案 ：A .
第 14 页 共 103 页
???? ???? ???? ? ?
解 析 一 ：由 奔 驰 定 理 2 1x 2
S P A S P B S P C?P BC n P AC n P AB nn ? ? ??n ?n 0,知 n ? ，
1x 1
n?1
2
得： n
x xn n?1? ?2 1，即x xn?1? ? ?1 2 1? ?n ，解得 ：xn ? ?2 1,
所以 4
x4 ? ? ?2 1 1 5.
解 析 二 ：设D为B C边上 的靠 近点C三等 分点 ，如 图所 示，
由题 意知 点Pn在线 段AD上，
? ???? ???? ???? ???? ???? ????
由 1 1 ???? ????
0? ? ? ? ? ? ? ? ? ?P A x P B x P C P A x P A A B x P A A Cn n n?1 ? ?2 1n n n n n?1? ? ? ?2 1n n? ?
2 2
? ?1 ???? ???? ???? ????1
? ? ? ? ? ? ?? ?1 x P A x P A x AB x ACn n?1 ? ?2 1n n n?1 ? ?2 1n ,
? ?2 2
???? ???? ????
故1x A B x A Cn?1 ? ?? ?2 1n 与P An 共线 ，
2
所以2 1xn ? 2
? ，
1x 1
n?1
2
即 n
x xn?1? ? ?1 2 1? ?n ，解得 ：xn ? ?2 1,
所以 4
x4 ? ? ?2 1 1 5.
点 评 ：此 题 主 要 考 察 向 量 的 加 减 运 算 、 向 量 基 本 定 理 ， 奔 驰 定 理 及 运 用 待 定 系 数 法 求 数 列
通 项 公 式.
???? ???? *
4． 如 图 ， 已 知 点D为△ABC的 边 BC上 一 点 ，BC DC?3 ，E n Nn? ?? 为 边AC上 的 一 列
????? ????? ?????
点，满足 1
E A a E B a E Dn ? ? ?n n?1 ? ?3 2n n ，其中 实数 列? ?an 中，a an ? ?0, 11 ，则a5 ?（ ）．
4
A.46 B.30 C.2 4 2 D.161
第 15 页 共 103 页
答 案 ：D．
解 析 ：
???? ???? ???? ????
因为 4
BC DC?3 ，则BC BD? ，
3
????? ????? ???? ????? ???? ????? ????? ????? ????? ?????
所以 4 4 1 4
E C E B BC E B BD E B E D E B E B E Dn n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n n ? ?
n n n n ，
3 3 3 3
????? ?????
设m E C E An n? ，
????? ????? ?????
所以 1 4
E A m E B m E Dn ? ? ?n n ，
3 3
????? ????? ?????
又因 为 1
E A a E B a E Dn ? ? ?n n?1 ? ?3 2n n ，
4
?1 1
? a mn?1 ? ?
?
所以 4 3
? ，
? 4
? ? ?? ?3 2a m
? n
? 3
即a an n?1 ? ?3 2，
所以a an?1? ? ?1 3 1? ?
n ，
又a1? ?1 2，
所以 数列? ?an ?1 表示 以首 项为2，公 比为3的等 比数 列，
?
所以 n 1
an ? ? ?1 2 3 ，
?
则 n 1
an ? ? ?2 3 1，
所以a5 ?161，
故选D．
5.已 知 函 数 y f x? ? ? 的 定 义 域 为 ? ?0,?? ， 当 x?1 时 ， f x? ??0 ， 对 于 任 意 的
x y, 0,? ??? ? ， f x f y f xy? ? ? ? ? ?? ? 成 立 ， 若 数 列 ? ?an 满 足 a f1 ? ? ?1 ，
*
f a? ?n?1 ? ? ?f a n N? ?2 1n ? ?,则a2 0 1 7的值 为（ ）
2 0 1 4 2 0 1 5 2 0 1 6 2017
A. 2 1? B. 2 1? C. 2 1? D. 2 1?
答 案 ：C.
解 析 一 ：由 f x f y f xy? ? ? ? ? ?? ? 得 f ? ?1 0? ，
第 16 页 共 103 页
x
设 2
x x x x1 2, 0, ,? ?? ?? ? 1 2，所 以 ?1，
x1
? ? ? ?x x2 ? ? ?2 ? ?x2
f x f f x? ? ? ?1 ? ?1 ，所 以 f x f x f? ? ? ?2 ? ? ?1 ? ? 0，
? ? ? ?x x1 1 ? ?x1
所以 *
y f x? ? ?是? ?0,?? 的增 函数 ，且 f a f a n N? ? ? ?n?1 ? ? ?2 1n ? ?，
所以a an n?1 ? ?2 1，即a an?1? ? ?1 2 1? ?n ，
?
解得 ： n 1 2006
an ? ?2 1， 所以a2017 ? ?2 1.
解 析 二：（模 型法 ）由 已知 可构 造对 数函 数 f x x a? ? ? ?? ?log 1a ，
因为 *
f a f a n N? ? ? ?n?1 ? ? ?2 1n ? ?，
所以a an n?1 ? ?2 1，即a an?1? ? ?1 2 1? ?n ，
?
解得 ： n 1 2006
an ? ?2 1， 所以a2017 ? ?2 1.
点 评 ：此题 主要 考察 待定 系数 法求 数列 通项 公式 和数 列单 调性.
x 1
6.（2019届 永康5月 模拟10）已 知数 列 1
? ?xn 满 足x2 ， n n?1 n?2 nxxx ???? ?.4,3),2(
3 3
若对 任意 的 * 3
n ?? 都有 xn 3 ?? ,则x1 ?（ ）
n
9
A．3 B． C．5 D．6
2
答 案 ：C
解 析 ：
1 1
由 n n?1?? xxx n?2)2( ， 不 妨 设 ?xx nn ?1 ( )( n?1???? ?? xx n?2)展 开 后 与 原 式 对 照 ， 解
3 3
2 2
得? ?? 1或?? ，下 面不 妨取??
3 3
2 2
进而 可得 nn ?1 ( n?1 n? )???? xxxxx 12
3 3
2 3
构造xn ? xn?1???? ?)( ，与 上式 对照 ，得? ?? x1
3 5
第 17 页 共 103 页
3 2 2 ?
故 n 1
n xxx 11 (???? ) ，整 理得 ，
2 2 ? 3
5 5 3 n 1
n xx 1 ( ) ???? x1
5 3 5
2 2 ?
则 n 1 3
x1 ( ) ??? x1
5 3 5
若对 任意 的 * 3 3 3
n ?? 都有 xn 3 ?? ,得 xn 3????
n n n
23 2 ?1 3 3
也即 n
x1 ( ) x1 3??????? ，整 理得
n 5 3 5 n
3 3
3? 3?
n x n
1 ??
2 2 n?1 3 2 2 n?1 3
( ) ??? ( ) ???
5 3 5 5 3 5
3 3
3? 3?
当n ??? 时， lim n ?
??? 5， lim n ?5
n 2 2 n?1 3 n ??? 2 2 n?1 3
( ) ??? ( ) ???
5 3 5 5 3 5
故x1 ?5
故答 案选C.
7.（2019 届 衢 州 二 中 第 一 次 模 拟 16） 在 数 列 ? ?an 及 ? ?bn 中 ， 1 ，ba 1 ?? 11 ，
22 22 n? 11 ?
?1 ???? babaa nnnnn ， ?1 ???? babab nnnnn ．设cn 2 ? ?? ?，则 数列
? ? ? ?cn
? ba nn ?
的前n项和 为 ．
?
答 案 ： n 2 ?42 。
解 析 ：因为 22 22
?1 ???? babaa nnnnn ， ?1 ???? babab nnnnn ， 1 ，ba 1 ?? 11 ，
所以 nn ?? 11 nn )(2， bababa 11 ????? 2，
所以 n
ba nn ?? 2 ；
另一 方面 222
nn ?? 11 nn nn ????? 2)()( nn， bababababa 11 ?1，
?
所以 n 1
ba nn ?2 ；
n
? 11 ? ?ba 2 ?
所以 n n nn n n 1
cn 2 ? ?
? ?? ? 2 ?? 2 n?1 ??? 2
? ba nn ? ba nn 2
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n
? )21(4 ?
则数 列 n 2
? ?cn 的前n项和Sn ? ?? 42 .
?21
8.（2019 届 浙 江 名 校 联 盟 第 二 次 联 考 17） 若 t 3
b b b n N n t R1 ? ? ? ? ? ?2, n n?1 ( * 2, )且 ,若
4 4
bn ?2 对任 意n N? *恒成 立， 则实 数t的取 值范 围是 ．
? ?
答 案 ： ，5
? ??4
? ?2
解 析 ： 由 题 意 得 t t3 3 t 3 11 5
b b2 1? ? ? ? ， 由 ? ? ? ?2 2 ， 得 ? ? ?t ；
4 4 2 4 2 4 2 2
2 2
t t t3 3 3 t t3 3 5 5
b b3 2? ? ? ? ? , ? ? ? ? ?2 2 ,得 ? ? ?4 t .下 面 证 当 ? ? ?4 t 时 ，
4 4 8 16 4 8 1 6 4 2 2
t 3 3 t ? ?3
bn ?2 对 任 意n N? *恒 成 立 ， 由b bn n? ??1 ， 得bn ? ? ?? ?bn?1 ， 所 以 数 列
4 4 t?4 4 4? ?t?
n?1
? ?3 3 2 5t? t 3 2 5t t? ? ?
? ?bn ? 是首 项为2? ? ，公比 为 的等 比数 列，所以bn ? ? ? ? ，
? ?t?4 t t? ?4 4 4 t t? ?4 4 4? ?
n?1 n?1
? ? ? ?
即 2 5 3t t? ? 2 5 3t t? ? 2 5 3 2 8t t
bn ? ? ? ? ，则有 bn ? ? ? ? ? ? ? ?2，综上
t?4 4 4? ? t? t?4 4 4? ? t? t t t? ? ?4 4 4
? ?
所述 ，实 数 5
t的取 值范 围是? ??4， .
? ?2
3.2 构造差数列
1.已 知 数 列? ?an 的 前n项 和 为Sn，a1 ?1，S2 ?2， 且a Sn n? ?1，??an?1（??0），Sn?2成
a a? ?
等差 数列 ，则 数列 n n2
? ?2 的前n项和Tn的表 达式 为 .（用 含有?的式 子表 示）
? 3n?
4 1 4?
答 案 ： ? ?
3?
1 4?
解 析 ：? a Sn n? ?1，??an?1（??0），Sn?2成等 差数 列
?2 2?? ? ? ?a a S Sn n n n?1 ? ?1 2，即2 2?? ? ?a a an n n?1 ?2，从 而a a a an n? ?2 1? ? ? ?2? ? ?
n n?1
（ 当 数 列中an较 多 ， 或者 出 现kan时 ， 可 尝试 构 造 关 于an的 差 数 列）
令b a an n n? ??1 ，则b bn n?1 ? ?2?，所 以? ?bn 是首 项为0，公 差为2?的等 差数 列
?b nn ? ?2 1?? ?
?a a nn n?1? ?= 2 1?? ?，a a a a nn n? ?2 1? ? ? ? ?2? ? ?
n n?1 2?
则a a a a a a nn n n n?2 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?2 1 n n?1 2 2 1?? ?
第 19 页 共 103 页
? a an n?2? 2 2 1 2 1?? ? ? ?n? ? n?
2 2 4? ?
a a? ?
数列 n n2 ? 2?
? ?2 是首 项为4 ，公 比为4 的等 比数 列.
?? ?2? n
4 1 4? ? 2n?
? ? ?? ?? ? 4 1 4? ??
Tn ? 2? ? 2?
1 4 1 4? ?
2.已 知 数 列? ?an ，? ?bn 满 足a b a a b b a b1 1? ? ? ? ?1, 2 , +n n n n n n?1 ?1 ， 则 下 列 结 论 正 确 的 是
（ ）
A.只 有 有 限 个 正 整 数n 使 得a bn n? 2 B. 只 有 有 限 个 正 整 数n 使 得a bn n? 2
? ?? ?a
C.数列 n
? ?a bn n? 2 是递 增数 列 D. 数列? ?? 2 是递 减数 列
? ?? ?bn
答 案 ：D.
解 析 一 ：由 b a bn n n?1? + 得：a b bn n n? ??1 ，代 入a a bn n n?1? ?2 中得 ：
b b bn n n? ?2 1? ? ?2 0，
设b b b bn n? ?2 1? ? ?? ? ?? ?n n?1 ，整 理得bn?2 ? ? ?? ?? ? ? ?b bn?1 n，
（ 此 种 形式 多 用 于 出 现三 项 递 推 的 时候 ， 斐 波 那 契 数列 公 式 的 推 导也 是 这 样 ）
?? ?? ?2 ???? ?2 1 ???? ? ?2 1
所以? ，解 得：? 或? ，
?? ?? ?1 ???? ? ?2 1 ???? ?2 1
???? ? ?2 1
取? 得：b b ? ?
n?2+ 2 +1 2 1 + 2 +1 ，
? ?
n?1 ? ?? ? b b
? n?1 ? ?
n?
???? ?2 1
2 n 2 n
解得 ：bn= 1 + 2 1 2 ，
? ? ? ?? ?
4 4
1 1n n
an= 1+ 2 1 2 ，
? ? ? ?? ?
2 2
n
所以a bn n? ? ?2 1 2 ，
? ?
当n偶数 时，a bn n? 2 ，当 奇数 时，a bn n? 2 ，
n
an ? ?1 2?
? ?2 ，因 为b b an n n?1? ? ?0，所 以? ?bn 是递 增数 列，
bn bn
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? ?n
? ?? ?1 2?
又因 为? ?是递 减数 列，
? ?bn
? ?
? ?? ?a
所以 数列 n
? ?? 2 是递 减数 列.
? ?? ?bn
解 析 二：（ 利 用 选项 直 接 构 造 ）
a b a b a b a bn?1? 2 = +2 2 2 1 2 2 2 1 2 2n n n n n+1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?
n ? ?
n ? ?? ?a bn n ，
a b? 2 n?1
所以 n?1 +1n ? ?2 1，得 ：a bn n? ? ?2 1 2 ，
? ?
a bn n? 2
当n偶数 时，a bn n? 2 ，当 奇数 时，a bn n? 2 ，
n?1
a bn n? ? ?2 1 2 ，所 以数 列 是递 减数 列，
? ? ? ?a bn n? 2
所以 排除A、B、C.
点 评 ：此题 主要 考察 数列 求和 、待 定系 数法 求数 列通 项公 式、 数列 单调 性.
3.在 数列? ?an 中 ，a1 ?2，若 平面 向量bn= ? ?2, 1n? 与cn= ?? ? ?1 ,a a an n n?1 ?平 行，则? ?an 的
通项 公式 为 .
2
2 3 1n n? ?
答 案 ：an ? 3
解 析 ：由 题 意 可 知2 1 1a n a an ? ? ? ? ?? ? ?
n n?1 ?（ 此 时 化 简 为 n n?1 nanan ????? )1()1()3( 并 不
能 继 续 求通 项 ， 所 以 采取 逐 差 ）
当n?2，2 1a n a an?1 ? ? ? ??
n n?1?
两式 相减 得? ? ? ? ? ?2 3 1 2 1n a n a n a? ? ? ? ? ?n n?1 n?1
? ? ? ? ? ?2 5 1 3 2n a n a n a? ? ? ? ? ?n+1 n n+2
两式 相减 化简 得? ? ? ? ? ?a a a a a an n n n? ?2 1? ? ? ? ??1 2 n n?1
28
而计 算得 出a , a , a1 2 3? ? ?2 5 3
4
故数 列? ?a an n?1? 是以3为首 项， 为公 差的 等差 数列
3
1
a a nn n? ? ??1 ? ?4 5
3
第 21 页 共 103 页
2
2 3 1n n? ?
用累 加法 求得an ? .
3
4.已知 数列? ?an 的前n项和Sn满足S S S S nn n n n?1 ? ? ? ? ?3 3 2 3? ?1 2 ? ?，且
a a a1 2 3? ? ?3, 8, 15,，则an ?____________.
答 案 ： 2
n n?2
解 析 ：由S S S S nn n n n?1 ? ? ? ? ?3 3 2 3? ?1 2 ? ?,可得a a a a nn n n n?1? ? ? ? ??1 2 3? ?
令b a a nn n n? ? ??1? ?3 ，b3 ?2，a a nn n? ? ??1 2 1 经检 验n?2也符 合上 式， 累加 可得
2 2
a n nn ? ?2 a1 ?3符合 上式 ，故a n nn ? ?2
5.已知 数列 n
?an?的前n项的 和为Sn，a a1 2? ?1, 3,且S S S nn n? ?1 1? ? ? ?2 2 ( 2 ),n 若
?
? ? ?( ) 7 ( 2 )S an n? ? ? ? ? n对任 意n N? 都成 立， 则实 数?的最 小值 为
3
答 案 ：32
解 析： n n n n
?S S S S S S S a an n? ?1 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 ,n n n n n? ? ? ??1 ?1 2 n n?1 2 ,an ? ?2 1
n?1 n 2 7n? 2 7n?
Sn ? ? ?2 2 n? ? ? ? ? ? ? ? ??( 2 1) 7 ( 2 )n ? ? ?n n ? ?bn n
2 2
?
? 2 5n 2 5n? 2 7 9 2n n? ?
bn?1 ? ?
n?1 bn?1? bn ? n?1 ? ?n n?1 ? ? ? ? ?b b b b b1 2 3 4 5,
2 2 2 2
3 3
? ? ? ? ?b b b b b9 8 7 6 5,?bn的最 大项 是b5 ? ?实数?的最 小值
32 32
6.已知 数列?an?中 1 n?1 n ???? nannaa ,)2(,1 求数 列?an?的通 项公 式
答 案 ： ? 2
n na
a a a
解 析：同时 除以 n?1 n 1 n 1 1
nnn ?? )2)(1( ， ? ? ? ? ?
nn ?? ? )1()2)(1( nnnn ?? ? )1()2)(1( ?1 nnnn ?2
an?1 1 an 1
? ? ?
?? )2)(1( nnn ? ? )1(2 nnn ?1
? ?
所 以 数 列 an 1 an 1 a1 1 2
? ? ?是 常 数 列 ， 且 ? 1 n ????? na ， 验 证 首 项 成
? ? )1( nnn ?1? ? )1( nnn ? 21 2
立， 所以 ? 2
n na
第 22 页 共 103 页
? ?
点 评 ：把 an
? ?看 成 新 数列 累 加 也 可 以
? nn ? )1( ?
1 2 *
7. 已 知 数 列?an?的 前n 项 的 和 为Sn ， 满 足a1 ?? ,且 aa nn ?1 ?? 2 ?Nn )( ， 则
2 ?2nn
S2n ?_____an ?_______
答 案 ： ? 2
n na
2 2 n? )1(2 1 1
解 析： aa nn ?1 ?? 2 ? ? aa nn ?1 ??? ?
?2nn nn ? )2( nnn ?? )2)(1( ? )1( nnnn ?? )2)(1(
1 ? 1 ?
an ?? ??an?1??? ??
nn ? )1( ? nn ?? )2)(1( ?
? 1 ? 1
所 以 ?an ? ? 是 以 a ??? 1 为 首 项 ， 以 -1 为 公 比 的 等 比 数 列 ，
? nn ? 1
)1( ? 2
1 n n 1
an ? an )1()1( ??????
nn ? )1( nn ? )1(
1 2n
S2n 10 ??? ?
n?12 n?12
点 评 ：也 可 分 奇偶 讨 论
?np
8.已知 数列?an?的前n项的 和为Sn，an ? 24 ,且Sn ? ,3 则P的最 大值 为（ ）
nn ?? 1
A.5.5 B.6 C.6.3 D.6.5
答 案 ：B
?np 1 ? 1 1 ?
解 析 ：an ? 24 p ??? ? 2 ? 2 ?
nn ?? 1 2 ? ?? 1 nnnn ?? 1?
p? 1 ?
所以Sn ?1?? 2 ? 3 Pmax ??? 6
2? nn ?? 1?
点 评： 此 题 裂项 不 是 很 好 想， 要 慢 慢 积 累经 验 ， 观 察 形 式
3.3 取倒类等差
1 9
1.在 公差 不为0的 等差 数列 中，a a a a1 5? ? ?p q ，记 ? 的 最小 值为m；若 数列? ?bn
p q
2 2 1b bn n?1? s
满 足 ?
bn ?0 ，b m1 ? ，bn?1是1 与 2 的 等比 中项，若bn ? 对 于任 意n N?
11 4?bn 2
恒成 立， 则s的取 值范 围是____________.
第 23 页 共 103 页
答 案 ：? ???, 1
1 9 1
解 析 ：因为a a a a1 5? ? ?p q所以 p q? ?6 ? ? ?( )p q 又因 为 p q, 都是 正整 数，
p q 6
1 9 11 2 1
所以 p q? ?2, 4 时候 ? 的最 小值m? ，b m1 ? ? ；
p q 4 1 1 2
2 1b bn n?1? 2 2 1b bn n?1?
bn?1是1 与 2 所以bn?1 ? 2 化简 可得
4?bn 4?bn
2
? ? ? ?2 2 2 1 0? ? ? ? ?b b b b bn?1 n n n n?1 ?1 可得?2b b b b b bn n n? ?1 1? ? ? ? ?1 2? ? n n n? ?1 1 1 0?
1
又因 为公 差不 为0正项 数列 ，所 以2b b bn n n? ?1 1? ? ?1 0，化 简可 得bn?1 ? 2?bn
1 1 1 1
x? 解得x?1 化简 可得 ? ?1， ? ?2，
2?x b bn?1? ?1 1n b1?1
1 n n s 2
? ? ? ? ? ? ? ?2 1 1 1? ? ? ?n n ，bn ? bn ? ? 即2? ? s s?1
bn ?1 n?1 n?1 2 n?1
s?1 s 的取 值范 围是???, 1?
点 评 ：计算 通项 的时 候也 可用 数学 归纳 法
???? ????
2.如 图 ， 点 D 为△ABC 的 边 BC 上 一 点 ， BD DC?2 ， E n Nn? ?? 为 AC 上 一 列 点 ， 满 足
????? ????? ?????1
E A a E D E Bn ? ? ?? ?4 1n n n ， 其 中 实 数 列 ? ?an 满 足 4 5 0an ? ? ， 且 a1 ?2 ， 则
4 5an?1?
1 1 1? ? ? ?? .
a a a1 2? ? ?1 1 1n
n?1
答 案 ：3 3? ?2n
2 2
????? ????? ?????1 2
解 析 ：E D E B E Cn ? ?n n
3 3
????? ????? ????? ??????3 1 ?
设E A E C E D E Bn ? ? ?? ?n ? n n ?
?2 2 ?
第 24 页 共 103 页
3
4 1an ? 2
结合 题意 可知 ? ?
1 1
4 5 2an?1?
5 2an ? 1 3 1 ? ?1
整理 可得an?1 ? ， ? ?4， +2 3 2? ?? ?
4 1an ? a an?1? ?1 1n an?1?1 ? ?an ?1
? ?1
故数 列? ?+2 是以3为首 项，3为公 比的 等比 数列
? ?an ?1
1 1
? ? n n
2 3 ， ? ?3 2
an ?1 an ?1
n
1 1 1 ? n?1
? ? ? ? 3 1 3
? 2 n ? ? 3 3
? ? ? ? ? ? .
a a a 3 3 3 2+ + + n? 2 2n n
1 2? ? ?1 1 1n ? ? 1 3 2 2?
1 1
3. 已 知数 列 2 *
? ?an 满 足a1 ?1，a a an n n? ?? ?1 12 （n?2），若bn ? ? （n?N ），则 数
a an n?1 ?2
列? ?bn 的前n项和Sn ? .
1
答 案 ：Sn ? ?1
2n?1
2
解 析 ：当 2
n?2时，a a an n n? ?? ?1 12 ? ? ?a a an n n? ?1 1? ?2
1 1 1 1 1? ?
? ? ? ?? ?
a a an n n? ?1 1? ??2 2?a an n? ?1 1?2?
2 1 1
? ? ?a a an n n? ?1 1 ?2
1 1 1 1
? ? ? ? ，
a a a an n?1?2 n n?1
所以 当 * 1 1 1 1 1 1
n?N 时， ? ? ? ，即bn ? ?
a a a an n?1 ?2 n n?1 a an n?1
? ?1 1 1 1 1 1 1 1 1? ? ? ?
所以Sn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? 1
? ?a a a a a a a a a1 2 2 3? ? ? ?n n?1 1 1n? n?1
由 2 2
a a an n n? ?? ?1 12 ，a an ? ? ?1 1? ?
n?1 ，对 此等 式左 右两 边取 对数 ：
lg 1 2 lg 1? ? ? ?a an ? ? ?n?1
所以? ?lg 1? ?an ? 是以lg 2为首 项，2为公 比的 等比 数列
n?1 n?1
故lg 1 lg 2 2 2
? ?an ? ? ? ，从 而an ? ?2 1
第 25 页 共 103 页
1 1
所以Sn ? ? ? ?1 1
2n?1 .
an?1 2
? ?
4.首 项为1的 数列 2 1
{ }an 满 足： 当n?2时 ，a a an n n? ?? ?1 1， 记数 列? ?的 前n项 和为Pn，
? ?1?an
前n项积 为Qn，则P Qn n? ?
答 案 ：1．
解 析 ：首项 为1的数 列 2
{ }an 满足 ：当n?2时，a a an n n? ?? ?1 1，
所以 2 1 1
a a a a an n n n n?1 ? ? ? ?( 1)，故 ? ，
a a an n n?1 ( 1)?
即 1 1 1a 1 a
? ? ?n ，由 ? n ，可 以求 得
1?a a a an n n n?1 ?1 1?a an n?1
1 1 1 a a1 2 an 1
Qn ? ? ? ? ? ?? ，
1 1 1? ? ?a a a a a a a1 2 n 2 3 1 1n n? ?
所以 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Pn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ，
1 1 1? ? ?a a a a a a a a a a1 2 n 1 2 2 3 n n?1 n?1
所以 1 1
Q Pn n? ? ? ? ?1 1．
a an?1 n?1
故答 案为 ：1
5.（2019 届 嵊 州 5 月 模 拟 10） 已 知 数 列 2
? ?an 中 ， a1 ?2 ， a a an n n?1 ? ? ?1 ， 记
1 1 1 1 1 1
An ? ? ? ?? ，Bn ? ? ? ?? ，则 （ ）
a a a1 2 n a a a1 2 n
A.A B2019 2019? ?1 B.A B2019 2019? ?1
1 1
C.A B2019 2019? ? D.A B2019 2019? ?
2 2
答 案 ：C
解 析：因为 2 2 2
a a an n n?1 ? ? ?1，所以a a a a an n n n?1? ? ? ? ? ? ?2 1 ( 1) 0n ，所以a an n?1 ? ? 2，
因为 1 1 1 1 1 1 1
a a an?1? ? ?1 ( 1)n n ，所 以 ? ? ? ，所 以 ? ? ，
a a a a an?1? ? ?1 ( 1) 1n n n n a a an n ? ?1 1n?1
所以 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
An ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 1 ，
a a a a a a a a a a1 2 n 1 2? ? ? ? ? ? ?1 1 1 1 1 1 12 3 n n?1 n?1
所以 1 1 an ?1
A2019 ? ?1 ，因 为a a an?1? ? ?1 ( 1)n n ，所 以 ? ，
a2020 ?1 a an n?1?1
第 26 页 共 103 页
a a
所以 1 1 1 1 2? ?1 1 an ?1 a1?1 1 1
Bn ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ，所 以B2019 ? ，
a a a a a a a a1 2 n 2 3? ? ? ? ?1 1 1 1 1n?1 n?1 n?1 a2020 ?1
A B2019 2019? ?1，故A，B不正 确 ，由a1 ? 2可依 次求 的a2 ?3，a3 ?7，由a an n?1 ? ? 2，
1 1 2 1 2 1
a a2 0 2 0 ? ? ? ?1 1 63 ，所 以 ? ，A B2019 2019? ? ? ? ? ? ?1 1 ，
a2020 ?1 6 a2020 ?1 3 3 2
故答 案选C.
点 评 ：本 题 难 点在 于 对 2
a a an n n?1 ? ? ?1的 变 形 ，找 到An和Bn.
2 ?
6.（2019届 诸暨5月 模拟17）已 知数 列? ?an 的 各项 都是 正数 ，a a a n Nn n n? ?1 1? ? ?? ? ．若
n?1
2 ? ??1
数 列? ?an 各 项单 调递 增，则 首项a1的 取值 范围 是 ；当a1 ? 时 ，记bn ? ，
3 an ?1
若k b b b k? ? ? ? ? ?1 2 ? 2019 1，则 整数k? ．
答 案 ：?4.
解 析： 2
a a a a a an n n?1? ? ? ? ? ? ??1 2 2 0n n? ?1 1? ?
n?1 ,得0 2? ?an?1 ，故a1?? ?0, 2 .
由 2 ? 1 1 1
a a a n Nn n n? ?1 1? ? ?? ?两边 取倒 数可 得： ? ? ，所 以
a a an?1?1 n n?1
1 1 1 1
b b b1 2? ? ? ? ? ? ? ?? 2019 ...
a a a a1? ? ?1 1 12 3 2019 ?1
? ?1 1 1 1 1 1 1 1? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3 ? ? ? ? ? ? ?... ?
? ?a a a a a a a a1 2 2 3 3 4? ? ? ? ? 2018 2019 ?
9 1
? ? ?2 a2019
又 2 ? ?
a1 ? ，数 列 2
? ?an 单调 递增 ，所 以 1 1 3? ?
a2019?? ?, 2 ，则 ?? ?, ，则
3 ? ?3 a2019 ? ?2 2
9 1
b b b1 2? ? ? ? ? ? ? ? ?? 2019 ? ?4, 3 ，故 整数k ? ?4.
2 a2019
点 评 ：取 倒 数 合 理 变 形 ，累 加 化 简 ，将bn的 前2019项 和 表 示 为a2019的 函 数 ，结 合 单 调 性 求
出a2019的 取 值 范围 ， 可 得bn的 前2019项 和 的 取值 范 围 ， 从 而得 到k的 值.
2 0 1 7
1 1
7.已 知数 列 *
{ }an 满 足a a1 2? ? ，a a a n N nn n n?1 ? ? ? ?2 ( , 2 )?1 ，则? 的 整数 部分 是
2 i?2 a ai i? ?1 1
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（ ）
A．0 B． 1 C．2 D．3
答 案 ：B
1 1 1 1
解 析 ：由a a an n n?1 ? ?2 ?1，得2a a an n n? ?? ?1 1，即 ? ?( )，即
a a a a an n? ?1 1 2 n n n? ?1 1
1 1 1 1 1 1 1? ? ? ?( ) ( )，所 以
a a a a a a a a ai i? ?1 1 2 i i i? ?1 1 2 i i i i?1 ?1
2 0 1 7 1 1 1 1 1 1 1 1
? ? ? ? ? ? ? ?( ? )
i?2 a a a a a a a a a a a a a ai i? ?1 1 1 2 2 3 2 3 3 42 2 0 1 6 2 0 1 7 2 0 1 7 2 0 1 8 ，
1 1 1 1 1 1
? ? ? ? ? ? ?( ) ( 4 ) 2 2
2 a a a a1 2 2 0 1 7 2 0 1 8 2 a a a a2 0 1 7 2 0 1 8 2 2 0 1 7 2 0 1 8
1 1
因为a a1 2? ? ，a a an n n?1 ? ?2 ?1，所 以a a2017 2018? ?1, 1，则0? ?1，
2 a a2 0 1 7 2 0 1 8
2 0 1 7 2 0 1 7
1 1
所以1? ?? 2，所 以则? 的整 数部 分是1．故 选B．
i?2 a ai i? ?1 1 i?2 a ai i? ?1 1
4 ? 1 1 1
8. 数 列 2
? ?an 满 足a1 ? ，a a a n Nn n n?1 ? ? ? ?1? ? ， 则 ? ? ?? 的 整 数 部
3 a a a1 2 2017
分是____________.
答 案 ：2
2
? ?1 3 4
解 析 ： 2 2
a a a an n n?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ?n ，a1 ? ，数 列? ?an 单调 递增a a an n n?1 ? ? ?1
? ?2 4 3
1 1 1 1 1 1
a a an?1? ? ?1 1n n? ?， ? ? ，累 加 ? ? ? 3，
a a an n n? ?1 1?1 a a a2017 1 2018? ?1 1
1 1 1? ? ?? 的整 数部 分是2
a a a1 2 2017
n a n 1
9.已知 数列 n *
{ }an 中a a1 = =2, n+1 ( ),n N? 则? = _ _ _ _ _ _ .
n a+ +1 2 n k=1ak
2
n n+
答 案 ： ;
4
n a 1 n a+ +1 2 n+1 2
解 析 ：因为 n n
an+1 = ,所以 = = + ,
n a+ +1 2 n a n a n a nn+1 n n
1 1 2 1 1 2 1 1
即 = + ,即 - = = -2( )
( 1)n a na n n+ n n+1 ( 1)+ ( 1)n a na n n n n+ n n+1 ( 1) 1+ +
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1 1 1 1- = -2( )
na n a n nn ( 1) 1- n-1 -
1 1 1 1- = -2( )
所以( 1) ( 2 ) 2 1n a n a n n- -n-1 n-2 - -
?
1 1 1 1- = -2( )
2 1 2a a2 1
累加 得：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2- = - + - + - = - = -2 ( ) ( ) ( ) 2(1 ) 2? ；
na an 1 1 2 2 3 1n n n n-
1 1 2 5 2
所以 = + - = -2 ;
na a n nn 1 2
1 5 2 5n
所以 = - = -n( ) 2;
a nn 2 2
n 1 1 1 1
? = + + +?
k=1a a a ak 1 2 n
5 5 2 5 n
= - + - + + -( 2 ) ( 2 ) ( 2 )?
2 2 2
5 5 2 5 n
= + + + -( ? ) 2n
2 2 2
5 ( 1) 1n n-
= + ? -n 2n
2 2 2
2
n n+
= 4
2
n n+
故答 案为 ： ;
4
10.用 3
[ ]x 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 ， 如[1.3] 1? ，[ 1.3] 2? ? ? ， 数 列{ }an 满 足 a1 ? ，
2
1 1 1
a a a n Nn?1? ? ? ?1 ( 1) ( * )n n ， 若Sn ? ? ? ?? ? ， 则[ ]Sn 的 所 有 可 能 取 值 构 成 的 集 合
a a a1 2 n
为（ ）.
A．{0} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{0，1，2，3}
答 案 ：C.
解 析 ： 3
?数列{ }an 满足a1 ? ，a a a n Nn?1? ? ? ?1 ( 1) ( * )n n ，
2
第 29 页 共 103 页
两边 取倒 数， 有 1 1 1- = ，累 加得 ： 1 1 1
Sn = - = -3 .
a a an n- -1 1+1 n a a1- - -1 1n+1 an+1 1
2
a a an n n?1? ? ? ? ? ?? ?1 0 a an n?1 ，所 以{ }an 为递 增数 列.
1 2 1
S1= = ，整 数部 分为0；S2 = -3 ，整 数部 分为1；
a1 3 a3-1
1
S3= -3 ，整 数部 分为2；而Sn <3，?[ ]Sn 的所 有可 能取 值构 成的 集合 为? ?0,1, 2 ．
a4-1
故选 ：C．
1 *
11.已 知数 列{ }an 满 足a a1 2? ?1, ，若a a a a a n N nn n n( 2 ) 3 ( , 2 )? ?1 1? ? n n? ?1 1? ? ? ，则 数列{ }an
3
的通 项an ?（ ）
1 1 1 1
A． n?1 B． n C． n?1 D． n?1
2 2 1? 3 2 1?
答 案 ：B
1 1 1 1
解 析 ： 由 *
a a a a a n N nn n n( 2 ) 3 ( , 2 )? ?1 1? ? n n? ?1 1? ? ? ， 可 得 ? ? ?2 ( ) ， 又
a a a an n n n?1 ?1
1 1 1 1 1 1 n
? ?2， 所 以 数 列{ }? 是 首 相 为2， 公 比 为2的 等 比 数 列 ，即 ? ?2 ， 所
a a2 1 a an n?1 a an n?1
1 1 1 1 1 1 1 1 n n? ?1 2 n
以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1? ? ， 即
a a a a a a a an n n?1 n n? ?1 2 2 1 1
1
an ? n ．故 选B．
2 1?
an ? ?
12. 已 知数 列? ?an 中，a1 ?0，an?1 ? ?( )n N ，数 列? ?bn 满 足：b na n Nn n? ?( )，
3 1an ?
设Sn为数 列? ?bn 的前n项和 ，当n?7时Sn有最 小值 ，则a1的取 值范 围是 .
? ?1 1
答 案 ：? ?? ， -
? ?18 21
a ?
解 析 ：数列 n
? ?an 中，a1 ?0，an?1 ? ?( )n N ，
3 1an ?
1 1
∴ ? ?3
a an n?1
? ?1
∴数列? ?是等 差数 列， 公差 为3，
? ?an
第 30 页 共 103 页
1 1 a
∴ ? ? ? 1
3 1? ?n ，解 得an ?
a an 1 1 3( 1)? ?n a1
n a
∴ ? ? 1
b n an n 1 3( 1)? ?n a1
设Sn为数 列? ?bn 的前n项和 ，当n?7时Sn有最 小值 ，
∴b7 8? ?0, b 0
7a
∴ 1 8a
? 1
0 ， ?0
1 1 8? a1 1 21? a1
? ?1 1
解得 ：a1的取 值范 围是 ：? ?? ， -
? ?18 21
n?1
? ?2 1? an
13. 已知 数列? ?an 满足a1 ?1，an?1 ? n ，则 数列? ?an 的通 项公 式为 .
an ? ?2 1
n
2 1?
答 案 ： n
n?1
? ?2 1? an
解 析 ：由an?1 ? n 得，
an ? ?2 1
n?1 n
2 1 2 1? ?? ?1
a an?1 n
n
? ?2 1?
所以 数列? ?n 是等 差数 列， 公差 为1，首 项为1，
? ?a
n
2 1?
所以 n ? ? ? ? ?1 ( 1) 1n n，
a
n
2 1?
整理 得an ? ，
n
n
2 1?
综上 所述 ，数 列? ?an 的通 项公 式为an ? n
3.4 构造对数
2 ? ?
1. 已 知 数 列 n
? ?an 满 足 a a a a1 2 3? n ?2 ( )n N? ， 且 对 任 意 的 n N? 都 有
第 31 页 共 103 页
1 1 1? ? ? ?? t，则 实数t的取 值范 围为 （ ）
a a a1 2 n
? ?1 ? ?1 ? ?2 ? ?2
A.? ?,?? B. ? ,? ?? C. ? ?,?? D ? ,???
? ?3 ? ?3 ? ?3 ? ?3
答 案 ：D
2
解 析 ：因为 n 2
a a a a1 2 3? n ?2 ，所 以ln ln ln ln ln 2a a a a n1 2 3? ? ? ? ?? n ?①
所以 2
ln ln ln ln ( 1) ln 2a a a a n1 2 3? ? ? ? ? ?? n-1 ?②，
n
? ? 4 1 2
①-②得 2 1n 2 1n
ln ln 2an ? ，所 以an ? ?2 ，所 以 ? n ，
2 an 4
1 1 1 1 1 1 2 1 2? ? ? ?
所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 2? 2 ? n ? ? ?1 n ，
a a a1 2 n ?4 4 4 3 4 3? ? ?
2
所以t ? ，故 答案 选D.
3
点 评 ：本题 考查 如何 由数 列得Sn求数 列通 项an即等 比数 列前n项和 公式.
1
2.已 知 数 列? ?an 满 足a1 ? ，a an?1 ?2 n ， 若b an ? ?lo g 22 n ， 则b b b1 2? ? ? n的 最 大 值
256
是______.
625
答 案 ： .
4
1 1
解 析 ：由a an?1 ?2 n 知log 1 log2 1an? ? ? 2an，即 ：log 2 log 12 1an? ? ? ?2an .
2 2
1 1
即b bn n?1 ? ，考 虑到a1 ? ，故b a1 2 1? ? ? ?lo g 2 1 0
2 256
5 5 5 5
所以b1 ? ?1 0，b2 ? ?5，b3 ? ? ，b4 ? ? ，b5 ? ? ，b6 ? ? ，
2 4 8 16
625
b b b1 2? ? ? n的最 大值 为b b b b1 2 3 4 ? .
4
2
? ?n a?1 n
3.已知 数列? ?an 满足a a1 ? ?1, n?1 2 2 ，则a8 ?（ ）.
2 4a n a nn n? ?
第 32 页 共 103 页
8 8 8 8
A. 64 B. C. D.
9 2? 32 16 7
9 2? 9 2? 9 2?
答 案 ：D
? 2 2
? ?n a1 n n n?1 ? ?
解 析 ：a a1 ? ?1, n?1 2 2 得 ? ? ?2 2? ?
2 4a n a nn n? ? a an+1 ? ?n
2 14
8 7? ? ? ?1
故 ? ? ? ? ? ? ? 7
2 2? ? ? ? ?2 9
a a8 ? ?7 ? ?a1
8
a8 ?
7 .
9 2?
4 求 和
4.1 错位相减
n?1
1 n n n? ? ?1 1 1 ? ?b
1.设 两数 列 ? ? n
? ?an 和? ?bn ，a bn ? ? ? ? ? ?? ? , n ? ， 则数 列? ?的 前n项
? ?3 1 2 2 3 ( 1)? ? ?n n ? ?an
和为 （ ）
n n
1 4 1 3? ? ?? ? ? ?n 1 3 4 1? ?? ?n
A. B.
1 6 16
n n
1 3 4 1? ?? ?n 1 4 1 3? ? ?? ? ? ?n
C. D.
16 1 6
答 案：D
? 1 1 1 1 1 ? ? ?1 bn n?1
解 析：b nn= 1 1? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ?n 1 1 n，所 以 ? ? ?n ? ?3 。
? 2 2 3 n n?1? ? ?n?1 an
? ?b
设数 列 n 0 1 n?1
? ?的前n项和 为Tn，则Tn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 3 2 3? ? ? ? ? ?? n 3 ，
? ?an
1 2 n
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3 1 3 2 3Tn ? ? ? ? ? ?? n 3 ，两 式相 减得 ：
n n
1 2 n n 1 3? ?? ? n 1 ? ? ? ?4 1 3n? ?
4 1 3 3 3 3Tn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? n n ? ?3 ? ?
1 3? ?? ? 4 4
n
? ? ?
所以 1 4 1 3? ? ? ?n
Tn ? 。
1 6
第 33 页 共 103 页
a a3
2.已 知 数 列 n+ +2 1- n
{ }an 中 ， a a1= - =2, 3,2 且 =3 ， 则 数 列 { }an 的 前 n 项 和
a an n+1-3
Sn =_______.
n
答 案 ： 13 ( 6 13) 3+ - ×n
Sn = .
4
解 析 ：由条 件： 令b a an n n= -+1 3 ，则b a a1 2 1= - =3 9，b bn n+1=3 .
故 n+1
{ }bn 为等 比数 列， 其通 项公 式为bn =3 .
即 n+1 n+1 an+1 an an
a an+1- =3 3n ，左 右同 除3 得：
n n+1 - =1.故 n 为等 差数 列
3 3 3
a 5
故 n 5÷ n
n = -n ，即a nn = - ×?? ÷ 3 .利用 错位 相减 ：
3 3 ? 3÷
得：S a a an = + + +1 2 ... n； ①
3 3 3 ... 3S a a an = + + +1 2 n； ②
2 n-1
① 2 3 n 5 n+1 3 (1 3 ) 5- n+1
-② 得：- = - + + + + - - × = - + - - ×2 2 (3 3 ... 3 ) ( ) 3 2Sn n ??n ÷÷ 3
3 1 3 3- ? ÷
n
即： 13 ( 6 13) 3+ - ×n
Sn = 4
点 评 ：二 阶 线 性 递 推 关 系 的 分 式 型 结 构 ，根 据 条 件 ，可 以 构 造 出 辅 助 数 列{ }bn ，进 而{ }an ，
再 利 用 错位 相 减 即 可 求得 目 标.
3.已 知 数 列? ?an 是 各 项 均 为 正 数 得 等 比 数 列 ， 其 前n项 和 为Sn， 点 An ， Bn 均 在 函 数
f x x( ) lo g? 2 的 图像 上，An的 横坐 标为an，Bn的 横坐 标为Sn ?1.直 线An Bn的 斜率 为kn，
1
若k1 ?1，k2 ? ，则 数列? ?a f an n( ) 的前n项和 为Tn= .
2
答 案 ： n
( 2 ) 2 2n? ? ?
解 析 ：由题 意可 知
A a a1 1 2 1( , lo g )，A a a2 2 2 2( , lo g )，B S S1 1( 1, lo g ( 1) )? ?2 1 ，B S S2 2( 1, lo g ( 1) )? ?2 2 ，
第 34 页 共 103 页
? lo g ( 1) lo g2 1S a? ? 2 1
?k1 ?
? S a1 1? ?1 ?a1 ?1 ?
∴? ，解 得 n 1
? ，∴an ?2 ，
? lo g ( 1) lo g2 2S a? ? 2 2 ?a2 ?2
k2 ?
?? S a2 2? ?1
?
∴ n 1 n?1
f a( ) lo g 2 1n ? ? ?2 n ，∴a f a nn n? ? ?( ) ( 1) 2 ，
∴ 0 1 2 3 n-1
Tn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 2 1 2 2 2 3 2 ( - 1) 2n ，
∴ 1 2 3 4 n
2 0 2 1 2 2 2 3 2 ( - 1) 2Tn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n
两式 相减 可得 1 2 n-1 n n
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?Tn 2 2 2 ( 1) 2 ( 2 ) 2 2n n
∴ n
T nn ? ? ? ?( 2) 2 2
点 评 ：一 般 遇 到差 比 数 列 与 等差 数 列 的 积 时， 用 错 位 相 减 法。
ì??y nx n? - +3
4.已 知 ? n
f n( )为 平面 区域I xn: 0 ( , , *)?í > x y R n N 内 的整 点的 个数 ，记a f nn =2 ( )，
??? >??y 0
( 6) ( 1)S f n- +
数 列 n+1
{ }an 前n项 和为Sn， 若" ?n N*，
n+1 ?c恒 成立 ， 则 实数c的 取值 范 围
4
是___.
答 案 ： 135
c? .
32
ì??y nx n? - +3
解 析：因为 ?
I x?
n: 0 ( , , *)í > x y R n N 中，y n x? - -( 3).可行 域中 有点 ，则0 3<
若x=1，则y n=1, 2, 3...2 ；
若x=2，则y n=1, 2, 3... ；
故 f n n( ) 3= ， n n n
a nn = ×3 2 ，利 用错 位相 减解 得：S nn = × - +6( 2 2 1)
n
( 6) ( 1)S f n+ - + 18 1 2 ( 1) 9 1 1( )n n n n- + - +( )( )
所以 n 1
n+1 = n+1 = n+1
4 4 2
2
9 1 1( )( )n n- + 9 1 1 9 2( )( )n n n n- + -( ) 9 4 1(- + -n n )
令g n( )= n+1 ，则g n g n( 1) ( )+ - = n+1 - =n n+1 ，
2 2 2 2
考虑 到当n?3时，g n g n( 1) ( ) 0+ - >
当n?4时， g n g n( 1) ( ) 0+ - <
第 35 页 共 103 页
故 135 135
g n g( ) ( 4)max = = ，故c? .
32 32
点 评 ：本 题 以 线 性 规 划 整 点 为 模 板 ， 形 成 数 列 ， 利 用 错 位 相 减 求 和 后 ， 利 用 新 数 列 的 单 调
性 研 究 最值 问 题 ， 整 个题 目 流 程 多 ，易 错 ， 对 学 生 要求 很 高 。
n
5.已 知数 列? ?an 中 ，设a a a n N1 1? ? ? ?1, 3 1n n? ? ?? ，若bn ?
n n?2 ?an，Tn是? ?bn 的 前n项
? ?3 1 2? ?
和， 若不 等式 n n?
?? ?1
2 2 T nn 对一 切的n N? ?恒成 立， 则实 数?的取 值范 围是 .
? ?
答 案 ： 3
? ???, .
? ?2
1 1? ? ? ?1 3
解 析 ：a an? ? ?3? ?n?1 可知 数列? ?an ? 为首 项为 ，公 比为3的等 比数 列
2 2? ? ? ?2 2
n n
1 3 3
? ? ? ?n?1 n ? ?3 1? n
an 3 ,bn ?
n n?2? ?? ? n?1
2 2 2 ? ?3 1 2? ? ? ?2 2
n?2
用错 位相 减法 可求 出Tn ? ?4 n?1
2
1
原不 等式 化简 为?? ?2 n?1 恒成 立
2
3
?? .
2
?9
? n?1,
6.数列? ?an 的通 项公 式为an ??2 ，则 数列? ?an 的前n项和Sn ?_____
? 2 n
? nn ?? 2,3
2 ?
nn ??? n 1
答 案 ： ? ? ? 31
Sn 2
9
解 析 ： 222 n
Sn n ????? 3...32
2
27 n?
????? 1232
3Sn n 3...32
2
相减 3 n n?
????????? 12
Sn nn 33)12(...53272
令 3 ????? n
Tn n 3)12(......53
则 4 n n?
??????? 1
Tn n n 3)12(3)32(...533
相减 得 3 54 n n?1 n?1
Tn ? ? ? n 3)12(3...332532 ?
n nT ???????????? 273)1(
2 n?
??? 1
n?1 n?12 ? ?nn 31
n )(nS n 32731272 Sn ????????? 2
第 36 页 共 103 页
4.2 裂项相消
1.各 项 均 为 正 数 的 数 列 2 2
? ?an 首 项 为2， 且 满 足a a a n n an n n? ? ? ??1 ( 1) 0n?1 ， 公 差 不 为 零
b
的 等差 数列 n
? ?bn 的 前n项 和为Sn， S5 ?1 5，且b b b1 3 9, , 成 等比 数列，设cn ? ，则 数列
an
? ?cn 的前n项和Tn ?______________.
1
答 案 ：1? .
? ?n?1 !
解 析 ：由 2 2
a1 ? 2，an均为 正数 ，a a a n n an n n? ? ? ??1 ( 1) 0n?1 知：
设? ? ? ?a na a n an n n? ? ? ??1 ? 1 0n?1? ，则a n an ? ?? ?1 n?1，故a n n a nn ? ? ? ?? ? ? ?1 ... 1 !1
等差 数列? ?bn 满足S5 ?1 5，故5 1 5b3 ? ，b3 ?3，b b b1 3 9, , 成等 比，不难 得b1 ?1，即b nn ? ，
b n n? ?1 1 1 1
所以 n
cn ? ? ? ? ? ，
a n n n nn ? ?? ?1 ! 1 ! ! 1 !? ? ? ??
? ? ? ?1 1 1 1 1 1? ? 1
故Tn ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ... ?? ?? 1
? ? ? ?1! 2 ! 2 ! 3 ! ! 1 ! 1 !?n n? ?? ? ? ?n?
2.已知 数列 *
? ?an 中，a1 ?1，若 对任 意的n N? 都有a a nn n?1 ? ? ?1，
1 1 1 1 1 1
则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ______________.
a a a a a a1 2 3 2017 2018 2019
2019
答 案 ：1010
n n? ??1 1 1 1? ?
解 析 ：a a nn n?1 ? ? ?1通过 累加 法可 得an ? ，? ? ?2? ?，
2 a n nn ? ??1
1 1 1 1 1 1 ? 1 1 1 1 1 2019?
则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 + + +? ? ? ? ? ? ? ?=
a a a a a a1 2 3 2017 2018 2019 ? 2 2 3 2019 2020 1010?
n x
3.（2019 届 温 州 九 校 第 一 次 联 考 10） 已 知 数 列? ?an 的 通 项an ? ，
? ? ? ? ? ?x x n x? ? ?1 2 1 1?
*
n?N ，若a a a1 2? ? ? ?? 2018 1，则 实数x可以 等于 （ ）
A． 2 5 1 3 1 1
? B．? C．? D．?
3 12 4 8 6 0
答 案 ：B
第 37 页 共 103 页
解 析 ：
数列? ?an 的通 项：
n x 1 1
an ? ? ? ，
? ? ? ? ? ?x x n x? ? ?1 2 1 1? ? ? ? ? ? ?x x n x? ? ? ?1 2 1 1 1?? ?? ? ? ? ? ? ? ?x x n x? ? ?1 2 1 1?
∴a a a a1 2 3? ? ? ?? 2 0 1 8
x x2 3x 2018x
? ? ? ? ??
x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 1 1 2 1 3 1 1 2 1 2018 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?x x ? x?
? ?1 1 1? ? ? 1 1 ?
? ? ? ?? ?1 ? ? ?? ? ?
? ?x x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 3 1? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
? 1 1 ?
? ?? ? ? ?
?? ? ? ? ? ?x x? ?1 2 1 2017 1 1 2 1 2018 1? x x x? ? ?? ? ? ? ? ?? x? ?
1
? ?1 ?1，
? ? ? ? ? ?x x? ?1 2 1 2018 1? x?
∴? ? ? ? ? ?x x? ? ? ?1 2 1 2018 1 0? x ，
∴ ? ? ?1 1 1 1 1? ? ?
x? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ?, 1 ,? ? ? ?? ? ? , ? ? ?? , ，
? ? ?2 3 2016 2017 2018? ? ?
在选 项中 仅有 5 1 1? ? 5
? ? ? ?? ?, ， ∴x? ? .
1 2 2 3? ? 1 2
4.设等 差数 列{ }an 的前n项和 为S *
n，Sm?1 ?13，Sm ?0，Sm?1 ? ?15，其中m N? 且m?2．则
1
数列{ }的前n项和 的最 大值 为（ ）
a an n?1
2 4 1 2 4 6
A． B． C． D．
1 4 3 1 4 3 1 3 1 3
答 案 ：D
解 析 ：因 为Sm?1 ?13，Sm ?0，Sm?1 ? ?15，所 以a S S a S Sm m m? ? ? ? ? ? ? ??1 13, m m m? ?1 1 15，
所 以 等 差 数 列{ }an 的 公 差d a a? ? ? ?m m?1 2， 又 由Sm ?0，Sm?1 ? ?15， 解 得a1 ?13， 所 以
a nn ? ?15 2 ，当an ?0时，n?7.5；当an?1 ?0时，n?6.5，所 以
1 1 1 1 1 1
数 列{ }的 前6项 和为 正 数， 所 以 ? ? ?( )， 所
a an n?1 a a n n n nn n?1 (1 5 2 )(1 3 2 ) 2 1 3 2 1 5 2? ? ? ?
1
以 数 列 { } 的 前 n 项 和 的 最 大 值 为
a an n?1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( ? 1 ) (1 ) ．故 选D．
2 1 1 1 3 9 1 1 7 9 3 2 1 3 1 3
第 38 页 共 103 页
1 ? ?
5.已 知 函 数 f x? ?? ， 点O为 坐 标 原 点 ， 点A n f n n Nn? ?, ? ? ? ?? ， 向 量i?? ?0, 1 ，?n是 向
x?2
????? ? cos cos? ?1 2 cos?n
量 OAn 与 i 的 夹 角 ， 则 使 得 ? ? ? ?? t 恒 成 立 的 实 数 t 的 取 值 范 围
sin sin sin? ? ?1 2 n
为 .
? ?1
答 案 ：? ?,?? .
? ?3
????? ? 1
OA i
? n? ?
cos ? ? n 2 ?
解 析 ： n ????? ? cos n 1 1
2 ? ?
OA i ,
n 2 ? ?1 si n t an 2? ?n n n n? ??
n ?? ?? ?n?2
cos cos? ?1 2 cos?n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1? ? ? ?
t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?1 ? ? ? ?
sin sin sin 2 3 2 4 1 1 2 2 2 1 2? ? ?1 2 n ? n n n n? ? ? ? ? n n? ? ?
恒成 立.
1 3 1 1 1? ?
t? ? ? ?? ? .
2 2 2 3 3? ?
6. （ 2019 届 温 州 8 月 模 拟 10 ） 已 知 数 列 ? ?an 中 各 项 都 小 于 1 ，
1 2 2
a a a a a n N1 ? ? ? ? ?, 2n n n n? ?1 1 ( *)，记S a a an ? ? ? ? ?1 2+ + ,n 则S1 0?（ ）.
2
A．? ?1 ? ?1 3 ? ?3
? ?0, B．? ?, C．? ?, 1 D．? ?1, 2
? ?2 ? ?2 4 ? ?4
答 案 ：B.
解 析 ： 裂项 放 缩.
由 2 2
a a a a a a a an n n n n n? ?1 1? ? ? ? ? ? ?2 ? ?1 1? ? ? ?2 1n n ；
因为 数列 1
? ?an 中各 项都 小于1，所 以a an n+1, 同号 ，a1= ，得 ：0 1<
a
又 n+1 an- -1 1 an 1 0- 1
= = < =1，所 以a a an n+1< ? < <0 n .
a an n+1- - -2 2 2 1an+1 2
又 2 2 2 2
a a a a a a a a an n n n n n n? ?1 1? ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ?1 1 1? ? ? ?
n n
2
1
而 2 2 2 3 1 1
0<
2 4 2 2? ÷
1 ? ?
因为 1 3
0<
4.3 指数裂项
? an?1
1.已 知 n 1
S *
n 为 数 列 ? ?an 的 前 n 项 和 ， 若 an ? ?2 3 （ n?N ）， 若 bn ? ， 则
S Sn n?1
第 39 页 共 103 页
b b b1 2? ? ? ?? n .
1 1
答 案 ： ?
n?1
2 3 1?
an?1
解 析 ：? ?3 ?? ?an 是首 项为2，公 比为3的等 比数 列
an
? n
Sn ? ?3 1
n n?1 n
an?1 2 3? ? ? ? ?3 1 3 1? ? ? 1 1
bn ? ?
n n?1 ?
n n?1 ? ?n n?1
S Sn n?1 ? ? ? ?3 1 3 1 3 1 3 1? ? ? ?? ? ? ? 3 1 3 1? ?
? 1 1 1 1? ? ? ? 1 1 ?
?b b b1 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? n ? 2 ? ? 2 3 ? ?? n n?1 ?
?3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
1 1
? ?
n?1
2 3 1?
4.4 奇偶并项
1 ． 如 果 有 穷 数 列 *
a a a n N1 2, ,? n? ?? 满 足 条 件 ： a a a a a a1 2 1? ? ?n n n, ,? ? 1 ， 即
a a i ni n i? ?? ?1? ?1, 2? ，我 们称 其为“对 称数 列”，例 如：数 列1, 2, 3, 3, 2, 1和 数列1, 2, 3, 4, 3, 2, 1都
为“对 称 数 列”， 已 知 数 列 *
? ?bn 是 项 数 不 超 过 2 1,m m m N? ? ? ? 的“对 称 数 列”， 并 使 得
2 1m?
1, 2, 2 , 2? 依 次 为 该 数 列 中 连 续 的 前m项 ， 则 数 列? ?bn 的 前2009项 和S2009所 有 可 能 的 取
值的 序号 为（ ）
① 2 0 0 9 2009 m m? ?1 2 2009 m m? ?1 2 2009
2 1? ；②2 2 1? ?? ； ③3 2 2 1? ? ? ； ④2 2 1? ?
A．①② ③ B． ②③ ④ C． ①② ④ D．①③ ④
答 案 ：D．
解 析 ：
因 为 数 列 * 2 1m?
bn是 项 数 不超 过2 1,m m m N? ? ? ?的“对 称 数 列”， 并 使 得1, 2, 2 , 2? 依 次 为 该数
列中 前连 续的m项，
所以 分数 列的 项数 是偶 数和 奇数 讨论 ，
若数 列含 偶数 项， 则数 列可 设为 1 2 1 1 2 1m m? ?
1, 2 , 2 , 2 , 2 2 , 2 ,1? ? ，
2009
1 1 2? ?? ?
当 2009
m? ?1 2008时，S2009 ? ? ?2 1，
1 2?
所以 ①正确 ；
第 40 页 共 103 页
当1004 1 2008? ? ?m 时，
m 2 2009m?
1 1 2 1 1 2? ? ? ?? ? ? ?
所以 m m? ?1 2 2009
S2009 ? ? ?2 ? ? ?2 2 1，
1 2 1 2? ?
所以 ④正确 ；
若数 列含 奇数 项， 则数 列可 设为
1 2 2 1 2 2 1m m m? ? ?
1, 2 , 2 , 2 , 2 , 2 2 , 2 ,1? ? ，
当 2009
m? ?1 2008时，S2009 ? ?2 1，
当1004 1 2008? ? ?m 时， 所以
m?1 2 1 2009m? ?
1 1 2? ?? ?
m?1 1 1 2? ?? ?
m m? ?1 2 2010
S2009 ? ?2 ? ?2 ? ? ? ?3 2 2 1，
1 2? 1 2?
所以 ③正确 ，
故选D．
2.已 知数 列{ }an 满 足a an n+1 = +1，数 列{ }bn 满 足b bn n+1 = - +3，若a b a b1 1 2 2= =, ,记Sn为
数列{ }a bn n+ 的前n项和 ，则Sn = _ _ _ _ _ _ _ _ .
ì 2
n n+4
? ,n为 偶 数 ；
?
答 案 ： 2
Sn =í 2
?n n+ -4 1
? ,n为 奇 数 .
? 2
解 析 ：数列{ }an 满足a an n+1- =1,所以{ }an 为公 差为1的等 差数 列；
又因 为b bn n+1+ =3，令n =1,则b b1 2+ =3，即a a1 2+ =3，
而a a2 1- =1，所 以a a1 2= =1, 2,所以a nn = .
S a b a b a bn = + + + + + +( ) ( ) ( )1 1 2 2 ? n n
= + + + + +(a a a b b b1 2 ? n) ( )1 2 ? n
n n( 1)+
= + + +( )b b b1 2 ? n
2
令{ }bn 的前n项和 为Tn，则 当n为偶 数时 ，
第 41 页 共 103 页
T b b bn = + +1 2 ? n
= + + + + +( ) ( ) ( )b b b b b b1 2 3 4 ? n n-1
= + + +3 3 3?
n
= ?3
2
3n
= 2
当n为奇 数时 ，
T b b bn = + +1 2 ? n
= + + + + + +b b b b b b b1 2 3 4 5( ) ( ) ( )? n n-1
= + + + +1 3 3 3?
n-1
= + ?1 32
3 1n-
= 2
2
n n n n n( 1) 3 4+ +
所以 ，当n为偶 数时 ，Sn = + = ；
2 2 2
2
n n n n n( 1) 3 1 4 1+ - + -
当n为奇 数时 ，Sn = + = .
2 2 2
n n
3.设Sn为数 列? ?an 前n项和 ，a1 ?0，若an?1 ? ? ? ? ? ?[1 1 ] 2? ? ? ? ? ?a n Nn ? ，
则S1 0 0=________________.
1 0 1
2 2?
答 案 ： 3
解 析 ：
2 1k? 2 1k? 2 1k?
当n k? ?2 1，k N? ?，a2k ? ? ? ? ? ? ?[1 1 ] 2 2? ? ? ? ? ?a2 1k?
当 n
n k?2 ,k N? ?,a a2 1 2k? ? ?2 2k ,
2 4 98
? ? ? ?a a3 22 2 0,a a5 4? ? ?2 2 0,a a99 98? ? ?2 2 0,又a1 ?0
101
3 99 2 2?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?S a a a a a a a100 1 2 3 100 2 4 100= 2 + 2 + + 2 =? ? ? ? ? ? 3
n
4.已知 数列? ?an 的前n项和 为Sn，若a a nn?1? ? ?? ?1 n ，则S40 ? .
答 案 ：105
第 42 页 共 103 页
解 析 ： 列举 法
当n为偶 数时 ，a a nn n?1? ? ；当n为奇 数时 ，a a nn n?1? ? .
?a a2 1? ?1，a a3 2? ?2，a a4 3? ?3，a a5 4? ?4，a a6 5? ?5，a a7 6? ?6，??
?a a1 3? ?1，a a2 4? ?5，a a3 5? ?1，a a4 6? ?9，a a5 7? ?1，a a6 8? ?13，??
从而S a a a a a a a a a a a a40 1 3 3 5? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? 37 39 ? ?? ?? ?2 4 4 6? ? ? ?? 38 40 ??
? ? ? ? ?1 0 1 5 9? ???
???????
10个
=105
n
5．（2019届 绿色 联盟5月 模拟17）已 知数 列 *
? ?an 满 足a a n n Nn?1? ? ? ?? ?1 n ? ?，记 数列? ?an
的前n项和 为Sn，则S6 0 ? ．
答 案 ：930．
解 析 ：
n
因为a a nn?1? ? ?? ?1 n ，
所以a a a a a a a a a a2 1 3 2 4 3 5 4? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1, 2, 3, 4? 50 49 49，
得a a a a a a a a a a a a3 1 4 2 7 5 8 6 9 11 12 10? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1, 5, 1, 13, 1, 21，
即从 第一 项开 始， 依次 取2个相 邻奇 数项 的和 都等 于1，
从第 二项 开始 ，依 次取2个相 邻偶 数项 的和 构成 以为5首项 ，以8为公 差的 等差 数列 ，
所以S60的前 项和 为：
15 14?
15 1 15 5 8 930? ? ? ? ? ? ．
2
故答 案为930．
n?1
6.设数 列? ?an 的前n项和 为Sn,已知a2 ?2,a an?2 ? ? ?? ?1 1n ,则S40 ?( )
A．2 6 0 B．250 C．240 D．230
答 案 ：C.
n?1
解 析： 由a an?2 ? ? ?? ?1 1n , 当n为 奇数 时,有a an n?2 ? ?1, 当n为 偶数 时, a an n?2 ? ?1, 数
列? ?an 的偶 数项 构成 以2为首 项,以1为公 差的 等差 数列, 则
第 43 页 共 103 页
S a a a a a a40 1 3? ? ? ? ? ? ? ?? ... 39 2 4? ? ... 40 ?
? ? ? ? ? ?1 10 2 3 ... 21? ?
( 2 21) 20? ?
? ?10 2
?240
所以C选项 是正 确的.
n
1 1 ( 1) 5? ? ?
7. 已 知数 列? ?an 满 足a1 ? ? ，a b b a bn n n n n?1 ? ??1 ，且bn ? ( )n N? ，则 数列
2 2
? ?an 的前2n项和S2n取最 大值 时，n? .
答 案 ：8
n
1 ( 1) 5? ? ??2,n为奇数
解 析 ：由 ?
bn ? ( )n N? ，则bn ?? ，由a b b a bn n n n n?1 ? ??1 可知 ，
2 ?3， 为偶数n
?
当n k N? ? ?2 1( k )为奇 数时 ，? ? ?2 3 2a a2 2 1k k? ，
?
当n k N? ?2 ( k )为偶 数时 ，3 2 3a a2 1 2k? ? ? ?k ，
1 1
∴3 3 1a a2 1 2 1k? ? ?k? ，∴a a2 1 2 1k k? ?? ? ，因 此数 列? ?a2 1k? 成 等差 数列 ，公 差为 ，首 项
3 3
1
为? .
2
n 2
1 n n? ??1 1 2n n
∴?a n2 1k? ? ? ? ? ? ? ?
k?1 2 2 3 6 3
1 1 7
同理 可得 ：a a2 2 2k k? ? ? ? ，因 此数 列? ?a2k 成等 差数 列， 公差 为? ，首 项为 .
2 2 4
n 2
7 1 (n 1)n n?
∴?a n2k ? ? ? ? ? ? ? 2n
k?1 4 2 2 4
2 2 2
n n n n2 4 1 1 6
∴ 2
S2n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2n n n( 8)
6 3 4 1 2 3 1 2 3
16
∴当n?8时， 数列? ?an 的前 数列2n项和 数列S2n取最 大值 .
3
故答 案为8.
8.已知 数列 * 2
? ?an 满足a a nn n?1? ? ?4 3，且? ?n N ，a nn ? ?2 0，则a3的取 值范 围是（ ）
第 44 页 共 103 页
A．? ??2,15 B．? ??18, 7 C．? ??18,19 D．? ?2,19
答 案 ：D．
解 析 ：?a a nn n?1? ? ?4 3，? ? ? ? ?a a nn n? ?2 1 4 1 3? ? ，两 式相 减得a an n?2 ? ?4，
?? ?an 奇数 项与 偶数 项分 别为 公差 为4的等 差数 列，
当n k? ?2 1，k Z? 时，a a k2 1 1k? ? ?4 ，? ? ? ? ? ? ?a k a k a2 1k? 4 2 2 1 21 ? ? 1 ，
即a n an ? ? ?2 2 1，n为奇 数；
当n k?2 ，k Z? 时，a a k2 2k ? ? ?4 1? ?，? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a k a k a k a2k 4 4 4 3 2 2 32 1 ? ? 1，
即a n an ? ? ?2 3 1，n为偶 数.
?2 2 ,n a n? ? 1 为 奇 数
? ?an ? .
?2 3 ,n a n? ? 1 为 偶 数
2
?a nn ? ?2 0，
2
2 ? ?1 5
?① 当 2
n为奇 数时 ，可 化为2 2 2 0n a n? ? ? ?1 ，即a n n n1 ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 2? ? ，
? ?2 2
?当n?1时，a1? ?2；
2
②当n为偶 数时 ，可 化为 2 2 ? ?1 5
2 3 2 0n a n? ? ? ?1 ，即a n n n1 ? ? ? ? ? ?2 2 3 2? ? ，
? ?2 2
?当n?2时，a1?15.
? ? ? ?2 15a1 ，又a a3 1? ?4，? ? ?2 19a3 ，故 选D．
2
9. 已 知 数 列? ?an 的 首 项a t1 ? ， 其 前n项 和 为Sn， 且 满 足S S n nn n? ? ??1 2 ， 若 对 任 意
n N? ?，a an n? ?1恒成 立， 则实 数t的取 值范 围是_____________
1 3
答 案 ： ? ?t .
4 4
解 析 ：由 2
a t1 ? 和S S n nn n? ? ??1 2 ①，知 ：
当n?1时，a a a1 1 2? ? ?3，即a t2 ? ?3 2
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2
当n?2时，S S n nn n?1? ? ? ? ?? ? ? ?1 2 1 ② ，
①-② 得：a a nn n? ? ??1 2 1
故n?3时，a a nn n?1? ? ?2 1，即 ：a an n? ?1 1? ? 2
故：a a2 3? ?5，即 ：a t3 ? ?2 2
?a a1 2?
? 1 3
对任 意n N? ?，a an n? ?1恒成 立? ??a a2 3，解 得： ? ?t .
? 4 4
?a a3 4?
2
10.已 知 数 列? ?an 的 首 项 a m1 ? ， 前 n 项 和 为 Sn ,且 满 足 S S n nn n? ? ??1 3 2 ， 若 对
? ?n N?，a an n? ?1恒成 立， 则m 的取 值范 围是_____________.
? ?5
答 案 ：? ??2,
? ?3
解 析 ：
2
?S S n nn n? ? ??1 3 2 ，? ?n 1时，a m2 ? ?5 2
2
当n?2时，S S n nn n?1? ? ? ? ?3 1 2 1? ? ? ?
? ? ?a a nn n?1+ 6 1，a a nn n? ? ??1 6 7，? ? ? ?a a an n? ?1 1 6 ? ?n 奇偶 项分 别成 等差 数列 ，
? ? ? ?a k m2k 6 1 2 ，a k m2 1k? ? ? ?6 6
?? ?n N?，a an n? ?1恒成 立
5
? ? ?n k2 1时，6 1 2 6 1 1k m k m m? ? ? ? ? ? ? ?? ? 3
n k?2 时，6 1 2 6 1 1 2k m k m m? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?
? ?5
综上 所述m? ?? ?2,
? ?3
11.已 知数 列 2
? ?an 的 首项a a1 ? ， 其前n项 和为Sn， 且满 足S S nn n? ??1 4 ?n n N? ?2, ??， 若
对任 意n N? ?，a an n? ?1恒成 立， 则a的取 值范 围是 （ ）
A．? ?3, 5 B．? ?4, 6 C．?3, 5? D．?4, 6?
第 46 页 共 103 页
答 案 ：A．
2
解 析 ： 2
?S S nn n? ??1 4 ? ?n?2 ，? ? ? ?S S nn n?1 4 1? ? ，相 减得a a nn n?1? ? ?8 4 ? ?n?2 ，
故a a nn n? ?2 1? ? ?8 12，相减 得a an n?2 ? ?8? ?n?2 .又a a1 ? ，? ? ?S S2 1 16，即2 16a a? ?2 ，
? ? ?a a2 16 2 ，a a3 ? ?4 2 ，? ? ? ? ? ? ?a a n n a2 2n 8 1 8 8 2? ? ，a a n n a2 1 3n? ? ? ? ? ? ?8 1 8 4 2? ?
? a a? ?16 2
?
又因 为a an n? ?1恒成 立，? ? ? ? ? ?? 8 8 2 8 4 2n a n a ，解 得3 5? ?a ，故 选A．
??8 4 2 8 1 8 2n a n a? ? ? ? ? ?? ?
2
n n?19
12.（2019石 家 庄二 模 ） 已知 数 列 *
? ?an 的 前n项 和 为Sn， 且S Sn n?1? ? ?? ?n N ， 若
2
a2 ? ?4，则Sn取最 小值 时n? .
答 案 ：10
解 析 ：
方法 一：
2
n n?19
∵ *
S Sn n?1? ? ?? ?n N ① ，可 知此 数列 为等 差数 列，由 等差 数列 前n项 和性 质，知 数
2
2
? ? ? ?n n? ? ?1 1 9 1
列? ?an 为单 调递 增的 数列 ，将n换为n?1得，S Sn n? ?2 1? ? ② ，
2
② -①得a a nn n? ?2 1? ? ?9，当n?9时，a a1 1 1 0? ?0，
又a2 ? ?4，∴a1 1 ?0，a1 0 ?0，∴ 当n?1 0时，Sn取最 小值.
方法 二：
2
设 2 * *
S an bn c nn ? ? ? ?? ?N ，则S a n b n c nn?1 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 1 ? ?N ，
2
2 n n?19 *
S S a n a b n a b cn n?1? ? ? ? ? ? ?2 2 2? ? 2 ，对 应系 数S Sn n?1? ? ?? ?n N ：
2
? 1
? 2a?
? 2
? 19
?2 2a b? ? ? 2
?
?a b c? ? ?2 0
解 得 1 19 1 19 1 1812 2
a? ，b? ?5，c? ， 故S n n nn ? ? ? ? ? ?5 ? ?10 ， 由 等 差 数 列 前n项
4 8 4 8 4 8
和性 质， 知数 列? ?an 为单 调递 增的 数列 ，∴ 当n?1 0时，Sn取最 小值.
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5 单 调 性
1.已 知 数 列 2
? ?an 满 足n a n a n nn?2 ? ? ? ?( 2 ) ( 2 )n ? , 其 中a a1 2? ?1, 2， 若a an n? ?1 对
?
? ?n N 恒成 立， 则实 数?的取 值范 围为
答 案 ：?0 +，??
解 析 ：由 2
na n a n n n nn?2 ? ? ? ? ? ?( 2) ( 2 ) ( 2)n ? ?
a a
得 n n+ 2 ? ??,
n n?2
? ?a
? 数列 n
? ? 的奇 数项 与偶 数项 均是 以?为公 差的 等差 数列,
? ?n
?a a1 2? ?1, 2, ?当n 为奇 数时,
an n n? ?1 1
? ? ? ? ?1 ( 1) 1? ? ,
n 2 2
2
n n?
? ? ?an ? n ;
2
当n 为偶 数时,
an n n?2
? ? ? ? ?1 ( 1) 1? ? ,
n 2 2
2
n n?2
? ? ?an ? n.
2
当n 为奇 数时,由a an n? ?1, 得
2 2
n n n n? ( 1) 2( 1)? ? ?
? ? ?? n ?? ?n 1,
2 2
即?( 1) 2n? ? ? .
2
若n R? ?1,? ,若n?1 则?? ? , ? ?? 0；
n?1
当n 为偶 数时,由a an n? ?1, 得
2 2
n n n n?2 ( 1) ( 1)? ? ?
? ? ?? n ?? ?n 1,
2 2
第 48 页 共 103 页
2
即3 2n?? ? ,? ? ?? ,即??0.
3n
综上, ?的取 值范 围为?0 +，??
2.已 知各 项不 为零 的数 列{ }an 的 前n项 和为Sn， 且满 足S an n= -? 1， 若? ?an 为 递增 数列，
则?的取 值范 围是_____________
答 案 ：?>1或?<0..
解 析 ：由S an n= -? 1知：
当 1
n=1时，a a1 1= -? 1，且??1，即a1= ；
?-1
当n?2时，S an- -1= -?n 1 1，则S S a an n- = --1 ? ?n n-1，即? ?a an-1= -( )1 n
? a
由于 数列 n
{ }an 各项 不为 零， 故??0，故 = ；
?-1 an-1
故? ?an 为等 比数 列， 且为 递增 数列.
ì?? 1 ì? 1
?a1= >0 ??a1= <0
? ?
则? ?-1 ? ?-1
í ， 或í 解得 ：?>1或?<0.
?? ? ? ?
??q= >1 ??q= ?( 0, 1)
?? ?-1 ??? ?-1
点 评 ：含 参 数 列 的 单 调 性 ， 首 先 根 据 前n项 和 与 第n项 关 系 ， 求 得 首 项 和 递 推 关 系.再 根 据
等 比 数 列单 调 性 的 推 论求 解 即 可.
?
3.已 知 数 列 n 3
? ?an 的 通 项 公 式 为 a n tn ? ? ? ， 数 列 ? ?bn 的 通 项 公 式 为 bn ?3 ， 设
a b
? ?n n? a bn n? ?
cn ，在 数列? ?cn 中，c c c Nn ? ?3? ?，则 实数t的取 值范 围为 （ ）.
2 2
? ?7
A.?3, 4? B.? ?3, 6 C.? ?4, 6 D.? ，7
3 ?
? ?
答 案 ：B
?a a bn n n, ?
解 析 ：由题 意可 得cn ???b a bn n n, ?
数列? ?an 为递 减数 列，? ?bn 为递 增数 列
?
结合c c c N n?3 2 3? 7
n ? ?3? ?知当n?2时? ? ?n t 3 ，即? ? ?2 3t 恒成 立， 此时t? 3
? ?
n?3时? ? ? n 3 4 3
n t 3 ，当n?4即? ? ?4 3t 恒成 立， 此时t?7
第 49 页 共 103 页
若a b 0
3 3? ，即? ? ?3 3t ，t?4，此 时c t a3 ? ? ? ? ?1 2 2，解 得t?3，故3 4? ?t
若a b 0
3 3? ，即? ? ?3 3t ，t ?4，此 时c t b3 ? ? ? ? ?3 3 4，解 得t?6，故4 6? ?t
综上 所述 t?? ?3, 6 .
4.已 知 数 列 *
? ?an 中 ，a1 ?1，n a a a? ?n n n?1? ? ?1，n N? 若 对 任 意 的 正 整 数n， 存 在
an?1 2
t?[1, 3]，使 得不 等式 ? ? ?t at2 1成立 ，则 实数a的取 值范 围为___________.
n?1
答 案 ：[-1, )??
a a 1 1 a 1
解 析 ： n n?1 n
n a a a? ?n n n?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 a1 1 ,? ? ?a nn 2 1
n n n n n n?1 ?1
an?1 2 1 1n? a
? ? ? ?2 ,单调 递增 ， n?1
? ? ??n ， ?2，
n n n? ? ?1 1 1 n?1
? ?an?1 2 2 ? ?t 3
? ? ? ?? ? t at2 1，即t at? ? ?2 1 2，? ? ? ?a ? ? ，? ? ?a 1
? ?n?1 max ? ?2 2t min
? 2 2
n a n, n?1 ?
5.数列? ?an 满足an ?? 2? ?n? 2 ，若 数列? ?an 是等 比数 列， 则a1的取 值范 围
?2 ,a a nn n? ?1 1 ?
是 .
9
答 案：a1 ? 2
解 析： 数 列 2 2 2
? ?an 是 等 比 数 列 ， 所 以 a a a n1 ? ? ?2 , 3 ,2 ? n?1 ， 且 此 数 列 通 项 公 式 为
n?1
a an ? ?1 2 ，
2 2 2
所以 n?1 2 ? ?n?1 ? ?n?1 ? ?n?2
a n a1? ? ? ? ?2 1? ? 1 ，令 ，则 ，
n?1 cn ?
n?1 cn?1 ?
n
2 2 2
2 2 2
所以 ? ?n n? ?2 1? ? 2?n 9
c cn n?1? ? ? ? ，即 ： ? ? ? ? ，所 以只 要 ? ?
n n?1 n c c c c1 2 3 ? n a c1 2
2 2 2 2
*
6.（2019届杭 州4月模 拟9）已知 数列? ?an 满足2a a an n n? ?? ?1 1（n N? ，n?2），则（ ）
A．a a a5 2 1? ?4 3 B．a a a a2 7 3 6? ? ?
C．3? ?a a a a7 6 6 3? ? ? D．a a a a2 3 6 7? ? ?
答 案 ：C
第 50 页 共 103 页
解 析：由2a a an n n? ?? ?1 1， 可得a a a an n n n? ? ?? ?1 1 ， 所以a a a a a a a a4 3 5 4 6 5 7 6? ? ? ? ? ? ? ，
所以a a a a a a a a a a6 3 6 5 5 4 4 3 7 6? ? ? ? ? ? ? ? ?3( )，即3? ?a a a a7 6 6 3? ? ? ．故 选C．
7.（2019 届 余 高 、 缙 中 、 长 中 5 月 模 拟 10） 已 知 数 列 ? ?an 满 足 a a1 ? ?0 ，
2 ?
a a ta n Nn n n?1 ? ? ? ?? ?，若 存在 实数t，使? ?an 单调 递增 ，则a的取 值范 围是 （ ）
A．? ?0, 1 B．? ?1, 2 C．? ?2, 3 D．? ?3, 4
答 案 ：A
解 析：因为 2 ?
a a1 ? ?0，a a ta n Nn n n?1 ? ? ? ?? ?，存 在实 数t，使? ?an 单调 递增 ，所 以
2
? ? ? ? ?a ta a an n n 0，解 得0? ? ? ?a a tn 1，下 面求t的范 围
（1）此 时是 不行 的， 交点 为 t
t? ,1 抛物 线中 点横 坐标 为 所以 应该 有它 的反 面， 即
2
?t
? t?? 1
?2
? t?? 2
? ?t ?
f? ? t?? 1
?? ?2?
（2）这 时候 也是 可以 的， 所以 有 t tt ???? 21
2
a的取 值范 围是? ?0, 1 ．故 选A．
8.（2019 届 浙 北 四 校 12 月 模 拟 10） 已 知 数 列 ? ?an 是 一 个 递 增 数 列 ， 满 足
第 51 页 共 103 页
a N a n n Nn? ? ? ?* , 2 1, * ,an 则a4 ?（ ）.
A.4 B．6 C．7 D．8
答 案 ：B.
解 析 ：由a N an + n 1
因为 数列? ?an 是一 个递 增数 列， 所以a aa1 = ?3 1，所 以a1只能 取1, 2, 3.
当a1=1时，a aa1 = =1 3（舍 ）.
可得a a a1> ? = >1 3a1 1，即a1只能 取2.
当a1=2时，a a a a a aa1 = = = = = =2 3, 5, 7a2 3 a3 5 .
因为a a a3 4 5< < ，且a N4 ? +，所 以a4 =6.故选B.
2
9．（2019届 杭二 热身 考17） 数列? ?an 满 足a a a ca1 ? ? ? ? ?1, n n n?1 1， 若? ?an 单 调递 增， 则
实数c的取 值范 围是_________．
答 案 ：? ?3,?? ．
解 析 ：
因为 2
a a a ca1 1? ? ? ? ?1, n n n? 1，
又因 为? ?an 单调 递增 ，所 以an ?1，
即 2
a a ca c2 1 1? ? ? ? ? ? ?1 2 1，
所以c?3，
由 2
? ?an 单调 递增 ，得a a ca an n n n?1 ? ? ? ? ?1 ，
所以 1 1
c a? ? ? ? ? ? ?1 1 2 3n an ，
an an
当且 仅当 1
an ? ，即an ?1时取 等号 ，
an
所以 实数c的取 值范 围为? ?3,?? ．
n? 2011
10.数列? ?an 中，an ? ,则此 数列 最大 项、 最小 项分 别是 （ ）
n? 2012
第 52 页 共 103 页
A.a a1 50, B. a a1 44, C. a a45 44, D. aa 5045 .,
答 案 ：C
解
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