【通用版】专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 第二讲 函数的基本性质（强基讲义）——2022届高考文科数学一轮复习Word含答案

专题三 函数的概念、性质与基本初等函数
第二讲 函数的基本性质
（一）核心知识整合
考点1：函数的单调性
单调函数的定义
（1） 定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间：
如果，当时，都有，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.
如果，当时，都有，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减.
（2）图像描述：
图象 特征 函数f(x)在区间D上的图象是单调递增的 函数f(x)在区间D上的图象是单调递减的
图示

（3）知识拓展　函数f(x)在区间D上是增函数，x1，x2∈D，且x1≠x2?(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0?＞0.
函数f(x)在区间D上是减函数，x1，x2∈D且x1≠x2?(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0?＜0.
2. 函数的最值
（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
，都有；，使得.那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.
（2）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
，都有；，使得.那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值.
[典型例题]
1.是定义在上的减函数，若，则实数m的取值范围( )
A． B． C． D．
[答案]：B
[解析]　 ∵是定义在上的减函数,，
∴∴.故选B.
2.已知函数，则函数的单调减区间为( )
A. B. C. D.
[答案]：B
[解析] 由于.当时，，显然，函数在上单调递减；当时，.显然，函数在上单调递增.综上函数的单调减区间是.故选B.
考点2：函数的奇偶性
1.函数的奇偶性
（1）定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果，都有，且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.
（2） 定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果，都有，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.
2.奇、偶函数的性质
（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.
（2）在公共定义域内：
两个奇函数的和是奇函数，
两个奇函数的积是偶函数；
两个偶函数的和、积都是偶函数；
一个奇函数和一个偶函数的积为奇函数.
[典型例题]
1.设函数，则（ ）
A.是奇函数，且在单调递增 B.是奇函数，且在单调递减
C.是偶函数，且在单调递增 D.是偶函数，且在单调递减
[答案]：A
[解析] 函数的定义域为，因为，所以函数为奇函数，排除C，D.因为函数，在上为增函数，所以在上为增函数，排除B，故选A.
2.已知函数，若函数为偶函数，且，则b的值为( )
A. B. C.1 D.2
[答案]：C
[解析] 由为偶函数，得.又，所以，故选C.
考点3：函数的周期性
1.周期函数的概念
对于函数，如果存在一个非零常数T，使得x取定义域内的任何值时，都有,那么函数叫作周期函数，非零常数T叫作的周期，如果所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作的最小正周期.
2.关于函数周期性的几个常用结论
（1）若，则的周期是.
（2）若，则的周期是.
（3）若，则的周期是.
（4）设是R上的偶函数，且图像关于直线对称，则是周期函数，是他的一个周期.
（5）设是R上的奇函数，且图像关于直线对称，则是周期函数，是他的一个周期.
[典型例题]
1.已知是定义域为的奇函数，满足．若，则( )
A． B．0 C．2 D．50
[答案]：C
[解析] ∵是奇函数,且，
∴，
则,则，
即函数是周期为4的周期函数，∵，
∴, ，，
则，
则
故选：C.
2.下列函数中最小正周期为π的函数是( )
A． B． C． D．
[答案]：D
[解析] A. 函数的最小正周期，不满足条件；
B. 函数的最小正周期为，不满足条件；
C. 的最小正周期为，不满足条件；
D.?的周期，满足条件.故选D.