第一讲函数与方程思想

第一讲　函数与方程思想
知识整合
一、函数思想
通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想．
二、方程思想
构建方程或方程组，通过解方程或方程组或运用方程的性质去分析问题、转化问题、从而使问题获得解决的思想．
三、函数思想与方程思想联系
函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y＝f(x)的正(或负)区间，再如方程f(x)＝g(x)的解的问题可以转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)的交点问题，也可以转化为函数y＝f(x)－g(x)与x轴的交点问题，方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要．
　1.函数与方程思想在不等式中的应用
典题例析
例1　(1)已知f(x)＝log2x，x∈[2,16]，对于函数f(x)值域内的任意实数m，使x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立的实数x的取值范围为(　D　)
A．(－∞，－2]
B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
[解析]　因为x∈[2,16]，所以f(x)＝log2x∈[1,4]，即m∈[1,4]．不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，即为m(x－2)＋(x－2)2>0恒成立．
设g(m)＝(x－2)m＋(x－2)2，
则此函数在区间[1,4]上恒大于0，
所以即
解得x<－2或x>2.
(2)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的(　C　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　构造函数f(x)＝x|x|，则f(x)在定义域R上为奇函数．因为f(x)＝所以函数f(x)在R上单调递增，所以a>b?f(a)>f(b)?a|a|>b|b|.选C.
(3)(2019·山西模拟)若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有(　B　)
A．x＋y≥0　　　　
B．x＋y≤0
C．x－y≤0
D．x－y≥0
[解析]　把不等式变形为2x－5－x≤2－y－5y，构造函数y＝2x－5－x，其为R上的增函数，所以有x≤－y，故选B.
规律总结
函数与方程思想在不等式问题中的应用要点
1．在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，然后利用函数的最值解决问题．
2．要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化．一般地，已知范围的量为变量，而待求范围的量为参数．
跟踪训练
1．(2019·太原一模)定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)>f′(x)，且f(0)＝1，则不等式<1的解集为(　B　)
A．(－∞，0)　　　　　　　
B．(0，＋∞)
C．(－∞，2)
D．(2，＋∞)
[解析]　构造函数g(x)＝，则g′(x)＝＝.由题意得g′(x)<0恒成立，所以函数g(x)＝在R上单调递减．
又因为g(0)＝＝1，所以<1，
即g(x)<1，所以x>0，所以不等式的解集为(0，＋∞)．
2．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈(0，]恒成立，则a的最小值为(　C　)
A．0　　　
B．－2　　　
C．－　　　
D．－3
[解析]　因为x2＋ax＋1≥0，
即a≥＝－(x＋)，令g(x)＝－(x＋)，
当0g(x)max＝g()＝－，故a≥－，
即a的最小值为－.
3．若α，β∈[－，]，且αsinα－βsinβ>0，则下面结论正确的是(　D　)
A．α>β　　
B．α＋β>0　　
C．α<β　　
D．α2>β2
[解析]　令f(x)＝xsinx，
∵x∈[－，]，f(x)为偶函数，
且当x∈[0，]时，f′(x)≥0，
∴f(x)在[0，]上为增函数，在[－，0]上为减函数．
∴αsinα－βsinβ>0?f(|α|)>f(|β|)?|α|>|β|?α2>β2.
2.解决图象交点或方程根的问题
典题例析
例2　设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，且当x∈[－2,0]时，f(x)＝()x－6.若在区间(－2,6]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是　(，2)　.
[解析]　由f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为4，
因为当x∈[－2,0]时，f(x)＝()x－6，
所以若x∈[0,2]，则－x∈[－2,0]，
则f(－x)＝()－x－6＝3x－6.
因为f(x)是偶函数，
所以f(－x)＝3x－6＝f(x)，
即f(x)＝3x－6，x∈[0,2]．
由f(x)－loga(x＋2)＝0，得f(x)＝loga(x＋2)，
作出函数f(x)
的图象如图．
当a>1时，要使方程f(x)－loga(x＋2)＝0恰有3个不同的实数根，
则等价于函数f(x)与g(x)＝loga(x＋2)有3个不同的交点，
则满足
即
解得规律总结
利用函数与方程思想解决交点及根的问题的思路
(1)应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程根的问题转化为函数零点问题．
(2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决．
跟踪训练
1．已知函数f(x)＝x－cosx，则方程f(x)＝所有根的和为(　C　)
A．0　　　
B．　　　
C．　　　
D．
[解析]　∵f(x)＝x－cosx，∴f
′(x)＝＋sinx.
当x∈(－，)时，
∵sinx>－，∴f
′(x)＝＋sinx>0，
∴f(x)＝x－cosx在(－，)上是增函数．
∵f()＝－cos＝，
∴在区间(－，)上有且只有一个实数x＝满足f(x)＝.
当x≤－时，有x≤－，－cosx≤1，
∴x≤－时，f(x)＝x－cosx≤－＋1<，
由此可得当x≤时，f(x)＝没有实数根．
同理可证x≥时，f(x)＝－1>，
∴方程f(x)＝也没有实数根．
综上可知，f(x)＝，只有实数根，故选C.
2．(2019·山东济南期末)若关于x的方程＋＋m＝0有三个不相等的实数解x1，x2，x3，且x1<028…为自然对数的底数，则(＋1)2(＋1)(＋1)的值为(　A　)
A．1
B．e
C．m－1
D．1＋m
[解析]　化简＋＋m＝0，可得＋＋m＝0，令＝t，原方程可化为t＋＋m＝0，
∴t2＋(m＋1)t＋(m＋1)＝0，由根与系数的关系可得ta＋tb＝－(m＋1)，ta·tb＝m＋1，
∴(＋1)(＋1)＝(t1＋1)(t3＋1)＝t1t3＋(t1＋t3)＋1＝m＋1－(m＋1)＋1＝1，
∴(＋1)(＋1)＝(t1＋1)(t2＋1)＝t1t2＋(t1＋t2)＋1＝m＋1－(m＋1)＋1＝1，
两式相乘可得(＋1)2(＋1)(＋1)＝1，
即(＋1)2(＋1)(＋1)的值为1．故选A.
3.解决最值或参数范围问题
典题例析
例3　直线y＝a分别与曲线y＝2(x＋1)，y＝x＋lnx交于点A，B，则|AB|的最小值为(　D　)
A．3　　
B．2　　
C．　　
D．
[解析]　当y＝a时，2(x＋1)＝a，所以x＝－1．
设方程x＋lnx＝a的根为t，
则t＋lnt＝a，则|AB|＝＝＝.
设g(t)＝－＋1(t>0)，
则g′(t)＝－＝，
令g′(t)＝0，得t＝1，当t∈(0,1)时，g′(t)<0；
当t∈(1，＋∞)时，g′(t)>0，
所以g(t)min＝g(1)＝，
所以|AB|≥，所以|AB|的最小值为.
规律总结
求最值或参数范围的技巧
(1)充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解．
(2)充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后应用函数知识求解．
(3)当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信息，构造方程再利用方程知识使问题巧妙解决．
(4)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个数．
跟踪训练
1．如图，A是单位圆与x轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0<θ<π)，＝＋，四边形OAQP的面积为S，当·＋S取得最大值时θ的值为(　B　)
A．　　　
B．　　　
C．　　　
D．
[解析]　∵＝(1,0)，＝(cosθ，sinθ)，∴·＋S＝cosθ＋sinθ＝sin(θ＋)，故·＋S的最大值为，此时θ＝.故选B.
2．(2019·河南商丘模拟)已知函数f(x)＝－x3＋1＋a(≤x≤e，e是自然对数的底数)与g(x)＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是(　A　)
A．[0，e3－4]
B．[0，＋2]
C．[＋2，e3－4]
D．[e3－4，＋∞)
[解析]　根据题意，知方程－x3＋1＋a＝－3lnx在区间[，e]上有解，即方程a＋1＝x3－3lnx在区间[，e]上有解，
设函数g(x)＝x3－3lnx，x∈[，e]，
则g′(x)＝3x2－＝，
令g′(x)＝0，得x＝1，
当≤x<1时，g′(x)<0，g(x)为减函数，
当10，g(x)为增函数，
故函数g(x)＝x3－3lnx在x∈[，e]上的最小值为g(1)＝1，又g()＝＋3，g(e)＝e3－3，
且g()故函数g(x)＝x3－3lnx在x∈[，e]上的最大值为g(e)＝e3－3，故函数g(x)＝x3－3lnx在区间[，e]上的值域为[1，e3－3]．
则有1≤a＋1≤e3－3，则有0≤a≤e3－4，
即a的取值范围是[0，e3－4]．故选A．
　4.函数与方程思想在解析几何中的应用
典题例析
例4　椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为，离心率为，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且＝3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求m的取值范围．
[解析]　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
设c>0，c2＝a2－b2，
由题意，知2b＝，＝，所以a＝1，b＝c＝.
故椭圆C的方程为y2＋＝1，即y2＋2x2＝1．
(2)设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B2(x2，y2)，
由
得(k2＋2)x2＋2kmx＋(m2－1)＝0，
Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)＝4(k2－2m2＋2)>0，(
)
x1＋x2＝，x1x2＝，
因为＝3，所以－x1＝3x2，
所以则3(x2＋x2)2＋4x1x2＝0，
即3·()2＋4·＝0，
整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0，
即k2(4m2－1)＋(2m2－2)＝0，
当m2＝时，上式不成立；当m2≠时，k2＝，
由(
)式，得k2>2m2－2.又k≠0，
所以k2＝>2m2－2，
解得－1即所求m的取值范围为(－1，－)∪(，1)．
规律总结
利用判别式法研究圆锥曲线中的范围问题的步骤
第一步：联立方程．
第二步：求解判别式Δ.
第三步：代换．利用题设条件和圆锥曲线的几何性质，得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系，将其代换．
第四步：下结论．将上述等量代换式代入Δ>0或Δ≥0中，即可求出目标参数的取值范围．
跟踪训练
　(2019·湖南益阳、湘潭联考)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点(1，)，离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设点A，F分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点F作直线交椭圆于C，D两点，求四边形OCAD面积的最大值(O为坐标原点)．
[解析]　(1)由题设得解得
∴椭圆E的方程为＋＝1．
(2)由(1)知，F(1,0)，A(2,0)．由题意知当直线CD的斜率存在时，斜率不为0，设CD的方程为x＝my＋1，与椭圆方程＋＝1联立得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1y2＝，
∴S四边形OCAD＝S△OCA＋S△ODA＝×2×|y1|＋×2×|y2|＝|y1－y2|＝＝＝＝，
其中t＝，t≥1．
∵当t≥1时，3t＋单调递增，3t＋≥4，
∴S四边形OCAD≤3(当m＝0时取等号)．