高考数列

数列问题的题型与方法
考点分析
数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位，是高考数学的主要考查内容之一。高考对本章的考查比较全面，既突出重点，又注重文理差异，注重知识内在联系的考查，注重对中学教学中所蕴涵的数学思想和方法的考查。”等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏，分值大概20分左右，选择题和填空题这两块中必有一道题出现，简答题一道。解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。体现“稳中微变，创新发展”命题思路，命题坚持以稳定为主，注意适度创新，本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决。
考试内容
1．等差数列及其通项公式，等差数列前n项和公式。
2．等比数列及其通项公式，等比数列前n项和公式。
考试要求
1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。
2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题。
3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题。
知识要点
1．可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质.
2．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。
(2)通项公式法：
①若=+（n-1）d=+（n-k）d，则为等差数列；
②若，则为等比数列。
(3)中项公式法：验证都成立。
3.在等差数列中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解：
(1)当,d<0时，满足的项数m使得取最大值.
(2)当,d>0时，满足的项数m使得取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
4.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。
5．注意事项：
⑴证明数列是等差或等比数列常用定义，即通过证明或而得。
⑵在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便。
⑶对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。
⑷注意一些特殊数列的求和方法。
⑸注意与之间关系的转化。如：
=，=．
⑹数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路．
⑺解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．
⑻通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力．
经典例题讲解
例1（2010全国卷II）如果等差数列中，++=12，那么++…+=（ ）
（A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35
解析：观察到是、中项，有等差中项性质得，由等差中项在解决（要求是奇数）的妙用，。
答案： C
评注：数列的基本概念类型的试题重在基本概念，重在观察类比，考生应该把此类实际问题转换成数学数列问题，然后借助所学知识解决。
例2. （2010全国卷I）已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=( )
(A) (B) 7 (C) 6 (D)
解析：由等比数列的性质、等比中项的性质知:，
10，所以，
所以
答案：A
评注:本题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，如果在 高考复习中对等比中项相当熟悉，那么解决此题易如反掌。
例3. 2009宁夏海南卷理）等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列。若=1，则=( )
A.7 B.8 C.15 D.16
解析：本题是等差、等比数列的小综合题，要求考生具备熟练运用基本公式求答的能力。
4，2，成等差数列，
。
答案： C
例4. (2010·大连模拟)设Sn为数列{an}的前n项之和，若不等式a＋≥λa对任何等差数列{an}及任何正整数n恒成立，则λ的最大值为 (　　)
A．0 B. C. D．1
解析：a1＝0时，不等式恒成立，当a1≠0时，λ≤＋，将an＝a1＋(n－1)d，
Sn＝na1＋代入上式，并化简得：
λ≤2＋，
∴λ≤，∴λmax＝.
答案：B
例5. 已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，则a20等于 (　　)
A．0 B．－ C. D.
解析：∵a1＝0，an＋1＝，
∴a2＝－，a3＝，a4＝0，….
从而知3为最小正周期，
从而a20＝a3×6＋2＝a2＝－.
答案：B
例6．(2009·广东)已知等比数列{an}满足an>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1
时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝ (　　)
A．(n－1)2 B．n2
C．(n＋1)2 D．n(2n－1)
解析：∵a5·a2n－5＝22n＝a，an>0，
∴an＝2n，
∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3…an－1)＝log221＋3＋…＋(2n－1)＝log22n2＝n2.故
选B.
答案：B
例7. （2010浙江理数）（14）设
，
将的最小值记为，则
其中=__________________ .
解析：本题主要考察了合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，属容易题
例8．（2010陕西文数）11.观察下列等式：13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝
（1＋2＋3＋4）2，…，根据上述规律，第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）.
解析：第i个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1到i+1和的完全平方
所以第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）.
例9．（2010辽宁文数）（14）设为等差数列的前项和，若，则 。
解析：填15. ,解得，K^S*5U.C#
例10．（2010辽宁理数）（16）已知数列满足则的最小值为__________.
【答案】
【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。
【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2[1+2+…(n-1)]+33=33+n2-n
所以
设，令，则在上是单调递增，在上是递减的，因为n∈N+,所以当n=5或6时有最小值。
又因为，，所以，的最小值为
例11.（2010浙江文数）（14）在如下数表中，已知每行、每列中的树都成等差数列，
那么，位于下表中的第n行第n+1列的数是 。
答案：
例11.（2010天津文数）（15）设{an}是等比数列，公比，Sn为{an}的前n项和。记设为数列{}的最大项，则= 。
【答案】4
【解析】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题。
因为≧8，当且仅当=4，即n=4时取等号，所以当n0=4时Tn有最大值。
【温馨提示】本题的实质是求Tn取得最大值时的n值，求解时为便于运算可以对进行换元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解.
例12.（2010湖南理数）15．若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列．例如，若数列是，则数列是．已知对任意的，，则 ，
．
例13.（2010福建理数）11．在等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式 ．
【答案】
【解析】由题意知，解得，所以通项。
【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。
例14.. （2010江苏卷）8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=____▲_____
[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。
在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，
所以。
例15（2010全国卷II文）已知是各项均为正数的等比数列，且，
（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）略。

解：（I）设公比为q，则，由已知有
化简得
由所以

评注: 本题是等比数列通项公式问题，体现高考的“文理差异”，此题式子的呈现形式很美，但也给计算能力稍弱的文科考生带来麻烦，只要认真计算，肯定能拿满分。
例16. （2009全国卷II理）设数列的前 n项和为，已知
（Ⅰ）设
（Ⅱ）求数列{a}的通项公式
解：（Ⅰ）由= ，有，两式相减得
变形为，即，（n2） 由=，得，于是所以数列是首项为3，公比为2的等比数列。
（Ⅱ）由（1）得，即，所以，且于是是首项为，公差为的等差数列，所以，所以
例17．（2009全国卷Ⅰ理）在数列中，
（I）设，求数列的通项公式
（II）求数列的前项和
解 ：（I）略。（II）由（I）知，=
而，又是一个等差乘模等比型，方法是错位相减法，
易得 =.
例18. （2010全国卷II理）已知数列的前项和．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）证明：．
解：（I）
所以
（II）当n=1时，
当时，

=所以，当
评注：本题是数列、极限、不等式综合题，数列大题中出现数列极限在近年全国卷中出现尚属首次，考生要高度重视；本题（Ⅰ）要运用，本题（II）除了用答案所给方法外，还可以用数学归纳法证明，留给考生自己练习。
例19.（2008全国卷I）设函数．数列满足，．
（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）设，整数．证明：．
（Ⅰ）（Ⅲ）证明:（略)
（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，，，
，由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，，即成立；
（ⅱ）假设当时，成立，即，
那么当时，由在区间是增函数，得，
.而，则，
，也就是说当时，也成立；
根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立.
例20. （2004年北京春季高考20）下表给出一个“等差数阵”：
4 7 （） （） （） …… ……
7 12 （） （） （） …… ……
（） （） （） （） （） …… ……
（） （） （） （） （） …… ……
…… …… …… …… …… …… …… ……
…… ……
…… …… …… …… …… …… …… ……
其中每行、每列都是等差数列，表示位于第i行第j列的数。
（I）写出的值；（II）写出的计算公式；
（III）证明：正整数N在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。
分析：本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。
解：（I）
（II）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：
第二行是首项为7，公差为5的等差数列：
……
第i行是首项为，公差为的等差数列，因此
（III）必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i，j使得
从而
即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。
充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k，l，使得
，从而
可见N在该等差数阵中。
综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。
例21. （2003年北京春季高考）如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，…，圆On+1与圆On外切，且与AB，BC相切，如此无限继续下去.记圆On的面积为.
（Ⅰ）证明是等比数列；
（Ⅱ）求的值.
（Ⅰ）证明：记rn为圆On的半径，
则
所以
故成等比数列.
（Ⅱ）解：因为所以
说明：本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力.
例22. (2001年全国理)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少.本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加。(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元.写出an，bn的表达式(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入
解析：第1年投入800万元，第2年投入800×（1-）万元……，
第n年投入800×（1－）n－1万元
所以总投入an＝800＋800（1－）＋……＋800×（1－）n－1＝4000［1－（）n］
同理：第1年收入400万元，第2年收入400×（1＋）万元，……，
第n年收入400×（1＋）n－1万元
bn＝400＋400×（1＋）＋……＋400×（1＋）n－1＝1600×［（）n－1］
(2)∴bn－an＞0，1600［（）n－1］－4000×［1－（）n］＞0
化简得，5×（）n＋2×（）n－7＞0?
设x＝（）n，5x2－7x＋2＞0?∴x＜，x＞1（舍)?即（）n＜，n≥5.?
说明：本题主要考查建立函数关系式，数列求和，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识解决实际问题的能力。解数学问题应用题重点在过好三关：（1）事理关：阅读理解，知道命题所表达的内容；（2）文理关：将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言，用数学关系式表述事件；（3）数理关：由题意建立相关的数学模型，将实际问题数学化，并解答这一数学模型，得出符合实际意义的解答。
经典习题
一、选择题
1．若等比数列{an}的前n项和Sn，且S10＝18，S20＝24，则S40等于 (　　)
A. B. C. D.
解析：根据分析易知：
∵S10＝18，S20－S10＝6，∴S30－S20＝2，S40－S30＝，
∴S40＝，故选A.
答案：A
2．数列{an}的通项公式an＝，若{an}的前n项和为24，则n为(　　)
A．25 B．576 C．624 D．625
解析：an＝＝－(－)，前n项和Sn＝－[(1－)＋(－)＋…
＋(－)]＝－1＝24，故n＝624.选C.
答案：C
3．设S和T分别为两个等差数列的前n项和，若对任意n∈N，
（ ）
A．4∶3 B．3∶2 C．7∶4 D．78∶71
4．一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和，当这个数列的前n项和最大时，n等于． （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
5．设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(n∈N*)，且a4＝54，则a1＝________.
解析：由于Sn＝(n∈N*)，则a4＝S4－S3＝－＝27a1，且
a4＝54，则a1＝2.
答案：2
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5＝5a3，则＝________.
解析：设等差数列的公差为d，首项为a1，
则由a5＝5a3知a1＝－d，∴＝＝9.
答案：9[来源:高@考%资*源+#网21世纪教育网]
7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为________．
解析：
设等差数列的首项为a1，公差为d，
则S4＝4a1＋6d≥10，即2a1＋3d≥5，
S5＝5a1＋10d≤15，即a1＋2d≤3.又a4＝a1＋3d，
因此求a4的最值可转化为在线性约束条件
限制之下的线性目标函数的最值问题，作出可行域如图，可知在当a4＝a1＋3d，经
过点A(1,1)时有最大值4.
答案：4
8．(2009·福建)五位同学围成一圈依序循环报数，规定：
①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所
报出的数都是前两位同学所报出的数之和；
②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．
已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总
次数为________．
解析：1,1,2,3,5,8,13,21，…该数列被3除所得的余数构成的数列为1,1,2,0,2,2, 1,0，…
所得新数列中每4个数出现一个0，而又有5名同学，因而甲同学报的数为3的倍
数的间隔为20，所以甲同学报的数为3的倍数的数依次是第16,36,56,76,96次，共5
个数，故答案为5.
答案：5
三、解答题
9．(2010·济南模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝k·2n＋m，k≠0，且a1＝3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)方法一：依题意有 ①
解得a2＝2k，a3＝4k，
∴公比为q＝＝2，＝＝2，k＝3，代入①得m＝－3，
∴an＝3·2n－1.
方法二：n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1·k.
由a1＝3得k＝3，∴an＝3·2n－1，
又a1＝2k＋m＝3，∴m＝－3.
(2)bn＝＝，Tn＝， ②
Tn＝， ③
②－③得Tn＝，
Tn＝＝.
10．(2010·浙江五校联考)已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＋an＝1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log3(1－Sn＋1)，求适合方程＋＋…＋＝的n的值．
解：当n＝1时，a1＝S1，由S1＋a1＝1，得a1＝.
当n≥2时，∵Sn＝1－an，Sn－1＝1－an－1，
∴Sn－Sn－1＝(an－1－an)，即an＝(an－1－an)，∴an＝an－1.
∴{an}是以为首项，为公比的等比数列，
故an＝·n－1＝2·n.
(2)∵1－Sn＝an＝n，bn＝log3(1－Sn＋1)
＝log3n＋1＝－n－1，
∴＝＝－，
∴＋＋…＋＝＋＋…＋＝－.
解方程－＝，得n＝100.
11．已知函数f(x)＝(x≠－1)，设数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f(an)，数列{bn}满足
bn＝|an－|，Sn＝b1＋b2＋…＋bn(n∈N*)．
(1)用数学归纳法证明：bn≤；
(2)证明：Sn<.
证明：(1)当x≥0时，f(x)＝1＋>1.
因为a1＝1，所以an≥1(n∈N*)．
下面用数学归纳法证明不等式bn≤.
①当n＝1时，b1＝－1，不等式成立．
②假设当n＝k时，不等式成立，即bk≤，那么bk＋1＝|ak＋1－|＝≤bk≤.
所以，当n＝k＋1时，不等式也成立．
根据①和②，可知不等式对任意n∈N*都成立．
(2)由(1)知bn≤.
所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn
≤(－1)＋＋…＋
＝(－1)·<(－1)·＝.
故对任意n∈N*，Sn<.
12．某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2001年底全县的绿化率已达30%。从2002年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化。
（1）设全县面积为1，2001年底绿化面积为经过年绿化总面积为
求证
（2）至少需要多少年（年取整数，）的努力，才能使全县的绿化率达到60%？
13．（2002年春招试题）已知点的序列（，0），，其中=0，，A3是线钱A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段的中点，…。
（I）写出与、之间的关系式（≥3）
（II）设，计算，，，由此推测数列{}的通项公式，并加以证明。
14．(94年全国理)设｛an｝是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对所有自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.
(1)写出数列｛an｝的前三项； (2)求数列｛an｝的通项公式(写出推证过程)；
(3)令bn=(n∈N)，求：b1+b2+…+bn-n.
经答案典
一、选择题
1.解析：根据分析易知：
∵S10＝18，S20－S10＝6，∴S30－S20＝2，S40－S30＝，
∴S40＝，故选A.
答案：A
2．解析：an＝＝－(－)，前n项和Sn＝－[(1－)＋(－)＋…
＋(－)]＝－1＝24，故n＝624.选C.
答案：C
3．解：设这两个等差数列分别为{an}和{bn}．
故选择A．
说明：注意巧妙运用等差中项的性质来反映等差数列的通项an与前2n-1项和S2n-1的内在联系．
4．解：依题意知．数列单调递减，公差d＜0．因为
S3=S11=S3+a4+a5+…+a10+a11
所以 a4+a5+…+a7+a8+…+a10+a11=0
即 a4+a11=…=a7+a8=0，
故当n=7时，a7＞0，a8＜0．选择C．
解选择题注意发挥合理推理和估值的作用．
二、填空题
5．解析：由于Sn＝(n∈N*)，则a4＝S4－S3＝－＝27a1，且
a4＝54，则a1＝2.
答案：2
6．解析：设等差数列的公差为d，首项为a1，
则由a5＝5a3知a1＝－d，∴＝＝9.
答案：9[来源:高@考%资*源+#网21世纪教育网]
7．解析：
设等差数列的首项为a1，公差为d，
则S4＝4a1＋6d≥10，即2a1＋3d≥5，
S5＝5a1＋10d≤15，即a1＋2d≤3.又a4＝a1＋3d，
因此求a4的最值可转化为在线性约束条件
限制之下的线性目标函数的最值问题，作出可行域如图，可知在当a4＝a1＋3d，经
过点A(1,1)时有最大值4.
答案：4
8．解析：1,1,2,3,5,8,13,21，…该数列被3除所得的余数构成的数列为1,1,2,0,2,2, 1,0，…
所得新数列中每4个数出现一个0，而又有5名同学，因而甲同学报的数为3的倍
数的间隔为20，所以甲同学报的数为3的倍数的数依次是第16,36,56,76,96次，共5
个数，故答案为5.
答案：5
三、解答题
9．解：(1)方法一：依题意有 ①
解得a2＝2k，a3＝4k，
∴公比为q＝＝2，＝＝2，k＝3，代入①得m＝－3，
∴an＝3·2n－1.
方法二：n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1·k.
由a1＝3得k＝3，∴an＝3·2n－1，
又a1＝2k＋m＝3，∴m＝－3.
(2)bn＝＝，Tn＝， ②
Tn＝， ③
②－③得Tn＝，
Tn＝＝.
10．解：当n＝1时，a1＝S1，由S1＋a1＝1，得a1＝.
当n≥2时，∵Sn＝1－an，Sn－1＝1－an－1，
∴Sn－Sn－1＝(an－1－an)，即an＝(an－1－an)，∴an＝an－1.
∴{an}是以为首项，为公比的等比数列，
故an＝·n－1＝2·n.
(2)∵1－Sn＝an＝n，bn＝log3(1－Sn＋1)
＝log3n＋1＝－n－1，
∴＝＝－，
∴＋＋…＋＝＋＋…＋＝－.
解方程－＝，得n＝100.
11．证明：(1)当x≥0时，f(x)＝1＋>1.
因为a1＝1，所以an≥1(n∈N*)．
下面用数学归纳法证明不等式bn≤.
①当n＝1时，b1＝－1，不等式成立．
②假设当n＝k时，不等式成立，即bk≤，那么bk＋1＝|ak＋1－|＝≤bk≤.
所以，当n＝k＋1时，不等式也成立．
根据①和②，可知不等式对任意n∈N*都成立．
(2)由(1)知bn≤.
所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn
≤(－1)＋＋…＋
＝(－1)·<(－1)·＝.
故对任意n∈N*，Sn<.
12．1）证明：由已知可得确定后，表示如下：=
即=80%+16%=+
（2）解：由=+可得：=（）=（）2（）=…=
故有=，若则有即
两边同时取对数可得
故，故使得上式成立的最小为5，
故最少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60%.
13．（I）解：当n≥3时，
（II）解：
.
由此推测。
证法一：因为，且
（n≥2）所以。
证法二：（用数学归纳法证明：）
（i）当时，，公式成立，
（ii）假设当时，公式成立，即成立。
那么当时，
=式仍成立。
根据（i）与（ii）可知，对任意，公式成立
评注：本小题主要考查中点坐标公式、等比数列等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力。
14．解：(1)由题意=an＞0
令n=1时，=S1=a1解得a1=2
令n=2时有==a1+a2?解得a2=6
令n=3时有=S3=a1+a2+a3解得a3=10?
故该数列的前三项为2、6、10.?
(2)解法一：由(1)猜想数列｛an｝有通项公式an=4n-2，下面用数学归纳法证明数列｛an｝的通项公式是an=4n-2(n∈N)?
1°当n=1时，因为4×1-2＝2，又在(1)中已求得a1=2，所以上述结论正确.?
2°假设n=k时，结论正确，即有ak=4k-2?
由题意有得ak=4k-2,代入上式得2k=,解得Sk=2k2
由题意有=Sk+1=Sk+ak+1得Sk=2k2代入得=2(ak+1+2k2)?
整理a2k+1-4ak+1+4-16k2=0?由于ak+1＞0，解得：ak+1=2+4k?
所以ak+1=2+4k=4(k+1)-2?
这就是说n=k+1时，上述结论成立.?
根据1°，2°上述结论对所有自然数n成立.?
解法二：由题意有，=(n∈N)?整理得Sn=(an+2)2?
由此得Sn+1=(an+1+2)2所以an+1=Sn+1-Sn=［（an+1+2)2-(an+2)2］?
整理得(an+1+an)(an+1-an-4)=0由题意知an+1+an≠0,所以an+1-an=4
即数列｛an｝为等差数列，其中a1=2,公差d=4，
所以an=a1＋(n-1)d=2+4(n-1)?即通项公式an=4n-2.?
(3)令cn=bn-1,?
则cn===
b1+b2+…+bn-n=c1+c2+…+cn?
=
说明：该题的解题思路是从所给条件出发，通过观察、试验、分析、归纳、概括、猜想出一般规律，然后再对归纳、猜想的结论进行证明.对于含自然数n的命题，可以考虑用数学归纳法进行证明，该题着重考查了归纳、概括和数学变换的能力.