第二讲数形结合思想

第二讲　数形结合思想
知识整合
数形结合思想的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言有机结合，达到抽象思维和形象思维的和谐统一．通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决．
数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．
1.数形结合思想在方程的根或函数零点中的应用
典题例析
例1　若f(x)＋1＝，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若在区间(－1,1]内，g(x)＝f(x)－mx－m有两个零点，则实数m的取值范围是(　D　)
A．[0，)　　　　　
B．[，＋∞)
C．[0，)
D．(0，]
[解析]　当x∈(－1,0]时，x＋1∈(0,1]，
∵当x∈(0,1]时，f(x)＝x，∴f(x＋1)＝x＋1．
而由f(x)＋1＝，可得f(x)＝－1＝－1(x∈(－1,0])．
如图所示，作出函数f(x)在区间(－1,1]内的图象，
而函数g(x)零点的个数即为函数f(x)与y＝mx＋m图象交点的个数，显然函数y＝mx＋m的图象为经过点P(－1,0)，斜率为m的直线．
如图所示，f(1)＝1，故B(1,1)．直线PB的斜率k1＝＝，直线PO的斜率为k2＝0.由图可知，函数f(x)与y＝mx＋m的图象有两个交点，则直线y＝mx＋m的斜率k2规律总结
利用数形结合求方程解应注意两点
1．讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解．
2．正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．
跟踪训练
1．已知函数f(x)＝若f(x1)＝f(x2)＝f(x3)(x1，x2，x3互不相等)，且x1＋x2＋x3的取值范围为(1,8)，则实数m的值为__1__.
[解析]　作出f(x)的图象，如图所示，可令x12．(2019·辽宁模拟)f(x)＝2sinπx－x＋1的零点个数为(　B　)
A．4　　　
B．5　　　
C．6　　　
D．7
[解析]　令2sinπx－x＋1＝0，则2sinπx＝x－1，令h(x)＝2sinπx，g(x)＝x－1，则f(x)＝2sinπx－x＋1的零点个数问题就转化为两个函数h(x)与g(x)图象的交点个数问题．h(x)＝2sinπx的最小正周期为T＝＝2，画出两个函数的图象，如图所示，因为h(1)＝g(1)，h()>g()，g(4)＝3>2，g(－1)＝－2，所以两个函数图象的交点一共有5个，所以f(x)＝2sinπx－x＋1的零点个数为5.故选B.
2.数形结合化解不等式问题
典题例析
例2　(1)(2019·四川模拟)若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是(　D　)
A．(－∞，＋∞)　　　　　
B．(－2，＋∞)
C．(0，＋∞)
D．(－1，＋∞)
[解析]　方法一：不等式2x(x－a)<1可变形为x－a<()x.在同一平面直角坐标系内作出直线y＝x－a与y＝()x的图象，如图，由题意，知在(0，＋∞)上，直线y＝x－a有一部分在曲线y＝()x的下方．观察可知，有－a<1，所以a>－1，故选D.
方法二：不等式2x(x－a)<1可变形为a>x－()x.记g(x)＝x－()x(x>0)，易知g(x)为增函数，又g(0)＝－1，所以g(x)∈(－1，＋∞)．故a>－1．故选D.
(2)已知关于x的不等式>ax＋的解集为{x|4[解析]　设f(x)＝，g(x)＝ax＋(x≥0)．
因为>ax＋的解集为{x|4所以两函数图象在4g(x)，如图所示．
当x＝4，x＝b时，由f(x)＝g(x)，可得解得所以ab＝×36＝.
规律总结
1．数形结合思想解决参数问题的思路
(1)分析条件所给曲线．(2)画出图象．(3)根据图象求解．
2．常见的数与形的转化
(1)集合的运算及韦恩图．(2)函数及其图象．(3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象．(4)方程(多指二元方程)及方程的曲线．
跟踪训练
1．(2019·太原模拟)不等式≤x＋b恒成立，则实数b的取值范围是(　C　)
A．(－∞，－－1]
B．(－∞，－1]
C．[－1，＋∞)
D．[－－1，－1]
[解析]　设y＝＝，整理得(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，表示以A(1,0)为圆心，半径为1的上半圆；而y＝x＋b表示斜率为1，在y轴上的截距为b的直线．
如图所示，要使不等式恒成立，则直线y＝x＋b在半圆的上方，即圆心到直线的距离不小于圆的半径，故≥1，解得b≥－1或b≤－－1．而当b≤－－1时，直线y＝x＋b在半圆的下方，所以不满足条件．所以实数b的取值范围是[－1，＋∞)．故选C.
2．对?x∈(0，)，8x[解析]　当0∵对?x∈(0，)，8x∴当x∈(0，)时，y＝logax的图象恒在y＝8x－1的图象的上方(如图中虚线所示)．
∵y＝logax的图象与y＝8x－1的图象交于点(，1)时，a＝，∴≤a<1．
3.利用数形结合思想解决不等式、参数问题
典题例析
例3　(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　B　)
A．－2
B．－
C．－
D．－1
[解析]　方法1：(解析法)
建立坐标系如图所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)．
设P点的坐标为(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，
∴·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2(x2＋y2－y)＝2[x2＋(y－)2－]≥2×(－)＝－.
当且仅当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，最小值为－.故选B.
方法2：(几何法)如图所示，＋＝2(D为BC的中点)，则·(＋)＝2·.
要使·最小，则与方向相反，即点P在线段AD上，则(2·)min＝－2||||，问题转化为求||||的最大值．
又||＋||＝||＝2×＝，
∴||||≤()2＝()2＝，
∴[·(＋)]min＝2(·)min＝－2×＝－.故选B.
(2)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值为__2__.
[解析]　如题图所示，则A(1,0)，B(－，)．
设∠AOC＝α(α∈[0，])，则C(cosα，sinα)．
由＝x＋y，得
解得
所以x＋y＝cosα＋sinα＝2sin(α＋)．
又α∈[0，]，所以当α＝时，x＋y取得最大值2.
规律总结
建坐标系可以实现平面向量问题的全面运算，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，化繁为简，轻松破解．
跟踪训练
1．(2019·福建模拟)已知⊥，||＝，||＝t.若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于(　A　)
A．13　　　
B．15　　　
C．19　　　
D．21
[解析]　以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B(，0)(t>0)，C(0，t)，P(1,4)，·＝(－1，－4)(－1，t－4)＝17－(4t＋)≤17－2×2＝13.
当且仅当t＝时，·最大为13，故选A．
2．(2019·西安高新模拟)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝__12__.
[解析]　方法一：因为·＝2·，
所以·－·＝·，
所以·＝·.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，
所以2||＝||||cos，化简得||＝2.
故·＝·(＋)＝||2＋·＝(2)2＋2×2cos＝12.
方法二：如图，建立平面直角坐标系xAy.依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n,0)，其中m>0，n>0，
则由·＝2·，得(n,0)·(m＋2，m)＝2(n,0)·(m，m)，
所以n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2.
故·＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12.
4.数形结合化解圆锥曲线问题
典题例析
例4　(1)(2019·武汉模拟)已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标为(　A　)
A．(，－1)　　　　　　
B．(，1)
C．(1,2)
D．(1，－2)
[解析]　点P到抛物线焦点的距离等于点P到抛物线准线的距离，如图所示，设焦点为F，过点P作准线的垂线，垂足为S，则|PF|＋|PQ|＝|PS|＋|PQ|，故当S，P，Q三点共线时取得最小值，此时P，Q的纵坐标都是－1，设点P的横坐标为x0，代入y2＝4x，得x0＝，故点P的坐标为(，－1)，故选A．
(2)已知A(1,1)为椭圆＋＝1内一点，F1为椭圆的左焦点，P为椭圆上一动点，求|PF1|＋|PA|的最大值和最小值．
[解析]　由＋＝1可知a＝3，b＝，c＝2，左焦点F1(－2,0)，右焦点F2(2,0)．
由椭圆定义，知|PF1|＝2a－|PF2|＝6－|PF2|，
∴|PF1|＋|PA|＝6－|PF2|＋|PA|＝6＋|PA|－|PF2|.
如图，由||PA|－|PF2||≤|AF2|＝＝，知－≤|PA|－|PF2|≤.
当点P在AF2的延长线上的点P2处时，取右“＝”，
当点P在AF2的反向延长线上的点P1处时，取左“＝”，
即|PA|－|PF2|的最大、最小值分别为，－.
于是|PF1|＋|PA|的最大值是6＋，最小值是6－.
规律总结
(1)在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，这样使数更形象，更直白，充分利用图象的特征，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，避免一些复杂的计算，给解题提供方便．
(2)应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．
跟踪训练
1．(2019·南宁模拟)椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是(　C　)
A．　　　　
B．　　　　
C．　　　　
D．
[解析]　如图，设椭圆的右焦点为F′，连接MF′，NF′.
因为|MF|＋|NF|＋|MF′|＋|NF′|≥|MF|＋|NF|＋|MN|，所以当直线x＝m过椭圆的右焦点时，△FMN的周长最大．
此时|MN|＝＝，
又c＝＝＝1，
所以此时△FMN的面积S＝×2×＝.故选C.
2．(2019·广西模拟)设P为双曲线x2－＝1右支上一点，M，N分别是圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1上的点，设|PM|－|PN|的最大值和最小值分别为m，n，则|m－n|＝(　C　)
A．4
B．5
C．6
D．7
[解析]　由题意得，圆C1：(x＋4)2＋y2＝4的圆心为(－4,0)，半径为r1＝2；圆C2：(x－4)2＋y2＝1的圆心为(4,0)，半径为r2＝1．
设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1(－4,0)，F2(4,0)．如图所示，连接PF1，PF2，F1M，F2N，
则|PF1|－|PF2|＝2.
又|PM|max＝|PF1|＋r1，|PN|min＝|PF2|－r2，所以|PM|－|PN|的最大值m＝|PF1|－|PF2|＋r1＋r2＝5.又|PM|min＝|PF1|－r1，|PN|max＝|PF2|＋r2，所以|PM|－|PN|的最小值n＝|PF1|－|PF2|－r1－r2＝－1，所以|m－n|＝6.故选C.