江苏省泰灵中学2012届高三数学二轮复习专题直线和圆中的最值问题

江苏省泰灵中学2012届高三数学二轮复习专题
直线和圆中的最值问题
设计意图：解析几何是江苏高考必考题之一，它包含两个C级考点，正常情况下，考一小(填空)一大(解答)．小题常涉及直线方程及应用，圆锥曲线方程及其性质，有一定的计算量；大题往往与圆有关，涉及到方程，位置关系、定点、定值、定线等．直线和圆以及圆锥曲线的基础知识两个容易或中档小题，机动灵活，考查双基；解答题难度设置在中等或以上，一般都有较高的区分度，主要考查解析几何的本质——“几何图形代数化与代数结果几何化”以及分析问题解决问题的能力.本节课侧重围绕这两个C级考点，从形（几何图形的直观）和数（函数的角度）去研究直线与圆中的有关最值。
课前预习：
1、已知圆D：，
则点A与圆D上任意一点距离的最大值为 ，最小值为 ，
点B与圆D上任意一点距离的最大值为 ，最小值为 ，
点C与圆D上任意一点距离的最大值为 ，最小值为 。
归纳：定D的半径为r, 平面上的定点M与圆D上任意一点距离的最大值为 ，最小值为 。
2、已知圆D：上任意一点到
（1）直线的距离最大值为 ，最小值为 ；
（2）直线的距离最大值为 ，最小值为 ；
（3）直线的距离最大值为 ，最小值为 。
归纳：定圆D上任一点到定直线距离的最大值为 ，
当定直线与圆D相离或相切时，定圆D上任一点到定直线距离的最小值为 。
3、过点A引圆C：的弦，
（1）则最长弦长为 ，对应的弦所在直线方程为 ；
最短弦长为 ，对应的弦所在直线方程为 。
（2）弦所在直线将圆C分成两段弧，弧长最短时对应的弦所在直线方程为 ，弧长最长时对应的弦所在直线方程为 。
归纳：过定圆内的定点引该圆的最长弦所在直线是 ，
过定圆内的定点引该圆的最短弦所在直线是 。
4、从直线x-y+3=0上任意一点Ｐ向圆C：(x+2)2+ (y+2)2=1引切线PA、PB,则切线长的最小值为 ；四边形PACB面积的最小值为 。
归纳：（1）圆中两个重要直角三角形，用于求弦长及切线长；
（2）如何求不规则四边形的面积？
5、圆C1与圆C2的半径分别为，
当两圆外离时，两圆上点的距离最大值为 ，最小值为 。
例题选讲：
例1（1）、直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点(其中a，b是实数)，且△AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0,1)之间距离的最大值为________．
（2）、如图，已知圆x2＋y2＝1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B，则线段AB长度的最小值为________．
【点评】(1)本题中的距离是一个二元函数，这样一来几何条件“△AOB是直角三角形”就必须转化为a，b之间的等式，然后代入消元或者借助于两点间距离公式的几何意义求出最大值．
(2)本题在建立函数时，可以设直线的截距式方程得到一个二元函数，转化为二元函数的最值问题，也可以选择用切点D点坐标建立函数，选择∠OAD（圆参数方程中的旋转角）为自变量来建立函数，这样比起二元函数来说，有利于求解．
结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于：
① 通过参数θ简明地（只用一个未知数）表示曲线上点的坐标；
② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题
如：已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.
求y-x的最大值和最小值；
求x2+y2的最大值和最小值.
例2(1)、已知⊙C的方程是圆C的方程为，过原点O作两条互相垂直的直线l1，l2，l1交⊙C于E，F两点，l2交⊙C于G，H两点，求四边形EGFH面积的最大值．
解析：结合课前预习的第4题分析不规则四边形面积的表示方法；如何表示两条对角线的长度？对角线是用可以看成圆的两条弦长，如何表示圆的弦长？面积是一个二元函数，二元函数的最值问题需找到二元之间的等式，你能找到吗？（建立多边形面积函数的关键在于寻找运动中的不变量）
变式：四边形EGFH面积的最小值？
四边形EGFH的对角线长度和的最值？
例2(2)、已知直线l：y＝k(x＋2)(k≠0)与圆O：x2＋y2＝4相交于A、B两点，O为坐标原点．△AOB的面积为S．
① 试将S表示为k的函数S(k)，并求出它的定义域．
②求S(k)的最大值，并求出此时的k值．
备注：其中第二问求S(k)的最大值有三种不同的方法设元。
法一、直接以斜率k为未知数，通过换元法转化为二次函数的最值
法二、使用正弦定理，设圆心角表示面积(但是此法需检验最值能否取到，需验证能否达到)
法三、以弦心距为未知数建立函数
让学生总结此类问题中那种方法更好。
巩固练习：
1、函数f(θ)=的最大值为 ，最小值为　　．
2、已知两点A(–2,0),B(0,2), 点C是圆x2+y2–2x=0上的任意一点,则△ABC面积的最小值是
3、已知圆x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0(0小结：
从几何角度（数形结合）和函数两个不同角度解决直线与圆中的最值问题。如果从函数角度研究最值，设元是关键，若得到的是二元函数可以通过几何意义、消元、换元、基本不等式等方法加以解决。