曲线与方程是解析几何的基本概念,在近年的高考试题中,重点考查曲线与方程的关系,考查曲线方程的探求方法,多以综合解答题的第⑴小问的形式出现,就这部分考题来说,属于中档题,难度值一般在之间.
考试要求 ⑴了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.
⑵掌握一般曲线(点的轨迹)方程的求解方法和用定义法求圆锥曲线方程.
题型一 曲线与方程
例 设集合非空.如果命题“坐标满足方程的点都在曲线上”不正确,给出以下四个命题：①曲线上的点的坐标都满足方程；②坐标满足方程的点有些在上,有些不在上；③坐标满足方程的点都不在曲线上；④一定有不在曲线上的点,并且其坐标满足方程.那么正确命题的个数是( ).
A. B. C. D.
点拨：直接用定义进行判断.
解：“坐标满足方程的点都在曲线上”不正确,意味着“坐标满足方程的点不都在曲线上”是正确的,即一定有不在曲线上的点,并且其坐标满足方程,∴④正确；曲线上的点的坐标可以有不满足方程的,∴①错；若满足方程的只有一解,则②错；“都”的否定是“不都”,而不是“都不”,∴③错.故选A.
易错点：定义把握不准确,关键字句认识不到位,概念理解不深刻,均有可能错选其它选项.
变式与引申
2.已知定点不在直线：上,则方程表示一条( ).
A.过点且平行于的直线 B.过点且垂直于的直线
C.不过点但平行于的直线 D.不过点但垂直于的直线
题型二 代入法(相关点法)求曲线方程
例 已知点,点、分别在轴、轴上,且,,当点在轴上运动时,求点的轨迹方程.
点拨：由确定与的坐标关系,由建立动点与、的坐标关系,用代入法求轨迹方程.
解：设,,,又,则,,.由,得 ①.由,得,∴,,即,,代入①得,,即,当时,三点、、重合,不满足条件,∴,故点的轨迹方程为.
易错点：忽视轨迹方程中的.
变式与引申
3.已知为坐标原点,点、分别在轴、轴上运动,且,动点满足,求动点的轨迹方程.
题型三 待定系数法、直接法求曲线方程
例 已知椭圆的中心为直角坐标系的原点,焦点在轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是和.
⑴求椭圆的方程；
⑵若为椭圆的动点,为过且垂直于轴的直线上的点,(为椭圆的离心率),求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
点拨：问题⑴用待定系数法求椭圆的方程；问题⑵将点、的坐标代入满足的关系式中,化简后可得到点的轨迹方程,然后说明其轨迹是什么曲线,并指明变量的取值范围.
解：⑴设椭圆的标准方程为,半焦距为,则,解得,,
∴.故椭圆的标准方程为.
⑵设,,其中.由已知得,而,∴.由点在椭圆上,得,代入上式并化简得,故点的轨迹方程为轨迹是两条平行于轴的线段.
易错点： 第⑵小问中未注意到点与的坐标关系,会造成求点轨迹方程的思路受阻；忽视变量的范围,将出现对所求轨迹曲线的错误判断.
变式与引申
4.已知椭圆：的离心率为,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切.
⑴求椭圆的方程；
⑵设该椭圆的左、右焦点分别为、,直线过且与轴垂直,动直线与轴垂直,交与点,求线段垂直平分线与的交点的轨迹方程,并指明曲线类型.
题型四 定义法求曲线方程与实际应用问题
例 为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川山上相距的、两点各建一个考察基地,视冰川面为平面形,以过、两点的直线为轴,线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系(如图所示).考察范围到、两点的距离之和不超过的区域.
⑴求考察区域边界曲线的方程；
⑵如图所示,设线段是冰川的部分边界线(不考虑其他边界),当冰川融化时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动,以后每年移动的距离为前一年的倍.问：经过多长时间,点恰好在冰川边界线上？
点拨：本题是应用题背景下的解析几何综合问题,利用椭圆定义求考察
区域边界曲线的方程；综合运用直线方程、点到直线的距离公式、等比数列
求和公式等知识能使第⑵小问获解.
解：⑴设考察区域边界曲线上点的坐标为.则由
知,点在以、为焦点,长轴长为的椭圆
上,此时短半轴长,故考察区域边界曲线的方程为.
⑵易知过点、的直线方程为,∴点到直线的距离.设经过年,点恰好在冰川边界线上,则由题设及等比数列求和公式,得,解得.故经过年,点恰好在冰川边界线上.
易错点：⑴不能正确建立应用题的数学模型；⑵数学阅读分析能力不强,易出现审题错误.
变式与引申
5.某航天卫星发射前,科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验,设计方案如图,航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分,降落点为.观测点、同时跟踪航天器.
⑴求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
⑵试问：当航天器在轴上方时,观测点、测得离航天器的距离
分别为多少时,应向航天器发出变轨指令？
本节主要考查：
⑴知识点有曲线与方程的关系、求曲线(轨迹)的方程；
⑵依据动点轨迹的几何条件,运用求曲线(轨迹)方程的方法解决求曲线(轨迹)方程的问题,及应用题背景下的求曲线(轨迹)方程的问题；
⑶求曲线(轨迹)方程时：①恰当建立坐标系,使所求方程更简单；
②利用圆锥曲线的定义,运用平面几何知识,可以大大简化求解运算过程.
⑷解析几何基本思想(用代数方法研究几何问题)、方程思想、等价转化思想、分类讨论思想、应用题建模思想以及分析推理能力、运算能力.
点评：
⑴求曲线(轨迹)方程的常用方法有：
①直接法：直接利用动点满足的几何条件(一些几何量的等量关系)建立,之间的关系(如例第问).其一般步骤是：建系设点、列式、坐标代换、化简、证明(证明或判断所求方程即为符合条件的动点轨迹方程)；
②待定系数法：已知所求曲线的类型时,可先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,求出曲线的方程(如例第问)；
③定义法：先根据条件能得出动点的轨迹符合某种曲线的定义,则可用曲线的定义直接写出动点的轨迹方程(如例)；
④代入法(相关点法)：有些问题中,动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的,并且点在某已知的曲线上,这时可先用、的代数式来表示、,再将、的表达式代入已知曲线,即得要求的动点轨迹方程(如例及变式).
⑵要注意求曲线(轨迹)方程与求轨迹的区别：求曲线(轨迹)的方程只需根据条件求出曲线(轨迹)方程即可；求轨迹则是需先求出轨迹方程,再根据方程形式说明或讨论(含参数时)曲线图形的(形状、位置、大小)类型.解题时应根据题意作出正确、规范的解答.
⑶在求出曲线(轨迹)的方程时,要注意动点的取值范围,及时补漏和去除“杂点”,以保证所求曲线(轨迹)方程的完整性.
习题6-1
.方程的曲线是( ).
A.一个点 B.一条直线 C.一个点和一条直线 D.两条直线
.已知双曲线的一条渐近线方程是,它的一个焦点与抛物线的焦点相同.则双曲线的方程为.
3.已知椭圆的左、右焦点分别为、,离心率,右准线方程为.
⑴求椭圆的标准方程；
⑵过点的直线与该椭圆交于、两点,且,求直线的方程.
4．（2011高考江西卷·文）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于
和两点，且.
（1）求该抛物线的方程；
（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．
【答案】
4. 解：⑴由得,又,∴,,故椭圆的方程为.
⑵由⑴知,,由题意可设,则线段的中点为.
设是所求轨迹上的任意一点,由于,,则
,消去参数得,故所求点的轨迹方程为,其轨迹为顶点在原点、开口向左、焦点为的抛物线(除去原点).
5. 解：⑴设曲线方程为,将点,代入曲线方程,
得,∴,,故曲线方程为.
⑵设变轨点为,联立,得,∴或(舍去).
由,得或(舍去).∴点,此时,, .故当观测点、测得、的距离分别为、时,应向航天器发出变轨指令.
习题6-1
. D
提示：由得,,∴或,故方程的曲线是两条直线.
.
提示：由渐近线方程可知①.∵抛物线的焦点为,∴②.
又③.联立①②③,解得,,∴双曲线的方程为.
.解：⑴∵、、成等差数列,∴,即,∴点到两定点、的距离之和为定长,故的轨迹是以、为焦点的椭圆,其方程为.又,∴点在轴左侧,又点与、构成三角形,∴点不能在上,∴点的轨迹的方程为.
⑵假设存在直线满足条件.
①当的斜率存在时,设的方程为,代入的方程,得.∵与有两个不同的交点,.∴,解之得.
由弦长公式得,.设原点到直线距离为,则.
∵,∴,即.解得,
∴,与不符.
②当的斜率不存在时,的方程为.此时,,,∴直线不符合.
综上①②知,满足题给条件的直线不存在.
图近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置，且选择、填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等.分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法，对称的方法及韦达定理等直线与圆锥曲线的关系是高考的必考内容，是命题的热点也是难点.一般出现一小（选择题或填空题）一大（解答题）两道，小题通常属于中低档题，难度系数为0.5-0.7左右，大题通常是高考的压轴题，难度系数为0.3～0.5左右.
考试要求：(1) 直线与圆锥曲线的位置关系,是高考考查的重中之中,在高考中以高难度题、压轴题出现，主要涉及弦长，弦中点，对称，参变量的取值范围，求曲线方程等问题.突出考查了数形结合，分类讨论，函数与方程，等价转化等数学思想方法.
（2）直线与圆锥曲线联系在一起的综合题要充分重视韦达定理和判别式的应用，解题的主要规律可以概括为“联系方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.
题型一 直线与圆锥曲线的交点问题
例1 在平面直角坐标系中,经过点(且斜率的直线与椭圆有两个不同的交点P和Q.（1）求的取值范围.（2）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为A、B,是否存在常数,使的向量与共线？如果存在,求值;如果不存在,请说明理由.
点拨:(1)设出L的方程与椭圆组成联立方程组,再利用判别式法求出的范围.
(2)利用向量共线的充要条件及韦达定理即可解出,再根据的取值范围确定是否存在.
解： (1)由已知条件,直线的方程为代入椭圆方程得 ①
整理得( 直线与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
△= 解得
即的的取值范围为
(2)设P(, 则= 由方程①得 又 而A所以与共线等价于 解得
由(1)知矛盾,故没有符合题意的常数.
易错点: 忽视的取值范围导致错误.
变式与引申
1.已知双曲线的右焦点为F,若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率是( )
A．(1,2 B． C．[2，+∞ D．
题型二 直线与圆锥曲线的弦长问题
解（1）：设点的坐标为，点的坐标为，由，解得，所以=．
当且仅当时，取到最大值．
（2）：由 得， ，
…………②
设到的距离为，则 ，又因为，
所以，代入②式并整理，得，
解得，，代入①式检验，，故直线的方程是
或或，或
易错点：（1）忘记均值不等式的应用导致寸步难行.（2）忘记弦长公式与点到直线的距离公式导致出错.
变式与引申
2.设椭圆与直线相交于A ﹑B两点，点C是AB的中点，若OC的斜率为求椭圆的方程.
题型三 直线与圆锥曲线中点弦的问题
例3 已知双曲线的方程为
（1）求以A（2，1）为中点的弦所在直线的方程；
（2）以点B（1，1）为中点的弦是否存在？若存在，求出弦所在直线的方程；若不存在，请说明理由.
点拨:（1）利用设而不求法和点差法构建方程，结合直线的斜率公式与中点坐标公式求出斜率.也可设
点斜式方程,与双曲线方程联立，利用韦达定理与中点坐标公式求出斜率k. (2)仿照（1）求出方程，但要验证直线与双曲线是否有交点.
解：（1）设是弦的两个端点，则有
两式相减得 ①
∵A（2，1）为弦的中点，∴， 代入①得
∴.故直线的方程为
（2）假设满足条件的直线存在，同（1）可求
由得 ∵△=
∴所求直线与双曲线无交点. ∴以B(1,1)为中点的弦不存在.
易错点：存在性问题的结果通常是难以预料的，求时通常可求得，但不是充要条件，因此学生容易忽视.
变式与引申
3.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F，直线与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 （ ）
A． B． C． D．
题型四 有关对称问题
解：（1）因为点P在椭圆C上，所以即
在，故椭圆的半焦距c =，
从而 所以椭圆C的方程为.
（2）法一：已知圆的方程为 所以圆心，设8由题意得
得
因为A,B关于点M对称，所以代人得 即直线L的斜率为，所以直线L的方程为（经检验，所求直线方程符合题意）
法二：设已知圆的方程为所以圆心.从而可设直线L的方程为代入椭圆C方程得因为A,B关于点M对称，所以，所以直线L的方程为（经检验，所求直线方程符合题意）
易错点：单独求解A,B两点运算量很大，容易出错.采用“设而不求”简单方便.
变式与引申
4. 在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线相交于两点.
(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求面积的最小值；
(2)是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？
若存在，求出的方程；若不存在，说明理由.
本节主要考查：1.的位置
关系可分为，相交，相离，相切.对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物
线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但不相切.有一个公共点是直线与抛物线，双曲线相切的必要条件，但不是充分条件.
2.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.
点评：当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求来计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往能事半功倍.
习题6-3
1. 设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ).
A. B. 5 C. D.
2. 已知(1,1)为椭圆内一定点，经过引一弦，使此弦在（1，1）点被平分，此弦所在的直线方程.
3．直线L：y=kx+1,抛物线C:，当k为何值时L与C有：（1）一个公共点；（2）两个公共点；（3）没有公共点.
4. 直线y=kx+1与双曲线3x2-y2=1相交于A、B两点
（1）当k为何值时，A、B两点在双曲线的同一支上；
（2）当k为何值时，A、B两点在双曲线的两支上；
（3）当k为何值时，以A、B为直径的圆过坐标原点.
5．（2011年高考重庆卷·文）如图6-3-3，椭圆的中心为原点0，离心率e=，一条准线的方程是
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设动点P满足：，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为，问：是否存在定点F，使得与点P到直线l：的距离之比为定值；若存在，求F的坐标，若不存在，说明理由。
【答案】
变式与引申
1. C
提示：过点F且倾斜角为的直线L与双曲线的右支有且只有一个交点的充要条件是：直线L与双曲线的渐近线平行（即一条渐近线的斜率=）或直线L与双曲线的左，右两支各有一交点.即.综合得 所以
2. 解：设A，则的解由 两式相减得
即 ①
再由方程组消去y得
由
②
由①②解得 故所求的椭圆的方程为
3. D
提示：依题意有 则双曲线方程为.设M 则 ，两式相减得 再由 ，，，所以由，得
所以双曲线的方程为，故选D
4. 解法一：(1)依题意，如图6-3-1，点的坐标为，可设，
直线的方程为，与联立得消去得.
由韦达定理得，.
于是.
，
当时，.
(2)假设满足条件的直线存在，其方程为，如图6-3-2
的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，
则，点的坐标为.
，
，
，
.
令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，
即抛物线的通径所在的直线.
解法二：(1)前同解法1，再由弦长公式得
，
又由点到直线的距离公式得.
从而，
当时，.
(2)假设满足条件的直线存在，其方程为，
则以为直径的圆的方程为，
将直线方程代入得，
则.
设直线与以为直径的圆的交点为，
则有.
令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，
即抛物线的通径所在的直线.
习题6-3
1．D
提示：双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,
得有唯一解,所以△=,
所以,,故选D.
2．解法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为，弦的两端点（），）.
由 消去得 （
∴∴
故弦所在的直线方程为.即.
解法二：由于此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为，且设弦的两端点坐标为（），），则，两式相减得
∵∴.∴.
∴此弦所在的直线方程为.
3. 解：将和C的方程联立，消去y得 ①
当k=0时，方程①只有一个解.此时
∴直线与C只有一个公共点（），此时直线平行于抛物线的对称轴.
当k≠0时，方程①是一个一元二次方程，
△=.
当时，即k﹤1且k≠0时，与C有两个公共点，此时称直线与C相交;
当时,即k=1时，与C有一个公共点，此时称直线与C相切；
当时，即k＞1时，与C没有公共点，此时称直线与C相离.
综上所述，当k=1或k=0时，直线与与C有一个公共点；当k﹤1且k≠0时，直线与C有两个公共点；当k＞1时，直线与C没有公共点.
4. 解：由消去y，得 ①
当时，由且
（1）当交点A、B在同一支上，则
或，又
（2）A、B在双曲线两支上时，，
（3）设，，由①得：②， ③
又，所以，所以
把②③代入上式得：.
5．解：（I）由解得，
故椭圆的标准方程为
（II）设，则由得
因为点M，N在椭圆上，所以，
故
设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知
图
图圆锥曲线是高考命题的热点,也是难点.纵观近几年的高考试题,对圆锥曲线的定义、几何性质等的考查多以选择填空题的形式出现,而圆锥曲线的标准方程以及圆锥曲线与平面向量、三角形、直线等结合时,多以综合解答题的形式考查,属于中高档题,甚至是压轴题,难度值一般控制在之间.
考试要求 ⑴了解圆锥曲线的实际背景；⑵掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质；⑶了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单几何性质；⑷了解抛物线的定义、几何图形、标准方程,知道其简单几何性质；⑸了解圆锥曲线的简单应用；⑹掌握数形结合、等价转化的思想方法.
题型一 圆锥曲线的定义及应用
例 ⑴已知点为椭圆的左焦点,是此椭圆上的动点,是一定点,则的最大值和最小值分别为.
⑵已知双曲线的虚轴长为,离心率为,、分别是它的左、右焦点,若过的直线与双曲线的左支交于、两点,且是与的等差中项,则.
点拨：题⑴可利用椭圆定义、三角形的三边间关系及不等式性质求最值；题⑵是圆锥曲线与数列性质的综合题,可根据条件先求出双曲线的半实轴长的值,再应用双曲线的定义与等差中项的知识求的值.
解：⑴设椭圆右焦点为,则,∴.又
(当、、共线时等号成立).又,∴,
.故的最大值为,最小值为.
⑵依题意有,解得.∵、在双曲线的左支上,∴,
,∴.又,.
∴,即.∴.
易错点：在本例的两个小题中,⑴正确应用相应曲线的定义至关重要,否则求解思路受阻；⑵忽视双曲线定义中的两焦半径的大小关系容易出现解题错误；⑶由、、三点共线求出的最值也是值得注意的问题.
变式与引申
1.已知为抛物线上任一动点,记点到轴的距离为,对于给定的点,的最小值为( ).
A. B. C. D.
2.设、分别是椭圆：的左、右焦点,过的直线与相交于、两点,且是与的等差中项,则.
题型二 圆锥曲线的标准方程
例2 已知抛物线：经过椭圆：的两个焦点.
⑴求椭圆的离心率；
⑵设,又,为与不在轴上的两个交点,若的
重心在抛物线上,求和的方程.
点拨：问题⑴：将的焦点坐标代入的方程,得出的关系式,进而求出的离心率；问题⑵：利用问题⑴的答案,联立、的方程先得出、坐标,再利用的重心在抛物线上,求、的方程.
解：⑴∵抛物线经过椭圆的两个焦点,,∴,即,
∴,∴椭圆的离心率.
⑵由⑴可知,椭圆的方程为,联立抛物线的方程,
得,解得或(舍去),∴,即,,
∴的重心坐标为.∵重心在上,∴,得.∴.
∴抛物线的方程为,椭圆的方程为.
易错点：忘记用第⑴小问的答案；记错重心坐标公式；联立、的方程后,计算错、坐标.
变式与引申
3.求经过两点和的椭圆的标准方程.
4.已知椭圆与直线相交于、两点,是的中点,若,的斜率为,求椭圆的方程.
题型三 圆锥曲线的几何性质
例 如图,已知为椭圆的左焦点,过点作斜率为(为半焦距)的直线交椭圆于点、两点.
⑴若直线的倾斜角为,求证：(为椭圆的离心率)；
⑵若,且,求椭圆的离心率的取值范围.
点拨：这是一道过椭圆焦点的直线与椭圆性质的有关问题,依据题给条件,
运用三角公式、斜率与倾斜角的关系以及椭圆离心率知识可使问题⑴获证；对于⑵则运用平几性质、焦半径公式及题给条件建立含离心率的不等式,进而求出的取值范围.
⑴解法：∵,∴,即,又,
∴,故.
解法：依题意直线的分别为,∴点的坐标为,故.
⑵解：∵,∴.将直线代入椭圆,整理得
,∴,.∵,∴
,解不等式,得,∴,
故椭圆的离心率的取值范围为.
易错点：问题⑴中忽视斜率的正负,会导致的符号出错；问题⑵中不适时联想平几性质，解题思路将受阻.
变式与引申
5.给定抛物线：,过点斜率为的直线与交于,两点.
(Ⅰ)设线段的中点在直线上,求的值；
(Ⅱ)设,,求的取值范围.
题型四 以圆锥曲线为载体的探索性问题
例 已知椭圆：的离心率为,过右焦点的直线与相交于、两点.当的斜率为时,坐标原点到的距离为.
⑴求、的值；
⑵上是否存在点,使得当绕转到某一位置时,有成立？若存在,求出所有的点的坐标与的方程.若不存在,说明理由.
点拨：问题⑴可先写出的方程,再利用点到的距离和椭圆的离心率求出、的值；问题⑵是存在性探索问题,可先探索命题成立的充要条件,将向量坐标化,再综合运用题给条件,逐步推出满足题意的是否存在.但需考虑转动时斜率不存在情形.
解：⑴设,当的斜率为时,其方程为,点到的距离为,
∴.由,得,.
⑵上存在点,使得当绕转到某一位置时,有成立.由⑴知的方程为
.设,.
①当不垂直轴时,设的方程为.上的点使成立的充要条件是
的坐标为,且,即
.又、在上,∴,,∴ ①
将代入 ,整理得,
于是 ,,.代入①解得,,
此时,于是,即.因此,当时,,
的方程为；当时,,的方程为.
②当垂直于轴时,由知,上不存在点,使成立.
综上,上存在点使成立,此时的方程为.
在、之间),为坐标原点.
⑴若,,求的面积；
⑵对于任意的动直线,是否存在常数，总有？
若存在,求出的值；若不存在,请说明理由.
本节主要考查：
⑴知识点有圆锥曲线的定义、标准方程、简单几何性质(焦点、离心率、焦点三角形,
焦半径等)以及这些知识的综合应用；
⑵以平面向量、三角形、导数为背景的圆锥曲线的方程问题、参数范围问题、最值问题、定值问题等相关的综合问题；
⑶圆锥曲线定义法、待定系数法、相关点法、点差法、设而不求的整体思想以及坐标法和“几何问题代数化” 等解析几何的基本方法；
⑷数形结合思想、方程思想、等价转化思想的应用以及逻辑推理能力、运算求解能力等基本数学能力.
点评：
⑴圆锥曲线是解析几何的重点,也是高中数学的重点内容,同时又是高考的热点和压轴点之一,主要考查圆锥曲线的定义(如例)与性质(如例)、求圆锥曲线方程(如例)、直线与圆锥曲线的位置关系、以圆锥曲线为载体的探索性问题(如例)等.
⑵圆锥曲线的定义,揭示了圆锥曲线存在的条件性质、几何特征与焦点、离心率相关的问题,恰当利用圆锥曲线定义和数形结合思想解题,可避免繁琐的推理与运算.
⑶求圆锥曲线的标准方程：①定型——确定是椭圆、抛物线、或双曲线；②定位——判断焦点的位置；③定量——建立基本量、、的关系式,并求其值；④定式——据、、的值写出圆锥曲线方程.
⑷圆锥曲线的性质如范围、对称性、顶点、焦点、离心率、焦半径、焦点三角形、通径等都是高考的重点热点.此类问题,它源于课本,又有拓宽引申、高于课本,是高考试题的题源之一,应引起重视,注意掌握好这一类问题的求解方法与策略.如对于求离心率的大小或范围问题,只需列出关于基本量、、的一个方程(求大小)或找到关于基本量、、间的不等关系(求范围)即可.
⑸求参数取值范围是圆锥曲线中的一种常见问题,主要有两种求解方法：一是根据题给条件建立含参数的等式后,再分离参数求其值域；另一是正确列出含参数的不等式,进而求之.其列不等式的思路有：①运用判别式或；②点在圆锥曲线内部(一侧)或外部(另一侧)；③利用圆锥曲线的几何意义(如椭圆中等)；④根据三角形两边之和大于第三边(注意三点共线的情况).
⑹解有关圆锥曲线与向量结合的问题时,通性通法是向量坐标化,将一几何问题变成纯代数问题.
⑺探索性问题是将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的,它要求学生具有观察分析问题的能力、具有创造性地运用所学知识和方法解决问题的能力以及探索精神.解题思路往往是先假设满足题意,即从承认结论、变结论为条件出发,然后通过归纳,逐步探索待求结论.
习题6-2
.已知椭圆中心在原点,左、右焦点、在轴上,、是椭圆的长、短轴端点,是椭圆上一点,且轴,,则此椭圆的离心率是( ).
A. B. C. D.
2.过抛物线的焦点F作直线，交抛物线于A、B两点，交其准线于C点，若，则直线的斜率为___________．
.已知定点,,定直线：,不在轴上的动点与点的距离是它到直线的距离的倍.设点的轨迹为,过点的直线交于、两点，直线、分别交于点、.
⑴求的方程；
⑵试判断以线段为直径的圆是否过点,并说明理由.
.如图,已知直线：与抛物线：交于、两点,为坐标原点,.
⑴求直线和抛物线的方程；
⑵若抛物线上一动点从到运动时,求面积的最大值.
【答案】
变式与引申
1. C
提示：如图6-2-1,点到轴的距离比到准线的距离(即)少,∴
.而点在抛物线外,∴的最小值为.
2.
提示：由椭圆定义知,又，∴,.
3. 解法一：①当焦点在轴上时,设椭圆的标准方程为,
依题意有,解得.
②当焦点在轴上时,同理解得,,不合,舍去. 综上所求椭圆的方程为.
解法二：设所求椭圆方程为.依题意有,解得.
故所求椭圆的方程为.
4. 解法一：设,,代入椭圆方程得,,相减得
.∵,,∴.由,
得.∴,.又,
∴.将代入,解得,∴.故椭圆方程为.
解法二：由,得.设,,则,
.∴,∴. ①
设,则,,∴,代入①,得,.
故椭圆方程为.
5. 解：(Ⅰ)过点斜率为的直线为, 将代入方程，
得. ① 设,,则有,.
∵线段的中点在直线上,∴,即,得(此时①式的判别式大于零).
(Ⅱ)由,得,即. 由②,得.
∵,,∴③ 由①、③得,易知,∴,.
∴,又,∴,即,得,
解得或,故的取值范围是.
6. 解：⑴由题意,直线的方程为.设点,,由,得
,则,,∴.
⑵设点,则.由、、三点共线得.由得点到轴距
离与到直线：距离相等,即,∴,
.把,代入,得,
即,∴,解得.故存在常数,总有.
习题6-2
. B.
提示：设椭圆的方程为,则,,,.由
轴,,得,∴,即,解得,
∴,故椭圆的离心率.选B.
2.
提示：过点B向准线作垂线,垂足为M，可知，所以直线的斜率为
. 解：⑴设,则,化简得.
⑵①当直线与轴不垂直时,设的方程为,与双曲线联立消去
得
.由题意知且.设,,则,
,.
∵,,∴的方程为,∴点的坐标为,,
同理可得,因此.
②当直线与轴垂直时,其方程为,则,,的方程为,∴点的
坐标为,,同理可得,因此.
综上,即,故以线段为直径的圆经过点.
.解：⑴由,得.设,,则,
.∵,
∴,解得,故直线的方程为,抛物线的方程.
⑵解法一：由,得,∴
.设,∵为定值,∴当点到直线的距离最大时,
的面积最大.而,又,∴当时,
.∴当点坐标为时,面积的最大值为.
解法二：设,依题意,抛物线在点处的切线与平行时,的面积最大.∵,
∴,,.此时点到直线的距离.
由,得,∴,
故面积的最大值为.
图
图
图解析几何是历年高考的热点，每年高考卷上选择题、填空题、解答题都会出现，基本呈现稳定的态势，而且解答题难度较大，综合性强，且经常以压轴题的形式出现，入手容易但计算量大，又与其他知识综合命题，所以成了大部分学生在高考中的心理障碍，是解题时的“鸡肋”．复习时如何突破这块知识点，是我们亟待解决的问题.难度值跨度比较大，在0.3～0.8之间.
考试要求 （1）了解直线、曲线的实际背景；（2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质；（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其几何性质；（4）了解抛物线的定义、几何图形、标准方程，知道其几何性质；（5）了解圆锥曲线的简单应用；（6）掌握数形结合、等价转化的思想方法.
题型一 有关圆知识点的应用
例1、在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为
（1）求实数的取值范围；
（2）求圆的方程；
（3）问圆是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论.
点拨：根据二次函数图象的特点：开口向上，与轴交点为可以得出b的范围.又由圆是过抛物线与坐标轴三交点的圆和圆的一般方程的特点，可以用来表示圆的一般方程.再由方程的解和曲线方程的定义可以假设圆要过点且不依赖，将该点坐标代入圆的方程中，整理变形，再观察验证圆是否过定点.
解：（1）令，得抛物线与轴交点是，令，由题意且，解得且.
（2）设所求圆的一般方程为，令得，它与是同一个方程，故，F=b，令得，此方程有一个根为，代入得所以圆的方程为.
（3）圆过定点.证明如下：假设圆过定点(不依赖于)将该点的坐标代入圆的方程,并变形为，为使式对所有满足的都成立，必须有，结合式解得或经检验知点均在圆上，因此圆过定点..
易错：（1）中学生很有可能直接解得而没；（2）中没有意识到令，与是同一个方程没解出，；（3）对方程不知道怎么下手，从而得不出.
变式与引申
1.已知以点为圆心的圆与轴交于点、与轴交于点、，其中为原点.
（1）证明：的面积为定值；
（2）设直线与圆交于点，，若，求圆的方程.
题型二 圆锥曲线的定义及应用
例2 ：如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）.
（A） （B） （C） （D）
点拨：利用双曲线的定义及直角三角形面积的两种表示形式，建立方程组再求解.
解：连AF1，则△AF1F2为直角三角形，且斜边F1F2之长为2c.
令由直角三角形性质知： ，∴. ∵ ，
∴，∴ .∵e﹥1，∴取.故选D.
注：本题若求出点A的坐标，再代入双曲线方程也可求出.
易错点：（1）正确应用相应曲线的定义至关重要，否则解题思路受阻.（2）由直角三角形面积的两种表示形式得出关系式是值得注意的问题.
变式与引申
2.双曲线=1(b∈)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，|OP|＜5，|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则b2=_________.
题型三 圆锥曲线的几何性质
例3、如图所示，从椭圆上一点向轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，且它的长轴端点及短轴端点
的连线
（1）、求椭圆的离心率；
（2）、设是椭圆上任意一点，是右焦点，是左焦点，求的取值范围；
（3）、设是椭圆上任意一点，当时，延长与椭圆交于一点P，若的面积为，求此时椭圆的方程.
点拨：从着手，寻找、的关系，最后求得离心率；在焦点三角形中，用余弦定理，求得的范围，从而求得的范围；则与椭圆相交，求得弦的长和点到的距离，由的条件求得椭圆方程中的、，从而求得方程.
解：（1）轴 代入椭圆方程
得， . 又且，，
故从而
当且仅当时，上式成立.故.
（3）设椭圆方程为
直线的方程为代入椭圆方程，得.
又点到的距离
由得故.所求椭圆方程为.
（注：此问亦可用求得）
点评：本例中第（1）问是课本题，第（2）（3）问是该题的引申，像这种源与课本，又有拓宽引申的题常常是高考试题的来源之一，应引起大家的重视，注意掌握好这一类问题.
变式与引申
3.已知抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，则p的值为 （ ）
A. B.1 C.2 D.4
题型四 直线与圆锥曲线的关系
【例4】设O为抛物线的顶点，F为抛物线的焦点且PQ为过焦点的弦，若|OF|=a，|PQ|=b，求△OPQ的面积.
点拨：结合抛物线方程的特点，可设方程为y2=4ax（a>0），F（a，0），再运用抛物线的定义，找出、两点横坐标、关系，最后设过方程的直线为（还要注意斜率存在与否的讨论）由求解即可.
解：如图8所示，由题意知抛物线的方程为，F
设，由抛物线的定义知：
所以 由
故
设过F的弦的斜率为k，则其方程为
将其与抛物线方程联立知：ky2－4ay－4a2k=0
若斜率不存在，则其两个交点为（a，2a）与（a，－2a），同样有
那么
因此：
易错：（1）不会使用焦半径公式而导致运算复杂；（2）直接设过F的弦的斜率为k，则其方程为后面没有对斜率k是否存在进行讨论.
变式与引申
4．（2011年高考四川卷·文）过点C(0，1)的椭圆的离心
率为，椭圆与x轴交于两点、，过点C的直线l与椭圆交
于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．
（I）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；
（Ⅱ）当点P异于点B时，求证：为定值．
本节主要考察：（1）基础知识有圆锥曲线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.以及这些知识的综合应用.（2）基本方法有求圆锥曲线的定义法、待定系数法、相关点法、点差法、设而不求的整体思想以及坐标法和“几何问题代数化”等解析几何的基本方法.（3）基本思想有数形结合思想、方程思想、等价转化思想等.（4）基本能力有逻辑推理能力、运算求解能力、探究创新能力，并尝试考察解决实际问题的能力.
点评：（1）圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，同时又是热点和压轴点之一，主要考察圆锥曲线的定义与性质，求圆锥曲线的方程，直线与圆锥曲线的位置关系，以圆锥曲线为载体的探索性问题等.
（2）恰当利用圆锥曲线的定义和几何特征，运用数形结合思想，可避免繁琐的推理和运算.
（3）求圆锥曲线主要方法有定义法、待定系数法、相关点法，另外还有直接法、参数法等.
（4）圆锥曲线的性质如范围、对称性、顶点、焦点、离心率、焦半径、焦点三角形、通径等都是高考命题点，它们源于课本，高于课本，应引起重视，注意掌握这类问题的求解方法与策略.如求离心率的大小或范围，只需列出关于基本量a、b、c的一个关系式即可.
（5）求参数的最值或范围问题是圆锥曲线的一种常见问题，主要方法一是根据条件建立含参数的等式，再分离参数求其值域；另一是列出含参数的不等式，进而求之.列不等式的思路有①运用判别式△>0或；②点在圆锥曲线的内部或外部；③利用圆锥曲线的几何意义（如椭圆中-a≤x≤a）；④根据三角形两边之和大于第三边（注意共线情况）等.
（6）充分利用向量的工具作用，运用坐标法，把几何问题变为纯代数问题，体现解析几何的基本思想方法.
（7）运用韦达定理的解题方法是解析几何中解决直线和圆锥曲线问题的核心方法，其解题步骤是“设”（点的坐标，直线、曲线方程）、“联”（联立方程组）、“消”（消去一元，得到一元二次方程）、“用”（ 运用韦达定理、中点坐标公式、弦长公式等）、“判”（ 运用判别式检验、求参数的值或缩小参数的取值范围）.
（8）关注解析几何中的探究创新问题，解题思路往往是先假设满足题意，即从承认结论、变结论为条件出发，然后通过归纳，逐步探索待求结论.
（9）适当关注解析几何应用题，它体现圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.标准卷更重视应用意识的考查.
（10）由于对双曲线的要求明显降低，以它作为载体的解析几何大题的可能性已减少，所以解析几何大题的最大可能素材是用坐标法解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题.
练习6-4
1.已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
2.斜率为 1的直线与椭圆相交于两点，则的最大值为（ ）
A. B． C． D.
3.设抛物线的焦点为，点.若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为_____________.
4．已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
3 2 4
0 4
（Ⅰ）求的标准方程；
（Ⅱ）请问是否存在直线满足条件：①过的焦点；②与交不同两点且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
5. 已知椭圆的右焦点为，离心率为
（Ⅰ）若，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于A，B两点，若，求的取值范围。
【答案】
变式与引申
圆与直线不相交，不符合题意舍去，圆的方程为.
2. 1
提示：设F1(－c,0）、F2(c,0)、P(x,y),则|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)＜2(52+c2),
即|PF1|2+|PF2|2＜50+2c2,又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|－|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|,
依双曲线定义，有|PF1|－|PF2|=4, 依已知条件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2
∴16+8c2＜50+2c2,∴c2＜,又∵c2=4+b2＜,∴b2＜,∴b2=1.
3. C
提示：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系
法一：抛物线y2＝2px（p>0）的准线方程为，因为抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，所以
法二：作图可知，抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切与点（-1,0）
所以
4．解：（Ⅰ）由已知得，解得，所以椭圆方程为．
椭圆的右焦点为，此时直线的方程为 ，代入椭圆方程得
，解得，代入直线的方程得 ，所以，
故．
（Ⅱ）当直线与轴垂直时与题意不符．
设直线的方程为．代入椭圆方程得．
解得，代入直线的方程得，所以D点的坐标为．
又直线AC的方程为，又直线BD的方程为，联立得
因此，又．所以．故为定值．
习题6-4
1．D
提示：对于椭圆，因为，则
2．C
提示：设直线的方程为，则弦长.
3.
提示：利用抛物线的定义结合题设条件可得出p的值为，B点坐标为（）所以点B到抛物线准线的距离为，本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易题.
（Ⅱ）方法一：假设存在这样的直线过抛物线焦点，设直线的方程为两交点坐标为，由消去，得
∴ ①
②
由，即，得
将①②代入（*）式，得， 解得
所以假设成立，即存在直线满足条件，且的方程为：或.
方法二：容易验证直线的斜率不存在时，不满足题意；
当直线斜率存在时，假设存在直线过抛物线焦点，设其方程为，与的交点坐标为，由消掉，得 ，
于是 ， ①
即 ②
由，即，得
将①、②代入（*）式，得 ，解得；
所以存在直线满足条件，且的方程为：或．
整理得 ，因为，所以，
所以，即
图一.选择题(本大题10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求)
1.已知,是定点,,动点满足,则点的轨迹是( ).
A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段
2.由直线上的点向圆 引切线，则切线长的最小值为( )
A． B． C． D．
3.若双曲线的左焦点在抛物线的准线上,则的值为( ).
A. B. C. D.
4.“”是方程“表示双曲线”的( ).
A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.设为坐标原点,为抛物线的焦点,为抛物线上一点,若,则点的坐标为( ).
A. B. C. D.
6.若椭圆上一点到两焦点的距离之差为,则是( ).
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
7.已知点是椭圆上的动点,、为椭圆的左、右焦点,为坐标原点,若是的角平分线上的一点,且,则的取值范围是( ).
A. B. C. D.
8.直线经过抛物线的焦点,且与抛物线交于、两点,由、分别向准线引垂线、,垂足分别为、.如果,为的中点,则为( ).
A. B. C. D.
9.已知椭圆,、为左、右焦点,为短轴的一个端点,为中心,为的中点,若,则椭圆的离心率是( ).
A. B. C. D.
10. 在抛物线上取横坐标为，的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切，则抛物线顶点的坐标为( )
A． B． C． D．
二.填空题(本大题5个小题,每小题5分,共25分,把答案填在题中横线上)
11.若椭圆的离心率,则的值为.
12.已知抛物线的焦点为,且抛物线与交于、两点,则.
13.已知是椭圆上异于长轴端点的点，是椭圆的焦点，是的内心，的延长线交于点B，则.
14.已知双曲线的左、右焦点分别为、,过右焦点的直线交双曲线的右支于、两点,若,则的周长为.
15.过抛物线的焦点F作直线，交抛物线于A、B两点，交其准线于C点，若，则直线的斜率为___________．
三.解答题(本大题6个小题,共75分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16. (本小题满分12分)已知为平面直角坐标系的原点，过点的直线与圆交于两点．
（Ⅰ）若，求直线的方程；
（Ⅱ）若与的面积相等，求直线的斜率．
17.(本小题满分12分)已知、是椭圆的左、右焦点,为轴上方的椭圆上一点,垂直于轴,过且与垂直的直线交椭圆于、两点,若,求椭圆的标准方程.
18.(本小题满分12分)年月日时分秒“嫦娥二号”探月卫星由长征三号丙运载火箭送入近地点高度约公里、远地点高度约万公里的直接奔月椭圆(地球球心为一个焦点)轨道Ⅰ飞行.当卫星到达月球附近的特定位置时,实施近月制动及轨道调整,卫星变轨进入远月面公里、近月面公里(月球球心为一个焦点)的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,之后卫星再次择机变轨进入以为圆心、距月面公里的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,并开展相关技术试验和科学探测.已知地球半径约为公里,月球半径约为公里.
⑴比较椭圆轨道Ⅰ与椭圆轨道Ⅱ的离心率的大小；
⑵以为右焦点,求椭圆轨道Ⅱ的标准方程.
19.(本小题满分12分)已知直线：与双曲线的左支交于、两点.
⑴求斜率的取值范围；
⑵若直线经过点及线段的中点,且在轴上截距为,求直线的方程.
20.(本小题满分13分) 已知是椭圆E: 上的一点，是椭圆右焦点，
且轴，.
（Ⅰ）求椭圆Ｅ的方程.
（Ⅱ）设和是长轴的两个端点，直线垂直于的延长线于点Ｄ， ,Ｐ是上异于点Ｄ的任意一点，直线Ｐ交椭圆E于M（不同于、）， 设，求的取值范围.[
21．(本小题满分14分)如图，已知抛物线的准线为,焦点为.⊙M的圆心在轴的正半轴上,且与轴相切．过原点作倾斜角为的直线,交于点, 交⊙M于另一点,且.
（Ⅰ）求⊙M和抛物线的方程；
（Ⅱ）若为抛物线上的动点,求的最小值；
（Ⅲ）过上的动点向⊙M作切线,切点为,
求证：直线恒过一个定点,并求该定点的坐标.
专题六测试卷（答案）
一、 1~5 D B C A B 6~10 B A D C C
提示：
1. ∵,∴点在线段上运动.
2. 切线长的长短由该点到圆心的距离来确定.即圆心到直线的最短距离.
所以
3. 依题意,得,解得,选C.
6.依题意知,则,∴,,又,∴是直角三角形.
7.延长交直线于点,∵平分,,∴是的中点,, ∴.
又(易知、、三点不共线),∴,故的取值范围为.
8. 如图1所示,由抛物线定义知
连结、,则易知.又是中点,∴.
9.由,知,∴,即,
∴，得,故椭圆的离心率.
10. 由已知的割线的坐标,设直线方程为，
则 又.
二、11. 或 12. 13. 14. 26 15.
提示：
11.若焦点在轴上,则,,,∴,解得.若焦点在轴上,则,,,∴,解得.故或.
12.设、,∵抛物线的准线方程为,∴.
由,得,∴,故.
15.过点B向准线作垂线,垂足为M，可知，所以直线的斜率为
三、
16.解：（Ⅰ）依题意，直线的斜率存在，因为 直线过点，可设直线：．
因为 两点在圆上，所以 ，
因为 ，所以 ，所以
所以到直线的距离等于．所以 ，得，
所以直线的方程为或． ………6分
（Ⅱ）因为与的面积相等，所以，设 ，，
所以 ，．
所以 即（*）；
因为，两点在圆上，所以 把（*）代入，得 ，
所以 所以直线的斜率， 即．………12分
17. 解：设椭圆的右焦点,则,即,∴,,
∴,直线的方程为,
代入方程,得,即. ………6分
设,,则,,
∴,解得.
故椭圆的标准方程为. ………12分
18.解：⑴设椭圆轨道Ⅰ的半焦距为,半长轴的长为,则,解得
,,∴. ………3分
设椭圆轨道Ⅱ的半焦距为,半长轴的长为,则,
解得,,∴.故. ………7分
⑵依题意设椭圆轨道Ⅱ的标准方程为,则由⑴知,
,故所求椭圆轨道Ⅱ的标准方程为.………12分
19.解：⑴将代入方程,得
,解得.设,,则,
由,得或；由,得或.∴，
故斜率的取值范围是. ………7分
⑵由已知可得的方程为 ①,的坐标为,即,代入①得或(舍去),∴的方程为,即. ………12分
20．(Ⅰ)解：依题意 半焦距 左焦点为，则，由，
由距离公式得 ，，
所以，椭圆Ｅ的方程.的方程 .来………7分
（Ⅱ）由(Ⅰ)知，，.设M. ∵M在椭圆E上，∴，
由Ｐ、M、三点共线可得Ｐ ∴，，
∴ ∵，∴……13分
21．解：（Ⅰ）因为,即,所以抛物线C的方程为.
设⊙M的半径为,则,所以的方程为………6分
（Ⅱ）设,则=
所以当时, 有最小值为2
（Ⅲ）以点Q这圆心,QS为半径作⊙Q,则线段ST即为⊙Q与⊙M的公共弦
O
l
x
y
A
B
F
·
M
图1
