高中数学新课标人教B版必修1 全套课件及达标检测

基础达标
一、选择题
1．如果N＝a2(a>0，且a≠1)，则有
(　　)
A．log2N＝a　　　　　　　 B．log2a＝N
C．logNa＝2 D．logaN＝2
解析：正确地把指数式化为对数式．
答案：D
2．若logx＝z，则
(　　)
A．y7＝xz B．y＝x7z
C．y＝7xz D．y＝z7x
解析：由对数式化为指数式，得xz＝，然后解得y＝x7z.
答案：B
(　　)
A. B．13
C. D.
解析：由对数恒等式可得．
答案：B
4．下列指数式与对数式互化不正确的一组是
(　　)
A．100＝1与log101＝0
C．log39＝2与32＝9
D．log55＝1与51＝5
答案：B
(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
(　　)
A．a2b＝c B．a2c＝b
C．bc＝2a D．c2a＝b
解析：∴(a2)c＝b，即a2c＝b.
答案：B
二、填空题
7．若logx(＋1)＝－1，则x＝________.
答案：－1
9．已知方程x2＋xlog26＋log23＝0的两根为α和β，则()α·()β＝________.
答案：36
三、解答题
10．设logx＝，求x.
解：∵logax＝4，logay＝5，∴x＝a4，y＝a5，
创新题型
12．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，求logxyx的值．
解：由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，得(x－2)2＋(y－1)2＝0，
∴x＝2，y＝1，∴logxyx＝log212＝log21＝0.(共43张PPT)
本章小结
一、学习集合应该注意的问题
目前在中学数学中，集合知识主要有两方面的应用：
(1)把集合作为一种数学语言，以表达一定范围或具有某些特性的元素，例如，方程(或方程组)的解集、不等式(或不等式组)的解集、具有某种性质或满足某些条件的数集、点集等．
(2)运用集合间的基本关系和运算的思想解决某些抽象而复杂的问题．
例如，利用集合间的基本关系及运算帮助理解事件间的关系，充分必要条件等(以后将要学习)．
有时从正面解题较难时，可以考虑用补集的思想求解．
1．要注意理解、正确运用集合概念
【例1】　若P＝{y|y＝x2，x∈R}，Q＝{(x，y)|y＝x2，x∈R}，则必有 (　　)
A．P∩Q＝ 　　　　　　　B．P?Q
C．P＝Q D．P?Q
思路分析：有的同学一接触此题马上得出结论P＝Q，这是由于他们仅仅看到两集合中的y＝x2，x∈R相同，而没有注意到组成两个集合的元素是不同的，集合P是函数值域集合，集合Q是y＝x2，x∈R上的点的集合，代表元素根本不是同一类事物．
解析：P表示函数y＝x2的值域，Q表示抛物线y＝x2上的点组成的点集，因此P∩Q＝ ，故选A.
答案：A
2．要充分注意集合元素的互异性
集合元素的互异性，是集合的重要属性，在解题过程中，集合元素的互异性常常被忽视而出错．
思路分析：要解决a的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据集合的运算及集合中元素的确定性、互异性矛盾，无序性建立关系式．
解：∵A∩B＝{2,5}，∴a3－2a2－a＋7＝5，由此求得a＝2，或a＝±1.当a＝1时，a2－2a＋2＝1，与元素的互异性矛盾，故舍去；
当a＝－1时，B＝{1,0,5,2,4}，与A∩B＝{2,5}相矛盾，故舍去；
当a＝2时，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,2,5,25}，此时A∩B＝{2,5}，满足题设．
故a＝2为所求．
3．要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法
集合与集合之间的关系问题，在我们解答数学问题过程中经常遇到．集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的．因此，在证明(判断)两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去．
【例3】　集合X＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，Y＝{y|y＝4k±1，k∈Z}，试证明X＝Y.
思路分析：要证明X＝Y，按集合相等的定义，应证明X Y，且Y X.
证明：(1)设任意x0∈X，则x0＝2n0＋1，n0∈Z.
①若n0是偶数，可设n0＝2m，m∈Z，
则x0＝2·2m＋1＝4m＋1，∴x0∈Y；
②若n0是奇数，可设n0＝2m－1，m∈Z，
则x0＝2(2m－1)＋1＝4m－1，∴x0∈Y.
∴不论n0是偶数还是奇数，都有x0∈Y，∴X Y.
(2)又设任意y0∈Y，则y0＝4k0＋1，或y0＝4k0－1，k0∈Z.
∵y0＝4k0＋1＝2(2k0)＋1，y0＝4k0－1＝2(2k0－1)＋1,2k0和2k0－1都属于Z，∴y0∈X，∴Y X.
由(1)(2)可知，X＝Y.
4．要注意空集的特殊性和特殊作用
空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解决集合之间关系问题时，它往往易被忽视而引起解题失误．
【例4】　已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∪B＝A，求实数a组成的集合C.
思路分析：B A包括两种情况，即B＝ 和B≠ .
解：(1)当B≠ 时，由x2－3x＋2＝0，得x＝1或2.当x＝1时，a＝2；当x＝2时，a＝1.
(2)当B＝ 时，即当a＝0时，B＝ ，符合题意，故实数a组成的集合C＝{0,1,2}．
二、函数的概念、表示及其应用
对于函数的概念及其表示要注意：
1．函数的三要素：定义域、值域、对应关系．
2．定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数，两者需同时具备．
3．函数定义域的求法．
列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可．求函数的定义域，常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式被开方数不小于0；③零指数幂中底数不等于零；④实际问题要考虑实际意义等．
4．求抽象函数定义域的方法：
(1)已知f(x)的定义域为[a，b]，求f[g(x)]的定义域，就是求不等式a≤g(x)≤b的解集．
(2)已知f[g(x)]的定义域为[a，b]，求f(x)的定义域，就是求当x∈[a，b]时，g(x)的值域．
5．求函数解析式的常用方法：
(1)定义法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)构造法；(5)消去法．
6．求函数值域的方法：
(1)配方法；(2)分离常数法；(3)换元法；(4)判别式法；(5)单调性法；(6)不等式法．
温馨提示：求解分段函数及复合函数的有关问题时，应注意复合函数中“内”层函数的值域充当“外”层函数的定义域，不能笼统地写在一起，而应分段讨论．
【例6】　已知二次函数f(x)＝x2＋ax＋b，A＝{x|f(x)＝2x}＝{22}，则f(x)的解析式为________．
温馨提示：求解析式的关键是求解参数．
温馨提示：求函数的值域无固定的格式方法，应具体问题具体分析，注意观察函数的结构特点，选择适当的方法求值域，勿忘优先考虑定义域．
三、函数的单调性、奇偶性及其应用
函数的单调性、奇偶性是高考考查的重要内容，要掌握判断函数单调性的步骤，掌握奇函数、偶函数的性质以及运用函数单调性、奇偶性，求函数最大(小)值的方法．
思路分析：求函数在某区间上的最值，通常先判断函数在该区间上的单调性，当函数或区间中含有字母时，要对字母加以讨论，以确定函数的单调性．(共46张PPT)
第2课时　指数函数的性质及应用
目 标 要 求 热 点 提 示
在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型. 1.在研究指数函数性质时，要以一般函数理论为依据，来研究指数函数的性质(如定义域、值域、单调性等．)
2．准确把握指数函数的图象，并充分利用图象的形式直观分析解决问题.
一种放射性物质不断变为其他物质，每经过1年剩留的质量是原来的84%，写出这种物质的剩留量y关于时间t的函数关系式，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出大约要经过多少年，剩留量是原来的50%.(结果保留1个有效数字)
1．指数函数图象的单调性：(1)当a>1时，函数y＝ax在定义域(－∞，＋∞)上为 ；(2)当02．函数y＝2x在定义域(－∞，＋∞)上为增函数，如果x＝f(t)在t∈[M，N](M增函数
减函数
增函数
减函数
注意：上面的y＝2x若改为y＝ax(0若在t∈[M，N](M则y＝af(t)在t∈[M，N](M若在t∈[M，N](M则y＝af(t)在t∈[M，N](M1．函数f(x)＝3－x－1的定义域、值域分别是(　　)
A．定义域是R，值域是R
B．定义域是R，值域是(0，＋∞)
C．定义域是R，值域是(－1，＋∞)
D．以上都不对
2．函数y＝x＋a，y＝ax(a>0，a≠1)的图象可能是下图中的
(　　)
解析：由a>0及一次函数图象性质排除A、C、D中由一次函数图象与y轴交点知a>1，此时指数函数图象单调递减；当a>1矛盾，选B.
答案：B
4．(2010·江苏高考)设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)，x∈R是偶函数，则实数a＝________.
解析：∵f(x)是偶函数，∴对任意x∈R都有f(－x)＝f(x)，则必有f(1)＝f(－1)．代入f(x)＝x(ex＋ae－x)可得(1＋a)(e＋e－1)＝0，∴a＝－1.
答案：－1
思路分析：利用y＝af(x)型函数的单调性求之．
温馨提示：“换元法”是研究y＝f(ax)型或y＝af(x)型函数的重要方法，利用内外函数“同增异减”的法则，很容易判断此类型函数的单调性．
类型二　解简单的指数不等式
【例2】　如果a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1)，求x的取值范围．
思路分析：对a的取值分类讨论，从而得到关于x的不等式，解不等式即可．
解：(1)当0∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6.
(2)当a>1时，
由于a2x＋1≤ax－5，
∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6.
综上所述，x的取值范围是：
当0当a>1时，x≤－6.
温馨提示：本题易出现解析不完整的情况，原因是未对a进行分类讨论．
类型三　指数函数的最值问题
【例3】　设a>0，且a≠1，如果函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值为14，求a的值．
温馨提示：二次函数与指数函数的复合问题是常见题，对于这类复合函数问题，本质上考查的还是区间上的二次函数最值问题．在处理方式上可利用换元法，将指数函数换成t＝ax的形式，再利用定义域和ax的单调性求出t的范围，此时纯粹就是闭区间上的二次函数最值问题了．特别要注意换元后的参数t的范围．
思路分析：函数的奇偶性看起来较难，只要运用常规方法，如通分等可解决．
(3)证明：x>0时，2x>1，∴2x－1>0，
又∵x3>0，∴f(x)>0.
x<0时，2x<1，∴2x－1<0，
又∵x3<0，∴f(x)>0.
∴当x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时f(x)>0.
温馨提示：对一些比较复杂的函数进行奇偶性的判断，通常需要先化简再判断，在第(3)问中，由定义域的形式，自然想到分两种情况证明．
　设2－5x>(0.5)x＋6，则x的取值范围是什么？
　 已知函数y＝9x－2·3x＋2，x∈[1,2]，求函数的值域．
解：y＝9x－2·3x＋2＝(3x)2－2·3x＋2，
设t＝3x，x∈[1,2]，则t∈[3,9]，
则函数化为y＝t2－2t＋2(t∈[3,9])，
作出函数y＝t2－2t＋2，t∈[3,9]的图象如右图，
可知函数在[3,9]上为单调递增函数，∴5≤y≤65.
所以函数的值域为{y|5≤y≤65}．
1．指数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数函数单调性有关的问题首先要看底数的范围．
2．解与指数函数有关的问题要注意数形结合．
3．y＝f(u)，u＝g(x)，则函数y＝f[g(x)]的单调性有如下特点：
u＝g(x) y＝f(u) y＝f[g(x)]
(1) 增 增 增
(2) 增 减 减
(3) 减 增 减
(4) 减 减 增
指数幂比较大小的三种类型及求解技巧
两个指数幂比较大小是本节的一个重要题型，在比较时，要紧密结合指数函数的性质，根据问题类型灵活地选用比较方法．下面就对这个题型的相关类型及相应方法做一归纳总结．
思路分析：借助相应指数函数的单调性比较同底指数幂的大小，若底数含参则应注意分类讨论．
温馨提示：此类型比较大小问题，要先选定相关指数函数，再确定其单调性，然后依据单调性比较大小．当底数为参数时，要注意对其进行分类讨论．
温馨提示：此类型比较大小问题，一般采用媒介法，并结合指数函数性质判定，常用的“媒介”有0、1或一个中间函数值．
综上，指数幂比较大小常见类型有三种，常用方法有以下几种：运用指数函数图象、性质、作商法、媒介法．同学们在做题时要灵活运用．基础达标
一、选择题
1．下列函数中指数函数的个数为
(　　)
①y＝()x；
②y＝()x－1；
③y＝2·3x；
④y＝ax(a>0且a≠1，x≥0)；
⑤y＝1x；
⑥y＝()2x－1；
⑦y＝x.
A．1个　　　　　　　　　 B．2个
C．4个 D．5个
解析：利用指数函数的定义可判断．
答案：A
2．若集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则
(　　)
A．AB B．A B
C．AB D．A＝B
解析：由A＝{y|y>0}，B＝{y|y≥0}得A?B.
答案：A
3．函数y＝a|x|(a>1)的图象是下图中的
(　　)
解析：(分类讨论)：
去绝对值符号，可得y＝
又a>1，由指数函数图象易知，故选B.
答案：B
4．要得到函数y＝21－2x的图象，只需将函数y＝x的图象
(　　)
A．向左平移1个单位　　 B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
∴应向右平移个单位．
答案：D
5．若函数y＝ax－(b＋1)(a>0，a≠1)的图象在第一、三、四象限，则有
(　　)
A．a>1且b<0 B．a>1且b>0
C．00 D．0答案：B
6．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是
(　　)
B．y＝()1－x
C．y＝ D．y＝
解析：易知C值域为[0，＋∞)，A值域为{y|y>0且y≠1}，D值域为[0,1)，因此选B.
答案：B
二、填空题
7．指数函数y＝f(x)的图象经过点(2,4)，那么f(2)·f(4)＝________.
解析：由已知函数图象过(2,4)，令y＝ax，得a2＝4，∴a＝2，∴f(2)·f(4)＝22×24＝64.
答案：64
8．已知函数f(x)＝2x＋a的图象不过第二象限，那么常数a的取值范围是__________．
解析：把函数y＝2x图象向下平移1个单位后图象过原点(0,0)，不过第二象限．再向下平移，仍然不过第二象限，即把y＝2x图象向下至少平移1个单位，所得函数f(x)＝2x＋a图象就满足条件，由向下平移图象的变换法则，知a≤－1.
答案：(－∞，－1]
9．(2009·江苏卷)已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．
解析：∵a＝∈(0,1)，
∴f(x)＝ax在定义域上为减函数，
由题意f(m)>f(n)可知，m答案：m三、解答题
10．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点(2，)，其中a>0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
解：(1)函数图象过点(2，)，所以a2－1＝，则a＝.
(2)f(x)＝()x－1(x≥0)，由x≥0得，x－1≥－1，
于是0<()x－1≤()－1＝2.
所以，所求的函数值域为(0,2]．
11．画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x的图象经过怎样的变换得到的．
(1)y＝2x－1；(2)y＝2x＋1；(3)y＝2|x|；
(4)y＝|2x－1|；(5)y＝－2x；(6)y＝－2－x.
解：如下图所示．
y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位得到；
y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位得到；
y＝2|x|的图象是由y＝2x的y轴右边的图象和其关于y轴对称的图象组成的；
y＝|2x－1|的图象是由y＝2x的图象向下平移1个单位，然后将其x轴下方的图象对称到x轴上方得到的；
y＝－2x的图象与y＝2x的图象关于x轴对称；
y＝－2－x的图象与y＝2x的图象关于原点对称．
创新题型
12．若函数f(x)＝ax－1(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．
解：当a>1时，f(x)在[0,2]上递增，
∴，即，∴a＝±.
又a>1，∴a＝，
当0∴，即，
解得a∈ ，综上所述，a＝.基础达标
一、选择题
1．设定义在R上的函数f(x)＝x|x|，则f(x)
(　　)
A．既是奇函数，又是增函数
B．既是偶函数，又是增函数
C．既是奇函数，又是减函数
D．既是偶函数，又是减函数
解析：∵f(－x)＝－x·|－x|＝－x|x|＝－f(x)，∴f(x)是奇函数；当x≥0时，f(x)＝x|x|＝x2(x≥0)是增函数，
又∵f(x)是奇函数，∴f(x)在(－∞，0]上也是增函数．
∴f(x)是增函数．也可画图象判断．故选A.
答案：A
2．对于定义域为R的奇函数f(x)，下列结论成立的是
(　　)
A．f(x)－f(－x)>0　　 B．f(x)－f(－x)≤0
C．f(x)·f(－x)≤0 D．f(x)·f(－x)>0
解析：对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，∴f(x)·f(－x)＝－f2(x)≤0.故选C.
答案：C
3．如下图，给出了奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)的值为
(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：奇函数的图象关于原点对称，因此，f(－2)＝－f(2)＝－.故选B.
答案：B
4．f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，则h(x)＝f(x)·g(x)的图象
(　　)
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于y＝x对称 D．关于原点对称
解析：∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴h(－x)＝f(－x)·g(－x)
＝f(x)·[－g(x)]＝－f(x)·g(x)＝－h(x)．
∴h(x)是奇函数，
∴h(x)的图象关于原点对称．故选D.
答案：D
5．y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则它的图象必过点
(　　)
A．(－a，－f(－a)) B．(a，－f(a))
C．(a，f()) D．(－a，－f(a))
解析：∵f(x)是奇函数，∴f(－a)＝－f(a)．
即图象过点(－a，－f(a))．故选D.
答案：D
6．函数f(x)是定义在区间[－6,6]上的偶函数，且f(3)>f(1)，则下列各式一定成立的是
(　　)
A．f(0)f(2)
C．f(－1)f(0)
解析：∵f(x)为偶函数，且f(3)>f(1)，∴f(－1)＝f(1)答案：C
二、填空题
7．函数f(x)＝x＋b为奇函数，则b应满足__________．
解析：∵f(x)为奇函数，∴f(x)＋f(－x)＝0，即－x＋b＋x＋b＝0，∴2b＝0，∴b＝0.
答案：b＝0
8．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的顺序是__________．
解析：∵f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，∴m＝0，∴f(x)＝－x2＋2.∴f(0)＝2，f(1)＝1，f(－2)＝－2，∴f(－2)答案：f(－2)9．若f(x)和g(x)分别是奇函数与偶函数，且f(x)＋g(x)＝，则f(x)＝________，g(x)＝________.
解析：∵f(x)＋g(x)＝，①
∴f(－x)＋g(－x)＝－.又f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴－f(x)＋g(x)＝－.②
由①②解得f(x)＝，g(x)＝.
答案：　
三、解答题
10．试判断函数f(x)＝的奇偶性．
解：由，得
－1≤x<0或0故函数f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且x＋2>0，
从而有f(x)＝
＝＝，
于是f(－x)＝－＝－f(x)．
故函数f(x)是奇函数．
11．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，求f(6)的值．
解：∵f(x＋2)＝－f(x)．
∴f(6)＝f(4＋2)＝－f(4)＝－f(2＋2)
＝f(2)＝f(0＋2)＝－f(0)．
∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0，∴f(6)＝0.
创新题型
12．设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)解：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
∴不等式f(1－m)又当x∈[0,2]时，f(x)是减函数，
∴解得－1≤m<.(共40张PPT)
2．2.1　对数与对数运算
第1课时　对数
目 标 要 求 热 点 提 示
1.理解对数的概念．
2．掌握对数的基本性质. 1.指数式与对数式的互化是本课时的基本知识点．
2．对数性质及对数恒等式是本课时常考知识.
对数，延长了天文学家的生命
“给我空间、时间和对数，我可以创造一个宇宙”，这是16世纪意大利著名学者伽利略的一段话．从这段话可以看到，伽利略把对数与最宝贵的空间和时间相提并论．
纳皮尔
1614年6月在爱丁堡出版了苏格兰纳皮尔男爵所创作的名为《奇妙的对数定理说明书》一书，本书的出版震动了整个数学界．
“对数”一词是纳皮尔首先创造的，意思是“比数”．他最早用“人造的数”来表示对数．
俄国著名诗人莱蒙托夫是一位数学爱好者，传说有一次他在解答一道数学题时，冥思苦想也没法解决，睡觉时做了一个梦，梦中一位老人提示他解答的方法，醒后他真的把此题解出来了，莱蒙托夫把楚中老人的像画了出来，大家一看竟是数学家纳皮尔．这个传说告诉我们，纳皮尔在人们心目中的地位是多么的高！那么，“对数”到底是什么呢？让我们一起来学习吧！
1．对数：如果logaN＝x(a>0，a≠1)，那么数x叫做
，记作 ，其中a叫做
，N叫做 ．
2．对数logaN(a>0，a≠1)具有下列简单性质：
(1) ；
(2) ；
(3) .
以a为底N的对数
x＝logaN
对数的底数
真数
零和负数无对数，即N>0
1的对数为零，即loga1＝0
底数的对数等于1，即logaa＝1
3．常用对数： 叫做常用对数，记作 .
4．自然对数： 称为自然对数，简称为lnN，其中 .
以10为底的对数
lgN
以无理数e为底的对数
e≈2.71828…
5．对数与指数间的关系：
当 时，ax＝N x＝logaN.
a>0，a≠1
解析：由对数的定义可知，只有②④为真命题．
答案：C
3．设a，b∈R，且(2a－1)2＋(b－8)2＝0，是log2(ab)＝________.
4．设5lgx＝25，则x＝________.
解析：∵5lg x＝25，∴log525＝lg x．又∵log525＝2，∴lg x＝2.∴x＝100.
答案：100
5．已知log7[log3(log2x)]＝0，求x的值．
解：∵log7[log3(log2x)]＝0，∴log3(log2x)＝1.
∴log2x＝3，∴x＝23＝8.
思路分析：利用指数式与对数式间的等价关系．
【例2】　求下列各式中x的取值范围：
(1)log(x－1)(x＋2)；(2)log(1－2x)(3x＋2)．
思路分析：根据对数式logaN中对字母a、N的限制条件，列出不等式组，从而求出x的取值范围．
温馨提示：解决此类问题时，往往只考虑到了真数是非负数，而忽视了对数底数的限制范围．
思路分析：由题目可获得以下主要信息：(1)、(2)题对数的值是特殊实数0和1；(3)题中底数和真数都含有根式．解答本题可利用对数的基本性质求解．
温馨提示：有关“底数”和“1”的对数，可利用对数的性质求出其值“1”和“0”，化成常数，有利于化简和计算．
思路分析：由题目可获取以下主要信息：指数中含有对数值，解答本题可使用对数恒等式 来化简求值．
温馨提示：要牢记对数恒等式，对于对数恒等式alogaN＝N要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为对数的真数．
　求使式子log(x－1)(x2－1)有意义的x的取值范围．
　已知log2[log3(log4x)]＝log3[log4(log2y)]＝0，求x＋y的值．
解：∵log2[log3(log4x)]＝0，
∴log3(log4x)＝1，∴log4x＝3，∴x＝43＝64.
同理可得y＝24＝16.∴x＋y＝80.
1．ax＝N x＝logaN(a>0，a≠1)，指数式与对数式的互化是指数运算和对数运算中常用的方法．
2．注意对数的底数和真数的范围．
3．应理解并熟记对数的基本性质．
4．注意对数恒等式 在解题中的应用．(共38张PPT)
经调查，一种商品的价格和需求的关系如下表：
价格/元 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9
需求量/t 139.6 135.4 131.6 128.2 125.1 122.2 119.5
根据此表，我们可得到价格x与需求量y之间近似地满足关系y＝114.8746·x－0.3815192，这个关系与函数y＝x－0.3815192是相关联的，后一个函数就是我们将要学习的幂函数．
你能根据y＝x－0.3815192的形式给幂函数下个定义吗？幂函数有哪些性质？
1．幂函数的定义：形如 的函数称为幂函数，其中 为常数， 为自变量．
y＝xα
α
x
3．幂函数的性质
类型一　幂函数的有关概念
【例1】　当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)x－5m－3为减函数，求实数m的值．
思路分析：由题目可获取以下主要信息：
①所给函数是幂函数；②含有参数m.
解答本题可利用幂函数的性质对m进行求解．
温馨提示：本题易忽视m2－m－1＝1而得到m>－
的错误结论．
思路分析：在同一坐标系中作出函数的图象．
x 0 1 2 3 4 ……
y 0 1 1.59 2.08 2.52 ……
再根据这个函数的图象关于y轴对称，作出它的图象，如下图所示．
由它的图象可以看出，这个函数在区间(－∞，0]上是减函数，在区间[0，＋∞)上是增函数．
温馨提示：利用幂函数y＝xα在第一象限的图象特征，可作出幂函数的图象，图象的形象性、直观性使幂函数的性质(特别是单调性)一目了然，利用幂函数的性质使有些问题顺利地得到解决(如本例的大小比较问题)．因此，我们必须准确把握幂函数在第一象限的图象特征，熟练掌握作图方法，并灵活地利用图象解题．
　 右图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则 (　　)
A．－1B．n<－1,0C．－11
D．n<－1，m>1
解：此类题有一简捷解决办法，在(0,1)内取同一x值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如下图，0答案：B(共40张PPT)
1.2.2　函数的表示法
第1课时　函数的表示法
目 标 要 求 热 点 提 示
1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法．
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数. 1.准确画出函数图象是学习函数的必备基本功．
2．解析法表示函数是本课时常考内容.
如果一个人极有才华，我们会用“才高八斗”来形容他；如果一个人兼有文武才能，我们会用“出将入相”来形容他；如果一个人是稀有而可贵的人才，我们会用“凤毛麟角”来形容他；如果一个人品行卓越，天下绝无仅有，我们会用“斗南一人”来形容他．那么对于函数，又有哪些不同的表示方法呢？
1．解析法：用 表示两个变量之间的
关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式．
数学表达式
对应
温馨提示：解析法有两个优点：一是简明、全面地概括了变量间的变化规律，二是可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值．缺点是并不是任意函数都可用解析法表示，仅当两个变量间有变化规律时，才能用解析法表示．
2．图象法：以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为 ，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数y＝f(x)的图象，这种用 表示两个变量之间
关系的方法叫做图象法．
纵坐标
图象
对应
温馨提示：图象法可以直观地表示函数局部变化规律，进而可以预测它的整体趋势，比如心电图等．
在平面直角坐标系内，如果某图形满足：垂直于x轴的直线与其至多有一个交点，那么这个图形一定是某函数的图象．函数定义域的几何意义是函数图象上所有点横坐标的取值范围，函数值域的几何意义是函数图象上所有点纵坐标的取值范围．
3．列表法：列一个两行多列的表格，第一行是
取的值，第二行是对应的 ，这种用表格来表示两个变量之间对应关系的方法叫做列表法．
温馨提示：列表法不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系，比较直观，但它只能表示有限个元素间的函数关系．
自变量
函数值
1．函数y＝f(x)与函数y＝f(x＋1)所表示的是
(　　)
A．同一函数
B．定义域相同的两个函数
C．值域相同的两个函数
D．图象相同的两个函数
解析：y＝f(x)与y＝f(x＋1)的自变量发生变化，而函数的值域却没发生变化，故选C.
答案：C
2．可作为函数y＝f(x)的图象的是 (　　)
解析：判断图象是否可以表示函数y＝f(x)的图象，关键是看对定义域中的任意自变量是否存在唯一的函数值与其对应．即过图象上任意一点作垂直于x轴的直线，看直线是否与x轴有且只有一个交点．
答案：D
3．函数y＝|x|－2的图象是 (　　)
解析：当x≥0时，y＝x－2；当x<0时，y＝－x－2.
答案：C
5．将长为a的铁丝折成矩形，求此矩形面积y关于一边长x的函数关系式，并求定义域和值域，作出函数的图象．
温馨提示：第(1)题用配凑法；第(2)题已知一次函数，可用待定系数法；第(3)题用方程组法．　
类型二　列表法及应用
【例2】　某城市在某一年里各月份毛线的零售量(单位：百公斤)如表所示：
则零售量是否为月份的函数？为什么？
月份t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
零售量y 81 84 45 46 9 5 6 15 94 161 144 123
思路分析：依据函数定义进行判断．
解：是函数，因为对于集合{1,2，…，12}中任一个值，由表可知y都有唯一确定的值与它对应，所以由它可确定为y是t的函数．
温馨提示：函数关系在客观实际中广泛存在着，而不仅仅是能给出解析式的就是函数．如本例中就无法写出该函数的解析式．
类型三　图象法及应用
【例3】　作出下列函数的图象：
(1)y＝1＋x(x∈Z)；
(2)y＝x2－2x(x∈[0,3))．
思路分析：用描点法作出(1)、(2)的图象，要注意函数的定义域．
解：(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝1＋x上，如下图(1)所示：
(2)因为0≤x<3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x<3之间的一部分，如上图(2)所示．
温馨提示：作函数的图象首先要考虑定义域，可以先作出“整个”函数的图象，再按要求从图象上取出所要的部分即可．
类型四　函数的实际应用问题
【例4】　某农场的防洪大堤的横断面是上底为a＝3 m的梯形，梯形的高h随地势在1 m到5 m间变化，下底b和高h之间有关系b＝a＋4h.为了估计修建大堤的土方量，需要把横断面面积表示为堤高的函数，试写出这个函数的解析式，并求出堤高为1.5 m,2 m,3 m处大堤的横断面面积．
思路分析：利用梯形面积公式构造函数解析式，然后求函数值．
温馨提示：用解析法表示函数关系时一定要注明定义域．
(1)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)＝f(x)＋2x，求f(x)．
(2)已知f(x＋1)＝x2＋x－1，求f(2)和f(x)．
解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵f(0)＝1，∴c＝1，
即f(x)＝ax2＋bx＋1，
又f(x＋1)＝f(x)＋2x，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1
＝ax2＋bx＋1＋2x，
ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＋1
＝ax2＋bx＋1＋2x，
　《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资，薪金所得不超过1600元的部分不必纳税，超过1600元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累加进行计算：
全月应纳税所得额 税率
不超500元的部分 5%
超过500～2000元的部分 10%
超过2000～5000元部分 15%
…… …
某人一月份应交纳此税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于 (　　)
A．1600～1800元　　 B．1800～2100元
C．2100～2300元 D．2300～2800元
解析：依题意知，当工人工资为2100元时，应交税金(2100－1600)×5%＝25元，而该工人实际交税金26.78元>25元，知其工资应超过2100元，又26.78－25＝1.78元，知其工资仅比2100元多一点，但不会超过2300元，从而可选C.
答案：C
汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是 (　　)
解析：因为汽车先启动、再加速、到匀速、最后减速，s随t的变化是先慢、再快、到匀速、最后慢，故A图比较适合题意，故答案选A.
答案：A
如右图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由点B(起点)向A(终点)运动，设点P运动的路程为x，△APB的面积为y，求：
(1)y与x之间的函数关系式；
(2)画出y＝f(x)图象．
(2)
1．解析法表示的函数关系能较便利地通过计算等手段研究函数性质，但是，一些实际问题很难找到它的解析式；图象法可以直观地表示函数局部变化规律，进而可以预测它的整体趋势，比如心电图等；列表法不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系，比较直观，但它只能表示有限个元素间的函数关系．
2．在平面直角坐标系内，如果某图形满足：垂直于x轴的直线与其至多有一个交点，那么这个图形一定是某函数的图象．函数定义域的几何意义是函数图象上所有点横坐标的取值范围，函数值域的几何意义是函数图象上所有点纵坐标的取值范围．
3．描点法画函数图象的步骤：
(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线．基础达标
一、选择题
1．若A＝{x|0(　　)
A．{x|x≤0}　　　　　 B．{x|x≥2}
C．{x|0≤x≤} D．{x|0解析：∵0<1,2>，
∴A∪B＝{x|0答案：D
2．设S＝{x|2x＋1>0}，T＝{x|3x－5<0}，则S∩T等于
(　　)
A． B．{x|x<－}
C．{x|x>} D．{x|－解析：∵S＝{x|2x＋1>0}
＝{x|x>－}，
T＝{x|3x－5<0}＝{x|x<}，
∴S∩T＝{x|－答案：D
3．已知M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，则M∩N是
(　　)
A．{0,1} B．{(0,1)}
C．{1} D．以上都不对
解析：M＝{y|y≥1}，N＝{y|y≤1}，∴M∩N＝{1}．
答案：C
4．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a－1，a∈N*}，则集合M∩N＝
(　　)
A．{0} B．{1,2}
C．{1} D．{2}
解析：N＝{1,3,5，…}，M＝{0,1,2}，
∴M∩N＝{1}．
答案：C
5．第二十九届夏季奥林匹克运动会于2008年8月8日在北京举行．若集合A＝{参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B＝{参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C＝{参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是
(　　)
A．A B B．B C
C．A∩B＝C D．B∪C＝A
答案：D
6．(2010·天津高考)设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x|1(　　)
A．{a|0≤a≤6} B．{a|a≤2或a≥4}
C．{a|a≤0或a≥6} D．{a|2≤a≤4}
解析：A＝{x|a－1答案：C
二、填空题
7．设集合A＝{0,1,2,4,5,7}，B＝{1,3,6,8,9}，C＝{3,7,8}，则(A∩B)∪C＝________，(A∪C)∩(B∪C)＝________.
解析：∵A∩B＝{1}，
∴(A∩B)∪C＝{1,3,7,8}，
又∵A∪C＝{0,1,2,3,4,5,7,8}，
B∪C＝{1,3,6,7,8,9}，
∴(A∪C)∩(B∪C)＝{1,3,7,8}．
答案：{1,3,7,8}　{1,3,7,8}
8．设A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|x解析：画出数轴，则a≤－2.
答案：{a|a≤－2}
9．集合P＝{1,2,3，m}，M＝{1,4}，P∪M＝{1,2,3，m}，则m＝________.
解析：由于P∪M＝P，则M P，所以4∈P，得m＝4.
答案：4
三、解答题
10．已知集合M＝{y|y＝x2－4x＋3，x∈R}，N＝{y|y＝－x2＋2x＋8，x∈R}，求M∩N，M∪N.
解：∵y＝(x－2)2－1≥－1，
∴M＝{y|y≥－1}．
∵y＝－(x－1)2＋9≤9，∴N＝{y|y≤9}．
利用数轴易得
M∩N＝{y|－1≤y≤9}，M∪N＝R.
11．设A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋2＝0}，若A∪B＝A，求由a的值组成的集合．
解：由A∪B＝A，可知B A，
而A＝{1,2}，故B可为{1,2}，{1}，{2}，或 .
当B＝{1,2}＝A时，显然有a＝3.
当B＝{1}，{2}，或 时，方程x2－ax＋2＝0有等根或无实根，故Δ≤0，即a2－8≤0.解得－2≤a≤2.
但a＝±2时，得到B＝{－}或{}，不能满足B A.故所求a值的集合为{3}∪{a|－2创新题型
12．设集合M＝{a，b}，N＝{c，d}，定义M与N的一个运算“·”为：M·N＝{x|x＝mn，m∈M，n∈N}．
(1)对于交集有性质A∩B＝B∩A；类比以上结论是否有M·N＝N·M？并证明你的结论．
(2)举例验证(A·B)·C＝A·(B·C)．
解：(1)取M＝{1,2}，N＝{3,4}，
则M·N＝{3,4,6,8}，N·M＝{3,6,4,8}，故猜测M·N＝N·M.
证明：对任意的m∈M，n∈N，有x＝mn，其中m∈M，n∈N，即x∈M·N，又x＝mn＝nm.
则x∈N·M于是M·N N·M，同理
N·M M·N，∴M·N＝N·M.
(2)设A＝{－1,1}，B＝{－3,3}，
C＝{2,4}，则A·B＝{－3,3}，
于是(A·B)·C＝{－6，－12,6,12}；
又B·C＝{6,12，－6，－12}，
于是A·(B·C)＝{－6，－12,6,12}，
因此(A·B)·C＝A·(B·C)．(共41张PPT)
第2课时　对数函数的性质及应用
目 标 要 求 热 点 提 示
1.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质．
2．理解反函数的定义，知道指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，a≠1). 对数函数可从下面三个方面去学习：(1)对数函数的基本问题；(2)对数函数的主要联系及主要题型；(3)对数函数的应用问题.
1．对数函数的单调性：当a>1时，y＝logax为 ；当02．复合函数y＝logaf(x)，x∈D(D为定义域)的单调性：设区间M D，若a>1，且u＝f(x)在x∈M上单调递增(减)，M就是函数y＝logaf(x)的 ；若0．
增函数
减函数
增(减)区间
减(增)区间
3．形如y＝f(logax)的函数的最值，通常利用 的思想，即令t＝logax，根据函数的定义域及对数函数的单调性确定 ，即t∈D，转化为求函数y＝f(t)，t∈D的最值问题．
4．形如logax＝f(x)的方程的根的个数问题，通常利用
的思想方法，在同一直角坐标系下作出两函数y1＝logax与y2＝f(x)的图象，两图象 即为方程的根的个数．
5．对数函数与指数函数互为 ．因此，对数函数的定义域就是指数函数的值域，即为 ；对数函数的值域就是指数函数的 ， 即为 ．
换元
t的取值范围D
数形结合
交点的个数
反函数
(0，＋∞)
(－∞，＋∞)
定义域
6．互为反函数的两函数的图象关于 对称．
直线y＝x
2．(2008·湖南高考)下列不等式成立的是 (　　)
A．log32B．log32C．log23D．log23答案：A
4．已知log0.45(x＋2)>log0.45(1－x)，则实数x的取值范围是________．
思路分析：本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的比较，换底公式，不等式中的倒数法则的应用．
类型二　复合函数的单调性问题
【例2】　讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性．
思路分析：本题为复合函数，要注意求解定义域和对a进行讨论．
温馨提示：定义域是解决本题的首要一步，对函数进行分类讨论是本题的关键一步．
类型三　对数函数的最值问题
【例3】　已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值，及y取最大值时x的值．
思路分析：要求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值，要做两件事，一是要求其表达式；二是要求出它的定义域．
温馨提示：本例正确求解的关键是：函数y＝[f(x)]2＋f(x2)定义域的正确确定．如果我们误认为[1,9]是它的定义域．则将求得错误的最大值22.因此对复合函数的定义域的正确确定(即不仅要考虑内函数的定义域，还要考虑内函数的值域是外函数定义域的子集)，是解决有关复合函数问题的关键．
温馨提示：对数函数综合应用的主要形式有：将对数函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、解不等式等内容中的某几种问题综合在一起，解决这类问题时需要注意设问之间的内在联系．
　 若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln3x，则
(　　)
A．aC．b解析：∵x∈(e－1,1)，
∴－1∴2lnx答案：C
　 (1)函数f(x)＝ln|x| (　　)
A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
答案：(1)B　(2)1　(3)2
1．对数函数的单调性要结合其图象理解和记忆．
2．对数值大小的比较是对数函数的单调性、特殊点的具体应用．
3．和对数函数有关的值域问题，也是利用了对数函数的单调性．
4．复合函数y＝f[φ(x)]的单调性研究，遵循一般步骤和结论，即：分别求出y＝f(u)与u＝φ(x)两个函数的单调性，再按口诀“同增异减”得出复合后的单调性，即两个函数同为增函数或者同为减函数，则复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数．为何有“同增异减”？我们可以抓住“x的变化→u＝φ(x)的变化→y＝f(u)的变化”这样一条思路进行分析．基础达标
一、选择题
1．(2010·山东高考)已知全集U＝R，集合M＝{x||x－1|≤2}，则 UM＝
(　　)
A．{x|－1C．{x|x<－1或x>3} D．{x|x≤－1或x≥3}
解析：由|x－1|≤2得－1≤x≤3，∴M＝{x|－1≤x≤3}，∴ UM＝{x|x<－1或x>3}．
答案：C
2．已知全集U＝{0,1,2,3,4,5}，集合M＝{0,3,5}，N＝{1,4,5}，则集合M∩( UN)等于
(　　)
A．{5} B．{0,3}
C．{0,2,5} D．{0,1,3,4,5}
解析：∵U＝{0,1,2,3,4,5}，
∴ UN＝{0,2,3}，
∴M∩( UN)＝{0,3}．故选B.
答案：B
3．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合 U(A∪B)中元素的个数是
(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，
B＝{x|x＝2a，a∈A}＝{2,4}，
∴A∪B＝{1,2,4}，
∵ U(A∪B)＝{3,5}中有2个元素．
故选B.
答案：B
4．设U＝Z，A＝{1,3,5,7,9}，B＝{1,2,3,4,5}，则图中阴影部分表示的集合是
(　　)
A．{1,3,5}
B．{1,2,3,4,5}
C．{7,9}
D．{2,4}
解析：由Venn图可知阴影部分表示的集合为B∩( UA)＝{2,4}．
答案：D
5．已知U＝{x|－1≤x≤3}，A＝{x|－1(　　)
A． UA＝B B． UB＝C
C． UA C D．A C
解析：∵B＝{－1,3}， UA＝{－1,3}，
∴ UA＝B.故选A.
答案：A
6．设A、B、I均为非空集合，且满足A B I，则下列各式中错误的是
(　　)
A．( IA)∪B＝I B．( IA)∪( IB)＝I
C．A∩( IB)＝ D．( IA)∩( IB)＝ IB
解析：如下图是符合题意的Venn图，从图中可观察A、C、D均正确，只有B不成立．故选B.
答案：B
二、填空题
7．如下图有全集I及集合A、B、C，则阴影部分可用集合的运算表示为____________．
解析：阴影部分位于集合B内，且位于集合A、C的外部，故可表示为B∩( IA)∩( IC)．
答案：B∩( IA)∩( IC)
8．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，若B∪( UB)＝A，则 UB＝________.
解析：∵B∪( UB)＝A，∴A＝U.
(1)当x2＝3时，x＝±，B＝{1,3}，
UB＝{}或{－}；
(2)当x2＝x时，x＝0或1.
当x＝0时，B＝{0,1}， UB＝{3}；
而当x＝1不合题意，舍去．
答案：{－}或{}或{3}
9．全集U＝R，A＝{x|x<－3或x≥2}，B＝{x|－1解析：如下图所示，由图可知C UA，且C B，∴C＝B∩( UA)．
答案：B∩( UA)
三、解答题
10．设集合A＝{x|－5≤x≤3}，B＝{x|x<－2或x>4}，求A∩B，( RA)∪( RB)．
解：A∩B＝{x|－5≤x≤3}∩{x|x<－2或x>4}＝{x|－5≤x<－2}，
RA＝{x|x<－5或x>3}，
RB＝{x|－2≤x≤4}．
∴( RA)∪( RB)
＝{x|x<－5或x>3}∪{x|－2≤x≤4}
＝{x|x<－5或x≥－2}．
11．设全集U＝R，A＝{x|3m－1解：(1)若A＝ ，3m－1≥2m即m≥1时，符合题意．
(2)若A≠ ，则m<1时，
UA＝{x|x≥2m，或x≤3m－1}．
要使B?( UA)，需有
①－1≥2m m≤－，或
②3m－1≥3 m≥与m<1矛盾，(舍去)．
综上可知：所求m的取值范围是m≥1或m≤－.
创新题型
12．我们知道，如果集合A U，那么U的子集A的补集为 UA＝{x|x∈U，且x A}，类似地，对于集合A、B，我们把集合{x|x∈A，且x B}叫做A与B的差集，记作A－B，例如A＝{1,2,3,5,8}，B＝{4,5,6,7,8}，则A－B＝{1,2,3}，B－A＝{4,6,7}．
据此，回答以下问题：
(1)补集与差集有什么异同点？
(2)若U是高一(1)班全体同学组成的集合，A是高一(1)班全体女同学组成的集合，求U－A及 UA.
(3)在下列各图中，用阴影表示集合A—B.
(4)如果A－B＝ ，那么A与B之间具有怎样的关系？
解：(1)补集 UA的前提条件是A U，而差集则无此要求，这是两种运算的不同之处；相同点都是x属于一个集合，但又不属于另一个集合．
(2)U－A＝{x|x是高一(1)班的全体男生}；
UA＝{x|x是高一(1)班的全体男生}．
(3)答案如下图各图．
(4)若A－B＝ ，则A B.(共7张PPT)
《绿色通道》
数学 (人教A版)
人教A版必修Ⅰ· 新课标 · 数学
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第一章 集合与函数概念
1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示
第1课时 集合的含义
第2课时 集合的表示
1.1.2 集合间的基本关系
1.1.3 集合的基本运算
第1课时 并集、交集
第2课时 补集及集合的综合应用
1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念
1.2.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法
第2课时 分段函数及映射
目录
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1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大（小）值
第1课时 函数的单调性
第2课时 函数的最大值、最小值
1.3.2 奇偶性
第1课时 函数奇偶性的概念
第2课时 函数奇偶性的应用
本章小结
第一章 素质测评
目录
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第二章 基本初等函数（Ⅰ）
2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
第1课时 根式
第2课时 指数幂及运算
2.1.2 指数函数及其性质
第1课时 指数函数的概念、图象与性质
第2课时 指数函数的性质及应用
目录
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2.2 对数函数
2.2.1 对数与对数运算
第1课时 对数
第2课时 对数的运算
2.2.2 对数函数及其性质
第1课时 对数函数的概念、图象与性质
第2课时 对数函数的性质及应用
2.3 幂函数
本章小结
第二章 素质测评
目录
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第三章 函数的应用
3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点
3.1.2 用二分法求方程的近似解
3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型
3.2.2 函数模型的应用实例
本章小结
第三章 素质测评
必修1 综合测评
目录
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人教A版必修Ⅰ· 新课标 · 数学第三章　素质测评
一、选择题
1．若函数f(x)＝，则函数g(x)＝4f(x)－x的零点是
(　　)
A．－2　　　　　　　　　 B．2
C．－ D.
解析：g(x)＝－x＝
＝＝0，则x＝2.
答案：B
2．方程x－1＝lgx必有一个根的区间是
(　　)
A．(0.1,0.2) B．(0.2,0.3)
C．(0.3,0.4) D．(0.4,0.5)
解析：设f(x)＝lgx－x＋1，f(0.1)＝lg0.1－0.1＋1＝－0.1<0，f(0.2)＝lg0.2－0.2＋1≈0.1>0，f(0.1)f(0.2)<0.
答案：A
3．实数a、b、c是图象连续不断的函数y＝f(x)定义域中的三个数，且满足a(　　)
A．2 B．奇数
C．偶数 D．至少是2
解析：∴f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，∴f(a)·f(c)>0，即图象在区间(a，c)上至少有两个交点．
答案：D
4．若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0,2)内，那么下列命题中正确的是
(　　)
A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点
B．函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点
C．函数f(x)在区间[2,16)上无零点
D．函数f(x)在区间(1,16)内无零点
解析：依题意知零点在区间(0,2)内，故选C.
答案：C
5．若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实数根，则f(－1)·f(1)的值
(　　)
A．大于0　　　　　　　　 B．小于0
C．无法判断 D．等于零
解析：由题意不能断定零点在区间(－1,1)内部还是外部．
答案：C
6．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成4096个需经过的小时数为
(　　)
A．12 B．4
C．3 D．2
解析：设需要经过x次分裂，则4096＝2x，解得x＝12，
∴时间t＝＝3小时．
答案：C
7．某农民计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的农药和化肥，根据需要，农药至少要3瓶，化肥至少要2袋，则不同的选购方式有
(　　)
A．5种 B．6种
C．7种 D．8种
解析：设购买农药x瓶，化肥y袋，其中x∈N，y∈N，且x≥3，y≥2，则60x＋70y≤500，即6x＋7y≤50.因此不同的选购方式有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)，共7种．
答案：C
8．按复利计算利率的储蓄，存入银行5万元，年息为6%，利息税为20%,4年后支取，可得利息为人民币
(　　)
A．5(1＋0.06)4万元
B．(5＋0.06)4万元
C．4[(1＋0.06)4－1]万元
D．4[(1＋0.06)3－1]万元
解析：由已知4年利息和为5×(1＋6%)4－5，扣去20%的利息税余5×[(1＋6%)4－1]×(1－20%)＝4[(1＋6%)4－1]．
答案：C
9．储油30 m3的油桶，每分钟流出m3的油，则桶内剩余油量Q(m3)以流出时间t(分)为自变量的函数的定义域为
(　　)
A．[0，＋∞) B．[0，]
C．(－∞，40] D．[0,40]
解析：Q＝30－t，由于30－t≥0，∴t≤40，
又∵t≥0，∴定义域为[0,40]，故选D.
答案：D
10．扇形的周长10 cm，扇形面积S是半径R的函数，则此函数的值域是
(　　)
A．(0，] B．(0，πR2]
C．(0，πR2) D．(0，)
解析：设圆心角为θ，则10＝2R＋θR，∴θ＝，面积S＝θR2＝××R2＝5R－R2＝－(R－)2，∴0答案：A
11．从盛满20升酒精的容器里倒出1升后用水加满，再倒出1升混合溶液后又用水填满，这样继续进行，若倒第k(k≥1)次倒出酒精f(k)升，则f(k)的表达式为
(　　)
A．f(k)＝k B．f(k)＝()k－1
C．f(k)＝ D．f(k)＝＋1
解析：第1次倒出1升酒精，第2次倒出1×()升酒精，第3次倒出1×()2升酒精……故第k次倒出()k－1升酒精．
答案：B
12．某商店迎来店庆，为了吸引顾客，采取“满一百送二十，连环送”的酬宾促销方式，即顾客在店内花钱满100元(可以是现金，也可以是奖励券或二者合计)，就送20元奖励券；满200元，就送40元奖励券；满300元，就送60元奖励券；……当日花钱最多的一位顾客共花出现金70040元，如果按照酬宾促销方式，他最多能得到优惠
(　　)
A．17000元 B．17540元
C．17500元 D．17580元
解析：这位顾客花的70000元可得奖励券700×20＝14000(元)，只有这位顾客继续把奖励券消费掉，也才能得到最多优惠，但当他把14000元奖励券消费掉可得140×20＝2800元奖励券再消费又可得到28×20＝560(元)奖励券，560元消费再加上先前70040中的40元共消费600元应得奖励券6×20＝120元．
120元奖励券消费时又得20元奖励券．
∴他总共会得到14000＋2800＋560＋120＋20＝17500(元)优惠．
答案：C
二、填空题
13．函数y＝x2与函数y＝xlnx在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________．
解析：对数函数增长速度较为缓慢．
答案：y＝x2
14．长为4，宽为3的矩形，当长增加x，且宽减少时的面积最大，此时x＝________，面积S＝________.
解析：S＝(4＋x)(3－)＝－＋x＋12＝－(x2－2x－24)＝－(x－1)2，当x＝1时，Smax＝.
答案：1　
15．下表是函数f(x)在区间[1,2]上一些点的函数值.
x 1 1.25 1.375 1.4065 1.438 1.5 1.625 1.75 1.875 2
f(x) －2 －0.984 －0.260 －0.052 0.165 0.625 1.982 2.645 4.35 6
　由此可判断方程f(x)＝0的一个近似解为________．(精确到0.1)
解析：由表知f(1.4065)·f(1.438)<0
∵近似解x0∈(1.4065,1.438)，
取x0＝＝1.4225≈1.4.
答案：1.4
16．若函数f(x)＝|4x－x2|－a的零点个数为3，则a＝________.
解析：作出函数y＝|x2－4x|与函数y＝4的图象，发现它们恰有3个交点．
答案：4
三、解答题
17．有一批单放机原价为每台80元，在两个商场降价销售，甲商场优惠的办法是：买一台少收4元，买两台每台少收8元，买三台每台少收12元……依次类推，直到减到半价为止，乙商场的优惠办法是：一律按原价的70%销售，某单位为每名职工买一台，问买哪一个商场的单放机较合算．
解：设某单位职工为x人，即购买x台，则甲商场：该单位的花费为y1＝(x∈N*)
乙商场：该单位的花费为y2＝80×x×70%＝56x.
若x>10，则y2>y1，购买甲商场的单放机合算；
若0即0y2，购买乙商场的单放机合算；
6x＝6时，在两个商场购买单放机一样；
综合当06时，在甲商场购买合算．
18．麦当劳店每天的房租、人员工资等固定成本为200元，某种食品每份的成本价是5元．销售单价与日均销售量的关系如下表所示：
销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12
日均销售量/份 440 400 360 320 280 240 200
请你根据以上数据作出分析，该麦当劳店怎样定价才能获得最大利润？
解：设定价为x元，利润为y元．
y＝(x－5)[440－40(x－6)]－200
＝－40x2＋880x－3600
＝－40(x－11)2＋1240，
x∈(5,17)，
当x＝11时，ymax＝1240.
定价为11元时，利润最大．
19．经市场调查，某商品在120天内的日销售量和售价均为时间t(天)的函数，日销售量与时间的关系用下图(1)的一条折线表示，售价与时间的关系用下图(2)的一条折线表示．
(1)写出图(1)表示的日销售量(千克)与时间t的函数关系式Q＝g(t)；写出图(2)表示的售价(元/千克)与时间t的函数关系式P＝f(t)．
(2)求日销售额y(元)与时间的函数关系式，并求出日销售额最高的是哪一天？最高销售额是多少？(注：日销售额＝日销售量×售价)
解：(1)g(t)＝
f(t)＝
(2)当0＝－t2＋5t＋600＝－(t－30)2＋675，
∴当t＝30时，ymax＝675(元)．
当60≤t≤120时，y＝(－＋60)(t＋15)
＝－t2－t＋900＝－(t＋30)2＋，
∴当x∈[60,120]时，y＝f(x)为减函数．
∴当t＝60时，ymax＝600(元)．
综上得日销售额与时间的函数关系为
y＝
∴第30天日销售额最高，最高销售额为675元．
20．对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．已知f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)(a≠0)．
(1)当a＝1，b＝－2时，求f(x)的不动点；
(2)若对b∈R，函数f(x)恒有两个相异的不动点．求实数a的取值范围．
解：(1)f(x)＝x2－x－3，若x0是不动点，则f(x0)＝x0，即x－2x0－3＝0，
∴x0＝－1或x0＝3，∴3和－1是f(x)的不动点．
(2)f(x)恒有两个不动点，则f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)＝x，即ax2＋bx＋(b－1)＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2－4a(b－1)>0恒成立，即b2－4ab＋4a>0恒成立．∴(－4a)2－4×4a<0，即a2－a<0.∴021．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若任意x1，x2∈R，且x1解：∵f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]，
∴ax2＋bx＋c＝(ax＋bx1＋c＋ax＋bx2＋c)，
整理得：2ax2＋2bx－a(x＋x)－b(x1＋x2)＝0，
∴Δ＝4b2＋8a[a(x＋x)＋b(x1＋x2)]
＝2[(2ax1＋b)2＋(2ax2＋b)2]．
∵x1，x2∈R，x1∴Δ>0，故方程有两个不相等的实数根．
令g(x)＝f(x)－[f(x1)＋f(x2)]，则
g(x1)g(x2)＝－[f(x1)－f(x2)]2.
又f(x1)≠f(x2)，则g(x1)g(x2)<0，故方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]有一个根属于(x1，x2)．
22．某小型自来水厂的蓄水池中存有400吨水，自来水厂每小时可向蓄水池中注入60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断地供水，t小时内供水总量为120吨(0≤t≤24)．
(1)从供水开始后几个小时，蓄水池中的水量最少？最少水量有多少吨？
(2)若蓄水池中水量少于80吨，就会出现供水紧张现象．试问在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象？并说明理由．
解：(1)设蓄水池中的总水量为y则
y＝400＋60t－120(0≤t≤24)，
配方整理得
y＝60(－)2＋40　(0≤≤2)，
当＝时，y有最小值40，
即从供水开始后6小时，蓄水池水量最少，最少量有40吨．
(2)据题意当y<80时，会出现供水紧张现象．
即：400＋60t－120<80,3t－6＋16<0，
令＝m，则t＝m2，
∴m2－6m＋16<0，∴4∴即∴一天中有－＝8小时出现供水紧张现象．(共42张PPT)
2.2.2　对数函数及其性质
第1课时　
对数函数的概念、图象与性质
目 标 要 求 热 点 提 示
1.初步理解对数函数的概念．
2．初步掌握对数函数的图象和性质. 1.判断一个函数是否是对数函数．
2．以对数函数为载体，考查对数函数性质.
2009年春节晚会上，某报记者用仪器测量到掌声最响亮的一次音量达到了90.1分贝．分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家用声压级(sp1)来描述声音的大小：把一很小的声压P0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害压，60～110为过渡压，110以上为有害压．那么分贝y与声压p之间能建立怎样的函数关系呢？
1．对数函数的概念
函数 叫做对数函数，其中 是自变量．
y＝logax(a>0且a≠1)
x
2．对数函数的图象与性质
定义 y＝logax(a>0，且a≠1)
底数 a>1 0图象
1．下列函数是对数函数的是 (　　)
A．y＝2log3x
B．y＝loga(2x)(a>0，且a≠1)
C．y＝logax2(a>0，且a≠1)
D．y＝lnt
答案：D
3．(2010·天津高考)设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则 (　　)
A．aC．a解析：∵0log44＝1，∴b答案：D
思路分析：求定义域即求使解析式有意义的x的取值范围．
解法二：过(0,1)作平行于x轴的直线，与C1，C2，C3，C4的交点的横坐标为(a1,1)，(a2,1)，(a3,1)，(a4,1)，其中a1，a2，a3，a4分别为各对数的底，显然a1>a2>a3>a4，所以C1，C2，C3，C4的底值依次由大到小，故选A.
答案：A
温馨提示：直线x＝1把第一象限分成两个区域，每个区域中对数函数的底数从左向右逐渐增大．如上图，曲线C1，C2，C3，C4分别相当于
则有a1>a2>a3>a4>0.可总结出下表：
增减情况 同增 同减
底的关系 a>b>1 1>a>b>0
图象
性质 ①若x>1，则logbx>logax>0；
②若0logax>logbx. ①若x>1，则0>logbx>logax；
②若0logbx>0.
【例3】　已知a>0且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是 (　　)
思路分析：由题目可获取以下主要信息：
①两函数的底数都是a；
②对数函数的真数为－x.
解答本题可先由函数定义域判断函数图象的位置，再对底数a进行讨论，最后确定选项．
解析：由y＝loga(－x)的定义域为(－∞，0)知，图象应在y轴左侧，可排除A、D选项．
当a>1时，y＝ax应为增函数，y＝loga(－x)应为减函数，可知B项正确．
而对C项，由图象知y＝ax递减 0答案：B
温馨提示：利用函数代数性质寻找图象的几何特征，体现了依数论形的思想方法．
思路分析：(1)解这类问题，实际上可将不等号两边化为同底的对数式，然后根据单调性来解；(2)注意利用函数图象，可帮助思考与判断，并注意底数不等于1.
温馨提示：解对数不等式要注意定义域的扩大，解题有两个途径，一是不同解变形，最后一定要验根；二是解的过程中加上限制条件，使定义域保持不变，即进行同解变形，最后通过解不等式组得原不等式的解，这样解出后就不必验根了．
　　如右图是对数函数①y＝logax，②y＝logbx，③y＝logcx，④y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是 (　　)
A．a>b>1>c>d
B．b>a>1>d>c
C．1>a>b>c>d
D．a>b>1>d>c
解析：图中画出直线y＝1，分别与①②③④交于A(a,1)，B(b,1)，C(c,1)，D(d,1)，由图象可知c答案：B
　函数y＝ax与y＝－logax(a>0且a≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是 (　　)
解析：∵y＝ax与y＝－logax的单调性相反，可排除C、D选项，又y＝－logax中x>0，可排除B.
答案：A
1．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的性质的助记口诀：
对数增减有思路，函数图象看底数，
底数只能大于0，等于1来也不行，
底数若是大于1，图象从下往上增，
底数0到1之间，图象从上往下减．
无论函数增和减，图象都过(1,0)点．
2．对数式logax的符号(x>0，a>0，且a≠1)：
当x<1，a<1或x>1，a>1时，logax>0，即当真数x和底数a同大于(或小于)1时，对数logax>0，也就是为正数，简称为“同正”；
当x<1，a>1或x>1，a<1时，logax<0，即当真数x和底数a中一个大于1，而另一个小于1时，也就是说真数x和底数a的取值范围“相异”时，对数logax<0，即为负数，简称为“异负”．
因此对数的符号简称为“同正异负”．
3．直线y＝1与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象交点的横坐标就是底数a的大小．在第一象限内，对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象，底数小的靠左边，也可以说底数越小越靠近y轴．(共40张PPT)
3.1.2　用二分法求方程的近似解
目 标 要 求 热 点 提 示
1.能够借助计算器用二分法求方程的近似解，了解二分法是求方程近似解的常用方法．
2．理解二分法的步骤与思想. 1.判断函数零点所在的区间．
2．求方程根的个数.
30枚硬币中含有一枚质量稍轻的假币，用天平最少需几次称量才能将假币区分出来？
(1)在天平的左右两个盘里各放15枚，假币在较轻的一边．
(2)将含有假币的15枚取出一枚，余下的14枚左右各7枚，此时若天平平衡，则取出的一枚就是假币；若天平不平衡，则假币在较轻的一端的7枚中．
(3)从这7枚中取出一枚，余下的6枚左右各放3枚，此时若天平平衡，那么取出的一枚就是假币，否则假币在较轻的3枚中．
(4)从这3枚中取出一枚，另两枚左右各放一枚，若天平平衡，则所取的一枚就是假币，否则天平两端较轻的就是假币．
上述称量寻找假币的方法用了什么思想？为什么不称量30次呢？若考虑偶然性的话，两次称量出哪一枚是假币的可能性也有，但不是必然称量出来的方法．上面的四次称量是一定找出假币的最少称量方法．你还有什么其他的称法吗？
3．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
(1)确定 ，验证 ，给定 ；
(2)求区间 ；
(3)计算 ；
①若 ，则c就是函数的零点；
②若 ，则令 (此时零点x0∈(a，c))；
③若 ，则令 (此时零点x0∈(c，b))．
(4)判断是否达到精确度ε：即若 ，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
区间[a，b]
f(a)·f(b)<0
精确度ε
(a，b)的中点c
f(c)
f(c)＝0
f(a)·f(c)<0
b＝c
f(c)·f(b)<0
a＝c
|a－b|<ε
4．求函数零点的近似值时，所要求的 不同，得到的结果也不相同，精确度ε是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，若 ，即认为已达到所要求的精确度，否则应继续计算，直到 为止．
5．用二分法求函数零点的近似值时，最好是将计算过程中所得到的各个 、 、
等列在一个表格中，这样可以更清楚地发现零点所在区间．
精确度
|a－b|<ε
达到精确度
中点坐标
计算中点的函数值
所取区间
1．下面关于二分法的叙述，正确的是 (　　)
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成
D．只有求函数零点时才用二分法
答案：B
2．设f(x)＝3x＋2x－8，用二分法求方程3x＋2x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根在区间 (　　)
A．(1.25,1.5)　　　　　　 B．(1,1.25)
C．(1.5,2) D．不能确定
解析：∵f(1.5)>0，f(1.25)<0，∴方程根在区间
(1.25,1.5)内．
答案：A
3．求方程x3－2x－5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．
解析：设f(x)＝x3－2x－5，f(2)<0，f(3)>0，f(2.5)>0即f(2)f(2.5)<0，所以下一个区间是(2,2.5)．
答案：(2,2.5)
4．已知函数g(x)的图象是连续不断的，x，g(x)的对应值表如下：
函数g(x)在哪个区间内有零点？为什么？
解析：∵g(1)＝－2<0，g(2)＝3>0，∴g(1)·g(2)<0，∴g(x)在区间(1,2)内有零点．
x … 0 1 2 3 4 5 …
g(x) … －6 －2 3 10 21 40 …
类型一　二分法的概念
【例1】　下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是 (　　)
思路分析：由题目可获取以下主要信息：
①题中给出了函数的图象；
②二分法的概念．
解答本题可结合二分法的概念，判断是否具备使用二分法的条件．
解析：利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)<0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．
答案：B
温馨提示：(1)准确理解“二分法”的含义．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
(2)“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点．　
类型二　用二分法求方程的近似解
【例2】　利用计算器求方程lgx＝3－x的近似解(精确度0.1)．
思路分析：首先确定lgx＝3－x的根的大致区间，由于y＝lgx，y＝3－x的图象可以作出，由图象确定根的大致区间再用二分法求解．
解：作出y＝lgx，y＝3－x的图象(下图)可以发现，方程lgx＝3－x有唯一解，记为x0，并且解在区间(2,3)内．
设f(x)＝lgx＋x－3，用计算器计算，得
f(2)<0，f(3)>0，∴x0∈(2,3)；
f(2.5)<0，f(3)>0 x0∈(2.5,3)；
f(2.5)<0，f(2.75)>0 x0∈(2.5,2.75)；
f(2.5)<0，f(2.625)>0 x0∈(2.5,2.625)；
f(2.5625)<0，f(2.625)>0 x0∈(2.5625,2.625)．
∵2.625－2.5625＝0.0625<0.1
∴原方程的近似解为2.5625.
温馨提示：(1)若方程的根可以转化为常用函数图象交点的横坐标，也可以通过常用函数图象的交点，确定原方程所在的大致区间，再用二分法求解．
(2)求方程的近似解即求函数的零点的近似值．用二分法求解时要注意给定函数的符号、二分法求解的条件及要求的精确度．
类型三　用二分法求函数零点的近似解
【例3】　求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个为正数的零点(精确度0.1)．
思路分析：由于要求的是函数的一个正数零点，因此可以考虑首先确定一个包含正数的闭区间，而f(0)＝－6<0，f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，所以可取区间[1,2]作为计算的初始区间(当然选取[0,2]也是可以的)．
解：由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间．
用二分法逐步计算，列表如下：
由上表的计算可知，区间[1.6875,1.75]的长度1.75－1.6875＝0.0625<0.1，所以x4＝1.6875就是函数的一个正数零点的近似值．
温馨提示：用二分法求函数零点的近似值，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使其长度尽量小，其次要依据条件给定的精确度及时检验计算所得到的区间是否满足这一精确度，以决定是停止计算还是继续计算．
类型四　二分法的实际应用
【例4】　中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏会给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1000元之间．选手开始报价：1000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了．表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际中，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
思路分析：从游戏中可以发现选手的报价往往是从高于真实价或者低于真实价，从两边向真实价靠拢的，而手机的价格范围是确定的，且报数是整数，所以可用数学中的“逼近思想”的特例二分法来设计猜价方案．
解：取价格区间[500,1000]的中点750，如果主持人说低了，就再取[750,1000]的中点875；否则取另一个区间(500,750)的中点；若遇到小数取整数．照这样的方案，游戏过程猜测价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次可猜中价格．
温馨提示：此方案应该说方便、迅速、准确，而且很科学．在实际生活中处处有数学，碰到问题多用数学思维去思考，会使我们变得更聪明，更具有数学素养．
　下列函数中能用二分法求零点的是(　　)
解析：在A中，函数无零点．在B和D中，函数有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法求零点．而在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，∴C中的函数能用二分法求其零点，故选C.
答案：C　　
　求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解(精确度0.1)．
解：设f(x)＝2x3＋3x－3，经计算f(0)·f(1)<0，
∴f(x)在(0,1)内存在零点．
即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解，列表如下：
∵0.0625<0.1，∴方程的近似解为0.6875.
　 用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个正实数零点(精确度0.1)．
解：由于f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，因此可取区间(1,2)为初始区间，用二分法逐次计算．
列表如下：
∵|1.5－1.4375|＝0.0625<0.1，
∴函数的正实数零点近似值可以取1.4375.
　在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？
如果沿线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆子，10 km，大约有200多根电线杆子呢．想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？
解：如下图所示，他首先从中点C查．用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，判定故障在BC段，再到BC段中点D查，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查……
每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，算一算，要把故障可能发生的范围缩小到50～100 m左右，即一两根电线杆附近，要查多少次？
据初中所学知识可知只要7次就够了．
1．二分法的基本思想是将含零点的区间一分为二，然后逐步逼近零点，由于使用二分法的依据是勘根定理，因此并不是所有的零点都能用二分法求解．那么怎样的零点才能用二分法求出其近似解呢？
判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适用．
2．使用二分法求函数零点近似值应注意以下几点：
(1)第一步中要使：①区间长度尽量小，②f(a)、f(b)的值比较容易计算且f(a)·f(b)<0.
(2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点和求相应方程的根是等价的．对于求方程f(x)＝g(x)的根，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，函数F(x)的零点即为方程f(x)＝g(x)的根．(共34张PPT)
1.1.2　集合间的基本关系
目 标 要 求 热 点 提 示
1.理解集合之间的包含与相等的含义，能识别指定集合的子集．
2．了解空集的含义．
3．能使用Venn图表达集合的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 1.应掌握比较实数大小关系的结论，学习集合间的基本关系(子集、真子集和相等)．
2．注意用不同的语言(自然语言、符号语言、图形语言)来表示集合间的基本关系，注意利用Venn图的形象直观表示集合，分析解决问题．
3．空集概念比较抽象，应多联系实际加以理解.
根据集合的定义，我们知道集合有无数多个．可以用集合来区分事物．如{四足动物}，{两足动物}，{绿色植物}，{菌类植物}，{植物}，{动物}，{汽车}等．但有些集合之间有密切的关系．如{两足动物)与{动物}，前一个集合的元素都是后一个集合的元素，且后一个集合元素的个数比前一个集合元素的个数多很多，这两个集合之间的关系如何用简短的数学语言来表达呢？
1．子集、真子集、集合相等的概念
概念 定义 符号表示 图形表示
子集 如果集合A中
元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有
关系，称集合A为集合B的子集. A B
(或B A)
任意一个
包含


概念 定义 符号表示 图形表示
真
子
集 如果集合A B，但存在元素
，则称集合A是集合B的真子集. A?B
(或B?A)
集合
相等 如果 ，那么就说集合A与集合B相等. A B
x∈B，且x A
A B且B A
＝
2.空集
(1)定义： 的集合，叫做空集．
(2)用符号表示为： .
(3)规定：空集是任何集合的 ．
不含任何元素
子集

3．子集的有关性质
(1)任何一个集合是它本身的 ，即 .
(2)对于集合A，B，C，如果A B，B C，那么 .
子集
A A
A C
1．在下列各式中正确的个数是 (　　)
①1∈{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；
③{0,1,2} {0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1}．
A．1　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
答案：C
2．已知集合A＝{x|－1(　　)
A．A B B．A?B
C．B?A D．A B
答案：C
3．已知集合M＝{－8,1,9}，集合N＝{1，m－1}，若N M，则实数m＝________.
解析：∵m－1∈N，N M，∴m－1∈M.
∴m－1＝－8或m－1＝9.
∴m＝－7或10.
答案：－7或10
4．已知集合A＝{2,9}，集合B＝{1－m,9}，且A＝B，则实数m＝________.
解析：∵A＝B，∴1－m＝2.解得m＝－1.
答案：－1
5．已知集合A＝{x|1≤x<4}，B＝{x|x解：将数集A表示在数轴上(如右图所示)，要满足A B，表示数a的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边，所以所求a的取值集合为{a|a≥4}．
类型一　有关子集的概念
【例1】　已知集合A＝{0,1,2}，且B A，求集合B.
思路分析：B中的元素都属于A，故从A中取元素可得B，同时注意B为空集及和A相等的情况．
解：集合B为 ，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{1,2}，{0,2}，{0,1,2}．
温馨提示：求集合的子集问题时，一般可以按照集合的元素个数进行分类，再依次找出每类中符合要求的集合．集合子集个数规律为：含n个元素的集合有2n个子集，其中空集和集合本身易漏掉．
类型二　集合间关系的应用
【例2】　设集合A＝{a|a＝n2＋1，n∈N*}，集合B＝{b|b＝k2－4k＋5，k∈N*}，若a∈A，试判断a与集合B的关系及集合A与集合B的关系．
思路分析：因为a∈A，所以满足集合A中元素特性，再考查元素a是否满足集合B中元素的特性．
温馨提示：判断一个元素是否属于一个集合，首先要看该元素是否具有该集合中元素的共同特征，本题中集合B中元素的共同特征是：所有元素都具有k2－4k＋5(k∈N*)的形式，判断两个集合间的关系要转化为分析其中一个集合中的元素与另一个集合的关系．
类型三　集合相等关系的应用
【例3】　已知A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，且A＝B，求实数c的值．
思路分析：两集合相等，则两集合中的元素完全相同．
温馨提示：两个集合相等，就是一个集合中的任何一个元素一定是另一个集合中的元素，但集合中的元素是互异的，无序的．解题时，要注意所求参数应满足互异性和题意．
类型四　子集问题的应用
【例4】　设集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，已知B A.
(1)求实数m的取值范围；
(2)当x∈N时，求集合A的子集的个数．
思路分析：由B A，需就B＝ 或B≠ 两种情况对B进行分类讨论，特别是B＝ 不可遗漏．
温馨提示：因为B A，首先应用分类讨论数学思想分B≠ 与B＝ 两种情况，然后再利用集合A，B之间的关系建立不等式进行求解．解决该类问题常借助数轴把集合A，B表示出来，利用数形结合的思想解决，但要特别注意端点值的取舍．
　已知{a，b} A?{a，b，c，d，e}，写出所有满足条件的A.
解：∵{a，b} A，
∴a∈A，b∈A.
又A?{a，b，c，d，e}，
∴集合A为{a，b}、{a，b，c}、{a，b，d}、{a，b，e}、{a，b，c，d}、{a，b，c，e}、{a，b，d，e}．,　　
答案：B
　　已知集合M＝{x，xy，x－y}，N＝{0，
|x|，y}，且M＝N，求x与y的值．
解：∵M＝N,0∈N，∴0∈M.
(1)若x＝0，则M＝{0,0，－y}，不满足互异性，∴x≠0.
(2)若xy＝0，又x≠0，∴y＝0，显然不满足互异性，故不成立．
(3)若x－y＝0，此时M＝{x，x2,0}，
N＝{0，|x|，x}，∴x2＝|x|，又由互异性可知：x≠0，x≠1，
∴x＝－1，此时y＝－1.
经检验知，x＝－1，y＝－1符合题意，即为所求．
若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且B?A，求m的值．
1．当集合A不含于集合B(或集合B不包含集合A)时，记作A B(或B A)．
2．判断集合相等的方法：
(1)当集合A与集合B中元素完全相同时，有A＝B；
(2)A B，B A A＝B.
3．子集的性质：A B，且B C A C；A?B，且B?C A?C；当A B时，则A＝B或A?B，所以当集合A是集合B的子集时，A不一定是B的真子集；但当集合A是集合B的真子集时，A一定是B的子集．
4．判断集合间的关系的关键是弄清集合由哪些元素组成，也就是把较为抽象的集合具体化、形象化，这就要求熟练地用自然语言、符号语言(列举法和描述法)、图形语言(Venn图)来表示集合．
5．在具体问题中，特别是含有字母的问题中一定要注意空集( )的存在与否，以及元素互异性的讨论．(共44张PPT)
第2课时　指数幂及运算
目 标 要 求 热 点 提 示
1.了解分数指数幂的模型的实际背景，体会引入分数指数幂的必要性．
2．能进行分数指数幂与根式之间的相互转化，了解分数指数幂的运算性质，能借助计算器计算分数指数幂的值. 本节学习指数与指数幂的运算时，应注意以下几点：
(1)应联系实际问题情境，体会引入分数指数幂的必要性
(2)通过回顾乘方的定义，并推广到分数指数幂，利用根式的具体实例理解有理数指数幂的意义，由乘方的运算性质，类比例子，得到有理数指数幂的运算性质.
我国是人口大国，2007年底有13亿人口．政府现在实行计划生育政策，人口年增长率较低．若按年增长率1%计算，到2008年底，中国人口将增加多少？10年以后2017年底我国人口总数将达到多少？如果年增长率是2%，甚至是5%，那么结果将会怎样？能带来灾难性后果吗？
4．无理数指数幂的运算性质同有理数指数幂的运算性质．
(1)aras＝ ；(2)(ar)s＝ ；
(3)(ab)r＝ (a>0，b>0，r，s∈R)．
ar＋s
ars
arbr
思路分析：由题目可获得以下主要信息：本例三个小题均含有根式．解答本题可将根式化为分数指数幂形式，根据分数指数幂的运算性质求解．
思路分析：当式子中既有根式又有分数指数幂时，应将根式统一化到分数指数幂的形式，便于运算．
温馨提示：(1)在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式，小数指数幂化为分数指数幂，并尽可能统一成分数指数幂形式，再利用幂的运算性质进行运算．
(2)对于根式计算结果，并不强求统一的表示形式，一般地用分数指数幂的形式来表示，如果有特殊要求，则按要求给出结果，但结果中不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，即结果必须化为最简形式．　
思路分析：在进行幂和根式的化简时，一般先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，化负指数为正指数，再利用幂的运算性质进行化简运算．
思路分析：利用立方和公式、平方差公式、完全平方公式，将所求的式子拼凑出已知的式子．
解：(1)令2x＝t，则2－x＝t－1，∴t＋t－1＝a.①
解法一：由①两边平方得t2＋t－2＝a2－2，
∴8x＋8－x＝t3＋t－3
＝(t＋t－1)(t2－t·t－1＋t－2)
＝a(a2－2－1)＝a3－3a.
解法二：8x＋8－x＝t3＋t－3
＝(t＋t－1)(t2－t·t－1＋t－2)
＝a[(t＋t－1)2－3t·t－1]
＝a(a2－3)＝a3－3a.
温馨提示：1.对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底数幂的运算法则及乘法公式．
2．一般不采用分别把x、y、2x的值求出来代入求值的方法．应先将原式进行分母有理化并用乘法公式变形，把2x＋2－x、x＋y及xy整体代入后再求值．
3．适当地选用换元，能使公式应用更清晰，过程更简捷．
思悟升华
1．根式的运算技巧：根据分数指数幂和根式的关系，根式的运算可以与分数指数幂的运算相互转化，对于运算的结果，不统一要求用什么形式来表示，没有特别要求，可以用分数指数幂的形式表示；有特殊要求可以根据要求给出结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
2．对于利用分数指数幂的运算性质化简求值的问题，一般有三种思路：将条件用结论表示，直接解出结论；将结论用条件表示，直接将条件代入，然后求出结果；找到条件和结论的中间量、借助中间量求解，注意利用整体代换及平方差、立方差、立方和公式，利用转化、换元等方法．
指数的发展
n个相同的因数相乘，即a·a·a·…·a记作an，an叫做a的n次幂，其中a叫做底数，n叫做指数．
本来幂的指数总是正整数，后来随着数的扩充，指数的概念也不断发展．
18世纪以后，人们发现复数a＋bi还可以用三角式r(cosθ＋isinθ)及指数式reiθ表示(r是模，θ是辐角)，从而得到了一般复数指数的概念．
1679年，莱布尼茨写信给荷兰数学家惠更斯讨论方程：
xx－x＝24，xz＋zx＝b，xx＋zz＝c，
这是引入变指数的开始．
指数概念形成后，欧拉才把对数建立在指数的逆运算的基础上，这就是现行教科书采用的方法．基础达标
一、选择题
1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用
(　　)
A．一次函数　　　　　　 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
解析：一次函数匀速增长，二次函数及指数型函数均为开始增长缓慢，后来增长越来越快，对数型函数开始增长迅速后来增长越来越慢．
答案：D
2．甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是
(　　)
A．甲比乙先出发
B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲先到达终点
答案：D
3．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，有
(　　)
A．f(x)>g(x) B．g(x)>f(x)
C．f(x)≥g(x) D．g(x)≥f(x)
解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图象，如图所示，
由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝2x的图象的上方，则f(x)>g(x)．
答案：A
4．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
x 1 2 3 …
y 1 3 8 …
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是
(　　)
A．y＝2x－1　　　　　　 B．y＝x2－1
C．y＝2x－1 D．y＝1.5x2－2.5x＋2
解析：代入数据验证可得答案．
答案：D
5．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3000＋20x－0.1x2(0(　　)
A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
解析：设新价为b，依题意有25x－(3000＋20x－0.1x2)≥0，解得x≥150或x≤－200(舍)．故选C.
答案：C
6．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是
(　　)
A．y＝ex B．y＝100lnx
C．y＝x100 D．y＝100·2x
解析：指数爆炸式形如指数函数．又e>2，∴ex比100·2x增大速度快．
答案：A
二、填空题
7．某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物订一个新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利润，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系是________．
解析：设新价为b，依题意，有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)·25%化简，得b＝a.∴y＝b·20%·x＝a·20%·x，即y＝x(x∈N?)．
答案：y＝x(x∈N?)
8．假设某商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a，那么广告效应为D＝a－A，当A＝________时，取得最大广告效应．
解析：D＝a－A＝－()2＋a，
∴＝a时，D取最大值，此时，A＝a2.
答案：a2
9．某商店每月利润稳步增长，去年12月份的利润是当年1月份利润的k倍，则该商店去年每月利润的平均增长率为__________．
解析：设平均增长率为p，
则k＝(1＋p)11，故p＝－1.
答案：－1
三、解答题
10．某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元价格退回报社．在一个月(以30天计)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？
解：设摊主每天从报社买进x份，易知x∈[250,400]时，每月所获利润才能最大．于是每月所获利润y为
y＝20×0.30x＋10×0.30×250＋10×0.05×(x－250)－30×0.20x
＝0.5x＋625　(x∈[250,400])．
因函数y在[250,400]上为增函数，故当x＝400时，y有最大值825元，
即摊主每天从报社买进400份，才能使每月所获得的利润最大，一月最多可赚得825元．
11．已知桶1与桶2通过水管相连如图所示，开始时桶1中有aL水，t min后剩余的水符合指数衰减函数y1＝ae－nt，那么桶2中的水就是y2＝a－ae－nt，假定5 min后，桶1中的水与桶2中的水相等，那么再过多长时间桶1中的水只有L
解：由题意得ae－5n＝a－a·e－5n，即e－5n＝①
设再过t min后桶1中的水有L，
则ae－n(t＋5)＝，e－n(t＋5)＝②
将①式平方得e－10n＝③
比较②、③得－n(t＋5)＝－10n，∴t＝5.
即再过5 min后桶1中的水只有L.
创新题型
12．某网民用电脑上因特网有两种方案可选：一是在家里上网，费用分为通讯费(即电话费)与网络维护费两部分．现有政策规定：通讯费为0.02元/分钟，但每月30元封顶(即超过30元则只需交30元)，网络维护费1元/小时，但每月上网不超过10小时则要交10元；二是到附近网吧上网，价格为1.5元/小时．
(1)将该网民某月内在家上网的费用y(元)表示为时间t(小时)的函数；
(2)试确定在何种情况下，该网民在家上网更便宜？
解：(1)由题意可以得到
y＝.
(2)当0当t>25时，要使1.5t－(t＋30)>0，只要t>60，
所以上网时间超过60小时则在家上网便宜．基础达标
一、选择题
1．函数f(x)＝2x－x2的最大值是
(　　)
A．－1　　　　　　　　 B．0
C．1 D．2
解析：函数f(x)＝2x－x2＝－(x－1)2＋1，
∴当x＝1时，f(x)max＝1.
答案：C
2．已知函数f(x)＝＋x，则它的最小值是
(　　)
A．0 B．1
C. D．无最小值
解析：函数f(x)＝＋x的定义域为[，＋∞)且为增函数，∴f(x)min＝f()＝.
答案：C
3．函数y＝在[2,3]上的最小值为
(　　)
A．2 B.
C. D．－
解析：作出图象可知y＝在[2,3]上是减函数，ymin＝＝.
答案：B
4．函数y＝|x＋1|在[－2,2]上的最大值为
(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：作出图象即可．
答案：D
5．函数f(x)＝的最大值是
(　　)
A. B.
C. D.
解析：分母1－x(1－x)＝x2－x＋1＝2＋≥显然0答案：D
6．函数f(x)＝x2－2ax＋a＋2在[0，a]上的最大值为3，最小值为2，则a的值为
(　　)
A．0 B．1或2
C．1 D．2
解析：∵抛物线y＝x2－2ax＋a＋2开口向上，且对称轴为x＝a，∴函数y＝x2－2ax＋a＋2在[0，a]上为减函数，∴a＋2＝3且a2－2a2＋a＋2＝2，a＝1.
答案：C
二、填空题
7．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________．
解析：f(x)min＝f(0)＝a＝－2，
f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.
答案：1
8．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a解析：y＝－(x－3)2＋18，∵a∴在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，得b＝0，－a2＋6a＋9＝－7，得a＝－2.
答案：－2　0
9．已知f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间x∈[1,5]上的最小值为f(5)，则a的取值范围为__________．
解析：由对称轴方程为x＝1－a，∵x∈[1,5]最小值为f(5)，∴1－a≥5，得a≤－4.
答案：a≤－4
三、解答题
10．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值与最小值；
(2)求实数a的取值范围，使函数y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2的图象的对称轴为直线x＝1.
∴f(x)min＝f(1)＝1，f(x)max＝f(－5)＝37.
(2)∵函数f(x)＝x2＋2ax＋2在[－5,5]上是单调函数，∴区间[－5,5]一定都在抛物线的对称轴x＝－a的同一侧．
∴－a≤－5或－a≥5，即a≥5或a≤－5.
∴所求实数a的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．
11．把长为12 cm的铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是多少？
解：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为(4－x) cm，两个三角形的面积之和为S，则S＝x2＋(4－x)2＝(x－2)2＋2(0∴当x＝2时，S取得最小值2 cm2.
创新题型
12．已知函数f(x)＝－x2＋x，是否存在实数m、n，m解：假设存在m、n使当x∈[m，n]时，y∈[2m,2n]．则在[m，n]上函数的最大值为2n.
而f(x)在x∈R上的最大值为，
∴2n≤，∴n≤.
而f(x)在(－∞，1)上是增函数，
∴f(x)在[m，n]上是增函数．
∴即
∴
∵m∴存在实数m＝－2，n＝0，使当x∈[－2,0]时，f(x)的值域为[－4,0]．第一章　素质测评
一、选择题
1．下列关系式中，正确的是
(　　)
A． ∈{0}　　　　　　 B．0 {0}
C．0∈{0} D．0{0}
答案：C
2．满足A∪{－1,1}＝{－1,0,1}的集合A共有
(　　)
A．2个 B．4个
C．8个 D．16个
解析：由题意知A＝{0}或A＝{0，－1}或A＝{0,1}或A＝{－1,0,1}，共4个．故选B.
答案：B
3．如下图所示，阴影部分表示的集合是
(　　)
A．( UB)∩A B．( UA)∩B
C． U(A∩B) D． U(A∪B)
解析：因为阴影部分在集合 UB中又在集合A中，所以阴影部分是( UB)∩A.故选A.
答案：A
4．如下图所示，对应关系f是从A到B的映射的是
(　　)
解析：B、C中的集合A中都有剩余元素，故B、C不是映射；A中有一对多的情况，故A不是映射．故选D.
答案：D
5．设集合M＝{x|x>1}，P＝{x|x2－6x＋9＝0}，则下列关系中正确的是
(　　)
A．M＝P B．PM
C．MP D．M∪P＝R
解析：P＝{3}，∵3>1，∴3∈M.∴P M.但是2∈M,2 P，∴PM.
答案：B
6．已知f(x)＝，则f{f[f(－2)]}的值为
(　　)
A．0 B．2
C．4 D．8
解析：∵－2<0，
∴f(－2)＝0，
∴f[f(－2)]＝f(0)＝2>0，
f{f[f(－2)]}＝f(2)＝4.故选C.
答案：C
7．对任意两个实数对(a，b)和(c，d)，规定：(a，b)＝(c，d)，当且仅当a＝c，b＝d；运算“”为：(a，b)(c，d)＝(ac－bd，bc＋ad)；运算“”为：(a，b)(c，d)＝(a＋c，b＋d)．设p、q∈R，若(1,2)(p，q)＝(5,0)，则(1,2)(p，q)＝
(　　)
A．(0，－4) B．(0,2)
C．(4,0) D．(2,0)
解析：∵(1,2)(p，q)＝(p－2q,2p＋q)＝(5,0)，
∴解得
∴(1,2) (p，q)＝(1＋p,2＋q)＝(2,0)，故选D.
答案：D
8．函数y＝x2－2x＋3，－1≤x≤2的值域是
(　　)
A．R B．[3,6]
C．[2,6] D．[2，＋∞)
解析：画出函数的图象，如右图所示，
观察函数的图象可得图象上所有点的纵坐标的取值范围是[2,6]，
所以值域是[2,6]．
答案：C
9．函数f(x)＝x2－2ax，x∈[1，＋∞)是增函数，则实数a的取值范围是
(　　)
A．R B．[1，＋∞)
C．(－∞，1] D．[2，＋∞)
解析：f(x)＝x2－2ax的对称轴是直线x＝a，则a≤1.
答案：C
10．定义在R上的偶函数在[0,7]上是增函数，在[7，＋∞)上是减函数，又f(7)＝6，则f(x)
(　　)
A．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6
B．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6
C．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6
D．在[－7,0]上是减函数，且最小值是6
解析：由f(x)是偶函数，得f(x)关于y轴对称，其图象可以用下图简单地表示，
则f(x)在[－7,0]上是减函数，且最大值为6.
答案：B
11．已知函数f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且当x<0时，函数的部分图象如右图所示，则不等式xf(x)<0的解集是
(　　)
A．(－2，－1)∪(1,2)
B．(－2，－1)∪(0,1)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(－1,0)∪(1,2)
D．(－∞，－2)∪(－1,0)∪(0,1)∪(2，＋∞)
解析：根据奇函数图象关于原点对称，作出函数图象，则不等式xf(x)<0的解为
或故选D.
答案：D
12．已知函数f(x)在[－1,2]上是减函数，且点A(－1,3)和点B(2，－1)在函数f(x)的图象上，则满足条件－1≤f(x－2)≤3的x的集合是
(　　)
A．{x|1≤x≤4} B．{x|－3≤x≤0}
C．{x|x∈R} D．{x|x∈ }
解析：∵f(－1)＝3，f(2)＝－1，
又∵－1≤f(x－2)≤3，
∴f(2)≤f(x－2)≤f(－1)．
又∵f(x)在[－1,2]上单调递减，
∴－1≤x－2≤2，
∴1≤x≤4.故选A.
答案：A
二、填空题
13．已知集合A＝{x|x2＋ax＋b＝0}中仅有一个元素1，则a＝________，b＝________.
答案：－2　1
14．函数f(x)＝的值域是________．
解析：∵y＝
＝，
且0≤－(x－2)2＋9≤9，
∴函数y＝的值域为[0,3]．
答案：[0,3]
15．某粮店销售大米，若一次购买大米不超过50 kg时，单价为m元；若一次购买大米超过50 kg时，其超出部分按原价的90%计算，某人一次购买了x kg大米，其费用为y元，则y与x的函数关系式y＝________.
解析：当0≤x≤50时，y＝mx；当x>50时，y＝50m＋(x－50)×90%·m＝0.9mx＋5m.
答案：
16．设函数f(x)＝则函数y＝f(x)与y＝的交点个数是________．
解析：函数y＝f(x)的图象如下图所示，则两函数y＝f(x)与y＝的交点个数是4.
答案：4
三、解答题
17．已知全集U＝R，集合M＝{x|x≤3}，N＝{x|x<1}，求M∪N，( UM)∩N，( UM)∪( UN)．
解：由题意得M∪N＝{x|x≤3}， UM＝{x|x>3}， UN＝{x|x≥1}，
则( UM)∩N＝{x|x>3}∩{x|x<1}＝ ，
( UM)∪( UN)＝{x|x>3}∪{x|x≥1}＝{x|x≥1}．
18．已知a、x∈R，集合A＝{2,4，x2－5x＋9}，B＝{3，x2＋ax＋a}，C＝{x2＋(a＋1)x－3,1}．
(1)使A＝{2,3,4}的x的值；
(2)使2∈B，B?A的a、x的值．
解：(1)由集合相等的定义知x2－5x＋9＝3，
解之得x2－5x＋6＝0，x＝2或x＝3.
经检验，x＝2或3都符合题意．
(2)∵2∈B，B?A，
∴
解②得x＝2或x＝3.
把x＝2代入①得a＝－；
把x＝3代入①得a＝－.
经检验或都适合题意．
19．已知函数f(x)是正比例函数，函数g(x)是反比例函数，且f(1)＝1，g(1)＝2.
(1)求函数f(x)和g(x)；
(2)判断函数f(x)＋g(x)的奇偶性．
解：(1)设f(x)＝k1x，g(x)＝，其中k1k2≠0，
则k1×1＝1，＝2，
∴k1＝1，k2＝2.
则f(x)＝x，g(x)＝.
(2)设h(x)＝f(x)＋g(x)，
则h(x)＝x＋，
∴函数h(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
h(－x)＝－x＋＝－(x＋)＝－h(x)，
∴函数h(x)是奇函数，
即函数f(x)＋g(x)是奇函数．
20．已知f＝－x－1.
(1)求f(x)；
(2)求f(x)在区间[2,6]上的最大值和最小值．
解：(1)令t＝，则x＝，
∴f(t)＝，∴f(x)＝(x≠1)．
(2)任取x1，x2∈[2,6]，且x1f(x1)－f(x2)＝－＝，
∵2≤x1∴(x1－1)(x2－1)>0,2(x2－x1)>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，
∴f(x)在[2,6]上单调递减，
∴当x＝2时，f(x)max＝2，
当x＝6时，f(x)min＝.
21．扬州某公司生产的新产品的成本是2元/件，售价是3元/件，年销售量为10万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x(万元)时，产品的销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：
x … 1 2 … 5 …
y … 1.5 1.8 … 1.5 …
(1)求y与x的函数关系式；
(2)如果利润＝销售总额－成本费－广告费，试写出年利润S(万元)与广告费x(万元)的函数关系式；并求出当广告费x为多少万元时，年利润S最大．
解：(1)由于y是x的二次函数，所以可设函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)(x≥0)；由于点(1,1.5)、(2,1.8)、(5,1.5)在函数图象上，所以
解得
所以所求函数的解析式为y＝－x2＋x＋1，(x≥0)．
(2)当投入广告费x万元时，产品的销量是10y万件，成本2元/件，售价3元/件，每件获得利润1元，共获利10y(3－2)＝10y万元，由题意得
S＝10y(3－2)－x＝10(－x2＋x＋1)－x
＝－x2＋5x＋10＝－(x－)2＋(x≥0)．
当x＝时，Smax＝.
即当投入2.5万元广告费时，年利润最大．
22．函数f(x)＝是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且f()＝.
(1)求实数a、b，并确定函数f(x)的解析式；
(2)判断f(x)在(－1,1)上的单调性，并用定义证明你的结论．
解：(1)∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－，－ax＋b＝－ax－b，
∴b＝0，∴f(x)＝，又f()＝，
∴＝，∴a＝1，∴f(x)＝.
(2)f(x)在(－1,1)上是增函数．
证明如下：任取x1，x2∈(－1,1)，且x1f(x1)－f(x2)＝－
＝
∵－1∴－10，x＋1>0，x＋1>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在(－1,1)上是增函数．基础达标
一、选择题
1．有下列4个命题：
①偶函数的图象一定与纵轴相交；
②奇函数的图象一定通过原点；
③即是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)；
④偶函数的图象关于纵轴对称．
其中正确的命题有
(　　)
A．1个　　　　　　　　 B．2个
C．3个 D．4个
解析：只有④正确，③中x∈R，定义域只要关于原点对称即可．函数f(x)＝0不唯一．
答案：A
2．若函数y＝f(x)的定义域是[0,1]，则下列函数中，可能是偶函数的一个为
(　　)
A．y＝[f(x)]2 B．y＝f(2x)
C．y＝f(|x|) D．y＝f(－x)
解析：A、B、D三项函数的定义域不关于原点对称．
答案：C
3．已知y＝f(x)是偶函数，且其图象与x轴有4个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是
(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：∵f(x)是偶函数，且f(－x)＝f(x)．
答案：A
4．设f(x)是定义在R上的任意一个增函数，G(x)＝f(x)－f(－x)，则G(x)必定为
(　　)
A．增函数且为奇函数 B．增函数且为偶函数
C．减函数且为奇函数 D．减函数且为偶函数
解析：f(x)的定义域为R，则G(x)＝f(x)－f(－x)的定义域为R，又G(－x)＝f(－x)－f(x)＝－G(x)，
∴G(x)为奇函数．设x1则G(x1)－G(x2)＝f(x1)－f(－x1)－f(x2)＋f(－x2)
＝f(x1)－f(x2)－[f(－x1)－f(－x2)]
又f(x)在R上是增函数，则f(x1)f(－x2)
∴f(x1)－f(x2)<0，－[f(－x1)－f(－x2)]<0，
即G(x1)答案：A
5．已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)递增，当x1<0，x2<0时有|x1|<|x2|，则
(　　)
A．f(－x1)>f(－x2)
B．f(－x1)＝f(－x2)
C．f(－x1)D．f(－x1)与f(－x2)大小关系不确定
解析：由已知0<－x1<－x2，∵x<0时f(x)递增，∴x>0时f(x)递减，∴f(－x1)>f(－x2)．
答案：A
6．f(x)是R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)为
(　　)
A．0.5 B．－0.5
C．1.5 D．－1.5
解析：f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(7.5)＝f(3.5)＝f(－0.5＋4)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.
答案：B
二、填空题
7．若y＝(a－1)x2－2ax＋3为偶函数，则在(－∞，3]内函数的单调区间为________．
解析：a＝0，y＝－x2＋3结合二次函数的单调性知．
答案：(－∞，0)上为增函数，在[0,3]上为减函数．
8．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx的奇偶性是________．
解析：∵f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，∴b＝0，g(x)＝ax3＋cx，即为奇函数．
答案：奇函数
9．设定义在R上的函数f(x)恒大于0，则下列函数：①y＝－f(x)f(－x)，②y＝xf(x2)，③y＝－f(－x)，④y＝f(x)－f(－x)中必为奇函数的有________．(要求填写正确答案的序号)
解析：令g(x)＝－f(x)f(－x)，则g(－x)＝－f(－x)f(x)＝g(x)，∴y＝－f(x)f(－x)为偶函数；
令g(x)＝xf(x2)，则g(－x)＝(－x)f[(－x)2]＝－xf(x2)＝－g(x)，∴y＝xf(x2)为奇函数．
令g(x)＝－f(－x)，则g(－x)＝－f(x)与g(x)＝－f(－x)不一定有关系，∴y＝－f(－x)不一定是奇函数．
令g(x)＝f(x)－f(－x)，则g(－x)＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－g(x)，∴y＝f(x)－f(－x)为奇函数．
答案：②④
三、解答题
10．已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x|x－2|，求x<0时，f(x)的表达式．
解：∵x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝(－x)|(－x)－2|.
又f(x)为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－(－x)|(－x)－2|＝
x|x＋2|.
故当x<0时，f(x)＝x|x＋2|.
11．已知函数f(x)对一切x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12)．
解：(1)由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，
令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.
∴f(x)＋f(－x)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，
故f(x)是奇函数．
(2)∵f(x)为奇函数．
∴f(－3)＝－f(3)＝a，
∴f(3)＝－a.
又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，
∴f(12)＝－4a.
创新题型
12．设f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，对任意a、b∈[－1,1]，当a＋b≠0时，都有>0.
(1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小；
(2)解不等式f(x－)解：(1)若a>b，则a－b>0，依题意有
>0成立，∴f(a)＋f(－b)>0.
又∵f(x)是奇函数，∴f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)．
(2)由(1)可知f(x)在[－1,1]上是增函数．则所求不等式等价于(共44张PPT)
1．3.2　奇偶性
第1课时　函数奇偶性的概念
目 标 要 求 热 点 提 示
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；
2．掌握判断函数奇偶性的方法. 　　利用函数奇偶性概念来判断函数奇偶性是本课时的热点内容.
我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，如和谐美、自然美、对称美……下图中的图标给我们什么感觉呢？如果给下图中的图标建立适当的坐标系，我们不难发现它们有的关于y轴对称，有的关于坐标原点对称．图象关于y轴对称和关于坐标原点对称的函数是什么特殊函数呢？
1．偶函数
(1)定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝ ，那么函数f(x)叫做偶函数．
(2)几何意义：定义域关于原点对称；图象关于 对称．
f(x)
y轴
温馨提示：函数f(x)是偶函数 对定义域内任意一个x，有f(－x)－f(x)＝0 f(x)的图象关于y轴对称．
2．奇函数
(1)定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝ ，那么函数f(x)叫做奇函数．
(2)几何意义：定义域关于原点对称；图象关于 对称．
－f(x)
原点
温馨提示：函数f(x)是奇函数 对定义域内任意一个x，有f(－x)＋f(x)＝0 f(x)的图象关于原点对称．
3．奇偶性
(1)定义：如果函数f(x)是奇函数或是偶函数，那么就说函数f(x)具有奇偶性．
(2)几何意义：定义域关于 对称；图象关于原点或y轴对称．
原点
温馨提示：函数的奇偶性与最值都是在整个定义域上的性质，是“整体性质”，而函数的单调性是在函数定义域或其子集上的性质，是“局部”性质．
1．函数y＝x4＋x2 (　　)
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
解析：定义域是R，f(－x)＝(－x)4＋(－x)2＝x4＋x2＝f(x)，所以是偶函数．
答案：B
解析：定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数．
答案：D
4．(2010·北京师大附中高一检测)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.
思路分析：利用函数奇偶性的定义判断．
解：(1)∵定义域为R，f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(2)∵定义域为{x|x>1或x≤－1}，定义域关于原点不对称，
∴f(x)为非奇非偶函数．
(3)∵定义域为{－2,2}，任取x∈{－2,2}，则－x∈{－2,2}．f(－x)＝0＝f(x)＝－f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
温馨提示：证明函数奇偶性必须用定义：任取x∈D，则－x∈D，f(－x)＝±f(x)．如果D不关于原点对称，立刻否定有奇偶性．因为它不满足任意x∈D，则－x∈D.
判断函数奇偶性方法很多，如奇函数＋奇函数＝奇函数，奇函数×偶函数＝奇函数，奇函数×奇函数＝偶函数等等．
思路分析：由题目可获取以下主要信息：
①已知函数为分段函数；
②判断此函数的奇偶性．
解答本题可依据函数奇偶性的定义加以说明．
解：(1)当x<0时，－x>0.
f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3
＝－x2－2x－3＝－f(x)；
(2)当x>0时，－x<0，
f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3
＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)，
综上可知f(x)为奇函数．
温馨提示：(1)对于分段函数奇偶性的判断，须特别注意x与－x所满足的对应关系，如x>0时，f(x)满足f(x)＝－x2＋2x－3，－x<0满足的不再是f(x)＝－x2＋2x－3，而是f(x)＝x2＋2x＋3；
(2)要对定义域内的自变量都要考察，如本例分为两种情况，如果本例只有(1)就说f(－x)＝－f(x)，从而判断它是奇函数是错误的、不完整的．
(3)分段函数的奇偶性判断有时也可通过函数图象的对称性加以判断．
类型二　函数奇偶性的图象特征
【例3】　(1)如下图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值．
(2)如下图，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，比较f(1)与f(3)的大小，并试作出它的y轴右侧的图象．
思路分析：依据奇、偶函数的图象的对称性，分别作出它们在y轴右侧的部分图象．
解：(1)∵奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，－f(x))关于原点的对称点P′(x，f(x))．下图为补充后的图象．易知f(3)＝－2.
(2)偶函数y＝f(x)在y轴右侧图象上任一点P(－x，f(x))关于y轴的对称点P′(x，f(x))，下图为补充完后的图象．易知f(1)>f(3)．
温馨提示：给出奇函数(或偶函数)在直角坐标平面内的某个半平面上的图象，要作出它的另一个半平面内的图象是依据奇、偶函数图象的对称性．其过程是作出原图象几个关键点(图象的最高点、最低点、拐点等)关于原点或y轴的对称点．然后按原图象的特征用平滑曲线连接这些点，就作出了它们在另一个半平面的图象．
温馨提示：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力．对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得．
解：(1)函数定义域为R.
f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．
(2)函数的定义域为{x|x≠－1}．
不关于原点对称，
∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
　 设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]．若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如下图所示，则不等式f(x)<0的解集是__________．
解析：如下图，根据y＝f(x)，x∈[－5,5]的图象知f(x)<0的解集为{x|－2答案：{x|－2　 已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的a、b∈R都满足：f(ab)＝af(b)＋bf(a)．
(1)求f(0)、f(1)的值．
(2)证明f(x)为奇函数．
解：(1)令a＝b＝0，∴f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0.
令a＝b＝1，∴f(1)＝1·f(1)＋1·f(1)＝2f(1)，
∴f(1)＝0.
(2)令a＝b＝－1，则f(－1)＝0.
∵f(－x)＝f(－1·x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)＋0＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
3．(1)若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(|x|)，反之亦真．
(2)若f(x)为奇函数，且0在定义域内，则f(0)＝0.
(3)若f(x)＝0且f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)既是奇函数又是偶函数．
(4)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性．基础达标
一、选择题
1．若102x＝25，则x等于
(　　)
A．lg B．lg5
C．2lg5 D．2lg
解析：∵102x＝25，
∴2x＝lg25＝lg52＝2lg5，
∴x＝lg5.
答案：B
(　　)
A．1＋2lg2 B．－1－2lg2
C．3 D．－3
解析：
＝1－lg2＋2＋lg2＝3.
答案：C
3．已知lg2＝a，lg3＝b，则log36＝
(　　)
A. B.
C. D.
解析：log36＝＝＝.
答案：B
4．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是
(　　)
A．a－2 B．3a－(1＋a)2
C．5a－2 D．1＋3a－a2
解析：∵a＝log32，∴log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2，故选A.
答案：A
5．已知|lga|＝|lgb|(a>0，b>0)，那么
(　　)
A．a＝b B．a＝b或ab＝1
C．a＝±b D．ab＝1
解析：由|lga|＝|lgb|，得lga＝lgb或lga＝－lgb＝lg，∴a＝b或a＝.故选B.
答案：B
6．若lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则(lg)2的值等于
(　　)
A．2 B.
C．4 D.
解析：由根与系数的关系，得lga＋lgb＝2，lga·lgb＝，
∴(lg)2＝(lga－lgb)2
＝(lga＋lgb)2－4lga·lgb
＝22－4×＝2.
答案：A
二、填空题
7．lg20＋log10025＝________.
解析：lg20＋log10025＝lg20＋＝lg20＋lg5＝lg100＝2.
答案：2
答案：2
9．已知f(3x)＝2xlog23，则f(21005)的值等于________．
解析：设3x＝t，则x＝log3t，
∴f(t)＝2log3t·log23＝
＝2log2t，
∴f(21005)＝2log221005＝2010.
答案：2010
三、解答题
10．计算下列各式的值：
(1)lg25＋lg2＋lg＋lg(0.01)－1；
(2)(lg2)2＋lg2lg50＋lg25.
解：(1)原式＝lg5＋lg2＋＋2
＝lg10＋＋2＝.
(2)原式＝(1－lg5)2＋(1－lg5)(1＋lg5)＋2lg5
＝1－2lg5＋lg25＋1－lg25＋2lg5
＝1＋1
＝2.
11．已知log147＝a,14b＝5，用a，b表示log3528.
解：∵log147＝a,14b＝5，∴b＝log145.
∴log3528＝＝
＝
＝.
创新题型
12．已知a，b是关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根，若a，b满足lg(a＋b)＝lga＋lgb，试写出一组符合题意的p，q的值．
解：由已知得且Δ≥0，即p2－4q≥0，又因为lg(a＋b)＝lga＋lgb，即a＋b＝ab，且a>0，b>0，∴－p＝q>0，即满足即可，
如取p＝－4，q＝4；p＝－5，q＝5等均符合题意．基础达标
一、选择题
1．函数f(x)＝－x2＋5x－6的零点是
(　　)
A．－2,3　　　　　　　 B．2,3
C．2，－3 D．－2，－3
解析：令－x2＋5x－6＝0，得x1＝2，x2＝3.
答案：B
2．函数f(x)＝x2＋4x＋4在区间[－4，－1]上的零点情况是
(　　)
A．没有零点 B．有一个零点
C．有两个零点 D．有无数多个零点
解析：函数f(x)＝x2＋4x＋4＝(x＋2)2有唯一零点－2∈[－4，－1]．
答案：B
3．若已知f(a)<0，f(b)>0，则下列说法中正确的是
(　　)
A．f(x)在(a，b)上必有且只有一个零点
B．f(x)在(a，b)上必有正奇数个零点
C．f(x)在(a，b)上必有正偶数个零点
D．f(x)在(a，b)上可能有正偶数个零点，也可能有正奇数个零点，还可能无零点
解析：若f(x)的图象不连续则可能没有零点，若f(x)在该区间有零点则可能有正偶数个零点，也可能有正奇数个零点．故应选D.
答案：D
4．函数f(x)＝x－没有零点则a的取值范围是
(　　)
A．a<0 B．a≤0
C．a>0 D．a≥0
解析：f(x)＝x－＝其定义域为{x|x∈R且x≠0}故a≤0即可．
答案：B
5．(2010·福建高考)函数f(x)＝的零点个数为
(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由得x＝－3，
由得x＝e2，故有两个零点．
答案：C
6．若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围是
(　　)
A．a<－1 B．a>1
C．－1解析：令f(x)＝2ax2－x－1，∴f(x)＝0在(0,1)内恰有一解，∴f(0)·f(1)<0，即－1·(2a－2)<0，∴a>1.
答案：B
二、填空题
7．若函数f(x)＝ax－b有一个零点是3，那么函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是________．
解析：函数f(x)＝ax－b的零点是3，所以3a－b＝0，即b＝3a，于是函数g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx＝bx(x＋1)，令g(x)＝0，得x＝0，或x＝－1.
答案：0，－1
8．已知方程2x2＋(m＋1)x＋m＝0有一正根一负根，则实数m的取值范围是________．
解析：由韦达定理得即

m<0.
∴m的取值范围是(－∞，0)．
答案：(－∞，0)
9．(2009·山东卷)若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：由f(x)＝ax－x－a＝0，可得ax＝x＋a，
设y1＝ax，y2＝x＋a，由题意可知，两函数的图象有两个不同的交点，分两种情况：
①当0不合题意；
②当a>1时，如下图：
符合题意．
综述，a的取值范围为(1，＋∞)．
答案：(1，＋∞)
三、解答题
10．已知m∈R时，函数f(x)＝m(x2－1)＋x－a恒有零点，求a的范围．
解：∵f(x)＝mx2＋x－a－m，当m＝0时，
f(x)＝x－a，
a∈R时，f(x)有零点，当m≠0时，
Δ＝12－4m(－a－m)＝4m2＋4am＋1≥0，恒成立，
则有16a2－16≤0，∴－1≤a≤1.
11．若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝lnx＋2x－6，试判断函数f(x)的零点个数．
解法一：∵函数f(x)为奇函数，且x>0时，
f(x)＝lnx＋2x－6.
∴当x<0时，－x>0，
f(－x)＝ln(－x)－2x－6
即－f(x)＝ln(－x)－2x－6，
∴f(x)＝－ln(－x)＋2x＋6，
∴函数f(x)的解析式为：
f(x)＝.
易得函数f(x)有3个零点．
解法二：当x>0时，在同一坐标系中作出函数y＝lnx和y＝6－2x的图象，由图象的对称性以及奇函数性质可知，函数f(x)在R上有3个零点．
创新题型
12．试找出一个长度为1的区间，在这个区间上函数y＝至少有一个零点．
解：函数f(x)＝的定义域为(－∞，－)∪(－，＋ ∞)．取区间[，]．
∵f()＝＝－<0，
f()＝＝－>0，
∴在区间[，]内函数f(x)至少有一个零点．
∴[，]就是符合条件的一个区间．
(答案不唯一)必修1　综合测评
一、选择题
1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，则 UA＝
(　　)
A． 　　　　　　　　　B．{2,4,6}
C．{1,3,6,7} D．{1,3,5,7}
解析：由补集的定义可知 UA＝{1,3,6,7}，故选C.
答案：C
2．如图所示，用Venn图表示的阴影部分的集合是
(　　)
A． U(A∪B)
B．[ U(A∩B)]∩(A∪B)
C． U(A∩B)
D．[ U(A∩B)]∪(A∪B)
解析：由于阴影部分在集合A∩B之外，在集合A∪B之内，所以选择B项．
答案：B
3．函数y＝|x－2|的图象是
(　　)
解析：代入x＝0，可知C正确．
答案：C
4．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，下列给出的4个图形中能表示集合M到集合N的映射的是
(　　)
解析：由映射的定义知[0,2]上的每一个x都有唯一的[0,2]上的y和它对应．故选D.
答案：D
5．某人骑着自行车一路匀速行驶，只是在途中遇到了一次交通堵塞，耽搁了一些时间(约占行程的三分之一左右的时间)，下面哪个图象与这件事相吻合
(　　)
解析：因为匀速度在v－t图象中是平行于t轴的直线段，又根据题意知选D.
答案：D
6．函数y＝x(x2－1)的大致图象是
(　　)
解析：由函数y＝x(x2－1)知此函数为奇函数，其图象关于原点对称，排除C、D；又当0答案：A
7．已知幂函数y＝xn中的n取值分别为3，，－1，则它们对应的图象依次是
(　　)
A．C2，C1，C3
B．C1，C3，C2
C．C3，C2，C1
D．C1，C2，C3
解析：由y＝x3，y＝x＝，y＝x－1＝的图象可知应选A.
答案：A
8．函数y＝x－的值域是
(　　)
A．y∈R
B．(－∞，0)∪(0，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：易知y＝x－为奇函数．当x>0时，y＝x－为增函数，又由于x趋近于0时，y趋向－∞，x趋近于
＋∞时，y越向＋∞所以x>0时y∈R.同理x<0时y∈R.故函数值域为R.
答案：A
9．若偶函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，则
(　　)
A．f(－)B．f(2)C．f(2)D．f(－1)解析：∵f(x)在(－∞，－1]上为增函数且为偶函数，∴f(2)＝f(－2)答案：B
10．已知函数f(x)在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是奇函数，且当x>0时，函数f(x)的表达式为f(x)＝x2＋lnx，则当x<0时，函数f(x)的表达式是
(　　)
A．－x2－ln(－x) B．x2－ln(－x)
C．x2＋ln(－x) D．－x2＋ln(－x)
解析：当x<0时，则－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋ln(－x)＝x2＋ln(－x)，又f(－x)＝－f(x)(x≠0)，所以－f(x)＝x2＋ln(－x)，即f(x)＝－x2－ln(－x)．故选A.
答案：A
11．若x＝1是函数f(x)＝＋b(a≠0)的一个零点，则函数h(x)＝ax2＋bx的零点是
(　　)
A．0或－1 B．0或－2
C．0或1 D．0或2
解析：因为1是函数f(x)＝＋b(a≠0)的零点，所以a＋b＝0，即a＝－b≠0，所以h(x)＝－bx(x－1)，令h(x)＝0，解得x＝0或x＝1.
答案：C
12．函数f(x)＝3x－log2(－x)的零点所在的区间是
(　　)
A．(－，－2) B．(－2，－1)
C．(1,2) D．(2，)
解析：令f(x)＝0，得3x＝log2(－x)，在同一坐标系中画出y＝3x和y＝log2(－x)的图象，可得其零点所在的区间．故选B.
答案：B
二、填空题
13．化简式子－lg12的结果是________．
解析：原式＝|1－lg12|－lg12＝lg12－1－lg12＝－1.
答案：－1
14．函数f(x)＝＋lg(x＋1)的定义域是________．
解析：由题意有，解得，
即x∈(－1,1]．
答案：(－1,1]
15．已知函数f(x)＝是奇函数，则a＝________.
解析：∵f(－x)＋f(x)＝＋＝＝0，∴a＝0.
答案：0
16．给出下列命题：①函数y＝ax(a>0，且a≠1)与函数y＝logaax(a>0，且a≠1)的定义域相同；②函数y＝x3与y＝3x的值域相同；③函数y＝＋与y＝均是奇函数；④函数y＝(x－1)2与y＝2x－1在(0，＋∞)上都是增函数．其中正确命题的序号是________．
解析：①中定义域都是R；②中y＝x3∈R，y＝3x>0，故②不正确；③中y＝＋的定义域不关于原点对称，故不是奇函数，所以③不正确；④易知y＝(x－1)2在(0，＋∞)上不是单调递增函数，故④不正确，所以仅①正确．
答案：①
三、解答题
17．设全集U＝R，A＝{x|x<－3或x>2}，B＝{x|－1(1) U(A∩B)；
(2)( UA)∪( UB)；
(3)A∪B.
解：(1)∵A∩B＝{x|x<－3或x>2}∩{x|－1∴ U(A∩B)＝{x|x≤2或x≥3}．
(2)( UA)∪( UB)＝{x|－3≤x≤2}∪{x|x≤－1或x≥3}＝{x|x≤2或x≥3}．
(3)A∪B＝{x|x<－3或x>2}∪{x|－1－1}．
18．若函数y＝x2＋(a＋2)x－3，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，求a、b的值和此函数的零点．
解：由已知得＝1，且x1＋x2＝－(a＋2)＝2(其中x1，x2是y＝0时的两根)，解得a＝－4，b＝6.
所以函数的解析式为y＝x2－2x－3.令x2－2x－3＝0，得x＝－1或x＝3.故此函数的零点为－1或3.
19．一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图．
(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际意义；
(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s和时间t的函数关系式．
解：(1)阴影部分的面积为50×1＋80×1＋90×1＝220.阴影部分的面积表示汽车在3小时内行驶的路程为220 km.
(2)根据图示，有
s＝.
20．已知函数f(x)＝.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)确定函数f(x)在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论．
解：(1)∵f(x)的定义域是R，对任意x∈R，都有f(－x)＝＝＝f(x)，
∴函数f(x)是偶函数．
(2)函数f(x)在(－∞，0)上是增函数，证明如下：
设任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝－＝，
∵x10,1－x2>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)故函数f(x)在(－∞，0)上是增函数．
21．设f(x)为定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x；当x>2时，y＝f(x)的图象是顶点在P(3,4)，且过点A(2,2)的二次函数图象的一部分．
(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；
(2)在直角坐标系中直接画出函数f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域．
解：(1)由条件可得当x>2时，函数解析式可以设为f(x)＝a(x－3)2＋4，
又因为函数f(x)过点A(2,2)，代入上述解析式可得
2＝a(2－3)2＋4，解得a＝－2.
故当x>2时，f(x)＝－2(x－3)2＋4.
当x<－2时，－x>2，又因为函数f(x)为R上的偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝－2(x＋3)2＋4.
所以当x∈(－∞，－2)时，
函数的解析式为f(x)＝－2(x＋3)2＋4.
(2)根据偶函数的图象关于y轴对称，故只需先作出函数f(x)在[0，＋∞)上的图象，然后再作出它关于y轴的对称图象即可．
又因为f(x)＝
所以函数f(x)的图象如图所示．
(3)根据函数的图象可得函数f(x)的值域为(－∞，4]．
22．设函数f(x)＝x·(＋)(a>1)．
(1)求函数的定义域A；
(2)判断函数的奇偶性，并给予证明；
(3)证明：对于定义域A中的任意的x，f(x)>0恒成立．
解：(1)∵ax－1≠0，∴x≠0，即定义域A＝{x∈R|x≠0}．
(2)函数f(x)是偶函数，证明如下：
∵f(x)＝x·(x≠0)，
当x≠0时，f(－x)＝(－x)·
＝(－x)·＝x·，
∴f(－x)＝f(x)(x≠0)．
∴函数f(x)是偶函数．
(3)证明：当x>0时，
∵a>1，∴ax－1>0，
∴f(x)＝x·>0.
当x<0时，则－x>0，
∴f(x)＝f(－x)>0.
所以对于任意的x∈A，都有f(x)>0.(共45张PPT)
第2课时　分段函数及映射
目 标 要 求 热 点 提 示
1.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．
2．了解映射的概念. 　　分段函数求值是本课时的一个重点考查内容，通过分段函数的学习体会分类讨论的思想.
列举初中已经学过的一些对应，或日常生活中的一些对应案例：
(1)对于任何一个实数，数轴上都有唯一的点P和它对应；
(2)对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对和它对应；
(3)对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；
(4)某影院的某场电影的每一张电影票都有唯一确定的座位与它对应．
你还能说出一些对应的例子吗？
1．在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的　　　　　，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数的定义域是各段定义域的　　　，其值域是各段值域的　　　．
2．设A、B是非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的　　　　一个元素x，在集合B中都有　　　　　的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．
对应关系
并集
并集
任意
唯一确定
3．映射是　　　的推广，函数是一种特殊的映射，即函数是数集到数集的映射．
函数
2．已知集合A＝{a，b}，B＝{0,1}，则下列对应不是从A到B的映射的是 (　　)
解析：A、B、D均满足映射定义，C不满足集合A中任一元素在集合B中有唯一元素与之对应，且集合A中元素b在集合B中无唯一元素与之对应．
答案：C
3．函数y＝|x－1|，x∈[－1,4]，则此函数的值域为________．
解析：函数y＝|x－1|，x∈[－1,4]上的图象如下图所示，故y∈[0,3]．
答案：[0,3]
4．在映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，且f：(x，y)→(x－y，x＋y)，则与A中的元素(－1,2)对应的B中的元素为________．
解析：由题意知，与A中元素(－1,2)对应的B中元素为(－1－2，－1＋2)，
即(－3,1)．
答案：(－3,1)
思路分析：求分段函数的函数值时，应先判断自变量所在的范围，从而代入相应的解析式，对于多层求值，应由内向外求解．
温馨提示：(1)分段函数题求解时，一定要注意自变量的取值范围，从而确定相应的解析式．
(2)分类讨论时，各种条件下的解集一定要与各自的条件取交集，最后所有的解集取并集就是最终的解集．
类型二　分段函数的图象与值域
【例2】　作出函数y＝2|x－1|－3|x|的图象，并求其值域．
思路分析：本题为绝对值函数，应先由零点分段讨论法去掉绝对值符号，再画出分段函数的图象，然后解之．
温馨提示：本例利用图象法求函数值域，其关键是准确作出分段函数的图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图象时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．
思路分析：由题目可获取以下主要信息：
①判断对应是否为映射；②用解析式给出了三个对应关系．
解答本题可先由映射定义出发，观察A中任何一个元素在B中是否都有唯一元素与之对应．
温馨提示：要判断对应f：A→B是否是A到B的是映射，必须做到两点：①明确集合A、B中的元素；②根据映射定义判断A中每个元素是否在B中能找到唯一确定的对应元素．
类型四　分段函数在生活中的应用
【例4】　电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元．超过3分钟，以后每增加1分钟收费0.2元，不足1分钟以1分钟计费，求通话收费x元与通话时间t(分钟)的函数解析式，并画出其图象．
思路分析：通话前3分钟的收费和以后每隔1分钟的收费都是不同值，并且不足1分钟以1分钟计费，因此，通话收费x元与通话时间t(分钟)的函数解析式用分段函数表示．
(2)函数f(x)的图象如下图所示，
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
1．分段函数
有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数．
理解分段函数应注意以下几点：
(1)分段函数是生产生活中的重要函数模型，应用非常广泛；
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．分段函数是一个函数，不是两个或多个函数，其本质是在定义域的不同区间，对应关系不同．
(3)分段函数的每一段或者说区间，可以是等长的，也可以是不等长的．
(4)画分段函数的图象时，要特别注意自变量取区间端点处的函数值情况，这也往往是判断图形是否为分段函数的图象的关键所在．
2．映射
首先，要准确理解映射的概念：映射的概念可以概括为“取元任意性，成象唯一性”，即：
①A中元素不可剩，B中元素可剩；
②多对一行，一对多不行；
③映射具有方向性：f：A→B与f：B→A一般是不同的映射．
其次，要准确把握映射与函数的关系：
(1)联系：映射的概念是在函数的现代定义(集合语言定义)基础上引申、拓展的；函数是一个特殊的映射，反过来，要善于用映射的语言来叙述函数的问题．
(2)区别：函数是非空数集A到非空数集B的映射；而对于映射而言，A和B不一定是数集．
高斯函数
高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家．高斯是近代数学的奠基者之一，在历史上影响很大，有“数学王子”之称．
他幼年时就表现出超人的数学天才.1795年进入格丁根大学学习．第二年他就发现正十七边形的尺规作图法，并给出可用尺规作出的正多边形的条件，解决了欧几里得以来悬而未决的问题．
高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献．
公元1800年，高斯在研究圆内整点问题时，引进了一个函数y＝[x]，后人称之为高斯函数．
[x]是表示数x的整数部分，如[π]＝3，[－4.75]＝－5，[1988]＝1988.
1．高斯函数的定义
设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数(如[0.6]＝0，[π]＝3，[－π]＝－4等)，则y＝[x]称为高斯函数，也叫取整函数．
任意一个实数都能写成整数部分与非负纯小数部分之和，即x＝[x]＋α(0≤α<1)，所以有[x]≤x<[x]＋1，这里[x]是x的整数部分．
2．高斯函数的图象和性质
(1)高斯函数y＝[x]的定义域是R，值域是Z，图象是无数平行的线段，像台阶般，不连续．
(2)高斯函数y＝[x]是一个分段表达的不减的无界函数，即当x1≤x2时，有[x1]≤[x2]．
(3)对于任意整数n，有[n＋x]＝n＋[x]．(共26张PPT)
本章小结　　　　　　　　　　
一、函数的零点与方程根的关系
确定函数零点的个数有两个基本方法，一是利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数定性判断．二是判断区间(a，b)上是否有零点，可应用f(a)·f(b)<0判断，但还需结合函数的图象和单调性，特别是二重根容易漏掉．
【例1】　求函数f(x)＝ex＋4x－4的零点的个数．
思路分析：可以利用计算机画出f(x)的图象，利用图象的直观性直接判断；也可以利用函数的单调性及区间(a，b)内存在零点的条件进行判断；或令f(x)＝0，即有ex＝4(1－x)，然后在同一直角坐标系中作出y＝ex，y＝4－4x的图象，观察两图象交点的个数．
解法一：利用计算机画出函数f(x)＝ex＋4x－4的图象，如下图所示，可知函数有一个零点，且零点在(0,1)之间．
解法二：∵函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)＝－3<0，f(1)＝e＋4×1－4＝e>0，
∴f(0)f(1)<0，又函数f(x)在R上是增函数，
∴函数f(x)在(0,1)之间有且只有一个零点．
解法三：根据函数零点与方程实根之间的关系，令f(x)＝0，即有ex＝4－4x.
在同一直角坐标系中分别作出y＝ex，y＝4－4x的图象，如右图所示，由右图易知，两函数图象仅有一个公共点，故方程ex＝4－4x有唯一实根，从而函数f(x)＝ex＋4x－4有唯一的零点．
温馨提示：对于一般函数零点个数的判断问题，不仅要用零点存在定理来判断区间[a，b]上是否有f(a)·f(b)<0，还需结合函数的单调性情况，其步骤是：
(1)用计算器或计算机列出x、f(x)的对应值表；
(2)用描点法作出函数的图象；
(3)取区间[a，b]，判断f(a)·f(b)<0是否成立；
(4)判断函数f(x)的单调性；
(5)结合单调性确定函数零点的个数．
【例2】　若关于x的方程x2＋(m－1)x＋1＝0在[0,2]内有解，求m的取值范围．
思路分析：构造函数，利用对称轴、判别式、端点函数值建立不等式组．
解法二：由Δ≥0 m≥3或m≤－1.
若m≥3，则x1＋x2<0，x1·x2＝1，
故方程有两个负根，不合题意；
若m≤－1，则x1＋x2>0，x1·x2＝1，
∴方程有两个正根，且互为倒数．
∴方程在[0,1]内必有一个根，
∴方程在[0,2]内必有一个根 m≤－1.
二、函数模型及应用
把握函数模型的分类，熟练掌握不同类型应用题的解题步骤，比较例题的类型．通过体会实例来掌握各类应用题的解法．函数模型的应用实例主要包含三个方面：1.利用给定的函数模型解决实际问题；2.建立确定性函数模型解决问题；3.建立拟合函数模型解决实际问题．
【例3】　如图所示是某厂老板和工会主席所画的股东红利和工资增长的函数图，通过以下两图能说出老板和工会主席各持什么观点吗？
年份 2006 2007 2008
股东红利(万元) 5 7.5 10
工资总额(万元) 10 12.5 15
思路分析：老板所画的两条线平行，说明其增长幅度相同，工会主席所画的两条线起点重合，说明随后的增长率有差异．
解：老板和工会主席都选择一次函数来描述此问题，直线的倾斜程度就反映出了增长的快慢，老板从工资额增长的角度说明工资总额和股东红利在数量上同步增长，工会主席从增长率的角度说明股东红利提高的速度比工资总额提高的速度要快．
【例4】　某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加1辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
(2)每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月利益是多少？
思路分析：(1)先求出未租出的车辆数．
(2)收益＝租车总收入－已租车辆维护费－未租车辆维护费．
【例5】　某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系：
x … 30 40 45 50 …
y … 60 30 15 0 …
(1)在所给坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
思路分析：依据表中的数据作为点的坐标画出散点图．再确定模拟函数来解决．
解：(1)根据上表作图，如下图中点(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)，它们近似在同一条直线上，设它们共线于直线l∶y＝kx＋b.
(2)依题意有P＝y(x－30)＝(－3x＋150)(x－30)
＝－3(x－40)2＋300.
∴当x＝40时，P有最大值300.
故当销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．(共38张PPT)
2．1.2　指数函数及其性质
第1课时　
指数函数的概念、图象与性质
目 标 要 求 热 点 提 示
1.理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出指数函数图象．
2．初步掌握指数函数的有关性质. 1.掌握指数函数的概念．
2．以指数函数为载体考查其性质.
有一位大学毕业生到一家私营企业工作，试用期过后，老板对这位大学生很赞赏，有意留下他，就让这位大学生提出待遇方面的要求，这位学生提出了两种方案让老板选择，其一：工作一年，月薪五千元；其二：工作一年，第一个月的工资为20元，以后每个月的工资是上月工资的2倍，那么这位老板选择了哪一种方案呢？
此时老板不加思索就选了第二种方案，于是他们之间就定了一个劳动待遇合同，一年之后这位老板才发现自己选择了错误的方案，这是为什么呢？如果让老板重新签订合同，那你认为他会选择哪种方案呢？学习本节内容后，你就能回答这个问题了．
指数函数
(1)定义：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 ．
(－∞，＋∞)
(2)图象和性质：如下表所示：
a>1 0图象
性质 定义域：
值域：
过定点 ，即当x＝0时，y＝1
增区间： 减区间：
非奇非偶函数
(－∞，＋∞)
(0，＋∞)
(0,1)
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
1．下列一定是指数函数的是 (　　)
A．形如y＝ax的函数　　B．y＝xa(a>0，且a≠1)
C．y＝(|a|＋2)x D．y＝(a－2)ax
解析：∵y＝(|a|＋2)x符合指数函数的定义，
∴y＝(|a|＋2)x是指数函数．
答案：C
2．指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图，则 (　　)
A．a<0，b<0 B．a<0，b>0
C．01 D．0解析：结合指数函数的图象知b>1,0答案：C
3．方程4x＋1－4＝0的解是x＝________.
解析：4x＋1－4＝0 4x＋1＝4 x＋1＝1，∴x＝0.
答案：0
4．函数y＝(a－1)x在R上为减函数，则a的取值范围是________．
解析：∵y＝(a－1)x在R上递减，∴0答案：(1,2)
5．已知指数函数f(x)的图象过点(3,8)，求f(6)的值．
解：设f(x)＝ax，则a3＝8，∴a＝2，∴f(x)＝2x，∴f(6)＝26＝64.
类型一　指数函数的概念问题
【例1】　函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则a的值为________．
温馨提示：判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构，否则就不是指数函数．
类型二　指数函数的图象问题
【例2】　如下图所示是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是
(　　)
A．aB．bC．1D．a解法一：在①②中底数小于1且大于零，在y轴右边，底数越小，图象越靠近x轴，故有b解法二：作出直线x＝1，设与①②③④的图象分别交于点A、B、C、D，则其坐标依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，由图象观察可得c>d>1>a>b，故选B.
温馨提示：据上题现象总结规律如下：
当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y轴，当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向下越靠近x轴，简称，x>0时，底大图象高．
【例3】　画出函数y＝2|x＋1|的图象．
思路分析：通过分类讨论可去掉绝对值符号，变为分段函数，进而作出图象．另外，也可把函数y＝2|x＋1|看作由y＝2|x|左移一个单位得到，而y＝2|x|的图象，可由y＝2x的图象经对称变换得到．
解法二：先作出y＝2x(x≥0)的图象，再关于y轴对称即得y＝2|x|的图象，再将y＝2|x|的图象左移一个单位即可得到y＝2|x＋1|的图象，如图所示．
温馨提示：函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象与y＝a－x(a>0且a≠1)的图象关于y轴对称，y＝ax(a>0且a≠1)的图象与y＝－ax(a>0且a≠1)的图象关于x轴对称，函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象与y＝－a－x(a>0且a≠1)的图象关于坐标原点对称．
思路分析：由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域是R，所以函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)与函数f(x)的定义域相同，在定义域内可利用指数函数的单调性来求值域．
温馨提示：求与指数函数有关的函数的值域时，要注意考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性．
　下列式子一定是指数函数的是 (　　)
A．形如y＝ax的函数　 B．y＝22x＋1
C．y＝(|m|＋2)－x D．y＝x2
　函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)恒过定点________．
解析：原函数可变形为y－3＝ax－3(a>0，且a≠1)，将y－3看做x－3的指数函数，
∵x－3＝0时，y－3＝1，即x＝3，y＝4.
∴y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)恒过定点(3,4)．
答案：(3,4)
1．准确理解指数函数的定义
在指数函数的定义表达式y＝ax(a>0，且a≠1)中，ax前的系数必须是1，自变量x在指数的位置上，否则不是指数函数．
2．在同一坐标系中，几个指数函数图象的相对位置与底数的关系
在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，这一性质可通过x取1时，函数值的大小去理解．如右图所示，a、b、c分别对应函数y＝ax，y＝bx，y＝cx当x取1时的函数值，∵a>b>c，∴在y轴右侧图象从上到下对应y＝ax，y＝bx，y＝cx，这就验证了上述性质．
3．图象变换
(1)y＝f(x＋a)的图象可由y＝f(x)的图象平移得到：a>0时，左移a个单位，a<0时，右移|a|个单位，y＝ax＋k(k≠0，a>0且a≠1)的图象是由函数y＝ax的图象经过向左(k>0)、向右(k<0)平移产生的．
(2)y＝f(x)＋a的图象可由y＝f(x)的图象平移得到：a>0时，上移a个单位，a<0时，下移|a|个单位，如y＝ax＋k(a>0，a≠1且k≠0)的图象是由y＝ax的图象经过向上(k>0)、向下(k<0)平移产生的．
(3)y＝a－x与y＝ax(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．基础达标
一、选择题
1．函数y＝5＋log2x(x≥1)的值域为
(　　)
A．(5，＋∞)　　　　　　　　B．(－∞，5)
C．[5，＋∞) D．[6，＋∞)
解析：∵2>1，∴当x≥1时，log2x≥0，则y≥5.
答案：C
2．函数y＝log2(－3)的定义域为
(　　)
A．(－∞，3) B．(－∞，)
C．(0，) D．(0,3)
答案：C
(　　)
A．(－∞，1) B．(2，＋∞)
C．(－∞，) D．(，＋∞)
答案：A
4．若函数f(x)＝loga(x＋1)(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a等于
(　　)
A. B.
C. D．2
解析：∵0≤x≤1，∴1≤x＋1≤2.当a>1时，loga1＝0，loga2＝1，∴a＝2；当0答案：D
5．已知y＝loga(2－ax)在区间[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是
(　　)
A．(0,1) B．(0,2)
C．(1,2) D．[2，＋∞]
解析：y＝logau　u＝2－ax　∵a>0∴u＝2－ax在[0,1]上是减函数且恒正　∴∴1答案：C
6．设0(　　)
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，loga3) D．(loga3，＋∞)
解析：loga(a2x－2ax－2)<0，∴a2x－2ax－2>1，∴ax>3或ax<－1(舍)，∴x答案：C
二、填空题
答案：3
8．函数f(x)＝logax在区间[3,5]上的最大值比最小值大1，则a＝________.
解析：当01时，有loga5－loga3＝1，解得a＝.
答案：或
9．函数y＝x1－lgx(1≤x≤100)的最大值为________．
解析：由y＝x1－lgx，得lgy＝lgx1－lgx＝lgx－lg2x，而1≤x≤100，∴t＝lgx∈[0,2]．∴当t＝∈[0,2]，lgy有最大值.而z＝lgy在(0，＋∞)上递增，故y的最大值为
答案：
三、解答题

即
∴2原不等式的解集为{x|211．若logm3.5>logn3.5，比较m、n的大小．
解：①当m>1，n>1时，由对数函数性质知，n>m>1；
②当m>1,00，logn3.5<0，
所以0③当0综上，1创新题型
12．已知函数f(x)＝loga(a>0，a≠1)在定义域(－∞，－1)∪(1，＋∞)上是奇函数．
(1)求m的值；
(2)判断f(x)在区间(1，＋∞)上的单调性，并加以证明．
解：(1)∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＋f(x)＝0在定义域内恒成立，
即loga＋loga
＝loga＝0在定义域内恒成立．
∴1－m2x2＝1－x2对任意x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)恒成立．
∴m2＝1，m＝±1.
当m＝－1时，f(x)＝loga无意义，舍去，
∴m＝1.
(2)(用定义证明略)
当a>1时，f(x)在(1，＋∞)上是减函数．
当0本章概览
一、内容概述
本章主要内容包括函数的零点，求函数零点的近似解的一种方法——二分法，函数模型及其应用．
具体内容和要求如下：
1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．
3．了解指数函数、对数函数以及幂函数间的增长特征；知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．
4．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
二、地位作用
函数的应用是学习函数的一个重要的方面．学习函数的应用，目的就是利用已有的函数知识分析问题和解决问题．通过函数的应用，对完善函数的思想，激发应用数学的意识，培养分析问题、解决问题的能力，增强实践的能力等，都有很大的帮助．函数内容在数学各分支中都有广泛的应用，近几年高考中逐渐增加了对有关函数内容的考查，加强了与方程(函数的零点)、不等式等相关知识的联系．
三、学法指导
教材以二次函数为例引出了函数零点的概念，讨论了二次函数零点个数的判定方法，给出了函数零点的性质．用二分法求函数的符号是零点性质的应用．
教材有目的、有意识地将算法思想渗透到高中数学的有关内容中，需要不断加深对算法思想的理解，体会算法思想在解决问题和培养理性思维中的意义和作用．二分法正是这一思想的体现．
通过本章的学习，学会用二分法求方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系．通过一些实例，感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的应用，认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，并能初步运用函数思想解决现实生活中的一些简单问题．
“数学建模”是数学学习的一种新的方式，提供了自主学习的空间，有助于体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学习数学的兴趣，培养创新精神和实践能力.
3．1.1　方程的根与函数的零点
目 标 要 求 热 点 提 示
1.结合二次函数的图象，理解函数的零点概念，领会函数零点与相应方程根的关系．
2．掌握判定函数零点存在的条件，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数. 　　本节重点学习函数的零点的概念以及零点存在的判定方法．这些内容比较抽象，学习的关键是把它具体化、形象化，也就是在熟练掌握二次函数的有关知识的基础上，结合二次函数图象，由特殊到一般逐渐理解零点的概念，并会判断零点的存在.
有这样一个有趣的故事：小虫在树枝上作了一个窝，快乐地生活着．一天，一只啄木鸟找食吃，它闻到一股小虫的味道，就知道这个树枝上有“美食”，但就是不确定在什么位置，于是这只啄木鸟首先在树枝的中间位置啄了一个洞，没有发现小虫，但是树枝左边小虫的气味比右边的要浓一些，于是啄木鸟开始向左边搜寻．
啄木鸟又在左半段树枝的中央啄了一个洞，还是没有发现小虫的踪迹，但是这次，树枝右边小虫的气味比左边的要浓一些，于是啄木鸟开始向右边搜寻．就这样，啄木鸟经过若干次的“搜寻”，终于找到了小虫子，饱餐一顿．你觉得这只啄木鸟聪明吗？在这背后，会不会蕴含着一些神秘的东西呢？
1．函数的零点
对于函数y＝f(x)，把 叫做函数y＝f(x)的零点．
2．方程、函数、图象之间的关系
方程f(x)＝0 函数y＝f(x)的图象
函数y＝f(x) ．
使f(x)＝0的实数x
有实数根
与x轴有交点
有零点
3．函数零点的判定
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是 的一条曲线，并且有 ，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内 ，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
连续不断
f(a)·f(b)<0
有零点
f(c)＝0
1．函数y＝x－1的零点是 (　　)
A．(1,0)　　　　　　　 B．(0,1)
C．0 D．1
解析：令y＝0，即x－1＝0，∴x＝1，即为函数y＝x－1的零点．
答案：D
2．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是
(　　)
A．a<1 B．a>1
C．a≤1 D．a≥1
解析：由题意知，Δ＝4－4a<0，∴a>1.
答案：B
3．已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于 (　　)
A．0 B．1
C．－1 D．不能确定
解析：奇函数图象关于原点对称，若有三个零点，则三个零点之和为0.
答案：A
4．函数f(x)＝x2－3x－4的零点是________．
解析：令f(x)＝0，即x2－3x－4＝0，解得x1＝4，x2＝－1，即为函数的零点．
答案：4，－1
5．函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx2－ax－1的零点．
类型一　函数零点的概念
【例1】　讨论函数y＝(ax－1)(x－2)(a∈R)的零点．
思路分析：函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根．可转化为讨论方程(ax－1)(x－2)＝0的根的情况．
温馨提示：正确理解函数的零点与对应方程的根的关系，要结合本题中实数a的取值情况进行分类讨论．
思路分析：从已知的区间(a，b)中，求f(a)和f(b)，判断是否有f(a)·f(b)<0.
温馨提示：这是最基本的题型，所用的方法也是基本方法：只要判断区间[a，b]的端点值的乘积是否有f(a)·f(b)<0，并且看函数f(x)的图象在[a，b]上是否是连续曲线即可．
类型三　已知函数的零点求参数
【例3】　(1)函数f(x)＝x2＋2(m＋3)x＋2m＋14有两个零点，且一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围；
(2)关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根且一根大于4，一根小于4，求实数m的取值范围．
思路分析：利用根与系数的关系或利用函数图象、数形结合求解．
温馨提示：一元二次方程根的分布问题比较复杂，一般需研究根的判别式，对应函数图象的对称轴、端点函数值等，运算量比较大，但若从函数有零点的条件出发来分析，可使问题大大简化．
　 求下列函数的零点：
(1)f(x)＝－x2－2x＋3；
(2)f(x)＝x4－1.
解：(1)由于f(x)＝－x2－2x＋3
＝－(x＋3)(x－1)，
∴方程－x2－2x＋3＝0的两根是－3、1.
故函数的零点是－3,1.
(2)由于f(x)＝x4－1
＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)，
∴方程x4－1＝0的实数根是－1,1.
故函数的零点是－1,1.
　 (1)若方程2ax2－1＝0在(0,1)内恰有一解，则实数a的取值范围是________．
(2)已知函数f(x)＝3mx－4，若在[－2,0]上存在x0，使f(x0)＝0，则实数m的取值范围是________．
1．函数零点的求法：
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；
(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
2．图象连续的函数的零点的性质：
(1)函数的图象是连续的，当它通过零点时(非偶次零点)，函数值变号．
推论：如果函数在区间[a，b]上的图象是连续的，且f(a)·f(b)<0，那么函数f(x)在区间[a，b]上至少有一个零点．
(2)相邻两个零点之间的函数值保持同号．
3．闭区间[a，b]上的连续函数满足f(a)f(b)<0时，在(a，b)上有零点，但有零点时未必满足f(a)f(b)<0.
4．有关零点的存在性及零点个数的题，作图判断较好．
　　　　　　　　　　　　　　(共45张PPT)
3．2.1　几类不同增长的函数模型
目 标 要 求 热 点 提 示
1.利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长的差异．
2．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义. 　　学习本节内容时，应充分利用计算器或计算机等工具作出一些特殊的指数函数、对数函数的图象，利用图象的形象直观得到这几类函数图象的增长规律，进而归纳总结出一般规律．熟练掌握这一规律后，还应注意灵活地运用它在实际问题中建立函数模型.
如果你是一个公司的老板，为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，开始按销售利润进行奖励，且奖金y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加．但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x；y＝log7x＋1；y＝1.002x.
为了既能维护公司的利润，又能起到对销售人员的激励作用，你会选择哪种奖励模型呢？
1．三种函数模型的性质
2.三种函数的增长速度比较
(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是 ，但 不同，且不在同一个“档次”上．
(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增长，y＝ax(a>1)增长速度 ，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会 ．
(3)存在一个x0，使得当x>x0时，有 .
增函数
增长速度
越来越快
越来越慢
logax1．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如下图，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是 (　　)
A．310元　　　　　　　 B．300元
C．290元 D．280元
2．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示的图象如下图，给出下面说法．
①前5分钟温度增加的速度越来越快
②前5分钟温度增加的速度越来越慢
③5分钟后温度保持匀速增加
④5分钟后温度保持不变
其中正确的说法是 (　　)
A．①④ B．②④
C．②③ D．①③
解析：由图象分析单位时间内y的变化量可知，选B.
答案：B
3．四个变量y1、y2、y3、y4随变量x变化的数据如下：
关于x呈指数型函数变化的变量是________．
解析：由“指数增长”成倍增加的特点，应是y2.
答案：y2
x 0 5 10 15 20 25 30
y1 5 130 505 1130 2005 3310 4505
y2 5 94.478 1758.2 33733 6.37×105 1.2×107 2.28×108
y3 5 30 55 80 105 130 155
y4 5 2.3107 1.4295 1.1407 1.0461 1.0151 1.005
4．某种产品每件80元，每天售出30件，如果每个定价120元，则每天售出20件．如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数的解析式是________．
5．下面给出几种函数随x取值而得到的函数值列表：
问(1)各函数随着x的增大，函数值有什么共同的变化趋势？
(2)各函数增长的快慢有什么不同？
解：(1)随着x的增长，各函数的函数值都增大．
(2)y＝2x开始增长的速度较慢，但随着x的增大，y增长速度越来越快；y＝x2增长速度平衡；y＝log2x开始增长速度稍快，但随x增大，y增长速度越来越慢．
类型一　线性函数模型应用题
【例1】　为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”和“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y1(元)、y2(元)的关系分别如图(1)、图(2)所示．
(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；
(2)请帮助用户计算：在一个月(30天)内使用哪种卡便宜？
思路分析：由题目可知函数模型为直线型，可先用待定系数法求出解析式，然后再进行函数值大小的比较．
温馨提示：函数的图象是表示函数的三种方法之一，正确识图、用图、译图是解决函数应用题的基本技能和要求．本题由于过原点的直线是正比例函数图象，因此运用了待定系数法求得一次函数解析式，然后利用函数解析式解决了实际问题．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．
类型二　二次函数模型应用题
【例2】　养鱼场中鱼群的最大养殖量为m t，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y t和实际养殖量x t与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
(2)求鱼群年增长量的最大值；
(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．
思路分析：由题意写出函数关系式，利用配方法求得最大值，列不等式求k的范围．
温馨提示：这是一道二次函数的应用题，同时考查了正比例函数(一次函数)．本题中“最大养殖量”、“空闲量”、“空闲率”这些临时定义，使本题理解难度加大，因此，要通过多遍审题和分析关系理解好这些词汇，再找未知量之间的关系．
类型三　指数函数、对数函数模型应用题
【例3】　1999年1月6日，我国的第13亿个小公民在北京诞生，若今后能将人口年平均递增率控制在1%，经过x年后，我国人口数字为y(亿)．
(1)求y与x的函数关系y＝f(x)；
(2)求函数y＝f(x)的定义域；
(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出在这里函数的增减有什么实际意义．
思路分析：递增率问题广泛存在于生产和生活中，研究并解决这类问题是中等数学的重要应用方向之一．这类问题解决的关键是理解“递增率”的意义：递增率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长率，切记并不总是只和开始单位时间内的值比较．具体分析问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再推广概括为数学问题后求解．
解：(1)1999年人口数：13亿．
经过1年，2000年人口数：13＋13×1%＝13(1＋1%)(亿)．
经过2年，2001年人口数：13(1＋1%)＋13(1＋1%)×1%＝13(1＋1%)(1＋1%)＝13(1＋1%)2(亿)．
经过3年，2002年人口数：13(1＋1%)2＋13(1＋1%)2×1%
＝13(1＋1%)3(亿)．
∴经过年数与(1＋1%)的指数相同，
∴经过x年人口数：13(1＋1%)x(亿)．
∴y＝f(x)＝13(1＋1%)x.
(2)理论上指数函数定义域为R.
∵此问题以年作为单位时间，∴N*是此函数的定义域．
(3)y＝f(x)＝13(1＋1%)x是指数函数，
∵1＋1%>1,13>0，
∴y＝f(x)＝13(1＋1%)x是增函数，
即只要递增率为正数时，随着时间的推移，人口的总数总在增长．
温馨提示：在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，可以用下面的公式y＝N(1＋p)x表示，解决平均增长率的问题，要用到这个函数式．
温馨提示：由本例归纳到一般有：当a>1且n>0时，在区间(0，＋∞)上，总存在一个数x0，当x>x0时，logax0时，总存在一个数x0，当x>x0时，logax　某校餐厅计划购买12张餐桌和一批餐椅，现从甲、乙两商场了解到：同一类型餐桌报价每张200元，餐椅报价每把50元．甲商场称：每购买一张餐桌赠送一把餐椅；乙商场规定：所有餐桌椅均按报价的8.5折销售．那么，什么情况下到甲商场购买更优惠？
　四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如
下表：
关于变量x最有可能呈指数型函数变化的变量是________．(仅有一个变量)
x 1 5 9 13
y1 5 25 45 65
y2 1 6125 59049 371293
y3 0 1 1.37 1.59
y4 5 6125 1953125 1220703125
解析：以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从1开始变化，其中变量y4的增长速度最快，则y4关于x呈指数型函数变化．
答案：y4
常用的函数模型有以下几类：
1．线性函数模型(也称直线型)：①线性增长模型：y＝kx＋b(k>0)；②线性减少模型：y＝kx＋b(k<0)．
2．二次函数模型：当研究问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)．
6．分段函数模型：是一种比较复杂的函数模型，前面提到的几种模型，还是单一的函数变化模型，而分段函数模型可以用来描述在不同区间上有不同变化规律的实际问题，或者将定义域上变化复杂的函数分成几段区间来研究，在每一段区间上函数的变化是有规律的，根据函数的具体变化再选择相应的函数模型．基础达标
一、选择题
1．拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)＝1.06×(0.50×[m]＋1)，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整数(如[3]＝3，[3.7]＝4，[5.1]＝6)，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为
(　　)
A．3.71元　　　　　　　 B．3.97元
C．4.24元 D．4.77元
解析：由题意知[5.5]＝6，
∴f(5.5)＝1.06×(0.50×[5.5]＋1)
＝1.06×(0.50×6＋1)＝4.24.
答案：C
2．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y万公顷关于年数x的函数关系较为近似的是
(　　)
A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x)
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
解析：当x＝1时，否定B；当x＝2时，否定D；当x＝3时，否定A.故选C.
答案：C
3．高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如右图所示，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是
(　　)
解析：由题知v＝f(h)是关于h的一个增函数，所以排除A、C，又由鱼缸形状知v＝f(h)的递增应先慢后快再慢，所以选B而非D.
答案：B
4．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林
(　　)
A．14400亩 B．172800亩
C．17280亩 D．20736亩
解析：设第x年造林y亩，则y＝10000(1＋20%)x－1，
∴x＝4时，y＝10000×1.23＝17280(亩)．
答案：C
5．光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的，要使通过玻璃的光线强度为原来的以下，至少需要重叠这样的玻璃块数是(lg3＝0.4771)
(　　)
A．10 B．11
C．12 D．13
解析：设重叠x块玻璃后，光的强度为y，则：
y＝a(1－)x(x∈N*)，
令y∴()x<，∴x>.
∵＝＝≈10.4，即x>10.4，∴选B.
答案：B
6．农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2004年某地区农民人均收入为3150元(其中工资性收入为1800元，其他收入为1350元)，预计该地区自2005年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元．根据以上数据，2009年该地区农民人均收入介于
(　　)
A．4200元～4400元 B．4400元～4600元
C．4600元～4800元 D．4800元～5000元
解析：由题意知，2009年该地区农民收入为1800(1＋6%)5＋1350＋5×160≈2408.8＋2150＝4558.8，故2009年该地区农民人均收入约为4558.8元，选B.
答案：B
二、填空题
7．如图中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：通话2分钟，需付电话费________元；通话5分钟，需付电话费________元；如果t≥3分钟，电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式是________．
解析：观察图象，由图象中的数据知，通话的前3分钟内，电话费为3.6元，当x≥3时，
设y＝at＋b，则(3,3.6)、(5,6)在此射线上，代入得a＝1.2，b＝0，∴y＝1.2t(t≥3)，
故y＝
答案：3.6　6　y＝1.2t(t≥3)
8．现测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为拟合模型较好．
解析：图象法，即描出已知的三个点的坐标并画出两个函数的图象，比较发现选甲更好．
答案：甲
9．某个病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．
解析：当t＝0.5时，y＝2，
∴2＝ek，∴k＝2ln2，∴y＝e2tln2，当t＝5时，
∴y＝e10ln2＝210＝1024.
答案：2ln2　1024
三、解答题
10．某游艺场每天的盈利额y(单位：元)与售出的门票数x(单位：张)之间的函数关系如右图所示，其中200元为普通顾客的心理价位的上线，超过此上线普通顾客人数将下降并减少盈利，试分析图象，求：
(1)y＝f(x)的函数关系式；
(2)要使该游艺场每天的盈利额超过1000元，那么每天至少应售出多少张门票？
解：(1)由函数图象可得
f(x)＝(x∈N)
(2)由15x－2500>1000，得x>，故至少要售出234张门票．
11．某种名牌钢笔，每枝进价为50元，当销售价格定为每枝x元，且50≤x≤80元时，每天售出枝数P＝，若想每天售出后获利最大，售价应定为每枝多少元？最大利润是多少？
解：设售价每枝x元，获利润y元．
则有y＝(x－50)·
＝10000[－]，
将此式视为关于的二次函数，
令t＝，则≤t≤.
∴y＝10000(t－10t2)＝－100000(t－)2＋250，
∴当t＝，即＝，x＝60时，利润y最大，最大为250元，
∴售价为60元时，有最大利润为250元．
创新题型
12．德国心理学家艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus,1850－1909)研究发现了记忆遗忘规律，如下表．试根据表中数据画出艾宾浩斯遗忘曲线图，竖轴表示学习中记住的知识数量，横轴表示时间(天数)，曲线表示记忆量变化的规律，这条曲线与什么函数模型接近？认识曲线的变化规律对提高我们的学习效率有什么指导意义？
时间间隔 记忆量(%)
刚刚记忆完毕 100
20分钟之后 58.2
1小时之后 44.2
8～9小时后 35.8
1天后 33.7
2天后 27.8
6天后 25.4
一个月后 21.1
解：艾宾浩斯遗忘曲线如图所示．它与指数函数的迅速变化而后较平缓有类似之处(底数为(0,1)之间的数)，选择指数函数模型y＝a·e－ut.
它告诉人们在学习中的遗忘是有规律的，遗忘的进程不是均衡的，而是在记忆的最初阶段遗忘的速度很快，后来就逐渐减慢了，过很长时间后，记忆保持稳定，几乎不再遗忘了．这就是遗忘的发展规律，即“先快后慢”的原则．观察这条遗忘曲线会发现，学得的知识在一天之后，如果不抓紧复习，就只能记住所学知识的，因此，应抓住课后复习这一环节，及时复习当天所学内容，以后复习的间隔时间可以长一些，因为再记忆以后，知识巩固得很好，可以间隔较长时间再复习．基础达标
一、选择题
1．下列各组函数中，定义域相同的一组是
(　　)
A．y＝ax与y＝logax(a>0，且a≠1)
B．y＝x与y＝
C．y＝lgx与y＝lg
D．y＝x2与y＝lgx2
解析：A中，函数y＝ax的定义域为R，y＝logax的定义域为(0，＋∞)；B中，y＝x的定义域为R，y＝的定义域为[0，＋∞)；C中，两个函数的定义域均为(0，＋∞)；D中y＝x2的定义域为R，y＝lgx2的定义域是{x∈R|x≠0}，故选C.
答案：C
2．函数y＝logax的图象如下图所示，则实数a可能取的值是
(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D．10
解析：由图象得函数y＝logax是增函数，则a>1.
答案：D
3．已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于
(　　)
A．{x|x>1} B．{x|x<1}
C．{x|－1解析：要使函数f(x)有意义，需有1－x>0，即x<1，则M＝{x|x<1}．要使函数g(x)有意义，需有1＋x>0，即x>－1，则N＝{x|x>－1}．所以M∩N＝{x|－1答案：C
(　　)
A．(0，＋∞) B．(5,6]
C．(5，＋∞) D．(－∞，6]
∴5∴定义域为(5,6]，答案选B.
答案：B
5．已知函数y＝f(2x)的定义域为[－1,1]，则函数y＝f(log2x)的定义域为
(　　)
A．[－1,1] B．[，2]
C．[1,2] D．[，4]
解析：∵f(2x)的定义域为[－1,1]
∴2－1≤2x≤21，∴≤log2x≤2，
∴≤x≤4.即所求函数的定义域为[，4]．故选D.
答案：D
6．(2010·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|lgx|,0(　　)
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
解析：由f(a)＝f(b)得|lga|＝|lgb|，所以a＝b(舍去)或a＝即ab＝1，
又0f(1)＝1＋＝3，∴a＋2b的取值范围是(3，＋∞)．
答案：C
二、填空题
7．下面是对数函数的是________．
①y＝－log4x ②y＝log4x
③y＝logx4 ④y＝log4(x＋1)
⑤y＝log(－4)x
答案：②
8．设g(x)＝，则g[g()]＝________.
解析：g()＝ln<0，
∴g[g()]＝.
答案：
9．函数y＝logax，x∈[2,4]，a>0，且a≠1.若函数的最大值比最小值大1，则a的值是________．
解析：由于a>1与0当a>1时，函数y＝logax在区间[2,4]上是增函数，所以loga4－loga2＝1，即loga2＝1，所以a＝2；
当0即loga＝1，
所以a＝.故a的值为2或.
答案：2或
三、解答题
10．已知函数f(x)＝lg(x－1)．
(1)求函数f(x)的定义域和值域；
(2)证明f(x)在定义域上是增函数．
(1)解：要使函数有意义，x的取值需满足x－1>0，则有x>1，即函数f(x)的定义域是(1，＋∞)．
由于函数f(x)的定义域是(1，＋∞)，则有u＝x－1的值域是(0，＋∞)，那么函数f(x)的值域是R.
(2)证明：设1f(x1)－f(x2)＝lg(x1－1)－lg(x2－1)＝lg.∵1∴0<<1.
又∵当0∴lg<0.∴f(x1)∴f(x)在定义域上是增函数．
11．设f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝logx.
(1)求当x<0时，f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x)≤2.
创新题型
12．若不等式2x－logax<0，当x∈(0，)时恒成立，求实数a的取值范围．
解：要使不等式2x画出草图可知loga≥，显然，这里0∴y＝logax是减函数，(共43张PPT)
第2课时　对数的运算
目 标 要 求 热 点 提 示
1.能够熟练地运用对数的运算性质进行计算．
2．了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明．
3．了解换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数，体会换底公式在解题中的作用. (1)要准确把握对数与指数的关系，熟练掌握对数式与指数式的互化，并利用它们之间的关系以及幂的运算性质，推导对数的运算性质；(2)要准确把握对数式及对数运算性质中的限制条件；(3)要通过运用这些概念与性质，加深对对数的理解.
某中学为了争创“全国千所示范高中”，投入了大量的资金．一方面是硬件设施的改善和校园环境的美化，另一方面是进行师资培训，进一步提高教师素质．在2006年学校总投资是a万元，并计划在近几年内，每年都比上一年增长50%的势头投入资金．你能计算出经过多少年该中学的资金总投入是2006年的6倍吗？
1．log63＋log62等于 (　　)
A．6　　　　　　　　 B．5
C．1 D．log65
解析：log63＋log62＝log6(3×2)＝log66＝1.
答案：C
4．已知log23＝a，log37＝b，则log27＝________.(用a，b表示)
解析：log27＝log23·log37＝ab.
答案：ab
思路分析：逆用对数性质可求值．
温馨提示：对数式的计算要注意公式的逆用，譬如在常用对数中，lg2＝1－lg5，lg5＝1－lg2的运用．
温馨提示：解法一是先分括号内换底，然后再将底统一；解法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非1的正数为底)，然后再化简．上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法．
思路分析：指数与对数的互化，对数的运算性质是解决此类问题必须具备的基本手段．
类型四　对数的实际应用问题
【例4】　一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量约是原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半．(结果保留1个有效数字)
思路分析：首先找到剩余量与年数的关系，再利用对数计算．
温馨提示：对数的实际应用问题应首先建立量的关系式，在计算时，通过两边取对数，利用对数计算．
　 计算：(1)log1627·log8132；
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．
　根据建设有中国特色的社会主义的战略方针，我国工农业总产值从2000年到2020年经过20年将要翻两番，问平均增长率至少应为多少？(lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，lg1.072＝0.0301)
解：设2000年总产值为a，平均增长率为x，由题意，得
a(1＋x)20＝4a，即(1＋x)20＝4，
将上式化为对数式得lg(1＋x)20＝lg4
即20lg(1＋x)＝2lg2＝0.6020.
∴lg(1＋x)＝0.0301＝lg1.072.
∴1＋x＝1.072，即x＝0.072.
故平均增长率至少应为7.2%.
1．对数运算性质的理解与运用需注意的问题
(1)对数的运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立．如log2[(－3)·(－5)]是存在的，但log2(－3)与log2(－5)均不存在，故不能写成：
log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)．
(3)避免机械地从符号去记忆公式，注意用语言准确叙述运算性质，以防止出现上述错误．
(4)利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然，这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度．
对数简史
对数是高中初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是16世纪末到17世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔男爵．
在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科．可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间，运用对数使庞大的计算大为简化．
那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢？在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法．让我们来看看下面这个例子：
0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、…
1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16 384、…
这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂．如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的相加求和来实现．
比如，计算64×256的值，就可以先查询第一行的对应数字：64对应6,256对应8；然后再把第一行中的对应数字相加求和：6＋8＝14；第一行中的14对应第二行中的16384，所以有：64×256＝16384.
纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了．这种“化乘除为加减”，从而达到简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗？
经过多年的探索，纳皮尔男爵于1614年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》，向世人公布了他的这项发明，并且解释了这项发明的特点．(共37张PPT)
第2课时　函数奇偶性的应用
目 标 要 求 热 点 提 示
1.能利用函数的奇偶性与单调性分析解决较简单的问题．
2．学会运用函数图象理解和研究函数的性质. 　　学习时，应充分利用特殊函数图象，借助图形的形象直观，整体把握奇偶性的本质特征，从而准确理解其概念．在分析解决与奇偶性有关问题时，应充分利用奇偶性这一本质特征(关于原点对称区间上图象的对称这一性质)来解决问题.
大自然是一个真正的美的设计师，它用对称的方法创造了千百万种不同的生命．在技术设计中，也经常运用对称方法．被誉为“上海之鸟”的浦东国际机场的设计模型，是一只硕大无比、展开双翅的海鸥．它的两翼呈对称状，看上去舒展优美，它象征着浦东将展翅高飞，飞向更高、更广阔的天地，创造新的、宏伟的业绩．一些函数的图象也有着如此美妙的对称性，这种对称性体现了函数的什么性质？
1．奇函数f(x)的图象关于原点对称，当f(x)的定义域为R时，必有f(0)＝0.
2．如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是 函数．
3．若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是 ，且有 .
4．若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x)在(0，＋∞)上是 ．
偶
增函数
最小值－M
增函数
3．若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，且f(1)(　　)
A．f(－1)f(－2)
C．f(－1)＝f(1) D．f(－2)＝f(1)
解析：∵f(1)∴－f(1)>－f(2)．
又已知f(x)是奇函数，∴f(－1)>f(－2)．
答案：B
4．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是________．
解析：∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(－2)＝f(2)，
f(－π)＝f(π)，
又f(x)在[0，＋∞)上递增，而2<3<π，
∴f(π)>f(3)>f(2)，
即f(－π)>f(3)>f(－2)．
答案：f(－π)>f(3)>f(－2)
5．已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)画出f(x)的图象，并指出f(x)的单调区间．
(2)先画出y＝f(x)(x>0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y＝f(x)(x<0)的图象，其图象如下图所示．
由图可知，其增区间为[－1,0)及(0,1]，
减区间为(－∞，－1]及[1，＋∞)．
类型一　利用函数奇偶性求值
【例1】　已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，那么f(2)＝__________.
解：注意到函数f(x)中多项式部分x5＋ax3＋bx的指数均为奇数，因此可设g(x)＝x5＋ax3＋bx，于是函数g(x)为奇函数．于是f(－2)＝g(－2)－8＝10，则得g(－2)＝18，也即g(2)＝－18.从而f(2)＝g(2)－8＝－26.
温馨提示：在给出函数解析式的前提下，如何根据f(－2)求f(2)，显然这类问题无需将－2,2代入计算，关键是利用函数的奇偶性进行转化，一般来说这类问题都可以转化奇偶函数来解决．例如，本题g(x)＝f(x)＋8，则g(x)为奇函数．当然这里的x5＋ax3＋bx是本质，只要这部分为奇函数即可，结果一样．
类型二　利用函数奇偶性求函数表达式
【例2】　已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，求f(x)的解析式．
思路分析：本题已知x>0时f(x)的解析式，只需再求出x＝0及x<0的表达式即可．已知f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，利用这一条件将x>0的解析式进行转化，可求得x<0的解析式．
温馨提示：在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间里，然后利用已知区间的解析式进行代入，利用f(x)的奇偶性把f(－x)写成－f(x)或f(x)，从而解出f(x)．
思路分析：利用奇函数的定义和增(减)函数的定义求解．
已知f(x)与g(x)都是定义在R上的奇函数，若F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2(a，b为常数)，且F(－2)＝5，则F(2)＝____________.
解析：因为f(x)、g(x)均为奇函数，所以F(－x)＝af(－x)＋bg(－x)＋2＝－[af(x)＋bg(x)]＋2＝－[af(x)＋bg(x)＋2]＋4＝－F(x)＋4.
故F(－2)＝－F(2)＋4＝5，∴F(2)＝－1.
答案：－1
已知f(x)是偶函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋2x－3，求f(x)在x<0的解析式．
解：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∵x<0，∴－x>0，
∴f(－x)＝(－x)3＋2(－x)－3＝－x3－2x－3.
∴f(x)＝－x3－2x－3(x<0)．
1．函数的奇偶性与单调性的综合问题主要体现在两个重要的性质上：(1)奇函数在关于原点对称区间上有相同的单调性，即已知f(x)是奇函数，它在区间[a，b]上是增函数(减函数)，则f(x)在区间[－b，－a]上也是增函数(减函数)；(2)偶函数在关于原点对称区间上有相反的单调性，即已知f(x)是偶函数且在区间[a，b]上为增函数(减函数)，则f(x)在区间[－b，－a]上为减函数(增函数)．
2．利用函数的单调性与奇偶性可以求解一些抽象不等式、比较大小及单调性的证明等综合性较强的问题．
常值函数
常值函数是初等函数中最简单的一种，就是值域只包含一个元素的函数；换句话说，就是因变量取固定值的函数．
复变函数论中的刘维尔定理告诉人们：平面上的有界全纯函数只能是常值函数．
常值函数是周期函数，但没有最小正周期．
1．周期函数的定义：对于函数y＝f(x)，若存在常数T≠0，使得f(x＋T)＝f(x)，则函数y＝f(x)称为周期函数，T称为此函数的周期．
性质(1)：若T是函数y＝f(x)的任意一个周期，则T的相反数(－T)也是f(x)的周期．
性质(2)：若T是函数f(x)的周期，则对于任意的整数n(n≠0)，nT也是f(x)的周期．
性质(3)：若T1、T2都为函数f(x)的周期，且T1±T2≠0，则T1±T2也是f(x)的周期．
2．定义：在函数f(x)的周期的集合中，我们称其正数者为函数f(x)的正周期，称其负数者为函数f(x)的负周期．若所有正周期中存在最小的一个，则我们称之为函数f(x)的最小正周期，记作T.
性质(4)：若T为函数f(x)的最小正周期，则nT(n∈Z，n≠0)为函数f(x)的任意一个周期．基础达标
一、选择题
1．已知f(x)＝则f[f()]的值是
(　　)
A．－　　　　　　 　 B.
C. D．－
解析：f()＝－1＝－；f(－)＝－＋1＝.
答案：C
2．函数f(x)＝的值域是
(　　)
A．[0，＋∞) B．R
C．[0,3] D．[0,2]∪{3}
答案：D
3．已知集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，按对应关系f不能成为从A至B的映射的一个是
(　　)
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x－2
C．f：x→y＝ D．f：x→y＝|x－2|
解析：取x＝0代入y＝x－2得y＝－2，－2 B，与映射定义不符．
答案：B
4．如下图，函数y＝|x＋1|的图象是
(　　)
解析：y＝|x＋1|＝
答案：A
5．若f(x)＝φ(x)＝则当x<0时，f[φ(x)]为 (　　)
A．－x B．－x2
C．x D．x2
解析：x<0时，φ(x)＝－x2<0，∴f[φ(x)]＝－x2.
答案：B
6．如右图，正方形ABCD的顶点A(0，)，B(，0)，顶点C、D位于第一象限．直线l：x＝t(0≤t≤)将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧部分的面积为f(t)，则函数S＝f(t)的图象大致是
(　　)
解析：判断函数S＝f(t)的图象可用观察法，直线l在运动到点B之前，左侧的面积增大的速度是越来越快，而过了点B之后，左侧的面积增大的速度是越来越慢，而速度的快慢反映在图象上是陡或缓，当然也可以根据题意求出分段函数解析式用描点法画出函数图象．
答案：C
二、填空题
7．设函数f(x)＝则f(－4)＝________，又f(x0)＝8，则x0＝________.
解析：f(－4)＝(－4)2＋2＝18；令x2＋2＝8，解得x＝±，∵x≤2，∴x＝－，令2x＝8，解得x＝4，综上可知x0＝－或4.
答案：18　4或－
8．设f(x)＝g(x)＝则f[g(π)]＝________，g[f(2)]＝________.
解析：f[g(π)]＝f(2)＝3×2＋1＝7，g[f(2)]＝g(7)＝2.
答案：7　2
9．已知f(x)＝则不等式x＋(x＋2)f(x＋2)≤5的解集为________．
解析：若x＋2≥0，则原不等式转化为x＋x＋2≤5解得－2≤x≤；若x＋2<0，则原不等式转化为x－x－2≤5解得x<－2，综上可知原不等式解集为.
答案：
三、解答题
10．如下图，函数图象是由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式．
解：设左侧的射线对应的解析式为y＝kx＋b(x≤1)，则解得k＝－1，b＝2，∴左侧射线的解析式为y＝－x＋2(x≤1)，同理x≥3时，右侧射线的解析式为：y＝x－2(x≥3)．再设抛物线对应的二次函数的解析式为：y＝a(x－2)2＋2(1≤x≤3，a<0)，
∴a＋2＝1，a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－2(1≤x≤3)．
综上，函数解析式为
y＝
11．已知函数f(x)＝
求：(1)f{f[f(－)]}；
(2)若f(a)＝3，求a的值；
(3)求f(x)的定义域及值域．
解：(1)f(－)＝－＋2＝，f()＝2×＝，f()＝2×＝1，∴f＝1.
(2)当a≤－1时，f(a)＝a＋2≤1，∴f(a)＝3无解．
当－1f(a)＝2a＝3，解得a＝，
当a≥2时，f(a)＝，f(a)≥2，
∴f(a)＝3，即＝3，
解得a＝.
综上所述a＝或a＝.
(3)f(x)的定义域为R，由(2)易知，值域为R.
创新题型
12．我国是水资源相对匮乏的国家，为鼓励节约用水，某市打算出台一项水费政策措施，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.3元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算，本季度他应交多少水费？
解：用y表示本季度应交水费(单位：元)．
当0当51．3(x－5)＋1.3(x－5)·200%＝1.3(x－5)(1＋200%)，
∴y2＝1.3×5＋1.3(x－5)(1＋200%)＝3.9x－13，当6综上，y＝基础达标
一、选择题
1．如下图所示，不可能表示函数的是
(　　)
解析：x<0内取一个x，对应两个y.
答案：D
2．函数y＝的定义域是
(　　)
A．(0，＋∞)
B．(－∞，0)
C．(－∞，－1)∪(－1,0)
D．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(0，＋∞)
解析：由题知∴x<0且x≠－1，即定义域为(－∞，－1)∪(－1,0)．
答案：C
3．已知f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则
f(－1)的值等于
(　　)
A．5　　　　　　　　　 B．－5
C．6 D．－6
解析：由f(1)＝0，f(2)＝0，
∴∴
∴f(x)＝x2－3x＋2，∴f(－1)＝6.
答案：C
4．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，则其值域为
(　　)
A．{－1,0,3} B．{0,1,2,3}
C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}
解析：x＝0，y＝0；x＝1，y＝－1；x＝2，y＝0；x＝3，y＝3，∴值域为{－1,0,3}．
答案：A
5．函数y＝f(x)图象与直线x＝4的交点个数为
(　　)
A．至多1个 B．至少1个
C．必有1个 D．1个，2个或无数个
解析：当x＝4与y＝f(x)图象有交点时，交点个数为1个，无交点时，交点个数为0.
答案：A
6．已知f(x)的定义域为[－2,4]，则f(3x－2)的定义域为
(　　)
A．[－，] B．[－8,10]
C．[0,2] D．[－2,4]
解析：由题知－2≤3x－2≤4，∴0≤x≤2，即定义域为[0,2]．
答案：C
二、填空题
7．下图中能表示函数关系的是________．
解析：(3)中元素2对应着两个元素1和3，不符合函数定义．(1)、(2)、(4)均符合函数定义．
答案：(1)(2)(4)
8．设f(x)＝，则f[f(x)]＝________.
解析：f[f(x)]＝f()＝＝＝.
答案：
9．给出四个命题：
①函数是定义域到值域的对应关系；
②函数f(x)＝＋；
③f(x)＝5，因这个函数的值不随x的变化而变化，所以f(t2＋1)＝5；
④y＝2x(x∈N)的图象是一条直线．其中正确的是________．
解析：②定义域为 ，则不是函数．④x∈N，y∈N，则图象并不是直线．
答案：①③
三、解答题
10．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝x＋；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝＋.
解：(1)由题知x≠1，则函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．
(2)由题意知
∴函数的定义域为[－2,1)∪(1,2]．
(3)由题意知
∴x＝1.即函数的定义域为{1}．
11．已知函数f(x)＝ax3＋cx＋5满足f(－3)＝－3，求f(3)的值．
解：∵f(－3)＝－27a－3c＋5＝－3，∴27a＋3c＝8.
∴f(3)＝27a＋3c＋5＝8＋5＝13.
创新题型
12．已知f(x)＝2x＋a，g(x)＝(x2＋3)，若g[f(x)]＝x2＋x＋1，求a的值．
解：∵f(x)＝2x＋a，g(x)＝(x2＋3)，
∴g[f(x)]＝g(2x＋a)＝[(2x＋a)2＋3]＝x2＋ax＋(a2＋3)．
又g[f(x)]＝x2＋x＋1，
∴x2＋ax＋(a2＋3)＝x2＋x＋1，解得a＝1.(共49张PPT)
3.2.2　函数模型的应用实例
目 标 要 求 热 点 提 示
1.进一步感受函数与现实世界的联系，强化用数学解决实际问题的意识．
2．进一步尝试用函数描述实际问题，通过研究函数的性质解决实际问题．
3．了解数学建模的过程. 　　学习本节时要通过具体实例，感悟如何在实际问题中建立函数模型，并通过一定的练习，掌握在实际问题中建立函数模型的步骤．由于熟练掌握常用函数，是在实际问题中建立函数模型的前提，因此在学习本节内容之前，应回顾一下常见函数图象、性质、变化规律，达到准确把握它们的特性.
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天多售出2件．于是商场经理决定每件衬衫降价15元．经理的决定正确吗？
1．函数模型应用的两个方面
(1)利用已知函数模型解决问题；
(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．
2．应用函数模型解决问题的基本过程
1．某林区的森林蓄积量每一年比上一年平均增长10.4%，那么经过x年可增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为 (　　)
解析：设原来的蓄积量为a，则a(1＋10.4%)x＝a·y，∴y＝1.104x，故选D.
答案：D
2．某物体一天中的温度T是时间t的函数：T(t)＝t3－3t＋60，t＝0表示时间12∶00，其后t取值为正，则上午8时的温度是________．
解析：由12∶00时，t＝0，且12∶00以后t为正值，可知12∶00以前t为负值，即上午8时应t＝－4，故T(－4)＝(－4)3－3×(－4)＋60＝8℃.
答案：8℃
3．某种储蓄的月利率是0.8%，(按复利计)存入100元本金后，本息和y(元)与所存月数x之间的函数关系式为________．
解析：因为月利率是0.8%，所以存入1个月后本息和为100(1＋0.8%)，存入2个月后本息和为100(1＋0.8%)＋100(1＋0.8%)×0.8%＝100(1＋0.8%)2，…，故存入x个月后本息和为100(1＋0.8%)x(x∈N*)．
答案：y＝100(1＋0.8%)x(x∈N*)．
4．(2009·浙江·理)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下：
高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表
高峰月电量
(单位：千瓦时) 高峰电价
(单位：元/
千瓦时) 低谷月用电量
(单位：千瓦时) 低谷电价
(单位：元/
千瓦时)
50及以下的部分 0.568 50及以下的部分 0.288
超过50到
200的部分 0.598 超过50至
200的部分 0.318
超过200的部分 0.668 超过200的部分 0.388
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．
答案：148.4
5．某商店卖西瓜，6 kg以上(含6 kg)每千克4角，6 kg以下每千克6角，请表示出西瓜质量x(kg)与销售金额y的函数关系，并画出图象．
思路分析：税金＝销售额×税率，“不少于”问题需建立不等式求解．
温馨提示：要注意在细心阅读与准确理解题意的基础上，引入函数符号，将题目中的文字语言转化为符号语言，列出数量关系即建立出函数模型．
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为__________________；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
思路分析：由图象知，此函数为分段函数，利用待定系数法求解．
温馨提示：(1)图象(图表)题目，先由已知条件确定函数的类型，然后写出函数解析式．
(2)解决此类题目，要注意函数定义域的变化，即表示的是函数的整个图象，还是其一部分，还是上面的某些点，以免出现漏解或增解的情况．
类型三　数据拟合型应用问题
【例3】　某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：
投资A种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6
获纯利润(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40
投资B种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6
获纯利润(万元) 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51
该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．
思路分析：只给数据，没明确函数关系，这样就需要准确地画出散点图．然后根据图形状态，选择合适的函数模型来解决实际问题．
解：以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图(如下图(1)和(2))．
即该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A种商品，8.8万元投资B种商品，可获得最大利润约为4.1万元．
温馨提示：根据题中给出的数据，画出散点图，然后观察散点图，选择合适的函数模型，并求解新的问题，这是本节新的解题思路．请同学们在用待定系数法求解析式时，选择其他的数据点，观察结果的差异．
　如图，用宽度为1 m的矩形铁皮，弯起两边，制作成横截面积为矩形的水槽．试问，怎样设计才能使水槽的流量最大？
　心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系式y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)．y值越大，表示接受能力越强．
(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
(2)第10分钟时，学生的接受能力是多少？
(3)第几分钟时，学生的接受能力最强？
解：(1)y＝－0.1x2＋2.6x＋43
＝－0.1(x－13)2＋59.9.
所以，当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强；
当13(2)当x＝10时，y＝－0.1×(10－13)2＋59.9＝59.
当第10分钟时，学生的接受能力为59.
(3)当x＝13时，y取得最大值．
所以，在第13分钟时，学生的接受能力最强．
(2)某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位为：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如表：
①根据表中数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt；
②利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
时间/t 50 110 250
种植成本/Q 150 108 150
1．通过建立实际问题的数学模型来解决问题的方法称为数学模型方法，简称数学建模．在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最省等问题．
2．解决函数应用题的关键有两点：一是实际问题数学化，读题是解决问题的起点，要读懂整个题目有几层意思，每层意思是什么，要解决什么实际问题，与其相关的因素有哪些等等，即在理解的基础上，通过列表、画图、引入变量、建立直角坐标系等手段把实际问题翻译成数学问题，把文字语言翻译成数学符号语言；二是对得到的函数模型进行解答，得出数学问题的解．
数学建模
数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践，即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解．我们也可以这样直观地理解这个概念：数学建模是一个让纯粹数学家(指只懂数学不懂数学在实际中的应用的数学家)变成物理学家、生物学家、经济学家甚至心理学家等等的过程．
数学模型一般是实际事物的一种数学简化．它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的区别．要描述一个实际现象可以有很多种方式，比如录音、录像、比喻、传言等等．为了使描述更具科学性、逻辑性、客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学．使用数学语言描述的事物就称为数学模型．有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代．
应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步．建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程．要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题．
数学模型的分类：
1.按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、统计模型等．
2.按研究对象的实际领域(或所属学科)分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等．(共26张PPT)
本章小结
温馨提示：指数与指数幂的运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，它们既是学习和研究指数函数、对数函数的基础，也是高考必考内容之一，教学中应给予足够的重视。
解析：本题考查函数的图象及数形结合思想的应用．如下图所示，由图象可知有3个，故选B.
温馨提示：解指数不等式与对数不等式是本章常见题型，其解法主要是“同底法”，即把不等式两边化为同底数，再根据相应函数的单调性，运用转化与化归的思想转化为一般不等式求解．
三、指数函数、对数函数的应用
【例8】　某医药研究所开发了一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；
(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病有效的时间．
思路分析：分段求函数的解析式，再利用解析式解决问题．
温馨提示：识图、用图是本题求解的第一环节，待定系数法求函数表达式是重要的方法，在求解不等式f(t)≥0.25时，既要运用分段函数的相关知识，同时又要运用好指数函数的性质．(共36张PPT)
1．3.1　单调性与最大(小)值
第1课时　函数的单调性
目 标 要 求 热 点 提 示
1.了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数单调性的方法．
2．能用文字语言和数学符号语言正确描述增函数、减函数、单调性等概念，能准确理解这些定义的本质特点. 　　本节是研究函数的单调性及其应用，学习时应注意以下几点：(1)要结合特殊函数实例，利用图象的形象直观，从感性上认识函数图象具有上升或下降的变化趋势；(2)函数单调性是用严谨的、定量的数学符号语言描述地，必须结合实例准确地把握；(3)判断或证明函数单调性，需要综合运用其他知识(如不等式、因式分解、配方法、数形结合等)，应注意复习相关知识.
德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的，最初遗忘速度较快，以后逐渐缓慢．他认为“保持和遗忘是时间的函数”，并根据他的实验结果绘成描述遗忘进程的曲线，即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线(下图)．
艾宾浩斯记忆遗忘曲线
这条曲线告诉我们，学习中的遗忘是有规律的，遗忘的进程是不均衡的，记忆的最初阶段遗忘的速度很快，后来就逐渐变慢了．这条曲线表明了遗忘规律是“先快后慢”．通过这条曲线能说明什么数学问题呢？
1．增函数和减函数的定义
设函数f(x)的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间D上的
x1，x2，当x1，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；
如果对于定义域I内某个区间D上的
x1，x2，当x1任意两个自变量的值
f(x1)任意两个自变量的值
f(x1)>f(x2)
2．函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的 ．
增函数或减函数
单调区间
1．函数y＝2x－2在R上 (　　)
A．是增函数　　　　　　　B．是减函数
C．既是增函数又是减函数 D．不具有单调性
答案：A
2．函数y＝f(x)的图象如右图所示，其增区间是(　　)
A．[－4,4]
B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1]
D．[－3,4]
答案：C
3．函数f(x)在R上是减函数，则有 (　　)
A．f(3)C．f(3)>f(5) D．f(3)≥f(5)
解析：∵函数f(x)在R上是减函数，3<5，
∴f(3)>f(5)．
答案：C
5．求证：函数f(x)＝2x2在[0，＋∞)上是增函数．
证明：设0≤x1f(x1)－f(x2)＝2x－2x
＝2(x1－x2)(x1＋x2)．
∵0≤x1∴x1－x2<0，x1＋x2>0.
∴f(x1)∴函数f(x)＝2x2在[0，＋∞)上是增函数．
温馨提示：求函数的单调区间时，要先求函数的定义域，因为单调区间是定义域的子集，如果函数是复合函数，那么可将函数分解成基本初等函数，然后利用“同增异减”的原则求解．
类型三　利用函数的单调性求参数取值范围
【例3】　已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围．
思路分析：由题目可获取以下主要信息：
①所给函数为二次函数，且含有参数；
②函数在区间(－∞，4]上是减函数．
解答本题可先将函数解析式配方，然后找出图象的对称轴，再考虑对称轴与所给区间的位置关系，利用数形结合求解．
解：f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2
＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋2，
∴此二次函数的对称轴为x＝1－a.
∴f(x)的单调减区间为(－∞，1－a]．
∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，
∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．
∴1－a≥4，解得a≤－3.
温馨提示：(1)二次函数是常见函数，遇到二次函数后就配方找对称轴，画出图象，会给研究问题带来很大的方便．
(2)已知函数单调性求参数的取值范围，要注意数形结合，采用逆向思维方法．
思路分析：如果能够推导出原函数的单调性，那么这个问题就能迎刃而解，此题的关键是如何推证出该函数的单调性．
温馨提示：研究抽象函数的单调性问题，仍采用特值法，即给变量赋予特殊值．不过在这里为了比较f(x1)与f(x2)的大小，往往需要把x1用x2＋(x1－x2)来代替，再注意到题目中所给的条件，顺利地放缩即可．
本例中，若将函数“在区间(－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(－∞，4]”，则a为何值？
解：由例题知函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1－a]，
∴1－a＝4，a＝－3.,　(共39张PPT)
第2课时　补集及集合的综合应用
目 标 要 求 热 点 提 示
1.了解全集的意义和它的记法．理解补集的概念，能正确运用补集的符号和表示形式，会用图形表示一个集合及其子集的补集．
2．会求一个给定集合在全集中的补集，并能解答简单的应用题. 1.类比数的加法、减法运算，理解集合的并与补运算，结合实例理解集合的运算．
2．解决集合的运算问题，关键在于确定集合的元素，应充分利用Venn图使它形象化，或通过等价转化使它具体化.
上课前，任课老师让班长查查谁没有来，班长看看教室里的同学，就知道谁没有来，这是运用了集合中的哪一个知识点，请作出相应解释．
运用集合的补集知识：把班里的全体同学构成的集合看作U，教室里的同学构成的集合看作集合A，则没有来的同学构成的集合B恰是集合A在集合U中的补集．
1．在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，称这个给定的集合为
全集，通常用U表示．
2．如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中
所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作 UA，读作“ ”，用符号表示为 UA＝ ．
不属于A的
A在U中的补集
{x|x A且x∈U}
全集
3．全集通常用 表示，全集与它的任意一个真子集之间的关系用Venn图可表示为．
4．A∪( UA)＝ ，A∩( UA)＝ ， U( UA)＝ .
U
U

A
1．(2009·全国Ⅱ)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，M＝{1,3,5,7}，N＝{5,6,7}，则 U(M∪N)＝ (　　)
A．{5,7}　　　　　　　　 B．{2,4}
C．{2,4,8} D．{1,3,5,6,7}
解析：M∪N＝{1,3,5,6,7}，故 U(M∪N)＝{2,4,8}．
答案：C
2．(2009·广东文)已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是(　　)
解析：由N＝{x|x2＋x＝0}＝{－1,0}，得N M.
答案：B
3．(2010·浙江高考)设P＝{x|x<4}，Q＝{x|x2<4}，则
(　　)
A．P Q B．Q P
C．P RQ D．Q RP
解析：∵Q＝{x|－2答案：B
4．已知集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,3,4}，B＝{4,5}，则A∩( UB)＝________.
答案：{2,3}
5．设全集为R，A＝{x|x<－4或x>1}，B＝{x|－2解：(1)A∩B＝{x|1(2)∵ RA＝{x|－4≤x≤1}，
∴( RA)∩B＝{x|－2(3)∵ RB＝{x|x≤－2或x≥3}，
∴A∪( RB)＝{x|x≤－2或x>1}．
类型一　补集的运算
【例1】　设U＝{x|－5≤x<－2，或2思路分析：先确定集合U、集合A的元素，再依据补集定义求解．
解法一：在集合U中，∵x∈Z，
则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，
∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．
又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，
∴ UA＝{－5，－4,3,4}， UB＝{－5，－4,5}．
解法二：可用Venn图表示
则 UA＝{－5，－4,3,4}， UB＝{－5，－4,5}．
温馨提示：解决与整数有关的集合问题时，最好把集合的元素一一列举出来，结合Venn图来解决．
类型二　并、交、补综合运算
【例2】　已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x≤1}，求 UA， UB，( UA)∩( UB)，( UA)∪( UB)， U(A∩B)， U(A∪B)，并指出其中相等的集合．
思路分析：在数轴上将各集合标出，利用数轴这一直观工具求解．
解：如下图，将全集U和集合A，B在数轴上标出．
由上图可知： UA＝{x|－1≤x≤3}， UB＝{x|－5≤x<－1或1( UA)∩( UB)＝{x|1 U(A∩B)＝U， U(A∪B)＝{x|1相等的集合有：( UA)∩( UB)＝ U(A∪B)，( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)．
温馨提示：对数集进行集合运算，常借助于数轴将问题形象化、直观化，即数形结合的思想．
　类型三　用Venn图进行补集运算
【例3】　设U为全集，M，P，N是U的三个子集，则图中阴影部分表示的集合是 (　　)
A．(M∩P)∩N
B．(M∩P)∪N
C．(M∩P)∩( UN)
D．(M∩P)∪( UN)
解析：如右图，阴影部分为M∩P，而题目要求的是在M∩P的基础上去掉被集合N覆盖的部分，换句话说即是与 UN做交运算．从而图中阴影部分表示的集合为(M∩P)∩( UN)，故选C.
答案：C
温馨提示：对于给定集合求阴影部分所表示的集合问题，可先确定两个主要的集合运算，对于去掉的部分可用与补集相交的方法来解决．
类型四　补集思想的运用
【例4】　已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠ ，求实数m的取值范围．
思路分析：A∩B≠ ，说明集合A是由方程x2－4mx＋2m＋6＝0①的实根组成的非空集合，并且方程①的根有：(1)两负根；(2)一负根一零根；(3)一负根一正根三种情况，分别求解十分麻烦，这时我们从求解问题的反面考虑，采用“正难则反”的解题策略，即先由Δ≥0，求出全集U，然后求方程①两根均为非负时m的取值范围，最后再利用“补集”求解．
温馨提示：本题运用的“正难则反”的解题策略，正是运用了“补集思想”．对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明朗，难于从正面入手的数学问题，在解题时，调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这时能起到化难为易、化隐为显的作用，从而将问题解决，这就是“正难则反”的解题策略，也是处理问题的间接化原则的体现．
　设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}， UA＝{x|x>4或x<3}，求a，b的值．
解：∵A＝{x|a≤x≤b}，
∴ UA＝{x|x>b或x又 UA＝{x|x>4或x<3}，
∴a＝3，b＝4.
已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2集合B＝{x|－3求 UA，A∩B， U(A∩B)，( UA)∩B.
解：把全集U和集合A，B在数轴上表示出来如下图：
由图可知：
UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
A∩B＝{x|－2 U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
( UA)∩B＝{x|－3　已知全集U，M、N是U的非空子集，若 UM N，则必有 (　　)
A．M UN　　　　　 B．M? UN
C． UM＝ UN D．M＝N
解析：由 UM N，知集合N有两种情况，如下图．所以选A.
答案：A
　已知方程x2＋ax＋1＝0，x2＋2x－a＝0，x2＋2ax＋2＝0，若三个方程至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．
一个集合与其补集中的元素所属关系是非此即彼，补集与交、并集的综合运算要注意分步进行．
1．对集合中含参数的元素，要由条件先求出参数再作集合的运算．
2．集合是实数集的真子集时，其交、并、补运算要结合数轴进行．
3．有些较复杂的集合的运算可以先化简再进行．如：( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)，计算等号前的式子需三次运算，而计算等号后的式子需两次运算．
4．根据交、并、补集中元素的个数求各集合的元素个数问题，常使用Venn图，在图中把各部分都标上数据既可作四则运算，又可列方程．
模糊数学的产生与集合论
现代数学是建立在集合论的基础上．集合论的重要意义就一个侧面看，在于它把数学的抽象能力延伸到人类认识过程的深处．一组对象确定一组属性，人们可以通过说明属性来说明概念(内涵)，也可以通过指明对象来说明它．符合概念的那些对象的全体叫做这个概念的外延，外延其实就是集合．从这个意义上讲，集合可以表现概念，而集合论中的关系和运算又可以表现判断和推理，一切现实的理论系统都有可能纳入集合描述的数学框架．
但是，数学的发展也是阶段性的．经典集合论只能把自己的表现力限制在那些有明确外延的概念和事物上，它明确地限定：每个集合都必须由明确的元素构成，元素对集合的隶属关系必须是明确的，决不能模棱两可．对于那些外延不分明的概念和事物，经典集合论是暂时不去反映的，属于待发展的范畴．
在较长时间里，精确数学及随机数学在描述自然界多种事物的运动规律中，获得显著效果．但是，在客观世界中还普遍存在着大量的模糊现象．以前人们回避它，但是，由于现代科技所面对的系统日益复杂，模糊性总是伴随着复杂性出现．
各门学科，尤其是人文、社会科学及其他“软科学”的数学化、定量化趋向把模糊性的数学处理问题推向中心地位．更重要的是，随着电子计算机、控制论、系统科学的迅速发展，要使计算机能像人脑那样对复杂事物具有识别能力，就必须研究和处理模糊性．
人与计算机相比，一般来说，人脑具有处理模糊信息的能力，善于判断和处理模糊现象．但计算机对模糊现象识别能力较差，为了提高计算机识别模糊现象的能力，就需要把人们常用的模糊语言设计成机器能接受的指令和程序，以便机器能像人脑那样简洁灵活地作出相应的判断，从而提高自动识别和控制模糊现象的效率．这样，就需要寻找一种描述和加工模糊信息的数学工具，这就推动数学家深入研究模糊数学．所以，模糊数学的产生是有其科学技术与数学发展的必然性．基础达标
一、选择题
1．若f(1－2x)＝(x≠0)，那么f()等于
(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．3
C．15 D．30
解法一：令1－2x＝t，
则x＝(t≠1)，
∴f(t)＝－1，
∴f()＝16－1＝15.
解法二：令1－2x＝，得x＝，
∴f()＝＝15.
答案：C
2．已知f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)＝
(　　)
A．3x＋2 B．3x－2
C．2x＋3 D．2x－3
解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
∵2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，
∴，∴，
∴f(x)＝3x－2.
答案：B
3．函数y＝x＋的图象为
(　　)
解析：y＝x＋＝　.
答案：C
4．如下图所示的四个容器高度都相同．将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有
(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：对于一个选择题而言，求出每一幅图中水面的高度h和时间t之间的函数解析式既无必要也不可能，因此可结合相应的两幅图作定性分析，即充分利用数形结合思想．
对于第一幅图，不难得知水面高度的增加应是均匀的，因此不正确；
对于第二幅图，随着时间的增加，越往上，增加同一个高度，需要的水越多，因此趋势愈加平缓，因此正确；
同理可分析第三幅图、第四幅图都是正确的．
故只有第一幅图不正确，因此选A.
答案：A
5．在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系．如果购买1000吨，每吨为800元；购买2000吨，每吨700元，若一客户购买400吨，单价应该是
(　　)
A．820元 B．840元
C．860元 D．880元
解析：设y＝kx＋b(k≠0)，由题意，
得解之，得k＝－10，b＝9000.
∴y＝－10x＋9000，当y＝400时，得x＝860.
答案：C
6．水池有2个进水口，1个出水口，每个水口进出水的速度如下图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如下图丙所示(至少打开一个水口)．
给出以下三个诊断：
①0点到3点只进水不出水；
②3点到4点不进水只出水；
③4点到6点不进水不出水．
其中一定正确的论断是
(　　)
A．① B．①②
C．①③ D．①②③
解析：由图甲、乙可看出，如果进水口与出水口同时打开，每个进水口的速度为出水口速度的一半，即v进水＝v出水．由图丙可看出在0点到3点之间蓄水量以速度2匀速增加，所以在此时间段内一定是两个进水口均打开，出水口关闭，故①正确；在3点到4点之间蓄水量以速度1匀速减少，所以在此时间段内一定是一个进水口打开，出水口打开，故②不正确；在4点到6点之间蓄水量不变，所以在此时间段内一定是两个进水口打开，出水口打开，故③不正确．
综上所述，论断仅有①正确．
答案：A
二、填空题
7．已知函数f(x)＝x＋b，若f(2)＝8，则f(0)＝________.
解析：∵f(2)＝8，∴2＋b＝8，∴b＝6.
∴f(x)＝x＋6.∴f(0)＝6.
答案：6
8．已知一次函数f(x)，且f[f(x)]＝16x－25，则f(x)＝________.
解析：(待定系数法)设y＝kx＋b(k≠0)
由f[f(x)]＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25得
解得k＝4，b＝－5，或k＝－4，b＝
答案：4x－5或－4x＋
9．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
x 1 2 3
f(x) 2 1 1
　
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则f[g(1)]的值为__________；当g[f(x)]＝2时，x＝__________.
答案：1,1
三、解答题
10．求下列函数的解析式：
(1)已知f(2x＋1)＝x2＋1，求f(x)；
(2)已知f()＝，求f(x)．
解：(1)设t＝2x＋1，则x＝，
∴f(t)＝()2＋1.
从而f(x)＝()2＋1.
(2)解法一：设t＝，
则x＝(t≠0)，代入f()＝，
得f(t)＝＝，
故f(x)＝(x≠0)．
解法二：∵f()＝＝，
∴f(x)＝(x≠0)．
11．作出下列函数的图象．
(1)y＝，x>1；
(2)y＝x2－4x＋3，x∈[1,3]．
解：(1)当x＝1时，y＝1，所画函数图象如图1所示；
(2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
且x＝1,3时，y＝0；
当x＝2时，y＝－1，
所画函数图象如图2所示．
创新题型
12．设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式．
解：因为对任意实数x，y，有
f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，
所以令y＝x，
有f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)，
即f(0)＝f(x)－x(x＋1)．
又f(0)＝1，
∴f(x)＝x(x＋1)＋1＝x2＋x＋1.(共44张PPT)
第2课时　函数的最大值、最小值
目 标 要 求 热 点 提 示
1.理解函数的最大(小)值及其几何意义．
2．会求一些简单的函数最大值或最小值. 1.利用函数的单调性确定函数最值是一种常用方法．
2．感悟数形结合的思想.
随着社会经济的高速发展，工厂、企业一个个应运而生．现在，我们国家又提出创建节约型社会．假如你是下面这个工厂的厂长，你认为应该如何设计厂区？
1．函数的最大值
(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的x∈I，都有f(x) M；
②存在x0∈ ，使得f(x0)＝M.
那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．
(2)几何意义：函数y＝f(x)的最大值是图象 点的纵坐标．
最高
≤
I
温馨提示：①定义中M首先是一个函数值，它是值域的一个元素，如函数f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0，注意对“存在”一词的理解．
②对于定义域内全部元素，都有f(x)≤M成立，“任意”是说对每一个值都必须满足不等式．
2．函数的最小值
(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的x∈I，都有f(x) M；
②存在x0∈ ，使得f(x0)＝M.
那么，称M是函数y＝f(x)的最小值．
(2)几何意义：函数y＝f(x)的最小值是图象 点的纵坐标．
最低
I
≥
3．函数的最值
(1)定义：函数的最大值和最小值统称为函数的最值．
(2)几何意义：函数y＝f(x)的最值是图象最高点或最低点的纵坐标．
(3)说明：函数的最值是在 内的性质．
整个定义域
3．函数y＝－x2＋2x在[1,2]上的最大值为 (　　)
A．1 B．2
C．－1 D．不存在
答案：A
思路分析：本题为分段函数，应借助于函数图象找出变化趋势，从而确定最值．
解：f(x)的图象如下图，则x≤0时，f(x)单调递增，当01时，f(x)单调递减，故当x＝1时，f(x)取最大值为4.
温馨提示：求分段函数的最值，应把握好变化趋势，找出一个最值，并不是每一段上都求．
思路分析：先用定义研究函数在区间上的单调性，再求最值．
温馨提示：运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法．
类型三　二次函数的最值
【例3】　求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．
思路分析：解答本题可先求出f(x)的对称轴x＝a，然后就a与区间[0,2]的关系进行讨论，分别求出f(x)的最大值和最小值．当0≤a≤2，即对称轴x＝a在区间[0,2]内时，求函数的最大值，应再细分为0≤a<1和1≤a≤2讨论．
解：f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.
(1)当a<0时，由图①可知，
f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a，
(2)当0≤a<1时，由图②可知，
f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.
(3)当1≤a≤2时，由图③可知，
f(x)min＝f(a)＝－1－a2，
f(x)max＝f(0)＝－1.
(4)当a>2时，由图④可知，
f(x)min＝f(2)＝3－4a，
f(x)max＝f(0)＝－1.
温馨提示：(1)求函数在某区间上的最值，一般应先判定函数在该区间的单调性．
(2)求二次函数的最值时，应判断它的开口方向、对称轴与区间的关系，若含有字母，要根据对称轴和区间的关系对字母进行讨论，解题时要注意数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系．
求函数f(x)＝x2－(2＋6a2)x＋3a2在区间[0,1]上的最小值m(a)和最大值M(a)．
　 已知函数y＝f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，并且当x>0时，f(x)>1，f(3)＝4.
(1)证明f(x)为R上的增函数．
(2)求函数f(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．
(1)证明：设x1，x2∈R，且x1∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，
∴f(x＋y)－f(x)＝f(y)－1.
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1.
又∵x10，
∴f(x2－x1)>1，∴f(x2－x1)－1>0.
∴f(x2)－f(x1)>0，
即f(x1)所以函数f(x)在R上是增函数．
(2)解：∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，
∴f(2)＝2f(1)－1，
f(3)＝f(2)＋f(1)－1＝3f(1)－2.
又∵f(3)＝4，∴3f(1)－2＝4.
∴f(1)＝2，∴f(2)＝2f(1)－1＝3.
而函数f(x)在R上为增函数，
∴f(x)在[1,2]上的最小值为f(1)＝2，最大值为f(2)＝3.
2．二次函数在闭区间上的最值问题
二次函数在闭区间上的最值问题，由它的单调性来确定，而它的单调性又由二次函数的开口方向和对称轴位置(在区间上、在区间左边，还是在区间右边)来决定，当开口方向和对称轴位置不确定时，则需要进行分类讨论．
学科与科技
根据人类消耗的能源结构比例图(右图)的图象，简要说明近150年来人类消耗的能源结构变化情况，并对未来100年能源结构的变化趋势作出预测．
由图象可以看出近150年来人类消耗木材比例一直减少；消耗的煤炭比例先逐渐增多，到1940年左右达到最大值，以后又逐渐变少；从1880年左右开始消耗石油，到1990年左右所占比例达到最大值，以后又逐渐减少；天然气从1900年左右开始应用于能源，所占比例一直在逐渐增大，核能从1980年左右开始被应用，所占比例逐渐增大．
从图象可以看出100年内，木材一般不会再作为能源消耗，煤炭、石油、天然气所占比例在逐渐变小，核能所占比例在逐渐增大，新开发的能源，水化物和太阳能所占比例也在逐渐增大．基础达标
一、选择题
1．若一次函数y＝kx＋b(k≠0)在(－∞，＋∞)上是单调递减函数，则点(k，b)在直角坐标平面的
(　　)
A．上半平面　　　　　　 B．下半平面
C．左半平面 D．右半平面
解析：一次函数递减k<0，b∈R.
答案：C
2．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则
(　　)
A．f(a)>f(2a) B．f(a2)C．f(a2＋a)解析：比较两个自变量大小，a2＋1－a＝(a－)2＋>0即f(a2＋1)答案：D
3．下列关于函数y＝的单调性的表述正确的是
(　　)
A．在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减
B．在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减
C．在(0，＋∞)上单调递增
D．在(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减
答案：D
4．函数f(x)＝x2＋4ax＋2在(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是
(　　)
A．a≥3 B．a≤3
C．a≥－3 D．a≤－3
解析：6≤－ a≤－3，(－∞，6)是函数减区间的子区间．
答案：D
5．已知函数f(x)＝x2－4x＋7，则f(4)，f(2)，f(1)的大小关系为
(　　)
A．f(2)B．f(1)C．f(2)D．f(1)解析：画图象．
答案：C
6．已知f(x)为R上的减函数，则满足f(||)(　　)
A．(－1,1)
B．(0,1)
C．(－1,0)∪(0,1)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：由题意知||>1，即>1或<－1，解之得－1答案：C
二、填空题
7．若函数y＝－在(0，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．
解析：设0f(x1)－f(x2)＝－＋＝>0，
∵00.
∴b<0.
答案：(－∞，0)
8．函数y＝|3x－5|的单调减区间为________．
解析：作出y＝|3x－5|的图象，如右图所示，可知函数在(－∞，]上为减函数，在[，＋∞)上为增函数．
答案：(－∞，]
9．已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f(a2－a＋1)与f()的大小关系是________．
解析：a2－a＋1＝(a－)2＋≥，又f(x)在(0，＋∞)上为减函数，
∴f(a2－a＋1)≤f()
答案：f(a2－a＋1)≤f()
三、解答题
10．求证：函数y＝在区间(1，＋∞)上为单调减函数．
证明：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝－
＝，
因为1所以(x1－1)(x2－1)>0，x2－x1>0，
故f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以函数y＝在区间(1，＋∞)上为单调减函数．
11．讨论函数y＝x2－2(2a＋1)x＋3在[－2,2]上的单调性．
解：∵函数图象的对称轴x＝2a＋1，当2a＋1≤－2，即a≤－时，函数在[－2,2]上为增函数；
当－2<2a＋1<2，即－创新题型
12．已知函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，且在(－2,2)上单调递增，且有f(2＋a)＋f(1－2a)>0，求a的取值范围．
解：∵f(2＋a)＋f(1－2a)>0，
∴f(2＋a)>－f(1－2a)，
又∵f(－x)＝－f(x)，
∴f(2＋a)>f(2a－1)，由于f(x)在(－2,2)上单调递增，
∴ －一、选择题
1．以下化简结果错误的是(字母均为正数)
(　　)
解析：根据分数指数幂的运算性质，A、B、D都正确，而C的右边应为－ac－2，故选C.
答案：C
2．(2008·浙江高考)已知，则x等于
(　　)
A．±8　　　　　　　 B．±
C. D．±2
答案：B
(　　)
A. B．－
C. D．－
答案：C
(　　)
解析：注意根式定义和整体特点．
答案：C
5．如果x>y>0，那么＝
(　　)
解析：原式＝xyyxy－yx－x＝xy－xyx－y＝y－x.
答案：C
6．已知x2＋x－2＝2且x>1，则x2－x－2的值为
(　　)
A．2或－2 B．－2
C. D．2
解法一：∵x>1，∴x2>1，由x2＋x－2＝2，化为x4－2x2＋1＝0.
解得x2＝＋1，∴x2－x－2＝＋1－＝＋1－(－1)＝2.
解法二：(x2－x－2)2＝(x2＋x－2)2－4x2·x－2＝(2)2－4×1＝4.又x>1，∴x2>1>x－2，
∴x2－x－2＝＝2.
答案：D
二、填空题
a－2
答案：a－2
8．计算×5－1＝__________.
解析：原式＝×＝×＝9.
答案：9
答案：
三、解答题
10．计算下列各式．
创新题型基础达标
一、选择题
1．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为
(　　)
A．4,4　　　　　　　　　 B．3,4
C．5,4 D．4,3
答案：D
2．下列函数零点不宜用二分法的是
(　　)
A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝lnx＋3
C．f(x)＝x2＋2x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1
答案：C
3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是
(　　)
A．[－2,1]　　　　　　　 B．[－1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
解析：∵f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，f(－2)·f(1)<0，故可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．
答案：A
4．根据表中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为
(　　)
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x＋2 1 2 3 4 5
A.(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
解析：设f(x)＝ex－(x＋2)，
则由题设知f(1)＝－0.28<0，
f(2)＝3.39>0，
故有一个根在区间(1,2)内．
答案：C
5．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经过计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________；第二次应计算________，以上横线上应填的内容为
(　　)
A．(0,0.5)，f(0.25) B．(0,1)，f(0.25)
C．(0.5,1)，f(0.75) D．(0,0.5)，f(0.125)
解析：本题考查了二分法的应用问题，由已知及二分法解题步骤可知x0∈(0,0.5)且第二次需计算f(0.25)．故选A.
答案：A
6．(2010·天津高考)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是
(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
解析：∵f(－2)＝e－2－4<0，f(－1)＝e－1－3<0，f(0)＝e0－2<0，f(1)＝e－1>0.
∴f(x)＝ex＋x－2的零点所在区间是(0,1)．故选C.
答案：C
二、填空题
7．已知函数f(x)＝x3＋x2－2x－2，f(1)·f(2)<0，用二分法逐次计算时，若x0是[1,2]的中点，则f(x0)＝________.
解析：由题意知f(x0)＝f()＝f(1.5)，代入解析式易计算得0.625.
答案：0.625
8．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.6875)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度为0.1)．
解析：因为|0.75－0.6875|＝0.0625<0.1，所以0.75或0.6875都可作为方程的近似解．
答案：0.75或0.6875
9．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________次．
解析：由<0.01，得2n>10，
∴n的最小值为4.
答案：4
三、解答题
10．求方程x3＋x2－8x－8＝0的正无理零点的近似值(精确度为0.1)．
解：原方程可以化为
x2(x＋1)－8(x＋1)
＝(x＋1)(x2－8)＝0，
显然方程的一个有理根是x＝－1，
而方程的无理零点就是方程x2－8＝0的根，
令f(x)＝x2－8，则只需求出函数f(x)的正零点即可．
由于f(2)＝－4<0，f(3)＝1>0，故取区间[2,3]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：
区间 中点的值 中点函数近似值
[2,3] 2.5 －1.75
[2.5,3] 2.75 －0.4375
[2.75,3] 2.875 0.2656
[2.75,2.875] 2.8125 －0.0898
[2.8125,2.875] 2.84375 0.087
由于|2.8125－2.875|＝0.0625<0.1，
所以原方程的正无理零点可取为2.8125.
11．证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解．
证明：设函数f(x)＝2x＋3x－6，
∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，
又∵f(x)是增函数，所以函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一的零点，
则方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解．
创新题型
12．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，m，n是方程f(x)＝0的两根，且a解：据题意有f(m)＝0，f(n)＝0，且f(a)＝－2，f(b)＝－2，画出f(x)的草图如右图：
观察图象可知，a与b一定在区间(m，n)上，因此实数a，b，m，n的大小关系应为m一、选择题
1．集合M＝{(x，y)|xy>0，x＋y<0，x∈R，y∈R}是
(　　)
A．第一象限的点集　　　 B．第二象限的点集
C．第三象限的点集 D．第四象限的点集
解析： 由xy>0且x＋y<0可知，x<0且y<0，∴点(x，y)在第三象限．
答案：C
2．直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合为
(　　)
A．{0,1} B．{(0,1)}
C．{－，0} D．{(－，0)}
解析：在y＝2x＋1中令x＝0，则y＝1.
答案：B
3．下列集合中的元素，也是集合{x|x2－2x－3＝0}中的元素是
(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．－2
解析：∵x2－2x－3＝0的解是x＝－1或x＝3，∴{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，故选B.
答案：B
4．设a，b都是非零实数，y＝＋＋可能取的值组成的集合为
(　　)
A．{3} B．{3,2,1}
C．{3,1，－1} D．{3，－1}
解析：分类讨论，当a>0，b>0时，y＝1＋1＋1＝3，当a>0，b<0或a<0，b>0时，y＝1－1－1＝－1，当a<0，b<0时，y＝－1－1＋1＝－1.综上讨论，y＝－1或3.
答案：D
5．下列各组中的M，P表示同一集合的是
(　　)
A．M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}
B．M＝{(3,1)}，P＝{(1,3)}
C．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{a|a＝x2－1，x∈R}
D．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}
解析：注意点集与数集之分；{y|y＝x2－1，x∈R}＝{y|y≥－1}，{a|a＝x2－1，x∈R}＝{a|a≥－1}．
答案：C
6．集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}，Q＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，M＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，若a∈P，b∈Q，则有
(　　)
A．a＋b∈P
B．a＋b∈Q
C．a＋b∈M
D．a＋b不属于P、Q、M中任意一个
解析：∵a∈P，b∈Q，∴a＝2k1，k1∈Z，b＝2k2＋1，k2∈Z，∴a＋b＝2(k1＋k2)＋1，k1，k2∈Z，∴a＋b∈Q.
答案：B
二、填空题
7．用列举法表示集合A＝{x∈Z|5≤x<10}为________．
答案：{5,6,7,8,9}
8．集合A＝{x|x＝2n且n∈N}，B＝{x|x2－6x＋5＝0}，用∈或 填空：
4________A,4________B,5________A,5________B.
答案：∈　 　 　∈
9．已知A＝{1,2,3}，B＝{2,4}．定义集合A，B间的运算A*B＝{x|x∈A，且x B}．则集合A*B＝________.
解析：因为属于集合A的元素是1,2,3，但2属于集合B，所以A*B＝{1,3}．
答案：{1,3}
三、解答题
10．已知M＝{0,1,2,3}，P＝{x|x＝a＋b＋ab，a∈M，b∈M}，试用列举法表示集合P.
解：列表如下：
a 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 0 1 2 3
b 1 2 3 0 2 3 0 1 3 0 1 2 0 1 2 3
a＋b＋ab 1 2 3 1 5 7 2 5 11 3 7 11 0 3 8 15
　　∴P＝{0,1,2,3,5,7,8,11,15}．
11．用描述法表示下列集合．
(1)所有能被3整除的数；
(2)第一、三象限所有点的集合．
解：(1){x|x＝3n，n∈Z}；
(2){(x，y)|xy>0}．
创新题型
12．已知A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，求集合B.
解：∵A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}，
∴方程x2＋px＋q＝x有两个相等实根x＝2，
由根与系数的关系得
∴
∴B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}＝{x|x2－6x＋5＝0}＝{1,5}．基础达标
一、选择题
1．若()2a＋1<()3－2a，则实数a的取值范围是
(　　)
A．(1，＋∞)　　　　　　 B．(，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，)
解析：函数y＝()x在R上为减函数，
∴2a＋1>3－2a，∴a>.
答案：B
2．(2010·山东高考)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b，(b为常数)，则f(－1)＝________.
(　　)
A．3 B．1
C．－1 D．－3
解析：∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，解得b＝－1，∴x≥0时f(x)＝2x＋2x－1.
∴f(1)＝21＋2×1－1＝3.∴f(－1)＝－f(1)＝－3.
答案：D
3．函数y＝的值域是
(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，0)∪(0，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
解析：∵2x>0，∴2x－1>－1.
又2x－1在分母上，∴2x－1>－1，且2x－1≠0.
当－1<2x－1<0时，<－1；
当2x－1>0时，>0.
∴<－1，或>0.故选D.
答案：D
(　　)
A．[－1，] B．(－10，－1]
C．[2，＋∞) D．[，2]
解析：－x2＋x＋2≥0 －1≤x≤2为定义域，f(x)＝－x2＋x＋2的减区间是[，2]，而y＝()x又是减函数，∴原函数的增区间是[，2]，故选D.
答案：D
5．设<()b<()a<1，则
(　　)
A．aaC．ab解析：由已知条件得0答案：C
6．若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为
(　　)
A．(1，＋∞) B．(1,8)
C．(4,8) D．[4,8)
解析：因为f(x)在R上是增函数，故结合图象知
，解得4≤a<8.
答案：D
二、填空题
7．函数y＝2－x在区间[，2]上的最小值是________．
解析：∵y＝2－x＝()x在[，2]上是减函数，∴ymin＝()2＝.
答案：
8．已知f(x)的定义域为(0,1)，则f(3x)的定义域为________．
解析：∵f(x)的定义域为(0,1)
∴0<3x<1，∴x<0，故应填(－∞，0)．
答案：(－∞，0)
9．已知0.8m>0.8n>1，则m、n、0的大小关系为________．
解析：由指数函数y＝0.8x的图象可知m答案：m三、解答题
10．已知2x≤()x－3，求函数y＝()x的值域．
解：由2x≤()x－3得2x≤2－2x＋6，
∴x≤－2x＋6，x≤2，
∴()x≥()2＝，
即y＝()x的值域为[，＋∞)．
11．已知函数f(x)＝2x＋2－x.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)求函数的单调增区间，并证明．
解：(1)f(－x)＝2－x＋2－(－x)＝2－x＋2x＝f(x)且x∈R，
∴函数f(x)＝2x＋2－x是偶函数．
(2)由(1)知，函数的单调区间为(－∞，0]和[0，＋∞)，且[0，＋∞)是单调增区间．
设0≤x1∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数在[0，＋∞)上单调递增，
即函数的单调增区间为[0，＋∞)．
创新题型
12．已知关于x的方程()x＝的根为正数，求a的取值范围．
解：因为方程的根为正数，
所以0<()x<1，
即0<<1，
∴，∴
解得.
∴－一、选择题
1．当a，b∈R时，下列各式总能成立的是
(　　)
A．(－)6＝a－b　　 B.＝a2＋b2
C.－＝a－b D.＝a＋b
解析：∵若a≥0，则＝|a|＝a，而a2＋b2≥0，∴＝a2＋b2.
答案：B
2．设k∈Z,2－2k＋2－2k－1－2－2k＋1等于
(　　)
A．2 B．－2－2k
C．2－2k＋1 D．－2－2k－1
解析：原式＝2－2k＋·2－2k－2·2－2k＝－·2－2k＝－2－2k－1.
答案：D
3.＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是
(　　)
A．a≥2 B．2≤a<4或a>4
C．a≠2 D．a≠4
解析：有意义需满足a－2≥0且a－4≠0，因此为a≥2且a≠4.
答案：B
4．若xy≠0，则可使＝－2xy成立的条件是
(　　)
A．x>0，y>0 B．x>0，y<0
C．x<0，y≥0 D．x<0，y<0
解析：由＝－2xy知xy<0.
答案：B
5．若a<，则化简的结果是
(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：因a<，所以2a－1<0，原式＝＝.
答案：C
6. ＝成立的条件是
(　　)
A.≥0 B．x≠1
C．x<1 D．x≥2
解析：由条件知解得x≥2.
答案：D
二、填空题
7．若＋＝0，则yx＝________.
解析：原方程变为|x－1|＋|y＋3|＝0，得即x＝1，y＝－3，yx＝－3.
答案：－3
8．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．
解析：a＝＝，b＝＝，c＝＝，∵243<124<66，∴a答案：a9．把a根号外的a移入根号内等于________．
解析：∵－>0，
∴a<0，∴a＝－.
答案：－
三、解答题
10．计算下列各式的值：
(1)；(2)；
(3)(n∈N*，且n>1)；
(4)；(5)；
(6)＋＋.
解：(1)＝＝3.
(2)＝＝－3.
(3)＝
(4)＝＝.
(5)＝|a－3|＝
(6)＋＋
＝－2＋π－2＋2－π＝－2.
11．求使等式＝(2－x)成立的x的取值范围．
解：∵＝
＝(2－x)，
∴2－x≥0，且x＋2≥0，∴－2≤x≤2.
创新题型
12．当x>0，y>0，且(＋)＝3·(＋5)时，求的值．
解：由条件整理得x－2－15y＝0，
即(＋3)(－5)＝0，
∴＝5，
代入＝＝2.第二章　素质测评
一、选择题
1．已知集合A＝{y|y＝log2x，x>1}，
B＝，则A∩B等于
(　　)
A.　　　　 B．{y|0C. D．
解析：A＝{y|y＝log2x，x>1}＝{y|y>0}．B＝＝，所以A∩B＝
答案：A
2．函数f(x)＝lg的定义域为
(　　)
A．(1,4) B．[1,4)
C．(－∞，1)∪(4，＋∞) D．(－∞，1]∪(4，＋∞)
解析：∵为使函数f(x)有意义，应有>0，即<0 1∴函数f(x)的定义域是(1,4)．
答案：A
3．已知f(x)＝ax，g(x)＝logax(a>0，且a≠1)，若f(3)g(3)<0，那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是
(　　)
解析：由f(3)g(3)<0知，f(3)与g(3)异号，故排除B、D，而A中图象可知f(x)＝ax的底数a>1，而y＝logax中的底数0答案：C
4．设a＝log0.70.8，b＝log1.10.9，c＝1.10.9，则
(　　)
A．aC．b解析：∵01，∴c>a>b.
答案：C
5．已知函数f(x)＝，则f[f()]的值是
(　　)
A. B．9
C．－ D．－9
解析：因为f()＝log2＝－2，所以f[f()]＝f(－2)＝3－2＝
答案：A
6．幂函数f(x)的图象过点(4，)那么f－1(8)的值是
(　　)
A．2 B．64
C. D.
答案：D
7．函数y＝f(x)与函数y＝log2x的图象关于直线x＝0对称，则
(　　)
A．f(x)＝－2x B．f(x)＝2x
C．f(x)＝log2(－x) D．f(x)＝－log2x
解析：∵y＝f(x)与y＝log2x的图象关于直线x＝0对称，则在y＝log2x中以－x代x，y值不变，故
y＝log2(－x)，即f(x)＝log2(－x)．
答案：C
8．(2009·福建卷)下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的是
(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)
解析：由题意可知f(x)在(0，＋∞)上单调递减，结合选项，可知选A.
答案：A
9．函数f(x)＝2x＋2－4x，若x2－x－6≤0，则f(x)的最大值和最小值分别是
(　　)
A．4，－32 B．32，－4
C.，0 D.，1
解析：f(x)＝2x＋2－4x＝－(2x)2＋4·2x＝－(2x－2)2＋4，又∵x2－x－6≤0，∴－2≤x≤3，∴≤2x≤8.从而当2x＝2时，f(x)max＝4，当2x＝8时，f(x)min＝－32.
答案：A
10．已知f(x)是偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数．若f(lgx)>f(1)，则x的取值范围是
(　　)
A．(，1) B．(0，)∪(1，＋∞)
C．(，10) D．(0,1)∪(10，＋∞)
解析：由已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上递减，则f(x)在(－∞，0)上递增，
∴f(lgx)>f(1) 0≤lgx<1，或
1≤x<10，或 1≤x<10，或∴x的取值范围是(，10)．
答案：C
11．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为
(　　)
A. B.
C．2 D．4
解析：∵函数ax与loga(x＋1)在[0,1]上具有相同的单调性，
∴函数f(x)的最大值、最小值应在[0,1]的端点处取得，由a0＋loga1＋a1＋loga2＝a得a＝.
答案：B
12．若函数f(x)＝m·ax－a－x(a>0，且a≠1)既是奇函数，又是增函数，那么g(x)＝loga(x＋m)的图象是
(　　)
解析：因为x∈R且f(x)为奇函数，故f(0)＝0，所以m＝1，即f(x)＝ax－a－x，又因为f(x)为增函数，所以a>1，故g(x)＝loga(x＋1)(a>1)，由函数的图象变换知选D.
答案：D
二、填空题
答案：(2，＋∞)
答案：[－1,1]　[，1]
答案：　
16．已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)内的偶函数，且在
故c>b>a.
答案：a三、解答题
(2)解方程：log3(6x－9)＝3.
＝＋1＋＝4.
(2)由方程log3(6x－9)＝3得
6x－9＝33＝27，∴6x＝36＝62，∴x＝2.
经检验，x＝2是原方程的解．
18．已知函数f(x)＝lg(3＋x)＋lg(3－x)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由．
解：(1)由得－3(2)函数f(x)是偶函数．理由如下：
由(1)知，函数f(x)的定义域关于原点对称，
又∵f(－x)＝lg(3－x)＋lg(3＋x)＝f(x)，
∴函数f(x)为偶函数．
19．求使不等式()x2－8>a－2x成立的x的集合(其中a>0，且a≠1)．
当a>1时，函数y＝ax是增函数，
∴8－x2>－2x，解得－2当0∴8－x2<－2x，解得x<－2，或x>4.
故当a>1时，x的集合是{x|－2当04}．
20．某工厂2006年开发一种新型农用机械，每台成本为5000元，并以纯利润20%标价出厂．自2007年开始，加强内部管理，进行技术革新，使成本降低，2010年平均出厂价尽管只有2006年的80%，但却实现了纯利润为50%的高效益．以2006年生产成本为基础，设2006年到2010年生产成本平均每年每台降低的百分数为x，试建立2010年生产成本y与x的函数关系式，并求x的值．(可能用到的近似值：≈1.414，≈1.73，≈2.24)
解：根据题意，由2006年到2010年生产成本经历了4年的降低，所以，y＝5000(1－x)4.
由2006年出厂价为5000(1＋20%)＝6000元，得2010年出厂价为6000×80%＝4800元．
由4800＝y(1＋50%)，得y＝3200元．
再由5000(1－x)4＝3200，得x＝1－≈11%.
所以，由2006年到2010年，生产成本平均每年降低11%.
21．已知函数f(x)＝lg.
(1)求证：f(x)＋f(y)＝f()；
(2)若f()＝1，f()＝2，求f(a)和f(b)的值．
解：(1)f(x)＋f(y)＝lg＋lg
＝lg＝lg
＝lg＝f()．
(2)由已知可证f(－x)＝－f(x)，再由(1)得
解得f(a)＝，f(b)＝－.
(1)若m＝1，求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的值域为R，求实数m的取值范围；
(3)若函数f(x)在区间(－∞，1－)上是增函数，求实数m的取值范围．
由x2－x－1>0可得：x>或x<，
∴函数f(x)的定义域为
∪.
(2)由于函数f(x)的值域为R，所以g(x)＝x2－mx－m能取遍所有的正数，从而Δ＝m2＋4m≥0，解得：m≥0或m≤－4.即所求实数m的取值范围为m≥0或m≤－4.
(3)由题意可知：
2－2≤m≤2.
即所求实数m的取值范围为[2－2，2]．基础达标
一、选择题
1．下列函数是幂函数的是
(　　)
答案：D
2．下列各图是函数y＝x3的图象的是
(　　)
解析：由常见的五种幂函数的图象易得．
答案：B
(　　)
解析：本题是根据函数解析式判断函数图象的典型例题，可以采用特殊值法．取点(8,2)和(－8，－2)对照图象，判断出选C，这是本类题型的典型解法．
答案：C
(　　)
A. B.
C．1 D.
答案：D
5．设α∈{－1,1，，3}，则使y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为
(　　)
A．1,3 B．－1,1
C．－1,3 D．－1,1,3
答案：A
6．若－1(　　)
A．2a>()a>0.2a B．0.2a>()a>2a
C．()a>0.2a>2a D．2a>0.2a>()a
解析：∵y＝xa(－10.5a>2a.
答案：B
二、填空题
7．若幂函数f(x)的图象过点(2，)，则f(9)＝________.
解析：设幂函数解析式f(x)＝xa，将(2，)代入求得a＝－，所以f(x)＝x－，故f(9)＝9－＝.
答案：
8．若点A(1，m)在函数y＝的反函数的图象上，则m＝________.
解析：由原函数和反函数的关系可得，点(m,1)在函数y＝的图象上，将该点坐标代入解析式得m＝－1.
答案：－1
9．定义在R上的函数y＝f(x)，它同时满足下述性质：
①对任何x∈R均有f(x3)＝f3(x)；
②对任何x1，x2∈R，x1≠x2均有f(x1)≠f(x2)，则f(0)＋f(1)＋f(－1)＝________.
解析：显然幂函数f(x)＝x满足条件①②，因此f(0)＋f(1)＋f(－1)＝0.
答案：0
三、解答题
10．证明幂函数f(x)＝在[0，＋∞)上是增函数．
证明：任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＝ .
因为x1－x2<0，＋>0，所以f(x1)11．点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，)在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，有
(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)解：设f(x)＝xα，则由题意得2＝()α，∴α＝2，即f(x)＝x2.再设g(x)＝xβ，则由题意得＝(－2)β，∴β＝－2，即g(x)＝x－2.在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图象，如下图所示．
由图象可知：
①当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；
②当x＝±1时，f(x)＝g(x)；③当－1创新题型
．
∴或或
解得一、选择题
1．下列各选项中的对象可构成一个集合的是
(　　)
A．与1非常接近的数　　 B．某校学生中的女生
C．中国漂亮的工艺品 D．某班视力差的女生
解析：由集合的确定性可知，“非常接近”“漂亮的”“视力差”都是不确定的．
答案：B
2．已知集合M：大于－2且小于1的所有实数，则下列关系式中正确的是
(　　)
A.∈M B．0 M
C．1∈M D．－∈M
解析：集合M中的元素应满足：－2∵－在这个范围中，∴－∈M.
答案：D
3．下列关系正确的是
(　　)
A．0∈N＋ B．π R
C．1 Q D．0∈Z
答案：D
4．已知集合S中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是
(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：由集合元素的互异性知a，b，c全不相等，显然一定构不成等腰三角形．
答案：D
5．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为
(　　)
A．2 B．2或4
C．4 D．0
解析：若a＝2，则6－2＝4∈A；若a＝4，则6－4＝2∈A；若a＝6，则6－6＝0 A.
答案：B
6．如果具有下述性质的x都是集合M中的元素，其中：x＝a＋b(a，b∈Q)，则下列元素中不属于集合M的元素个数是有
(　　)
①x＝0，②x＝，③x＝3－2π，④x＝，⑤x＝＋.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：①0＝0＋0×，②＝0＋1×，③2π Q，④＝3＋2，⑤＋＝(2－)＋(2＋)＝4＋0×.
答案：A
二、填空题
7．设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳________A；广州________A．(填∈或 )
解析：深圳不是省会城市，而广州是广东的省会．
答案： 　∈
8．已知集合A中只含有1，a2两个元素，则实数a不能取的值为________．
解析：由a2≠1，得a≠±1.
答案：±1
9．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2解析：∵x∈N，且2∴结合数轴知a＝6.
答案：6
三、解答题
10．设双元素集合A是方程x2－4x＋m＝0的解集，求实数m的取值范围．
解：要使集合A是双元素集合，则方程应有两个不相等实根，所以Δ＝(－4)2－4m>0，从而m<4.
11．由x，－x，|x|，，－组成的集合，元素的个数最多为几个？
解：设由x，－x，|x|，，－组成的集合记为M.∵＝|x|，－＝－x，∴由集合元素的互异性，知集合M是由x，－x，|x|组成的．
又∵|x|＝∴|x|必与x，－x中的一个相等．
∴集合M是由x，－x组成的集合．当x≠－x，即x≠0时，集合M中元素的个数最多有两个，分别是x，－x，因此由x，－x，|x|，，－组成的集合元素的个数最多为2.
创新题型
12．数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．若∈A，求集合中的其他元素．
解：∵∈A，∴＝2∈A，∴＝－3∈A，
∴＝－∈A，∴＝∈A.
故当∈A时，集合中的其他元素为2、－3、－.(共37张PPT)
1．1.3　集合的基本运算
第1课时　并集、交集
目 标 要 求 热 点 提 示
1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
2．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 1.本课时内容多以选择题形式考查，重在考查交、并简单运算．
2．体会数轴分析法在求交、并运算中的应用.
在一起交通事故中，肇事者逃逸，交警开始对目击者询问，有人说：“撞人的是男性．”有人说：“我看见是一个穿黑色衣服的人．”还有人说，“是一个胖子．”假设目击者的话都是真的，那么交警就应该在男人集合、穿黑衣服的人的集合、胖子集合等几个集合的交叉中去审查了．你知道这是一种什么思想吗？
1．并集：
，称为集合A与B的并集，记作
，即 ．
2．交集：
，称为A与B的交集，记作 ，即 ．
一般地，由所有属于集合A或属于集合
B的元素组成的集合
A∪B
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
一般地，由属于集合A且属于
集合B的所有元素组成的集合
A∩B
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
3．并集的性质
(1)A∪B A，A∪B B；
(2)A∪A A；
(3)A∪ A；
(4)A∪B B∪A.
4．交集的性质
(1)A∩B A，A∩B B；
(2)A∩A A；
(3)A∩ ；
(4)A∩B B∩A.


＝
＝
＝


＝
＝
＝
1．U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，S＝{1,3,5}，T＝{3,6}，则S∪T等于 (　　)
A． 　　　　　　　　 B．{2,4,7,8}
C．{1,3,5,6} D．{2,4,6,8}
答案：C
2．已知S＝{x|x＋1≥2}，T＝{－2，－1,0,1,2}，则S∩T＝ (　　)
A．{2} B．{1,2}
C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}
答案：B
3．设A＝{1,2,3,4}，B＝{2,3,5,6}，则A∩B＝________，A∪B＝________.
答案：{2,3}　{1,2,3,4,5,6}
4．设集合A＝{x|－2答案：{x|15．(2010·江苏高考)设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.
解析：∵a2＋4≥4，且A∩B＝{3}．∴a＋2＝3，∴a＝1.此时B＝{3,5}，A∩B＝{3}．符合题意．
答案：1
类型一　并集、交集的简单运算
【例1】　(1)若集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，求A∩B.
(2)已知集合M＝{x|－3思路分析：由题目可获取以下主要信息：
①题中两个集合均为数集；
②分别求交集和并集．
解答本题可借助数轴直观求解．
解：(1)如下图所示，
∴A∩B＝{x|－2≤x<－1}．
(2)如下图所示，
　　　
∴M∪N＝{x|x<1}．
温馨提示：此类题目首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心圈”表示．
类型二　已知集合的交集、并集求参数问题
【例2】　已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∩B＝ ，求a的取值范围．
思路分析：由题目可获取以下主要信息：
①集合B非空；
②集合A不确定，且A∩B＝ .
解答本题可分A＝ 和A≠ 两种情况，结合数轴求解．
温馨提示：出现交集为空集的情形，应首先考虑集合中有没有空集，即分类讨论．其次，与不等式有关的集合的交、并运算中，数轴分析法直观清晰，应重点考虑．
类型三　韦恩图的应用
【例3】　向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
温馨提示：在与集合有关的现实生活问题中，当数量关系较为复杂时，可借助图形的直观性来求解，以使问题的难度得以降低．
类型四　并集、交集性质的应用
【例4】　设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}．
(1)若A∩B＝B，求a的值
(2)若A∪B＝B，求a的值．
思路分析：A∩B＝B B A，A∪B＝B A B.
解：A＝{－4,0}．
(1)∵A∩B＝B，∴B A.
①若0∈B，则a2－1＝0，a＝±1.
当a＝1时，B＝A；
当a＝－1时，B＝{0}．
②若－4∈B，则a2－8a＋7＝0，a＝7，或a＝1.
当a＝7时，B＝{－12，－4}，
③若B＝ ，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，a<－1.
由①②③得a＝1，或a≤－1.
(2)∵A∪B＝B，∴A B.
∵A＝{－4,0}，又∵B中至多只有两个元素，
∴A＝B.
由(1)知a＝1.
温馨提示：要注意条件等价转化的运用，常见转化有A∩B＝A A B，A∪B＝A B A.,　
　本例(1)中，若将集合B改为{x|x>a}，其他条件不变，求A∩B.
解：如下图所示，
当a<－2时，
A∩B＝A＝{x|－2≤x≤3}；
当－2≤a<3时，A∩B＝{x|a当a≥3时，A∩B＝ .
　设集合A＝{x|－1解：如下图所示，
由A∪B＝{x|－11某班有学生55人，其中音乐爱好者34人，体育爱好者43人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，班级中既爱好体育又爱好音乐的有多少人？
解：设音乐爱好者的集合为A，体育爱好者的集合为B，则由题意知：A∪B的人数为51，即：card(A)＝34，card(B)＝43，card(A∪B)＝51，如右图所示，即x为所求card(A∩B)，
∴card(A∩B)＝card(A)＋card(B)－card(A∪B)＝34＋43－51＝26.
∴该班既爱好音乐，又爱好体育的有26人．
　(1)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2m－1≤x≤2m＋1}，若A∪B＝A，求实数m的取值范围．
(2)已知集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，
B＝{x|mx－1＝0}，且A∩B＝B.求由实数m构成的集合M.
1．并集运算
(1)要注意并集定义中A∪B是由集合A和B“所有的”元素所组成的集合，而不是由其中部分元素所组成的集合．A∪B也可以看作是由集合A和B的元素合并而成的集合．从这个意义上讲，A∪B可以类比于实数的加法运算．
(2)深刻领会“或”的内涵：并集的符号语言中的“或”与生活用语中的“或”的含义是不同的，生活用语中的“或”是“或此”“或彼”只取其一，并不兼存；而并集中的“或”则是“或此”“或彼”“或此彼”，可兼有．即“x∈A，或x∈B”包含三种情形：①x∈A，且x B；②x∈B，且x A；③x∈A，且x∈B.
(3)性质：A∪A＝A；A∪ ＝A；A∪B＝B∪A；(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)；A∪B A.
2．交集运算
(1)A∩B实质上是A与B的公共元素所组成的集合，从这个意义上讲，A∩B也可以类比于实数的乘法运算．
(2)对于“A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}”，不仅“A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素”，同时还有“A与B的公共元素都属于A∩B”的含义，这就是文字定义中的“所有”二字的含义，而不是“部分”公共元素．还有，并不是任何两个集合总有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝ .
(3)性质：A∩A＝A；A∩ ＝ ；A∩B＝B∩A；(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)；A∩B A.(共47张PPT)
本章概览
一、内容概述
1．通过本章学习，要了解指数函数、对数函数的实际背景，理解指数函数、对数函数的概念，理解五种幂函数，会运用它们解决一些实际问题．
2．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算，注意当指数从整数指数推广到了有理数指数后，幂的意义及指数运算性质中均增加了“底数大于0”，即“a>0”或“a>0，b>0”．
二、地位作用
幂函数、指数函数、对数函数是重要的基本初等函数，是高中数学函数部分的主体内容，是函数理论的主要载体，特别是指数函数、对数函数，更是历年高考的重点、热点．从简单函数性质到复合函数知识、从容易题到压轴难题，都可能以它为背景编拟．
三、学法指导
1．三种基本初等函数的概念、图象及性质．要在理解定义的基础上，通过几个特殊函数图象的观察、归纳得出一般图象及性质．这种由特殊到一般的研究问题的方法是学习数学的基本方法．另外，注意类比三种函数的图象与性质，搞清楚三者之间的区别与联系．
2．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，所以它们的定义域和值域互换，它们的对应关系是互逆的．它们的单调性是一致的，在掌握这两类函数的性质时，要结合图象来加以理解和记忆．
3．要正确区分指数函数与幂函数的定义及性质，牢记两类函数表达式的形式．
4．关于底数含有参数的指数函数、对数函数讨论的问题是学习中的重点与难点，解决这些问题最基本的方法是以“底”大于1或大于0小于1分类.
2．1.1　指数与指数幂的运算
第1课时　根式
目 标 要 求 热 点 提 示
1.理解n次方根及根式的概念．
2．正确运用根式运算性质进行运算变换. 1.利用根式的运算性质进行化简．
2．条件求值问题.
地球上的生物，除了病毒等少数种类以外，所有的生物体都是由细胞构成的，生物体之所以能够存在，完全依赖于细胞，因为生物体的一切生命活动就是在细胞内进行的．那么细胞是怎样增多的呢？现代生物学告诉人们细胞是通过分裂不断产生的，在众多分裂形式中有一种叫做有丝分裂，它分裂时遵循如下特点：1个细胞分裂1次产生2个，分裂2次产生4个，分裂3次产生8个，那分裂n次，它会产生多少个呢？2个细胞分裂n次呢？这就需要用到本节的知识——指数．
1．an叫做a的 ，a叫做幂的底数，n叫做幂的 ，n必须是正整数，这样的幂叫做 ．
n次幂
指数
正整数指数幂
2．正整数指数幂的运算法则
同底数的幂相乘：底数不变指数相加 同底数的幂相除：底数不变指数相减 幂的乘方：底数不变指数相乘 积的乘方：各因子乘方的积
am·an＝ am÷an＝
(m>n，a≠0) (am)n＝ (ab)m＝
am＋n
am－n
amn
am·bm
3．若(x－5)0有意义，则x的取值范围是 (　　)
A．x>5 B．x＝5
C．x<5 D．x≠5
解析：∵(x－5)0有意义，∴x－5≠0，即x≠5.
答案：D
思路分析：根据根式的定义，注意偶次根式与奇次根式的不同，用根式的性质解题．
思路分析：本题需把各项被开方数变为完全平方的形式，然后再利用根式运算的性质．
温馨提示：此题开方后先带上绝对值，然后根据正负去掉绝对值符号．
类型二　条件根式的化简
思路分析：先借助代数式有意义确定出x的取值范围，再进行根式的化简．
温馨提示：进行根式的化简时，我们经常忘记条件，根式有意义常忘记被开方数为0的情况，做题时应引起高度注意．
思路分析：应先据已知条件进行化简后求值．
温馨提示：在对所求式子进行化简的过程中，要注意平方差公式、立方差公式、完全平方公式等的灵活运用．
2．整数指数幂满足不等性质：若a>0，则an>0.
3．正整数指数幂满足不等性质：
(1)若a>1，则an>1；
(2)若0第2课时　集合的表示
目 标 要 求 热 点 提 示
1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法)．
2．能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合. 1.描述法表示集合是本课时的难点也是考查的热点．
2．两种表示集合方法的相互转化.
蓝蓝的天空中，一群鸟在欢快地飞翔；
茫茫的草原上，一群羊在悠闲地吃草；
清清的湖水里，一群鱼在自由地游动；
……
鸟群、羊群、鱼群……都是我们上节课学过的集合，那么我们用什么方法来表示它们呢？
1．列举法：把集合的 一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
由1,2,3,1组成的集合用列举法表示为{1,2,3}．不能写成{1,2,3,1}，这不符合集合元素的互异性．
元素
2．描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的
及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的 ．这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．
在不引起混淆的情况下，为了简便，有些集合用描述法表示时，可省去竖线及其代表元素．如所有直角三角形组成的集合，可以表示为{直角三角形}，但不能表示为{所有直角三角形}，因为{　　}本身就有“所有”“全部”的意思．
一般符号
共同特征
1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为 (　　)
A．{1,1}　　　　　　　　 B．{1}
C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}
答案：B
2．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示 (　　)
A．方程y＝2x－1
B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合
答案：D
3．小于5的自然数组成的集合可表示为________．
答案：{0,1,2,3,4}
4．方程x2－1＝0的解集为________．
答案：{1，－1}
5．用列举法表示出A＝{(x，y)|x＋y＝5，x，y∈N}．
答案：{(0,5)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(5,0)}
思路分析：由题目可获取以下主要信息：
①已知3个集合；
②用列举法表示．
解答本题可先弄清集合元素的性质特点，然后再按要求改写．
温馨提示：当集合中的元素个数较少时往往采用列举法表示．用列举法表示集合时，必须注意以下几点：
①元素之间必须用“，”隔开；
②集合的元素必须是明确的；
③不必考虑元素出现的先后顺序；
④集合中的元素不能重复；
⑤集合中的元素可以是任何事物．　
类型二　用描述法表示集合
【例2】　用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数集合；
(3)直角坐标平面内坐标轴上的点集．
思路分析：用描述法表示集合，需找准x所属的集合I和集合的一个特征性质p(x)．
解：(1){x|x＝2n，n∈N*}；
(2){x|x＝3n＋2，n∈N}或{x|x＝3n－1，n∈N*}；
(3){(x，y)|xy＝0}．
温馨提示：用描述法表示集合时应注意：①x∈R可简记为x；②“竖线”不可省略；③p(x)可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示；④同一个集合，描述法表示可以不唯一．
类型三　列举法与描述法的灵活运用
【例3】　用适当的方法表示下列集合：
(1)比5大3的数；
(2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；
(3)不等式x－3>2的解的集合；
(4)二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合．
思路分析：由题目可获取以下主要信息：①已知4个集合；②用适当的方法表示各个集合．对于(1)，比5大3的数就是8，宜用列举法；对于(2)，方程为二元二次方程，可将方程左边因式分解后求解，宜用列举法；对于(3)，不等式的解有无数个，宜于描述法；对于(4)，所给二次函数图象上的点有无数个，宜采用描述法．
温馨提示：用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．
型四　集合中的开放探究型问题
【例4】　下面三个集合：
①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义是什么？
思路分析：①中代表元素为x，它是函数y＝x2＋1中的自变量，x∈R；
②中代表元素是y，它是函数y＝x2＋1中y的取值范围，y≥1；
③中代表元素是(x，y)，它是二次函数y＝x2＋1图象上的点．
解：(1)因为三个集合的代表元素互不相同，所以它们是互不相同的集合．
(2)集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，满足条件y＝x2＋1中的x∈R，所以实质上{x|y＝x2＋1}＝R；
集合②的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以实质上{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}；
集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可以认为是满足y＝x2＋1的数对(x，y)的集合，也可以认为是坐标平面内的点(x，y)构成的集合，且这些点的坐标满足y＝x2＋1，所以{(x，y)|y＝x2＋1}＝{p|p是抛物线y＝x2＋1上的点}．
温馨提示：用描述法表示的集合，认识它一要看集合的代表元素是什么，它反映了集合元素的形式，二要看元素满足什么条件，对符号语言所表达含义的理解在数学中要求是很高的．
解：(1)A＝{0,3,4,5}；
(2)P＝{0,6,14,21}；
(3)A＝{－2,0,2}．
用描述法表示下列集合：
(1)所有被5整除的数；
(2)方程6x2－5x＋1＝0的实数解集；
(3)集合{－2，
－1,0,1,2}；
(4)右图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合．
解：(1)列举法：{3,5,7}；
(2)描述法：{周长为10 cm的三角形}；
(3)列举法：
{1,2,3,12,13,21,31,23,32,123,132,213,231,312,321}；
(4)列举法：{(0,0)，(1,1)}．,　　
有下列五个命题：
(1){x|x2＋2x－3＝0}表示二次方程x2＋2x－3＝0的解集；
(2){x|x2＋2x－3>0}表示二次不等式x2＋2x－3>0的解集；
(3){x|y＝x2＋2x－3}表示二次函数y＝x2＋2x－3自变量组成的集合；
(4){x|x＝t2＋2t－3}表示二次函数x＝t2＋2t－3自变量组成的集合；
其中正确的个数为 (　　)
A．1　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：由集合的描述法定义及函数、方程、不等式的有关知识知(1)(2)(3)正确，{x|x＝t2＋2t－3}表示二次函数x＝t2＋2t－3函数值x组成的集合，故(4)不正确；
答案：C
1．注意选择恰当的表示方法来表示集合，注重列举法与描述法的相互转化．
2．集合的大括号{　　}已包含“所有”的意思，例如：{整数}，即代表整数Z，所以不必写{全数整数}．下列写法{实数集}，{R}也是错误的．
3．列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定用哪种表示法，要注意，一般集合中的元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．
4．描述法表示集合时，代表元素十分重要，例如：
(1)所有直角三角形的集合可以表示为{x|x是直角三角形}，也可以写成{直角三角形}；
(2)集合{(x，y)|y＝x2＋1}与集合{y|y＝x2＋1}不是同一个集合．
康托与集合论
在18世纪，由于无穷概念没有精确的定义，使微积分理论不仅遇到严重的逻辑困难，而且还使无穷概念在数学中信誉扫地．许多受分析基础危机影响的数学家致力于分析的严格化．因此无限集合在数学上的存在性问题又被提出来了．这自然也就导致寻求无限集合的理论基础的工作．总之，为寻求微积分彻底严密的算术化倾向，成了集合论产生的一个重要原因．
康托集合论是数学史上最具有革命性的理论．
康托，是19世纪末20世纪初伟大的数学家，集合论的创立者，数学史上最富有想象力，最有争议的人物之一．
乔治·康托生于俄国的一个丹麦——犹太血统的家庭．康托在1863年进入柏林大学学工科．这时的柏林大学正在形成一个数学教学与研究的中心．康托很早就向往这所由维尔斯特拉斯领导的世界数学中心之一．所以在柏林大学，康托受了维尔斯特拉斯的影响而转到学习纯粹的数学.1874年康托在克列勒的《数学杂志》上发表了关于无限集合理论的第一篇革命性文章．数学史上一般认为这篇文章的发表标志着集合论的诞生．
他处理了数学上最棘手的对象——无限集合．数学史上没有比康托更大胆的设想了．因此，他不可避免地遭到了传统思想的反对．康托一生备受磨难，他以及其集合论受到粗暴攻击达十年，数学的发展最终证明康托是正确的．他所创立的集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造，而且也影响了现代哲学和逻辑学，康托也以此成为世纪之交的最伟大的数学家．(共48张PPT)
1．2.1　函数的概念
目 标 要 求 热 点 提 示
1.理解函数的概念，明确定义域、值域、对应关系是函数的三要素，能判断两个函数是否为同一函数．
2．掌握区间和无穷大这两个基本概念，能正确使用区间符号表示实数集的子集．
3．会求一些简单函数的定义域和值域. 1.函数的概念比较抽象，应结合初中所学习过的具体函数联系实际问题加以理解，对函数的符号表示的理解要通过分析实际问题和动手操作逐渐明白其内涵．
2．求函数的定义域要由特例总结归纳一般解题规律.
学习竞赛活动结束后，老师为竞赛获胜的同学买精装笔记本作奖品．已知每个本子两元钱，老师买了十五个，花去了三十元钱，这里本子的个数确定了，花钱的数目就唯一确定了，本子数和钱数就满足一定的关系，这个关系在数学上就叫函数关系．
函数关系的例子还有很多，再如某人在不同的时期其身高可能不同也可能相同，但是某一个时间确定了，他的身高就唯一确定了，这里的时间与身高也是函数关系，那么怎样的两个变量，就叫函数关系呢？
本节就从这个函数关系的定义出发，学习函数的一些基本概念．
1．函数：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的 ，在集合B中都有 和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 .
2．对于函数y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做 ；与x的值相对应的y值叫做 ，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 ．
任意一个实数x
唯一确定的数f(x)
y＝f(x)，x∈A
函数的定义域
函数值
值域
3．函数的三要素： 、 、
.
4．区间：设a，b是两个实数，且a(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为 ．
(2)满足不等式a(3)满足不等式a≤x定义域A
值域C
A到C的对应关系f
[a，b]
(a，b)
[a，b)，(a，b]
4．集合{x|－12≤x<10}用区间表示为________．
答案：[－12,10)
解：(1)前者的定义域是R，后者的定义域是N，由于它们的定义域不同，故不相同．
(2)前者的定义域是R，后者的定义域是{x|x≥0}，它们的定义域不同，故不相同．
(3)定义域相同均为非零实数，对应关系相同都是自变量取倒数后加1，故相同．
温馨提示：判断由一个式子是否能确定y是x的函数的程序是：对于由式子有意义所确定的x的取值集合中任一个x的值，由式子是否可确定唯一的一个y的值与之对应，也可以看由式子解出x的解析式是否唯一．也就是“取元的任意性，取值的唯一性”．即自变量在定义域内任取一个值，其函数值必须对应着唯一的值．
思路分析：由题目可获取以下主要信息：
①已知函数的解析式；
②由解析式可确定函数定义域．
解答本题结合相同函数的定义判断函数三要素是否一致即可．
解：(1)f(x)的定义域是{x|x≠1}，g(x)的定义域是R，它们的定义域不同，故不相同．
(2)定义域相同，都是R，但是g(x)＝|x|，即它们的解析式不同，也就是对应关系不同，故不相同．
(3)定义域相同，都是R，但是它们的解析式不同，也就是对应关系不同，故不相同．
(4)定义域相同，都是R，解析式化简后都是y＝|x|，也就是对应关系相同．定义域和对应关系相同，那么值域必相同，这两个函数的三要素完全相同，故两函数相同．
温馨提示：讨论函数问题时，要保持定义域优先的原则．判断两个函数是否相同，要先求定义域，若定义域不同，则不相同；若定义域相同，再化简函数的解析式，若解析式相同，则相同，否则不相同．
思路分析：只需把自变量的值代入对应关系式即可，但要同时注意f[g(x)]中，g(x)整体充当了自变量．
温馨提示：求函数值主要利用代入法，多步代入时要注意式子的化简和符号的变化．
　如下图所示，可表示函数y＝f(x)的图象只能是
(　　)
解析：判断一个图象是否是某一个函数的图象，应看它是否符合函数的概念，即对定义域内的任意数x，按照某种确定的对应关系，都有唯一确定的数y与它对应．对于A、C中令x＝0，有两个y与之对应．而B中，当x取大于0的任意值时，也都有两个y值与之对应．
答案：D
(2)已知f(x)＝2x2＋1，g(x)＝3－x，求f[g(－1)]，g[f(1)]，f[g(x)]．
解：∵g(－1)＝4，∴f[g(－1)]＝f(4)＝2×42＋1＝33；
∵f(1)＝2×12＋1＝3，∴g[f(1)]＝g(3)＝3－3＝0；
∵f(x)＝2x2＋1，g(x)＝3－x，
∴f[g(x)]＝2(3－x)2＋1＝2x2－12x＋19.
　若函数f(x)的定义域为[－2,1]，求g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域．
1．对函数的概念的理解
(1)y＝f(x)表示y是x的函数，是一个整体符号，不是f与x的乘积．
(2)在y＝f(x)中，x是自变量，f代表对应关系．
关于自变量，同学们刚接触的时候，会因为函数的定义而认为自变量只能用x表示，其实用什么字母表示自变量都可以，关键是符合定义，x只是一个较为常用的习惯性符号，当然也可以用t等表示自变量．
关于对应关系f，它是函数的本质特征，它好比是计算机中的某个“程序”，当f(　　)中括号内输入一个值时，在此“程序”作用下便可输出某个数据，即函数值．如f(x)＝3x＋5，f表示“自变量的3倍加上5”，如f(4)＝3×4＋5＝17.
我们也可以将“f”比喻为一个“数值加工器”，当投入x的一个值后，经过“数值加工器”“f”的“加工”就得到一个对应值．
2．f(x)与f(a)，a∈A的关系
f(x)与f(a)，a∈A的区别与联系，f(a)表示当x＝a时的函数值，是一个值域内的值，是常量．f(x)表示自变量为x的函数，表示的是变量．如f(x)＝2x，当x＝3时，f(3)＝2×3＝6.
3．函数定义域的求法
(1)当函数是由解析式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号下被开方数大于或等于零、零次幂的底数不为零，以及我们在后面学习碰到的所有有意义的限制条件都是我们应考虑的范畴；
(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义；
(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示．
切莫忽视函数的定义域
函数的定义域是函数的三要素之一．在学习过程中同学们往往侧重于定义域的求解，而不注重定义域的作用，常因忽视函数定义域的影响而导致错误，如求值域时因忽略定义域致错，求函数解析式时因忽略定义域而致错，乃至后续即将学习的函数单调性与奇偶性中，求解函数单调区间时因忽略函数定义域致错以及判断函数奇偶性时因忽略定义域关于原点的对称性判断致错等，下面分析几例，望以此引起同学们的重视．
诊断：给出关系式不一定就是函数关系，它只是函数的三要素之一，莫忘定义域对函数的影响． ?vU_.ppt