本章易错点解读
例1.用数字0，1,2,3,4可组成多少个没有重复数字的五位数？
【错解】由于五位数的每个数位上都可以有5种选择，故用0，1,2,3,4可组成个五位数
【剖析】上述解法有两处错误：一是题目要求“没有重复数字”，故不可能每个数位都有5种选择；二是0不能作为首位．显然上述错解没有注意到这两点
【正解一】先排0，有4种排法，再排其余4个数有种排法，根据分步乘法计数原理可知可组成=96个五位数．
【正解一】先对五个数全排，共有种排法，
在排除0放在首位的有种排法
故用数字0，1,2,3,4可组成120-24=96个没有重复的五位数．
例2.从集合中任取两个不同的数，分别作为对数的底数和真数，可得多少个不同值的对数？
【错解】问题相当于从5个元素中取2个元素的排列问题，共可组成=20个不同的对数值．
【剖析】上列解法有两处错误：一没有注意到1不能作为底数，且1作为真数对数值为0，二不同的排列的对数值可能相等，如，因此要对1单独讨论，还要排除对数值相等的
【正解】1作为真数，对数值只有1个；2，3，4,9组成的排列有12个，其中，
，，所以共有12-4+1=9个不同的对数值
例3.已知，求的值．
【错解】因为，所以，解得
【剖析】根据组合数的性质，可知上述解法漏解了．
【正解】因为，所以或，解得或．
例4．现有8名志愿者，其中5名能担任英语翻译工作，4名能担任德语翻译工作（其中有1名两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名志愿者承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？
【错解】从5名能担任英语翻译工作（其中有1名两项工作都能胜任）的志愿者中选3名，从3名能担任德语翻译工作的志愿者中选2名，有种；从4名能担任英语翻译工作（其中有1名两项工作都能胜任）的志愿者中选3名，从,4名能担任德语翻译工作的志愿者中选2名，有种，所以共有=54种选法．
【剖析】对两项工作都能胜任的志愿者分类讨论不够而致错，这名志愿者可能从事英语翻译工作，也可能从事德语翻译工作，还可能两种翻译工作都不从事．错解中这名志愿者两种翻译工作都不从事计算了2次，多算了=12种选法
【正解】本题以1名两项工作都能胜任的志愿者为标准可以分为3类：
第一类：1名两项工作都能胜任的志愿者从事英语翻译工作，有种；
第二类：1名两项工作都能胜任的志愿者从事德语翻译工作，有种；
第三类：1名两项工作都能胜任的志愿者不从事任何翻译工作，有种；
所以共有++=42种不同的选法
例5 ．展开式的第四项的系数为_______-
【错解】展开式的第四项的系数为
【剖析】有两处错误：一是展开式的第四项的二项式系数为；二是第四项的系数与第四项的二项式系数不同
【正解】展开式的第四项的系数为．
例6．在两个袋内，分别装有写有0,1,2,3,4,5六个数字的6张卡片，现在从每个袋中任取1张卡片，求两数之和等于7的概率．
【错解】因为两数之和共有0,1,2，．．．9,10十一种不同的结果，所以和等于7的概率为
【剖析】由于对试验结果的基本事件认识不清，错因在于本题的基本事件应为卡片的有序实数对，而不是所取卡片上数字之和．因此，正确理解概念是解题的关键
【正解】因为从每袋中任取一张卡片，组成36种有序实数对，其中和为7的卡片对为（2,5），（3,4），（4,3），（5,2）四种，所以所求事件的概率为．
例7．抛掷一均匀的正方体玩具（各面分别标有数字1,2,3,4,5,6），事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过3”，求
【错解】因为，所以=
【剖析】忽视了互斥事件的概率加法公式应用的前提条件．由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”二者不是互斥事件，即出现1或3时，事件A、B同时发生，
所以不能用=求解
【正解】A+B这一事件包括4种结果，即出现1,2,3和5
所以=
例8．袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次任取一个，取两次，求第二次才取到黄球的概率．
【错解】第二次才取到黄球，则第一次取到白球
所以第二次才取到黄球的概率为
【剖析】错误原因是第二次才取到黄球，则第一次取到白球，这个过程分为两步，只看第二次取球是不对的
【正解】第一次取到白球的概率为，第二次取到黄球的概率为，所以第二次才取到黄球的概率为．
第四节 互斥事件、独立事件与条件概率
例题讲解
例1．（1）（江苏省南京市2012届高三3月第二次模拟）某单位从4名应聘者A,B,C,D中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则A,B两人中至少有1人被录用的概率是________________．
（2）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3. 则该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为（ ）
A． B． C． D．
（3）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】（1）两人中至少有1人被录用的概率为．可转化为两人中恰好一个被录用以及两人都被录用的概率和．
（2）记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险：
B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险．
C表示事件：至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为
, , ，
．
（3）由题意可得
【答案】，A， B
例2．（1）如图所示，墙上挂有一边长为的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是__________．
(2)设，则在区间上随机取一个数，使的概率为__________．
【解析】（1）他击中阴影部分的概率为阴影部分的面积与正方形的面积比．
（2）几何概型，
【答案】，．
例3．（1）甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为和，两地同时下雨的比例为， 则乙地为雨天时甲地也为雨天的概率为（ ）
A. B. C. D.
（2）设A,B为两个事件，若事件A和事件B同时发生的概率为，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为，则事件A发生的概率为___________.
【解析】（1）由实际意义可知本题中雨天所占的比例即为一年中雨天的概率，记“甲地为雨天”的事件为，“乙地为雨天”事件为，由题设可知，
所以本题的概率可由条件概率的定义直接求解：乙地为雨天时甲地也为雨天的概率为．
（2）由题意可知由，可知
【答案】A，
例4．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人互相独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为、；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为、；两人租车时间都不会超过四小时．
（1）分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率；
（2）求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率．
【解析】（1）分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件A、B，则
， ．
答：甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为、．
（2）记甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元为事件C，则
．
答：甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率为
考点达标
一．选择题
1．甲、乙两人打球，打成平手的概率是，乙获胜的概率是，则甲不获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．某选手在电视抢答赛中答对每道题的概率都是,答错每道题的概率都是,选手在回答前两道问题都答错的概率为
A B C D
3.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰于向上 的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是（ ）
A. B. C. D.
4．某地决定新建A，B，C三类工程，A，B，C三类工程所含项目的个数分别占总项目数的
（总项目数足够多），现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．则他们选择的项目所属工程类别相同的概率为（ ）
A B C D
5．从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和
为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B︱A）=（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，用三类不同的元件连接成一个系统，正常工作且至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知正常工作的概率依次为、、，则系统正常工作的概率为 （ ）
A. B. C. D.
7．某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率都是，从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是；若前一次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是，则在三次发光中，出现一次红灯两次绿灯的概率是（ ）
A. B. C. D.
二．填空题
8．已知，，则等于_______
9．10000张有奖刮刮卡中，内有2个一等奖，8个二等奖，20个三等奖，从中买一张刮刮卡，中奖的概率为_______．
10．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为，且三个公司是否让其面试是相互独立的．若毕业生3个公司都为面试的概率为，则______．
11．甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．则甲获第一名且丙获第二名的概率_____．
三．解答题
12．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．
（1）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
（2）求该选手至多进入第三轮考核的概率．
13．某射击游戏规定：每位选手最多射击3次；射击过程中若击中目标,方可进行下一次射击，否则停止射击；同时规定第次射击时击中目标得分，否则该次射击得分．已知选手甲每次射击击中目标的概率为，且其各次射击结果互不影响．
（1）求甲恰好射击两次的概率；
（2）求该选手甲停止射击时的得分总和为5的概率．
14．如图，A地到火车站共有两条路径和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在个时间段内的频率如下表：
时间（分钟）
1020
2030
3040
4050
5060
的频率
的频率
0
现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．
（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
（2）针对（1）的选择方案，求甲、乙两人中在允许的时间内至少有1人赶到火车站的概率
15．甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为.且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为.
（1）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；
（2）求的值．
参考答案：
1．B 提示：甲不获胜的情况有两种：甲、乙两人下成和棋或乙获胜，根据互斥事件的概率加法公式可知甲不获胜的概率是．
2． D 提示：回答两道问题是相互独立的，所以都答错的概率为．
3．C 提示：因为事件A，B中至少有一件发生与都不发生互为对立事件，故所求概率为
，选C．
4．D 提示：∵3名工人选择的项目均为A类工程的概率 ，
均为B类工程的概率 ，
均为C类工程的概率 ，
∴他们选择的项目所属工程类别相同的概率.
5．B 提示：∴
6．B 提示：至少有一个正常工作的概率为
，
系统正常工作概率为，所以选B.
7． A 提示：出现一红两绿的情况有三种：（1）红、绿、绿：其概率为；（2）绿、红、绿:其概念为；（3）绿、绿、红：其概念为故出现一次红灯两次红灯的概论为++＝.
8． 提示：
9． 提示：．
10． 提示：∵ ，∴.
11． 提示：（1）甲获第一，则甲胜乙且甲胜丙，
∴ 甲获第一的概率为×=
丙获第二，则丙胜乙，其概率为1-=
∴ 甲获第一名且丙获第二名的概率为×= ．
12．解：设事件表示“该选手能正确回答第i轮问题” ．
由已知，，，．
（1）设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则
（2）设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，则
．
13．解：（1）设选手甲第次击中目标的事件为，
则
依题可知：与相互独立
所求为：
（2）甲停止射击时的得分总和为5，说明第三次未击中目标，所以所求事件的概率．
14．解析：（1）表示事件“甲选择路径时，40分钟内赶到火车站”， 表示事件“甲选择路径时，50分钟内赶到火车站”，，．
用频率估计相应的概率，则有：
，；
∵，∴甲应选择路径；
，；
∵，∴乙应选择路径．
（2）用A，B分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（1）知，，又事件A，B相互独立，
∴两人都没有赶到火车站的概率为，
则甲、乙两人中在允许的时间内至少有1人赶到火车站的概率．
15．解析：记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件，依题意有
且相互独立.
（Ⅰ）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为
.
（Ⅱ）设“三人中只有甲破译出密码”为事件，则有
＝，
所以，.
第一节计数原理与排列组合
例题讲解
例1．（1）某地汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母Q、M、D中选择，其他四个号码可以从这十个数字中选择（数字可以重复），某车主第一个号码（从左到右）只想在数字2、3、6、8、9中选择，其他号码只想在2、6、8、9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有（ ）种．
A．180 B．360 C．720 D．960
（2）一天有语文、数学、英语、物理、化学、政治、体育七节课，体育不排第一节,数学不排第六、七节，则这天课表的不同排法种数为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】（1）根据题意可分为5步，根据分步乘法计数原理可知共有种，选D.
（2）根据特殊元素法对数学所在的位置进行分类：数学排在第一节则有，数学不在第一节则有，根据分类加法计数原理，这天课表的不同排法种数为．
【答案】D，D
例2（1）如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有（ ）
A．72种 B．96种 C．108种 D．120种
（2）如图为12个单位正方形组成的长方形图形，若沿格线从左下角顶点A走到右上角顶点B，每步只走一个单位长度，则所有最短路线的走法中，经过点C的走法种数是( ) A．42 B．35 C．20 D．15
【解析】（1）由题意知: 不同的涂色种数有,
故选B.
（2）这是一个分步计数原理与组合综合问题，从A到C的最短路线只有2种 从C到B横向有3段路，纵向有2段路，共5段路，其最短路线走法有C52＝10种， 故共有2×10＝20种 【答案】B， C
例3．（1）将5名同学分配到A、B、C三个宿舍中，每个宿舍至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A宿舍，那么不同的分配方案有 （ ）
A．76种 B．100种 C．132种 D．150种
（2）将5名大学生分配到3个乡镇去任职,每个乡镇至少一名,不同的分配方案有( )种
【解析】（1）这是一个排列组合综合题，先分成3组，再分配到三个乡镇 所以有=150．
（2）由题意可得不同的分配方案有
【答案】B，B
达标检测
一、选择题
1．某学校校园文化艺术节上要将五个不同节目编排成节目单，要求两个节目不相邻，且最后一个节目必须是中的一个，那么节目单上不同的排序方式有（ ）种．
A．18 B．36 C．48 D．120
2．某小区有个连在一起的车位，现有辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为（ ）
A． B． C． D．
3．在正方体6个面的中心点之中，任意选两个点连成直线，则这些直线中，相互平行的对数有（ ）对．
A ． 2 B．3 C．4 Ｄ．６
４．由数字1，2，3，……9组成的三位数中，各位数字按严格递增（如“134”）或严格递减（如“541”）顺序排列的数的个数是（ ）
A．120 B．168 C．204 D．216
5．某次活动中，有30个人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为（ ）
Ａ１２００ Ｂ６００ Ｃ３００ Ｄ２００
6．下面是高考第一批录取的一份志愿表．现有4所重点院校，每所院校有3 个专业是你较为满意的选择，如果表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有（ ）种不同的填写方法
志 愿 学 校 专 业
第一志愿 A 第1专业 第2专业
第二志愿 B 第1专业 第2专业
第三志愿 C 第1专业 第2专业
7．2012年伦敦奥运会某项目参赛领导小组要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）
A. 12 种 B. 18 种 C. 36 种 D. 48 种
二、填空题
8．将10个相同的小球装入编号为1、2、3的三个盒子中（每次要把10个小球装完），要求每个盒子里小球的个数不小于盒子的编号数，这样的装法共有_______种. (要求用数字作答)
9．在航天员进行的一项太空试验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，则实施程序的编排方法共有 种（用数字作答）．
10．从4个班级的学生中选出7名学生代表，若每一个班级中至少有一名代表，则选法种数为 ．
三、解答题
１1．由0，1，2，3，4，5这六个数字组成的不重复的六位数中，求不出现“135”与“24”的六位数的个数．
１2．由0，1，2，3，4，5这六个数字。
（1）能组成多少个无重复数字的四位数？
（2）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（3）能组成多少个无重复数字且被25个整除的四位数？
（4）组成无重复数字的四位数中比4032大的数有多少个？
参考答案：
1． B 提示：先排最后一个节目有，再排A，B剩下的一个节目有种，最后排剩下的三个节目有种，根据分步乘法计数原理共有种．
2． C 提示： 个车位连在一起有4种，辆不同型号的车有种，则根据分步乘法计数原理可知共有种．
3．Ｄ 提示：画出图，可以得到共有6对．
4．B 提示：由题意可得共有．
5． 1200 提示：先选3行3列，然后再排，根据分布乘法计数原理有
6．D 提示：依题意可分为两步：第一步先选院校有种，第二步选专业有，根据分步计数原理可知共有种．
7．C 提示：。
8．15 提示：先在编号为1、2、3的三个盒子中依次放的小球个数为0、1、2；然后利用隔板法把剩下小球分为3组，所以共有种
9．96 提示：依据题意可得．
10．20 提示：先每个班分1个，剩下3个学生代表可以分为三类即
11．解析：由0，1，2，3，4，5这六个数字组成的不重复的六位数共有，出现“135”的有，出现“24”的有，“135”与“24”同时出现的有，根据排除法可得．
12．解析：（1）
(2)
(3)
(4) ．
第三节 随机事件、古典概型
例题讲解
例1．某市举行一次数学新课程骨干培训，共邀请15名使用不同版本教材的教师，数据如下表所示：
版本
人教A版
人教B版
性别
男教师
女教师
男教师
女教师
人数
6
3
4
2
从这15名教师中随机选出2名，则2人恰好是教不同版本的男教师的概率是多少？
【解析】从15名教师中随机选出2名共种选法，
这2人恰好是教不同版本的男教师共种选法
所以这2人恰好是教不同版本的男教师的概率是．
例2．某市开展支教活动，有五名教师被随机的分到A、B、C三个不同的乡镇中学，且每个乡镇中学至少一名教师，
（1）求甲乙两名教师同时分到一个中学的概率；
（2）求A中学分到两名教师的概率；
【解析】（1）设甲乙两位教师同时分到一个中学为事件A，
基本事件总数n=.
所以P（A）==.
（2）设A中学分到两名教师为事件B，所以P（B）==.
例3．（1）将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m,第二次出现的点数为n，向量=(m,n),=(3,6),则向量与共线的概率为[ ．]
（2）质地均匀的正方体六个面分别都标有数字：，，， ，，，抛掷两次，所出现向上的数字分别是、，则使函数单调递增的概率是 ．
【解析】（1）基本事件共有36个，向量与共线得，，符合要求的(m,n)有：(1,2)，(2,4)，(3,6)，则向量与共线的概率为．
（2）根据乘法计数原理可知组成的数对共有36对，为单调递增的概率有，且则满足不等式的数对有15对，所以所求事件的概率为
【答案】，
例4．将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体
（1）从这些小正方体中任取１个，求其中至少有两面涂有颜色的概率；
（2）从中任取２个小正方体，求２个小正方体涂上颜色的面数之和为４的概率．
【解析】：依题意可知，锯成的27个小正方体中，有三面有色的有8个，二面有色的有12个，一面有色的有6个，没有色的有1个．
(1)从这些小正方体中任取１个，含有面数为的事件为（），则其中至少有两面涂颜色的概率P=；
（2）根据题意，设从中任取2个小正方体，2个小正方体涂上颜色的面数之和是2的事件为B则
.
考点达标
一．选择题
1．（南通市2012届高三第一次调研测试） 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为 .
2．设集合，，, 若，则 b = c的概率是（ ）
A B C D
3．在集合中随机取一个元素，在集合中随机取一个元素，得到点，则点P在圆内部的概率为（ ）
A． B． C． Ｄ．
4．（苏锡常镇四市2012届高三教学调研测试9改编）先后投掷一颗质地均匀的骰子两次，得到其向上的点数分别为，，设向量，则满足的概率为 .
A． B． C． D．
5．在数1，2，3，4，5的排列中，满足的排列出现的概率为（ ）
A、 B、 C、 D、
6．从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第三象限的概率为（ ）
A． B. C. D.
7．如图，三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）
A. B. C. D.
二．填空题
8．已知集合,在中可重复的依次取出三个数，则“以为边恰好构成三角形”的概率是 ．
9．从，，…，，这个数中，任意取两个不同的数，其乘积是奇数的概率为 （结果用数值表示）．
10．在区间内随机地取出一个数，使得的概率为 ．
11．随机连接正方体ABCD—ABCD的任意两个顶点的直线中，与AC成异面直线且所成角为60°的直线的概率为 ．
三．解答题
12．从四名男生和三名女生中任选3人参加演讲比赛．
（1）求所选3人中有恰有一名女生的概率；
（2）．所选3人中女生、男生至少都有1名的概率
13．从中任取一个数，b从中任取一个数．
（1）求函数有零点的概率；
（2）求使两个不同向量的夹角为锐角的概率．
14．一个袋中有6个大小相同的小球，其中红球2个，白球2个，黑球2个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个，求：
（1）连续取两次都是白球的概率；
（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0 分，连续取三次分数之和为4分的概率．
参考答案：
1． 提示：每个球的放法有3种，所以总的放法数为9，“1，2号盒子中各有1个球”的放法数为2，所以概率为。
2．C 提示：有条件知，所以有7种情况，而有7种情况，所以b = c的概率是．
3．B 提示：由题意得到的有：，共计6个，在圆的内部的点有，所以概率为．
4． D 提示：共有36种结果，当；当；当；当，共13种满足，所以D正确．
5．B 提示：1，2，3，4，5的排列有种，满足的排列有种结果，所以所求事件的概率为．
6．A 提示：从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为有9种结果，直线不经过第三象限则有2种结果，所以直线不经过第三象限的概率为．
7．D 提示：任取三个数有种结果，即不同行也不同列的有种结果，所以至少有两个数位于同行或同列的结果有78种，所以所求事件的概率为．
8． 提示： “在中可重复的依次取出三个数”的基本事件总数为，事件“以为边不能构成三角形”分别为所以
9． 提示：，，…，，这个数中，任意取两个不同的数有种结果，其乘积是奇数的有种结果，所以所求事件的概率为．
10．0.3 提示：由，得，所以所求概率为0.3．
11． 提示：正方体有8个顶点，两个顶点的连线有个结果，与AC成异面直线且所成角为60°的直线的有4条，所以所求事件的概率为．
12．解析：（I）记事件为所选3人中有恰有一名女生
∴.
（II）记事件B为3人中女生、男生至少都有1名
则．
13．解析：设点组成的实数对共有9个：
（1）记有零点为事件A有零点，
即有3个．概率
（2）记两个不同向量的夹角为锐角为事件B
有4个
概率 ．
14．（1）设连续取两次的事件总数为：则
设事件A：连续取两次都是白球，共4个，
所以，．
（2）连续取三次的基本事件总数为N：则个；
设事件B：连续取三次分数之和为4分，则包含两类：第一类两红一黑有
第二类一红两白有
所以．
第二节 二项式定理
例题讲解
例1．（1）若二项式的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为（ ）
A. B. C. D.
（2）二项式展开式中含x2项的系数是 。
【解析】（1）当时，代入二项式为展开式中各项系数的和，所以有，解得，则展开式的通项为（，则，解得，所以展开式中的常数项为。
（2），由得，所以系数为。
【答案】D，
例2．的展开式中二项式系数最大的项以及整式项。
【解析】因为，所以二项式系数最大的项应是第6项，所以。
，整式项为、、、。
例３．（1）
的值为 _____ .
（2）已知，则= ．
【解析】令，则有，令，则有，
所以＝２.
（2）等式两边对求导，可得，令
则有＝－８。
【答案】2，－８。
考点达标
一．选择题
1．二项式展开式中常数项是( )
A.第10项 B.第9项 C.第8项 D.第7项
【答案】B
【解析】 由题意可得展开式的通项为（，令，解得，所以常数项为第9项。
2．若展开式的各项系数和为, 则展开式中常数项是 （ ）
A． B．7 C． D．
【答案】D
【解析】令得，所以，展开式中的常数项为。
3．在二项式的展开式中，含的项的系数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】二项式的展开式的通项为，（
令，则，所以，含的项的系数１０。
4．展开式中的系数为 （ ）
A．45 B．10 C．90 D．50
【答案】B
【解析】可化为，因为不含项，所以展开式中的系数为。
5. 展开式中的系数为10，则实数a等于( )
(A)－1 (B) (C)1 (D) 2
【答案】D
【解析】，
由得，又，所以。
6．若的展开式中各项的系数之和为1024，则展开式中含的整数次幂的项共有 ( ) 项。
A 2 B 3 C 4 D 5
【答案】Ｂ
【解析】由展开式中各项的系数之和为1024，可得，则，的通项为，则当时对应的项为的整数次幂，所以选Ｂ。
7．若多项式，则（ ）
A．9 B．10 C． -9 D． -10
7．Ｄ 提示：，
题中 。
二．填空题
8． 已知（k是正整数)的展开式中，项的系数小于120,则k=______。
8．1 提示：项的系数为，则，则，所以k=1。
9．已知展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则。
9．6 提示：由题意可得，解得。
10．若的二项展开式中存在常数项，则正整数的最小值为 .
10．5 提示：的二项展开式的通项为，，因为展开式中存在常数项，所以，则正整数的最小值为5.
11．在展开式中x4系数为＿＿＿
11．35 提示：＝
则展开式中x4系数为。
12．已知，求 ．
12．63 提示：令，则有，
令，则有，
令，则有
联立上面3式可解得63。
三．解答题
13．若的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且的取值范围。
13．解：展开式中的第二项为，展开式中的第三项为，由题意知，即，因为，所以，即，因为所以。
14．设,.
（Ⅰ）当=2012时,记，求；
（Ⅱ）若展开式中的系数是20，则当、变化时，试求系数的最小值．
14．解：（Ⅰ）令，得；
（Ⅱ）因为，所以,则的系数为
=,
所以当时，展开式中的系数最小，最小值为85。
15．,求被3除所得的余数。
解：当时；
当时；
所以，因为能被3整除，而
，所以除以3所得的余数为2，即被3除的余数为2。
计数原理与概率（理）
解读考纲
（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理
①．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．
（2）排列与组合
① 理解排列的概念，能利用计数原理推导排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题
②理解组合的概念，能利用计数原理推导组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题
（3）二项式定理
①能用计数原理证明二项式定理
②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题
（4）事件与概率
①了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别
②了解两个互斥事件的概率加法公式
③了解条件概率和两个相互独立事件的概念．
（5）古典概型
①理解古典概型及其概率计算公式
②会计算一些随机事件所包含的基本事件及事件发生的概率
（6）随机数
①了解随机数的意义能运用模拟法估计概率
近几年高考题考查的重点是：计数原理与排列组合解决一些简单的实际问题或和古典概型结合到一起命题，二项式定理，概率主要考查互斥、相互独立．
高考试题回放：
考点一：计数原理与排列组合
1．（2011北京理科12题）用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有__________个．（用数字作答）
【解析】2出现1次有种，2出现2次有种，2出现,3次有种，根据分类计数原理可知这样的四位数共有种
有2和3组成的四位数是16个，其中不合条件的有2个，所求的四位数为14个．
2.（2011 安徽理8）设集合，则满足且的集合的个数是（ ）
（A）57 （B）56 （C）49 （D）8
【解析】集合A的所有子集共有个，其中不含4,5,6的子集有个，所以集合共有56个.故选B.
点评：结合集合子集的算法，利用乘法计数原理与排除法，
考点二；二项式定理
1．（2011天津理科5）. 在的二项展开式中，的系数为
A． B． C． D．
【解析】由二项式展开式得，，
令，则的系数为.
2．（2011全国新课标理科8）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为
（A）-40 （B）-20 （C）20 （D）40
【解析】令，展开式中常数项为
3. （2011年安徽理12）设，则 .
【解析】.
4．（2011山东理14）若展开式的常数项为60，则常数的为 .
解析：因为,所以=2, 常数项为60,解得.
5．（2011年浙江13）设二项式的展开式中的系数为,常数项为，若，则的值是 ．
【解析】由题意得
，
∴，，又∵，
∴，解之得，又∵，∴.
考点三：古典概型与互斥
1（2011全国课标理科4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】这是一个古典概型，基本事件数是个，甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组所包含的基本事件数是3，所以甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为.故选A．
2．（2011陕西理10）甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】选D 甲乙两人各自独立任选4个景点的情形共有（种）；最后一小时他们同在一个景点的情形有（种），所以．
3．（浙江理科9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率为
（A） （B） （C） （D）
【解析】只有两本语文书相邻的情形有种，同样只有两本数学书相邻的情形有，两本语文书相邻且两本数学书相邻的情形有，因此同一科目的书都不相邻的概率为古典概型的概率公式得.
4．（2011年江苏5）．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是 ．
【解析】从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数所有情形有种，其中一个数是另外一个的两倍的情形只有和两种．
5（2011山东文18）甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.
（1）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
（2）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率.
【解析】(1) 从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，所有可能的结果为(甲男1,乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)， (甲男2, 乙男)、(甲男2, 乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女, 乙男) (甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) ，共9种；选出的2名教师性别相同的结果有(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2)，共4种，所以选出的2名教师性别相同的概率为.
（2）从报名的6名教师中任选2名，所有可能的结果为(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2) (甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲女, 乙男) 、(甲男1, 乙女1)、(甲男2, 乙女1)、(甲女, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、 (甲男2, 乙女2)、 (甲女, 乙女2) 、，共15种；选出的2名教师来自同一学校的所有可能的结果为(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2)，共6种，所以选出的2名教师来自同一学校的概率为.
考点四：条件概率，互斥与相互独立事件
1．（2011广东理科6）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】乙获得冠军的概率为，则甲队获得冠军的概率为
选D
2．（2011辽宁理5）从中任取各不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到的2个数均为偶数”，则（ ）
(A) (B) (C) (D)
【解析】方法一）两个奇数的和为偶数，两个偶数的和为偶数，所以
，所以；
方法二）因为，，所以．
3．（2011天津理16）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个 白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球， 若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）
（1）求在1次游戏中，（i）摸出3个白球的概率，（ii）获奖的概率．
【解析】（1）（i）设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件则
（ii）解：设“在1次游戏中获奖”为事件B，则，又
且A2，A3互斥，
所以
4. (2011年高考山东卷理科18)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立．
（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；
（Ⅱ）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望.
【解析】（Ⅰ）红队至少两名队员获胜的概率为=0.55.
（Ⅱ）取的可能结果为0,1,2,3,则
=0.1;
++=0.35;
=0.4;
=0.15.
所以的分布列为
0
1
2
3
P
0.1
0.35
0.4
0.15
数学期望=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6.
高考模拟训练
一选择题
1.12名同学进行队列训练，站成前排4人后排8人，现教官要从后排8人中抽2人调
整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )
A． B． C． D．
2．在的展开式中，的系数为( )
A．4 B．6 C．8 D．10
3．已知，则的值为（ ）
A B C D
4．若与B相互独立，则下面，，，
相互独立的事件有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
5.某高等学校自愿献血的50位同学的血型分布情形如下表：
血型
A
B
AB
O
人数
20
10
5
15
则从这50人中随机选出两人，问两人血型相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．从4名男生和3名女生中选出3人参加学生座谈会，若这3人中既有男生又有女生，则不同的选法共有 （ ）
A．60种 B．32种 C．31种 D．30种
7. 某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔相互独立．根据甲、乙二人现有的水平，第一次选拔，甲、乙二人合格的概率依次为0.5、0.6，第二次选拔，甲、乙二人合格的概率依次为0.6、0.5， 则第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格，而乙不合格的概率；
A B C D
8．已知展开式中的常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和为（ ）
A．28 B．38 C．1或38 D．1或28
9．某仪器显示屏上的每个指示灯均以红光或蓝光来表示不同的信号，已知一排有个指示灯．若每次显示其中的4个，并且恰有3个相邻，则可显示的不同信号共有（ ）
A．80种 B．160种 C．320种 D．640种
10．将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为，则方程有实根的概率为（ ）
A． B． C． D．
二填空题
11.足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么一个队打10场共得15分的情况有____种．
12．若，则的值为______．
13． 将9个人（含甲、乙）平均分成三组，甲乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（ ）
14．箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，先摸出1只红球，不放回，然后再摸出1只球，则第二次摸到白球的概率为_____．
15．从的展开式中任取一项，则取到有理项的概率为_____．
三．解答题
16．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．
（1）共有多少种放法？
(2)恰有一个盒子不放球，有多少种放法？
17． 甲、乙、丙三人射击同一目标，各射击一次，是否击中是相互独立的．将甲、乙、丙各自击中目标依次记为事件，它们的对立事件分别记为，，．若，，，且．
(1) 求至少有一人击中目标的概率；
(2) 求、的值．
17．解析：（1）至少有一人击中目标的对立事件为三人都不击中，
18．甲乙两个盒子里各放有标号为1，2，3，4的四个大小形状完全相同的小球，从甲盒中任取一小球，记下号码后放入乙盒，再从乙盒中任取一小球，记下号码，设
（1）求的概率；
（2）求1的概率．
19．某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进行第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品的合格率依次为 ，，．经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品的合格率均为．
(1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
(2)求经过前后两次烧制后三件产品均合格的概率．
20．已知直线：，直线：，其中，．
（1）求直线的概率；
（2）求直线与的交点位于第一象限的概率．
21．已知，
（1）若，求的值；
（2）若，求中含项的系数；
（3）证明：
参考答案：
1．D 提示：第一步从后排8人中抽2人调有，第二步2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变有，根据分步乘法计数原理不同调整方法的总数．
2．B 提示：的展开式的通项为，当时，，所以选B ．
3．C 提示：
4．C 提示：有相互独立事件的概念可知是互斥，其它是相互独立．
5．D 提示：从50人选出两人的方法数为
选出两人同血型的方法数为
故两人血型相同的概率是
6．D 提示：分为两类：第一类选2男1女有种，第一类选1男2女有种，根据分类加法计数原理可知+=30种
7．A 提示 ：则依题意可得所求事件的概率
8．C 提示：展开式的通项为
令，解得，由题意可得，解得，所以展开式中各项系数的和为1或38．
9．C 提示：一排有个指示灯．若每次显示其中的4个，并且恰有3个相邻有种排法，每个灯有2种选择，所以显示的不同信号共有种．
10．D 提示：方程有实根，将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为共有36种等可能的结果，其中满足条件，有19种，故所求概率，选D
11．3 提示：胜平负分别为5，0，5或4,3,3或3,6,1
12．0提示: 由二项展开式可知，则．
13．70 提示：由题意可知不同分组方法的种数为种
14． 提示：第一次摸到红球的概率为，第二次摸到白球的概率为，所以第二次摸到红球的概率为（注：也可用条件概率来计算）
15． 提示：的展开式共有21项，其通项为，（，所以当时为有理项，即有理项的个数为6，所以所求事件的概率为．
16．解析：（1）一个球一个球地放到盒子里，每个球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理可知，共有种
（2）恰有一个盒子不放球，则四个盒子放球的个数分别为0,1,1,2，所以先分成3组，然后在全排，所以有种
故所求概率为
（2）由题设可得
即，注意到
解之得， 18．解析：（1）
（2）当=0时，
当=1时，
所以1的概率．
19．解析：（1）分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件；
设E表示第一次烧制后恰好有一件合格，则：
∴第一次烧制后恰好有一件产品合格的概率为
（2）分别记甲、乙、丙经两次烧制后合格为事件为A、B、C，则：
设F表示经过两次烧制后三件产品均合格，则：
∴经过前后两次烧制后三件产品均合格的概率．
20．（1）解：直线的斜率，直线的斜率．
设事件为“直线”．
，的总事件数为36种．
若，则，即，即．
满足条件的实数对有、、共三种情形．
所以．
所以直线的概率为．
（2）解：设事件为“直线与的交点位于第一象限”，由于直线与有交点，则．
联立方程组解得
因为直线与的交点位于第一象限，则
即解得．
，的总事件数为36种．
满足条件的实数对有、、、、、共六种．
所以．
所以直线与的交点位于第一象限的概率为．
21．解：（1）因为,
所以,
又,
所以 （1）
（2）
（1）-（2）得：
所以：
（2）因为，
所以
中含项的系数为
（3）设 (1)
则函数中含项的系数为
(2)
(1)-(2)得
中含项的系数，即是等式左边含项的系数，等式右边含项的系数为
所以
