2021年上海市春季高考数学试卷
时间：120分钟；满分：150分
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1.等差数列中，，则
.
2.已知复数z满足(i是虚数单位)，则＝
.
3.不等式的解集为
.
4.已知圆柱的底面半径为1,母线长为2,则圆柱的侧面积为
.
5.求直线与直线的夹角为________.
6.方程组无解，求
.
7.的二项展开式中有且仅有为最大值，则的系数为
.
8.已知函数的最小值为，则
.
9.
在无穷等比数列中，，则的取值范围是
10.
某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如下表所示，
问有几种运动方式组合
A运动
B运动
C运动
D运动
E运动
7点8点
8点9点
9点10点
10点11点
11点12点
30分钟
20分钟
40分钟
30分钟
30分钟
11.
已知椭圆（）的左、右焦点为、，以为顶点，为焦点作
抛物线交椭圆于，且，则抛物线的准线方程是
12.
已知，对任意，总存在实数，使得，则的最小值是
二.
选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13.下列函数中,在定义域内存在反函数的是
(
)
A.
B.
C.
D.
14.已知集合，则（
）
A.
B.
C.
D.
15.
已知函数的定义域为，下列是无最大值的充分条件是（
）
A.
为偶函数且关于直线对称
B.
为偶函数且关于点对称
C.
为奇函数且关于直线对称
D.
为奇函数且关于点对称
16.
在△中，为中点，为中点，则以下结论：①
存在△，使得；②
存在三角形△，使得∥；成立的是（
）
A.
①成立，②成立
B.
①成立，②不成立
C.
①不成立，②成立
D.
①不成立，②不成立
三、
解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17.
四棱锥，底面为正方形，边长为4，为中点，平面.
（1）若△为等边三角形，求四棱锥的体积；
（2）若的中点为，与平面所成角为45°，
求与所成角的大小.
18.
已知、、为△的三个内角，、、是其三条边，，.
（1）若，求、；（2），求.
19.（1）团队在点西侧、东侧20千米处设有、两站点，测量距离发现一点满足千米，可知在、为焦点的双曲线上，以点为原点，东侧为轴正半轴，北侧为轴正半轴，建立平面直角坐标系，在北偏东60°处，求双曲线标准方程和点坐标.
（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有、两站点，测量距离发现千米，千米，求（精确到1米）和点位置（精确到1米，1°）
20.
已知函数.
（1）若，求函数的定义域；
（2）若，若有2个不同实数根，求的取值范围；
（3）是否存在实数，使得函数在定义域内具有单调性？若存在，求出的取值范围.
21.
已知数列满足，对任意，和中存在一项使其为另一项与的
等差中项
（1）已知，，，求的所有可能取值；
（2）已知，、、为正数，求证：、、成等比数列，并求出公比；
（3）已知数列中恰有3项为0，即，，且，，
求的最大值.2021年上海市春季高考数学试卷
（参考答案版）
2021.01
时间：120分钟；满分：150分
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1.等差数列中，，则
.
【答案】
【解析】
2.已知复数z满足(i是虚数单位)，则
.
【答案】
【解析】
3.不等式的解集为
.
【答案】
【解析】
4.已知圆柱的底面半径为1,母线长为2,则圆柱的侧面积为
.
【答案】
【解析】
5.求直线与直线的夹角为________.
【答案】
【解析】
6.方程组无解，求
.
【答案】
【解析】
7.的二项展开式中有且仅有为最大值，则的系数为
.
【答案】
【解析】
8.已知函数的最小值为，则
.
【答案】
【解析】
9.
在无穷等比数列中，，则的取值范围是
【答案】
【解析】由题意，，∴，
∴，∴
10.
某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如下表所示，
问有几种运动方式组合
A运动
B运动
C运动
D运动
E运动
7点8点
8点9点
9点10点
10点11点
11点12点
30分钟
20分钟
40分钟
30分钟
30分钟
【答案】
【解析】由题意，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB、DB、EB的组
合是不符题意的，∴
11.
已知椭圆（）的左、右焦点为、，以为顶点，为焦点作
抛物线交椭圆于，且，则抛物线的准线方程是
【答案】
【解析】设，，则抛物线，直线，
联立，∴，∴，，，
∴，即准线方程为
12.
已知，对任意，总存在实数，使得，则的最小值是
【答案】
【解析】在单位圆中分析，由题意，的终边要落在图中阴影部分区域（其中
），∴，∵对任意要成立，∴，
即，，同时，∴的最小值为
二.
选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13.下列函数中,在定义域内存在反函数的是
(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】
14.已知集合，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
15.
已知函数的定义域为，下列是无最大值的充分条件是（
）
A.
为偶函数且关于直线对称
B.
为偶函数且关于点对称
C.
为奇函数且关于直线对称
D.
为奇函数且关于点对称
【答案】
【解析】反例如图所示.
选项D，易得，
16.
在△中，为中点，为中点，则以下结论：①
存在△，使得；②
存在三角形△，使得∥；成立的是（
）
A.
①成立，②成立
B.
①成立，②不成立
C.
①不成立，②成立
D.
①不成立，②不成立
【答案】
【解析】不妨设，，，，，
①
，，若，∴，
∴，满足条件的明显存在，∴①成立；
②
F为AB中点，，与交点即重心，
∵为三等分点，为中点，∴与不共线，
即②不成立；故选B
三、
解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17.
四棱锥，底面为正方形，边长为4，为中点，平面.
（1）若△为等边三角形，求四棱锥的体积；
（2）若的中点为，与平面所成角为45°，求与所成角的大小.
【答案】（1）；（2)
【解析】（1）∵正方形边长为4，△为等边三角形，为中点，
∴，；
（2）如图建系，，，，
，∴，，
∴，
即与所成角的大小为
18.
已知、、为△的三个内角，、、是其三条边，，.
（1）若，求、；（2），求.
【答案】（1）,（2）
【解析】（1），∴，；
（2），∴，∵，
由正弦定理，
19.（1）团队在点西侧、东侧20千米处设有、两站点，测量距离发现一点满足千米，可知在、为焦点的双曲线上，以点为原点，东侧为轴正半轴，北侧为轴正半轴，建立平面直角坐标系，在北偏东60°处，求双曲线标准方程和点坐标.
（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有、两站点，测量距离发现千米，千米，求（精确到1米）和点位置（精确到1米，1°）
【答案】（1）,;(2),点位置北偏东
【解析】（1），，∴，双曲线为；
直线，联立双曲线，得；
（2）①，，，∴，双曲线为；
②
，，，∴，双曲线为；
联立双曲线，得，∴米，点位置北偏东
20.
已知函数.
（1）若，求函数的定义域；
（2）若，若有2个不同实数根，求的取值范围；
（3）是否存在实数，使得函数在定义域内具有单调性？若存在，求出的取值范围.
【答案】（1）;
(2);(3)
【解析】（1），∴，解得；
（2），设，∴有2个不同实数根，
∴整理得，，同时，∴；
（3）当，，在递减，
此时需满足，即时，函数在上递减；
当，，在上递减，
∵，∴，即当时，函数在上递减；
综上，当时，函数在定义域上连续，且单调递减
21.
已知数列满足，对任意，和中存在一项使其为另一项与的等差中项
（1）已知，，，求的所有可能取值；
（2）已知，、、为正数，求证：、、成等比数列，
并求出公比；
（3）已知数列中恰有3项为0，即，，且，，
求的最大值.
【答案】（1）;（2）见解析；（3）
【解析】（1）由题意，或，
∴，，经检验，
（2）∵，∴，或，经检验，；
∴，或（舍），∴；
∴，或（舍），∴；
∴，或（舍），∴；
综上，、、成等比数列，公比为；
（3）由或，可知或，
由第（2）问可知，，
∴，，
∴，
同理，，，∴，
同理，，∴的最大值为
