2021年全国甲卷高考理科数学真题试卷（word版，无答案）
文档属性
| 名称 | 2021年全国甲卷高考理科数学真题试卷（word版，无答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 468.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-06-08 10:14:28 | ||
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文档简介
2021全国高考真题甲卷
数
学（理）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，则
A.
，
B.
C.
D.
2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是
A.
该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.
该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.
估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.
估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
3.已知，则z=
A.
B.
C.
D.
4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为
A.
1.5
B.
1.2
C.
0.8
D.
0.6
5.已知，是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为
A.
B.
C.
D.
6.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应的侧视图是
7.等比数列的公比为q，前n项和为.设甲：q>0，乙：是递增数列，则
Ａ.
甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.
甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.
甲是乙的充要条件
D.
甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A'，B'，C'满足∠A'C'B'=45°，∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB'与CC'差为100：由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为
A.
346
B.
373
C.
446
D.
473
9.若则
A.
B.
C.
D.
10.
将4个1和12个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为
A.
B.
C.
D.
11.
已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC=BC=1，则三棱锥O-ABC的体积为
A.
B.
C.
D.
12.设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，.若.则
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.曲线在点处的切线方程为_______________.
14.已知向量.若a⊥c，则k=____________________.
15.已知为椭圆的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为____________________.
16.已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正数x为___________________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
(一)必考题：共60分。
17.(12分)
甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：，
18.(12分)
已知数列的各项均为正数，记，为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
19.(12分)
已知直三棱柱中，侧面为正方形，AB=BC=2，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，.
(1)证明：BF⊥DE；
(2)当为何值时，面与面DFE所成的二面角的正弦值最小?
20.(12分)
抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x=1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ.已知点M(2，0)，且⊙M与l相切.
(1)求C，⊙M的方程；
(2)设，是C上的三个点，直线，，均与⊙M相切，判断线与⊙M的位置关系，并说明理由.
21.(12分)
已知a>0且a≠1，函数.
(1)当a=2时，求的单调区间；
(2)若曲线与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围.
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点A的直角坐标为，Ｍ为C上的动点，点P满足，写出P的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点.
23.[选修4~5：不等式选讲](10分)
已知函数.
(1)画出和的图像；
(2)若，求a的取值范围.
1
/
1
数
学（理）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，则
A.
，
B.
C.
D.
2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是
A.
该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.
该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.
估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.
估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
3.已知，则z=
A.
B.
C.
D.
4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为
A.
1.5
B.
1.2
C.
0.8
D.
0.6
5.已知，是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为
A.
B.
C.
D.
6.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应的侧视图是
7.等比数列的公比为q，前n项和为.设甲：q>0，乙：是递增数列，则
Ａ.
甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.
甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.
甲是乙的充要条件
D.
甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A'，B'，C'满足∠A'C'B'=45°，∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB'与CC'差为100：由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为
A.
346
B.
373
C.
446
D.
473
9.若则
A.
B.
C.
D.
10.
将4个1和12个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为
A.
B.
C.
D.
11.
已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC=BC=1，则三棱锥O-ABC的体积为
A.
B.
C.
D.
12.设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，.若.则
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.曲线在点处的切线方程为_______________.
14.已知向量.若a⊥c，则k=____________________.
15.已知为椭圆的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为____________________.
16.已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正数x为___________________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
(一)必考题：共60分。
17.(12分)
甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：，
18.(12分)
已知数列的各项均为正数，记，为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
19.(12分)
已知直三棱柱中，侧面为正方形，AB=BC=2，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，.
(1)证明：BF⊥DE；
(2)当为何值时，面与面DFE所成的二面角的正弦值最小?
20.(12分)
抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x=1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ.已知点M(2，0)，且⊙M与l相切.
(1)求C，⊙M的方程；
(2)设，是C上的三个点，直线，，均与⊙M相切，判断线与⊙M的位置关系，并说明理由.
21.(12分)
已知a>0且a≠1，函数.
(1)当a=2时，求的单调区间；
(2)若曲线与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围.
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点A的直角坐标为，Ｍ为C上的动点，点P满足，写出P的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点.
23.[选修4~5：不等式选讲](10分)
已知函数.
(1)画出和的图像；
(2)若，求a的取值范围.
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