2021年新高考全国I卷数学真题试卷（Word版，含答案）

绝密★启用前
2021年普通高等学校招生全国统一考试
数
学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
!异常的公式结尾回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
设集合，，则
A．
B．
C．
D．
已知，则
A．
B．
C．
D．
已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为
A．2
B．
C．4
D．
下列区间中，函数单调递增的区间是
A．
B．
C．
D．
已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为
A．13
B．12
C．9
D．6
若，则
A．
B．
C．
D．
若过点可以作曲线的两条切线，则
A．
B．
C．
D．
有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则
A．甲与丙相互独立
B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立
D．丙与丁相互独立
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中，为非零常数，则
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
已知为坐标原点，点，，，，则
A．
B．
C．
D．
已知点在圆上，点，，则
A．点到直线的距离小于10
B．点到直线的距离大于2
C．当最小时，
D．当最大时，
在正三棱柱中，，点满足，其中，，则
A．当时，的周长为定值
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
已知函数是偶函数，则__________．
已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且．若，则的准线方程为__________．
函数的最小值为__________．
某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为__________；如果对折次，那么__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和．
18．（12分）
某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分。
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
19．（12分）
记的内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，．
（1）证明：；
（2）若，求．
20．（12分）
如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．
（1）证明：；
!异常的公式结尾若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．
21．（12分）
在平面直角坐标系中，已知点，，点满足．记的轨迹为．
（1）求的方程；
!异常的公式结尾设点在直线上，过的两条直线分别交于，两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和．
22．（12分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：．
绝密★启用前
试卷类型：B
2021年普通高等学校招生全国统一考试
数
学
本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
2．已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
3．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
4．下列区间中，函数单调递增的区间是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
5．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
6．若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
7．若过点可以作曲线的两条切线，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
8．有个相同的球，分别标有数字，，，，，，从中有放回的随机取两次，每次取个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则（
）
A．甲与丙相互独立
B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立
D．丙与丁相互独立
【答案】B
二、选择题：本题共4小题。每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．有一组样本数据，，…，，由这组数据得到的新样本数据，，…，，其中，为非零常数，则（
）
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
【答案】CD
10．已知为坐标原点，点，，
，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
11．已知点在圆上，点，，则（
）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
【答案】ACD
12．在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（
）
A．当时，的周长为定值
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
【答案】BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数是偶函数，则
．
【答案】1
14．已知为坐标原点，抛物线：的焦点为,为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且．若，则的准线方程为
．
【答案】
15．函数的最小值为
．
【答案】
16．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为的长方形纸，对折次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推．则对折次共可以得到不同规格图形的种数为
；如果对折次，那么
．
【答案】，
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知数列满足，．
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前项和．
【答案】（1）为偶数，
则，，
，即，且，
是以为首项，3为公差的等差数列，
，，．
（2）当为奇数时，，
的前项和为
．
由（1）可知，
　　
　　　　　
　　　　
　　　．
的前项和为．
18．（12分）
某学校组织“一带一路”知识竞赛，有，两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．类问题中的每个问题回答正确得分，否则得分；类问题中的每个问题回答正确得分，否则得分．
已知小明能正确回答类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
（1）若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
【答案】（1）的取值可能为，，，
，
，
，
的分布列为
（2）假设先答类题，得分为，
则可能为，，，
，
，
，
的分布列为
，
由（1）可知，
，
应先答类题．
19．（12分）
记的内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，．
（1）证明：；
（2）若，求．
【答案】
（1）在中，，
，
，
联立得，即，
，
．
（2）若，
中，，
中，，
，
，
整理得，
，
，
，即或，
若时，，
则
　
　　　　　
　　
　　　　
　　
　　　　（舍），
若，，
则
　　　　
　
　　　　
　
　　　
　　.
20．（12分）
如图，在三棱锥中，平面平面，，是的中点．
（1）证明：；
（2）若是边长为的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．
【答案】
（1），为中点，
，
面，
面面且面面，
面，
．
（2）以为坐标原点，为轴，为轴，垂直且过的直线为轴，
设，，，，,
，，
设为面法向量，
，
，
令，，，
，
面法向量为，
，解得，
，
，
．
21．（12分）
在平面直角坐标系中，已知点，，点满足
．记的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于，两点和，两点，
且，求直线的斜率与直线的斜率之和．
【答案】（1），
轨迹为双曲线右半支，，，
，，
．
（2）设，
设：，
联立，
，
，
，
，
，
，
设：，
同理，
，
，，
，即，
，
.
22．（12分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：．
【答案】（1）
在单调递增，在单调递减
（2）由，得
即
令，
则为的两根，其中．
不妨令，，则
先证，即证
即证
令
则
恒成立，
得证
同理，要证
即证
令
则，令
又，，且
故，，
恒成立
得证