2021年全国高考真题乙卷数学试卷（文）（word版，含解析）

2021年普通高等学校招生全国统一考试试题
数学(乙卷·文科)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，集合，则(
)
A．
B．
C．
D．
2．设，则(
)
A．
B．
C．
D．
3．已知命题命题，则下列命题中为真命题的是(
)
A．
B．
C．
D．
4．函数的最小正周期和最大值分别是(
)
A．和
B．和2
C．和
D．和2
5．若满足约束条件(
)
A．18
B．10
C．6
D．4
6．(
)
A．
B．
C．
D．
7．在区间(0，)随机取1个数，则取到的数小于的概率为(
)
A．
B．
C．
D．
8．下列函数中最小值为4的是(
)
A．
B．
C．
D．
9．设函数，则下列函数中为奇函数的是(
)
A．
B．
C．
D．
10．在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为(
)
A．
B．
C．
D．
11．设是尼圆的上顶点，点在上，则的最大值为(
)
A．
B．
C．
D．2
12．设，若为函数的极大值点，则(
)
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，若，则________．
14．曲线的右焦点到直线的距离为________．
15．记的内角的对边分别为，面积为，则________．
16．以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和附视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_____________(写出符合求的一组答案即可)．
三、解答题
17．某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备
新设备
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为，样本方差分别记为和．
(1)求；
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．
18．如图，四棱锥的底面是矩形，底面为的中点，且
(1)证明：平面平面；
(2)若，求四棱锥的体积．
19．设是首项为1的等比数列，数列满足已知成等差数列．
(1)求和的通项公式；
(2)记和分别为和的前项和．证明：．
20．已知抛物线C：的焦点到准线的距离为2．
(1)求C的方程；
(2)已知О为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线OQ斜率的最大值．
21．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系Oy中，的圆心为，半径为
(1)写出的一个参数方程；
(2)过点F(4，1)作⊙C的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
23．[选修4－5：不等式选讲]已知函数
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若，求的取值范围．
2021年普通高等学校招生全国统一考试试题数学(乙卷·文科)
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
A
D
C
D
B
C
B
D
A
D
1.【答案】A
【解析】由所以所以
故选A
2.【答案】C
【解析】在等式iz=4+3i两边同时乘i得，-z=4i-3,所以z=3-4i,故选C.
3.【答案】A
【解析】由已知可得命题p为真命题，命题q为真命题，所以p︿q为真命题，故选A
4.【答案】D
【解析】由可得故周期为最大值为2，故选D.
5.【答案】C
【解析】由约束条件可得可行域如图所示，当直线z=3x+y过点B(1,3)时，z取最小值为6，故选C.
6.【答案】D
【解析】由题意可知
7.【答案】B
【解析】由题意可知，本题是几何概型，测度为长度
8.【答案】C
【解析】由题意可知A的最小值为3，B的等号成立条件不成立，D无最小值.
9.【答案】B
【解析】由题意可知向右平移1个单位，向上平移一个单位即得到为奇函数，所以选B
10.【答案】D
由题意可知，连接则所成角即为所求角θ，设AB=2，
则
由余弦定理可知所以夹角为
11.【答案】A
【解析】
由P在C上，设且
因此
由代入上式得
化简得因此当且仅当时，的最大值为故答案选A
12.【答案】D
【解析】当a>0，f(x)大致图象如下图左所示，易得b>a>0.当a<0,f(x)大致图像如下图右所示，易得0>a>b.
综上所述，得,故答案选D
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.【答案】
【解析】由已知，a∥b，则2×4=5λ，故
14.【答案】
【解析】由题意可知，双曲线的右焦点坐标为(3,0),由点到直线的距离公式得
15.【答案】
【解析】由面积公式，则ac=4,由余弦定理得，，所以.
16.【答案】③④或②⑤
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（12分）
【解析】（1）由表中的数据可得：
（2）由（1）中的数据可得
则所以可判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
18.（12分）
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，
平面ABCD，
∴PD⊥AM
∵平面PBD，平面PBD，
∴AM⊥平面PBD
又∵平面PAM，
∴平面PAM⊥平面PBD
（2）∵M为BC的中点，∴且AB=DC=1①
∵AM⊥平面PBD，平面PBD，∴AM⊥BD
则有∠BAM+∠MAD=90°，∠MAD+∠ADB=90°，即∠BAM=∠ADB，
则有，则有即将①式代入，解得.
所以
19.（12分）
【答案】（1）；（2）x+y+z=1
【解析】设的公比为q，则
因为成等差数列，所以解得
故
又则
两边同乘，则
两式相减，得
即
整理得
故
20.（12分）
【答案】（1）;（2）
【解析】（1）在抛物线中，焦点F到准线的距离为p，故p=2，
（2）设点
则
因为所以
那么
又因为点P在抛物线上，所以则点Q的轨迹方程
设直线OQ方程为y=kx,当直线OQ和曲线相切时，斜率最大，联立直线与曲线方程，此时，得
相切时，解得
所以直线OQ斜率的最大值为.
21.（12分）
【答案】（1），当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
（2）（1，1+a）和（-1，-1-a）
【解析】函数的定义域为R，其导数为
①当时，方程至多有一解，在R上单调递增；
②当时，若即
此时方程有两根：
时，或；时，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.所以，当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
（2）记曲线过坐标原点的切线为l，切点为
所以切线l的方程为
又l过坐标原点，则解得
所以切线l的方程为
若则有方程
解得x=1或x=-1
所以曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为(1,1+a)和(-1,-1-a).
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（10分）
【解析】（1）⊙C的参数方程为
（2）⊙C的方程为
①当直线斜率不存在时，直线方程为x=4，此时圆心到直线距离为2>r,舍去；
②当直线斜率存在时，设直线方程为y-1=k(x-4),化简为kx-y-4k+1=0,
此时圆心C(2,1)到直线的距离为
化简得
两边平方有所以
代入直线方程并化简得或化为极坐标方程为
或
23.（10分）
【答案】（1）（2）
【解析】（1）当a=1时，
当x≤-3时，不等式解得x≤-4；
当-3当x≥1时，不等式解得x≥2.
综上，原不等式的解集为
（2）若即
因为（当且仅当时，等号成立），所以所以即a+3-a,解得
1
/
1