2021年全国乙卷数学（理科）高考真题试卷（Word版，含答案）

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2021年普通高等学校招生全国统一考试
（
乙
卷）
理
科
数
学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。21教育网
2．选择题的作答：选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在本试卷上无效。【来源：21·世纪·教育·网】
3考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合）
1．设，则
A．
B．
C．
D．
2．已知集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知命题，命题，则下列命题中是真命题的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．设函数=，则下列函数中为奇函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（
）
A．
B．
C．
D．
6．将5名北京冬奥会的志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到一个项目，每个项目至少分配一名志愿者，则不同的分配方案有（
）
A．??种??
B．???种????
?
C．??种??????
D．??种??
7．把函数图像上的所有点缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得图像向右平移单位，得到函数的图像，则（
）
A．
B．
C．
D．
8．在区间??与中各随机取一个数，则两数之和大于的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
9．魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第1题是测量海岛的高。如图，点在水平线上，与是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，
称为“表距”，
和称为“表目距”，
与的差称为“表目距的差”，则海岛的高为（
）
A．
B．
C．
D．
10．设，若为函数的极大值点，则（
）.com
A．
B．
C．
D．
11.
设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是
A．
B．
C．
D．
12．设，则
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．已知双曲线的一条渐近线为，则的焦距__________.
14．已知向量，若，则为________?
15．记三角形的内角的对边分别为，面积为，则________2·1·c·n·j·y
16．以图①
为正视图与俯视图，在图②③④⑤中分别选两个作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选为侧视图和俯视图的编号依次为____________
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)
某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备个生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和
（1）求和，和
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.
18．(本小题满分12分)
如图，四棱锥的底面是矩形，底面为的中点，且.
（1）求；
（2)
求二面角的正弦值。
19．记为数列的前项和，为数列的前项和，已知.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求的通项公式.
20．(本小题满分12分)
设函数，已知是函数的极值点。
（1）求；
（2）设函数，证明：.
21．(本小题满分12分)
己知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为4.
（1）求；
（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求的最大值.
选考部分
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4─4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，的圆心为，半径为1.
（1）写出的一个参数方程；（2）过点作的两条切线,
以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.
23.[选修4一5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若
,求的取值范围.
2021全国高考试卷(全国乙卷安徽)答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分．
1-5
CCABD
6-10
CBBAD
11-12
CB
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13.4
14.
15.
16.②⑤或③④
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.解：（1）各项所求值如下所示
(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0
(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3
(2)由(1)中数据得,
显然，所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。
18.解：（1）因为底面且矩形，，所以以分别为轴正方向，为原点建立空间直角坐标系
设，,所以，
因为，所以，所以。
（2）设平面的一个法向量为，由于，则
设平面的一个法向量为，则
所以,所以二面角的正弦值为.
19.（1）由已知,则
故数列是以为首项，为公差的等差数列。
（2）由（1）知，则，又，
当时，，故
20.（1）
，
当时，,所以。’
（2）由),得。
当时，；当时，
故即证.
令,即证。
令,则，
所以在（0,1）上单调递减，在（1,+∞）上单调递增，故,得证。
21.解：（1）焦点到的最短距离为，所以.
（2）抛物线，.
设，
，，则
,,且
又,过，则，故，即
联立，得.
所以，到的距离为
所以，把代入得
.
而.故当时，达到最大，最大值为.
22.
(1)因为的圆心为(2,1)，半径为1.故的参数方程为为参数).
?(2)设切线,即.故
即.故直线方程为,
故两条切线的极坐标方程为或.
23.解：(l)a
=
1时，f(x)
=
|x-1|+|x+3|，
即求|x-1|+|x-3|≥
6
的解集.
当x≥1时，2x十2
≥6,得x≥
2;
当-3当x≤-3时-2x-2≥6.得x≤-4，
综上，解集为(-∞,-4]U[2,
-∞).
(2)
f(x)最小值>-a,而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.
当x在a和-3之间时最小，此时f(x)最小值为|a+3|,即|a+3|＞-a.
A≥-3时,2a+3>0，得a>-；a<-3
时,-a-3>-a,此时a不存在.
综上，a>-.