模拟测试题
一、填空题
1．已知是底面边长为1的正四棱柱，高。则四面体的体积 。
2．[2009·四川卷文]如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是 。
3．给出下列命题，其中正确的命题的序号是 。
①若平面上的直线与平面上的直线为异面直线，直线是与的交线，则至多与中的一条相交；
②若直线是异面直线，直线是异面直线，则直线也是异面直线；
③一定存在平面同时与异面直线都平行；
④两个平面平行的充分条件是其中一个平面内有无数条直线平行于另一个平面。
4．[2010·江西理数]过正方体的顶点A作直线L，使L与棱,,所成的角都相等，这样的直线L可以作 条。
5．[2011·江西卷理]已知是三个相互平行的平面．平面之间的距离为，平面之间的距离为．直线与分别相交于，那么“”是“”的 （在“充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件”选一恰当的填入）
6．[2011·盐城二模]已知命题:“若∥则”成立，那么字母在空间所表示的几何图形有可能是:①都是直线;②都是平面;③是直线,是平面;④是平面,是直线.上述判断中,正确的有 (请将你认为正确的判断的序号都填上).
7．[2009·安徽卷理]对于四面体ABCD，下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）。
①相对棱AB与CD所在的直线异面；
②由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD的三条高线的交点；
③若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面；
④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；
⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。
8．[2010·全国卷理]已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 。
二、解答题
9．[2011盐城二模]在如图所示的多面体中,已知正三棱柱的所有棱长均为2,四边形是菱形.
(1)求证：平面平面.
(2)求该多面体的体积.
10．[2011·苏北四市一模]如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是菱形，PB=PD，且E，F分别是BC， CD的中点. 求证：
（1）EF∥平面PBD；
（2）平面PEF⊥平面PAC.
11．[2011·南通一模]如图，已知□ABCD，直线BC⊥平面ABE，
F为CE的中点．
（1）求证：直线AE∥平面BDF；
（2）若，求证：平面BDF⊥平面BCE．
12．[2010·江苏卷]如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。
求证：PC⊥BC；
求点A到平面PBC的距离。
参考答案与评析：
1．【答案】
【解】连，则所求四面体的体积
。
【答案】本题采用割补法求几何体的体积。
2．【答案】90°
【解】作BC的中点N，连接AN、B1N，则AN⊥平面BCC1B1，则AN⊥BM，在正方形BCC1B1中，N、M分别是BC，CC1的中点，则B1N⊥BM，而，∴BM⊥平面ANB1，∴AB1⊥BM。即异面直线所成的角的大小是90°。
【点评】本题表面上是求异面直线的所成的角大小，实质是证明异面直线垂直问题。
3．【答案】③
【解】对于①中直线可以与都相交，因此①错误；对于②直线相交、异面、平行都可能，因此②错误；③是正确的，因为只要将两异面直线平移成相交直线，这两相交直线所确定的平面，就是所求平面；对于④，两个平面平行，则一个平面内所有直线都平行于另一个平面，故其中一个平面内有无数条直线平行另一个平面是其必要条件，因此④错误。
【点评】本题以命题的真假为载体考查直线与直线、平面与平面的位置关系。注意培养空间想象能力和掌握一些特殊情形，是解决这类问题的关键。
4．【答案】4
【解】第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条。
【点评】本题考查空间想象能力及线线夹角的计算和判断。
5．【答案】充分必要条件
【解】（1）当直线与三个平行平面，，垂直时，显然；（2）当直线与三个平行平面，，斜交时，过点P1作直线P1A⊥分别交，于点A，B，则P1A⊥，所以，，显然，相交直线与直线P1A确定一个平面，又因为∥∥，所以∥，则。所以。综上所述，。
【点评】本题以充要条件为载体，结合平面与平面平行的性质，两平行平面间的距离进行考查，关键是掌握平面与平面平行的性质。
6．【答案】①②④
【解】①②④都是正确的；对于③，当⊥，∥时，只能确定直线垂直于平面中的一条直线（该直线与平行），不符合线面垂直的条件。
【点评】本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直的判定与性质，要熟悉直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直的条件才能熟练解决这类问题。
7．【答案】①④⑤
【解】假设AB与CD不是异面直线，则AB、CD共面，这与ABCD是四面体矛盾，故AB、CD是异面直线，因此①正确。由于该四面体的相对棱不一定互相垂直，因此过顶点A作四面体的高其垂足不一定是BCD的三条高线的交点，因此②不正确。当ABC和ABD是全等的三角形时，两个平面内AB边上的高的垂足重合，此时两条高相交，因此③不正确。
如图A，取AB、BC、CD、AD的中点E、F、G、H，连结EF、FG、GH、EH、EG、FH，由三角形中位线定理得，EF∥HG，且EF=HG，所以四边形EFGH是平行四边形，设EG与FH的交点为O，则O为EG、FH的中点。
如图B，取AB、CD、AC、BD的中点E、G、M、N，连结EM、MG、GN、NE、MN、EG，由三角形中位线定理得，EM∥NG，且
EM=NG，所以四边形EMGN是平行四边形，设EG与MN的交点为O1，则O1为EG、MN的中点。这样O与O1重合，所以EG、FH、MN交于一点。因此④正确。由于三角形的任何两边之和大于第三边，因此最长棱必有某个端点，由它引出的另外两条棱的长度之和大于最长棱。
【点评】本题以四面体为载体，考查异面直线、四面体的高与底面垂足之间的关系等基础知识以及空间想象能力。
8．【答案】2
【解析】设底面边长为a，则高，
所以体积。
设，则，令及，得，或。则当时，；当时，。则函数在上单调递增，在上单调递减。所以当时，取最大值，即V取得最大值。此时。
【点评】本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题.
9．【解】（1）由正三棱柱,得,而四边形是菱形,所以,又平面且,所以平面。
则由平面,得平面平面。
(2)因为正三棱柱的体积为，
四棱锥的体积为，所以该多面体的体积为。
【点评】（1）要证面面垂直，先证线面垂直；而要证线面垂直，就要先证线线垂直，而由条件易得直线AD与平面BCC1B1内两相交直线垂直，从而命题得证。（2）对于立体几何中不规则图形的计算往往可借助于“割”、“补”、“展”的方法来解决。
10．【解】（1）因为E，F分别是BC，CD的中点，
所以EF∥BD，
因为EF平面PBD，BD平面PBD，
所以EF∥平面PBD.
（2）设BD交AC于点O，连结PO，
因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC，O是BD中点，
又，所以BD⊥PO，又EF∥BD，所以EF⊥AC，EF⊥PO.
又，平面PAC，平面PAC，
所以EF⊥平面PAC.因为EF平面PEF，所以平面PEF⊥平面PAC.
【点评】本题以四棱锥为载体，考查线面平行，面面垂直问题。在证明时抓住利用所给四棱
锥的条件，结合所要证明的线面平行，只须证明线线平行即可，要证明面面垂直，只须证明线面垂直即可。
11．【解】（1）设AC∩BD＝G，连接FG．
由四边形ABCD为平行四边形，得G是AC的中点．
又∵F是EC中点，∴在△ACE中，FG∥AE．
∵AE平面BFD，FG?平面BFD，∴AE∥平面BFD；
（2）∵，∴．
又∵直线BC⊥平面ABE，∴．
又，∴直线平面．
由（1）知，FG∥AE，∴直线平面．
又直线平面DBF，∴平面DBF⊥平面BCE．
【点评】本题的关键是抓住要证线面平行，先证线线平行；要证面面垂直，先线面垂直。再利用所给条件证明所要证的线线平行，线面垂直就可以了。
12．【解】（1）因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC。
由∠BCD=900，得CD⊥BC，
又PDDC=D，PD、DC平面PCD，所以BC⊥平面PCD。
因为PC平面PCD，故PC⊥BC。
（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则DE∥CB，而平面PBC ，平面PBC ，所以DE∥平面PBC，则点D、E到平面PBC的距离相等。
又由E是AB的中点，得点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。
由（1）知：BC⊥平面PCD，而平面PBC，所以平面PBC⊥平面PCD。
因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，而平面PCD，且平面PBC与平面PCD交于PC，所以DF⊥平面PBC。在中，PD=DC=1，则DF=，所以点A到平面PBC的距离等于。
（方法二）如图，过点A作BC的平行线交CD的延长线于E，过点E作PC的垂线，垂足为F。则有AE∥平面PBC，所以点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离。
又BC⊥平面PCD，平面PCD，所以EF⊥BC，
又EF⊥PC，，所以EF⊥平面PBC。则EF即为点E到平面PBC的距离。又因为AE∥BC，AB∥CD，所以四边形ABCE为平行四边形。所以CE=AB=2。而=1，PD⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PD⊥CD，∠PCD。所以。则点A到平面PBC的距离为。
（方法三）等体积法，连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。
因为AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。
从而AB=2，BC=1，得的面积。
由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积。
因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC。
又PD=DC=1，所以。
由PC⊥BC，BC=1，得的面积。
由，，得，
故点A到平面PBC的距离等于。
【点评】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。
第一课时：空间平行与垂直（1）
一、考点整合
1．有关概念：
1）直线与平面平行：如果一条直线和一个平面没有公共点，我们说这条直线与这个平面平行。
2）两个平面平行：如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行。
2．平行关系的转化
两平面平行问题常常转化为直线与平面的平行问题，而直线与平面平行又可以转化为直线与直线平行，因此要注意运用转化的思想，以下为三种平行关系的转化示意图：
3．解决平行问题时要注意以下结论的应用
1）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行。
2）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一平面。
3）一条直线与两平行平面中的一个平面相交，那么它与另一个平面必相交。
4）平行于同一直线的两条直线平行。
5）平行于同一平面的两个平面平行。
6）如果一条直线与两个相交平面都平行，那么这条直线必与这两个平面的交线平行。
二、题型解析
1．[2011·浙江卷文]若直线不平行于平面，且，则下列结论中正确的是 。
①内的所有直线与异面； ②内不存在与平行的直线；
③内存在唯一的直线与平行； ④内的直线与都相交。
【答案】②
【解】由“直线不平行于平面，且”得到直线与平面相交，则平面内经过直线与平面交点的直线，与直线相交，平面内不经过直线与平面交点的直线，与直线异面，因此①③④错误；②正确。
2． [2009·江苏卷]设和为不重合的两个平面，给出下列命题：
①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；
②若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；
③设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；
④直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直。
上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）.
【答案】①②
【解】命题①由线面平行的判定定理及面面平行的判定定理得到是真命题；命题②是直线与平面平行的判定定理，是真命题；命题③根据面面垂直的判定定理，直线垂直于平面，和才垂直，而不一定垂直于平面，因此是假命题；命题④中，直线与平面垂直可推出直线与平面内的两条直线垂直，但由直线与平面内的两条直线垂直不能推出直线与平面垂直，所以直线与平面垂直的必要不充分条件是直线与平面内的两条直线垂直，所以错误。
【点评】本题关键是掌握立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。
3．[2011·南通一调]设a，b为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题：
①若a∥α，a∥β，则α∥β； ②若a⊥α，a⊥β，则α∥β；
③若a∥α，b∥α，则a∥b； ④若a⊥α，b⊥α，则a∥b．
上述命题中，所有真命题的序号是 ．
【答案】② ④
【解】命题①中的平面与也可能相交，所以错误；命题②是垂直于同一条直线的两个平面平行，正确；命题③中的直线与可以相交、平行、异面，所以错误；命题④是垂直于同一平面的两条直线平行，正确。
【点评】本题的关键是掌握空间中两平面、两直线平行的判定方法。平行于同一条直线的两个平面可能相交，可能平行；平行于同一平面的两条直线，相交、平行、异面都可能。
【点评】本题考查直线与平面相交时，平面内的直线与这条直线的位置关系。
4．[2011·福建卷文]如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
【答案】
【解】由EF∥平面AB1C，而EF平面ABCD，且平面ABCD平面AB1C=AC，所以EF∥AC，又点E为AD的中点，所以点F是CD的中点。则EF。又在正方形ABCD中，。则。
【点评】本题首先由直线与平面平行的性质得到线线平行，再利用三角形中位线定理即可。
5.[2010·山东理数]在空间，下列命题正确的是
①平行直线在同一平面上的射影重合
②平行于同一直线的两个平面平行
③垂直于同一平面的两个平面平行
④垂直于同一平面的两条直线平行
【答案】④
【解】命题①平行直线在同一平面上的射影可能平行，可能重合，错误；命题②平行于同一直线的两个平面可能平行，可能相交，错误；命题③由“一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直”得到垂直于同一平面的两个平面相交，因此③错误；命题④正确。
由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出答案。
【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质。
6．[2011·北京卷文]如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.
（1）求证：DE∥平面BCP；
（2）求证：四边形DEFG为矩形；
（3）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由.
【解】（1）因为D，E分别为AP，AC的中点，
所以DE//PC。
又因为DE平面BCP，所以DE//平面BCP。
（2）因为D，E，F，G分别为
AP，AC，BC，PB的中点，
所以DE//PC//FG，DG//AB//EF。
所以四边形DEFG为平行四边形，
又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG，
所以四边形DEFG为矩形。
（3）存在点Q满足条件，理由如下：
连接DF，EG，设Q为EG的中点，
由（2）知，DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=EG.。
分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN。
与（2）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线点为EG的中点Q，
且QM=QN=EG，所以Q为满足条件的点.
【点评】（1）要证线面平行，先证线线平行，这里线线平行是利用三角形中位线定理来证明的。在立体几何中，利用平面几何知识证明线线平行，通常利用三角形中位线定理、梯形中位线定理、平行四边形、平行线分线段成比例定理的逆定理等方法。（2）对于探索型问题，一般是从先有条件出发，去寻找与之相关的结论，并判断其是否成立。
7．[2011·南京一模]如图，在棱长均为4的三棱柱中，、分别是BC和的中点.
（1）求证：∥平面；
（2）若平面ABC⊥平面，，求三棱锥的体积。
【解】（1）如图，连结DD1。
在三棱柱ABC-A1B1C1中，
因为D，D1分别是BC与B1C1的中点，
所以B1D1∥BD，且B1D1=BD。
所以四边形B1BDD1是平行四边形。
所以BB1∥DD1，且BB1=DD1。
又因为AA1∥BB1，AA1=BB1，所以AA1∥DD1，AA1=DD1，
所以四边形AA1D1D是平行四边形，所以A1D1∥AD。
又平面AB1D，平面AB1D，所以A1D1∥平面AB1D。
（2）（方法一）在中，因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC。
因为平面ABC⊥平面B1C1CB，交线为BC，平面ABC，
所以AD⊥平面B1C1CB，即AD是三棱锥A-B1BC的高。
在中，由AB=AC=BC=4，得。
在中，，∠，
所以的面积。
则三棱锥B1-ABC的体积。
（方法二）在中，，∠，所以为正三角形，
因此⊥BC。因为平面ABC⊥平面B1C1CB，交线为BC，平面B1C1CB，
所以⊥平面ABC，即是三棱锥B1-ABC的高。
在中，由AB=AC=BC=4，得。
在正中，BC=4，所以。
则三棱锥B1-ABC的体积。
【点评】（1）要证线面平行，可先证线线平行，这里线线平行，利用平行四边形来证明的；（2）三棱锥是一个特殊的几何体，这里方法一是用转换顶点的方法来求三棱锥体积，通常用这种方法来点到平面的距离（简称等积法）。
8．[2011·山东卷理]在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠?ACB=，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB=2EF.
（1）若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE；
（2）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．
【解】（1）（方法一）因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，，
所以∽
由于AB=2EF，因此，BC=2FG，
连接AF，由于FG∥BC，
在平行四边形ABCD中，M是线段AD的中点，
则AM∥BC，且
因此FG∥AM且FG=AM，
所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM∥FA。
又平面ABFE，平面ABFE，
所以GM∥平面AB。
（方法二）因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，，
所以∽
由于AB=2EF，
因此，BC=2FC，
取BC的中点N，连接GN，
因此四边形BNGF为平行四边形，所以GN∥FB，
而平面ABFE，平面ABFE，所以GN∥平面ABFE。
在平行四边形ABCD中，M是线段AD的中点，连接MN，则MN∥AB，
而平面ABFE，平面ABFE，所以MN∥平面ABFE。
因为所以平面GMN∥平面ABFE。
又平面GMN，所以GM∥平面ABFE。
（2）由题意知，平面平面ABCD，
取AB的中点H，连接CH，因为AC=BC，
所以，则平面ABFE，
所以BF。
过H向BF引垂线交BF于R，连接CR，
则BF⊥平面CRH，所以
所以为二面角A—BF—C的平面角。
由题意，不妨设AC=BC=2AE=2。
在直角梯形ABFE中，连接FH，
则，又
所以因此在中，
由于所以在中，
因此二面角A—BF—C的大小为
【点评】（1）第（1）的方法二是利用面面平行得到线面平行的，在此先要证面面平行，而要证面面平行，却又要证线面平行，这里体现了线面平行与面面平行的转化。（2）要求二面角的大小首先作出二面角的平面角，然后利用解三角形的知识来解决即可。
三、达标练习
1．给出下列四个命题:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行.
②垂直于同一平面的两个平面互相平行.
③若直线与同一平面所成的角相等,则互相平行.
④若直线是异面直线,则与都相交的两条直线是异面直线.
其中假命题的是
2．[2011·南京一模]已知是两条不同的直线，是两个不同的平面。下列命题：
①若，，∥，∥，则∥；
②若，∥，，则∥；
③若∥，∥，则∥； ④若⊥，∥，∥，则.
其中真命题是 （写出所有真命题的序号）.
3．[2010·湖北文]用、、表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：
①若∥，∥，则∥；②若⊥，⊥，则⊥；
③若∥，∥，则∥；④若⊥，⊥，则∥.
其中真命题的序号是 。
4．[2011南京盐城三模]已知l，m，n是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题：
①若l∥m，n⊥m，则n⊥l； ②若l∥m，mα，则l∥α；
③若lα，mβ，α∥β，则l∥m；
④若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γ
其中真命题是 .（写出所有真命题的序号）。
5．已知是不同的直线，是不同的平面，则“”的一个充分不必要条件是 。
①， ②， ③， ④，
6．[2011·盐城一模]在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°, E、F分别为A1C1、B1C1的中点, D为棱CC1上任一点.
（1）求证：直线EF∥平面ABD；
（2）求证：平面ABD⊥平面BCC1B1.
7．[2011·徐州三模]在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB=2BC=4，CD=3，E为AB中点，过E作EF⊥CD，垂足为F，如（图一），将此梯形沿EF折成一个直二面角A－EF－C，如（图二）。
（1）求证：BF//平面ACD；
（2）求多面体ADFCBE的体积。
8．[2011·江苏卷]如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点
求证：（1）直线EF∥平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD。
参考答案与评析：
1．【答案】①②③④
【解析】利用特殊图形正方体不难发现①、②、③、④均不正确。
【点评】立体几何问题中有关命题的判断可以用特殊图形举例反证的方法来解决。
2．【答案】②④
【解】对于选项①两直线不一定相交直线，所以错误；②是线面平行的性质定理，正确；对于选项③可能在平面内，所以错误；④由⊥，∥，得到⊥，又∥，所以.因此正确。
【点评】由线面平行，得到面面平行，必须注意是一个平面内两相交直线平行于另一平面；另外要注意线是否在面内，否则会导致错误。
3．【答案】①④
【解】根据平行公理可知①是真命题；对于②，若三条直线在同一平面内，才成立，但在空间中就不一定成立，因此是假命题；对于③直线，相交、异面、平行都有可能，因此是假命题；由线面垂直的性质可知④是真命题。
【点评】本题关键是掌握直线与直线、直线与平面的位置关系。
4．【答案】①④
【解】由于异面直线所成的角的定义可知①是真命题；对于②直线可能在平面内，因此是假命题；对于③直线与直线可能是异面直线，因此是假命题；④由面面垂直的性质可证是真命题。
【点评】命题④就是“两个相交平面都与第三个平面垂直，则这两个平面的交线也垂直第三个平面”；空间中线面位置关系的判定，容易忽视“线在面内”的情况，本题中②③就是这种情形。
5．【答案】②
【解】对于①，直线与平面任何情况都可能；因此①不是；②正确；对于③直线与平面任何情况都可能，因此③不是；对于④只能得到直线与平面内一条直线平行，因此④不是。
【点评】本题关键是掌握直线与平面垂直的判定的条件，这样才能从众多条件中筛选中正确的答案。
6．【解】（1）因为、分别为、的中点,
所以。而,
所以直线∥平面。
（2）因为三棱柱为直三棱柱,所以,
又,而,,且,
所以，又,所以平面⊥平面。
【点评】要证线面平行，一般有两种思路，一是由线线平行得到线面平行（线在面外）；二是由面面平行得到线面平行。要证面面垂直，一般先证线面垂直即可。
7．【解】（1）连接，交于点，取中点，
连接，可得∥，且，
而∥，且，所以∥，
且，所以四边形为平行四边形，
所以∥，即∥，又平面，
平面，所以∥平面.
(2)二面角为直二面角，且，所以平面，
又平面，所以，又，，
所以平面，所以是三棱锥的高，
同理可证是四棱锥的高，
所以多面体的体积
.
【点评】对于翻折问题一定要注意翻折前后哪些量改变，哪些量不变，这是解决这类问题的关键。求不规则几何体的体积，一般将其分割成能够求其体积的几何体来解决。
8．【解】（1）在△PAD中，因为E、F分别为
AP，AD的中点，所以EF//PD.
又因为EF平面PCD，PD平面PCD，
所以直线EF//平面PCD.
（2）连结DB，因为AB=AD，∠BAD=60°，
所以△ABD为正三角形，因为F是AD的
中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面
ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD。又因为BF平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.
【点评】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，关键是掌握直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定与性质。
第三课时：立体几何综合应用
一、考点整合
1．有关概念：
1）两异面直线所成的角：与是异面直线，经过空间任意一点O，作直线∥，∥，我们把直线和所成的锐角（或直角）叫做异面直线，所成的角。若异面直线，所成的角是直角，则称异面直线，互相垂直，记作⊥。
2）直线与平面所成的角：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角。一条直线垂直于平面，则称它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，则称它们所成的角是的角。
3）二面角及二面角的平面角：一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。平面角是直角的二面角叫做直二面角。
4）点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离。
5）直线到平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上的任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离。
6）两平行平面间的距离：与两个平行平面都垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫做这两个平行平面的公垂线段，公垂线的长度叫做这两个平行平面的距离。
2．有关体积公式：
柱体的体积公式（S是底面面积，为高），
锥体的体积公式（S是底面面积，为高），
台体的体积公式（，S是上、下底面面积，为高），
球的体积公式（其中R为球半径）。
3．方法点拨：
1）求异面直线所成的角、直线与平面所成的角的大小，通常是先利用定义作出所求的角，再利用解三角形的方法得出所求的角即可；
2）求二面角的大小，通常是先作出二面角的平面角，再利用解三角形的方法得出所求的角即可；
3）直线到平面的距离、两平行平面间距离，常常转化为求点到平面的距离，再如果已有垂线段，只须求其垂线段长即可；如没有垂线段，一般采用等积法来求即可。
二、题型解析
1．[2009·全国卷Ⅱ文]已知正四棱柱中，=，为中点，则异面直线与所形成角的余弦值为 。
【答案】
【解】连接A1B，因为CD1∥A1B，所以∠A1BE（∠A1BE的补角）就是异面直线与所形成角。因此求△EBA1中∠A'BE即可，设AB=1，则EB=，A1E=1，A1B=，故由余弦定理求得cos∠A1BE=。因此异面直线与所形成角的余弦值为。
【点评】求异面直线夹角求法，利用平移法，得到异面所成的角，将异面所成的角转化为两相交直线所成的角。再利用解三角形即可求异面所成角的大小。
2．[2010·全国卷文]正方体-中，与平面所成角的余弦值为 。
【答案】
【解】（方法一）因为BB1//DD1,所以B与平面AC所成角和DD1与平面AC所成角相等,作DO⊥平面AC，垂足为O，
由等体积法得，
即。
设DD1=a，则，
。所以，
记DD1与平面AC所成角为，则，所以。
（方法二）如图，连接BD交AC于O，连接D1O，由于BB1∥DD1，∴DD1与平面ACD1所成的角，就是BB1与平面ACD1所成的角。易知∠OD1D即为所求的角。设正方体的棱长为1，则DD1=1，DO，，∴。∴BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为。
【点评】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面AC的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.
3．[2009·辽宁卷理]正六棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为 。
【答案】2∶1
【解】（方法一）由于G是PB的中点，故P－GAC的体积等于B－GAC的体积。
在底面正六边形ABCDEF中BH＝Abtan30°＝AB，
而BD＝AB，故DH＝2BH，于是VD－GAC＝2VB－GAC＝2VP－GAC。
（方法二）设正六棱锥P－ABCDEF的高为。则
，
，
而，所以。
【点评】方法一由线段两端点到经过线段中点的平面距离相等，得到两个棱锥体积相等。又利用同底的两个三棱锥的体积比就等于它们的高的比。方法二利用三角形面积关系对体积进行转化，同样也由线段两端点到经过线段中点的平面距离相等，得到两个棱锥体积相等。
4．[2011·连云港一模]如图，三棱柱的所有棱长均等于1，且，则该三棱柱的体积是 ．
【答案】
【解】过作⊥平面ABC，连接AO并延长交BC于E。由于∠A1AB=∠A1AC，所以点O在∠BAC的平分线上，即∠CAE=∠BAE，则，即，所以。则。从而，，所以三棱柱的体积为。
【点评】求三棱柱的体积关键是求三棱柱的高，在求高的过程中建立起关系式，进而得到的值，这样即可得到高A1O。
5．[2009·重庆卷理]已知二面角的大小为，为空间中任意一点，则过点且与平面和平面所成的角都是的直线的条数为
【答案】3
【解析】是度数为的二面角的一个平面角，的平分线，当过P的直线与平行时，满足条件，当过点p的直线与AD平行，也是满足条件直线，与AD直线类似，过点的直线与 BE平行也是满足条件得共有3条。
【点评】该题是由“空间两条直线的夹角为，过空间一点P作与这两条直线的夹角为的直线条数是多少”类比而来的。如果将角换为角呢？
6．[2011·重庆卷文]如图，在四面体中，平面ABC⊥平面，
。
（1）求四面体ABCD的体积；
（2）求二面角C-AB-D的平面角的正切值。
【解】（1）如图，过D作DF⊥AC，垂足为F，故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，设G为边CD的中点，则由AC=AD，知AG⊥CD，从而
在Rt△ABC中，，
。则四面体ABCD的体积
（2）如图，过F作FE⊥AB，垂足为E，连接DE。由（1）知DF⊥平面ABC。由三垂线定理知DE⊥AB，故∠DEF为二面角C—AB—D的平面角。
在
在中，EF//BC，从而EF：BC=AF：AC，所以
在Rt△DEF中，
【点评】求四面体的体积，转化为求三棱锥的体积，这样利用锥体的体积公式只须求出底及相应的高即可。求二面角关键是作出二面角的平面角，这样转化为平面几何中求角的问题，再通过解三角形即可得出结论。
7．[2011·天津卷理]如图，在三棱柱中，是正方形的中心，，平面，且
（1）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；
（2）求二面角的正弦值；
（3）设为棱的中点，点在平面内，且平面，求线段的长．
【解】（1）由于AC//A1C1，故是异面直线AC与A1B1所成的角。因为平面AA1B1B，又H为正方形AA1B1B的中心，
可得
因此
所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为
（2）连接AC1，易知AC1=B1C1，
又由于AA1=B1A1，A1C1=A1=C1，
所以≌，过点A作于点R，
连接B1R，于是，故为二面角A—A1C1—B1的平面角.
在中，
连接AB1，在中，，
从而所以二面角A—A1C1—B1的正弦值为
（3）因为平面A1B1C1，所以取HB1中点D，连接ND，由于N是棱B1C1中点，所以ND//C1H且.又平面AA1B1B，
所以平面AA1B1B，故又
所以平面MND，连接MD并延长交A1B1于点E，
则由
得，延长EM交AB于点F，
可得连接NE.在中，
所以可得
连接BM，在中，
【点评】本题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。
8．[2011·江西卷文]如图，在中，P为AB边上的一动点，PD//BC交AC于点D，现将PDA沿PD翻折至PDA，使平面PDA平面PBCD。
（1）当棱锥的体积最大时，求PA的长；
（2）若点P为AB的中点，E为的中点，求证：。
【解】（1）令
因为，且平面平面PBCD，
故平面PBCD。
所以，
令
由，
当单调递增
当单调递减，
所以，当时，取得最大值，
即当取最大值时，
（2）设F为的中点，连接PF，FE，
则有EF∥BC，PD∥BC，且，，则EF∥PD，且EF=PD。
所以四边形PDEF是平行四边形。所以DE//PF，又，E为的中点，
所以，则
【点评】第（1）小题将立体几何与函数结合起来，以求几何体的体积最值为载体，考查函数的最值问题。第（2）小题要证空间中两直线垂直，一般是转化为先证线面垂直或者转化为证明其中一条直线与另一直线的平行直线垂直。
三、过标测试
1．[2010·浙江理]设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的序号是 。
①若，，则 ②若，，则
③若，，则 ④若，，则
2．如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ABB1⊥BC，且A1C与底面成角，AB=BC=2，则该棱柱体积的最小值为 。
3．[2009·全国卷Ⅰ理]已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 。
4．给出下列命题：
①在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；
②设是不同的直线，是一个平面，若，∥，则；
③已知表示两个不同平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的充要条件；
④若点到三角形三个顶点的距离相等，则点在该三角形所在平面内的射影是该三角形的外心；
⑤是两条异面直线，为空间一点, 过总可以作一个平面与之一垂直，与另一个平行。
其中正确的命题是 （只填序号）.
5．[2010四川文]如图，二面角的大小是60°，线段.，
与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是 .
6．[2011·苏北九所重点中学期末联考]三棱柱中，侧棱与底面垂直，，， 分别是，的中点．
（1）求证： MN∥平面；
（2）求证：平面；
（3）求三棱锥的体积．
7．[2010·北京文数]如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。EF//AC，AB=,CE=EF=1。
（1）求证：AF//平面BDE；
（2）求证：CF⊥平面BDF。
8． [2011·四川卷理]如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA．
（1）求证：CD=C1D：
（2）求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；
（3）求点C到平面B1DP的距离．
参考答案与评析：
1．【答案】②，
【解】对于①，由及，可知与的位置关系有平行、相交或在平面内三种，因此①错误；②正确；对于③，由，可知与的位置关系是平行或异面，因此③错误；对于④，由，可知与的位置关系是平行、异面或相交，因此④错误。
【点评】本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察。
2．【答案】
【解】过A1作A1O⊥AB，垂足为O。由垂足落在AB上知，只要A1O最小即可。又∵，∴只要CO最小即可。由平面A1ABB1⊥BC，得AB⊥BC，所以CO最小值即为CB。经计算可得体积的最小值为。
【点评】本题将求最小体积转化为求点直线上点的距离问题，综合考查了空间垂直关系。
3．【答案】
【解】设的中点为D，连结D，AD，则A1D⊥平面ABC。设三棱柱的各棱长为1，则，由A1D⊥平面ABC知A1D ，在中，。因为CC1∥AA1，所以AB与AA1所成的角即为AB与CC1所成的角。在中，由余弦定理得。所以AB与CC1所成的角的余弦值为。
【点评】求异面直线所成的角，首先利用平移法转化两相交直线所成的角，再通过解三角形的方法即可，本题在求三角形的有关边时，又充分利用所给条件构造直角三角形进行求解。
4．【答案】②④
【解析】①错误，垂直于同一平面的两个平面也可能相交；②正确；③错误，“”是“”的必要条件不充分条件；④可通过全等三角形得出点P在该三角形所在平面内的射影到三角形的三个顶点距离相等；⑤错误，只有当异面直线垂直时可以作出满足要求的平面.
【点评】本题以命题的真假性为载体，考查了立体几何中的射影、直线与平面平行、垂直的判定与性质，平面与平面垂直的判定等知识。关键是灵活运用立体几何中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行与垂直的关系来研究问题。
5．【答案】
【解】过点A作AD⊥，垂足为D，过A作AC⊥平面β，垂足为C，连接CD，BC。
易得∠ADC为二面角的平面角，则∠ADC ，
又由已知，∠ABD＝30°。由AC⊥平面β得∠ABC为与平面所成的角。设AD＝2，则AC＝，CD＝1，
AB＝＝4，∴sin∠ABC＝。
【点评】本题考查了二面角、线面角及它们之间的关系，关键是作出二面角的平面角及线面角，转化成平面几何中解三角形问题。
6．【解】（1）连结，，
是，的中点，MN∥．
又平面，MN∥平面．
（2）三棱柱中，侧棱与底面垂直，
四边形是正方形．． ．
连结，．
，又中的中点，．
与相交于点，平面．
（3）由（2）知是三棱锥的高．
在直角三角形MNC中，，．
又．。
【点评】本题以直三棱柱为载体，考查经顼垂直与平行问题，要证线面平行的关键是证线线平行；而要证线面垂直的关键是证线线垂直，这里利用平面几何中全等三角形、正方形等知识来解决这个问题的。求棱锥的体积，由公式知，只须求出高和所在的底面面积即可。
7．【解】（1）设AC于BD交于点G。因为EF∥AG,且EF=1，AG=AG=1,所以四边形AGEF为平行四边形。 所以AF∥EG， 因为EG平面BDE,AF平面BDE,所以AF∥平面BDE
（2）连接FG。因为EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CEFG为菱形。所以CF⊥EG.
因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.
【点评】本题的几何体比较复杂，关键是抓住要证线面平行，先证线线平行；要证线面垂直，先证线线垂直即可。
8．【解】（1）连接交于，
，
,又为的中点，
中点，
,,D为的中点。
（2）由题意,过B 作,连接，则,为二面角的平面角。在中，,则
（3）因为，所以,，
,
在中，，
。
【点评】本题虽然图形看起来很复杂，但抓住基图是直三棱柱，以及所要求解的问题，这样再根据相关知识，解决问题就显得游刃有余了。
第二课时：空间平行与垂直（2）
一、考点整合
1．有关概念：
1）直线与平面垂直：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线与这个平面互相垂直，记作⊥。
2）两个平面垂直：如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直。
2．垂直关系的转化：
两平面垂直问题常常转化为直线与平面的垂直，而直线与平面垂直又可以转化为直线与直线平行，因此要注意要运用转化的思想，它们之间的转化如下示意图：
3．解决垂直问题时要注意以下结论的应用
1）如果两条平行直线中一条垂直于一个平面，那么另一条也与这个平面垂直。
2）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。
3）过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直。
4）如果两条直线都与同一个平面垂直，那么这两条直线平行。
5）如果两个平面都与同一条直线垂直，那么这两个平面平行。
二、题型解析
1．[2009·山东卷理]已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的 (在“充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件”中选一个恰当的填入)
【答案】必要不充分条件
【解析】由平面与平面垂直的判定定理知，如果m为平面α内的一条直线，，则；反过来则不一定。所以“”是“”的必要不充分条件。
【点评】本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念。
2．[2009·广东卷文]给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；.
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中为真命题的序号是
【答案】② ④
【解】当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，因此①是假命题； 由平面与平面垂直的判定可知②是真命题；空间中垂直于同一条直线的两条直线相交、平行、异面都可能，因此③是假命题；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，因此④是真命题.
【点评】本题考查空间中直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系的理解与判断。
3．[2011·浙江卷理4]下列命题中错误的是
①如果平面⊥平面，那么平面内一定存在直线平行于平面；
②如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面
③如果平面⊥平面，平面⊥平面，，那么⊥平面
④如果平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于平面
【答案】④
【解】①②③都正确，对于④，若平面⊥平面，则平面内的直线可能不垂直于平面，甚至可能平行于平面。
【点评】本题考查面面、线面的位置关系，解题进要结合空间想象能力，对于各种可能出现的情况进行分析处理。
4．[2011苏州第一学期期末]设为两个不重合的平面，为两条不重合的直线，给出下列四个命题：
①若则∥；
②若则；
③若∥，∥，则；
④若与相交且不垂直，则与不垂直.
其中，所有真命题的序号是 .
【答案】①②
【解】①分m,n相交和异面两种情况说明，用线面平行的判定定理，即可得到是真命题；②用面面垂直的性质定理，是真命题；对于③，平面与相交、平行都可能，因此③是假命题；对于④，m,n可能垂直，不妨令，则平面内存在直线⊥，因此④假命题。
【点评】本题考查直线与平面、平面与平面的位置关系，要注意直线与平面平行、垂直的条件，平面与平面垂直的条件。
5．[2011·南通二模]设是空间两个不同的平面，m，n是平面及外的两条不同直线．从“①m⊥n；②⊥；③n⊥；④m⊥”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题： （用代号表示）．
【答案】①③④②（或②③④①）
【解】因为当n⊥，m⊥时，平面与平面所成的二面角，与直线所成的角是相等或互补，所以若m⊥n，则⊥。从而①③④②；同理若⊥，则m⊥n，从而由②③④①。
【点评】本题本质是直线与平面垂直的性质，平面与平面垂直的性质的运用。
6．[2011·浙江卷理]如图，在三棱锥中，，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2
（1）证明：AP⊥BC；
（2）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。
【解】（1）由AB=AC，D是BC的中点，得
又平面ABC，得
因为，所以平面PAD，
故
（2）解：如图，在平面PAB内作于M，连CM，
由（1）中知，得平面BMC，
又平面APC，所以平面BMC平面APC。
在
在，在
所以
在
又
从而PM，所以AM=PA-PM=3。
综上所述，存在点M符合题意，AM=3。
【点评】本题主要考查空是点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。
7．[2011·湖南卷文]如图，在圆锥中，已知，圆O的直径AB=2，点C在弧AB上，且的中点．
（1）证明：平面;
（2）求直线和平面所成角的正弦值.
【解】（1）因为
又PO⊥底面⊙O，AC底面⊙O，所以AC⊥PO，而OD，内的两条相交直线，所以
（2）由（1）知，又
所以平面在平面中，
过作则连结，
则是上的射影，
所以是直线和平面所成的角．
在
在；
在中，。
【点评】利用圆中的有关性质得到线线垂直，进而证明线面垂直，在证明线面垂直时，要注意直线与平面内两相交直线垂直。求直线与平面所成的角关键是作出所求角，再利用解三角形的知识即可解决了。
8．[2010·湖南文]如图所示，在长方体中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点
（1）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；
（2）证明：平面ABM⊥平面A1B1M1
【解】（1）因为C1D1∥B1A1，所以∠MA1B1为异面直线A1M和C1D1所成的角。因为A1B1⊥平面BCC1B1，所以∠A1B1M。
而A1B1=1，，则，即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值为。
（2）由A1B1⊥平面⊥平面BCC1B1，平面BCC1B1，得A1B1⊥BM，………①
由（1）知，，又，B1B=2，所以，从而BM⊥B1M，………………… ②
又，再由①②得BM⊥平面A1B1M，而平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M1。
【点评】求异面直线所成的角利用“平移法”转化为求两相交直线所成的角，然后利用解三角形的方法来求；要证面面垂直，先转化为求线面垂直，而要证线面垂直，又要先证线线垂直，这样只须证明一条直线与一个平面内两条相交直线垂直即可。
三、达标测试
1．[2011扬州四星级高中联考]在空间中，给出下面四个命题： ①过平面外的两点，有且只有一个平面与平面垂直；②若平面内有不共线三点到平面的距离都相等，则；③若直线与平面内的无数条直线垂直，则；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条平行线；则其中正确命题的个数为 个．
2．[2011·盐城一模]．已知平面,直线满足：,那么①； ②； ③； ④.
可由上述条件可推出的结论有 (请将你认为正确的结论的序号都填上).
3．[2011·泰州市第一学期期末]设是两条直线，是两个平面，则下列4组条件中所有能推得的条件是 （填序号）．
①；②；
③；④．
4．[2009·浙江卷理]在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是
5．如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∠，且AA1=AD=DC=2，平面ABCD，当D1M⊥A1C1D时，DM= 。
6．[2011·泰州市第一学期期末]已知四面体中，,平面平面,分别为棱和的中点．
⑴求证：平面；
⑵求证：；
⑶若△内的点满足平面，设
点构成集合,试描述点集的位置．（不必说明理由）
7．[2009·江苏卷]如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，点在上，。
求证：（1）EF∥平面ABC；
（2）平面平面.
8．[2011·金陵中学预测]如图，四面体ABCD中，O，E分别为BD，BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝．
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求点E到平面ACD的距离．
参考答案与评析：
1．【答案】0
【解】当经过这两点的直线与平面垂直时，有无数个平面与平面垂直，因此①错误；当平面与平面相交时，平面内也存在不共线三点到平面的距离都相等，因此②错误；直线与平面平行或斜交时，直线也与平面内的无数条直线垂直，因此③错误；两条异面直线在同一平面内的射影可能是平行直线，也可能是相交直线，因此④错误。
【点评】判断一个命题是假命题只须举出一反例，因此在研究问题时一定要注意考虑各种可能情况。本题实质是以命题的真假为载体考查立体几何有关基础知识。
2．【答案】②④
【解】由，⊥，，⊥，得到⊥，因此②成立；又，所以，则④成立。
【点评】本题是一道发散题，根据所给条件，推出可能结论，这就要求对空间中的直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系非常熟悉，才能熟练解决这样的问题。
3．【答案】②③④
【解】由∥，⊥，知与的关系任何情况都有可能，所以与不一定垂直，因此①不能推出。②③④都能推得。
【点评】在空间中要证线线垂直，可以通过线面垂直来解决。
4．【答案】
【解】取BC的中点E，连接AE，DE。则面，，因此与平面所成角即为，设，则，，又在三角形ADE中AE⊥DE，所以．因此与平面所成角是。
【点评】要求直线与平面所成的角，首先作出直线与平面所成的角，一般是过直线上一点作平面的垂线，也就是作出直线在平面的射影即可。再利用解三角形的知识即可。
5．【答案】
【解析】根据题意可得，D1M是以AD、DC、D1D为棱的正方体的体对角线，因此。
【点评】本题采用构造法，根据题意构造一个正方体，这样问题就能顺利解决。
6．【解】 ⑴∵在中，，为的中点，∴.
又∵平面平面，平面，
平面平面，∴平面.
⑵连接DE，∵，为的中点，∴.
由⑴，又，，平面，∴平面.又平面，∴，即.
⑶取、的中点、，所有的点构成的集合即为的中位线.
【点评】在空间中要证线线垂直，可先证线面垂直，再由线面垂直得到线线垂直；第（3）小题是探索题，实质是寻找过点F与平面BCD平行的平面与平面ABC的交线。
7．【解】（1）因为E，F分别是A1B，A1C的中点，所以EF∥BC。又因为平面ABC，平面ABC，所以EF∥平面ABC。
（2）由三棱柱为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1。又平面A1B1C1，所以CC1⊥A1D。又因为，，、平面，所以A1D⊥平面BB1C1C。又平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C。
【点评】 本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力。
8．【解】（1）连结OC．因为BO＝DO，AB＝AD，所以AO⊥BD．因为BO＝DO，CB＝CD，所以CO⊥BD．在△AOC中，由已知可得AO＝1，CO＝．而AC＝2，所以＝，所以∠AOC＝，即AO⊥OC．因为BDOC＝O，所以AO⊥平面BCD．
（2）设点E到平面ACD的距离为h．因为＝，所以＝．
在△ACD中，CA＝CD＝2，AD＝，所以＝＝．
而AO＝1，＝＝，所以h＝＝＝．
所以点E到平面ACD的距离为．
【点评】这里在证线线垂直时，应用直角三角形的勾股定理的逆定理来证的，这也是平面几何中证明线线垂直一种方法。在求点到平面的距离应用等体积法来求。
