高三复习专题2——分类讨论思想（教案）
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文档简介
专题二 分类讨论思想
教学目标：
知识与技能——能说出什么是分类讨论，会区分分类讨论的类型，会用分类讨论思想解决简单的分类问题。
过程与方法——能运用“化整为零，各个击破，再积零为整”方法解决其他问题，在分析过程中领会“不漏，不重”的分类要点。
情感价值观——从分类讨论的思想中，提炼出普遍问题难题的解决方法“化整为零，各个击破”，不要畏惧，勇往直前，没有不可战胜的敌人。从分类的过程中学会“不抛弃，不放弃。”（不漏、不重）的生活态度。
教学重点：分类讨论的思想方法的应用。
教学难点：判断是否要用分类讨论？，如何正确的分类讨论？
教学方法：讲练结合
教学设计：
新课引入：
【思考1】两个全等的等腰直角三角形拼成一个有公共边的直二面角，如果腰长为1，那另外两个顶点间的距离是多少？
图1 图2 图3
（让同学们自己动手做模型）讨论得出3个结论：（图1），1（图2），（图3）
这里由于图形的不确定，所以我们要分3种情况讨论，这就是我们今天要复习的分类讨论思想。
二、方法解析
当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要对研究对象按照某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答，这就是分类讨论法。
实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略；是一种逻辑方法，也是一种数学思想。
有关分了讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维调理性和概括性，所以在高考中占有重要的位置。
【思考2】那么我们在分类时应该注意些什么呢？
分类讨论时必须遵守的原则：
（1）施行分类的集合必须是确定的；
（2）分类的标准必须是统一的；
（3）分类必须是完整的，不能出现遗漏；
（4）各分类子集必须是互斥的，不能出现重复；
（5）如需多级分类，必须逐级进行，不得越级。
【思考3】在分类讨论时的具体步骤是什么？
分类讨论的基本步骤：
（1）明确讨论的对象；
（2）对所有讨论的对象进行合理分类；
（3）逐类讨论：即对各类问题详细解答，逐步解决；
（4）归纳总结：将各类情况总结归纳。
Ⅰ分列式：针对变量分类讨论的，且在不同条件下问题有不同的结论，归纳时应采用分列式；
Ⅱ统一式：针对参数分类的，且每一类讨论的结果均是总结论的一个子集，归纳结论时应采用统一式。
【思考4】分类讨论的常见问题有哪些呢？
（1）．由数学概念引起的分类讨论：如含绝对值的问题、直线的斜率和截距问题、指数函数与对数函数问题等；
（2）．由数学运算引起的分类讨论：如除法运算中除数不能为零、偶次方根为非负、负数对不等式的影响等；
（3）．由函数的性质、定理、公理的限制引起的分类讨论：如等比数列中公比为1的问题、函数的单调性等；
（4）．由图形的不确定性引起的分类讨论：如开头我们说的问题、三角形ABC是直角三角形的问题、点线面的位置问题；
（5）．由参数的变化引起的分类讨论：如函数中含参数问题、椭圆与双曲线中含参数问题等。
（6）．由实际问题引发的分类讨论：如排列、组合的问题，应用问题。
三、典型例题
例1（2011年全国卷·理） 选修4-5不等选讲
设函数（1）当时，求不等式的解集；(2)如果不等式的解集为，求的值。
分析：解含有绝对值得不等式，一般采用去掉绝对值，求解分开讨论，分别求解，零点分段法；已知不等式的解集要求字母的值，先用字母表示解集，再与原解集对比可得字母的值；
解：（Ⅰ）当时，不等式，可化为，
，所以不等式的解集为
（Ⅱ）因为，所以，，可化为，
即
因为，所以，该不等式的解集是，再由题设条件得
变式练习1
集合A={1,2,3}，B=，则时a的值是（ ）
（A） 2 （B）2或3 （C）1或3 （D）1或2
解：
可得B可以是
又 即a=1,2,3 分别代入可得当a=1时：B=
当a=2时：B={1}满足题意。 选D
例2．
分析：
因此，只要根据已知条件，求出cosA，sinB即可得cosC的值。但是由sinA求cosA时，是一解还是两解？这一点需经过讨论才能确定，故解本题时要分类讨论。
解：
这与三角形的内角和为180°相矛盾。
变式练习2
若直线在x轴上的截距为1，则实数m的值为：
（A） 1 （B）2 （C） -1 （D）-1或1
解：在x轴上的截距为1，可知直线过点（1,0） 代入得
即
但是当m=1时，x，y的系数均为0了，即0=0不表示直线，所以m=-1 选C
例3（2011年四川卷·文）
已知是以a为首项，q为公比的等比数列，为它的前n项和．
（Ⅰ）当、、成等差数列时，求q的值；
（Ⅱ）当、、成等差数列时，求证：对任意自然数k，、、也成等差数列
解：（Ⅰ）由已知，，
因此，，．
当、、成等差数列时，，可得．
化简得．解得
（Ⅱ）若，则的每项，此时、、显然成等差数列．
若，由、、成等差数列可得，即．
整理得．因此，．
所以，、、也成等差数列
变式练习3
求和
解：
例4．已知圆柱的侧面展开图是长为8，宽为6π的一个矩形，则该圆柱的体积是
分析：圆柱的底面圆周为矩形的一条边，所以应分成2种情况讨论。
解：由C=2πr 可得 r=3或4
当r=3 时 V=9π·8π=72π
当r=4时 V=16π·6π=96π
变式练面直角坐标系中，A（1，-2），B（4,1），C点与A，B两点构成等腰直角三角形，求C点的坐标？
解：如图
C点可以是（1,1）（4，-2）（7，-2）（1,4）
例5.函数 求它的单调区间。
分析：本题先求导，令其导数大于零于是有
需对a进行讨论。
解：
又因为a＞0
所以当a=1时，恒成立，所以f（x）在R上是增函数；
当时， 所以f（x）在是增函数
当时， 所以f（x）在是增函数
变式练习5
关于x的不等式恒成立，求a的取值范围。
解：（1）若，则a=1 或a=2
当a=1时，原不等式为2＞0恒成立，适合题意
当a=2时，原不等式为x+2＞0，仅当x>-2时成立，不适合题意
（2）若，则是一个二次不等式，就必须有
解得
由（1）（2）可得a的取值范围是：
分类讨论在排列组合中的应用很常见，比如：
1、三不同的信投入3个不同的信箱，有多少种不同的投递方式？
2、5个同学站一排照相其中甲不能排头和排尾，甲乙必须在一起，有多少种不同的方法？
3、四个字母g，o，o，d，闭上眼排成一排，构成英文单词good的概率是多少？
四、知识小结
分类讨论思想是一种重要的解题策略，但是并不是问题中出现参数就一定得分类讨论，如果能结合数形结合的思想，函数与方程的思想方法有的可以避免分类讨论，从而达到迅速、准确的解题目的。
五、布置作业 《短平快》专项2 ——分类讨论
六．板书设计：（略）中间投影，两边计算！
七、课后反思：
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教学目标：
知识与技能——能说出什么是分类讨论，会区分分类讨论的类型，会用分类讨论思想解决简单的分类问题。
过程与方法——能运用“化整为零，各个击破，再积零为整”方法解决其他问题，在分析过程中领会“不漏，不重”的分类要点。
情感价值观——从分类讨论的思想中，提炼出普遍问题难题的解决方法“化整为零，各个击破”，不要畏惧，勇往直前，没有不可战胜的敌人。从分类的过程中学会“不抛弃，不放弃。”（不漏、不重）的生活态度。
教学重点：分类讨论的思想方法的应用。
教学难点：判断是否要用分类讨论？，如何正确的分类讨论？
教学方法：讲练结合
教学设计：
新课引入：
【思考1】两个全等的等腰直角三角形拼成一个有公共边的直二面角，如果腰长为1，那另外两个顶点间的距离是多少？
图1 图2 图3
（让同学们自己动手做模型）讨论得出3个结论：（图1），1（图2），（图3）
这里由于图形的不确定，所以我们要分3种情况讨论，这就是我们今天要复习的分类讨论思想。
二、方法解析
当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要对研究对象按照某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答，这就是分类讨论法。
实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略；是一种逻辑方法，也是一种数学思想。
有关分了讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维调理性和概括性，所以在高考中占有重要的位置。
【思考2】那么我们在分类时应该注意些什么呢？
分类讨论时必须遵守的原则：
（1）施行分类的集合必须是确定的；
（2）分类的标准必须是统一的；
（3）分类必须是完整的，不能出现遗漏；
（4）各分类子集必须是互斥的，不能出现重复；
（5）如需多级分类，必须逐级进行，不得越级。
【思考3】在分类讨论时的具体步骤是什么？
分类讨论的基本步骤：
（1）明确讨论的对象；
（2）对所有讨论的对象进行合理分类；
（3）逐类讨论：即对各类问题详细解答，逐步解决；
（4）归纳总结：将各类情况总结归纳。
Ⅰ分列式：针对变量分类讨论的，且在不同条件下问题有不同的结论，归纳时应采用分列式；
Ⅱ统一式：针对参数分类的，且每一类讨论的结果均是总结论的一个子集，归纳结论时应采用统一式。
【思考4】分类讨论的常见问题有哪些呢？
（1）．由数学概念引起的分类讨论：如含绝对值的问题、直线的斜率和截距问题、指数函数与对数函数问题等；
（2）．由数学运算引起的分类讨论：如除法运算中除数不能为零、偶次方根为非负、负数对不等式的影响等；
（3）．由函数的性质、定理、公理的限制引起的分类讨论：如等比数列中公比为1的问题、函数的单调性等；
（4）．由图形的不确定性引起的分类讨论：如开头我们说的问题、三角形ABC是直角三角形的问题、点线面的位置问题；
（5）．由参数的变化引起的分类讨论：如函数中含参数问题、椭圆与双曲线中含参数问题等。
（6）．由实际问题引发的分类讨论：如排列、组合的问题，应用问题。
三、典型例题
例1（2011年全国卷·理） 选修4-5不等选讲
设函数（1）当时，求不等式的解集；(2)如果不等式的解集为，求的值。
分析：解含有绝对值得不等式，一般采用去掉绝对值，求解分开讨论，分别求解，零点分段法；已知不等式的解集要求字母的值，先用字母表示解集，再与原解集对比可得字母的值；
解：（Ⅰ）当时，不等式，可化为，
，所以不等式的解集为
（Ⅱ）因为，所以，，可化为，
即
因为，所以，该不等式的解集是，再由题设条件得
变式练习1
集合A={1,2,3}，B=，则时a的值是（ ）
（A） 2 （B）2或3 （C）1或3 （D）1或2
解：
可得B可以是
又 即a=1,2,3 分别代入可得当a=1时：B=
当a=2时：B={1}满足题意。 选D
例2．
分析：
因此，只要根据已知条件，求出cosA，sinB即可得cosC的值。但是由sinA求cosA时，是一解还是两解？这一点需经过讨论才能确定，故解本题时要分类讨论。
解：
这与三角形的内角和为180°相矛盾。
变式练习2
若直线在x轴上的截距为1，则实数m的值为：
（A） 1 （B）2 （C） -1 （D）-1或1
解：在x轴上的截距为1，可知直线过点（1,0） 代入得
即
但是当m=1时，x，y的系数均为0了，即0=0不表示直线，所以m=-1 选C
例3（2011年四川卷·文）
已知是以a为首项，q为公比的等比数列，为它的前n项和．
（Ⅰ）当、、成等差数列时，求q的值；
（Ⅱ）当、、成等差数列时，求证：对任意自然数k，、、也成等差数列
解：（Ⅰ）由已知，，
因此，，．
当、、成等差数列时，，可得．
化简得．解得
（Ⅱ）若，则的每项，此时、、显然成等差数列．
若，由、、成等差数列可得，即．
整理得．因此，．
所以，、、也成等差数列
变式练习3
求和
解：
例4．已知圆柱的侧面展开图是长为8，宽为6π的一个矩形，则该圆柱的体积是
分析：圆柱的底面圆周为矩形的一条边，所以应分成2种情况讨论。
解：由C=2πr 可得 r=3或4
当r=3 时 V=9π·8π=72π
当r=4时 V=16π·6π=96π
变式练面直角坐标系中，A（1，-2），B（4,1），C点与A，B两点构成等腰直角三角形，求C点的坐标？
解：如图
C点可以是（1,1）（4，-2）（7，-2）（1,4）
例5.函数 求它的单调区间。
分析：本题先求导，令其导数大于零于是有
需对a进行讨论。
解：
又因为a＞0
所以当a=1时，恒成立，所以f（x）在R上是增函数；
当时， 所以f（x）在是增函数
当时， 所以f（x）在是增函数
变式练习5
关于x的不等式恒成立，求a的取值范围。
解：（1）若，则a=1 或a=2
当a=1时，原不等式为2＞0恒成立，适合题意
当a=2时，原不等式为x+2＞0，仅当x>-2时成立，不适合题意
（2）若，则是一个二次不等式，就必须有
解得
由（1）（2）可得a的取值范围是：
分类讨论在排列组合中的应用很常见，比如：
1、三不同的信投入3个不同的信箱，有多少种不同的投递方式？
2、5个同学站一排照相其中甲不能排头和排尾，甲乙必须在一起，有多少种不同的方法？
3、四个字母g，o，o，d，闭上眼排成一排，构成英文单词good的概率是多少？
四、知识小结
分类讨论思想是一种重要的解题策略，但是并不是问题中出现参数就一定得分类讨论，如果能结合数形结合的思想，函数与方程的思想方法有的可以避免分类讨论，从而达到迅速、准确的解题目的。
五、布置作业 《短平快》专项2 ——分类讨论
六．板书设计：（略）中间投影，两边计算！
七、课后反思：
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