(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
登陆二一教育在线组卷平台
助您教考全无忧
2021年高考文数真题试卷（全国乙卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，总共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12题；共51分）
1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则Cu（MUN）=（??
）
A.?{5}???????????????????????????????????B.?{1,2}???????????????????????????????????C.?{3,4}???????????????????????????????????D.?{1,2,3,4}
2.设iz=4+3i，则z等于（??
）
A.?-3-4i????????????????????????????????????B.?-3+4i????????????????????????????????????C.?3-4i????????????????????????????????????D.?3+4i
3.已知命题p：
x∈R，sinx＜1；命题q：
x∈R，
e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（
）
A.?p
q????????????????????????????B.?
p
q????????????????????????????C.?p
q????????????????????????????D.?
(pVq)
4.函数f（x）=sin
+cos
的最小正周期和最大值分别是（??
）
A.?3
和
????????????????????????????B.?3
和2????????????????????????????C.?
和
????????????????????????????D.?
和2
5.若x，y满足约束条件
,则z=3x+y的最小值为（??
）
A.?18??????????????????????????????????????????B.?10??????????????????????????????????????????C.?6??????????????????????????????????????????D.?4
6.
?（??
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
7.在区间(0,
)随机取1个数，则取到的数小于
的概率为（??
）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
8.下列函数中最小值为4的是（??
）
A.?????????????????B.?????????????????C.?????????????????D.?
9.设函数
，则下列函数中为奇函数的是（??
）
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
11.设B是椭圆C：
的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（??
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?2
12.设a≠0，若x=a为函数
的极大值点，则（
）
A.?a＜b?????????????????????????????????B.?a＞b?????????????????????????????????C.?ab＜a2?????????????????????????????????D.?ab＞a2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分（共4题；共17分）
13.已知向量a=(2,5),b=(λ,4)，若
，则λ=________.
14.双曲线
的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为________.
15.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为
，B=60°，a2+c2=3ac，则b=________.
16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为________（写出符合要求的一组答案即可）.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（共5题；共50分）
17.某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为
和
，样本方差分别记为s12和s22
（1）求
，
，
s12
，
s22；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果
-
≥
，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.
18.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD
底面ABCD，M为BC的中点，且PB
AM.
??
（1）证明：平面PAM
平面PBD；
（2）若PD=DC=1，求四棱锥P-ADCD的体积.
19.设
是首项为1的等比数列，数列
满足
，已知
，3
，9
成等差数列.
（1）求
和
的通项公式；
（2）记
和
分别为
和
的前n项和.证明：
<
.
20.已知抛物线C：
(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
（1）求C的方程.
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足
，求直线OQ斜率的最大值.
21.已知函数
.
（1）讨论
的单调性；
（2）求曲线
过坐标原点的切线与曲线
的公共点的坐标.
四、[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1题；共2分）
22.在直角坐标系xOy中，
C的圆心为C（2，1），半径为1.
（1）写出
C的一个参数方程；
（2）过点F（4，1）作
C的两条切线，
以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.
五、[选修4-5：不等式选讲]（共1题；共2分）
23.已知函数f（x）=|x-a|+|x+3|.
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥6的解集；
（2）若f（x）≥-a，求a的取值范围.
答案解析部分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，总共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.【答案】
A
【考点】交集及其运算，补集及其运算
【解析】【解答】因为
U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4}
则
MUN
＝{1，2，3，4}，
于是
Cu（MUN）=
{5}
。
故答案为：A
【分析】先求
MUN，再求
Cu（MUN）
。
2.【答案】
C
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】因为
iz=4+3i
，所以Z＝
故答案为：C
【分析】直接解方程，由复数的除法运算法则，得到结果。
3.【答案】
A
【考点】全称量词命题，存在量词命题，命题的否定，命题的真假判断与应用
【解析】【解答】因为命题P是真命题，命题
q也是真命题，
故答案为：A
【分析】先判断命题p，q的真假，然后判断选项的真假。
4.【答案】
C
【考点】正弦函数的图象，y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，正弦函数的周期性，正弦函数的零点与最值
【解析】【解答】因为
f（x）=sin
+cos
＝
,所以周期值域
即最大值是
故答案为：C。
【分析】先将
f（x）
解析式化成的形式，再由正弦函数的周期公式计算周期，再由正弦函数的性质，得到它的最大与最小值。
5.【答案】
C
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】作出线性约束的可行域（如图阴影部分所示区域），
当直线
z=3x+y经过点（1，3）时，z取得最小值。此时zmin=3x1+3=6.?
故答案为：C
【分析】先作出可行域，再通过目标函数以及可行域，确定最优解，进一步得到答案。
6.【答案】
D
【考点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】因为?
故选D。
?
【分析】由降幂公式，可以化成特殊角的三角函数求值。
7.【答案】
B
【考点】几何概型
【解析】【解答】由几何概型得：P＝.
故答案为：B
【分析】由几何概型概率公式即可得到结果。
8.【答案】
C
【考点】函数的最值及其几何意义，指数函数的定义、解析式、定义域和值域，对数函数的图象与性质，基本不等式
【解析】【解答】对于A：因为y=(x+1)2+3,则ymin=3;
故A不符合题意；
对于B：因为
，
设t=|sinx|(??
),则y=g(t)=由双沟函数知，
函数y＝g(t)=是减函数，所以ymin=g(1)=5，所以B选项不符合；
对于C：因为
当且仅当时“＝”成立，
即ymin=4，故C选项正确；
对于D：当时，<0，故D选项不符合，
故答案为：C.
【分析】A,用配方法求出干净函数的最小值，判断不符合；B.换元利用双沟函数的单调性，求出最小值，判断不适合；C.变形后用基本不等式计算出最小值，判断符合；D
举反列说明其不符合。
9.【答案】
B
【考点】函数奇偶性的判断，奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】对于A：因为h(x)=
f(x-1)-1,则h(-X)h(X),所以h(X)不是奇函数，故A不符合；
对于B：因为h(x)=
f(x-1)+1,则h(-X)＝h(X),所以h(X)是奇函数，故B符合；
对于C：h(x)=
f(x+1)－1,则h(-X)h(X)，所以C不符合；?
对于D：h(x)=
f(x+1)+1,则h(-X)≠h(X)，故D不符合.
故答案为：B.
【分析】设选项的各个函数是h(x),分别计算h(-x)，与h(x)比较，就可以得到正确选项是B。
10.【答案】
D
【考点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图，连接AC，设AC与BD交于O，连接OD1,AD1,BP,设正方体的棱长为x，
因为D1P||OB||BD,且D1P=BO=BD,所以四边形OD1PB是平行四边形，所以BP||OD1,所以
即为所求的角，易证平面BDD1B1,故OD1,
又,所以＝.
故答案为：D
【分析】在正方体中，作辅助线，通过平移线，作出所要求的角。
11.【答案】
A
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意知B(0,1),设P(x,y)则|PB|2=(x-0)2+(y-1)2=x2+y2-2y+1=5(1-y2)+y2-2y+1
=-4y2-2y+6=-4(y+4)2+,因为所以当时，|PB|2max=,此时，|PB|max
＝
，
故答案为：A
【分析】先写出B的坐标，然后设任意点P(x,y),再用两点间的距离公式，表示出|PB|，再用本文法计算|PB|的最大值即可。
12.【答案】
D
【考点】二次函数的图象，二次函数的性质
【解析】【解答】当a>0时，若a为极大值点，则(如图1)，必有a
当a<0时，若a为极大值点，则(如图2)，必有a>b>a2,故A错。
故答案为：D.
【分析】对a的正负进行讨论，根据极值点的意义，作图分析，得到正确选项。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.【答案】
【考点】平面向量的坐标运算，平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为=(2,5),=(λ,4)，且
，
则
，
则
。
【分析】根据向量平行的条件即可得到结果。
14.【答案】
【考点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】由题意得，a2=4,b2=5,所以c2=a2+b2=9,所以c=3(c>0),所以椭圆的右焦点是(3,0)，则右焦点(3,0)到直线x+2y-8的距离为.
【分析】先求出椭圆的右焦点坐标，然后用点到直线的距离公式求焦点到直线的距离即可。
15.【答案】
【考点】余弦定理，三角形中的几何计算
【解析】【解答】
于是
【分析】根据面积的值，计算出ac，再由余弦定理求解。
16.【答案】
②⑤或③④
【考点】由三视图还原实物图
【解析】【解答】当俯视图为
④
时，右侧棱在左侧，不可观测到，所以为虚线，故选择③为侧视图；
当俯视图为⑤时，左侧棱在左侧可观测到，所以为实线，故选择②为侧视图，
故答案为：
②⑤或③④
【分析】分情况讨论各种视图的位置关系。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17.【答案】
（1）解：各项所求值如下所示
=
(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0
=
(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3
=
x[(9.7-10.0)2+2x(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2x(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2]=0.36，
=
x[(10.0-10.3)2+3x(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2x(10.4-10.3)2+2x(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2]=0.4.
（2）由(1)中数据得
-
=0.3，2
≈0.34
显然
-
＜2
，所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。
【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）先计算新旧样本平均数
，
再直接用公式计算
s12
，
s22；
(2)由
(1)中的数据，计算得：
-
=0.3，2
≈0.34
，
显然
-
＜2
，可得到答案。
18.【答案】
（1）因为
底面
，
平面
，
所以
，
又
，
，
所以
平面
，
而
平面
，
所以平面
平面
．
（2）由（1）可知，
平面
，所以
，
从而
，
设
，
，则
，
即
，
解得
，所以
．
因为
底面
，
故四棱锥
的体积为
．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）由PD垂直平面ABCD，及PB垂直AM，可以证明
平面
，
从而可能证明
平面
平面
；
（2）由连接BD（1）可得
，
证明?
通过计算，求出高
，再用棱锥体积公式直接得到答案。
19.【答案】
（1）因为
是首项为1的等比数列且
，
，
成等差数列，
所以
，所以
，
即
，解得
，所以
，
所以
.
（2）证明：由（1）可得
，
，①
，②
①
②得
，
所以
，
所以
，
所以
.
【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数列的求和
【解析】【分析】由
，
，
成等差数列，列关系式等比数列
的公比q，进而得到
，再由bn与an的关系求得bn；
（2）先根据条件求得
，再由错项相减的方法求得的表达式，最后用求差比较法，证明
<
.
20.【答案】
（1）抛物线
的焦点
，准线方程为
，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为
，
所以该抛物线的方程为
；
（2）设
，则
，
所以
，
由
在抛物线上可得
，即
，
所以直线
的斜率
，
当
时，
；
当
时，
，
当
时，因为
，
此时
，当且仅当
，即
时，等号成立；
当
时，
；
综上，直线
的斜率的最大值为
.
【考点】抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）根据抛物线的几何性质，可求得P的值，就可以写出抛物线的方程；
（2）先设出Q的坐标M(x0,y0),在代入已知等式
，用(x0,yO)表示出
，再
代入抛物线方程，推导出x0
，
y0的关系，再表示出OQ的斜率。再利用基本不等式，求出斜率最大值即可。
21.【答案】
（1）由函数的解析式可得：
，
导函数的判别式
，
当
时，
在R上单调递增，
当
时，
的解为：
，
当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增；
综上可得：当
时，
在R上单调递增，
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）由题意可得：
，
，
则切线方程为：
，
切线过坐标原点，则：
,
整理可得：
，即：
，
解得：
，则
，
即曲线
过坐标原点的切线与曲线
的公共点的坐标为
.
【考点】导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）先对函数求导，通过分类讨论a的取值，确定导数的符号，来确定函数的单调区间；
（2）先设切点坐标横坐标x0,通过求导求出切线的斜率，写出切线的方程，再利用切线过原点的条件，就可以得到x0的值，进一步得到公共点坐标。
四、[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.【答案】
（1）因为
C的圆心为(2，1)，半径为1.故
C的参数方程为
（
为参数).
（2）设切线y=k（x-4)+1，即kx-y-4k+1=0.
故
?=1
即|2k|=
，4
=
，
解得k=±
.
故直线方程为y=
?(x-4)+1，
y=
?(x-4)+1
故两条切线的极坐标方程为
sin
=
cos
-
+1或
sin
=
cos
+
+1.
【考点】点的极坐标和直角坐标的互化，参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）根据圆的参数方程的定义，不难得到圆的参数方程；
（2）设出过点（4，1）的圆的切线方程，利用直线与相切求出切线的斜率，进而求得两条切线的方程，并将它们化为极坐标方程。
五、[选修4-5：不等式选讲]
23.【答案】
（1）解：a=1时，f(x)=|x-1|+|x+3|，即求|x-1|+|x-3|≥6的解集.
当x≥1时，2x十2≥6，得x≥2;
当-3当x≤-3时-2x-2≥6.得x≤-4，
综上，解集为(-∞，-4]U[2，-∞).
（2）f(x)最小值>-a，而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.
当x在a和-3之间时最小，此时f(x)最小值为|a+3|，即|a+3|＞-a.
A≥-3时，2a+3>0，得a>-
；a<-3时，-a-3>-a，此时a不存在.
综上，a>-
.
【考点】不等式的综合
【解析】【分析】（1)当a=1，写出
f(x)=|x-1|+|x+3|
，进一步分段讨论去值，解不等式；
（2）只要保证
f(x)最小值>-a，而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.
(
第
一
页
共
1
页
)
二一教育在线组卷平台(zujuan.21cnjy.com)
自动生成(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
登陆二一教育在线组卷平台
助您教考全无忧
2021年高考文数真题试卷（全国乙卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，总共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12题；共51分）
1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则Cu（MUN）=（??
）
A.?{5}???????????????????????????????????B.?{1,2}???????????????????????????????????C.?{3,4}???????????????????????????????????D.?{1,2,3,4}
【答案】
A
【考点】交集及其运算，补集及其运算
【解析】【解答】因为
U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4}
则
MUN
＝{1，2，3，4}，
于是
Cu（MUN）=
{5}
。
故答案为：A
【分析】先求
MUN，再求
Cu（MUN）
。
2.设iz=4+3i，则z等于（??
）
A.?-3-4i????????????????????????????????????B.?-3+4i????????????????????????????????????C.?3-4i????????????????????????????????????D.?3+4i
【答案】
C
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】因为
iz=4+3i
，所以Z＝
故答案为：C
【分析】直接解方程，由复数的除法运算法则，得到结果。
3.已知命题p：
x∈R，sinx＜1；命题q：
x∈R，
e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（
）
A.?p
q????????????????????????????B.?
p
q????????????????????????????C.?p
q????????????????????????????D.?
(pVq)
【答案】
A
【考点】全称量词命题，存在量词命题，命题的否定，命题的真假判断与应用
【解析】【解答】因为命题P是真命题，命题
q也是真命题，
故答案为：A
【分析】先判断命题p，q的真假，然后判断选项的真假。
4.函数f（x）=sin
+cos
的最小正周期和最大值分别是（??
）
A.?3
和
????????????????????????????B.?3
和2????????????????????????????C.?
和
????????????????????????????D.?
和2
【答案】
C
【考点】正弦函数的图象，y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，正弦函数的周期性，正弦函数的零点与最值
【解析】【解答】因为
f（x）=sin
+cos
＝
,所以周期值域
即最大值是
故答案为：C。
【分析】先将
f（x）
解析式化成的形式，再由正弦函数的周期公式计算周期，再由正弦函数的性质，得到它的最大与最小值。
5.若x，y满足约束条件
,则z=3x+y的最小值为（??
）
A.?18??????????????????????????????????????????B.?10??????????????????????????????????????????C.?6??????????????????????????????????????????D.?4
【答案】
C
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】作出线性约束的可行域（如图阴影部分所示区域），
当直线
z=3x+y经过点（1，3）时，z取得最小值。此时zmin=3x1+3=6.?
故答案为：C
【分析】先作出可行域，再通过目标函数以及可行域，确定最优解，进一步得到答案。
6.
?（??
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】
D
【考点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】因为?
故选D。
?
【分析】由降幂公式，可以化成特殊角的三角函数求值。
7.在区间(0,
)随机取1个数，则取到的数小于
的概率为（??
）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】
B
【考点】几何概型
【解析】【解答】由几何概型得：P＝.
故答案为：B
【分析】由几何概型概率公式即可得到结果。
8.下列函数中最小值为4的是（??
）
A.?????????????????B.?????????????????C.?????????????????D.?
【答案】
C
【考点】函数的最值及其几何意义，指数函数的定义、解析式、定义域和值域，对数函数的图象与性质，基本不等式
【解析】【解答】对于A：因为y=(x+1)2+3,则ymin=3;
故A不符合题意；
对于B：因为
，
设t=|sinx|(??
),则y=g(t)=由双沟函数知，
函数y＝g(t)=是减函数，所以ymin=g(1)=5，所以B选项不符合；
对于C：因为
当且仅当时“＝”成立，
即ymin=4，故C选项正确；
对于D：当时，<0，故D选项不符合，
故答案为：C.
【分析】A,用配方法求出干净函数的最小值，判断不符合；B.换元利用双沟函数的单调性，求出最小值，判断不适合；C.变形后用基本不等式计算出最小值，判断符合；D
举反列说明其不符合。
9.设函数
，则下列函数中为奇函数的是（??
）
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
【答案】
B
【考点】函数奇偶性的判断，奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】对于A：因为h(x)=
f(x-1)-1,则h(-X)h(X),所以h(X)不是奇函数，故A不符合；
对于B：因为h(x)=
f(x-1)+1,则h(-X)＝h(X),所以h(X)是奇函数，故B符合；
对于C：h(x)=
f(x+1)－1,则h(-X)h(X)，所以C不符合；?
对于D：h(x)=
f(x+1)+1,则h(-X)≠h(X)，故D不符合.
故答案为：B.
【分析】设选项的各个函数是h(x),分别计算h(-x)，与h(x)比较，就可以得到正确选项是B。
10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】
D
【考点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图，连接AC，设AC与BD交于O，连接OD1,AD1,BP,设正方体的棱长为x，
因为D1P||OB||BD,且D1P=BO=BD,所以四边形OD1PB是平行四边形，所以BP||OD1,所以
即为所求的角，易证平面BDD1B1,故OD1,
又,所以＝.
故答案为：D
【分析】在正方体中，作辅助线，通过平移线，作出所要求的角。
11.设B是椭圆C：
的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（??
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?2
【答案】
A
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意知B(0,1),设P(x,y)则|PB|2=(x-0)2+(y-1)2=x2+y2-2y+1=5(1-y2)+y2-2y+1
=-4y2-2y+6=-4(y+4)2+,因为所以当时，|PB|2max=,此时，|PB|max
＝
，
故答案为：A
【分析】先写出B的坐标，然后设任意点P(x,y),再用两点间的距离公式，表示出|PB|，再用本文法计算|PB|的最大值即可。
12.设a≠0，若x=a为函数
的极大值点，则（
）
A.?a＜b?????????????????????????????????B.?a＞b?????????????????????????????????C.?ab＜a2?????????????????????????????????D.?ab＞a2
【答案】
D
【考点】二次函数的图象，二次函数的性质
【解析】【解答】当a>0时，若a为极大值点，则(如图1)，必有a当a<0时，若a为极大值点，则(如图2)，必有a>b>a2,故A错。
故答案为：D.
【分析】对a的正负进行讨论，根据极值点的意义，作图分析，得到正确选项。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分（共4题；共17分）
13.已知向量a=(2,5),b=(λ,4)，若
，则λ=________.
【答案】
【考点】平面向量的坐标运算，平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为=(2,5),=(λ,4)，且
，
则
，
则
。
【分析】根据向量平行的条件即可得到结果。
14.双曲线
的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为________.
【答案】
【考点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】由题意得，a2=4,b2=5,所以c2=a2+b2=9,所以c=3(c>0),所以椭圆的右焦点是(3,0)，则右焦点(3,0)到直线x+2y-8的距离为.
【分析】先求出椭圆的右焦点坐标，然后用点到直线的距离公式求焦点到直线的距离即可。
15.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为
，B=60°，a2+c2=3ac，则b=________.
【答案】
【考点】余弦定理，三角形中的几何计算
【解析】【解答】
于是
【分析】根据面积的值，计算出ac，再由余弦定理求解。
16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为________（写出符合要求的一组答案即可）.
【答案】
②⑤或③④
【考点】由三视图还原实物图
【解析】【解答】当俯视图为
④
时，右侧棱在左侧，不可观测到，所以为虚线，故选择③为侧视图；
当俯视图为⑤时，左侧棱在左侧可观测到，所以为实线，故选择②为侧视图，
故答案为：
②⑤或③④
【分析】分情况讨论各种视图的位置关系。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（共5题；共50分）
17.某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为
和
，样本方差分别记为s12和s22
（1）求
，
，
s12
，
s22；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果
-
≥
，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.
【答案】
（1）解：各项所求值如下所示
=
(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0
=
(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3
=
x[(9.7-10.0)2+2x(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2x(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2]=0.36，
=
x[(10.0-10.3)2+3x(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2x(10.4-10.3)2+2x(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2]=0.4.
（2）由(1)中数据得
-
=0.3，2
≈0.34
显然
-
＜2
，所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。
【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）先计算新旧样本平均数
，
再直接用公式计算
s12
，
s22；
(2)由
(1)中的数据，计算得：
-
=0.3，2
≈0.34
，
显然
-
＜2
，可得到答案。
18.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD
底面ABCD，M为BC的中点，且PB
AM.
??
（1）证明：平面PAM
平面PBD；
（2）若PD=DC=1，求四棱锥P-ADCD的体积.
【答案】
（1）因为
底面
，
平面
，
所以
，
又
，
，
所以
平面
，
而
平面
，
所以平面
平面
．
（2）由（1）可知，
平面
，所以
，
从而
，
设
，
，则
，
即
，
解得
，所以
．
因为
底面
，
故四棱锥
的体积为
．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）由PD垂直平面ABCD，及PB垂直AM，可以证明
平面
，
从而可能证明
平面
平面
；
（2）由连接BD（1）可得
，
证明?
通过计算，求出高
，再用棱锥体积公式直接得到答案。
19.设
是首项为1的等比数列，数列
满足
，已知
，3
，9
成等差数列.
（1）求
和
的通项公式；
（2）记
和
分别为
和
的前n项和.证明：
<
.
【答案】
（1）因为
是首项为1的等比数列且
，
，
成等差数列，
所以
，所以
，
即
，解得
，所以
，
所以
.
（2）证明：由（1）可得
，
，①
，②
①
②得
，
所以
，
所以
，
所以
.
【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数列的求和
【解析】【分析】由
，
，
成等差数列，列关系式等比数列
的公比q，进而得到
，再由bn与an的关系求得bn；
（2）先根据条件求得
，再由错项相减的方法求得的表达式，最后用求差比较法，证明
<
.
20.已知抛物线C：
(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
（1）求C的方程.
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足
，求直线OQ斜率的最大值.
【答案】
（1）抛物线
的焦点
，准线方程为
，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为
，
所以该抛物线的方程为
；
（2）设
，则
，
所以
，
由
在抛物线上可得
，即
，
所以直线
的斜率
，
当
时，
；
当
时，
，
当
时，因为
，
此时
，当且仅当
，即
时，等号成立；
当
时，
；
综上，直线
的斜率的最大值为
.
【考点】抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）根据抛物线的几何性质，可求得P的值，就可以写出抛物线的方程；
（2）先设出Q的坐标M(x0,y0),在代入已知等式
，用(x0,yO)表示出
，再
代入抛物线方程，推导出x0
，
y0的关系，再表示出OQ的斜率。再利用基本不等式，求出斜率最大值即可。
21.已知函数
.
（1）讨论
的单调性；
（2）求曲线
过坐标原点的切线与曲线
的公共点的坐标.
【答案】
（1）由函数的解析式可得：
，
导函数的判别式
，
当
时，
在R上单调递增，
当
时，
的解为：
，
当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增；
综上可得：当
时，
在R上单调递增，
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）由题意可得：
，
，
则切线方程为：
，
切线过坐标原点，则：
,
整理可得：
，即：
，
解得：
，则
，
即曲线
过坐标原点的切线与曲线
的公共点的坐标为
.
【考点】导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）先对函数求导，通过分类讨论a的取值，确定导数的符号，来确定函数的单调区间；
（2）先设切点坐标横坐标x0,通过求导求出切线的斜率，写出切线的方程，再利用切线过原点的条件，就可以得到x0的值，进一步得到公共点坐标。
四、[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1题；共2分）
22.在直角坐标系xOy中，
C的圆心为C（2，1），半径为1.
（1）写出
C的一个参数方程；
（2）过点F（4，1）作
C的两条切线，
以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.
【答案】
（1）因为
C的圆心为(2，1)，半径为1.故
C的参数方程为
（
为参数).
（2）设切线y=k（x-4)+1，即kx-y-4k+1=0.
故
?=1
即|2k|=
，4
=
，
解得k=±
.
故直线方程为y=
?(x-4)+1，
y=
?(x-4)+1
故两条切线的极坐标方程为
sin
=
cos
-
+1或
sin
=
cos
+
+1.
【考点】点的极坐标和直角坐标的互化，参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）根据圆的参数方程的定义，不难得到圆的参数方程；
（2）设出过点（4，1）的圆的切线方程，利用直线与相切求出切线的斜率，进而求得两条切线的方程，并将它们化为极坐标方程。
五、[选修4-5：不等式选讲]（共1题；共2分）
23.已知函数f（x）=|x-a|+|x+3|.
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥6的解集；
（2）若f（x）≥-a，求a的取值范围.
【答案】
（1）解：a=1时，f(x)=|x-1|+|x+3|，即求|x-1|+|x-3|≥6的解集.
当x≥1时，2x十2≥6，得x≥2;
当-3当x≤-3时-2x-2≥6.得x≤-4，
综上，解集为(-∞，-4]U[2，-∞).
（2）f(x)最小值>-a，而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.
当x在a和-3之间时最小，此时f(x)最小值为|a+3|，即|a+3|＞-a.
A≥-3时，2a+3>0，得a>-
；a<-3时，-a-3>-a，此时a不存在.
综上，a>-
.
【考点】不等式的综合
【解析】【分析】（1)当a=1，写出
f(x)=|x-1|+|x+3|
，进一步分段讨论去值，解不等式；
（2）只要保证
f(x)最小值>-a，而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.
(
第
一
页
共
1
页
)
二一教育在线组卷平台(zujuan.21cnjy.com)
自动生成