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2021年高考理数真题试卷（全国甲卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12题；共60分）
1.设集合M=｛x|0＜x＜4｝，N=｛x|
≤x≤5｝，则M∩N=（??
）
A.?｛x|0＜x≤
｝???????????????B.?｛x|
≤x＜4｝???????????????C.?｛x|4≤x＜5｝???????????????D.?｛x|0＜x≤5｝
【答案】
B
【考点】交集及其运算
【解析】【解答】解：M∩N即求集合M,N的公共元素，所以M∩N={x|≤x﹤4}，
故答案为：B
【分析】根据交集的定义求解即可.
2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（??
）
A.?该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.?该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.?估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.?估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
【答案】
C
【考点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：对于A，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为0.02+0.04=6%，故A正确；
对于B，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为0.02×3+0.04=10%，故B正确；
对于D，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间比率估计为0.10+0.14+0.20×2=0.64>0.5，故D正确
故不正确的是C
故答案为：C
【分析】根据频率分布直方图直接求解即可.
3.已知
，则z=（??
）
A.?-1-
i????????????????????????????????B.?-1+
i????????????????????????????????C.?-
+i????????????????????????????????D.?-
-i
【答案】
B
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.
4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记数法的数据约为（??
）（
≈1.259）
A.?1.5????????????????????????????????????????B.?1.2????????????????????????????????????????C.?0.8????????????????????????????????????????D.?0.6
【答案】
C
【考点】指数式与对数式的互化，对数的运算性质
【解析】【解答】解：由题意得，将L=4.9代入l=5+lgV，得lgV=-0.1=
，
所以
故答案为：C
【分析】根据对数的运算法则，结合对数式与指数式的互化求解即可.
5.已知F1
，
F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为（??
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
【答案】
A
【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由
|PF1|=3|PF2|
，
|PF1|-|PF2|=2a得
|PF1|=3a，|PF2|=a
在△F1PF2中，由|F1F2|2=
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2
得(2c)2=(3a)2+a2-2×3a×a×cos60°
解得
所以
故答案为：A
【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理以及离心率公式直接求解即可.
6.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正试图如右图所示，则相应的侧视图是（??
）
A.???????????????????B.???????????????????C.???????????????????D.?
【答案】
D
【考点】简单空间图形的三视图，由三视图还原实物图
【解析】【解答】解：由题意得正方体如图所示，
则侧视图是
故答案为：D
【分析】根据三视图的画法求解即可.
7.等比数列｛an｝的公比为q，前n项和为Sn
，
设甲：q>0，乙:｛Sn｝是递増数列，则（??
）
A.?甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.?甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.?甲是乙的充要条件
D.?甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当a1=-1，q=2时，{Sn}是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；
当{Sn}是递增数列时，an+1=Sn+1-Sn>0，即a1qn>0，则q>0，所以甲是乙的必要条件；
所以甲是乙的必要条件但不是充分条件.
故答案为：B
【分析】根据充要条件的判定，结合等比数列的性质求解即可.
8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测量法的一个示意图，现有以A，B，C三点，且A，B,C在同一水平而上的投影A’,B’，C'满足
.由c点测得B点的仰角为15°，曲，
与
的差为100
:由B点测得A点的仰角为45°，则A,C两点到水平面
的高度差
约为（??
）
A.?346??????????????????????????????????????B.?373??????????????????????????????????????C.?446??????????????????????????????????????D.?473
【答案】
B
【考点】正弦定理，正弦定理的应用
【解析】【解答】解：如图，过C作BB'的垂线交BB'于点M，过B作AA'的垂线交AA'于点N，
设B'C'=CM=m，A'B'=BN=n，
在△A'B'C'中，由正弦定理得
，
在△BCM中，由正弦定理得
，
则
，
解得
，
得A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'≈273+100=373.
故答案为：B
【分析】根据正弦定理求解即可.
9.若
,
，则
（??
）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
【答案】
A
【考点】二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式，同角三角函数间的基本关系，同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由题意得
?
，
则
，
解得sinα=
，
又因为
?,
所以
所以
故答案为：A
【分析】根据二倍角公式，结合同角三角函数基本关系求解即可.
10.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0
不相邻的概率为（??
）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】
C
【考点】古典概型及其概率计算公式，排列、组合的实际应用，排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：
将4个1和2个0随机排成一行
共有种排法，
先将4个1全排列，再用插空法将2个0插入进行排列，共有种排法，
则所求概率为
故答案为：C
【分析】根据古典概型，结合插空法求解即可.
11.已知A,B,C是半径为1的求O的球面上的三个点，且AC⊥BC,AC=BC=1，则三棱锥O-ABC的体积为（??
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
【答案】
A
【考点】球面距离及相关计算，棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：记△ABC的外接圆圆心为O1
，
由AC⊥BC，AC=BC=1知O1为AB的中点，且
，
又球的半径为1，所以OA=OB=OC=1，所以OA2+OB2=AB2
，
，
则OO12+O1C2=OC2
则OO1⊥O1C，OO1⊥AB，
所以OO1⊥平面ABC，
所以
故答案为：A
【分析】根据直角三角形的几何性质，结合三棱锥的外接球的性质，运用三棱锥的体积公式直接求解即可.
12.设函数f(x)的定义域为R
，
f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当
时，
.若
,则
（??
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】
D
【考点】函数奇偶性的性质，函数的值
【解析】【解答】解：因为f(x+1)是奇函数，所以f(1)=0，即a+b=0，则b=-a，
又f(0)=f(-1+1)=f(-1+2)==f(1)=0，
由f(0)+f(3)=6得a=-2，
所以
故答案为：D
【分析】根据函数的奇偶性，利用函数的性质求解即可.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。（共4题；共20分）
13.曲线
在点（-1，-3）处的切线方程为________。
【答案】
5x-y+2=0
【考点】导数的几何意义，直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：由题意得
，
所以在点（-1，-3）处的切线斜率k=5，故切线方程为y+3=5(x+1)，即5x-y+2=0
故答案为：5x-y+2=0
【分析】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程求解即可.
14.已知向量a=(3,1)，b=(1,0)，
，若a⊥c，则k=________。
【答案】
【考点】平面向量的坐标运算，数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：
，
由得
，
解得
故答案为：
【分析】根据向量的坐标运算，结合向量垂直的判断条件求解即可.
15.已知F1
，
F2为椭圆C：
的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点堆成的两点，且
，则四边形PF1QF2的面积为________。
【答案】
8
【考点】椭圆的定义，三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由|PQ|=|F1F2|，得|OP|=|F1F2|，所以PF1⊥PF2
，
所以
故答案为：8
【分析】根据椭圆的定义及直角三角形的性质，结合三角形的面积公式求解即可
16.已知函数
的部分图像如图所示，则满足条件
的最小正整数x为________。
【答案】
2
【考点】一元二次不等式的解法，余弦函数的图象
【解析】【解答】解：由得T=π，ω=2
将点代入
，
得
则
，
所以
所以
?
等价于
则或
由图象得最小整数
，
所以x=2
故答案为：2
【分析】根据余弦函数的图象与性质求解即可.
三、解答題：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（共5题；共60分）
17.?
甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：
?
【答案】
（1）（1）由题意可知：甲机床生产的产品中一级品的频率是：
乙机床生产的产品中一级品的频率是：
（2）由于
所以，有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。
【考点】频率分布表，独立性检验，独立性检验的应用
【解析】【分析】（1）根据频率=频数/总体直接求解即可；
（2）根据独立性检验的方法直接求解即可.
18.已知数列{an｝的各项均为正数，记Sn为{an｝的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列{an｝是等差数列：②数列{
｝是等差数列；③a2=3a1
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】
选①②作条件证明③：
设
，则
，
当
时，
；
当
时，
；
因为
也是等差数列，所以
，解得
；
所以
，所以
.
选①③作条件证明②：
因为
，
是等差数列，
所以公差
，
所以
，即
，
因为
，
所以
是等差数列.
选②③作条件证明①：
设
，则
，
当
时，
；
当
时，
；
因为
，所以
，解得
或
；
当
时，
，当
时，
满足等差数列的定义，此时
为等差数列；
当
时，
，
不合题意，舍去.
综上可知
为等差数列.
【考点】数列的概念及简单表示法，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和
【解析】【分析】选(1)(2)做条件时，证明
③：根据等差数列的定义得出
，且
也是等差数列
，
进一步递推出
③
；
若选
①③作条件证明②：
由
，显然
再写出前n项的和与a1,n的关系式
，进而证明
是等差数列.；
选②③作条件证明①：
先设
，
进一步形为
，
再根据
an与sn的关系，分ｎ为１，n>1，推导出
,显然
为等差数列
。
19.已知直三棱柱ABC-A1B1C1.中，侧面AA1B1B为正方形，AB=
BC
=
2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF丄A1B1.
??
（1）?
证明：BF⊥DE；
（2）当为B1D何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？
【答案】
（1）因为三棱柱
是直三棱柱，所以
底面
，所以
因为
，
，所以
，
又
，所以
平面
．
所以
两两垂直．
以
为坐标原点，分别以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，如图．
所以
，
．
由题设
（
）．
因为
，
所以
，所以
．
（2）设平面
的法向量为
，
因为
，
所以
，即
．
令
，则
因为平面
的法向量为
，
设平面
与平面
的二面角的平面角为
，
则
．
当
时，
取最小值为
，
此时
取最大值为
．
所以
，
此时
．
【考点】直线与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角，二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（１）根据条件，先证明
两两垂直
，再建立如图所示空间直角坐标系，定义相关点的坐标，用空间向量证明
．
（２）先设
设出平面
平面
的法向量及
平面
的法向量
，分别求出二法向量，再由向量的夹角公式，得到夹角余弦值，当其值最大时正弦值最小，确定此时的ａ值即为B1D的值。
20.抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上，直线L：x
=
1交C于P，Q两点，且OP丄OQ.已知点M（2,0）,且
M与L相切，
（1）求
M的方程；
（2）设A1,A2,A3,是C上的三个点,直线A1
A2
，
A1
A3均与
M相切，判断A2A3与
M的位置关系，并说明理由.
【答案】
（1）依题意设抛物线
，
，
所以抛物线
的方程为
，
与
相切，所以半径为
，
所以
的方程为
；
（2）设
若
斜率不存在，则
方程为
或
，
若
方程为
，根据对称性不妨设
，
则过
与圆
相切的另一条直线方程为
，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在
，不合题意；
若
方程为
，根据对称性不妨设
则过
与圆
相切的直线
为
，
又
，
，此时直线
关于
轴对称，
所以直线
与圆
相切；
若直线
斜率均存在，
则
，
所以直线
方程为
，
整理得
，
同理直线
的方程为
，
直线
的方程为
，
与圆
相切，
整理得
，
与圆
相切，同理
所以
为方程
的两根，
，
到直线
的距离为：
，
所以直线
与圆
相切；
综上若直线
与圆
相切，则直线
与圆
相切.
【考点】平面向量的综合题，圆的标准方程，点的极坐标和直角坐标的互化，圆的参数方程
【解析】【分析】（1）
先设抛物线的方程
由对称性，可知
，
进而由
可以很容易求出抛物线的P值，进而写出抛物线的方程；
由于圆M的圆心已知,且与x=1相切，立刻知道半径，故很容易求得M的方程；
（２）先设出三点的坐标，分
斜率不存在及
直线
斜率均存在讨论，
分别写出相应的直线方程，根据相关直线与圆相切的条件，分别代入抛物线方程，利用达定理，点到直线距离公式等知识，推导结论。
21.己知a＞0且a≠1，函数f（x）=
（x＞0），
（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；
（2）若曲线y=
f（x）与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围.
【答案】
（1）当
时，
,
令
得
,当
时，
,当
时，
,
∴函数
在
上单调递增；
上单调递减；
（2）
,设函数
,
则
,令
，得
,
在
内
,
单调递增；
在
上
,
单调递减；
,
又
，当
趋近于
时，
趋近于0，
所以曲线
与直线
有且仅有两个交点，即曲线
与直线
有两个交点的充分必要条件是
,这即是
,
所以
的取值范围是
.
【考点】函数的单调性与导数的关系，导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）当ａ＝２时，函数
用导数研究其单调性；
（２）首先将问题转化为方程有两个解的问题，进一步转化为函数与函数有两听问题，然后利用导数研究相关函数的单调性及函数的最大值，进而得到结果。
四、选修4一4：坐标系与参数方程］（共1题；共10分）
22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
=2
cosθ.
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为（1,0）,M为C上的动点，点P满足
?=
,写出
P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点.
【答案】
（1）由曲线C的极坐标方程
可得
，
将
代入可得
，即
，
即曲线C的直角坐标方程为
；
（2）设
，设
，
，
则
，即
，
故P的轨迹
的参数方程为
（
为参数）
曲线C的圆心为
，半径为
，曲线
的圆心为
，半径为2，
则圆心距为
，
，
两圆内含，
故曲线C与
没有公共点.
【考点】圆的标准方程，圆与圆的位置关系及其判定，点的极坐标和直角坐标的互化，圆的参数方程
【解析】【分析】（１）先将
两边平方
可得
，然后用
替换即可得到C的直角坐标方程；
（２）先
设
及M
再由
，建立ｘ，ｙ与的关系式，此即点P的轨迹C1的参数方程，进一步化成直角方程（圆），最后根据两圆圆心距，判断位置关系。
?
五、[选修4一5：不等式选讲]（共1题；共10分）
23.已知函数f（x）=|x-2|，
g（x）
=|2x
+
3|-|2x-1|.
??
（1）画出f（x）和y=g（x）的图像；
（2）若f（x+a）≥g（x）,求a的取值范围.
【答案】
（1）可得
，画出图像如下：
，画出函数图像如下：
（2）
，
如图，在同一个坐标系里画出
图像，
是
平移了
个单位得到，
则要使
，需将
向左平移，即
，
当
过
时，
，解得
或
（舍去），
则数形结合可得需至少将
向左平移
个单位，
.
【考点】函数的图象与图象变化，分段函数的解析式求法及其图象的作法，不等式的综合
【解析】【分析】（１）先去绝对值将二函数解析式写成分段函数物形式，然后分段作图；
（２）将上面两个函数图象画在同一个直角坐标系内，（注意f（x+a）与 f（x）图象的关系），由
f（x+a）≥g（x）,
确定a的取值范围。
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2021年高考理数真题试卷（全国甲卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12题；共60分）
1.设集合M=｛x|0＜x＜4｝，N=｛x|
≤x≤5｝，则M∩N=（??
）
A.?｛x|0＜x≤
｝???????????????B.?｛x|
≤x＜4｝???????????????C.?｛x|4≤x＜5｝???????????????D.?｛x|0＜x≤5｝
2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（??
）
A.?该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.?该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.?估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.?估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
3.已知
，则z=（??
）
A.?-1-
i????????????????????????????????B.?-1+
i????????????????????????????????C.?-
+i????????????????????????????????D.?-
-i
4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记数法的数据约为（??
）（
≈1.259）
A.?1.5????????????????????????????????????????B.?1.2????????????????????????????????????????C.?0.8????????????????????????????????????????D.?0.6
5.已知F1
，
F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为（??
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
6.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正试图如右图所示，则相应的侧视图是（??
）
A.???????????????????B.???????????????????C.???????????????????D.?
7.等比数列｛an｝的公比为q，前n项和为Sn
，
设甲：q>0，乙:｛Sn｝是递増数列，则（??
）
A.?甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.?甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.?甲是乙的充要条件
D.?甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测量法的一个示意图，现有以A，B，C三点，且A，B,C在同一水平而上的投影A’,B’，C'满足
.由c点测得B点的仰角为15°，曲，
与
的差为100
:由B点测得A点的仰角为45°，则A,C两点到水平面
的高度差
约为（??
）
A.?346??????????????????????????????????????B.?373??????????????????????????????????????C.?446??????????????????????????????????????D.?473
9.若
,
，则
（??
）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
10.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0
不相邻的概率为（??
）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
11.已知A,B,C是半径为1的求O的球面上的三个点，且AC⊥BC,AC=BC=1，则三棱锥O-ABC的体积为（??
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
12.设函数f(x)的定义域为R
，
f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当
时，
.若
,则
（??
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。（共4题；共20分）
13.曲线
在点（-1，-3）处的切线方程为________。
14.已知向量a=(3,1)，b=(1,0)，
，若a⊥c，则k=________。
15.已知F1
，
F2为椭圆C：
的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点堆成的两点，且
，则四边形PF1QF2的面积为________。
16.已知函数
的部分图像如图所示，则满足条件
的最小正整数x为________。
三、解答題：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（共5题；共60分）
17.?
甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：
?
18.已知数列{an｝的各项均为正数，记Sn为{an｝的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列{an｝是等差数列：②数列{
｝是等差数列；③a2=3a1
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
19.已知直三棱柱ABC-A1B1C1.中，侧面AA1B1B为正方形，AB=
BC
=
2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF丄A1B1.
??
（1）?
证明：BF⊥DE；
（2）当为B1D何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？
20.抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上，直线L：x
=
1交C于P，Q两点，且OP丄OQ.已知点M（2,0）,且
M与L相切，
（1）求
M的方程；
（2）设A1,A2,A3,是C上的三个点,直线A1
A2
，
A1
A3均与
M相切，判断A2A3与
M的位置关系，并说明理由.
21.己知a＞0且a≠1，函数f（x）=
（x＞0），
（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；
（2）若曲线y=
f（x）与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围.
四、选修4一4：坐标系与参数方程］（共1题；共10分）
22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
=2
cosθ.
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为（1,0）,M为C上的动点，点P满足
?=
,写出
P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点.
五、[选修4一5：不等式选讲]（共1题；共10分）
23.已知函数f（x）=|x-2|，
g（x）
=|2x
+
3|-|2x-1|.
??
（1）画出f（x）和y=g（x）的图像；
（2）若f（x+a）≥g（x）,求a的取值范围.
答案解析部分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.【答案】
B
【考点】交集及其运算
【解析】【解答】解：M∩N即求集合M,N的公共元素，所以M∩N={x|≤x﹤4}，
故答案为：B
【分析】根据交集的定义求解即可.
2.【答案】
C
【考点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：对于A，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为0.02+0.04=6%，故A正确；
对于B，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为0.02×3+0.04=10%，故B正确；
对于D，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间比率估计为0.10+0.14+0.20×2=0.64>0.5，故D正确
故不正确的是C
故答案为：C
【分析】根据频率分布直方图直接求解即可.
3.【答案】
B
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.
4.【答案】
C
【考点】指数式与对数式的互化，对数的运算性质
【解析】【解答】解：由题意得，将L=4.9代入l=5+lgV，得lgV=-0.1=
，
所以
故答案为：C
【分析】根据对数的运算法则，结合对数式与指数式的互化求解即可.
5.【答案】
A
【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由
|PF1|=3|PF2|
，
|PF1|-|PF2|=2a得
|PF1|=3a，|PF2|=a
在△F1PF2中，由|F1F2|2=
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2
得(2c)2=(3a)2+a2-2×3a×a×cos60°
解得
所以
故答案为：A
【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理以及离心率公式直接求解即可.
6.【答案】
D
【考点】简单空间图形的三视图，由三视图还原实物图
【解析】【解答】解：由题意得正方体如图所示，
则侧视图是
故答案为：D
【分析】根据三视图的画法求解即可.
7.【答案】
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当a1=-1，q=2时，{Sn}是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；
当{Sn}是递增数列时，an+1=Sn+1-Sn>0，即a1qn>0，则q>0，所以甲是乙的必要条件；
所以甲是乙的必要条件但不是充分条件.
故答案为：B
【分析】根据充要条件的判定，结合等比数列的性质求解即可.
8.【答案】
B
【考点】正弦定理，正弦定理的应用
【解析】【解答】解：如图，过C作BB'的垂线交BB'于点M，过B作AA'的垂线交AA'于点N，
设B'C'=CM=m，A'B'=BN=n，
在△A'B'C'中，由正弦定理得
，
在△BCM中，由正弦定理得
，
则
，
解得
，
得A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'≈273+100=373.
故答案为：B
【分析】根据正弦定理求解即可.
9.【答案】
A
【考点】二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式，同角三角函数间的基本关系，同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由题意得
?
，
则
，
解得sinα=
，
又因为
?,
所以
所以
故答案为：A
【分析】根据二倍角公式，结合同角三角函数基本关系求解即可.
10.【答案】
C
【考点】古典概型及其概率计算公式，排列、组合的实际应用，排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：
将4个1和2个0随机排成一行
共有种排法，
先将4个1全排列，再用插空法将2个0插入进行排列，共有种排法，
则所求概率为
故答案为：C
【分析】根据古典概型，结合插空法求解即可.
11.【答案】
A
【考点】球面距离及相关计算，棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：记△ABC的外接圆圆心为O1
，
由AC⊥BC，AC=BC=1知O1为AB的中点，且
，
又球的半径为1，所以OA=OB=OC=1，所以OA2+OB2=AB2
，
，
则OO12+O1C2=OC2
则OO1⊥O1C，OO1⊥AB，
所以OO1⊥平面ABC，
所以
故答案为：A
【分析】根据直角三角形的几何性质，结合三棱锥的外接球的性质，运用三棱锥的体积公式直接求解即可.
12.【答案】
D
【考点】函数奇偶性的性质，函数的值
【解析】【解答】解：因为f(x+1)是奇函数，所以f(1)=0，即a+b=0，则b=-a，
又f(0)=f(-1+1)=f(-1+2)==f(1)=0，
由f(0)+f(3)=6得a=-2，
所以
故答案为：D
【分析】根据函数的奇偶性，利用函数的性质求解即可.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.【答案】
5x-y+2=0
【考点】导数的几何意义，直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：由题意得
，
所以在点（-1，-3）处的切线斜率k=5，故切线方程为y+3=5(x+1)，即5x-y+2=0
故答案为：5x-y+2=0
【分析】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程求解即可.
14.【答案】
【考点】平面向量的坐标运算，数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：
，
由得
，
解得
故答案为：
【分析】根据向量的坐标运算，结合向量垂直的判断条件求解即可.
15.【答案】
8
【考点】椭圆的定义，三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由|PQ|=|F1F2|，得|OP|=|F1F2|，所以PF1⊥PF2
，
所以
故答案为：8
【分析】根据椭圆的定义及直角三角形的性质，结合三角形的面积公式求解即可
16.【答案】
2
【考点】一元二次不等式的解法，余弦函数的图象
【解析】【解答】解：由得T=π，ω=2
将点代入
，
得
则
，
所以
所以
?
等价于
则或
由图象得最小整数
，
所以x=2
故答案为：2
【分析】根据余弦函数的图象与性质求解即可.
三、解答題：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17.【答案】
（1）（1）由题意可知：甲机床生产的产品中一级品的频率是：
乙机床生产的产品中一级品的频率是：
（2）由于
所以，有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。
【考点】频率分布表，独立性检验，独立性检验的应用
【解析】【分析】（1）根据频率=频数/总体直接求解即可；
（2）根据独立性检验的方法直接求解即可.
18.【答案】
选①②作条件证明③：
设
，则
，
当
时，
；
当
时，
；
因为
也是等差数列，所以
，解得
；
所以
，所以
.
选①③作条件证明②：
因为
，
是等差数列，
所以公差
，
所以
，即
，
因为
，
所以
是等差数列.
选②③作条件证明①：
设
，则
，
当
时，
；
当
时，
；
因为
，所以
，解得
或
；
当
时，
，当
时，
满足等差数列的定义，此时
为等差数列；
当
时，
，
不合题意，舍去.
综上可知
为等差数列.
【考点】数列的概念及简单表示法，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和
【解析】【分析】选(1)(2)做条件时，证明
③：根据等差数列的定义得出
，且
也是等差数列
，
进一步递推出
③
；
若选
①③作条件证明②：
由
，显然
再写出前n项的和与a1,n的关系式
，进而证明
是等差数列.；
选②③作条件证明①：
先设
，
进一步形为
，
再根据
an与sn的关系，分ｎ为１，n>1，推导出
,显然
为等差数列
。
19.【答案】
（1）因为三棱柱
是直三棱柱，所以
底面
，所以
因为
，
，所以
，
又
，所以
平面
．
所以
两两垂直．
以
为坐标原点，分别以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，如图．
所以
，
．
由题设
（
）．
因为
，
所以
，所以
．
（2）设平面
的法向量为
，
因为
，
所以
，即
．
令
，则
因为平面
的法向量为
，
设平面
与平面
的二面角的平面角为
，
则
．
当
时，
取最小值为
，
此时
取最大值为
．
所以
，
此时
．
【考点】直线与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角，二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（１）根据条件，先证明
两两垂直
，再建立如图所示空间直角坐标系，定义相关点的坐标，用空间向量证明
．
（２）先设
设出平面
平面
的法向量及
平面
的法向量
，分别求出二法向量，再由向量的夹角公式，得到夹角余弦值，当其值最大时正弦值最小，确定此时的ａ值即为B1D的值。
20.【答案】
（1）依题意设抛物线
，
，
所以抛物线
的方程为
，
与
相切，所以半径为
，
所以
的方程为
；
（2）设
若
斜率不存在，则
方程为
或
，
若
方程为
，根据对称性不妨设
，
则过
与圆
相切的另一条直线方程为
，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在
，不合题意；
若
方程为
，根据对称性不妨设
则过
与圆
相切的直线
为
，
又
，
，此时直线
关于
轴对称，
所以直线
与圆
相切；
若直线
斜率均存在，
则
，
所以直线
方程为
，
整理得
，
同理直线
的方程为
，
直线
的方程为
，
与圆
相切，
整理得
，
与圆
相切，同理
所以
为方程
的两根，
，
到直线
的距离为：
，
所以直线
与圆
相切；
综上若直线
与圆
相切，则直线
与圆
相切.
【考点】平面向量的综合题，圆的标准方程，点的极坐标和直角坐标的互化，圆的参数方程
【解析】【分析】（1）
先设抛物线的方程
由对称性，可知
，
进而由
可以很容易求出抛物线的P值，进而写出抛物线的方程；
由于圆M的圆心已知,且与x=1相切，立刻知道半径，故很容易求得M的方程；
（２）先设出三点的坐标，分
斜率不存在及
直线
斜率均存在讨论，
分别写出相应的直线方程，根据相关直线与圆相切的条件，分别代入抛物线方程，利用达定理，点到直线距离公式等知识，推导结论。
21.【答案】
（1）当
时，
,
令
得
,当
时，
,当
时，
,
∴函数
在
上单调递增；
上单调递减；
（2）
,设函数
,
则
,令
，得
,
在
内
,
单调递增；
在
上
,
单调递减；
,
又
，当
趋近于
时，
趋近于0，
所以曲线
与直线
有且仅有两个交点，即曲线
与直线
有两个交点的充分必要条件是
,这即是
,
所以
的取值范围是
.
【考点】函数的单调性与导数的关系，导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）当ａ＝２时，函数
用导数研究其单调性；
（２）首先将问题转化为方程有两个解的问题，进一步转化为函数与函数有两听问题，然后利用导数研究相关函数的单调性及函数的最大值，进而得到结果。
四、选修4一4：坐标系与参数方程］
22.【答案】
（1）由曲线C的极坐标方程
可得
，
将
代入可得
，即
，
即曲线C的直角坐标方程为
；
（2）设
，设
，
，
则
，即
，
故P的轨迹
的参数方程为
（
为参数）
曲线C的圆心为
，半径为
，曲线
的圆心为
，半径为2，
则圆心距为
，
，
两圆内含，
故曲线C与
没有公共点.
【考点】圆的标准方程，圆与圆的位置关系及其判定，点的极坐标和直角坐标的互化，圆的参数方程
【解析】【分析】（１）先将
两边平方
可得
，然后用
替换即可得到C的直角坐标方程；
（２）先
设
及M
再由
，建立ｘ，ｙ与的关系式，此即点P的轨迹C1的参数方程，进一步化成直角方程（圆），最后根据两圆圆心距，判断位置关系。
?
五、[选修4一5：不等式选讲]
23.【答案】
（1）可得
，画出图像如下：
，画出函数图像如下：
（2）
，
如图，在同一个坐标系里画出
图像，
是
平移了
个单位得到，
则要使
，需将
向左平移，即
，
当
过
时，
，解得
或
（舍去），
则数形结合可得需至少将
向左平移
个单位，
.
【考点】函数的图象与图象变化，分段函数的解析式求法及其图象的作法，不等式的综合
【解析】【分析】（１）先去绝对值将二函数解析式写成分段函数物形式，然后分段作图；
（２）将上面两个函数图象画在同一个直角坐标系内，（注意f（x+a）与 f（x）图象的关系），由
f（x+a）≥g（x）,
确定a的取值范围。
(
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