专题七：解析几何
高考模拟测试
一、填空题
1. (2011苏、锡、常、镇四市高三数学教学情况调查一)已知圆的方程为，圆的方程为，过圆上任一点作圆的切线，若直线与圆的另一个交点为，则当弦的长度最大时，直线的斜率是 .
2. (苏州市2011年高三调研)已知圆与圆相交，则实数的取值范围为 .
3. 直线与圆相交于A、B两点，若，则实数t的范围 .
4. （南通市2011年高三第三次调）如果圆上总存在两个点到原点的距离为1，则实数的取值范围是 .
5. （南通市2011年四星高中四校联考）已知实数、满足方程，当（）时，由此方程可以确定一个偶函数，则抛物线的焦点到点的轨迹上点的距离最大值为 .
6.（2011江西理） 若曲线：与曲线：有4个不同的交点，则实数的取值范围是________________.
7．（江苏省南通市2012届高三第一次调研）如图，在平面直角坐标系中，分别为椭圆的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆的另一个交点为D，若，则直线CD的斜率为 ．
二、解答题
8.(江苏省徐州市2011届高三第一次调研考试)
已知动圆过点且与直线相切.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点作一条直线交轨迹于两点，轨迹在两点处的切线相交于点，为线段的中点，求证：轴.
9.(江苏省苏州市2011高三调研)
如图，椭圆的左焦点为，上顶点为，过点作直线的垂线分别交椭圆、轴于两点.
⑴若,求实数的值；
⑵设点为的外接圆上的任意一点，
当的面积最大时，求点的坐标.
10.在平面直角坐标系中，已知圆和圆.
（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．
参考答案：
1.【解】有题可知，过点引圆的两条切线，设切线方程为
由可解得或.
2.【解】由得该圆圆心坐标为，半径为，圆的圆心坐标在圆内，因此两圆相切的可能性只有两种：圆内切于圆此时圆内切于圆，此时所以
3.【解】．
4.【解】
5.【解】
6.【解析】曲线：，图像为圆心为（1,0），半径为1的圆；曲线：，或者，直线恒过定点，即曲线图像为轴与恒过定点的两条直线．作图分析：
，，
又直线（或直线）、轴与圆共有四个不同
的交点，结合图形可知
7．考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的斜率、二倍角公式，综合性强．由运用二倍角公式得，再由，得，故.提醒学生注意体会和使用“”这一重要结论．答案：
8.【解析】（1）根据抛物线的定义，可得动圆圆心的轨迹C的方程为
（2）证明：设， ∵， ∴ ，
∴ 的斜率分别为，
故的方程为，的方程为
即，两式相减，得，又，
∴ 的横坐标相等，于是
9.【解析】（1）由条件得
因为所以
令得所以点的坐标为.
由得解得（舍）
所以点的坐标为.
因为，所以且
（2）因为是直角三角形，
所以的外接圆的圆心为，半径为
所以圆的方程为.
因为为定值，所以当的面积最大时点到直线的距离最大.
过作直线的垂线，则点为直线与圆的交点 .
直线与联立得（舍）或
所以点的坐标为.
10.【解析】(1)设直线的方程为：，即
由垂径定理，得：圆心到直线的距离，
结合点到直线距离公式，得：
化简得：
求直线的方程为：或，即或
(2) 设点P坐标为，直线、的方程分别为：
，即：
因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等．
由垂径定理，得：：圆心到直线与直线的距离相等．
故有：，
化简得：
关于的方程有无穷多解，有：
解之得：点P坐标为或．
专题七：解析几何
第2课时 直线与圆（2）
一、考试要求
掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程．掌握直线与圆的位置关系的判定方法.
二、考点整合
1.圆的标准方程
（r＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a，b），半径为r.
特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r时，圆的方程为.
2.圆的一般方程
（＞0）称为圆的一般方程，
其圆心坐标为（，），半径为.
当=0时，方程表示一个点（，）；
当＜0时，方程不表示任何图形.
3. 直线与圆的位置关系
用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
设直线：，圆：，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当时，直线与圆相离；
（2）当时，直线与圆相切；
（3）当时，直线与圆相交；
4. 圆与圆的位置关系
设两圆的连心线长为，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当时，圆与圆相离；
（2）当时，圆与圆外切；
（3）当时，圆与圆相交；
（4）当时，圆与圆内切；
（5）当时，圆与圆内含；
三、题型解析
1. （2012年盐城市第二次模考） 过圆内一点作两条相互垂直的弦, 当时, 四边形的面积为 ．
【解析】 由得这两条弦的弦心距相等，又OP=，所以两弦的弦心距都为，所以两弦长为，四边形的面积为．
【答案】13
【点评】考查圆的方程、直线与圆的位置关系以及四边形的面积．
2.(2011年苏、锡、常、镇四市高三一调)已知圆的方程为，圆的方程为，过圆上任一点作圆的切线，若直线与圆的另一个交点为，则当弦的长度最大时，直线的斜率是 ．
【解】有题可知，过点引圆的两条切线，设切线方程为
由可解得或.
【点评】考查直线与圆的位置关系．
3.（2010江西理）直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取值范围是
【解】圆心的坐标为（3.，2），且圆与y轴相切.当，由点到直线距离公式，解得；
【点评】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考察数形结合的运用.
4.已知圆直线
（1）圆的圆心到直线的距离为 ．
(2) 圆上任意一点到直线的距离小于2的概率为 ．
【解】（1）由点到直线的距离公式可得；
（2）由（1）可知圆心到直线的距离为5，要使圆上点到直线的距离小于2，即与圆相交所得劣弧上，由半径为，圆心到直线的距离为3可知劣弧所对圆心角为，故所求概率为.
【点评】几何概型与圆．
5. （2010全国卷2理）（16）已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，．若，则两圆圆心的距离 ．
【解】设E为AB的中点，则O，E，M，N四点共面，如图，∵，所以，∴，由球的截面性质，有，∵，所以与全等，所以MN被OE垂直平分，在直角三角形中，由面积相等，可得，
【点评】本试题主要考查球的截面圆的性质，解三角形问题
6.（2011江苏卷）设集合,
, 若 则实数m的取值范围是____.
【解】当时，集合A是以（2，0）为圆心，以为半径的圆，集合B是在两条平行线之间，（2，0）在直线的上方 ，又因为此时无解；
当时，集合A是以（2，0）为圆心，以和为半径的圆环，集合B是在两条平行线之间，必有当时,只要,.
当时, 只要,
当时,一定符合
又因为,.
【点评】本题主要考查集合概念,子集及其集合运算、线性规划,直线的斜率,两直线平行关系,点到直线的距离,圆的方程,直线与圆的位置关系、含参分类讨论、解不等式，及其综合能力.本题属难题.
7.(江苏省苏北四市2011届高三第一次调研)已知椭圆E：的左焦点为F，左准线与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点.
（1）求圆C的方程；
（2）直线FG与直线交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；
（3）在平面上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.
【解】（1）由椭圆E：，得：，，，又圆C过原点，所以圆C的方程为．
（2）由题意，得，代入，得，
所以的斜率为，的方程为，所以到的距离为，直线被圆C截得弦长为．
故直线被圆C截得弦长为7．
（3）设，，则由，得，
整理得①，又在圆C：上，所以②，
②代入①得， 又由为圆C 上任意一点可知，解得．所以在平面上存在一点P，其坐标为．
【点评】第（1）问先求出圆心坐标，再直接写出圆的方程；第（2）问先用中点坐标公式求出点G的横坐标，再代入所求圆的方程求出纵坐标，注意有两解，则的方程可写出；第（3）问是存在性问题，一般解法是先假设存在，再结合已知条件求之，若能求出，则存在，若求之无解，则不存在．
8.已知椭圆：的离心率为，且过点，设椭圆的右准线与轴的交点为，椭圆的上顶点为，直线被以原点为圆心的圆所截得的弦长为．
⑴求椭圆的方程及圆的方程；
⑵若是准线上纵坐标为的点，求证：存在一个异于的点，对于圆上任意一点，有为定值；且当在直线上运动时，点在一个定圆上．
【解】⑴，又
过点,解得椭圆方程：直线的方程为，则圆心到直线的距离圆的半径圆的方程： .
⑵右准线的方程为，由题可设定点
与的比值是常数并且不同于，是正常数并且不等于1，
即
将代入有，
有无数组，从而解得：（舍去）或
于是定值为：，又代入得于是，故在圆心，半径为的定圆上.
【点评】
四、达标训练
1．（2012年苏州二轮专题复习） 设圆C：的一条切线与轴、轴分别交于点，则的最小值为 ．
2.（2010江苏卷）9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是___________．
3．已知直线交于A、B两点，O是坐标原点，向量、满足，则实数a的值是_____________．
4．已知实数，直线过点，且垂直于向量，若直线与圆相交，则实数的取值范围是_____________．
5．设实数满足，若对满足条件，不等式恒成立，则的取值范围是 ．
6.若≠kx+2对一切x≥5都成立，则k的取值范围是_______ ．
7.已知：以点C (t, )(t∈R , t ≠ 0)为圆心的圆与轴交于点O, A，与y轴交于点O, B，其中O为原点．
（1）求证：△OAB的面积为定值；
（2）设直线y = –2x+4与圆C交于点M, N，若OM = ON，求圆C的方程．
8.(盐城市2011届高三一调)已知抛物线的准线为,焦点为.⊙M的圆心在轴的正半轴上,且与轴相切．过原点作倾斜角为的直线,交于点, 交⊙M于另一点,且.
（Ⅰ）求⊙M和抛物线的方程；
（Ⅱ）若为抛物线上的动点,求的最小值；
（Ⅲ）过上的动点向⊙M作切线,切点为,
求证：直线恒过一个定点,并求该定点的坐标.
五、参考答案：
1．【解】方法一 取特殊的直线AB：横截距与纵截距相等．方法二不妨设切点P（第一象限），,则,故，，故AB=AP+BP．
【答案】4
2.【解】圆半径为2，圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，，的取值范围是（-13，13）．
3．【解】±2
4．【解】
5．【解】
6.【解】
7.【解】（1），．
设圆的方程是
令，得；令，得
，即：的面积为定值．
（2）垂直平分线段．
，直线的方程是．
，解得：
当时，圆心的坐标为，，
此时到直线的距离，
圆与直线相交于两点．
当时，圆心的坐标为，，
此时到直线的距离
圆与直线不相交，
不符合题意舍去．
圆的方程为．
8.【解】（Ⅰ）因为,即,
所以抛物线C的方程为
设⊙M的半径为,则,
所以的方程为
（Ⅱ）设,则
=
所以当时, 有最小值为2
（Ⅲ）以点Q这圆心,QS为半径作⊙Q,则线段ST即为⊙Q与⊙M的公共弦
设点,则,所以⊙Q的方程为…13分
从而直线QS的方程为(*)
因为一定是方程(*)的解,所以直线QS恒过一个定点,且该定点坐标为．
专题七：解析几何
第3课时 圆锥曲线
一、考试要求
理解椭圆的定义、标准方程和简单几何性质；了解双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质；能用坐标法解决一些与椭圆有关的综合问题,能解决与双曲线、抛物线有关的简单问题.
二、考点整合
1.圆锥曲线的两个定义：
（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值”与＜|FF|不可忽视．若＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|FF|，则轨迹不存在．若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支．
（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率．圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化．
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：
（1）椭圆：焦点在轴上时（）.焦点在轴上时＝1（）．
（2）双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：＝1（）．
（3）抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时．
3.圆锥曲线的几何性质：
（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：两条准线； ⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁．
（2）双曲线（以（）为例）：①范围：或；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：两条准线； ⑤离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；⑥两条渐近线：．
（3）抛物线（以为例）：①范围：；②焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线； ⑤离心率：，抛物线．
4．学好本节内容关键在于正确理解由曲线求方程和由方程讨论曲线的性质这两个问题.重视圆锥曲线的定义,掌握用待定系数法求圆锥曲线的方程.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题,体会数形结合的数学思想.
三、题型解析
1．（南通市2012届高三第一次调研）在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为 ．
【解】因为，，所以，则离心率为．
【点评】考查双曲线的标准方程与几何性质．
2. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是____________．
【解】如图, 到直线和直线的距离之和即为PA+PB=PB+PF.
从而最小值为2
【点评】求解此类问题,一般方法是数形结合,运用抛物线上一点到焦点的距离与到准线的距离相等进行转化.
3.已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同．则双曲线的方程为 ．
【解】本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程．
由渐近线方程可知 ①
因为抛物线的焦点为（4，0），所以c=4 ②
又 ③
联立①②③，解得，所以双曲线的方程为
【点评】求圆锥曲线的标准方程通常利用待定系数法求解,搞清楚其中数量关系,熟悉几何性质.
4. 如图，已知是椭圆 的左、右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且点为线段的中点，则椭圆的离心率为 .
【解】连OQ,,则,,,
,,,,
【点评】抓住椭圆的定义与圆的有关性质,建立的等量关系.
5.已知椭圆的离心率是，过椭圆上一点作直线交椭圆于两点，且斜率分别为，若点关于原点对称，则的值为 .
【解】一定关于原点对称，设，，M， m]
则，
.
【点评】设出A、B两点坐标，表示出斜率，利用椭圆方程消去坐标，得出与离心率的关系：．双曲线也有相同结论．
6. 已知抛物线C的一个焦点为F（，0），对应于这个焦点的准线方程为x=-.
（1）写出抛物线C的方程；
（2）点P是抛物线C上的动点，过点P作圆（x-3）2+y2=2的切线，切点分别是M，N.当P点在何处时，|MN|的值最小？求出|MN|的最小值.
【解】（1）抛物线方程为：y2=2x.
（2）设已知圆的圆心为Q（3，0），半径r=，
根据圆的性质有：|MN|=2.
当|PQ|2最小时，|MN|取最小值，
设P点坐标为(x0，y0)，则y=2x0.
|PQ|2=（x0-3）2+ y= x-4x0+9=(x0-2)2+5，
∴当x0=2，y0=±2时，|PQ|2取最小值5，
故当P点坐标为（2，±2）时，|MN|取最小值.
【点评】注意圆的性质的应用,运用函数的思想解决问题.
7.已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C三点作圆P，其中圆心P的坐标为．
(1) 若FC是圆P的直径，求椭圆的离心率；
（2）若圆P的圆心在直线上，求椭圆的方程．
【解】（1）由椭圆的方程知，∴点，，
设的坐标为，
∵FC是⊙P的直径，∴
∵ ∴
∴， 解得
∴椭圆的离心率
（2）∵⊙P过点F,B,C三点，∴圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，FC的垂直平分线方程为--------①-
∵BC的中点为，
∴BC的垂直平分线方程为-----②
由①②得，即
∵P在直线上，∴
∵ ∴
由得
∴椭圆的方程为
【点评】抓住圆的有关性质,运用方程思想解决问题.
8．如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k
（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；
（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；
（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB
解析：（1）M(-2,0),N(0,),M、N的中点坐标为(-1,),所以
（2）由得，，
AC方程：即：
所以点P到直线AB的距离
（3）由题意设，
A、C、B三点共线，又因为点P、B在椭圆上，
，两式相减得：
【点评】（1）（2）两题主要考察直线的斜率及其方程、点到直线距离公式、解方程组（3）综合运用共线问题、点在曲线上、直线斜率、两条直线位置关系等知识解决问题.注意点差法的运用.
四、达标测试
1.已知椭圆的长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是 .
2. 已知F是抛物线=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，，则线段AB的中点到y轴的距离为____________.
3. 若椭圆的焦点在轴上，过点P（1，）作圆的切线，切点分别为A,B，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是____________.
4. 如图，已知椭圆的左、右准线分别为，且分别交轴于两点，从上一点发出一条光线经过椭圆的左焦点被轴反射后与交于点，若，且，则椭圆的离心率等于 .
5.如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 .
6.在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围．
7.（2012届苏州二轮专题复习）如图，点为圆形纸片内不同于圆心的定点，动点在圆周上，将纸片折起，使点与点重合，设折痕交线段于点.现将圆形纸片放在平面直角坐标系中，设圆：,记点的轨迹为曲线.
⑴证明曲线是椭圆，并写出当时该椭圆的标准方程；
⑵设直线过点和椭圆的上顶点，点关于直线的对称点为点，若椭圆的离心率，求点的纵坐标的取值范围.
8.已知直线l：y=x+m，m∈R．
（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；
（II）若直线l关于x轴对称的直线为，问直线与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由．
五、参考答案
1.【解】若焦点在x轴上,设方程为,则,
则方程为;若焦点在y轴上,方程为,综上:椭圆的标准方程是和.
2.【解】由知:,,即线段AB的中点到y轴的距离为
3.【解】右焦点为(1,0).由题意知AB与OP垂直, 从而的斜率为,直线AB的方程为:,上顶点为,.椭圆方程为
4.【解】由题意知,则,,从而
,同除以得:,
5.【解】直线:,直线:
联立方程组解得:,所以,,将M点坐标代入椭圆方程得:,化简得:,
6.【解】（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，
即 ．得圆的方程为．
（2）不妨设．由即得
．
设，由成等比数列，得
，即 ．
由于点在圆内，故由此得．
所以的取值范围为．
7.解：（1）连结NA, 由题意知，直线m是线段MA的中垂线，
∴NA=NM, 而圆C的半径为
∴NC+NA=NC+NM=CM=(常数)
∴动点N到两定点C, A的距离之和为常数，
所以，点N的轨迹是以定点C, A为焦点，长轴长为的椭圆
当时，由于，所以所求椭圆E的方程为
（2）椭圆E的方程为，其上顶点B
所以，直线的方程为，
记点关于直线的对称点
则有， 解得：；
由，得，
∴，令，因为 则，
∴，∴，
所以，点的纵坐标的取值范围是
8.【解】（I）依题意，点P的坐标为（0，m）
因为，所以，
解得m=2，即点P的坐标为（0，2）
从而圆的半径
故所求圆的方程为
（II）因为直线的方程为
所以直线的方程为
由得
（1）当时，直线与抛物线C相切
（2）当，那时，直线与抛物线C不相切．
综上，当m=1时，直线与抛物线C相切；
当时，直线与抛物线C不相切．
专题七：解析几何
第4课时 解析几何综合应用
一、考试要求
运用函数、不等式研究圆锥曲线有关量的范围；运用“数形结合”、“几何法”求某些量的最值．运用“计算”的方法证明圆锥曲线的有关性质．
二、考点展示
解析几何历来是高考的重要内容之一,除了本身知识知识的综合,还会与向量、函数、不等式等知识综合。解析几何的综合问题主要是以圆或圆锥曲线（特别是椭圆）为载体，进行以下几个方面的考查：（1）位置关系问题；（2）定点、定值问题；（3）范围（或最值）问题。以上这些问题由于综合性强，所以备受高考命题者的青睐，常用来对学生考查学生的运算能力、逻辑推理能力，并考查学生对数形结合、等价转化、分类讨论、函数与思想等思想方法的运用。在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.
三、题型解析
1． 若由不等式组,()确定的平面区域的边界为三角形,且它的外接圆的圆心在x轴上,m=_______.
【解】由题意知:直线与直线垂直,所以.
【点评】运用圆的几何性质:直径所对的圆角是直角,从而直线与直线垂直.
2．已知c是椭圆的半焦距,则的取值范围是_________.
【解】，设,
则,
【点评】抓住椭圆中基本量的关系,用三角或不等式求解.
3．OA、OB（O是原点）是圆的两条互相垂直的半径，C是该圆上一点，且，则=________.
【解】由平方得:,
,
【点评】由条件平方即可.
4.椭圆上的点到它的两个焦点、的距离之比，且，则的最大值为 ．
【解】设，，，的最大值为
【点评】椭圆、三角、不等式综合。在中运用余弦定理，再运用不等式求解。
5.已知抛物线y=上一定点B(-1,0)与两动点P，Q，当BP垂直PQ时，点Q的横坐标的取值范围是_______________
【解】设,BP垂直PQ,
,
当时,由基本不等式得:,当时,且
所以点Q的横坐标的取值范围是或且.
【点评】设点P及点Q的横坐标分别为,用函数的思想把x用t表示,再用不等式解决问题.此题也可用求解.
6. 已知曲线E：ax2＋by2＝1（a＞0，b＞0），经过点M（，0）的直线l与曲线E交
于点A、B，且＝－2．
（1）若点B的坐标为（0，2），求曲线E的方程；
（2）若a＝b＝1，求直线AB的方程．
【解】(1)设A(x0，y0)，因为B(0，2)，M(，0)
故＝(－，2)，＝(x0－，y0)．
因为＝－2，所以(－，2)＝－2(x0－，y0)．
所以x0＝，y0＝－1．即A(，－1)．
因为A，B都在曲线E上，所以解得a＝1，b＝．
所以曲线E的方程为x2＋＝1．
（2）（法一）当a＝b＝1时，曲线E为圆：x2＋y2＝1．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
因为＝－2，所以(x2－，y2) ＝－2(x1－，y1)，即
设线段AB的中点为T，则点T的坐标为(，)，即(，－)．
所以＝(，－)，＝(x2－x1，y2－y1)＝(－3x1，－3y1)．
因为OT⊥AB，所以(＝0，即3－4x1＋3x＋3y＝0．
因为x＋y＝1，所以x1＝，y1＝(．
当点A的坐标为(，－)时，对应的点B的坐标为(0，1)，此时直线AB的斜率
k＝－，所求直线AB的方程为y＝－x＋1；
当点A的坐标为(，)时，对应的点B的坐标为(0，－1)，此时直线AB的斜率k＝，
所求直线AB的方程为y＝x－1．
（法二）当a＝b＝1时，曲线E为圆：x2＋y2＝1．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
因为＝－2，所以(x2－，y2) ＝－2(x1－，y1)，即
因为点A，B在圆上，所以
由①×4－②，得(2x1＋x2)(2x1－x2)＝3．所以2x1－x2＝，解得x1＝，x2＝0．
由x1＝，得y1＝(．（以下同方法一）
（法三）如图，设AB中点为T．
则TM＝TA－MA＝AB，OM＝．
根据Rt△OTA和Rt△OTM，得
即解得AB＝，OT＝．所以在Rt△OTM中，tan(OMT＝＝．
所以kAB＝－或．所以直线AB的方程为y＝－x＋1或y＝x－1．
【点评】关键是条件＝－2的处理，可转化为坐标之间的关系，也可运用几何性质求解。
7．如图，椭圆过点，其左、右焦点分别为，离心率，
是椭圆右准线上的两个动点，且．
（1）求椭圆的方程；（2）求的最小值；（3）以为直径的圆是否过定点？请证明你的结论．
【解】（1），且过点，
解得 椭圆方程为.
设点 则，
， 又，
的最小值为．
圆心的坐标为，半径.
圆的方程为，
整理得：.
，
令，得，.
圆过定点
【点评】（1）基本不等式的运用；（2）圆恒过定点的解题方法：先表示出圆的方程（含参数），令参数的“系数”为0即可。
8.（2012年苏州二轮专题复习） 在平面直角坐标系中，已知圆与轴正半轴的交点为F，AB为该圆的一条弦，直线AB的方程为．记以AB为直径的圆为⊙C，记以点F为右焦点、短半轴长为（为常数）的椭圆为D．
（1）求⊙C和椭圆D的标准方程；
（2）当时，求证：椭圆D上任意一点都不在⊙C的内部；
（3）已知点M是椭圆D的长轴上异于顶点的任意一点，过点M且与轴不垂直的直线交椭圆D于P、Q两点（点P在轴上方），点P关于轴的对称点为N，设直线QN交轴于点L，试判断是否为定值？并证明你的结论．
解：（1）圆心 ，则⊙的半径为 ．
从而⊙的方程为．
椭圆D的标准方程为．
（2）当时，椭圆D的方程为．
设椭圆D上任意一点，则，．
因为
≥，
所以．
从而椭圆D上的任意一点都不在在⊙C的内部．
（3）为定值．
证明如下：
设点P（，），Q（，），则由题意，得N（，－），，．
从而直线PQ的方程为．
令y＝0，得．
又直线QN的方程为．
令y＝0，得．
因为点P，Q在椭圆D上，所以，，
从而，，所以
．
所以定值．
四、达标测试
1．两圆和恰好有三条公切线,则的最小值是_________.
2．设F是椭圆的一个焦点，在此椭圆上有n个不同的点P1、P2，…，Pn.若|P1F|、|P2F|、…、|PnF|是公差大于的等差数列，则n的最大值是____________
3. 在平面直角坐标系xOy中，设直线和圆相切，其中m，， 若函数 的零点，则k＝ ▲ .
4.设是椭圆上任意一点，和分别是椭圆的左顶点和右焦点，则
的最小值为______．
5.已知椭圆C::x2+=1.0＜b＜1,n=1,2..若椭圆C上有一点P使P到右准线l的距离是与的等差中项，其中、分别是椭圆的左、右焦点.则的最大值是_________
6. 已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心）
（I）求圆的方程；
（II）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值．
7. 平面直角坐标系xoy中，已知以M为圆心的圆M经过三点其中c>O．
(1)求圆M的标准方程(用含c的式子表示)；
(2)已知椭圆 (其中)的左、右顶点分别为D、B，圆M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧． ①求椭圆离心率的取值范围；
②若A、B、M、0、C、D(O为坐标原点)依次均匀分布在x轴上，问直线,与直线的交点是否在一条定直线上?若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．
8.如图，F1(-3，0)，F2(3，0)是双曲线C的两焦点，直线l:x=是双曲线C的右准线，A1、A2是双曲线C的两个顶点，点P是双曲线C右支上异于A2的动点，直线A1P、A2P交l于M、N两点.
(1)求双曲线C的方程.
(2)求证：·是定值.
五、参考答案
1．【解】两圆分别为:,据题意知两圆相外切,所以圆心距等于半径之和,,
2．【解】|P1F|最小为1, |PnF|最大为3.,,
所以n的最大值是2012
3.【解】据题意得:即, m，，,,在R上单调增,又,所以在(0,1)在恰有一个零点. k＝0.
4.【解】设,则,,
又,,
,从而所求最小值为-9
5.【解】由椭圆定义知:, .椭圆右准线方程为:, 由得
6.【解】（I）解法一：设两点坐标分别为，，由题设知
．
解得，
所以，或，．
设圆心的坐标为，则，所以圆的方程为
．
解法二：设两点坐标分别为，，由题设知．
又因为，，可得．即．
由，，可知，故两点关于轴对称，所以圆心在轴上．
设点的坐标为，则点坐标为，于是有，解得，所以圆的方程为．
（II）解：设，则
．
在中，，由圆的几何性质得
，，
所以，由此可得．
则的最大值为，最小值为．
7.【解】（1）设⊙M的方程为，
则由题设，得解得
⊙M的方程为，
⊙M的标准方程为．
（2）⊙M与轴的两个交点，，又，，
由题设 即 所以
解得，即 ．
所以椭圆离心率的取值范围为．
（3）由（1），得．由题设，得．
∴，．
∴直线MF1的方程为， ①
直线DF2的方程为． ②
由①②，得直线MF1与直线DF2的交点，易知为定值，
∴直线MF1与直线DF2的交点Q在定直线上．
8.【解】(1)由条件知：c=3，，∴a=2，b?2=5?
∴双曲线C的方程为=1
(2)设P的坐标为(x0，y0)，M、N的纵坐标为y1，y2.
∵A1(-2，0)，A2(2，0)，∴=(x0+2，y0)， =(x0-2，y0)，
=(，y1)，=(-，y2).
∵与共线，∴(x0+2)·y1=·y0y1=
同理有y2=.
∵=(，y1)， =(-，y2),
∴+y1y2==-10.
故是定值.
专题七：解析几何
第1课时 直线与圆（1）
一、考试要求
理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．了解二元一次不等式表示平面区域．了解线性规划的意义，并会简单的应用．
二、考点整合
(一)直线的方程
1.点斜式：；2. 截距式：；
3.两点式：；4. 截距式：；
5.一般式：，其中A、B不同时为0.
(二)两条直线的位置关系
两条直线，有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.
设直线：=+，直线：=+，则
∥的充要条件是=，且=；⊥的充要条件是=-1.
(三)线性规划问题
⑴约束条件.⑵目标函数.⑶求目标函数在约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题.⑷满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解.⑸所有可行解组成的集合，叫做可行域.⑹使目标函数取得最大值或最小值的可行解，叫做这个问题的最优解.
三、题型解析
1．已知直线与平行，则实数的值为________．
【解】由得或，经验证符合．
【答案】3或4
【点评】给定不同形式的两直线方程可用不同的处理方式解决，若从斜率角度考虑，需要注意讨论斜率是否存在；判定两直线平行时一定要考试是否重合．
2.(泰州市2011年一调)过直线上一点作圆的切线，若关于直线对称，则点到圆心的距离为 ．
【解】根据平面几何知识可知，因为直线关于直线对称，所以直线关于直线对称并且直线垂直于直线，于是点到点的距离即为圆心到直线的距离，
【点评】点到直线的距离，线关于线的对称问题
3. 光线由点P(2,3)射到直线上,反射后过点Q(1,1),则反射光线方程为 .
【解】4x－5y＋1＝0
【点评】点关于线的对称问题
4.若直线被两平行线所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是 ① ② ③ ④ ⑤
其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）
【解】两平行线间的距离为，由图知直线与的夹角为，的倾斜角为，所以直线的倾斜角等于或．答案①⑤
【点评】根据斜率得直线的倾斜角和利用两平行线的距离求夹角．
5. 如果直线y＝kx＋1与圆交于M、N 两点，且M、N关于直线x＋y＝0对称，若为平面区域 内任意一点，则的取值范围是 .
【解】
【点评】根据圆心在直线x＋y＝0上求出k和m的值，画出可行域，转化为线性规划问题．
6.设直线系,对于下列四个命题：
．中所有直线均经过一个定点
．存在定点不在中的任一条直线上
．对于任意整数，存在正边形,其所有边均在中的直线上
．中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
【解】因为所以点到中每条直线的距离即为圆:的全体切线组成的集合,从而中存在两条平行直线,所以A错误；又因为点不存在任何直线上,所以B正确； 对任意,存在正边形使其内切圆为圆,故正确；中边能组成两个大小不同的正三角形,故D错误,故命题中正确的序号是 B,C.
【点评】 关键是要判断直线系M为圆:的全体切线组成的集合．
7.(泰兴市2011年高三调研)已知过点A（0，1），且方向向量为，相交于M、N两点.（1）求实数的取值范围； （2）求证：；
（3）若O为坐标原点，且.
【解】（1）
由
.
.
【点评】本题考查向量的数量积公式和直线与圆的位置关系以及韦达定理的应用．
8.设直线
（1）证明与相交；（2）证明与的交点在椭圆
【证明】（I）反证法，假设是l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1=k2，代入k1k2+2=0，得此与k1为实数的事实相矛盾. 从而相交.
（II）（方法一）由方程组，解得交点P的坐标为，而
此即表明交点
（方法二）交点P的坐标满足， ，整理后，得
所以交点P在椭圆
【点评】本题考查直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在曲线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力.
四、达标测试
1.（ 盐城市2012届高三年级第二次模考） 若直线与直线垂直, 则 ．
2．(徐州市2011年高三第一次调研考试)已知直线：和：，则的充要条件是___________．
3.将直线绕原点逆时针旋转，再向右平移１个单位长度，所得到的直线为 ______________．
4. “”是“直线平行于直线”的_________条件
5.（2011南通市一调）设a＞0，集合A={（x，y）|}，B={（x，y）|}．若点P（x，y）∈A是点P（x，y）∈B的必要不充分条件，则a的取值范围是
6.已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.若目标函数z=ax+y(其中a＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为____________.
7.已知直线：.
（1）求直线斜率的取值范围； （2）若直线被圆：截得的弦长为4，求直线的方程
8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(3，2)的入射光线l1被直线l：y＝x反射．反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1, l2都相切.
(1)求l2所在直线的方程；
(2)设P，Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB＋PQ的最小值及此时点P的坐标．
五、参考答案
1.【解析】由得．
【答案】
2．【解析】
3.【解析】
4.【解析】充分必要条件．
5.【解析】0＜a≤
6.【解析】a＞1
7.【解析】
（1）斜率，当时，； 当时，一方面，
另一方面，当且仅当时取“＝”，综上，的取值范围为．
（2）圆的标准方程为. 由题意，圆心 (0, 1)到直线l的距离由及解得，∴直线的方程为：．
8.【解析】（1）直线l1：y＝2, 设l1交l于点D，则D（，2） ∵l的倾斜角为30°,∴l2的倾斜角为60° ∴∴反射光线l2所在直线的方程为 即（2）设点B(0, －4）关于l的对称点B′(x0 ,y0) 则 且 得B′(, 2) , 固定点Q可发现，当B′，P，Q共线时，PB＋PQ最小，故PB＋PQ最小值为B′C－3 解得 ∴ PB＋PQ最小值为B′C－3＝．
