专题九 复数、算法、推理与证明
高考模拟测试
一、填充题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.若复数（是虚数单位，）是纯虚数,则= .
2．[2011·湖北卷] i为虚数单位，则2011＝ .
3．[2011·重庆卷]复数＝ .
4.类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：.若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 .
5.在十进制中，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 .
6．（南通市2012届高三第一次调研）在右图的算法中，最后输出的a，b的值依次是 .
7. [2009·江苏卷]右图是一个算法的流程图，最后输出的 .
8．[2011·安徽卷]如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是________．
9.设面积为S的平面四边形的第i条边的边长记为ai（i=1，2，3，4），P是该四边形内任意一点，P点到第i条边的距离记为hi，若, 则.类比上述结论，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si（i=1，2，3，4），Q是该三棱锥内的任意一点，Q点到第i个面的距离记为Hi，则相应的正确命题是：若,则
二、解答题 （本大题共4小题，每小题10分，共40分）
10. 已知复数 ， （ ）
若，求的取值范围.
11..
12.若a，b，c均为实数，且
求证：a，b，c中至少有一个大于0．
13.已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明.
参考答案：
1.【答案】-1
2．【答案】－i
【解析】 因为＝＝i，所以2011＝i502×4＋3＝i3＝－i.
3．【答案】 －i
【解析】 ＝＝－＝－＝－＝－i.
4.
5. 254
6．【答案】2，1
7.【答案】22
【解析】 考查读懂算法的流程图的能力.
8．【答案】 15
【解析】 第一次进入循环体有T＝0＋0，第二次有：T＝0＋1，第三次有T＝0＋1＋2，…，第k＋1次有T＝0＋1＋2＋…＋k＝，若T＝105，解得k＝14，继续执行循环，这时k＝15，T>105，所以输出的k的值是15.
9.【答案】
10.【解】由，得 ，∴
∴ 由二次函数性质
11.证明：要证明成立
12.证明：假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，
则 a＋b＋c≤0，
而
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，
∵(x－1)2≥0，(y－1)2≥0，(z－1)2≥0且x－3＞0
∴a＋b＋c＞0
这与a＋b＋c≤0矛盾，因此假设不成立，
故a，b，c中至少有一个大于0．
13. 类似的性质为：若M、N是双曲线上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点P的位置无关的定值.
证明：设点M、P的坐标为（）、（），则N（）.
因为点M（）在已知双曲线上，所以，同理.
则（定值）.
专题九 复数、算法、推理与证明
第一课时 复数、算法
一、复习要求：
（1）了解引入复数的意义，理解复数的概念，掌握复数的运算；
（2）了解算法的含义，了解算法的思想，理解程序框图的三种基本逻辑结构.
二、考点整合
（一）复数
1.复数的概念
(1).虚数单位:
①它的平方等于-1，即 ;
②实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.
(2).复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示.
(3). 复数的分类: 对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.
2.复数集与其它数集之间的关系：.
3. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。复数相等的定义是求复数值和在复数集中解方程的重要依据 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.
现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对 如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小
4. 复数的几何意义：
复平面、实轴、虚轴
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
复数复平面内的点
这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.
由于复数在整个高中数学所处的地位的改变，今后高考时复数不会有太多太高的要求，试题数量稳定在一道试题，难度不会太大，复数的概念及复数的运算是复数应用的基础，是高考考查的重点，复数的运算是复数的中心内容，是高考命题的热点.而复数的乘、除更是考查的重点，主要考查基本运算能力，另外复数的有关概念众多，涉及知识面广，易与三角、几何、向量知识、不等式等结合起来考查.
（二） 算法
1．算法的特征
（1）确定性；（2）有穷性（3）可行性
2、程序框图
基本的程序框有起始框，输入、输出框，处理框，判断框．其中起始框是任何流程都不可缺少的，而输入、输出框可以用在算法中任何需要输入、输出的位置．程序框图中的图框表示各种操作，图框内的文字和符号表示操作的内容，带箭头的流线表示操作的先后次序．
（1）顺序结构（2）选择结构（3）循环结构
3、基本算法语句
（1）赋值语句 （2）输入语句 （3）输出语句（4）条件语句 （5）循环语句
考纲对算法的含义和算法的思想的要求是“了解”，而对流程图和基本算法语句的要求是“理解”．由此可见，复习中应把重点放在流程图和基本算法语句上，要对这两方面的内容重点掌握、多加练习．表达算法的方法有自然语言、流程图和基本算法语句三种．自然语言描述算法只是学习算法的一个过渡，流程图和基本算法语句才是学习的重点，同时也是难点，尤其是选择结构和循环结构，在复习中是重中之重．
三、题型解析
1．（南通市2012届高三第一次调研）若复数z满足（是虚数单位），则z?=? .
【解析】1?+?2i 。
【点评】本题主要考查复数的概念和除法运算。
2. [2011·江苏卷]．设复数i满足（i是虚数单位），则的实部是_________
【解析】 z=1+3i 的实部是1
【点评】主要 考查复数的概念和运算
3．[2010·江苏卷]设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为__
【解】z=2i |z|=2
【点评】同样也是主要考查复数的概念和运算
4. [2011.山东理2]复数z=（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为第 象限
【解析】z= = 第四象限
【点评】主要 考查复数的运算和几何意义
5. [2011.上海理19]已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求 。
【解析】
设，则，
∵ ，∴
【点评】主要考查复数的概念和运算
6. 已知复数（）试求实数a分别取什么值时，z分别为：⑴实数. ⑵虚数. ⑶纯虚数.
【解析】 (1)a=6时，z为实数，
(2)a∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6) ∪(6,∞)时，z为虚数
(3)不存在实数a使z为纯虚数
【点评】根据复数z为实数，虚数及纯虚数的概念，利用它们的充要条件可分别求出相应的a的值．
7.执行右边的程序框图，若，
则输出的 ．
【解析】：循环的第一步：S＝，n＝2，
循环的第二步：S＝＋，n＝3，
循环的第三步：S＝，n＝4，
因此输出
【点评】：这是一个当型循环结构的程序框图，
解法还是一样，从第一步开始写，直到循环的
条件不成立时，结束循环，输出结果.
8. [2010·江苏卷] 右图是一个算法的流程图，则输出S的值是____________
【解析】63；
【点评】用流程图可以表示顺序、选择、循环三种基本结构. 关键是要注意循环的次数
9．某算法的伪代码如下：
S←0
i←1
While i≤100
S←
i←i＋2
End While
Print S
则输出的结果是
【解析】由算法的伪代码知功能为:
.
【点评】：用“While．．．End While”或“For．．．End For”描述循环结构时，要注意循环的次数及循环体中S←与i←i＋2的顺序
10． [2011·北京卷] 执行如图1－2所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的P值为
图1－2
【解析】 第一步，P＝1＋1＝2，S＝1＋＝；
第二步，P＝2＋1＝3，S＝＋＝；
第三步，P＝3＋1＝4，S＝＋＝>2，输出P＝4，故P值为4
四、达标测试
1. [2011.安徽理1]设 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为 .
2．[2011·北京卷] 复数＝ .
3.满足方程x2－2x－3+(9y2－6y+1)i=0的实数对(x，y)表示的点的个数是______.
4.设复数z=log2(m2－3m－3)+ilog2(3－m)(m∈R)，如果z是纯虚数，求m的值.
5.已知m∈R，复数z=+(m2+2m－3)i，当m为何值时，
(1)z∈R; (2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z=+4i.
6．（盐城市2012届高三年级第二次模拟）某程序框图如图所示, 若输出的, 则自然数 ．
7.阅读图中的程序框图，若输入，，则输出 ， （注：框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“”）
8．右边是根据所输入的值计算值的一个算法程序, 若依次取数列中的前200项，则所得值中的最小值为 .
（注：程序中的赋值符号“”也可以写成“”或“”）
9.（2010南通模拟）在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能输出数对（，）的概率是
五、参考答案：
1.【答案】a＝2
【解】 法一：＝＝为纯虚数，
所以
解得a＝2.
法二：＝为纯虚数，所以a＝2.
2．【答案】 i
【解】 ＝＝＝i
3.【答案】2
【解】由题意知∴
∴点对有(3，)，(－1，)共有2个.
4.【答案】m=－1
【解】（由题意知∴
∴∴，∴m=－1.
5.【解】(1)m须满足解之得：m=－3.
(2)m须满足m2+2m－3≠0且m－1≠0，解之得：m≠1且m≠－3.
(3)m须满足解之得：m=0或m=－2.
(4)m须满足解之得：m∈
6．【答案】4
【解】10=1+2+3+4，当时应退出循环，所以自然数．
7.【答案】12，3
【解】要结束程序的运算，就必须通过整除的条件运算，而同时也整除，那么的最小值应为和的最小公倍数12，即此时有.
8．【解】1≤n≤200，所以－≤－1≤ 1，
当x＞0，即0＜x≤1时，由y＝1＋x，得1＜y≤2，
当x≤0，即－≤x≤0时，由y＝1－x，得1≤y≤1＋，
所以，y值中的最小值为1.
9.【解】由流程图知本题是几何概型问题,D区域为,
d区域为4, 则输出数对（，）的概率是.
专题九 复数、算法、推理与证明
第二课时 推理与证明
一、复习要求：
会用归纳和类比等进行简单的推理，理解(掌握)演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理.了解分析法、综合法、反证法的思考过程和特点.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
二、考点整合
1．推理：，这种思维方式就是推理．推理一般分为合情推理与演绎推理．
(1)．合情推理：前提为真时，结论可能为真的推理．归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理．
合情推理的推理过程为：
归纳推理是由部分到整体，由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理，由这两种推理方式即合情推理得到的结论未必正确，因此只能作为猜想，其正确与否需要通过演绎推理加以证明．
(2)．演绎推理：根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理，叫做演绎推理.“三段论”推理是演绎推理的主要形式，也就是由大前提、小前提推出结论的推理.演绎推理是由一般到特殊的推理，在前提和推理形式都正确的前提下，你得到的结论一定正确．
2．证明 数学常用的证明方法有直接证明与间接证明．
直接证明的两种基本方法是分析法和综合法．
反证法是间接证明的一种基本方法
三、题型解析
1.[2011陕西理卷13]观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
……
照此规律，第个等式为
【答案】
【解析】第个等式是首项为，公差1，项数为的等差数列，即
【点评】要善于观察第个等式左右两边规律,归纳推理
2．[2011·江西理卷]观察下列各式：=3125，=15625，=78125，…，则的末四位数字为
【答案】 8125
【解析】再算出几项的后四位, 找出规律 （）末四位数字为8125
所以的末四位数字为8125。
3.[2011·山东理卷15]设函数,观察:
根据以上事实，由归纳推理可得：
当且时， .
【答案】
【点评】关键看前几项， 归纳分母系数的变化规律
4. 平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如：两组对边分别平行的四边形为平行四边形．类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件①：________________________________________________；
充要条件②：________________________________________________．
(写出你认为正确的两个充要条件)
【解析】类比：两组对边分别平行的四边形为平行四边形
得出：两组相对侧面分别平行的四棱柱为平行六面体
→类比：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形
得出：一组相对侧面平行且全等的四棱柱为平行六面体
【点评】我们可以将长方形的许多性质类比到长方体中，得到长方体的边、角关系的“好”性质；我们可以将圆中的许多性质类比到球中，得到球的弧长、面积、体积的“好”性质．
5. [2010海安中学模拟]公差为的等差数列中,是的前项和，则数列也成等差数列，且公差为，类比上述结论，相应地在公比为的等比数列中，若是数列的前项积，则有 ．
【解析】
【点评】一般地,等差数列中, 减 -, 在等比数列中 对应除; 等差数列中加+在等比数列中 对应 乘
6[2010年重庆模拟] 已知命题：“若数列是等比数列，且，则数列也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．
【解析】类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列是等差数
列，则数列也是等差数列．
证明如下：设等差数列的公差为，
则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列
【点评】在中学数学中有很多地方用到类比推理去研究问题如等差与等比、平面几何与立体几何、圆锥曲线间的类比等.利用类比思想比较两相似事物时，一定要学会“透过现象看本质”，即引起两事物联系与差异的本质原因是什么，而不是仅仅从表面上进行类比.
7.[盐城2010一调]现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是
的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠
部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中
一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒
为 .
【解析】
8.已知，且，求证：．
证明：因为，且，
所以，，要证明原不等式成立，只需证明r，
即证，从而只需证明，
即，
因为，，
所以成立，故原不等式成立．
【点评】本题是一道与不等式有关的证明问题，当题设条件较弱，通常从结论出发采用分析法加以证明.证明时要注意要证、只需证明、即证明等字眼.
9.已知、、、Ｒ，且＝２（＋）
求证：方程＋＋＝０和＋＋＝０中，至少有一个方程有实根．
证明：假设这两个一元二次方程都没有实根，那么他们的判别式都小于０，即：
∴ ∵＝２（＋）代入上式得
，即．这与“任何实数的平方为非负数”相矛盾，所以假设不成立．
故这两方程中，至少有一个方程有实根．
【点评】本题运用反证法进行证明，“至少有一个”是指“大于或等于一个”，它的反面是“一个都没有”．
四、达标测试
1．下面几种推理是合情推理的序号是 （1）（2）（4）
（1）由圆的性质类比出球的有关性质；
（2）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是，归纳出所有三角形的内角和都是；
（3）某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；
（4）三角形内角和是，四边形内角和是，五边形内角和是，由此得凸多边形内角和是
2.由图（1）有面积关系：，则由图（2）有体积关系：＝ .
3．半径为r的圆的面积S(r)＝r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则
＝2r ，
①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于的式子： .
②式可以用语言叙述为： .
4.在等差数列中，若，则有等式
成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式 成立.
5.求证：+>2+
6． 已知函数f(x)是R上的增函数，且对任意的a，b∈R，都有f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
求证：a＋b≥0．
分析：谈到函数的单调性，我们常想到：回归定义，而根据单调性的定义，我们很难由f(a)＋f(b)与f(－a)＋f(－b)的大小关系，加工出a，b，－a，－b间的关系条件，而我们更希望通过自变量的大小关系，利用函数单调性，加工出其函数值的大小关系，于是我们想到用反证法进行证明．
7．已知是整数，是偶数，求证：也是偶数．
8.等差数列{an}的前n项和为
(Ⅰ)求数列{an}的通项an和前n项和Sn；
(Ⅱ)设，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
分析：首先为了确定等差数列{an}，我们只需回归a1，d，进而得到其通项公式；其次我们想证明数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列，然而我们却无法穷举出所有的包含不同的三项的情况，因此我们想到用反证法来解决这一证明问题．
五、参考答案
1．【解】（1）（2）（4）
2．【解】
3．＝4R2，球的体积函数的导数等于球的表面积函数；
4. 等差数列 用减法定义 性质用加法表述（若且
则）；
等比数列 用除法定义 性质用乘法表述（若且
则）.
由此，猜测本题的答案为：
事实上，对等差数列，如果，则
. 所以有：
）（）.从而对等比数列，如果，则有等式：成立.
5.证明： 要证原不等式成立，
只需证（+）>（2+），
即证。
∵上式显然成立,
∴原不等式成立.
6．证明：假设a＋b＜0，
则有a＜－b，b＜－a，
又函数f(x)在R上单调递增，
∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)
∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)
这与已知f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛盾，
故假设a＋b＜0不成立，由此得证a＋b≥0．
7．证明：假设不是偶数，即是奇数．
设，则．
是偶数，是奇数，这与已知是偶数矛盾．
由上述矛盾可知，一定是偶数．
8.解：(Ⅰ)根据题意可得：
解得
即
则Sn＝(1＋3＋5＋…＋2n－1) 即
(Ⅱ)证明：∵，
假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br成等比数列(其中p，q，r互不相等)，则＝bq·br，
即
整理得
∵p，q，r∈N*，
即(p－r)2＝0，
∴p＝r，
这与p≠r矛盾，
数列{bn}中任意三项都不可能成等比数列．
