高中数学第二轮精讲精练

【2012高考冲刺样本】3—1.应用问题的题型与方法
数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一， 也是考生失分较多的一种题型. 高考中一般命制一道解答题和两道选择填空题.解答这类问题的要害是能阅读、理解陈述的材料，深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化，能结合应用所学数学知识、思想方法解决问题，包括解决带有实际意义的或者相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确的加以表述.考生的弱点主要表现在将实际问题转化成数学问题的能力上.实际问题转化为数学问题，关键是提高阅读能力即数学审题能力，审出函数、方程、不等式、等式，要求我们读懂材料，辨析文字叙述所反应的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，抽象其中的数量关系，将文字语言叙述转译成数学式符号语言，建立对应的数学模型解答.可以说，解答一个应用题重点要过三关：一是事理关，即读懂题意，需要一定的阅读理解能力；二是文理关，即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关，即构建相应的数学模型，构建之后还需要扎实的基础知识和较强的数理能力.
由于数学问题的广泛性，实际问题的复杂性，干扰因素的多元性，更由于实际问题的专一性，这些都给学生能读懂题目提供的条件和要求，在陌生的情景中找出本质的内容，转化为函数、方程、不等式、数列、排列、组合、概率、曲线、解三角形等问题.
一、知识整合
1．“考试大纲”对于“解决实际问题的能力”的界定是：能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括提炼、解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述.并且指出：对数学应用问题，要把握好提出问题所涉及的数学知识和方法的深度和广度，切合中学数学教学实际.
2．应用问题的“考试要求”是考查考生的应用意识和运用数学知识与方法来分析问题解决问题的能力，这个要求分解为三个要点：
（1）、要求考生关心国家大事，了解信息社会，讲究联系实际，重视数学在生产、生活及科学中的应用，明确“数学有用，要用数学”，并积累处理实际问题的经验.
（2）、考查理解语言的能力，要求考生能够从普通语言中捕捉信息，将普通语言转化为数学语言，以数学语言为工具进行数学思维与交流.
（3）、考查建立数学模型的初步能力，并能运用“考试大纲”所规定的数学知识和方法来求解.
3．求解应用题的一般步骤是（四步法）：
（1）、读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系；
（2）、建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；
（3）、求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；
（4）、评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证.
4．在近几年高考中，经常涉及的数学模型，有以下一些类型：数列模型、函数模型、不等式模型、三角模型、排列组合模型等等.
Ⅰ．函数模型 函数是中学数学中最重要的一部分内容，现实世界中普遍存在着的最优化问题，常常可归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法去解决.
⑴ 根据题意，熟练地建立函数模型；
⑵ 运用函数性质、不等式等知识处理所得的函数模型.
Ⅱ．几何模型 诸如航行、建桥、测量、人造卫星等涉及一定图形属性的应用问题，常常需要应用几何图形的性质，或用方程、不等式或用三角函数知识来求解.
Ⅲ．数列模型 在经济活动中，诸如增长率、降低率、存款复利、分期付款等与年（月）份有关的实际问题，大多可归结为数列问题，即通过建立相应的数列模型来解决.在解应用题时，是否是数列问题一是看自变量是否与正整数有关；二是看是否符合一定的规律，可先从特殊的情形入手，再寻找一般的规律.
二、例题分析
例1．某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现有增加22％，人均粮食产量比现在提高10％，如果人口年增长率为1％，那么耕地每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？
（粮食单产＝ ； 人均粮食产量＝）
分析：此题以关系国计民生的耕地、人口、粮食为背景，给出两组数据，要求考生从两条线索抽象数列模型，然后进行比较与决策.
解：1.读题：问题涉及耕地面积、粮食单产、人均粮食占有量、总人口数及三个百分率，其中人均粮食占有量P＝， 主要关系是：P≥P .
2.建模：设耕地面积平均每年至多减少x公顷，现在粮食单产为a吨／公顷，现在人口数为m，则现在占有量为，10年后粮食单产为a(1＋0.22)，人口数为m(1＋0.01)，耕地面积为（10－10x）.
∴ ≥（1＋0.1）
即 1.22（10－10x）≥1.1×10×（1＋0.01）
3.求解： x≤10－×10×（1＋0.01）
∵ （1＋0.01）＝1＋C×0.01＋C×0.01＋C×0.01＋…≈1.1046
∴ x≤10－995.9≈4（公顷）
4.评价：答案x≤4公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无误，故可作答.（答略）
另解：1.读题：粮食总产量＝单产×耕地面积； 粮食总占有量＝人均占有量×总人口数；
而主要关系是：粮食总产量≥粮食总占有量
2.建模：设耕地面积平均每年至多减少x公顷，现在粮食单产为a吨／公顷，现在人口数为m，则现在占有量为，10年后粮食单产为a(1＋0.22)，人口数为m(1＋0.01)，耕地面积为（10－10x）.
∴ a(1＋0.22)×(1O－10x)≥×(1＋0.1)×m(1＋0.01)
3.求解： x≤10－×10×（1＋0.01）
∵ （1＋0.01）＝1＋C×0.01＋C×0.01＋C×0.01＋…≈1.1046
∴ x≤10－995.9≈4（公顷）
4.评价：答案x≤4公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无误，故可作答.（答略）
说明：本题主要是抓住各量之间的关系，注重3个百分率.其中耕地面积为等差数列，总人口数为等比数列模型，问题用不等式模型求解.本题两种解法，虽都是建立不等式模型，但建立时所用的意义不同，这要求灵活掌握，还要求对指数函数、不等式、增长率、二项式定理应用于近似计算等知识熟练.此种解法可以解决有关统筹安排、最佳决策、最优化等问题.此种题型属于不等式模型，也可以把它作为数列模型，相比之下，主要求解过程是建立不等式模型后解出不等式.
在解答应用问题时，我们强调“评价”这一步不可少！它是解题者的自我调节，比如本题求解过程中若令1.01≈1，算得结果为x≤98公顷，自然会问：耕地减少这么多，符合国家保持耕地的政策吗？于是进行调控，检查发现是错在1.01的近似计算上.
A
M C D B
例2．已知某市1990年底人口为100万，人均住房面积为5m，如果该市每年人口平均增长率为2％，每年平均新建住房面积为10万m，试求到2000年底该市人均住房面积（精确到0.01）？
分析：城市每年人口数成等比数列，每年住房总面积成等比数列，分别写出2000年后的人口数、住房总面积，从而计算人均住房面积.
解：1.读题：主要关系：人均住房面积＝
2.建模：2000年底人均住房面积为
3.求解：化简上式＝，
∵ 1.02＝1＋C×0.02＋C×0.02＋C×0.02＋…≈1.219
∴ 人均住房面积为≈4.92
4.评价：答案4.92符合城市实际情况，验算正确，所以到2000年底该市人均住房面积为4.92m.
说明：一般地，涉及到利率、产量、降价、繁殖等与增长率有关的实际问题，可通过观察、分析、归纳出数据成等差数列还是等比数列，然后用两个基础数列的知识进行解答.此种题型属于应用问题中的数列模型.
例3．如图，一载着重危病人的火车从O地出发，沿射线OA行驶，其中
在距离O地5a（a为正数）公里北偏东β角的N处住有一位医学专家，其中
sinβ= 现有110指挥部紧急征调离O地正东p公里的B处的救护车赶往N处载上医学专家全速追赶乘有重危病人的火车，并在C处相遇，经测算当两车行驶的路线与OB围成的三角形OBC面积S最小时，抢救最及时.
（1）求S关于p的函数关系；
（2）当p为何值时，抢救最及时.
解：（1）以O为原点，正北方向为y轴建立直角坐标系，
则
设N（x0，y0），
又B（p，0），∴直线BC的方程为：
由得C的纵坐标
，∴
（2）由（1）得 ∴，∴当且仅当时，上式取等号，∴当公里时，抢救最及时.
例4．甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米／时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v（千米／时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元.
① 把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米／时）的函数，并指出函数的定义域；
② 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
分析：几个变量（运输成本、速度、固定部分）有相互的关联，抽象出其中的函数关系，并求函数的最小值.
解：（读题）由主要关系：运输总成本＝每小时运输成本×时间，
（建模）有y＝(a＋bv)
（解题）所以全程运输成本y（元）表示为速度v（千米／时）的函数关系式是：
y＝S(＋bv)，其中函数的定义域是v∈(0，c] .
整理函数有y＝S(＋bv)＝S(v＋)，
由函数y＝x＋ (k>0)的单调性而得：
当当≥c时，则v＝c时，y取最小值.
综上所述，为使全程成本y最小，当说明：1.对于实际应用问题，可以通过建立目标函数，然后运用解（证）不等式的方法求出函数的最大值或最小值，其中要特别注意蕴涵的制约关系，如本题中速度v的范围，一旦忽视，将出现解答不完整.此种应用问题既属于函数模型，也可属于不等式模型.
2.二次函数、指数函数以及函数（a＞0，b＞0）的性质要熟练掌握.
3.要能熟练地处理分段函数问题.
例5．（2003年普通高等学校招生全国统一考试(理工农医类20)）
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.
在时刻：（1）台风中心P（）的坐标为
EMBED Equation.3
此时台风侵袭的区域是
其中若在t时刻城市O受到台风
的侵袭，则有
即
答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
例6．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.
甲 乙 丙
维生素A（单位/千克） 600 700 400
维生素B（单位/千克） 800 400 500
成本（元/千克） 11 9 4
（1）用x，y表示混合食物成本c元；
（2）确定x，y，z的值，使成本最低.
解:（1）依题意得 .
（2）由 ， 得
，
当且仅当时等号成立.，
∴当x=50千克，y=20千克，z=30千克时，混合物成本最低为850元.
说明：线性规划是高中数学的新增内容， 涉及此类问题的求解还可利用图解法.
例7．（2003年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷文史类19））
有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=13km，BC=10km.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）
（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，
点P应位于何处？
（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，
点P应位于何处？
分析：本小题主要考查函数，不等式等基本知识，
考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.
（Ⅰ）解：设P的坐标为（0，），则P至三
镇距离的平方和为
所以，当时，函数取得最小值. 答:点P的坐标是
（Ⅱ）解法一：P至三镇的最远距离为
由解得记于是
因为在[上是增函数，而上是减函数. 所以时，函数取得最小值. 答:点P的坐标是
解法二：P至三镇的最远距离为
由解得记于是
函数的图象如图，因此，
当时，函数取得最小值.答:点P的坐标是
解法三：因为在△ABC中，AB=AC=13，且，
所以△ABC的外心M在线段AO上，其坐标为，
且AM=BM=CM. 当P在射线MA上，记P为P1；当P在射线
MA的反向延长线上，记P为P2，
这时P到A、B、C三点的最远距离为
P1C和P2A，且P1C≥MC，P2A≥MA，所以点P与外心M
重合时，P到三镇的最远距离最小.
答:点P的坐标是
例7．A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B
队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：
对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率
A1对B1
A2对B2
A3对B3
现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η
（1）求ξ、η的概率分布；
（2）求Eξ，Eη.
分析：本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力.
解：（1）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0.
，
根据题意知ξ+η=3，所以 P(η=0)=P(ξ=3)=， P(η=1)=P(ξ=2)=
P(η=2)=P(ξ=1)= ， P(η=3)=P(ξ=0)= .
（2）； 因为ξ+η=3，所以
例8．某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一
旦发生，将造成400万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.（总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.）
解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望为400×0.3=120（万元）；
②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为
1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.1=40（万元），所以总费用为45+40=85（万元）
③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，
损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30+60=90（万元）；
④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发事件的概
率为（1－0.9）（1－0.85）=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75+6=81（万元）.
综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费
用最少.
例9．某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆
解：设2001年末汽车保有量为万辆，以后各年末汽车保有量依次为万辆，万辆，……，每年新增汽车万辆，则
，
所以，当时，，两式相减得：
（1）显然，若，则，即，此时
（2）若，则数列为以为首项，以为公比的等比数列，所以，.
（i）若，则对于任意正整数，均有，所以，，此时，
（ii）当时，，则对于任意正整数，均有，所以，，
由，得
，
要使对于任意正整数，均有恒成立，
即
对于任意正整数恒成立，解这个关于x的一元一次不等式 ， 得，
上式恒成立的条件为：，由于关于的函数单调递减，所以，.
说明：本题是2002年全国高考题，上面的解法不同于参考答案，其关键是化归为含参数的不等式恒成立问题，其分离变量后又转化为函数的最值问题.
例10．（2004年重庆卷）某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量（吨）与每吨产品的价格（元/吨）之间的关系式为：,且生产x吨的成本为（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本）
解：每月生产x吨时的利润为
，故它就是最大值点，且最大值为：
答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.
【2012高考冲刺样本】3—2试题精粹1
江苏省2011年高考数学联考试题
11. （苏州市2011届高三调研测试）某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径，
满盘时直径，已知卫生纸的厚度为，
则满盘时卫生纸的总长度大约是 ▲ （取，精确到）.
【解析】
17．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2011届高三调研考试）（本小题满分14分）
如图所示，一科学考察船从港口出发，沿北偏东角的射线方向航行，而在离港口（为正常数）海里的北偏东角的A处有一个供给科考船物资的小岛，其中，．现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口正东m海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科考船，该船沿BA方向全速追赶科考船，并在C处相遇．经测算当两船运行的航向与海岸线OB围成的三角形OBC的面积最小时，这种补给最适宜．
⑴ 求S关于m的函数关系式；
⑵ 应征调m为何值处的船只，补给最适宜．
解 ⑴以O为原点，OB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
则直线OZ方程为． …………………………………………………………………2
设点， 则，，
即，又，所以直线AB的方程为．
上面的方程与联立得点 ……………………………5
……………………………8
⑵…………………12
当且仅当时，即时取等号， …………………………14
18．（淮阴中学、姜堰中学、前黄中学2011届第一次联考）（16分）某企业有两个生产车间分别在．两个位置，车间有100名员工，车间有400名员工，现要在公路上找一点，修一条公路，并在处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，已知．．中任意两点间的距离均是1，设，所有员工从车间到食堂步行的总路程为.
（1）写出关于的函数表达式，并指出的取值范围；
（2）问食堂建在距离多远时，可使总路程最少？

18．解：（1）在中，∵，
∴，.则. （6分）
其中 . （8分）
（2） （12分）
令，得. 当时，，是的单调减函数；
当时，，是的单调增函数.
∴当时，取得最小值. 此时，， （14分）
. （答略） （16分）
18、（江苏省2010届苏北四市第一次联考）(本小题满分16分)
某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产，已知该厂连续生产个月的累计产量为吨，但如果产量超过96吨，将会给环境造成危害.
（1）请你代表环保部门给厂拟定最长的生产周期；
（2）若该厂在环保部门的规定下生产，但需要每月交纳万元的环保税，已知每吨产品售价万元，第个月的工人工资为万元，若每月都赢利，求出的范围.
18、解：（1）第个月的月产量=. ……………3分
，
. ……………………………………………………6分
令
…………………………………………………………………9分
（2）若每月都赢利，则恒成立.
即恒成立，…………………………………………12分
令…………14分
所以.…………………………………………………………………………16分
17．（姜堰二中学情调查（三））（本小题满分14分）
如图：设工地有一个吊臂长的吊车，吊车底座高，现准备把一个底半径为高的圆柱形工件吊起平放到高的桥墩上，问能否将工件吊到桥墩上？（参考数据：）
吊车能把工件吊上的高度取决于吊臂的张角，
由图可知，
． ………　6分
所以，由
得时，有最大值，
………12分
所以吊车能把圆柱形工件吊起平放到高的桥墩上． ………　14分
17. （泰州市2011届高三第一次模拟考试）(本小题满分14分)
某地区的农产品第天的销售价格（元∕百斤），一农户在第天农产品的销售量（百斤）。
（1）求该农户在第7天销售农产品的收入；
（2）问这20天中该农户在哪一天的销售收入最大？
17. ⑴由已知第7天的销售价格，销售量. ∴第7天的销售收入 (元) . ……………………………………………………（3分）
⑵设第天的销售收入为，则.…（6分）
当时，.（当且仅当时取等号）∴当时取最大值.………………………………（9分）
当时，.（当且仅当时取等号）∴当时取最大值. …………………………（12分）
由于，∴第2天该农户的销售收入最大. …………………………（13分）
答：⑴第7天的销售收入2009元；⑵第2天该农户的销售收入最大. …………（14分）
17．（江苏省南通市2011届高三第一次调研测试）（本题满分15分）
如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数 HYPERLINK "http://www." ，时的图象，且图象的最高点为B（－1，2）。赛道的中间部分为长 HYPERLINK "http://www." 千米的直线跑道CD，且CD// EF。赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧．
（1）求的值和 HYPERLINK "http://www." 的大小；
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且 HYPERLINK "http://www." ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时的值．
解：（1）由条件，得 HYPERLINK "http://www." ，． ……………………………………………………………2分
∵ HYPERLINK "http://www." ，∴．……………………………………………………………………4分
∴ 曲线段FBC的解析式为 HYPERLINK "http://www." ．
当x=0时，．又CD= HYPERLINK "http://www." ，∴．……………7分
（2）由（1），可知 HYPERLINK "http://www." ．
又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P在弧DE上，故．……………8分
设 HYPERLINK "http://www." ，，“矩形草坪”的面积为
HYPERLINK "http://www."
=．…………………………………13分
∵ HYPERLINK "http://www." ，故取得最大值．………………………15分
18、（南通市六所省重点高中联考试卷）（本题满分15分）甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方每年向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入．乙方在不赔付甲方的情况下，乙方的年利润（元）与年产量（吨）满足函数关系．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方元（以下称为赔付价格）．
（1）将乙方的年利润（元）表示为年产量（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；
（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格是多少？
解：(1)乙方的实际年利润为： ．
，当时，取得最大值．
　　 所以乙方取得最大年利润的年产量 (吨)． ………………7分
　(2)设甲方净收入为元，则．
　将代入上式，得：．
　　　　又
　　　　令，得．
　　　　当时，；当时，，所以时，取得最大值．
　　　　因此甲方向乙方要求赔付价格 (元／吨)时，获最大净收入．　
………………15分
19. （苏北四市2011届高三第一次调研考试）（本小题满分16分）
如图1，OA，OB是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤，线段CD和曲线EF分别是湖泊中的一条栈桥和防波堤.为观光旅游需要，拟过栈桥CD上某点分别修建与OA，OB平行的栈桥MG，MK，且以MG，MK为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK．建立如图2所示的直角坐标系，测得CD的方程是，曲线EF的方程是，设点的坐标为．（题中所涉及长度单位均为米，栈桥及防波堤都不计宽度）
（1）求三角形观光平台MGK面积的最小值；
（2）若要使的面积不小于320平方米，求的范围．
讲评建议：此题当初（1）是求的最小值，
但两问题过于孤单，且不好设问题，另外量太大了，
两个模型。后只保留现在的（1），但作为倒数第二题，
份量又轻了，最后设计成现在的形式。
对于（2）可以解两次不等式，也可以利用（1）中的单调性，
解一次方程，解一次不等式，建议大家解一次方程，解一次不等式，
因为（1）中提供条件、得出的结论要考虑（2）是否需要。
讲评中求的最小值最好加上去。
19．（1）由题意，得， ，
又因为在线段CD：上，
所以，
……………4分
由，得，当且仅当，时等号成立.
……………………………………6分
令，则，.
又,故在上单调递减，
（注意：若在上单调递减未证明扣1分）
所以，此时，.
所以三角形MGK面积的最小值为225平方米. ……………………………………10分
（2）由题意得，
当，解得或（舍去），
由（1）知， ……………………………………14分
即，解之得.
所以的范围是．………………………………………………………16分
【2012高考冲刺样本】3—2试题精粹2
17、（宿迁市高三12月联考）（本题满分14分）某森林出现火灾，火势正以每分钟的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元．
（1）设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，试建立与的函数关系式；
（2）问应该派多少名消防队员前去救火，才能使总损失最少？
（总损失＝灭火材料、劳务津贴等费用＋车辆、器械和装备费用＋森林损失费）
17、解：（1） ………5分
（2）总损失为y，则y＝灭火劳务津贴＋车辆、器械和装备费＋森林损失费
y＝125tx＋100x＋60（500＋100t） …………9分
＝ …………10分
＝
＝ …………11分
…………12分
当且仅当，即x＝27时，y有最小值36450． …………13分
答：略 …………14分
17．（无锡市1月期末调研）（本小题满分14分）
已知 A、B两地相距，以AB为直径作一个半圆，在半圆上取一点C，连接AC、BC，在三角形ABC内种草坪（如图），M、N分别为弧AC、弧BC的中点，在三角形AMC、三角形BNC上种花，其余是空地．设花坛的面积为，草坪的面积为，取．
用及R表示和；
求的最小值．
17．（1）因为，则，
则．………………………………………3分
设AB的中点为O，连MO、NO，则．
易得三角形AMC的面积为， …………………………5分
三角形BNC的面积为， …………………………………7分
∴+
　　　． ……………………………………………………8分
（2）∵，…………………10分
令，则．
∴． ……………………………………………………12分
∴的最小值为．……………………………………………………14分
18．（徐州市12月高三调研）(本小题满分16分)
某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示. 其上部分是以为直径的半圆，点为圆心，下部分是以为斜边的等腰直角三角形，是两根支杆，其中米，. 现在弧、线段与线段上装彩灯，在弧、弧、线段与线段上装节能灯. 若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为，节能灯的比例系数为，假定该霓虹灯整体的“心悦效果”是所有灯“心悦效果”的和.
（Ⅰ）试将表示为的函数；
（Ⅱ）试确定当取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳？
18．解：（Ⅰ）因为,所以弧EF、AE、BF的长分别为…3分
连接OD，则由OD=OE=OF=1，，所以
…………6分
所以
…………………………………9分
（Ⅱ）因为由…………………………………11分
解得，即 …………………………………………13分
又当时，，所以此时y在上单调递增；
当时，，所以此时y在上单调递减.
故当时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳 …………………16分
18．（盐城市第一次调研）(本小题满分14分)
因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中.为了治污,根据环保部门的建议,现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放,且个单位的药剂,它在水中释放的浓度(克/升)随着时间(天)变化的函数关系式近似为,其中.
若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,
当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时,它才能起到有效治污的作用.
（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达几天
（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂,6天后再投放个单位的药剂,要使接下来的4天中能够持续有效治污,试求的最小值(精确到0.1,参考数据:取1.4).
18．解：（Ⅰ）因为,所以………………………………1分
则当时,由,解得,所以此时……………… 3分
当时,由,解得,所以此时………………………5分
综合,得,若一次投放4个单位的制剂,则有效治污时间可达8天………… 6分
（Ⅱ）当时,………………………9分
==,因为,而,
所以,故当且仅当时,y有最小值为 ……12分
令,解得,所以的最小值为 ……14分
17. （苏北四市2011届高三第二次调研）（本小题满分14分）
据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为．现已知相距18的A，B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为，它们连线上任意一点C处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和．设（）．
（1）试将表示为的函数；
（2）若，且时，取得最小值，试求的值．
17．解：（1）设点C受A污染源污染程度为，点C受B污染源污染程度为，其中为比例系数，且． ………………………………………………4分
从而点C处受污染程度． …………………………6分
（2）因为，所以，， ………………8分
，令，得， ………………12分
又此时，解得，经验证符合题意．
所以，污染源B的污染强度的值为8． ………………14分
17. （苏州市2011届高三调研测试）（本小题满分14分）
有一隧道既是交通拥挤地段，又是事故多发地段.为了保证安全，交通部门规定，隧道内的车距正比于车速的平方与车身长的积，且车距不得小于一个车身长（假设所有车身长均为）.而当车速为时，车距为1.44个车身长.
⑴求通过隧道的最低车速；
⑵在交通繁忙时，应规定怎样的车速，可以使隧道在单位时段内通过的汽车数量最多？
17.【解析】（1）依题意，设，其中是待定系数，
因为当时，
所以，，
所以
因为，所以，
所以最低车速为
(2)因为两车间距为，则两辆车头间的距离为
一小时内通过汽车的数量为，
因为所以
所以当即时，单位时段内通过的汽车数量最多.
试题精粹
江苏省2010年高考数学联考试题
19．(江苏通州市2010年3月高三素质检测)（本小题满分16分）
某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交a元（1≤a≤3）的管理费，预计当每件商品的售价为元（8≤x≤9）时，一年的销售量为(10－x)2万件．
（1）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件商品的售价x的函数关系式L(x)；[来源:21世纪教育网]
（2）当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大，并求出L的最[来源:21世纪教育网]
大值M(a)．
18．（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）(本小题满分16分) [来源:21世纪教育网]
如图，ABCD是正方形空地，边长为30m，电源在点P处，点P到边AD，AB距离分别为m，m．某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕，．线段MN必须过点P，端点M，N分别在边AD，AB上，设AN=x（m），液晶广告屏幕MNEF的面积为S(m2)．21世纪教育网
(1) 用x的代数式表示AM；
（2）求S关于x的函数关系式及该函数的定义
域；
（3）当x取何值时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小？
19．（江苏省无锡市部分学校2010年4月联考试卷）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。
（Ⅰ）试写出关于的函数关系式；
（Ⅱ）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？（16分）
19．解 （Ⅰ）设需要新建个桥墩，21世纪教育网
所以
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，
令，得，所以=6421世纪教育网
当0<<64时<0， 在区间（0，64）内为减函数；21世纪教育网 21世纪教育网
当时，>0. 在区间（64，640）内为增函数，
所以在=64处取得最小值，此时，
故需新建9个桥墩才能使最小。[来源:学_科
Z
东
北
A
B
C
O
C
D
B
A
E
F
G
H
图1
图2
图2
S
T
D
O
A
B
E
F
第18题
2x
N
M
P
F
E
D
C
B
A
（第18题图）第13部分——算法框图
试题精粹
江苏省2011年高考数学联考试题
4．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2011届高三调研考试）下图是一个算法的流程图，则输出的值是 ▲ ．（5）
9. （常州市2011届高三数学调研）某算
法的伪代码如右：
则输出的结果是 .9
试题精粹
江苏省2010年高考数学联考试题
5．（江苏省南通市2010年高三二模）某算法的伪代码如下：
S←0
i←1
While i≤100
S←
i←i＋2
End While
Print S
则输出的结果是 ▲ ．
解析：由算法的伪代码知功能为:
.
8．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）
在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能输出数
对（，）的概率是 。
解析：由流程图知本题是几何概型问题,D区域为,
d区域为4, 则输出数对（，）的概率是.
6．（江苏省泰州市2010届高三联考试题）右边的流程图最后输出的的值
是______▲_______．
解析：由循环流程图知可取1，3，5，7，9中9时使
(n-9)(n-11)=0成立，则最后输出的的值是9。
3．(江苏通州市2010年3月高三素质检测)某算法的程序框如右图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是____________▲________________ .
10．（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）已知是等差数列，设．某学生设计了一个求的部分算法流程图（如图），图中空白处理框中是用n的表达式对赋值，则空白处理框中应填入：← ▲ ．
8．（江苏省盐城市2010年高三第二次调研考试）按如图所示的流程图运算，若输入，则输出的 ▲ . 3
3．（江苏省无锡市部分学校2010年4月联考试卷）程序如下：
以上程序输出的结果是 。24
5．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）
运行右边算法流程，当输入的值为_____________时，
输出的值为4．-3
4. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）一个算法的流程图如图所示，则输出的值为 ▲ .
6、（江苏省南京市2010年3月高三第二次模拟）根据如图所示的算法语句，可得输出的结果是 55
6．（江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷阅读下列程序：
．
输出的结果是 2，5，10
反证法
反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。
反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。
反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是：
第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；
第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；
第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。
在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。
Ⅰ、再现性题组：
已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0 ______。
A.至多一个实根 B.至少一个实根 C.一个实根 D.无实根
已知a<0,－1A. a>ab> ab B. ab>ab>a C. ab>a> ab D. ab> ab>a
已知α∩β＝l，a α，b β，若a、b为异面直线，则_____。
A. a、b都与l相交 B. a、b中至少一条与l相交
C. a、b中至多有一条与l相交 D. a、b都与l相交
四面体顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法有_____。
A. 150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种
【简解】1小题：从结论入手，假设四个选择项逐一成立，导出其中三个与特例矛盾，选A；
2小题：采用“特殊值法”，取a＝－1、b＝－0.5，选D；
3小题：从逐一假设选择项成立着手分析，选B；
4小题：分析清楚结论的几种情况，列式是：C－C×4－3－6,选D。
S
C
A O
B
Ⅱ、示范性题组：
例1. 如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点。求证：AC与平面SOB不垂直。
【分析】结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑使用反证法，即假设“垂直”后再导出矛盾后，再肯定“不垂直”。
【证明】 假设AC⊥平面SOB，
∵ 直线SO在平面SOB内， ∴ AC⊥SO，
∵ SO⊥底面圆O， ∴ SO⊥AB，
∴ SO⊥平面SAB， ∴平面SAB∥底面圆O，
这显然出现矛盾，所以假设不成立。
即AC与平面SOB不垂直。
【注】否定性的问题常用反证法。例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾。
例2. 若下列方程：x＋4ax－4a＋3＝0， x＋(a－1)x＋a＝0, x＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根。试求实数a的取值范围。
【分析】 三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根。先求出反面情况时a的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案。
【解】 设三个方程均无实根，则有：
,解得,即－所以当a≥－1或a≤－时，三个方程至少有一个方程有实根。
【注】“至少”、“至多”问题经常从反面考虑，有可能使情况变得简单。本题还用到了“判别式法”、“补集法”（全集R），也可以从正面直接求解，即分别求出三个方程有实根时（△≥0）a的取值范围，再将三个范围并起来，即求集合的并集。两种解法，要求对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻。
例3. 给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝ (其中x∈R且x≠)，证明：①.经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴； ②.这个函数的图像关于直线y＝x成轴对称图像。(88年全国理)。
【分析】“不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出矛盾从而推翻假设。
【证明】 ① 设M(x,y)、M(x,y)是函数图像上任意两个不同的点，则x≠x,
假设直线MM平行于x轴，则必有y＝y，即＝，整理得a(x－x)＝x－x
∵x≠x ∴ a＝1， 这与已知“a≠1”矛盾，
因此假设不对，即直线MM不平行于x轴。
② 由y＝得axy－y＝x－1,即(ay－1)x＝y－1,所以x＝，
即原函数y＝的反函数为y＝，图像一致。
由互为反函数的两个图像关于直线y＝x对称可以得到，函数y＝的图像关于直线y＝x成轴对称图像。
【注】对于“不平行”的否定性结论使用反证法，在假设“平行”的情况下，容易得到一些性质，经过正确无误的推理，导出与已知a≠1互相矛盾。第②问中，对称问题使用反函数对称性进行研究，方法比较巧妙，要求对反函数求法和性质运用熟练。
s←1
i←1
While s≤200
i←i+2
s←s*i
End While
Print i
第9题
开始
N
输出
结束
Y
(n-9)(n-11)=0
（第10题图）
结束
开始
输入n
n≤5
Tn←－n2＋9n
输出Tn
Y
N
开始
结束
输入x
是
否
输出k
第8题
开始
输入
输入
结束
N
Y
Y
N
开始
i←1 , S←0
i <10
输出S
Y
S←S+ i
i←i +1
结束
N
第4题
Read
For I From 1 to 5 Step 2
Print S
End for
End第一部分——集合
知识点总结精华
一、知识结构:
本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：
二、知识回顾：
集合
基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.
集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.
集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.
集合的性质：
①任何一个集合是它本身的子集，记为；
②空集是任何集合的子集，记为；
③空集是任何非空集合的真子集；
如果，同时，那么A = B.
如果.
[注]：①Z= {整数}（√） Z ={全体整数} （×）
②已知集合S 中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（×）（例：S=N； A=，则CsA= {0}）
③ 空集的补集是全集.
④若集合A=集合B，则CBA = ， CAB = CS（CAB）= D （ 注 ：CAB = ）.
3. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集.
②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R二、四象限的点集.
③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集.
[注]：①对方程组解的集合应是点集.
例： 解的集合{(2，1)}.
②点集与数集的交集是. （例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则A∩B =）
4. ①n个元素的子集有2n个. ②n个元素的真子集有2n －1个. ③n个元素的非空真子集有2n－2个.
5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题逆命题.
②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题逆否命题.
例：①若应是真命题.
解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真.
② .
解：逆否：x + y =3x = 1或y = 2.
,故是的既不是充分，又不是必要条件.
⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围.
例：若.
集合运算：交、并、补.
主要性质和运算律
包含关系
等价关系：
集合的运算律：
交换律：
结合律:
分配律:.
0-1律：
等幂律：
求补律：A∩CUA=φ A∪CUA=U CUU=φ CUφ=U
反演律：CU(A∩B)= (CUA)∪(CUB) CU(A∪B)= (CUA)∩(CUB)
有限集的元素个数
定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.
基本公式：
(3) card(UA)= card(U)- card(A)
试题精粹
江苏省2011年高考数学联考试题
1．（江苏省2010届苏北四市第一次联考）设集合A={︱}，B={︱}，则满足C（A∩B）的集合C的个数是 ▲ ．2
15、（江苏省2010届苏北四市第一次联考）(本小题满分14分)
已知集合， （1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.
15、解：（1）A=[-8，-4] ………………2分
当时，， ………………4分
∴） ………………5分
（2）
①当时，恒成立； ………8分
②当时，
∴或解得或（舍去）
所以 ………………11分
③当时，
或（舍去）解得 ………………13分
综上，当，实数的取值范围是． ………………14分
二、解答题：本大题共6小题，共90分．
15、（宿迁市高三12月联考）（本题满分14分）已知集合
（1）求时，求实数a的取值范围； （2）求使的实数a的取值范围。
15、解：（1）若……………4分
∴当的取值范围为……………6分
（2）∵……………7分
①当
要使……………10分
②当……………11分
③当
要使……………13分
综上可知，使的实数a的取值范围是[2，3] ……………14分
试题精粹
江苏省2010年高考数学联考试题
6．（江苏省南通市2010年高三二模）设全集U=R，，B={x | sin x≥}，则A∩B ▲ ．
4．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）已知集合，。则= 。
解析：因,,则=.
2．（江苏省无锡市部分学校2010年4月联考试卷）已知集合，则的所有非空真子集的个数是 。
解析：，共9个元素，所以非空真子集个数为=510
9．（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）已知集合，设函数（）的值域为，若，则实数的取值范围是 ▲ ． []
1．（江苏省泰州市2010届高三联考试题）已知集合，，若，则的值为______▲_______．
解析：由集合，，且则的值为0．
1. （江苏省盐城市2010年高三第二次调研考试） 已知全集，集合，，则等于 ▲ .
1、（江苏省连云港市2010届高三二模试题）若，则集合的元素个数为 ▲ ．3
1．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）已知全集，集合，则_____________．
1.（2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）已知集合，，若，则实数的值为 ▲ .2
1、（江苏省南京市2010年3月高三第二次模拟）已知集合，，则=
高考填空题的常用方法
数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常考题型之一，填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备.解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求.
数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫。常用的方法有直接法、特殊化法、数行结合法、等价转化法等。
一、直接法
这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。
例1设其中i，j为互相垂直的单位向量，又，则实数m = 。
解：∵，∴∴，而i，j为互相垂直的单位向量，故可得∴。
例2已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是 。
解：，由复合函数的增减性可知，在上为增函数，∴，∴。
例3现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13长比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为 。
解：由题设，此人猜中某一场的概率为，且猜中每场比赛结果的事件为相互独立事件，故某人全部猜中即获得特等奖的概率为。
二、特殊化法
当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。
例4 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。若a、b、c成等差数列，则 。
解：特殊化：令，则△ABC为直角三角形，，从而所求值为。
例5 过抛物线的焦点F作一直线交抛物线交于P、Q两点，若线段PF、FQ的长分别为p、q，则 。
分析：此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k的直线与抛物线均有两个交点P、Q，当k变化时PF、FQ的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：尽管PF、FQ不定，但其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性。
解：设k = 0，因抛物线焦点坐标为把直线方程代入抛物线方程得，∴，从而。
例6 求值 。
分析：题目中“求值”二字提供了这样信息：答案为一定值，于是不妨令，得结果为。
三、数形结合法
对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。
例7 如果不等式的解集为A，且，那么实数a的取值范围是 。
解：根据不等式解集的几何意义，作函数和
函数的图象（如图），从图上容易得出实数a的取
值范围是。
例8 求值 。
解：，
构造如图所示的直角三角形，则其中的角即为，从而
所以可得结果为。
例9 已知实数x、y满足，则的最大值是 。
解：可看作是过点P（x，y）与M（1，0）的直线的斜率，其中点P的圆上，如图，当直线处于图中切线位置时，斜率最大，最大值为。
四、等价转化法
通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。
例10 不等式的解集为（4，b），则a= ，b= 。
解：设，则原不等式可转化为：∴a > 0，且2与是方程的两根，由此可得：。
例11 不论k为何实数，直线与曲线恒有交点，则实数a的取值范围是 。
解：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆，∴。
例12 函数单调递减区间为 。
解：易知∵y与y2有相同的单调区间，而，∴可得结果为。
总之，能够多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键。
五、练习
1 已知函数，则
讲解　由，得，应填4.
请思考为什么不必求呢？
集合的真子集的个数是
讲解　，显然集合M中有90个元素，其真子集的个数是，应填.
快速解答此题需要记住小结论;对于含有n个元素的有限集合,其真子集的个数是
3．　若函数的图象关于直线对称，则
讲解　由已知抛物线的对称轴为,得　，而，有，故应填6.
果函数，那么
　　　　　
讲解　容易发现，这就是我们找出的有用的规律，于是
原式＝，应填
本题是2002年全国高考题，十分有趣的是，2003年上海春考题中也有一道类似题：
设，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得
　已知点P在第三象限，则角的终边在第象限.
讲解　由已知得
　　　　　　　
从而角的终边在第二象限，故应填二.
不等式（）的解集为.
讲解 注意到，于是原不等式可变形为
　　　　　
而，所以，故应填
　如果函数的图象关于直线对称，那么
讲解　，其中.
是已知函数的对称轴，
，
即　　　　，
于是　　　　　故应填 .
在解题的过程中，我们用到如下小结论：
函数和的图象关于过最值点且垂直于x轴的直线分别成轴对称图形.
设复数在复平面上对应向量，将按顺时针方向旋转后得到向量，对应的复数为，则
讲解　应用复数乘法的几何意义，得
　　　　　
　　　　　　，
于是　　　
故应填　
9．设非零复数满足　，则代数式　的值是____________.
讲解　将已知方程变形为　　，
解这个一元二次方程，得
　　　　　　
显然有,　而,于是
原式＝
　　＝
　　＝
在上述解法中，“两边同除”的手法达到了集中变量的目的，这是减少变元的一个上策，值得重视.
10．　已知是公差不为零的等差数列，如果是的前n项和，那么
讲解　特别取，有，于是有
　　　　　　　 故应填2.
列中， , 则
讲解 分类求和，得
，故应填．
以下四个命题：
①
②
③凸n边形内角和为
④凸n边形对角线的条数是
其中满足“假设时命题成立，则当n=k+1时命题也成立’’.但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的命题序号是　　　　　　　.
讲解 ①当n=3时，，不等式成立；
当n=1时，，但假设n=k时等式成立，则
　　　；
③　，但假设成立，则
　　　　　　
④　，假设成立，则
　　　　
故应填②③.
　　13．某商场开展促销活动，设计一种对奖券，号码从000000到999999. 若号码的奇位数字是不同的奇数，偶位数字均为偶数时，为中奖号码，则中奖面（即中奖号码占全部号码的百分比）为　　　　　　　.
讲解 　中奖号码的排列方法是：　奇位数字上排不同的奇数有种方法，偶位数字上排偶数的方法有，从而中奖号码共有种，于是中奖面为
　　　　　　　　　　　　
故应填
14． 的展开式中的系数是
讲解　由知，所求系数应为的x项的系数与项的系数的和，即有
　　　　　故应填1008.
15． 过长方体一个顶点的三条棱长为3、4、5, 且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是________.
讲解　长方体的对角线就是外接球的直径,　即有
　　　　从而　，故应填
16． 若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是　　　　　　　（只需写出一个可能的值）．
讲解 本题是一道很好的开放题，解题的开窍点是：每个面的三条棱是怎样构造的，依据“三角形中两边之和大于第三边”，就可否定｛1，1，2｝，从而得出｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝三种形态，再由这三类面构造满足题设条件的四面体，最后计算出这三个四面体的体积分别为： , ,，故应填.、 、 中的一个即可.
17． 如右图，E、F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是　　　　　.（要求：把可能的图的序号都填上）
讲解 因为正方体是对称的几何体，所以四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前后三个方向的射影，也就是在面ABCD、面ABB1A1、面ADD1A1上的射影.
四边形BFD1E在面ABCD和面ABB1A1上的射影相同，如图所示；
四边形BFD1E在该正方体对角面的ABC1D1内，它在面ADD1A1上的射影显然是一条线段，如图所示. 故应填.
18 直线被抛物线截得线段的中点坐标是___________.
讲解　由消去y，化简得
　　　　　　　　　
设此方程二根为，所截线段的中点坐标为，则
　　　　　　　　 故 应填 .
19 椭圆上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标是_____________________.
讲解 记椭圆的二焦点为，有
则知
显然当，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.
故应填或
20 一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是，在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的取值范围是___________.
讲解 依抛物线的对称性可知，大圆的圆心在y轴上，并且圆与抛物线切于抛物线的顶点，从而可设大圆的方程为
由
消去x，得 （*）
解出 或
要使（*）式有且只有一个实数根，只要且只需要即
再结合半径，故应填
eq \o\ac(○,1)
eq \o\ac(○,2)
eq \o\ac(○,3)
eq \o\ac(○,4)
A
B
D
C
E
F
A1
B1
C1
D1第十五部分——几何证明选讲
知识点总结精华
弦切角定义
顶点在圆上，一边和圆相交，另
　
一边和圆相切的角叫做弦切角 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )。(弦切角就是切线 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )与弦所夹的角
如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA=∠PBC(∠PCA为弦切角）。
∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半
　∵∠BOC=2∠CAB（圆心角等于圆周角的两倍
∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）
.切线长定理
对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
与圆有关的比例线段
定理 图形 已知 结论 证法
相交弦定理 ⊙O中，AB、CD为弦，交于P. PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.
相交弦定理的推论 ⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P. PC2＝PA·PB. 用相交弦定理.
切割线定理 ⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于A PT2＝PA·PB 连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT
切割线定理推论 PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、C PA·PB＝PC·PD 过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理
圆幂定理 ⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦 P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径 延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证
8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
.圆内接四边形的性质定理与判定定理：
圆的内接四边形的对角_______；圆内接四边形的外角等于它的内角的_________。
如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点__________；
如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点_________。
第15部分——选修系列（选修4-1：几何证明选讲）
试题精粹
江苏省2011年高考数学联考试题
A．（江苏省南通市2011届高三第一次调研测试）选修4－1：几何证明选讲
锐角三角形内接于⊙O，∠ABC=60，∠BAC=40，作OE⊥AB交劣弧 HYPERLINK "http://www." 于点E，连接EC，求∠OEC．
A．选修4－1：几何证明选讲
解： 连OC．∵ ∠ABC=60，∠BAC=40，∴ ∠ACB=80．…………………………………4分
∵ OE⊥AB，∴ E为的中点，∴ HYPERLINK "http://www." 和的度数均为80．
∴ ∠EOC=80+80=160．…………………………………………………………………8分
∴ ∠OEC=10．……………………………………………………………………………10分
1．（南通市六所省重点高中联考试卷）（选修4—1：几何证明选讲）
如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过
N点的切线交CA的延长线于P．
（1）求证：；
（2）若⊙O的半径为，OA=OM，求MN的长．
解：（1）由条件得矩阵，
它的特征值为和，对应的特征向量为及；………5分
（2），椭圆在的作用下的新曲线的方程为．…10分
A. （盐城市第一次调研）（选修4—1：几何证明选讲）
如图，是⊙的直径，是⊙上的两点,,过点作⊙的切线交的延长线于点．连结交于点.
求证：.
A.证明：连结OF,因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°,所以∠OFC+∠CFD=90°．
因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC,又因为CO⊥AB于O，
所以∠OCF+∠CEO=90°………………………………………………………………………………5分
所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE,因为DF是⊙O的切线,所以DF2=DB·DA．
所以DE2=DB·DA…
试题精粹
江苏省2010年高考数学联考试题
21．A．（江苏省南通市2010年高三二模）选修4－1　几何证明选讲
如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC， DE交AB于点F．求证：△PDF∽△POC．
21．A．(江苏通州市2010年3月高三素质检测)选修4—1 几何证明选讲
如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF·EC
（Ⅰ）求证：P=EDF；
（Ⅱ）求证：CE·EB=EF·EP．
21A．（1）∵DE2=EF·EC，∴DE CE=EF ED．
∵DEF是公共角，
∴ΔDEF∽ΔCED． ∴EDF=C．
∵CD∥AP， ∴C= P．
∴P=EDF．
（2）∵P=EDF， DEF=PEA，
∴ΔDEF∽ΔPEA． ∴DE PE=EF EA．即EF·EP=DE·EA．
∵弦AD、BC相交于点E，∴DE·EA=CE·EB．∴CE·EB=EF·EP．
21．A．（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）选修4—1：几何证明选讲
如图，在梯形中，∥BC，点，分别在边，上，设与相交于点，若，，，四点共圆，求证：．
21．A．选修4—1：几何证明选讲
证明：连结EF．
∵四点共圆,
∴． ………………………………2分
∵∥，
∴180°．
∴180°． ………………………………6分
∴四点共圆． ………………………………8分
∵交于点G，
∴． ………………………………10分
21．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）（本小题为选做题，满分10分）
如图，是的直径，为圆上一点，，垂足为，点为上任一点，交于点，交于点．
求证：（1）；
（2）．
21．A. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）选修4－1：几何证明选讲
如图，在中，D是AC中点，E是BD三等分点，AE的延长线交BC于F，
求的值．
21．（江苏省泰州市2010届高三联考试题）（本小题为选做题，满分10分）
如图，点分别是正的边的中点，直线与的外接圆的一个交点为．设正外接圆半径为．
（1）求线段的长；
（2）求线段的长．
解：（1）设边长为，由正弦定理知=； （5分）
（2）延长交圆于，设，可得. （10分）
A．（江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷）选修4－1：几何证明选讲
如图，四边形ABCD内接于，弧AB=弧AD，过A点的切线交CB
的延长线于E点．
求证：．
21、A证明：连结AC．
因为EA切于A， 所以∠EAB＝∠ACB．
因为弧AB=弧AD，所以∠ACD＝∠ACB，AB＝AD．
于是∠EAB＝∠ACD．
又四边形ABCD内接于，所以∠ABE＝∠D．
所以∽．
于是，即
所以．
数形结合思想方法
中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。
数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。
Ⅰ、再现性题组：
设命题甲：0A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
若log2A. 0b>1 D. b>a>1
如果|x|≤,那么函数f(x)＝cosx＋sinx的最小值是_____。 (89年全国文)
A. B. － C. －1 D.
如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是____。(91年全国)
A.增函数且最小值为－5 B.增函数且最大值为－5
C.减函数且最小值为－5 D.减函数且最大值为－5
设全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)| ＝1}，N＝{(x,y)|y≠x＋1}，那么等于_____。 (90年全国)
A. φ B. {(2,3)} C. (2,3) D. {(x,y)|y＝x＋1
如果θ是第二象限的角，且满足cos－sin＝,那么是_____。
A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角，也可能第三象限角 D.第二象限角
已知集合E＝{θ|cosθA. (,π) B. (,) C. (π, ) D. (,)
若复数z的辐角为，实部为－2，则z＝_____。
A. －2－2ｉ B. －2＋2ｉ C. －2＋2ｉ D. －2－2ｉ
如果实数x、y满足等式(x－2)＋y＝3，那么的最大值是_____。 (90年全国理)
A. B. C. D.
满足方程|z＋3－ｉ|＝的辐角主值最小的复数z是_____。
【简解】1小题：将不等式解集用数轴表示，可以看出，甲＝>乙，选A;
2小题：由已知画出对数曲线，选B；
3小题：设sinx＝t后借助二次函数的图像求f(x)的最小值，选D；
4小题：由奇函数图像关于原点对称画出图像，选B；
5小题：将几个集合的几何意义用图形表示出来，选B；
6小题：利用单位圆确定符号及象限；选B；
7小题：利用单位圆，选A；
8小题：将复数表示在复平面上，选B；
9小题：转化为圆上动点与原点连线的斜率范围问题；选D；
10小题：利用复平面上复数表示和两点之间的距离公式求解,答案－＋ｉ。
【注】 以上各题是历年的高考客观题，都可以借助几何直观性来处理与数有关的问题，即借助数轴（①题）、图像（②、③、④、⑤题）、单位圆（⑥、⑦题）、复平面（⑧、⑩题）、方程曲线（⑨题）。
y
4 y=1-m
1
O 2 3 x
Ⅱ、示范性题组：
例1. 若方程lg(－x＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。
【分析】将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决。
【解】 原方程变形为
即：
设曲线y＝(x－2) , x∈(0,3)和直线y＝1－m，图像如图所示。由图可知：
① 当1－m＝0时，有唯一解，m＝1;
②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3∴ m＝1或－3此题也可设曲线y＝－(x－2)＋1 , x∈(0,3)和直线y＝m后画出图像求解。
【注】 一般地，方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数的图像直观解决，简单明了。此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况，还可用分离参数法来求（也注意结合图像分析只一个x值）。
y A
D
O B x
C
例2. 设|z|＝5，|z|＝2, |z－|＝，求的值。
【分析】 利用复数模、四则运算的几何意义，将复数问题用几何图形帮助求解。
【解】 如图，设z＝、z＝后，则＝、＝如图所示。
由图可知，||＝，∠AOD＝∠BOC，由余弦定理得：
cos∠AOD＝＝
∴ ＝(±ｉ)＝2±ｉ
y A
D
O x
【另解】设z＝、＝如图所示。则||＝，且
cos∠AOD＝＝，sin∠AOD＝±，
所以＝(±ｉ)＝2±ｉ，即＝2±ｉ。
【注】本题运用“数形结合法”，把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算的几何意义等都表达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动活泼。 一般地，复数问题可以利用复数的几何意义而将问题变成几何问题，也可利用复数的代数形式、三角形式、复数性质求解。
本题设三角形式后转化为三角问题的求解过程是：设z＝5(cosθ＋ｉsinθ)，z＝＋ｉsinθ)，则|z－|＝|(5cosθ－2cosθ)＋(5sinθ＋2sinθ)ｉ|＝
＝，所以cos(θ＋θ)＝,sin(θ＋θ)＝±，
＝＝[cos(θ＋θ)＋ｉsin(θ＋θ)]＝(±ｉ)＝2±ｉ。
本题还可以直接利用复数性质求解，其过程是：由|z－|＝得：
（z－）(－z)＝z＋z－zz－＝25＋4－zz－＝13,
所以zz＋＝16,再同除以z得＋＝4，设＝z，解得z＝2±ｉ。
几种解法，各有特点，由于各人的立足点与思维方式不同，所以选择的方法也有别。一般地，复数问题可以应用于求解的几种方法是：直接运用复数的性质求解；设复数的三角形式转化为三角问题求解；设复数的代数形式转化为代数问题求解；利用复数的几何意义转化为几何问题求解。
例3. 直线L的方程为：x＝－ (p>0),椭圆中心D(2＋,0)，焦点在x轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的左顶点为A。问p在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线L的距离？
【分析】 由抛物线定义，可将问题转化成：p为何值时，以A为焦点、L为准线的抛物线与椭圆有四个交点，再联立方程组转化成代数问题（研究方程组解的情况）。
【解】 由已知得：a＝2，b＝1, A(,0)，设椭圆与双曲线方程并联立有：
，消y得：x－(4－7p)x＋(2p＋)＝0
所以△＝16－64p＋48p>0,即6p－8p＋2>0，解得：p<或p>1。
结合范围(,4+)内两根，设f(x)＝x－(4－7p)x＋(2p＋)，
所以<<4+即p<，且f()>0、f(4+)>0即p>－4＋3。
结合以上，所以－4＋3【注】 本题利用方程的曲线将曲线有交点的几何问题转化为方程有实解的代数问题。一般地，当给出方程的解的情况求参数的范围时可以考虑应用了“判别式法”，其中特别要注意解的范围。另外，“定义法”、“数形结合法”、“转化思想”、“方程思想”等知识都在本题进行了综合运用。
例4. 设a、b是两个实数，A＝{(x,y)|x＝n，y＝na＋b} （n∈Z），B＝{(x,y)|x＝m，y＝3m＋15} (m∈Z)，C＝{(x,y)|x＋y≤144}，讨论是否，使得A∩B≠φ与(a,b)∈C同时成立。(85年高考)
【分析】集合A、B都是不连续的点集，“存在a、b，使得A∩B≠φ”的含意就是“存在a、b使得na＋b＝3n＋15(n∈Z)有解（A∩B时x＝n＝m）。再抓住主参数a、b，则此问题的几何意义是：动点(a,b)在直线L：nx＋y＝3n＋15上，且直线与圆x＋y＝144有公共点，但原点到直线L的距离≥12。
【解】 由A∩B≠φ得：na＋b＝3n＋15 ;
设动点(a,b)在直线L：nx＋y＝3n＋15上，且直线与圆x＋y＝144有公共点，
所以圆心到直线距离d＝＝3(＋)≥12
∵ n为整数 ∴ 上式不能取等号，故a、b不存在。
【注】 集合转化为点集（即曲线），而用几何方法进行研究。此题也属探索性问题用数形结合法解，其中还体现了主元思想、方程思想，并体现了对有公共点问题的恰当处理方法。
本题直接运用代数方法进行解答的思路是：
由A∩B≠φ得：na＋b＝3n＋15 ,即b＝3n＋15－an （①式）；
由(a,b)∈C得，a＋b≤144 （②式）；
把①式代入②式，得关于a的不等式：
(1＋n)a－2n(3n＋15)a＋(3n＋15)－144≤0 （③式）,
它的判别式△＝4n(3n＋15)－4(1＋n)[(3n＋15)－144]＝－36(n－3)
因为n是整数，所以n－3≠0,因而△<0，又因为1＋n>0,故③式不可能有实数解。
所以不存在a、b，使得A∩B≠φ与(a,b)∈C同时成立
（第21-A题）
O
C
M
N
A
P
B
（第1题）
O
A
E
B
D
F
C
第21-A题
·
P
E
O
D
C
B
A
F
G
F
E
D
C
B
A
（第21—A题图）
BA
EA
MAA
FA
AA
CA
DA
OA
A
B
C
D
E
F
A
P
M
N
B
C
A
E
B
C
D
O
·第八部分——立体几何
知识点总结精华
考试内容
平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．
数学探索 版权所有www.平行直线．对应边分别平行的角．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．
数学探索 版权所有www.直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定与性质．点到平面的距离．斜线在平面上的射影．直线和平面所成的角．三垂线定理及其逆定理．
数学探索 版权所有www.平行平面的判定与性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定与性质．
数学探索 版权所有www.多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．
数学探索 版权所有www.考试要求
数学探索 版权所有www.（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图;能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系．
数学探索 版权所有www.（2）掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离．
数学探索 版权所有www.（3）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念掌握三垂线定理及其逆定理．
数学探索 版权所有www.（4）掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．
数学探索 版权所有www.（5）会用反证法证明简单的问题．
数学探索 版权所有www.（6）了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念．
数学探索 版权所有www.（7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图．
数学探索 版权所有www.（8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图．
数学探索 版权所有www.（9）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式．
数学探索 版权所有www.9（B）．直线、平面、简单几何体
数学探索 版权所有www.考试内容：
数学探索 版权所有www.平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．
数学探索 版权所有www.平行直线．
数学探索 版权所有www.直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定．三垂线定理及其逆定理．
数学探索 版权所有www.两个平面的位置关系．
数学探索 版权所有www.空间向量及其加法、减法与数乘．空间向量的坐标表示．空间向量的数量积．
数学探索 版权所有www.直线的方向向量．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．
数学探索 版权所有www.直线和平面垂直的性质．平面的法向量．点到平面的距离．直线和平面所成的角．向量在平面内的射影．
数学探索 版权所有www.平行平面的判定和性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定和性质．
数学探索 版权所有www.多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．
数学探索 版权所有www.考试要求：
数学探索 版权所有www.（1）掌握平面的基本性质。会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图：能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形.能够根据图形想像它们的位置关系．
数学探索 版权所有www.（2）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念.掌握直线和平面垂直的判定定理；掌握三垂线定理及其逆定理．
数学探索 版权所有www.（3）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘．
数学探索 版权所有www.（4）了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念.掌握空间向量的坐标运算．
数学探索 版权所有www.（5）掌握空间向量的数量积的定义及其性质：掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式．
数学探索 版权所有www.（6）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念．
数学探索 版权所有www.（7）掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念.对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离掌握直线和平面垂直的性质定理掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理．
数学探索 版权所有www.（8）了解多面体、凸多面体的概念。了解正多面体的概念．
数学探索 版权所有www.（9）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图．
数学探索 版权所有www.（10）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质。会画正棱锥的直观图．
数学探索 版权所有www.（11）了解球的概念.掌握球的性质.掌握球的表面积、体积公式．
数学探索 版权所有www.立体几何 知识要点
平面.
1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.
注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.
2. 两个平面可将平面分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）
3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）
[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个.
4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X、Y、Z三个方向）
空间直线.
1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内
[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）
②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交
③若直线a、b异面，a平行于平面，b与的关系是相交、平行、在平面内.
④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.
⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）
⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段）
⑦是夹在两平行平面间的线段，若，则的位置关系为相交或平行或异面.
2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）
3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）
.
二面角的取值范围）
（直线与直线所成角）
（斜线与平面成角）
（直线与平面所成角）
（向量与向量所成角
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.
5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.
空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.
是异面直线，则过外一点P，过点P且与都平行平面有一个或没有，但与距离相等的点在同一平面内. （或在这个做出的平面内不能叫与平行的平面）
直线与平面平行、直线与平面垂直.
1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.
2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）
[注]：①直线与平面内一条直线平行，则∥. （×）（平面外一条直线）
②直线与平面内一条直线相交，则与平面相交. （×）（平面外一条直线）
③若直线与平面平行，则内必存在无数条直线与平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）
④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内）
⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×）（两个平面可能相交）
⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面）
⑦直线与平面、所成角相等，则∥.（×）（、可能相交）
3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）
4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.
若⊥，⊥，得⊥（三垂线定理），
得不出⊥. 因为⊥，但不垂直OA.
三垂线定理的逆定理亦成立.
直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）
直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.
[注]：①垂直于同一平面的两个平面平行.（×）（可能相交，垂直于同一条直线的两个平面平行）
②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）
③垂直于同一平面的两条直线平行.（√）
5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.
[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]
⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上
平面平行与平面垂直.
1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.
2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）
推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.
[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.
3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）
4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.
两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）
注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.
5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.
推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.
证明：如图，找O作OA、OB分别垂直于，
因为则.
6. 两异面直线任意两点间的距离公式：（为锐角取加，为钝取减，综上，都取加则必有）
7. ⑴最小角定理：（为最小角，如图）
⑵最小角定理的应用（∠PBN为最小角）
简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条.
成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条.
成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条.
成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有.
棱锥、棱柱.
1. 棱柱.
⑴①直棱柱侧面积：（为底面周长，是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.
②斜棱住侧面积：（是斜棱柱直截面周长，是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.
⑵{四棱柱}{平行六面体}{直平行六面体}{长方体}{正四棱柱}{正方体}.
{直四棱柱}{平行六面体}={直平行六面体}.
⑶棱柱具有的性质：
①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.
②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.
③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.
注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （×）
（直棱柱不能保证底面是钜形可如图）
②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.
⑷平行六面体：
定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.
[注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.
定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.
推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为，则.
推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为，则.
[注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形）
②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直棱柱才行）
③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形）
④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）
2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.
[注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.
②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以.
⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.
[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）
ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等
iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形.
②正棱锥的侧面积：（底面周长为，斜高为）
③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：（侧面与底面成的二面角为）
附： 以知⊥，，为二面角.
则①，②，③ ①②③得.
注：S为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）.
⑵棱锥具有的性质：
①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.
②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.
⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：
①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.
②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.
③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.
④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.
⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.
⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.
⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；
⑧每个四面体都有内切球，球心是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.
[注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）
ii. 若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直.
简证：AB⊥CD，AC⊥BD BC⊥AD. 令
得，已知
则.
iii. 空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.
iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.
简证：取AC中点，则平面90°易知EFGH为平行四边形EFGH为长方形.若对角线等，则为正方形.
3. 球：⑴球的截面是一个圆面.
①球的表面积公式：.
②球的体积公式：.
⑵纬度、经度：
①纬度：地球上一点的纬度是指经过点的球半径与赤道面所成的角的度数.
②经度：地球上两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是点的经度.
附：①圆柱体积：（为半径，为高）
②圆锥体积：（为半径，为高）
③锥形体积：（为底面积，为高）
4. ①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a，，，
得.
注：球内切于四面体：
②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.
六. 空间向量.
1. （1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.
注：①若与共线，与共线，则与共线.（×） [当时，不成立]
②向量共面即它们所在直线共面.（×） [可能异面]
③若∥，则存在小任一实数，使.（×）[与不成立]
④若为非零向量，则.（√）[这里用到之积仍为向量]
（2）共线向量定理：对空间任意两个向量， ∥的充要条件是存在实数（具有唯一性），使.
（3）共面向量：若向量使之平行于平面或在内，则与的关系是平行，记作∥.
（4）①共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在实数对x、y使.
②空间任一点O和不共线三点A、B、C，则是PABC四点共面的充要条件.（简证：P、A、B、C四点共面）
注：①②是证明四点共面的常用方法.
2. 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使.
推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P, 都存在唯一的有序实数组x、y、z使 (这里隐含x+y+z≠1).
注：设四面体ABCD的三条棱，其
中Q是△BCD的重心，则向量用即证.
3. （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.
①令=(a1,a2,a3),，则
∥
(用到常用的向量模与向量之间的转化：)
②空间两点的距离公式：.
（2）法向量：若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果那么向量叫做平面的法向量.
（3）用向量的常用方法：
①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中，则点B到平面的距离为.
②利用法向量求二面角的平面角定理：设分别是二面角中平面的法向量，则所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（方向相同，则为补角，反方，则为其夹角）.
③证直线和平面平行定理：已知直线平面，，且CDE三点不共线，则a∥的充要条件是存在有序实数对使.（常设求解若存在即证毕，若不存在，则直线AB与平面相交）.
立体几何知识要点
一、知识提纲
（一）空间的直线与平面
⒈平面的基本性质 　⑴三个公理及公理三的三个推论和它们的用途．　⑵斜二测画法．
⒉空间两条直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线．
　⑴公理四（平行线的传递性）．等角定理．
　⑵异面直线的判定：判定定理、反证法．
　⑶异面直线所成的角：定义（求法）、范围．
⒊直线和平面平行 　直线和平面的位置关系、直线和平面平行的判定与性质．
⒋直线和平面垂直
　⑴直线和平面垂直：定义、判定定理．
　⑵三垂线定理及逆定理．
5.平面和平面平行
两个平面的位置关系、两个平面平行的判定与性质．
6.平面和平面垂直
互相垂直的平面及其判定定理、性质定理．
（二）直线与平面的平行和垂直的证明思路（见附图）
（三）夹角与距离
7.直线和平面所成的角与二面角
　⑴平面的斜线和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜线和平
　　面所成的角、直线和平面所成的角．
　⑵二面角：①定义、范围、二面角的平面角、直二面角．
　　　　　　②互相垂直的平面及其判定定理、性质定理．
8.距离
　⑴点到平面的距离．
　⑵直线到与它平行平面的距离．
　⑶两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线、公垂线段．
　⑷异面直线的距离：异面直线的公垂线及其性质、公垂线段．
（四）简单多面体与球
9.棱柱与棱锥
　⑴多面体．
　⑵棱柱与它的性质：棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性质．
　⑶平行六面体与长方体：平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、
　　正方体；平行六面体的性质、长方体的性质．
　⑷棱锥与它的性质：棱锥、正棱锥、棱锥的性质、正棱锥的性质．
　⑸直棱柱和正棱锥的直观图的画法．
10.多面体欧拉定理的发现
　⑴简单多面体的欧拉公式．
　⑵正多面体．
11.球
⑴球和它的性质：球体、球面、球的大圆、小圆、球面距离．
　⑵球的体积公式和表面积公式．
二、常用结论、方法和公式
1.从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，则点A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分线上；
2. 已知:直二面角M－AB－N中，AE M，BF N,∠EAB=,∠ABF=，异面直线AE与BF所成的角为，则
3.立平斜公式：如图，AB和平面所成的角是，AC在平面内，BC和AB的射影BA1成，设∠ABC=,则coscos=cos；
4.异面直线所成角的求法：
（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；
（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；
5.直线与平面所成的角
斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；
6.二面角的求法
（1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；
（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；
（3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；
（4）射影法：利用面积射影公式S射＝S原cos,其中为平面角的大小，此法不必在图形中画出平面角；
特别:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。
7.空间距离的求法
（1）两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算；
（2）求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解；
（3）求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作，因此，确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解；
8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为，则S侧cos=S底；
9.已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为因此有cos2+cos2+cos2=1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则有cos2+cos2+cos2=2;
10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；
11.欧拉公式：如果简单多面体的顶点数为V,面数为F,棱数为E.那么V+F－E=2；并且棱数E＝各顶点连着的棱数和的一半＝各面边数和的一半；
12.柱体的体积公式：柱体（棱柱、圆柱）的体积公式是V柱体=Sh.其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.
13.直棱柱的侧面积和全面积
S直棱柱侧= c (c表示底面周长，表示侧棱长) S棱柱全=S底+S侧
14．棱锥的体积:V棱锥=，其中S是棱锥的底面积，h是棱锥的高。
15.球的体积公式V=，表面积公式；掌握球面上两点A、B间的距离求法：（1）计算线段AB的长，（2）计算球心角∠AOB的弧度数；(3)用弧长公式计算劣弧AB的长；
试题精粹
江苏省2011年高考数学联考试题
6．（淮阴中学．姜堰中学．前黄中学2011届第一次联考）设、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，有下面四个命题：① ；② ；
③ ；④ .其中真命题的序号是 . ①③
13．（淮阴中学、姜堰中学、前黄中学2011届第一次联考）已知四棱锥的顶点在底面的射影恰好是底面菱形的两对角线的交点，若，，则长度的取值范围为 .
8．（江苏省2010届苏北四市第一次联考） 如图（1）所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为和半径为
的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图（2）水平放置时，液面高度为，当这个几何体如图（3）水平放置时，液面高度为，则这个简单几何体的总高度为 ▲ .29cm
图（1） 图（2） 图（3）
2. （常州市2011届高三数学调研） 已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题：
①； ②；
③； ④.
其中正确命题的序号是 . ①④
5. （常州市2011届高三数学调研）一个几何体的俯视图是一个圆，用斜二侧画法画出正视图和俯视图都是边长为6和4的平行四边形，则该几何体的体积为___________.或
9．（姜堰二中学情调查（三））若ABC的三边长分别为a, b, c，其内切圆半径为r，则S△ABC=（a+b+c）·r，类比这一结论到空间，写出三棱锥中的一个正确结论为若四棱锥A-BCD的四个面的面积分别为，其内切球半径为R，
则
11．（姜堰二中学情调查（三））设为互不重合的平面，为互不重合的直线，给出下列四个命题：
①若；
②若∥∥，则∥；
③若；
④若．
其中正确命题的序号为 ①③
9. （泰州市2011届高三第一次模拟考试）设是两条直线，是两个平面，则下列4组条件中
所有能推得的条件是 。②③④（填序号）
①∥，；②；
③，∥；④，∥，∥。
7．（江苏省南通市2011届高三第一次调研测试）设a，b为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题：
（1）若a∥α，a∥β，则α∥β；（2）若a⊥α，a⊥β，则α∥β；
（3）若a∥α，b∥α，则a∥b；（4）若a⊥α，b⊥α，则a∥b．
上述命题中，所有真命题的序号是 ▲ ．（2），（4）
5、（南通市六所省重点高中联考试卷）设为互不重合的平面，为互不重合的直线，给出下列四个命题：
①若； ②若∥∥，则∥；
③若；④若.
其中所有正确命题的序号是 ▲ ①③
12. （苏北四市2011届高三第一次调研考试）设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则；④若，，，则．上面命题中，真命题的序号是 ▲ ②（写出所有真命题的序号）．
（无锡市1月期末调研）在正方体中，M为的中点，AC、BD交于点O，则与平面AMC成的角为 ▲ 度．
11．（盐城市第一次调研）已知平面,直线满足：,那么
①； ②； ③； ④.
可由上述条件可推出的结论有 ▲ ②④ (请将你认为正确的结论的序号都填上).
11. （苏北四市2011届高三第二次调研）如图，三棱柱的所有棱长均等于1，且
，则该三棱柱的体积是 ▲ ．
7. （苏州市2011届高三调研测试）设为两个不重合的平面，为两条不重合的直线，给出下列四个命题：
①若则∥；
②若则；
③若∥，∥，则；
④若与相交且不垂直，则与不垂直.
其中，所有真命题的序号是 ▲ .①②
【解析】③错误，相交或平行；④错误，与可以垂直，不妨令，则在内存在
16．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2011届高三调研考试）（本小题满分14分）
如图，在四棱锥A—BCDE中，底面BCDE是直角梯形，，BE∥CD，AB=6，BC=5，，侧面ABE⊥底面BCDE，．
⑴求证：平面ADE⊥平面ABE；
⑵过点D作面∥平面ABC，分别于BE，AE交于点F，G，求的面积．
16答案：
（1）证明：因为侧面ABE⊥底面BCDE，
侧面ABE∩底面BCDE=BE，
DE底面BCDE，
DE⊥BE，
所以DE⊥平面ABE，
所以AB⊥DE，
又因为，
所以AB⊥平面ADE，
所以平面ADE⊥平面ABE；…………………………………………………………7
（2）因为平面∥平面ABC，
所以∥ ，同理∥ ………………………………………………9
所以四边形为平行四边形．
所以，
因为，所以
所以 …………………………………………………11
由⑴易证：平面ADE，所以，所以
所以的面积． ……………………………………………………14
23．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2011届高三调研考试）如图所示，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，，M为PC上一点，且PA∥平面BDM．
⑴求证：M为PC中点；
⑵求平面ABCD与平面PBC所成的锐二面角的大小．
证明 ⑴连接AC与BD交于G，则平面PAC∩平面BDM=MG，
由PA∥平面BDM，可得PA∥MG，
∵底面ABCD是菱形，∴G为AC中点，
∴MG为△PAC中位线，
∴M为PC中点． …………………………………………4
⑵取AD中点O，连接PO，BO，
∵△PAD是正三角形，∴PO⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，
∵底面ABCD是边长为2的菱形，，△ABD是正三角形，
∴AD⊥OB，
∴OA，OP，OB两两垂直，以O为原点，，分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，如右图所示，则，，，，
∴，，
∴，
，，
∴，，
∴DM⊥BP，DM⊥CB，∴DM⊥平面PBC，
∴
平面ABCD与平面PBC所成的锐二面角的大小为…………………………………10
16．（江苏省2010届苏北四市第一次联考）(本小题满分14分)
如图已知在三棱柱ABC——A1B1C1中，AA1⊥面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分别是AA1、BB1、AB、B1C1的中点．
（1）求证：面PCC1⊥面MNQ；
（2）求证：PC1∥面MNQ；
（3）若求三棱锥
的体积.
16、证明：（1）∵AC=BC， P是AB的中点，∴AB⊥PC，
∵AA1⊥面ABC，CC1∥AA1，，∴CC1⊥面ABC而AB在平面ABC内
∴CC1⊥AB， ∵CC1∩PC=C ∴AB⊥面PCC1；
又∵M、N分别是AA1、BB1的中点，四边形AA1B1B是平行四边形，MN∥AB，
∴MN⊥面PCC1 ∵MN在平面MNQ内，∴面PCC1⊥面MNQ；……… 5分
（2）连PB1与MN相交于K，连KQ，∵MN∥PB，N为BB1的中点，∴K为PB1的中点．
又∵Q是C1B1的中点∴PC1∥KQ ，而KQ平面MNQ，PC1平面MNQ
∴PC1∥面MNQ． …………………………10分
（3）为的中点，到平面的距离等于的一半，故，
所以.……………14分
17. （常州市2011届高三数学调研）（15） 如图所示的几何体由斜三棱柱和组成，其斜三棱柱和满足、、 。
（1）证明：；
（2）证明：；
（3）若，，
. 问：侧棱和底面
所成的角是多少度时，∥.
17、（1）取的中点，连接、，∵
∴ ∴.
若、、T共线，易知 ； 若、、T不共线，
∴
（2）同（1）可证明， ∵与过公共点，
所以与重合. 即∥ ∴
（3）
16．（姜堰二中学情调查（三））（本小题满分14分）
如图，为圆的直径，点、在圆上，且，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，．
（1）求证：平面；
（2）设的中点为，求证：平面；
（3）设平面将几何体分成的两个锥体的体积分别为，，
求
16．（本小题满分14分）
如图，为圆的直径，点、在圆上，且，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，．
（1）求证：平面；
（2）设的中点为，求证：平面；
（3）设平面将几何体分成的两个锥体的
体积分别为，，求
（1）证明： 平面平面,,
平面平面=，
平面，
平面， ,………　2分
又为圆的直径，， 平面。………　5分
（2）设的中点为，则，
又，则，为平行四边形， ………　7分
，又平面，平面，
平面。………　9分
（3）过点作于，平面平面，
平面，，………　11分
平面，
，………　13分
． ………　14分
15. （泰州市2011届高三第一次模拟考试）(本小题满分14分)
已知四面体中，,平面平面,分别为棱和的中点。
（1）求证：平面;
（2）求证：;
（3）若内的点满足∥平面,
设点构成集合，试描述点集的位置（不必说明理由）
15. ⑴∵在中，，为的中点，∴.…………………………（1分）
又∵平面平面，平面，
平面平面，∴平面.…………………………………（5分）
⑵∵，为的中点，
∴.…………………………（6分）
由⑴，又，，平面，∴平面.…………（9分）
又平面，∴，即. …………………………（10分）
⑶取、的中点、，所有的点构成的集合即为的中位线.………………………………………………………………………………（14分）
16．（江苏省南通市2011届高三第一次调研测试）（本题满分14分）
如图，已知□ABCD，直线BC⊥平面ABE，F为CE的中点．
（1）求证：直线AE∥平面BDF；
（2）若，求证：平面BDF⊥平面BCE．
证明：（1）设AC∩BD＝G，连接FG．
由四边形ABCD为平行四边形，得G是AC的中点．
又∵F是EC中点，∴在△ACE中，FG∥AE．……………………………………………3分
∵AE HYPERLINK "http://www." 平面BFD，FG 平面BFD，∴AE∥平面BFD； ……………………………6分
（2）∵，∴ HYPERLINK "http://www." ．
又∵直线BC⊥平面ABE，∴．
又 HYPERLINK "http://www." ，∴直线平面 HYPERLINK "http://www." ． …………………………………………8分
由（1）知，FG∥AE，∴直线平面 HYPERLINK "http://www." ． ………………………………………10分
又直线平面DBF，∴平面DBF⊥平面BCE． ………………………………………14分
15、（南通市六所省重点高中联考试卷）（本题满分14分）如图,在直三棱柱中,，
分别是的中点，且.(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)求证：平面平面.、证:(Ⅰ)连接交于,连接.
∵分别是的中点，∴∥且=,∴四边形是矩形.
∴是的中点…………………………………………………………………………(3分)
又∵是的中点,∴∥………………………………………………………(5分)
则由,,得∥…………………………………(7分)
(注:利用面面平行来证明的,类似给分)
(Ⅱ) ∵在直三棱柱中，⊥底面,∴⊥.
又∵,即⊥,∴⊥面……………(9分)
而面,∴⊥ ………………………………(11分)
又,由(Ⅰ) ∥，
∴平面 ………………………………………(13分)
平面，∴平面平面. ……………………………(14分)
5．（南通市六所省重点高中联考试卷）如图，已知三棱锥O－ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．
（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；
（2）求二面角A－BE－C的余弦值．
解：（1）以O为原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则有A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，0）．
……………………2分
cos<>． 　 ………………………………4分
由于异面直线BE与AC所成的角是锐角，故其余弦值是．………………5分
（2），，设平面ABE的法向量为，
则由，，得目 取n＝（1，2，2），
平面BEC的一个法向量为n2＝（0，0，1），
　………………………………7分
．……9分
由于二面角A－BE－C的平面角是n1与n2的夹角的补角，其余弦值是－．…… 10分
16. （苏北四市2011届高三第一次调研考试）（本小题满分14分）
如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，且E，F分别是BC， CD的中点. 求证：
（1）EF∥平面；
（2）平面⊥平面.
16．（1）因为E，F分别是BC，CD的中点，
所以EF∥BD，……………………………2分
因为EF平面PBD，BD平面PBD，
所以EF∥平面PBD.………………………6分
（2）设BD交AC于点O，连结PO，
因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC，O是BD中点，
又，所以BD⊥PO，
又EF∥BD，所以EF⊥AC，EF⊥PO. ………………………10分
又，平面PAC，平面PAC，
所以EF⊥平面PAC.……………………………………………………………………12分
因为EF平面PEF，所以平面PEF⊥平面PAC.………………………………………14分
讲评建议：此题当初是如图情景，最后主要是考虑辅助线太多，
而且两问题之间辅助线滑有联系，同时考虑第二问题难度较大，
所以改成现在形式，希望各位教师讲评时还原本题的原来面目，
同时对第二问题要给予高度重视，主要平面几何的转化思想，
但对高一的求高复习中也要重视，高是教材中要求的。
23、（宿迁市高三12月联考）如图，三棱锥中，底面于，，点分别是的中点，求二面角的余弦值．
23、解：如图，以所在直线为轴，所在直线轴，建立空间直角坐标系，
则，
∵平面，∴，
又，∴平面，
∴，∴，
又，∴平面。
而
所以平面的一个法向量------4分
设平面的一个法向量
则，则
取，则平面的一个法向量 ------8分
∴
∴二面角的平面角的余弦值为 ------10分
15．（无锡市1月期末调研）(本小题满分14分)
在边长为的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥．
（1）判别MN与平面AEF的位置关系，并给出证明；
（2）求多面体E-AFMN的体积．
15． （1）因翻折后B、C、D重合（如图），
所以MN应是的一条中位线，………………3分
则．………7分
（2）因为平面BEF，……………9分
且，
∴，………………………………………11分
又　∴．………………………………………14分
15．（徐州市12月高三调研）(本小题满分14分)
如图，在直四棱柱中，，分别是的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面平面.
15．解：（Ⅰ）连接AC，则AC∥，而分别是的中点，所以EF∥AC，
则EF∥，故平面………………………………………………………7分
（Ⅱ）因为平面，所以，又，
则平面 ………………………………………………………………12分
又平面，所以平面平面…………………………14分
16．（盐城市第一次调研）(本小题满分14分)
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°,
E、F分别为A1C1、B1C1的中点, D为棱CC1上任一点.
（Ⅰ）求证：直线EF∥平面ABD；
（Ⅱ）求证：平面ABD⊥平面BCC1B1.
16．（Ⅰ）证明:因为、分别为、的中点,所以………………4分
而,所以直线∥平面………………………7分
（Ⅱ）因为三棱柱为直三棱柱,所以,又,
而,,且,所以… 11分
又,所以平面⊥平面………………………………14分
16. （苏北四市2011届高三第二次调研）（本小题满分14分）
如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面⊥平面，,,为的中点，求证：
（1）∥平面；
（2）平面平面．
16.（1）设,连接，易知是的中点，
∵是中点．∴在△中，∥， …………2分
∵平面，平面，
∴ ∥平面． ………………………………6分
（2）平面平面 ,,
平面平面平面,又平面,
又，,平面,……………………………10分
在中，为的中点，,平面，
又平面， 平面平面．………………………………………………14分
15. （苏州市2011届高三调研测试）（本小题满分14分）
在中，已知角的对边分别为且.
⑴求;
⑵若，求.（结果用根式表示）
15.【解析】（1）由条件，得.
所以
因为是三角形内角，所以
（2）由得
由正弦定理得
因为
所以
16. （苏州市2011届高三调研测试）（本小题满分14分）
正三棱柱中，已知,
为的中点，为与的交点.
⑴求证：平面;
⑵若点为的中点，求证：∥平面.
16.【解析】证明：（1）连结
因为,为的中点，
而,
所以.
又因为是正方形对角线的交点，
所以
又因为
所以平面.
(2)取的中点，
在中，因为是的中点，
所以，且
又因为是的中点，所以，且
所以四边形是平行四边形，所以
又因为平面，平面,
所以∥平面.
23. （苏州市2011届高三调研测试） （本小题满分10分）
如图，在棱长为3的正方体中，.
⑴求两条异面直线与所成角的余弦值；
⑵求直线与平面所成角的正弦值.
23.【解析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，
如图所示,则,
所以
即两条异面直线与所成角的余弦值为
(2)
设平面的一个法向量为
由得，
所以，则不妨取
设直线与平面所成角为，则
所以直线与平面所成角为
试题精粹
江苏省2010年高考数学联考试题
一、填空题:
7．（江苏省南通市2010年高三二模）设l，m表示两条不同的直线，α表示一个平面，从“∥、⊥”中选择适当的符号填入下列空格，使其成为真命题，即： m ▲ α．
解析：由线面关系知m α．
11．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）若一个面体有个面时直角三角形，则称这个面体的直度为，如图，在长方形—中，四面体的直度为 。
解析：由题意知四面体有４个面，其中直角三角形有４个，则四面体的直度为．
11．（江苏省泰州市2010届高三联考试题）正三棱锥中，，，分别是棱上的点，为边的中点，，则三角形的面积为______▲_______．
解析：由为边的中点得，又得且交于点，另由，可求且得为的中点，从而，则三角形的面积为。
11．(江苏通州市2010年3月高三素质检测)已知三棱锥S－ABC中，SA＝SB＝SC＝AB＝AC＝2，则三棱锥S－ABC体积的最大值为 ▲ ．1
（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）设为不重合的两条直线，为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若∥且∥，则∥；（2）若且，则∥；
（3）若∥且∥，则∥；（4）若且，则∥．
上面命题中，所有真命题的序号是 ▲ ．（2）（4）
10．（江苏省盐城市2010年高三第二次调研考试）已知是一条直线，是两个不同的平面. 若从“①；②；③”中选取两个作为条件，另一个作为结论，试写出一个你认为正确的命题 ▲ .（请用代号表示）①②③
4、（江苏省连云港市2010届高三二模试题） 一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为 ▲ ．3：2
7．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）正方体中，，是的中点，则四棱锥的体积为_____________．
6. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）如下图，已知正方体的棱长为，为底面正方形的中心，则三棱锥的体积为 ▲ .
13、（江苏省南京市2010年3月高三第二次模拟）讲一个半径为5cm的水晶球放在如图所示的工艺架上，支架是由三根金属杆PA、PB、PC组成，它们两两成600角。则水晶球的球心到支架P的距离是 cm.
5．（江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷设为两个不重合的平面，为两条不重合的直线，给出下列的四个命题：
（1）若，则；
（2）若与相交且不垂直，则与不垂直
（3）若则
（4）若则
其中，所有真命题的序号是 ．（3）（4）
9．（江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为 ．，
二、解答题
15．（江苏省南通市2010年高三二模）（本小题满分14分）
正方体ABCD-A1B1C1D1中，点F为A1D的中点．
（1）求证：A1B∥平面AFC；
（2）求证：平面A1B1CD平面AFC．
证明：（1）连接BD交AC于点O，
连接FO，则点O是BD的中点．
∵点F为A1D的中点，∴A1B∥FO．……4分
又平面AFC，平面AFC，
∴A1B∥平面AFC． ……………………………………………………7分
（2）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接B1D．
∵AC⊥BD，AC⊥BB1，∴AC⊥平面B1BD，AC⊥B1D．……………9分
又∵CD⊥平面A1ADD1，平面A1ADD1，∴CD⊥AF．
又∵AF⊥A1D，∴AF⊥平面A1B1CD． ………………………………12分
∵AC⊥B1D，∴B1D⊥平面AFC．
而B1D平面A1B1CD，∴平面A1B1CD平面AFC．………………14分
16．(江苏通州市2010年3月高三素质检测)（本小题满分14分）
如图，四边形ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，BE＝BC，F为CE上的一点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥BE；
（2）求证：AE∥平面BFD．
16．（本小题满分14分）
（1）证明：∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，AD⊥AB，
∴AD⊥平面ABE，AD⊥AE．
∵AD∥BC，则BC⊥AE． ………………………3分
又BF⊥平面ACE，则BF⊥AE．
∵BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE，∴AE⊥BE． …… 7分
（2）设AC∩BD=G，连接FG，易知G是AC的中点，
∵BF⊥平面ACE，则BF⊥CE．
而BC=BE，∴F是EC中点． …………………10分
在△ACE中，FG∥AE，
∵AE平面BFD，FG平面BFD，
∴ AE∥平面BFD． ………………………14分
22．(江苏通州市2010年3月高三素质检测)必做题（本小题满分10分）
如图，已知三棱锥O－ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．
（Ⅰ）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角A－BE－C的余弦值．
16．（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）(本小题满分14分)
如图，在四棱锥中，∥，，，⊥，⊥，为的中点．
求证：（1）∥平面；
（2）⊥平面．
22．（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一） (本小题满分10分)
如图，在直三棱柱中，，AB=AC=a，，点E，F分别在棱，上，且，．设．
（1）当=3时，求异面直线与所成角的大小；
（2）当平面⊥平面时，求的值．
∴=是平面的一个法向量． ………6分
同理，=是平面的一个法向量． ………8分[来源:21世纪教育网]
∵平面⊥平面，
∴．∴．
解得，．
∴当平面⊥平面时，． ………………………10分
16．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）（本题满分14分）
已知正六棱柱的所有棱长均为2，G为AF的中点。
（1）求证：∥平面；
（2）求证：平面⊥平面；
（3）求四面体的体积。
14分
3．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）（本题满分12分）
如图，矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF-90°，BE∥CF，CE⊥EF，AD=，EF=2.
（1）求异面直线AD与EF所成的角；
（2）当AB的长为何值时，二面角A—EF—C的大小为45°
所以 ………………5分
得到 ………………11分
所以当AB为时，二面角A—EF—C的大小为45° ………………12分
16、（江苏省连云港市2010届高三二模试题）（14分）如图，在三棱锥D－ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝a，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF＝3FC．
（1）求三棱锥D－ABC的表面积；（2）求证AC⊥平面DEF；
（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由．
16、解（证明）（1）因为 AB⊥平面BCD，所以 AB⊥BC，AB⊥BD．
因为 △BCD是正三角形，且AB＝BC＝a，所以 AD＝AC＝．
设G为CD的中点，则CG＝，AG＝．
所以 ，，．
三棱锥D－ABC的表面积为．．．．4分
（2）取AC的中点H，因为 AB＝BC，所以 BH⊥AC．
因为 AF＝3FC，所以 F为CH的中点．
因为 E为BC的中点，所以 EF∥BH．则EF⊥AC．
因为 △BCD是正三角形，所以 DE⊥BC．
因为 AB⊥平面BCD，所以 AB⊥DE．
因为 AB∩BC＝B，所以 DE⊥平面ABC．所以 DE⊥AC．
因为 DE∩EF＝E，所以 AC⊥平面DEF．．．．．9分
（3）存在这样的点N，
当CN＝时，MN∥平面DEF．
连CM，设CM∩DE＝O，连OF．
由条件知，O为△BCD的重心，CO＝CM．
所以 当CF＝CN时，MN∥OF．所以 CN＝．．．．．．．．．．．．．14分
25．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）（本小题为必做题，满分10分）
如图，直三棱柱中， ，. 分别为棱的中点.
（1）求点到平面的距离；
（2）求二面角的平面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由.
25．（必做题）（本小题满分10分）
解：（1）如图所示，以为轴，为轴，
为轴建立空间直角坐标系，由
可得，
,,,.
则，，
设平面的法向量为得
即则取法向量为，
则点到平面的距离. （3分）
（2），，可得，，
设平面的法向量为，
故可令，，，，
可得,，
设平面的法向量为，
故可令，∴，
即求二面角的余弦值为； （6分）
（3）假设存在点,坐标为，则，
平面得，即，
∴即为中点. （10分）
15．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）（本小题满分14分）
如图，和都是等边三角形，分别是的中点，是的中点；
（1）求证：；
（2）求证：平面。
( http: / / www. / )
16. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）如图，在正三棱柱中，点是棱的中点．求证：
（1）；
（2）平面．
16.（1）因为三棱柱是正三棱柱，所以平面，
又平面，所以，……………………………………… 2分
又点是棱的中点，且为正三角形，所以，
因为，所以平面，………………………………4分
又因为平面，所以．………………………………6分
(2)连接交于点，再连接．
因为四边形为矩形，
所以为的中点，
又因为为的中点，
所以.
又平面，平面，
所以平面．………………14分
15．（江苏省泰州市2010届高三联考试题）（本小题满分14分）
如图，在底面为菱形的直四棱柱中，
分别为、的中点，为的中点；
（1）求证：平面；
（2）求证：∥平面．
又，，
故∥平面． （14分）
25．（江苏省泰州市2010届高三联考试题）（本小题为必做题，满分10分）
已知边长为6的正方体，为上靠近的三等分点，为上靠近的三等分点，是的中点.
（1）求与平面所成角的余弦值；
（2）设点在线段上，且，试确定的值，使得的长度最短．
解：如图建系：可得,,,.
（1）设，,
则；，
设与平面所成角为，则． （5分）
（2）由题知,,,设
，，
当时，的长度取得最小值． （10分）
16．（江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD为直角梯形，
∠ABC=∠BAD=90°，.
（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；
（2）在棱PD上是否存在一点E，使CE//平面PAB？
若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由
16．设PA=1
（1）由题意PA=BC=1，AD=2
由勾股定理得AC⊥CD ，又∵PA⊥面ABCD CD面ABCD
∴PA⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC， 又CD面PCD，∴面PAC⊥面PCD
（2）证明：作CF//AB交AD于F，作EF//AP交PD于E，连接CE
∵CF//AB EF//PA CF∩EF=F PA∩AB=A 平面EFC//平面PAB，
又CE在平面EFC内，CE//平面PAB
∴F为AD的中点，
∴E为PD中点，故棱PD上存在点E，且E为PD中点，使CE//面PAB
23. （江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
（1）求证：AC⊥SD；
（2）若SD⊥平面PAC，求二面角的大小；
（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，
使得BE∥平面PAC．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
23解：建立空间直角坐标系
则A（2，0，0）、 C（0，2，0） （2，0，2），
（0，0，2） 、（0，2，2）
设AC的中点为M，∵BM⊥AC, ;
∴BM⊥平面,即=(1,1,0)是平面的一个法向量。
设平面的一个法向量是
=（-2，2，-2）， =（-2，0，0）
设法向量的夹角为，二面角的大小为，显然为锐角
且
设
则
而
即当时，
而不在平面内，故
立体几何解题方法
一、知识整合
1．有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力．
判定两个平面平行的方法：
（1）根据定义——证明两平面没有公共点；
（2）判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面；
（3）证明两平面同垂直于一条直线。
3．两个平面平行的主要性质：
⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。
⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那
么它们的交线平行”。
⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。
⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。
以上性质⑵、⑷、⑸、⑹在课文中虽未直接列为“性质定理”，但在解题过程中均可直接作为性质定理引用。
4．空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决．
空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线所成的角θ∈(0，]，直线与平面所成的角θ∈，二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈0，π．
对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力．
如求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）与向量法；求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角；而求二面角－l－的平面角（记作）通常有以下几种方法：
(1) 根据定义；
(2) 过棱l上任一点O作棱l的垂面，设∩＝OA，∩＝OB，则∠AOB＝ ；
(3) 利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面内一点A，分别作另一个平面的垂线AB(垂足为B),或棱l的垂线AC(垂足为C)，连结AC，则∠ACB＝ 或∠ACB＝－；
(4) 设A为平面外任一点，AB⊥，垂足为B，AC⊥，垂足为C，则∠BAC＝或∠BAC＝－；
(5) 利用面积射影定理，设平面内的平面图形F的面积为S，F在平面内的射影图形的面积为S，则cos＝.
5.空间的距离问题，主要是求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间（限于给出公垂线段的）、平面和它的平行直线、以及两个平行平面之间的距离．
求距离的一般方法和步骤是：一作——作出表示距离的线段；二证——证明它就是所要求的距离；三算——计算其值．此外，我们还常用体积法求点到平面的距离．
6．棱柱的概念和性质
⑴理解并掌握棱柱的定义及相关概念是学好这部分知识的关键，要明确“棱柱 直棱柱 正棱柱”这一系列中各类几何体的内在联系和区别。
⑵平行六面体是棱柱中的一类重要的几何体，要理解并掌握“平行六面体 直平行六面体 长方体 正四棱柱 正方体”这一系列中各类几何体的内在联系和区别。
⑶须从棱柱的定义出发，根据第一章的相关定理对棱柱的基本性质进行分析推导，以求更好地理解、掌握并能正确地运用这些性质。
⑷关于平行六面体，在掌握其所具有的棱柱的一般性质外，还须掌握由其定义导出的一些其特有的性质，如长方体的对角线长定理是一个重要定理并能很好地掌握和应用。还须注意，平行六面体具有一些与平面几何中的平行四边形相对应的性质，恰当地运用平行四边形的性质及解题思路去解平行六面体的问题是一常用的解题方法。
⑸多面体与旋转体的问题离不开构成几何体的基本要素点、线、面及其相互关系，因此，很多问题实质上就是在研究点、线、面的位置关系，与《直线、平面、简单几何体》第一部分的问题相比，唯一的差别就是多了一些概念，比如面积与体积的度量等．从这个角度来看，点、线、面及其位置关系仍是我们研究的重点．
７．经纬度及球面距离
⑴根据经线和纬线的意义可知，某地的经度是一个二面角的度数，某地的纬度是一个线面角的度数，设球O的地轴为NS，圆O是0°纬线，半圆NAS是0°经线，若某地P是在东经120°，北纬40°，我们可以作出过P的经线NPS交赤道于B，过P的纬线圈圆O1交NAS于A，那么则应有：∠AO1P=120°(二面角的平面角) ，∠POB=40°（线面角）。
⑵两点间的球面距离就是连结球面上两点的大圆的劣弧的长，因此，求两点间的球面距离的关键就在于求出过这两点的球半径的夹角。
例如，可以循着如下的程序求A、P两点的球面距离。
线段AP的长 ∠AOP的弧度数 大圆劣弧AP的长
８．球的表面积及体积公式
S球表=4πR2 V球=πR3
⑴球的体积公式可以这样来考虑：我们把球面分成若干个边是曲线的小“曲边三角形”；以球心为顶点，以这些小曲边三角形的顶点为底面三角形的顶点，得到若干个小三棱锥，所有这些小三棱锥的体积和可以看作是球体积的近似值.当小三棱锥的个数无限增加，且所有这些小三棱锥的底面积无限变小时，小三棱锥的体积和就变成球体积，同时小三棱锥底面面积的和就变成球面面积,小三棱锥高变成球半径.由于第n个小三棱锥的体积＝Snhn（Sn为该小三棱锥的底面积,hn为小三棱锥高），所以V球＝S球面·R＝·4πR2·R＝πR3.
⑵球与其它几何体的切接问题，要仔细观察、分析、弄清相关元素的位置关系和数量关系，选择最佳角度作出截面，以使空间问题平面化。
二、注意事项
须明确《直线、平面、简单几何体》中所述的两个平面是指两个不重合的平面。
２．三种空间角，即异面直线所成角、直线与平面所成角。平面与平面所成二面角。它们的求法一般化归为求两条相交直线的夹角，通常“线线角抓平移，线面角找射影，面面角作平面角”而达到化归目的，有时二面角大小出通过cos=来求。
３．有七种距离，即点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离，点到平面的距离有时用“体积法”来求。
三、例题分析
例1、⑴已知水平平面内的两条相交直线a, b所成的角为，如果将角的平分线绕着其顶点，在竖直平面内作上下转动， 转动到离开水平位值的处，且与两条直线a,b都成角，则与的大小关系是 （ ）
A. 或 B. >或 <
C. > D. <
⑵已知异面直线a,b所成的角为70,则过空间一定点O,与两条异面直线a,b都成60角的直线有 ( )条.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
⑶异面直线a,b所成的角为,空间中有一定点O,过点O有3条直线与a,b所成角都是60,则的取值可能是 ( ).
A. 30 B. 50 C. 60 D. 90
分析与解答:
⑴ 如图1所示,易知直线上点Ａ在平面上的射影是ι上的点B,过点B作BC⊥b,
则AC⊥b. 在Rt△OBC和Rt△OAC中，tg=,tg=.显然，AC>BC,
∴tan> tan,又、（0，，∴ ＞.故选C.　　　　　　　　　　　　　　　　
ι
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（２）Ｄ（３）Ｃ
图１
例2、已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.
（1）求证：MN⊥AB；
（2）设平面PDC与平面ABCD所成的二面角为锐角θ，问能否确定θ使直线MN是异
面直线AB与PC的公垂线？若能，求出相应θ的值；若不能，说明理由.
解：（1）∵PA⊥矩形ABCD，BC⊥AB，∴PB⊥BC，PA⊥AC，即△PBC和△PAC都是
以PC为斜边的直角三角形，，又M为AB的中点，∴MN⊥AB.
（2）∵AD⊥CD，PD⊥CD.∴∠PDA为所求二面角的平面角，即∠PDA=θ.
设AB=a，PA=b，AD=d，则，
设PM=CM则由N为PC的中点，∴MN⊥PC由（1）可知MN⊥AB，
∴MN为PC与AB的公垂线，这时PA=AD，∴θ=45°。
例3、如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，C点到AB1的距离为CE=，D为AB的中点.
（1）求证：AB1⊥平面CED；
（2）求异面直线AB1与CD之间的距离；
（3）求二面角B1—AC—B的平面角.
解:（1）∵D是AB中点，△ABC为等腰直角三角形，
∠ABC=900，∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC，∴CD⊥AA1.
∴CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥AB1，又CE⊥AB1，
∴AB1⊥平面CDE；
（2）由CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥DE
∵AB1⊥平面CDE ∴DE⊥AB1,
∴DE是异面直线AB1与CD的公垂线段
∵CE=，AC=1 , ∴CD=∴；
（3）连结B1C，易证B1C⊥AC，又BC⊥AC ,
∴∠B1CB是二面角B1—AC—B的平面角.
在Rt△CEA中，CE=，BC=AC=1,∴∠B1AC=600
∴， ∴,
∴ , ∴.
说明：作出公垂线段和二面角的平面角是正确解题的前提, 当然, 准确地作出应当有严格的逻辑推理作为基石.
例4、在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，S D=，在线段SA上取一点E（不含端点）使EC=AC，截面CDE与SB交于点F。
（1）求证：四边形EFCD为直角梯形；
（2）求二面角B-EF-C的平面角的正切值；
（3）设SB的中点为M，当的值是多少时，能使△DMC
为直角三角形？请给出证明.
解：（1）∵　CD∥AB，AB平面SAB ∴CD∥平面SAB
面EFCD∩面SAB=EF，
∴CD∥EF ∵
又面
∴ 平面SAD，∴又
为直角梯形
（2）平面∥平面SAD
即为二面角D—EF—C的平面角
中
而且
为等腰三角形，
(3)当时，为直角三角形 .
,
平面平面.
在中，为SB中点，.
平面平面 为直角三角形。
例5．如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC与BD交于点E，CB与CB1交于点F.
（I）求证：A1C⊥平BDC1；
（II）求二面角B—EF—C的大小（结果用反三角函数值表示）.
解法一：（Ⅰ）∵A1A⊥底面ABCD，则AC是A1C在底面ABCD的射影.
∵AC⊥BD.∴A1C⊥BD.
同理A1C⊥DC1,又BD∩DC1=D,
∴A1C⊥平面BDC1.
（Ⅱ）取EF的中点H，连结BH、CH，
又E、F分别是AC、B1C的中点，
解法二：（Ⅰ）以点C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,0,0).
D(1,0,0),B(0,1,0),A1(1,1,1),C1(0,0,1),D1(1,0,1)
（Ⅱ）同（I）可证，BD1⊥平面AB1C.
立体几何过关测试
1．如果直线与平面的一条垂线垂直，那么与的位置关系是 。
2、侧棱长为2的正三棱锥，若其底面周长为9，则该正三棱锥的体积是 。
3、若、表示直线，表示平面，则下列命题中，正确的个数为 。
① ② ③ ④
4、已知a、b、c是三条不重合直线，、、是三个不重合的平面，下列命题：
⑴a∥c，b∥ca∥b；⑵a∥，b∥a∥b；⑶c∥，c∥∥；⑷∥，∥∥；⑸a∥c，∥ca∥；⑹a∥，∥a∥。其中正确的命题是 。
5、已知正方体ABCD－，则该正方体的体积、四棱锥-ABCD的体积以及该正方体的外接球的体积之比为 。
6、已知正方体，是底对角线的交点.
　证明：（1）面； (2）面．
17．如图为正方体ABCD-A1B1C1D1切去一个三棱锥B1—A1BC1后得到的几何体．
（1） 若点O为底面ABCD的中心，求证：直线D1O∥平面A1BC1；
（2）． 求证：平面A1BC1⊥平面BD1D．
8、如图，在多面体ABCDE中，AE⊥ABC，BD∥AE，且AC＝AB＝BC＝BD＝2，AE＝1，F在CD上
（1）求多面体ABCDE的体积；（2）若F为CD中点,求证：EF⊥面BCD；
(3)当的值= 时，能使AC ∥平面EFB，并给出证明。
9、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a,E为棱CC1上的的动点．
（1）求证：A1E⊥BD；
（2）当E恰为棱CC1的中点时，求证：平面A1BD⊥平面EBD；（3）求。
参考答案
1、在平面内或者∥ 2、 3、3个 4、⑴、⑷ 5、
6、证明：（1）连结，设 连结，
　 是正方体，是平行四边形．
且 ．
又分别是的中点，且．
是平行四边形 ．
面，面
面
（2）面 ．
又， ， ．
同理可证， 又，面 ．
7、（1）将其补成正方体ABCD-A1B1C1D1，设B1D1和A1C1交于点O1，连接O1B，
依题意可知，D1O1∥OB，且D1O1=OB，即四边形D1OB O1为平行四边形，
则D1O∥O1B，因为BO1平面BA1C1，D1O平面BA1C1，所以有直线D1O∥平面BA1C1；
（2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥平面A1B1C1D1，
则DD1⊥A1C1， 另一方面，B1D1⊥A1C1，
又∵DD1∩B1D1= D1，∴A1C1⊥平面BD1D，
∵A1C1平面A1BC1，则平面A1BC1⊥平面BD1D．
8、解：(1)设AB中点为H，则由AC＝AB＝BC＝2，可得CH⊥AB且CH＝．
又BD∥AE，所以BD与AE共面．
又AE⊥面ABC，所以平面ABDE⊥平面ABC．
所以CH⊥平面ABDE，即CH为四棱锥C－ABDE的高．
故四棱锥C－ABDE的体积为VC－ABDE＝SABDE·CH＝[(1＋2)×2×]＝．
(2)取BC中点G，连FG，AG．
因为AE⊥面ABC，BD∥AE，所以BD⊥面ABC． 又AG面ABC，所以BD⊥AG．
又AC＝AB，G是BC的中点，所以AG⊥BC，所以AG平面BCD．
又因为F是CD的中点且BD＝2，所以FG∥BD且FG＝BD＝1，所以FG∥AE．
又AE＝1，所以AE＝FG，所以四边形AEFG是平行四边形，
所以EF∥AG，所以EF⊥BCD．
（3）=2（证明过程略）。
9、证明：（1）连AC,A1C1
正方体AC1中，AA1平面ABCD AA1BD
正方形ABCD， ACBD且ACAA1=A
BD平面ACC1A1 且ECC1 A1E平面ACC1A1 BDA1E
（2）设ACBD=O，则O为BD的中点，连A1O,EO
由（1）得BD平面A1ACC1 BDA1O,BDEO
即为二面角A1-BD-E的平面角。
AB=a，E为CC1中点 A1O= A1E= EO=
A1O2+OE2=A1E2 A1OOE
平面A1BD平面BDE
(3)由（2）得A1O平面BDE 且A1O= V=
A
A
B
C
A1
B1
C1
（第11题）
E
B
C
D
A
G
F
E
B
C
D
A
第16题图
E
B
C
D
A
第16题图
A
P
B
C
D
M
第23题图
A
P
z
C
D
M
B
x
y
G
O
A1
A
B
C
P
M
N
Q
B1
C1
C
B
A
C1
B1
A1
C2
B2
A2
C
D
B
A
E
F
G
H
（第16题）
A
O
E
C
B
（第5题）
P
（第16题图）
A
B
C
E
F
D
D
P
（第16题图）
A
B
C
D
E
F
G
A1
B1
C1
A
B
C
D1
D
E
F
第15题
C1
A
B
C
D
E
F
A1
B1
第16题
B
A
D
C
F
E
（第16题）
G
B
A
D
C
F
E
▲
▲
B
A
C
D
B1
C1
D1
A1
F
（第15题）
B
A
D
C
F
E
（第16题）
G
B
A
D
C
F
E
A
O
E
C
B
D
C
B
A
E
P
（第16题图）目
F
E
C
1
B
1
A
1
C
B
A
（第22题图）
E
C
B
D
A
F
N
M
E
C
B
D
A
F
N
M
A
B
C
D
E
F
G
O
C
B
A
A1
B1
C1
D
C
B
A
A1
B1
C1
D
E
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
G
F
E
A
C
D
A
B
A
A
E
A
C
D
A
B
A
A
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
B
A
C
O
A
B
C
E
D
F第六部分——不等式
知识点总结精华
考试内容：
不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．
数学探索 版权所有www.考试要求：
数学探索 版权所有www.（1）理解不等式的性质及其证明．
数学探索 版权所有www.（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．
数学探索 版权所有www.（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．
数学探索 版权所有www.（4）掌握简单不等式的解法．
数学探索 版权所有www.（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│
不 等 式 知识要点
三.不等式、线性规划、算法
1.掌握课本上的几个不等式性质，注意使用条件，另外需要特别注意：
①若,,则.即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变.
②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论.
③取倒数:；；如，等价于或
2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法,零点分区间法.
3.掌握重要不等式,(1)均值不等式：若,则(当且仅当时取等号)使用条件：“一正二定三相等 ”， 常用的方法为：拆、凑、平方等；
(2)，(当且仅当时,取等号)；
(3)公式注意变形如：,；若,则(真分数的性质)；
4.证明不等式常用方法：
⑴比较法：作差比较：.注意：若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小；⑵综合法：由因导果；⑶分析法：执果索因.基本步骤：要证…需证…,只需证…； ⑷反证法：正难则反；
⑸放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的.
放缩法的方法有：①添加或舍去一些项,如：；.②将分子或分母放大(或缩小)③利用基本不等式,如：.④利用常用结论： ；
(程度大)； (程度小)；
⑹换元法：减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元、代数换元.
如：知,可设；,可设；
6.（1）一元二次不等式或分及情况分别解之，如设,是方程的两实根，且，则其解集如下表：
或 或
R
R R
如解关于的不等式：。
(2)指数不等式 ；；
对数不等式 （1）当时，；（2）当时，。
7．线性规划
二元一次不等式表示某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。不等式所表示的平面区域边界线画成实线。
说明：（1）取一个特殊点，从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域。（2）当两个点位于直线=0两侧，（或）
（3）求的最大值，将直线平移正方向服从；
（4）表示直线的右侧；表示直线上方；
（5）二元一次不等式表示的平面区域：
①法一：先把二元一次不等式改写成或的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域；法二：用特殊点判断； ②无等号时用虚线表示不包含直线，有等号时用实线表示包含直线；
③设点，，若与同号，则P，Q在直线的同侧，异号则在直线的异侧。如已知点A（—2，4），B（4，2），且直线与线段AB恒相交，则的取值范围是__________
（6）线性规划问题中的有关概念：
①满足关于的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件。
②关于变量的解析式叫目标函数，关于变量一次式的目标函数叫线性目标函数；
③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题；
④满足线性约束条件的解（）叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；
⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解；
（7）求解线性规划问题的步骤是什么？
①根据实际问题的约束条件列出不等式；②作出可行域，写出目标函数；
③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解。
不等式的基本概念
不等（等）号的定义：
不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.
同向不等式与异向不等式.
同解不等式与不等式的同解变形.
2.不等式的基本性质
（1）（对称性）
（2）（传递性）
（3）（加法单调性）
（4）（同向不等式相加）
（5）（异向不等式相减）
（6）
（7）（乘法单调性）
（8）（同向不等式相乘）
（异向不等式相除）
（倒数关系）
（11）（平方法则）
（12）（开方法则）
3.几个重要不等式
（1）
（2）（当仅当a=b时取等号）
（3）如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）
极值定理：若则：
如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小；
如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大.
利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.
（当仅当a=b=c时取等号）
（当仅当a=b时取等号）
（7）
4.几个著名不等式
（1）平均不等式： 如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：
特别地，（当a = b时，）
幂平均不等式：
注：例如：.
常用不等式的放缩法：①
②
（2）柯西不等式：
（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数
若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点有
则称f(x)为凸（或凹）函数.
5.不等式证明的几种常用方法
比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.
6.不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）.
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.
特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；
②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)解的讨论.
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
（3）无理不等式：转化为有理不等式求解
（4）.指数不等式：转化为代数不等式
（5）对数不等式：转化为代数不等式
（6）含绝对值不等式
应用分类讨论思想去绝对值； 应用数形思想；
应用化归思想等价转化
注：常用不等式的解法举例（x为正数）：
①
②
类似于，③
试题精粹
江苏省2011年高考数学联考试题
2．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2011届高三调研考试）已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则= ▲ ．（）
8．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2011届高三调研考试）已知点在由不等式组所确定的平面区域内，则所在的平面区域的面积为 ▲ ．（4）
14．（江苏省2010届苏北四市第一次联考）对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ▲ ．
13. （常州市2011届高三数学调研）已知，是原点，点的坐标满足，则（1）的最大值为 ；（2）的取值范围为 .；
14. （常州市2011届高三数学调研）曲线上的点到原点的距离的最小值为 .
6．（姜堰二中学情调查（三））若实数对（x，y）满足约束条件，则的最小值为 ．2
12. （泰州市2011届高三第一次模拟考试）已知正实数满足，则的最小值为 。；.
10．（江苏省南通市2011届高三第一次调研测试）若圆C：在不等式 HYPERLINK "http://www." 所表示的平面区域内，则的最小值
为 ▲ ． HYPERLINK "http://www."
8、（南通市六所省重点高中联考试卷）设 若－2≤x≤2，－2≤y≤2，则z的最小值为 ▲
13. （苏北四市2011届高三第一次调研考试）若关于x的不等式的解集中的整数恰有2个，则实数a的取值范围 是 ▲ ．
讲评建议：解决此题最好的方法是观察，故对条件两边开方，化为，再转化为函数数形结合解决，当然其它的方法也还是有的，教学中有必要展示学生解法，以体现学生的创造性。绝对值函数教学中要引起重视，绝对值函数即是分段函数。从二次函数角度也可以解决，主要是让学生了解决抛物线开口大小的是二次项系数绝对值的大小。若硬解二次不等式，会者也可解之，或直接解一次不等式，等等。
10、（宿迁市高三12月联考）设，则的最小值是___ ___；4
（无锡市1月期末调研）不等式对一切非零实数均成立，则实数的范围为 ▲ ．
13．（徐州市12月高三调研）若，且，则的最小值为 ▲ .4
10．（盐城市第一次调研）设满足约束条件,若目标函数的最大值为35,
则的最小值为 ▲ . 8
13. （苏北四市2011届高三第二次调研）已知实数满足，，则的取值范围是 ▲ ．
13. （苏州市2011届高三调研测试）已知的三边长满足，则的取值范围为 ▲ .
【解析】
通过求得可行域如图
因此可以看作是点到原点连线的斜率，。
试题精粹
江苏省2010年高考数学联考试题
一、填空题:
13．（江苏省南通市2010年高三二模）如图正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设（α、β∈R），则α+β的取值范围是 ▲ ．
14．（江苏省南通市2010年高三二模）设函数，．若存在，使得与同时成立，则实数a的取值范围是 ▲ ．
解析：由知，又存在，使得
知即或，另中恒过，故由函数的图象知：①若时, 恒大于0，显然不成立。
②若时，
③若时，，
另，显然不成立。
13．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）已知，对一切恒成立，则实数的取值范围为 。
解析：由“对一切恒成立”转化为“
的最大值，又知，可转化为求
“在上最大值”；因在上为减函数，的最大值为2；即的最大值为2，所以2；
可得或。
12．（江苏省泰州市2010届高三联考试题）点在两直线和之间的带状区域内（含边界），则
的最小值为______▲_______．
解析：由，又点在两直线和之间的带状区域内（含边界）得，根据二次函数知的最小值为5.
14．（江苏省泰州市2010届高三联考试题）已知实数满足：，且，则的最小值为______▲_______．
解析：由知，又可化，所以
，从而
（当且仅当时取“=”）
5．(江苏通州市2010年3月高三素质检测)已知a，b∈(0，+∞)， a+b=1，则ab的最大值为 ▲ ．
9．(江苏通州市2010年3月高三素质检测)若不等式2x2－3x+a＜0的解集为( m,1)，则实数m＝ ▲ ．
12．（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）若不等式对于任意正实数x，y总成立的必要不充分条件是，则正整数m只能取 ▲ ．1或2
9．（江苏省无锡市部分学校2010年4月联考试卷）平面上满足约束条件的点形成的区域为，区域关于直线对称的区域为，则区域和中距离最近两点的距离为 。
13．（江苏省盐城市2010年高三第二次调研考试）若二次函数的值域为，则的最小值为 ▲ .
5、（江苏省连云港市2010届高三二模试题）已知不等式对于,恒成立,则实数的取值范围是 ▲ .
13、（江苏省连云港市2010届高三二模试题）函数f(x)是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式 ＜0的解集为 ▲ ．（－，－1）∪（1，）
13．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）当时，恒成立，则实数的取值范围是_____________．
14．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）已知点与点在直线两侧，则下列说法：①；② 当时，有最小值无最大值；③，使恒成立；④当且，时，的取值范围为，其中正确说法的序号是_____________．③④
11. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）对于问题：“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”，给出如下一种解法：
参考上述解法，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ▲ .
3、（江苏省南京市2010年3月高三第二次模拟）若，且，则的最大值是 1
10、（江苏省南京市2010年3月高三第二次模拟）定义在R上的奇函数,当x∈（0，+∞）时，f(x) =,则不等式f(x)<-1的解集是 。
7．（江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷）设变量满足约束条件则的最大值是 。18
二、解答题
20．(江苏通州市2010年3月高三素质检测) (本小题满分16分)设为实数，函数.(1)若，求 ( http: / / www. )的取值范围；(2)求的最小值；(3)设函数，求不等式的解集.
（1）若，则
（2）当时， ( http: / / www. )
当时，
综上
（3）时，得， ( http: / / www. )
当时，；
当时，△>0,得：
讨论得：当时，解集为;
当时，解集为 ( http: / / www. );
当时，解集为.
20．（江苏省无锡市部分学校2010年4月联考试卷）（16分）已知函数。
（1）若证明：对于任意的两个正数，总有成立；
（2）若对任意的，不等式：恒成立，求的取值范围。
所以：在上为增函数。
即：
不等式解题方法
不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用．在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明．不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。
一、知识整合
1．解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化．在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一．通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰．
2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用．
3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰．
4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．
5．证明不等式的方法多样，内容丰富、技巧性较强．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的．
6．不等式应用问题体现了一定的综合性．这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件．利用不等式解应用题的基本步骤：1.审题，2.建立不等式模型，3.解数学问题，4.作答。
7．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．
二、方法技巧
1.解不等式的基本思想是转化、化归，一般都转化为最简单的一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来求解，。
2.解含参数不等式时，要特别注意数形结合思想，函数与方程思想，分类讨论思想的录活运用。
3．不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在掌握常规证法的基础上，选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。
4．根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法。
三、例题分析
b)∈M，且对M中的其它元素(c，d)，总有c≥a，则a=____．
分析：读懂并能揭示问题中的数学实质，将是解决该问题的突破口．怎样理解“对M中的其它元素(c，d)，总有c≥a”？M中的元素又有什么特点？
解：依题可知，本题等价于求函数x=f(y)=(y+3)·|y-1|+(y+3)
(2)当1≤y≤3时，
所以当y=1时，= 4．
简评：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集合元素的本质属性，然后结合条件，揭示
其数学实质．即求集合M中的元素满足关系式
例2．已知非负实数，满足且，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
解：画出图象，由线性规划知识可得，选D
例3．数列由下列条件确定：
（1）证明：对于,
（2）证明：对于．
证明：（1）
（2）当时，
=。
例4．解关于的不等式：
分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。
解：当
。
例5．若二次函数y=f(x)的图象经过原点，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的范围．
分析：要求f(-2)的取值范围，只需找到含人f(-2)的不等式(组)．由于y=f(x)是二次函数，所以应先将f(x)的表达形式写出来．即可求得f(-2)的表达式，然后依题设条件列出含有f(-2)的不等式(组)，即可求解．
解：因为y=f(x)的图象经过原点，所以可设y=f(x)=ax2+bx．于是
解法一(利用基本不等式的性质)
不等式组(Ⅰ)变形得
(Ⅰ)
所以f(-2)的取值范围是[6，10]．
解法二(数形结合)
建立直角坐标系aob，作出不等式组(Ⅰ)所表示的区域，如图6中的阴影部分．因为f(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率为2的直线系．如图6，当直线4a-2b-f(-2)=0过点A(2，1)，B(3，1)时，分别取得f(-2)的最小值6，最大值10．即f(-2)的取值范围是：6≤f(-2)≤10．
解法三(利用方程的思想)
又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而
1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，　　　　　　　　　　　　　　　　 ①
所以　　　 3≤3f(-1)≤6．　　　　　　　　　　　　　　　　 ②
①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10，即6≤f(-2)≤10．
简评：(1)在解不等式时，要求作同解变形．要避免出现以下一种错解：
2b，8≤4a≤12，-3≤-2b≤-1，所以 5≤f(-2)≤11．
(2)对这类问题的求解关键一步是，找到f(-2)的数学结构，然后依其数学结构特征，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题．若长期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高．
例6．设函数f(x)=ax2+bx+c的图象与两直线y=x，y=x，均不相交.试证明对一切都有.
分析：因为x∈R，故|f(x)|的最小值若存在，则最小值由顶点确定，故设f(x)=a(x-x0)2+f(x0)．
证明：由题意知，a≠0．设f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，则
又二次方程ax2+bx+c=±x无实根，故
Δ1=(b+1)2-4ac＜0，Δ2=(b-1)2-4ac＜0．
所以(b+1)2+(b-1)2-8ac＜0，即2b2+2-8ac＜0，即b2-4ac＜-1，所以|b2-4ac|＞1．
简评：从上述几个例子可以看出，在证明与二次函数有关的不等式问题时，如果针对题设条件，合理采取二次函数的不同形式，那么我们就找到了一种有效的证明途径．
例7．某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？
解：设2001年末的汽车保有量为，以后每年末的汽车保有量依次为，每年新增汽车万辆。由题意得
不
不等式过关测试
1．若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是
2．不等式组的解集是
3.若a＞b＞1，P＝，Q＝（lga＋lgb），R＝lg（），比较大小
4.不等式等于
5．设，函数，则使的的取值范围是
6．在直角坐标平面上，已知三角形ABC三个顶点的坐标为A（2,1）,B(-1,-2),C（3,-1）,则三角形ABC内部区域（包括三边）所表示的不等式组为
7.设关于x的方程的两个实根一个大于1，另一个小于1，则实数k的取值范围是
8. 函数的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为_______.
9.当时，不等式恒成立，则的取值范围是
10.若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是
11．已知变量，满足约束条件。若目标函数（其中）仅在点处取得最大值，则的取值范围为
12．汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率g（即每小时的汽油耗油量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度v（单位：km/h）之间有所示的函数关系：
“汽油的使用率最高”（即每千米汽油平均消耗量最小，单位：L/km），则汽油的使用率最
高时，汽车速度是 （km/h）
13.如果实数x、y满足(x－2)2+y2=3，那么的最大值是
14.已知两个正变量恒成立的实数m的取值范围是
15. 解关于的不等式：
16、设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ(λ<1)，画面的上下各留8cm的空白，左右各留5cm的空白，问怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果，那么为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？
参考答案1、6 2、{x|06、 7、 8、8 9、 10、ab≥9
11、 12、 13、 14、
15、简解：原不等式可化为：
①当时，原不等式的解集为
②当时，原不等式的解集为
③当时，原不等式的解集为
16、解：设画面的高为，宽为，则，设纸张面积为，则有
，当且仅当时，即时，取最小值，此时，高，宽.
如果，则上述等号不能成立.现证函数
S(λ)在上单调递增.设,
则
因为，
又，
所以，故在上单调递增,因此对，当时，取得最小值.
解：由的解集为，得的解集为，即关于的不等式的解集为．第14部分——实际应用题
试题精粹
江苏省2011年高考数学联考试题
11. （苏州市2011届高三调研测试）某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径，
满盘时直径，已知卫生纸的厚度为，
则满盘时卫生纸的总长度大约是 ▲ （取，精确到）.
【解析】
17．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2011届高三调研考试）（本小题满分14分）
如图所示，一科学考察船从港口出发，沿北偏东角的射线方向航行，而在离港口（为正常数）海里的北偏东角的A处有一个供给科考船物资的小岛，其中，．现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口正东m海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科考船，该船沿BA方向全速追赶科考船，并在C处相遇．经测算当两船运行的航向与海岸线OB围成的三角形OBC的面积最小时，这种补给最适宜．
⑴ 求S关于m的函数关系式；
⑵ 应征调m为何值处的船只，补给最适宜．
解 ⑴以O为原点，OB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
则直线OZ方程为． …………………………………………………………………2
设点， 则，，
即，又，所以直线AB的方程为．
上面的方程与联立得点 ……………………………5
……………………………8
⑵…………………12
当且仅当时，即时取等号， …………………………14
18．（淮阴中学、姜堰中学、前黄中学2011届第一次联考）（16分）某企业有两个生产车间分别在．两个位置，车间有100名员工，车间有400名员工，现要在公路上找一点，修一条公路，并在处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，已知．．中任意两点间的距离均是1，设，所有员工从车间到食堂步行的总路程为.
（1）写出关于的函数表达式，并指出的取值范围；
（2）问食堂建在距离多远时，可使总路程最少？

18．解：（1）在中，∵，
∴，.则. （6分）
其中 . （8分）
（2） （12分）
令，得. 当时，，是的单调减函数；
当时，，是的单调增函数.
∴当时，取得最小值. 此时，， （14分）
. （答略） （16分）
18、（江苏省2010届苏北四市第一次联考）(本小题满分16分)
某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产，已知该厂连续生产个月的累计产量为吨，但如果产量超过96吨，将会给环境造成危害.
（1）请你代表环保部门给厂拟定最长的生产周期；
（2）若该厂在环保部门的规定下生产，但需要每月交纳万元的环保税，已知每吨产品售价万元，第个月的工人工资为万元，若每月都赢利，求出的范围.
18、解：（1）第个月的月产量=. ……………3分
，
. ……………………………………………………6分
令
…………………………………………………………………9分
（2）若每月都赢利，则恒成立.
即恒成立，…………………………………………12分
令…………14分
所以.…………………………………………………………………………16分
17．（姜堰二中学情调查（三））（本小题满分14分）
如图：设工地有一个吊臂长的吊车，吊车底座高，现准备把一个底半径为高的圆柱形工件吊起平放到高的桥墩上，问能否将工件吊到桥墩上？（参考数据：）
吊车能把工件吊上的高度取决于吊臂的张角，
由图可知，
． ………　6分
所以，由
得时，有最大值，
………12分
所以吊车能把圆柱形工件吊起平放到高的桥墩上． ………　14分
17. （泰州市2011届高三第一次模拟考试）(本小题满分14分)
某地区的农产品第天的销售价格（元∕百斤），一农户在第天农产品的销售量（百斤）。
（1）求该农户在第7天销售农产品的收入；
（2）问这20天中该农户在哪一天的销售收入最大？
17. ⑴由已知第7天的销售价格，销售量. ∴第7天的销售收入 (元) . ……………………………………………………（3分）
⑵设第天的销售收入为，则.…（6分）
当时，.（当且仅当时取等号）∴当时取最大值.………………………………（9分）
当时，.（当且仅当时取等号）∴当时取最大值. …………………………（12分）
由于，∴第2天该农户的销售收入最大. …………………………（13分）
答：⑴第7天的销售收入2009元；⑵第2天该农户的销售收入最大. …………（14分）
17．（江苏省南通市2011届高三第一次调研测试）（本题满分15分）
如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数 HYPERLINK "http://www." ，时的图象，且图象的最高点为B（－1，2）。赛道的中间部分为长 HYPERLINK "http://www." 千米的直线跑道CD，且CD// EF。赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧．
（1）求的值和 HYPERLINK "http://www." 的大小；
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且 HYPERLINK "http://www." ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时的值．
解：（1）由条件，得 HYPERLINK "http://www." ，． ……………………………………………………………2分
∵ HYPERLINK "http://www." ，∴．……………………………………………………………………4分
∴ 曲线段FBC的解析式为 HYPERLINK "http://www." ．
当x=0时，．又CD= HYPERLINK "http://www." ，∴．……………7分
（2）由（1），可知 HYPERLINK "http://www." ．
又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P在弧DE上，故．……………8分
设 HYPERLINK "http://www." ，，“矩形草坪”的面积为
HYPERLINK "http://www."
=．…………………………………13分
∵ HYPERLINK "http://www." ，故取得最大值．………………………15分
18、（南通市六所省重点高中联考试卷）（本题满分15分）甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方每年向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入．乙方在不赔付甲方的情况下，乙方的年利润（元）与年产量（吨）满足函数关系．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方元（以下称为赔付价格）．
（1）将乙方的年利润（元）表示为年产量（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；
（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格是多少？
解：(1)乙方的实际年利润为： ．
，当时，取得最大值．
　　 所以乙方取得最大年利润的年产量 (吨)． ………………7分
　(2)设甲方净收入为元，则．
　将代入上式，得：．
　　　　又
　　　　令，得．
　　　　当时，；当时，，所以时，取得最大值．
　　　　因此甲方向乙方要求赔付价格 (元／吨)时，获最大净收入．　
………………15分
19. （苏北四市2011届高三第一次调研考试）（本小题满分16分）
如图1，OA，OB是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤，线段CD和曲线EF分别是湖泊中的一条栈桥和防波堤.为观光旅游需要，拟过栈桥CD上某点分别修建与OA，OB平行的栈桥MG，MK，且以MG，MK为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK．建立如图2所示的直角坐标系，测得CD的方程是，曲线EF的方程是，设点的坐标为．（题中所涉及长度单位均为米，栈桥及防波堤都不计宽度）
（1）求三角形观光平台MGK面积的最小值；
（2）若要使的面积不小于320平方米，求的范围．
讲评建议：此题当初（1）是求的最小值，
但两问题过于孤单，且不好设问题，另外量太大了，
两个模型。后只保留现在的（1），但作为倒数第二题，
份量又轻了，最后设计成现在的形式。
对于（2）可以解两次不等式，也可以利用（1）中的单调性，
解一次方程，解一次不等式，建议大家解一次方程，解一次不等式，
因为（1）中提供条件、得出的结论要考虑（2）是否需要。
讲评中求的最小值最好加上去。
19．（1）由题意，得， ，
又因为在线段CD：上，
所以，
……………4分
由，得，当且仅当，时等号成立.
……………………………………6分
令，则，.
又,故在上单调递减，
（注意：若在上单调递减未证明扣1分）
所以，此时，.
所以三角形MGK面积的最小值为225平方米. ……………………………………10分
（2）由题意得，
当，解得或（舍去），
由（1）知， ……………………………………14分
即，解之得.
所以的范围是．………………………………………………………16分
17、（宿迁市高三12月联考）（本题满分14分）某森林出现火灾，火势正以每分钟的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元．
（1）设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，试建立与的函数关系式；
（2）问应该派多少名消防队员前去救火，才能使总损失最少？
（总损失＝灭火材料、劳务津贴等费用＋车辆、器械和装备费用＋森林损失费）
17、解：（1） ………5分
（2）总损失为y，则y＝灭火劳务津贴＋车辆、器械和装备费＋森林损失费
y＝125tx＋100x＋60（500＋100t） …………9分
＝ …………10分
＝
＝ …………11分
…………12分
当且仅当，即x＝27时，y有最小值36450． …………13分
答：略 …………14分
17．（无锡市1月期末调研）（本小题满分14分）
已知 A、B两地相距，以AB为直径作一个半圆，在半圆上取一点C，连接AC、BC，在三角形ABC内种草坪（如图），M、N分别为弧AC、弧BC的中点，在三角形AMC、三角形BNC上种花，其余是空地．设花坛的面积为，草坪的面积为，取．
用及R表示和；
求的最小值．
17．（1）因为，则，
则．………………………………………3分
设AB的中点为O，连MO、NO，则．
易得三角形AMC的面积为， ……………………………………………5分
三角形BNC的面积为， …………………………………………………7分
∴+
　　　． ……………………………………………………8分
（2）∵，………………………………10分
令，则．
∴． ……………………………………………………………………12分
∴的最小值为．…………………………………………………………………………14分
18．（徐州市12月高三调研）(本小题满分16分)
某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示. 其上部分是以为直径的半圆，点为圆心，下部分是以为斜边的等腰直角三角形，是两根支杆，其中米，. 现在弧、线段与线段上装彩灯，在弧、弧、线段与线段上装节能灯. 若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为，节能灯的比例系数为，假定该霓虹灯整体的“心悦效果”是所有灯“心悦效果”的和.
（Ⅰ）试将表示为的函数；
（Ⅱ）试确定当取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳？
18．解：（Ⅰ）因为,所以弧EF、AE、BF的长分别为…3分
连接OD，则由OD=OE=OF=1，，所以
…………6分
所以
…………………………………9分
（Ⅱ）因为由…………………………………11分
解得，即 …………………………………………13分
又当时，，所以此时y在上单调递增；
当时，，所以此时y在上单调递减.
故当时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳 …………………16分
18．（盐城市第一次调研）(本小题满分14分)
因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中.为了治污,根据环保部门的建议,现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放,且个单位的药剂,它在水中释放的浓度(克/升)随着时间(天)变化的函数关系式近似为,其中.
若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,
当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时,它才能起到有效治污的作用.
（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达几天
（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂,6天后再投放个单位的药剂,要使接下来的4天中能够持续有效治污,试求的最小值(精确到0.1,参考数据:取1.4).
18．解：（Ⅰ）因为,所以………………………………1分
则当时,由,解得,所以此时……………… 3分
当时,由,解得,所以此时………………………5分
综合,得,若一次投放4个单位的制剂,则有效治污时间可达8天………… 6分
（Ⅱ）当时,……………………………9分
==,因为,而,
所以,故当且仅当时,y有最小值为 …………12分
令,解得,所以的最小值为 ………14分
17. （苏北四市2011届高三第二次调研）（本小题满分14分）
据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为．现已知相距18的A，B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为，它们连线上任意一点C处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和．设（）．
（1）试将表示为的函数；
（2）若，且时，取得最小值，试求的值．
17．解：（1）设点C受A污染源污染程度为，点C受B污染源污染程度为，其中为比例系数，且． ……………………………………………………………………4分
从而点C处受污染程度． …………………………………………6分
（2）因为，所以，， ……………………………8分
，令，得， ……………………………12分
又此时，解得，经验证符合题意．
所以，污染源B的污染强度的值为8． ……………………………14分
17. （苏州市2011届高三调研测试）（本小题满分14分）
有一隧道既是交通拥挤地段，又是事故多发地段.为了保证安全，交通部门规定，隧道内的车距正比于车速的平方与车身长的积，且车距不得小于一个车身长（假设所有车身长均为）.而当车速为时，车距为1.44个车身长.
⑴求通过隧道的最低车速；
⑵在交通繁忙时，应规定怎样的车速，可以使隧道在单位时段内通过的汽车数量最多？
17.【解析】（1）依题意，设，其中是待定系数，
因为当时，
所以，，
所以
因为，所以，
所以最低车速为
(2)因为两车间距为，则两辆车头间的距离为
一小时内通过汽车的数量为，
因为所以
所以当即时，单位时段内通过的汽车数量最多.
试题精粹
江苏省2010年高考数学联考试题
19．(江苏通州市2010年3月高三素质检测)（本小题满分16分）
某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交a元（1≤a≤3）的管理费，预计当每件商品的售价为元（8≤x≤9）时，一年的销售量为(10－x)2万件．
（1）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件商品的售价x的函数关系式L(x)；
（2）当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大，并求出L的最
大值M(a)．
18．（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）(本小题满分16分)
如图，ABCD是正方形空地，边长为30m，电源在点P处，点P到边AD，AB距离分别为m，m．某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕，．线段MN必须过点P，端点M，N分别在边AD，AB上，设AN=x（m），液晶广告屏幕MNEF的面积为S(m2)．21世纪教育网
(1) 用x的代数式表示AM；
（2）求S关于x的函数关系式及该函数的定义
域；
（3）当x取何值时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小？
19．（江苏省无锡市部分学校2010年4月联考试卷）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。
（Ⅰ）试写出关于的函数关系式；
（Ⅱ）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？（16分）
19．解 （Ⅰ）设需要新建个桥墩，
所以
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，
令，得，所以=64
当0<<64时<0， 在区间（0，64）内为减函数；
当时，>0. 在区间（64，640）内为增函数，
所以在=64处取得最小值，此时，
故需新建9个桥墩才能使最小。
17、（江苏省连云港市2010届高三二模试题）（14分）某县为了贯彻落实党中央国务院关于农村医疗保险(简称“医保”)政策，制定了如下实施方案：2009年底通过农民个人投保和政府财政投入，共集资1000万元作为全县农村医保基金，从2010年起，每年报销农民的医保费都为上一年底医保基金余额的10%，并且每年底县财政再向医保基金注资m万元(m为正常数).
（1）以2009年为第一年，求第n年底该县农村医保基金有多少万元？
（2）根据该县农村人口数量和财政状况，县政府决定每年年底的医保基金要逐年增加，同时不超过1500万元，求每年新增医保基金m(单位：万元)应控制在什么范围内。
17．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）（本小题满分14分）
某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为元。假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为元。
（1）试写出关于的函数关系式，并写出定义域；
（2）当米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？
17．（本小题满分14分）
19.（2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁和外壁都是半径为的四分之一圆弧，，分别与圆弧相切于，两点，∥，∥，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是．
（1）若水平放置的木棒的两个端点分别在外壁和上，且木棒与内壁圆弧相切于点．设，试用表示木棒的长度；
（2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值．
即．
答：一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为．17．（江苏省泰州市2010届高三联考试题）（本小题满分14分）
甲、乙两水池某时段的蓄水量随时间变化而变化，甲水池蓄水量（百吨）与时间t（小时）的关系是：，乙水池蓄水量（百吨）与时间t（小时）的关系是：．问：何时甲、乙两水池蓄水量之和达到最大值？最大值为多少？
（参考数据：）．
18．（江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷如图所示，某市政府决定在以政府大楼为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径 ，，与之间的夹角为.
（1）将图书馆底面矩形的面积表示成的函数.
（2）若，求当为何值时，矩形的面积有最大值？
其最大值是多少？(精确到0.01m2)
18．【解】（Ⅰ）由题意可知，点M为的中点，所以.
设OM于BC的交点为F，则，.
.
所以
，.
（Ⅱ）因为，则.所以当 ，即 时，S有最大值. .
故当时，矩形ABCD的面积S有最大值838.35m2.
应用问题的题型与方法
数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一， 也是考生失分较多的一种题型. 高考中一般命制一道解答题和两道选择填空题.解答这类问题的要害是能阅读、理解陈述的材料，深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化，能结合应用所学数学知识、思想方法解决问题，包括解决带有实际意义的或者相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确的加以表述.考生的弱点主要表现在将实际问题转化成数学问题的能力上.实际问题转化为数学问题，关键是提高阅读能力即数学审题能力，审出函数、方程、不等式、等式，要求我们读懂材料，辨析文字叙述所反应的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，抽象其中的数量关系，将文字语言叙述转译成数学式符号语言，建立对应的数学模型解答.可以说，解答一个应用题重点要过三关：一是事理关，即读懂题意，需要一定的阅读理解能力；二是文理关，即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关，即构建相应的数学模型，构建之后还需要扎实的基础知识和较强的数理能力.
由于数学问题的广泛性，实际问题的复杂性，干扰因素的多元性，更由于实际问题的专一性，这些都给学生能读懂题目提供的条件和要求，在陌生的情景中找出本质的内容，转化为函数、方程、不等式、数列、排列、组合、概率、曲线、解三角形等问题.
一、知识整合
1．“考试大纲”对于“解决实际问题的能力”的界定是：能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括提炼、解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述.并且指出：对数学应用问题，要把握好提出问题所涉及的数学知识和方法的深度和广度，切合中学数学教学实际.
2．应用问题的“考试要求”是考查考生的应用意识和运用数学知识与方法来分析问题解决问题的能力，这个要求分解为三个要点：
（1）、要求考生关心国家大事，了解信息社会，讲究联系实际，重视数学在生产、生活及科学中的应用，明确“数学有用，要用数学”，并积累处理实际问题的经验.
（2）、考查理解语言的能力，要求考生能够从普通语言中捕捉信息，将普通语言转化为数学语言，以数学语言为工具进行数学思维与交流.
（3）、考查建立数学模型的初步能力，并能运用“考试大纲”所规定的数学知识和方法来求解.
3．求解应用题的一般步骤是（四步法）：
（1）、读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系；
（2）、建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；
（3）、求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；
（4）、评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证.
4．在近几年高考中，经常涉及的数学模型，有以下一些类型：数列模型、函数模型、不等式模型、三角模型、排列组合模型等等.
Ⅰ．函数模型 函数是中学数学中最重要的一部分内容，现实世界中普遍存在着的最优化问题，常常可归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法去解决.
⑴ 根据题意，熟练地建立函数模型；
⑵ 运用函数性质、不等式等知识处理所得的函数模型.
Ⅱ．几何模型 诸如航行、建桥、测量、人造卫星等涉及一定图形属性的应用问题，常常需要应用几何图形的性质，或用方程、不等式或用三角函数知识来求解.
Ⅲ．数列模型 在经济活动中，诸如增长率、降低率、存款复利、分期付款等与年（月）份有关的实际问题，大多可归结为数列问题，即通过建立相应的数列模型来解决.在解应用题时，是否是数列问题一是看自变量是否与正整数有关；二是看是否符合一定的规律，可先从特殊的情形入手，再寻找一般的规律.
二、例题分析
例1．某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现有增加22％，人均粮食产量比现在提高10％，如果人口年增长率为1％，那么耕地每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？
（粮食单产＝ ； 人均粮食产量＝）
分析：此题以关系国计民生的耕地、人口、粮食为背景，给出两组数据，要求考生从两条线索抽象数列模型，然后进行比较与决策.
解：1.读题：问题涉及耕地面积、粮食单产、人均粮食占有量、总人口数及三个百分率，其中人均粮食占有量P＝， 主要关系是：P≥P .
2.建模：设耕地面积平均每年至多减少x公顷，现在粮食单产为a吨／公顷，现在人口数为m，则现在占有量为，10年后粮食单产为a(1＋0.22)，人口数为m(1＋0.01)，耕地面积为（10－10x）.
∴ ≥（1＋0.1）
即 1.22（10－10x）≥1.1×10×（1＋0.01）
3.求解： x≤10－×10×（1＋0.01）
∵ （1＋0.01）＝1＋C×0.01＋C×0.01＋C×0.01＋…≈1.1046
∴ x≤10－995.9≈4（公顷）
4.评价：答案x≤4公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无误，故可作答.（答略）
另解：1.读题：粮食总产量＝单产×耕地面积； 粮食总占有量＝人均占有量×总人口数；
而主要关系是：粮食总产量≥粮食总占有量
2.建模：设耕地面积平均每年至多减少x公顷，现在粮食单产为a吨／公顷，现在人口数为m，则现在占有量为，10年后粮食单产为a(1＋0.22)，人口数为m(1＋0.01)，耕地面积为（10－10x）.
∴ a(1＋0.22)×(1O－10x)≥×(1＋0.1)×m(1＋0.01)
3.求解： x≤10－×10×（1＋0.01）
∵ （1＋0.01）＝1＋C×0.01＋C×0.01＋C×0.01＋…≈1.1046
∴ x≤10－995.9≈4（公顷）
4.评价：答案x≤4公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无误，故可作答.（答略）
说明：本题主要是抓住各量之间的关系，注重3个百分率.其中耕地面积为等差数列，总人口数为等比数列模型，问题用不等式模型求解.本题两种解法，虽都是建立不等式模型，但建立时所用的意义不同，这要求灵活掌握，还要求对指数函数、不等式、增长率、二项式定理应用于近似计算等知识熟练.此种解法可以解决有关统筹安排、最佳决策、最优化等问题.此种题型属于不等式模型，也可以把它作为数列模型，相比之下，主要求解过程是建立不等式模型后解出不等式.
在解答应用问题时，我们强调“评价”这一步不可少！它是解题者的自我调节，比如本题求解过程中若令1.01≈1，算得结果为x≤98公顷，自然会问：耕地减少这么多，符合国家保持耕地的政策吗？于是进行调控，检查发现是错在1.01的近似计算上.
A
M C D B
例2．已知某市1990年底人口为100万，人均住房面积为5m，如果该市每年人口平均增长率为2％，每年平均新建住房面积为10万m，试求到2000年底该市人均住房面积（精确到0.01）？
分析：城市每年人口数成等比数列，每年住房总面积成等比数列，分别写出2000年后的人口数、住房总面积，从而计算人均住房面积.
解：1.读题：主要关系：人均住房面积＝
2.建模：2000年底人均住房面积为
3.求解：化简上式＝，
∵ 1.02＝1＋C×0.02＋C×0.02＋C×0.02＋…≈1.219
∴ 人均住房面积为≈4.92
4.评价：答案4.92符合城市实际情况，验算正确，所以到2000年底该市人均住房面积为4.92m.
说明：一般地，涉及到利率、产量、降价、繁殖等与增长率有关的实际问题，可通过观察、分析、归纳出数据成等差数列还是等比数列，然后用两个基础数列的知识进行解答.此种题型属于应用问题中的数列模型.
例3．如图，一载着重危病人的火车从O地出发，沿射线OA行驶，其中
在距离O地5a（a为正数）公里北偏东β角的N处住有一位医学专家，其中
sinβ= 现有110指挥部紧急征调离O地正东p公里的B处的救护车赶往N处载上医学专家全速追赶乘有重危病人的火车，并在C处相遇，经测算当两车行驶的路线与OB围成的三角形OBC面积S最小时，抢救最及时.
（1）求S关于p的函数关系；
（2）当p为何值时，抢救最及时.
解：（1）以O为原点，正北方向为y轴建立直角坐标系，
则
设N（x0，y0），
又B（p，0），∴直线BC的方程为：
由得C的纵坐标
，∴
（2）由（1）得 ∴，∴当且仅当时，上式取等号，∴当公里时，抢救最及时.
例4．甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米／时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v（千米／时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元.
① 把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米／时）的函数，并指出函数的定义域；
② 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
分析：几个变量（运输成本、速度、固定部分）有相互的关联，抽象出其中的函数关系，并求函数的最小值.
解：（读题）由主要关系：运输总成本＝每小时运输成本×时间，
（建模）有y＝(a＋bv)
（解题）所以全程运输成本y（元）表示为速度v（千米／时）的函数关系式是：
y＝S(＋bv)，其中函数的定义域是v∈(0，c] .
整理函数有y＝S(＋bv)＝S(v＋)，
由函数y＝x＋ (k>0)的单调性而得：
当当≥c时，则v＝c时，y取最小值.
综上所述，为使全程成本y最小，当说明：1.对于实际应用问题，可以通过建立目标函数，然后运用解（证）不等式的方法求出函数的最大值或最小值，其中要特别注意蕴涵的制约关系，如本题中速度v的范围，一旦忽视，将出现解答不完整.此种应用问题既属于函数模型，也可属于不等式模型.
2.二次函数、指数函数以及函数（a＞0，b＞0）的性质要熟练掌握.
3.要能熟练地处理分段函数问题.
例5．（2003年普通高等学校招生全国统一考试(理工农医类20)）
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.
在时刻：（1）台风中心P（）的坐标为
此时台风侵袭的区域是
其中若在t时刻城市O受到台风
的侵袭，则有
即
答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
例6．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.
甲 乙 丙
维生素A（单位/千克） 600 700 400
维生素B（单位/千克） 800 400 500
成本（元/千克） 11 9 4
（1）用x，y表示混合食物成本c元；
（2）确定x，y，z的值，使成本最低.
解:（1）依题意得 .
（2）由 ， 得
，
当且仅当时等号成立.，
∴当x=50千克，y=20千克，z=30千克时，混合物成本最低为850元.
说明：线性规划是高中数学的新增内容， 涉及此类问题的求解还可利用图解法.
例7．（2003年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷文史类19））
有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=13km，BC=10km.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）
（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，
点P应位于何处？
（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，
点P应位于何处？
分析：本小题主要考查函数，不等式等基本知识，
考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.
（Ⅰ）解：设P的坐标为（0，），则P至三
镇距离的平方和为
所以，当时，函数取得最小值. 答:点P的坐标是
（Ⅱ）解法一：P至三镇的最远距离为
由解得记于是
因为在[上是增函数，而上是减函数. 所以时，函数取得最小值. 答:点P的坐标是
解法二：P至三镇的最远距离为
由解得记于是
函数的图象如图，因此，
当时，函数取得最小值.答:点P的坐标是
解法三：因为在△ABC中，AB=AC=13，且，
所以△ABC的外心M在线段AO上，其坐标为，
且AM=BM=CM. 当P在射线MA上，记P为P1；当P在射线
MA的反向延长线上，记P为P2，
这时P到A、B、C三点的最远距离为
P1C和P2A，且P1C≥MC，P2A≥MA，所以点P与外心M
重合时，P到三镇的最远距离最小.
答:点P的坐标是
例7．A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B
队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：
对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率
A1对B1
A2对B2
A3对B3
现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η
（1）求ξ、η的概率分布；
（2）求Eξ，Eη.
分析：本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力.
解：（1）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0.
，
根据题意知ξ+η=3，所以 P(η=0)=P(ξ=3)=， P(η=1)=P(ξ=2)=
P(η=2)=P(ξ=1)= ， P(η=3)=P(ξ=0)= .
（2）； 因为ξ+η=3，所以
例8．某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一
旦发生，将造成400万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.（总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.）
解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望为400×0.3=120（万元）；
②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为
1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.1=40（万元），所以总费用为45+40=85（万元）
③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，
损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30+60=90（万元）；
④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发事件的概
率为（1－0.9）（1－0.85）=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75+6=81（万元）.
综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费
用最少.
例9．某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆
解：设2001年末汽车保有量为万辆，以后各年末汽车保有量依次为万辆，万辆，……，每年新增汽车万辆，则
，
所以，当时，，两式相减得：
（1）显然，若，则，即，此时
（2）若，则数列为以为首项，以为公比的等比数列，所以，.
（i）若，则对于任意正整数，均有，所以，，此时，
（ii）当时，，则对于任意正整数，均有，所以，，
由，得
，
要使对于任意正整数，均有恒成立，
即
对于任意正整数恒成立，解这个关于x的一元一次不等式 ， 得
，
上式恒成立的条件为：，由于关于的函数单调递减，所以，.
说明：本题是2002年全国高考题，上面的解法不同于参考答案，其关键是化归为含参数的不等式恒成立问题，其分离变量后又转化为函数的最值问题.
例10．（2004年重庆卷）某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量（吨）与每吨产品的价格（元/吨）之间的关系式为：,且生产x吨的成本为（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本）
解：每月生产x吨时的利润为
，故它就是最大值点，且最大值为：
答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.
Z
东
北
A
B
C
O
C
D
B
A
E
F
G
H
图1
图2
图2
S
T
D
O
A
B
E
F
第18题
2x
N
M
P
F
E
D
C
B
A
（第18题图）
N
M
A
B
C
D
E
F
G
H
P
Q
1m EMBED Equation.DSMT4
1m EMBED Equation.DSMT4
A
B
C
D
M
O
P
Q
F第六部分——平面向量
知识点总结精华
1.本章知识网络结构
?
2.向量的概念?
(1)向量的基本要素：大小和方向.?(2)向量的表示：几何表示法 ；字母表示：a；
坐标表示法 a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.?
(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜.?
(4)特殊的向量：零向量a＝O｜a｜＝O.?
单位向量aO为单位向量｜aO｜＝1.?
(5)相等的向量：大小相等，方向相同?(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）
(6) 相反向量：a=-bb=-aa+b=0
(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量.?
3.向量的运算?
运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质
向量的加法 1.平行四边形法则2.三角形法则
向量的减法 三角形法则 ,
数乘向量 1.是一个向量,满足:2.>0时, 同向;<0时, 异向;=0时, .
向量的数量积 是一个数1.时，.2.
4.重要定理、公式
(1)平面向量基本定理?
e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，
λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.?
(2)两个向量平行的充要条件?
a∥ba＝λb(b≠0)x1y2－x2y1＝O.?
(3)两个向量垂直的充要条件?
a⊥ba·b＝Ox1x2＋y1y 2＝O.?
(4)线段的定比分点公式?
设点P分有向线段所成的比为λ，即＝λ，则?
＝＋ (线段的定比分点的向量公式)?
(线段定比分点的坐标公式)?
当λ＝1时，得中点公式：?
＝（＋）或
(5)平移公式
设点P(x，y)按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P′（x′，y′），
则＝+a或
曲线y＝f（x）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为：
y－ｋ＝f（x－ｈ)
(6)正、余弦定理?
正弦定理：
余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，?
b2＝c2＋a2－2cacosB，?
c2＝a2＋b2－2abcosC.?
（7）三角形面积计算公式：
设△ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r.
①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S△=Pr ③S△=abc/4R
④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△= [海伦公式]
⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb
[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心.
如图：
图1中的I为S△ABC的内心， S△=Pr
图2中的I为S△ABC的一个旁心，S△=1/2（b+c-a）ra
附：三角形的五个“心”；
重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心：三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心：三角形三边上的高相交于一点.
旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.
⑸已知⊙O是△ABC的内切圆，若BC=a，AC=b，AB=c [注：s为△ABC的半周长,即]
则：①AE==1/2（b+c-a）
②BN==1/2（a+c-b）
③FC==1/2（a+b-c）
综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）.
特例：已知在Rt△ABC，c为斜边，则内切圆半径r=（如图3）.
⑹在△ABC中，有下列等式成立.
证明：因为所以，所以，结论！
⑺在△ABC中，D是BC上任意一点，则.
证明：在△ABCD中，由余弦定理，有①
在△ABC中，由余弦定理有②，②代入①，化简
可得，（斯德瓦定理）
①若AD是BC上的中线，；
②若AD是∠A的平分线，，其中为半周长；
③若AD是BC上的高，，其中为半周长.
⑻△ABC的判定：
△ABC为直角△∠A + ∠B =
＜△ABC为钝角△∠A + ∠B＜
＞△ABC为锐角△∠A + ∠B＞
附：证明：，得在钝角△ABC中，
⑼平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.
空间向量
1．空间向量的概念：
具有大小和方向的量叫做向量
注：⑴空间的一个平移就是一个向量
⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量
⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示
2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下
运算律：⑴加法交换律：
⑵加法结合律：
⑶数乘分配律：
3共线向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．
当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．
4．共线向量定理及其推论：
共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数λ，使＝λ.
推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于任意一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t满足等式
．
其中向量叫做直线的方向向量.
5．向量与平面平行：
已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：．
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量
说明：空间任意的两向量都是共面的
6．共面向量定理：
如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使
推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有 ①
①式叫做平面的向量表达式
7空间向量基本定理：
如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使
推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个
有序实数，使
8空间向量的夹角及其表示：
已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：.
9．向量的模：
设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：.
10．向量的数量积： ．
已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，作点在上的射影，作点在上的射影，则叫做向量在轴上或在上的正射影.
可以证明的长度．
11．空间向量数量积的性质：
（1）．（2）．（3）．
12．空间向量数量积运算律：
（1）．（2）（交换律）（3）（分配律）．
空间向量的坐标运算
一．知识回顾：
（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.
①令=(a1,a2,a3),，则
∥
(用到常用的向量模与向量之间的转化：)
②空间两点的距离公式：.
（2）法向量：若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果那么向量叫做平面的法向量.
（3）用向量的常用方法：
①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中，则点B到平面的距离为.
②利用法向量求二面角的平面角定理：设分别是二面角中平面的法向量，则所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（方向相同，则为补角，反方，则为其夹角）.
③证直线和平面平行定理：已知直线平面，，且CDE三点不共线，则a∥的充要条件是存在有序实数对使.（常设求解若存在即证毕，若不存在，则直线AB与平面相交）.
内心是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。
外心是三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。 （是充要条件）
重心是三条中线的交点，它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
垂心是三条高的交点，它能构成很多直角三角形相似。
与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有：
设，则向量必平分∠BAC，该向量必通过△ABC的内心;
设，则向量必平分∠BAC的邻补角
设，则向量必垂直于边BC，该向量必通过△ABC的垂心
△ABC中一定过的中点，通过△ABC的重心
点是△ABC的外心
点是△ABC的重心
点是△ABC的垂心
点是△ABC的内心 (其中a、b、c为△ABC三边)
△ABC的外心、重心、垂心共线，即∥
设为△ABC所在平面内任意一点，G为△ABC的重心，，I为△ABC的内心，
则有
并且重心G（，） 内心I（，）
试题精粹
江苏省2011年高考数学联考试题
10．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2011届高三调研考试）在中，，是内一点，且满足，则= ▲ ．（-3）
7．（江苏省2010届苏北四市第一次联考）在△ABC中，分别为三个内角A，B，C的对边，设向量，，若⊥，则角A的大小为 ▲ ．
10．（江苏省2010届苏北四市第一次联考）已知，其中，若，则的值等于 ▲ ．1
11、（南通市六所省重点高中联考试卷）在△ABC中，，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），
且，则等于 ▲
11. （苏北四市2011届高三第一次调研考试）在△ABC中，点M满足，若 ，则实数m的值为 ▲ ．
讲评建议：一种思维是对已知向量向目标向量分解，一种思维是理解已知向量条件的几何意义，既点M是三角形ABC的重心，再结合，三角形向量的中线形式，此问题观察即可解决，所以掌握相关结论，有了结论便利于联想。
6．（苏州市2011届高三调研测试）设分别是的斜边上的两个三等分点，已知,则 ▲ .
【解析】
16．（淮阴中学、姜堰中学、前黄中学2011届第一次联考）（14分）已知向量, ,
（1）若为中点，，求．的值；
（2）若是直角三角形，求的值。
16．解：(1) ∵ （1分）
而 ∴， （7分）
（2）①当时， ∴ （9分）
②当时，∵ （10分）
∴ ∴ （12分）
③当时，，∴
综上 或 （14分）
16、（南通市六所省重点高中联考试卷）（本题满分14分）已知向量，，，
其中、、为的内角.
(Ⅰ)求角的大小；
(Ⅱ)若，，成等差数列，且，求的长.
解：(Ⅰ) ………………………(2分)
对于，
………………………(4分)
又， ………………………(7分)
(Ⅱ)由，
由正弦定理得 ………………………(9分)
，
即 ……………………(12分)
由余弦弦定理，
， …………………(14分)
16．（无锡市1月期末调研）(本小题满分14分)
已知△ABC中，,,,．
（1）求；
（2）设，且已知 ，，求sinx．
16．（1）由已知，即，
∵ ∴，………………………………………………………………2分
∵， ∴， ………………………………………………………3分
在Rt△BCD 中，,
又, ∴， …………………………5分
∴． …………………………………………………………………6分
（2）在△ABC中，， ∴． ……………………………………………7分
即， ， ……………………………………9分
而， …………………………………………………………10分
则， ………………………………………………12分
∴，∴ ． ……………………………………14分
１．（无锡市1月期末调研）已知，点M在直线OC上运动，当取最小时，求点M的坐标．
1．设，…………………………………………………………………………2分
　　∴， ……………………………………………………………3分
， ……………………………………………………………4分
∴ ………………………………………6分
， …………………………………………………………………………8分
∴当时，最小．此时． ………………………………………………10分
16．（徐州市12月高三调研）(本小题满分14分)
设的三个内角所对的边分别为，且满足.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，试求的最小值.
16．解：（Ⅰ）因为，所以，
即，则 …………4分
所以，即，所以………………8分
（Ⅱ）因为，所以，即…12分
所以=，即的最小值为………………14分
试题精粹
江苏省2010年高考数学联考试题
一、填空题:
13．（江苏省南通市2010年高三二模）如图正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设（α、β∈R），则α+β的取值范围是 ▲ ．
1．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）已知向量=（1，1）与向量=（，）垂直，则= 。
解析：由与垂直得
12．（江苏省无锡市部分学校2010年4月联考试卷）已知是的内心，若，则 。
答案：
解析：此题用到平几中的角平分线定理，如不清楚此定理，较难做对。
13．（江苏省泰州市2010届高三联考试题）等腰直角三角形中，，，是边上的高，为的中点，点分别为边和边上的点，且关于直线对称，当时，______▲_______．
2. (江苏通州市2010年3月高三素质检测)已知向量和向量的夹角为，，则向量和向量的数量积= ▲。 ( http: / / www. )3
13．(江苏通州市2010年3月高三素质检测)如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝1，点M，N分别是AB，BC的中点，点P是△ABC（包括边界）内任一点．则的取值范围为
▲ ．高考资源网
（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）已知两个单位向量,的夹角为，若向量，，则= ▲ ． 0
4．（江苏省盐城市2010年高三第二次调研考试）已知向量，若，则实数= ▲ .-1
6、（江苏省连云港市2010届高三二模试题）已知A（－3，0），B（0，），O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝60°，＝λ＋，则实数λ的值是 ▲ ．
11．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）在中，已知D是AB边上一点，若，，则_____________．
3. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）已知向量，，若∥，则实数等于 ▲ .
12. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）如图，在平面四边形中，若， 则 ▲ .5
9、（江苏省南京市2010年3月高三第二次模拟）若平面向量a,b满足｛a+b｝=1,a+b平行于y轴，a=(2,-1),则b= 。（-2，2）或（-2，0）
10．（江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷）已知是平面上不共线三点，设为线段垂直平分线上任意一点，若，，则的值为 .12
二、解答题
15．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）（本题满分14分）
如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，
（1）若，求， 的值；
（2）若，，，且与的夹角为60°时，求 的值。
解析：
（1）∵，
∴，即， 3分
∴，即， 5分
（2）∵，
∴，即 7分
∴ 8分
∴， 9分
10分
12分
14分
16．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）（本小题满分14分）
在平行四边形中，设，，已知，
，其中；
（1）求的值；（2）求的值。
平面向量与解析几何解题方法
在高中数学新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。用向量法解决解析几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果。著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。
一、知识整合
平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。 向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。
二、例题解析
例1、椭圆的焦点为FF，点P为其上的动点，当∠FP F为钝角时，点P横坐标的取值范围是___。
解：F1（－,0）F2（,0）,设P（3cos,2sin）
为钝角
∴
=9cos2－5＋4sin2=5 cos2－1<0
解得： ∴点P横坐标的取值范围是（）
点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。
例2、已知定点A(-1,0)和B(1,0)，P是圆(x-3)2+(y-4)2=4上的一动点，求的最大值和最小值。
分析：因为O为AB的中点，所以故可利用向量把问题转化为求向量的最值。
解：设已知圆的圆心为C，由已知可得：
又由中点公式得
所以
=
=
=
又因为 点P在圆(x-3)2+(y-4)2=4上,
所以 且
所以
即 故
所以的最大值为100，最小值为20。
点评：有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现，但如果运用向量知识来解决，也会显得自然、简便，而且易入手。
例3、O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心
分析：因为同向的单位向量，由向量加法的平行四边形则知是与∠ABC的角平分线（射线）同向的一个向量，又，知P点的轨迹是∠ABC的角平分线，从而点P的轨迹一定通过△ABC的内心。
反思：根据本题的结论，我们不难得到求一个角的平分线所在的直线方程的步骤；
由顶点坐标（含线段端点）或直线方程求得角两边的方向向量；
求出角平分线的方向向量
由点斜式或点向式得出角平分线方程。{直线的点向式方程：过P（），其方向向量为，其方程为}
例4、（2003年天津）已知常数，向量，经过原点以为方向向量的直线与经过定点以为方向向量的直线相交于点，其中．试问：是否存在两个定点，使得为定值，若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．
（本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.）
解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.
∵， ∴=（λ，a），=（1，－2λa）.
因此，直线OP和AP的方程分别为 和 .
消去参数λ，得点的坐标满足方程.
整理得 ……① 因为所以得：
（i）当时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；
（ii）当时，方程①表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点；
（iii）当时，方程①也表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点.
点评：本题以平面向量为载体，考查求轨迹的方法、利用方程判定曲线的性质、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。去掉平面向量的背景，我们不难看到，本题即为下题：
在△OAP中，O（0，0）、A（0，a）为两个定点，另两边OP与AP的斜率分别是，求P的轨迹。
例5．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若，求直线PQ的方程；
（3）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明.
分析：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力.
（1）解：由题意，可设椭圆的方程为.
由已知得解得
所以椭圆的方程为，离心率.
（2）解：由（1）可得A（3，0）.
设直线PQ的方程为.由方程组
得
依题意，得.
设，则， ① . ②
由直线PQ的方程得.于是
. ③
∵，∴. ④
由①②③④得，从而.
所以直线PQ的方程为或
（2）证明：.由已知得方程组
注意，解得
因，故
.
而，所以.
三、总结提炼
由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使向量与解析几何之间有着密切联系，而新课程高考则突出了对向量与解析几何结合考查，这就要求我们在平时的解析几何教学与复习中，应抓住时机，有效地渗透向量有关知识，树立应用向量的意识。应充分挖掘课本素材，在教学中从推导有关公式、定理，例题讲解入手，让学生去品位、去领悟，在公式、定理的探索、形成中逐渐体会向量的工具性，逐渐形成应用向量的意识，在教学中还应注重引导学生善于运用一些问题的结论，加以引申，使之成为解题方法，体会向量解题的优越性，在教学中还应注重引导学生善于运用向量方法解题，逐步树立运用向量知识解题的意识。
向量与复数单元测试
1．设a是实数，且是实数，则
2.设点，,若点在直线上，且.则点的坐标为
3.已知向量，，且，则x为_____________
4.已知向量，若与垂直，则
5.若向量的夹角为，，则 .
6.复数等于
7. 向量，，若与平行，则等于
8.与向量，夹角相等的单位向量的坐标
9.如图，在中，是边上一点，则
.
10.设，已知两个向量，
，则向量长度的最大值是
11.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的值为
12.虚数（x－2）+ yi其中x、y均为实数，当此虚数的模为1时，的取值范围是
13、 已知,⑴ 设.⑵ 如果求实数的值.
14、已知,,当为何值时，
（1）与垂直？ （2）与平行？平行时它们是同向还是反向？
15.已知之间有关系，其中k＞0,
（1）用k表示 ；②求的最小值，并求此时夹角的大小。
参考答案
1、1 2、或 3、4 4、2 5、2 6、 7、
8、 9、 10、 11、2
12、
13、解:⑴ ∵, ∴.
⑵
由已知得 .
14、解：
（1），
得
（2），得
此时，所以方向相反 ( http: / / wxc. / )
15、解：①:∵ ∴
即 ∴
∵，所以∴
②: ∵,∴
∴的最小值为
又∵ ∴
∴
C
A
B
M
N
P
（第13题）
A
第12题
C
D
B
A
B
C
D
P
C
y
x
A
o
B
11题
B
A
C
D
第9题第四部分——三角函数
知识点总结精华
1. ①与（0°≤＜360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：
②终边在x轴上的角的集合：
③终边在y轴上的角的集合：
④终边在坐标轴上的角的集合：
⑤终边在y=x轴上的角的集合：
⑥终边在轴上的角的集合：
⑦若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：
⑧若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：
⑨若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：
⑩角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：
2. 角度与弧度的互换关系：360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
弧度与角度互换公式： 1rad＝°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝≈0.01745（rad）
3、弧长公式：. 扇形面积公式：
4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则 ； ； ； ； ；. .
5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）
6、三角函数线
正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.
7. 三角函数的定义域：
三角函数 定义域
sinx
cosx
tanx
cotx
secx
cscx
8、同角三角函数的基本关系式：
9、诱导公式： “奇变偶不变，符号看象限”
三角函数的公式：（一）基本关系
公式组二 公式组三
公式组四 公式组五 公式组六
（二）角与角之间的互换
公式组一 公式组二
公式组三 公式组四 公式组五
10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：
（A、＞0）
定义域 R R R
值域 R R
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 当非奇非偶当奇函数
单调性 上为增函数；上为减函数（） ；上为增函数上为减函数（） 上为增函数（） 上为减函数（） 上为增函数；上为减函数（）
注意：①与的单调性正好相反；与的单调性也同样相反.一般地，若在上递增（减），则在上递减（增）.
②与的周期是.
③或（）的周期.
的周期为2（，如图，翻折无效）.
④的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称中心（）.
⑤当·；·.
⑥与是同一函数,而是偶函数，则
.
⑦函数在上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，为增函数，同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：，奇函数：）
奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：是奇函数，是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）
奇函数特有性质：若的定义域，则一定有.（的定义域，则无此性质）
⑨不是周期函数；为周期函数（）；
是周期函数（如图）；为周期函数（）；
的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：
.
⑩
其中tan =b/a 且 所在的象限与（ ，b）相同
,,,.
11、三角函数图象的作法：
１）、几何法：
２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.
３）、利用图象变换作三角函数图象．
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．
函数y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期，频率，相位初相（即当x＝0时的相位）．（当A＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），
由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A替换y）
由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的倍，得到y＝sinω x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx替换x)
由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x)
由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到y＝sinx＋b的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y）
由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。
试题精粹
江苏省2011年高考数学联考试题
12．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2011届高三调研考试）在斜三角形中，角所对的边分别为，若，则
▲ ．（3）
8．（淮阴中学、姜堰中学、前黄中学2011届第一次联考）在中，，且的面积，则的值= .（4 ）
10．（淮阴中学、姜堰中学、前黄中学2011届第一次联考）已知，，则的值= .（）
12. （常州市2011届高三数学调研）设函数，其中是非零常数.（1）若是增函数，则的取值范围是____________；
10．（姜堰二中学情调查（三））若A是锐角三角形的最小内角，则函数的值域为 ．
14. （泰州市2011届高三第一次模拟考试）已知是锐角的外接圆的圆心，且，若,则 。；（用表示）
9．（江苏省南通市2011届高三第一次调研测试）函数，又 HYPERLINK "http://www." ，，且 HYPERLINK "http://www." 的最小值等于，则正数 HYPERLINK "http://www." 的值为 ▲ ．1
14．（江苏省南通市2011届高三第一次调研测试）已知等腰三角形腰上的中线长为，则该三角形的面积的最大值是 ▲ ．2
7、（南通市六所省重点高中联考试卷）设，则函数(的最小值是 ▲
12、（南通市六所省重点高中联考试卷）已知函数，R，则，，的大小关系为 ▲
4、（宿迁市高三12月联考）若将函数的图像向右平移个单位长度后，得到一个奇函数的图象，则的最小值为___ ___；
（无锡市1月期末调研）已知，则= ▲ ．
7．（徐州市12月高三调研）已知函数 HYPERLINK "http://www." ，则的值为 ▲ .
8．（盐城市第一次调研）观察下列几个三角恒等式:
①；
②；
③.
一般地,若都有意义,你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为 ▲ .
15．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2011届高三调研考试）（本小题满分14分）
是单位圆与轴正半轴的交点，点在单位圆上，
四边形的面积为
⑴求的最大值及此时的值；
⑵设点在⑴的条件下求．
15．解: ⑴由已知 ……………………………………3
，
又
故的最大值是，此时, ……………………………………8
⑵ ……………………………………10
=．……………………………………14
15．（姜堰二中学情调查（三））（本小题满分14分）
在△ABC中，分别为角A、B、C的对边，，=3, △ABC的面积为6
⑴求角A的正弦值；
⑵求边b、c；
15．（本小题满分14分）
在△ABC中，分别为角A、B、C的对边，，=3, △ABC的面积为6 ⑴求角A的正弦值； ⑵求边b、c；
解：（1） ………　7分
（2），20
由及20与=3解得b=4，c=5或b=5,c= 4 ………　7分
16. （泰州市2011届高三第一次模拟考试）(本小题满分14分)
已知，，。
（1）若，记，求的值；
（2）若，，且∥，求证：。
16. ⑴∵，∴. ……………………………………（3分）
∴ ……………………………………（5分）
. …………………………………………………………………………（7分）
⑵∵，∥，∴.
………………………………………………（9分）
又∵，，∴………………………（12分）
. ……………………………………………………（14分）
16、（宿迁市高三12月联考）（本题满分14分）在中，角的对边分别为，且满足。
（1）求角的大小；
（2）设，试求的最小值。
16、解：（1），
由正弦定理得：……………2分
,
化为
,……………4分
,得，……………7分
(2) ……………8分
…………12分
.从而……………13分
取得最小值，
所以，的最小值为。 ……………14分
15．（盐城市第一次调研）(本小题满分14分)
如图,为坐标原点,点均在⊙O上,点,
点在第二象限,点.
（Ⅰ）设,求的值；
（Ⅱ）若为等边三角形,求点的坐标.
15．解：（Ⅰ）因为,所以……………6分
（Ⅱ）因为为等边三角形,所以,所以
……………………………………………………………………10分
同理, ,故点的坐标为…………………14分
9. （苏北四市2011届高三第二次调研）在△中，角的对边分别是，
若，，，则△的面积是 ▲ ．
15. （苏北四市2011届高三第二次调研）（本小题满分14分）
已知函数.
（1）求的值；
（2）求的最大值及相应的值．
15.（1）
…………………………………………………2分
…………………………………………………………………………………………6分
（1）
…………………10分
，………………………………………………12分
当时，，
此时，即，……………………………………………14分
试题精粹
江苏省2010年高考数学联考试题
一、填空题:
11．（江苏省南通市2010年高三二模）已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则的单调递增区间是 ▲ ．
12．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）如图，两座相距60的建筑物AB、CD的高度分别为20m、50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 。
解析：由图知直角三角形ABD中AB=20m,BD=60m,则AD= m,同理易得AC= m,在中得A=.
6．（江苏省无锡市部分学校2010年4月联考试卷）函数的最大值与最小值的积是 。
解析：
，所以：最大与最小值的积为。
11．（江苏省无锡市部分学校2010年4月联考试卷）若，，则的大小关系是 。
解析：我们知道当时，且为减函数，从而：
（当时，），所以。
2．（江苏省泰州市2010届高三联考试题）若函数的最小正周期为，则正实数______▲_______．
解析：由函数的最小正周期为知，则正实数2.
4．（江苏省泰州市2010届高三联考试题），，其中，则______▲_______．
解析：由 ，，其中，知
则,又因为得
.
4. (江苏通州市2010年3月高三素质检测)将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是____________▲________________ .
1．（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）函数的最小正周期为 ▲ ．
12、（江苏省连云港市2010届高三二模试题） 在中，，，分别表示它的斜边长，内切圆半径和面积，则的取值范围是 ▲ ．
13、（江苏省连云港市2010届高三二模试题）函数f(x)是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式 ＜0的解集为 ▲ ．（－，－1）∪（1，）
3．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）在上是减函数，则_____________．
12．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）
（其中），则_____________．
9. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象.若在上为增函数，则的最大值为 ▲ . 2
14、（江苏省南京市2010年3月高三第二次模拟）已知定义域为D的函数f(x),如果对任意x∈D,存在正数K, 都有∣f(x)∣≤K∣x∣成立，那么称函数f(x)是D上的“倍约束函数”，已知下列函数：①f(x)=2x②=；③=；④=，其中是“倍约束函数的是 。①③④
二、解答题
16．（江苏省南通市2010年高三二模）（本小题满分14分）
已知向量，其中．
（1）若，求函数的最小值及相应x的值；
（2）若a与b的夹角为，且a⊥c，求的值．
15. (江苏通州市2010年3月高三素质检测)（本小题满分14分）
在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知 ( http: / / www. )，且 求b
15．（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）(本小题满分14分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）若△ABC的面积，求a的值．
15．解：（1） ∵==，
∴． …………………………………2分
∵，， ∴．
∵，
∴==． ……………………………5分
（2）∵，∴为锐角，
∴．
∵，
， ………………………8分
∴=
=． ………………………10分
（3）∵， ∴，．
∴． ……………12分
又∵S=，
∴， ∴． ……………………14分
17．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）（本题满分14分）
设函数的定义域为，
值域为。
（1）求，的值；
（2）若，求的值。
15．（江苏省无锡市部分学校2010年4月联考试卷）（14分）（1）设，若对任意的，都有关于的等式
恒成立，试求的值；
（2）在中，三边所对的角依次为，且，
，且，求的值。
15、（江苏省连云港市2010届高三二模试题）（14分）中，角的对边分别为，且．
（1）判断的形状；
（2）设向量，，且，，求．
15、解：（1）由题，故，
由正弦定理，即．
又，故，
因，故．
即，故为直角三角形． ．．．．．．．．．．．．．．7分
（2）由于，所以 ①
且，即 ②
联立①②解得，故在直角中，．．．．．．．14分
20．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）（本小题满分16分）
已知函数 ，
（Ⅰ）若在上存在最大值与最小值，且其最大值与最小值的和为，试求和的值。
（Ⅱ）若为奇函数，
（1）是否存在实数，使得在为增函数，为减函数，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
（2）如果当时，都有恒成立，试求的取值范围。
　16．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）（本小题满分14分）
在平行四边形中，设，，已知，
，其中；
（1）求的值；（2）求的值。
所以，即， （9分）
由（1）得，又，
所以，
，
， （12分）
。 （14分）
15. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）在平面直角坐标系中，点在角的终边上，点在角的终边上，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
15.（1）因为，所以，
即，所以，
所以．………………………………………………6分
（2）因为 ，所以，所以，，
又点在角的终边上，所以， ．
同理 ，，
所以．…14分
16．（江苏省泰州市2010届高三联考试题）（本小题满分14分）
在中，角所对的对边长分别为；
（1）设向量，向量，
向量，若，求的值；
（2）已知，且，求．
解：（1），
由，得， （4分）
即
所以； （7分）
（2）由已知可得，，
则由正弦定理及余弦定理有：， （10分）
化简并整理得：，又由已知，所以，
解得，所以 ． （14分）
15．（江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷（本题满分14分）已知角、、是的内角，分别是其对边长，向量，，.
（1）求角的大小；
（2）若求的长.
三角函数解题技巧
高考试题中的三角函数题相对比较传统，难度较低，位置靠前，重点突出。因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。
方法技巧
1.三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=－等。
（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。
（4）引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。
2.证明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。
（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。
4.解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
例题分析
例1．已知，求（1）；（2）的值.
解：（1）；
(2)
.
说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。
例2．求函数的值域。
解：设，则原函数可化为
，因为，所以
当时，，当时，，
所以，函数的值域为。
例3．已知函数。
（1）求的最小正周期、的最大值及此时x的集合；
（2）证明：函数的图像关于直线对称。
解：
(1)所以的最小正周期，因为，
所以，当，即时，最大值为；
(2)证明：欲证明函数的图像关于直线对称，只要证明对任意，有成立，
因为，
，
所以成立，从而函数的图像关于直线对称。
例4． 已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1 （x∈R）,
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
解：（1）y=cos2x+sinx·cosx+1= (2cos2x－1)+ +（2sinx·cosx）+1
=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+
=sin(2x+)+
所以y取最大值时，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即 x=+kπ,（k∈Z）。
所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}
（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：
（i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x+)的图像；
（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像；
（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像；
（iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图像。
综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像。
说明：本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降幂后最终化成y=sin (ωx+)+k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题（1）还可以解法如下：当cosx=0时，y=1；当cosx≠0时，y=+1=+1
化简得：2(y－1)tan2x－tanx+2y－3=0
∵tanx∈R，∴△=3－8(y－1)(2y－3) ≥0,解之得：≤y≤
∴ymax=，此时对应自变量x的值集为{x|x=kπ+,k∈Z}
例5．已知函数
（Ⅰ）将f(x)写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标；
（Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域.
解：
（Ⅰ）由=0即
即对称中心的横坐标为
（Ⅱ）由已知b2=ac
即的值域为.
综上所述， ， 值域为 .
说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。
例6．在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，
(1)求的值；
(2)若，且a=c，求的面积。
解：(1)由正弦定理及，有，
即，所以，
又因为，，所以，因为，所以，又，所以。
(2)在中，由余弦定理可得，又，
所以有，所以的面积为
。
例7．已知向量
，且，
(1)求函数的表达式；
(2)若，求的最大值与最小值。
解：(1)，，，又，
所以，
所以，即；
(2)由(1)可得，令导数，解得，列表如下：
t －1 (－1，1) 1 (1，3)
导数 0 － 0 +
极大值 递减 极小值 递增
而所以。
例8．已知向量，
求的值；
(2)若的值。
解：(1)因为
所以
又因为，所以，
即；
(2) ，
又因为，所以 ，
，所以，所以
例9．平面直角坐标系有点
求向量和的夹角的余弦用表示的函数；
求的最值.
解：（1），
即
（2） ， 又 ，
， ， .
说明：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意。
三角函数过关测试
1、已知___________．
2、若是方程的解，其中，，则 ．
3、已知，则=___________．
4、函数的最小正周期为________．
5、定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当
时，，则的值为________．
6、在锐角△ABC中，已知，则的取值范围是 ．
7、已知的周长为，且，的面积为，
则角= ．
8、已知，，则_______．
9、下面有5个命题：
①函数的最小正周期是．
②终边在轴上的角的集合是．
③在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有3个公共点．
④把函数的图象向右平移得到的图象．
⑤函数在上是减函数．
其中，真命题的编号是______ _____（写出所有真命题的编号）．
10、如图，在中，是边上一点，则
.
11、已知，（1）求的值；（2）求的值。
12、已知.
13、如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别交单位圆于两点．已知两点的横坐标分别是，．
（1）求的值； （2）求的值．
参考答案
1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、
8、 9、①④ 10、
11、（1）解：
由，有， 解得
（2）解法一：
解法二：由（1），，得
∴ ∴
于是，
代入得
12、由题设条件，应用两角差的正弦公式得
即 ①
由题设条件，应用二倍角余弦公式得
故 ②
由①式和②式得 .因此，，由两角和的正切公式
13、1）由已知条件即三角函数的定义可知，
因故，从而
同理可得 ，因此.
所以=;
（2）,
从而由 得 .
b
a
b
a
y









)
sin(
sin
cos
2
2
O
x
y
C
A
B
第15题
A
B
C
D
B
A
C
D
第10题
B
A
x
y
O第九部分——直线和圆的方程
知识点总结精华
考试内容：
数学探索 版权所有www.直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式．
数学探索 版权所有www.两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的距离．
数学探索 版权所有www.用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题．
数学探索 版权所有www.曲线与方程的概念．由已知条件列出曲线方程．
数学探索 版权所有www.圆的标准方程和一般方程．圆的参数方程．
数学探索 版权所有www.考试要求：
数学探索 版权所有www.（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．
数学探索 版权所有www.（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．
数学探索 版权所有www.（3）了解二元一次不等式表示平面区域．
数学探索 版权所有www.（4）了解线性规划的意义，并会简单的应用．
数学探索 版权所有www.（5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法．
数学探索 版权所有www.（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。理解圆的参数方程．
§07. 直线和圆的方程 知识要点
一、直线方程.
1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是.
注：①当或时，直线垂直于轴，它的斜率不存在.
②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.
2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.
特别地，当直线经过两点，即直线在轴，轴上的截距分别为时，直线方程是：.
注：若是一直线的方程，则这条直线的方程是，但若则不是这条线.
附：直线系：对于直线的斜截式方程，当均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果变化时，对应的直线也会变化.①当为定植，变化时，它们表示过定点（0，）的直线束.②当为定值，变化时，它们表示一组平行直线.
3. ⑴两条直线平行：
∥两条直线平行的条件是：①和是两条不重合的直线. ②在和的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.
（一般的结论是：对于两条直线，它们在轴上的纵截距是，则∥，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分条件，且）
推论：如果两条直线的倾斜角为则∥.
⑵两条直线垂直：
两条直线垂直的条件：①设两条直线和的斜率分别为和，则有这里的前提是的斜率都存在. ②，且的斜率不存在或，且的斜率不存在. （即是垂直的充要条件）
4. 直线的交角：
⑴直线到的角（方向角）；直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是，当时.
⑵两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有.
5. 过两直线的交点的直线系方程为参数，不包括在内）
6. 点到直线的距离：
⑴点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有.
注：
两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：.
特例：点P(x,y)到原点O的距离：
定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2).则
特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。
直线的倾斜角（0°≤＜180°）、斜率:
过两点.
当（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角＝，没有斜率
⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线，它们之间的距离为，则有.
注；直线系方程
1. 与直线：Ax+By+C= 0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( m R, C≠m).
2. 与直线：Ax+By+C= 0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.( m R)
3. 过定点（x1,y1）的直线系方程是： A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B不全为0)
4. 过直线l1、l2交点的直线系方程：（A1x+B1y+C1）+λ( A2x+B2y+C2）=0 (λ R） 注：该直线系不含l2.
7. 关于点对称和关于某直线对称：
⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.
⑵关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.
若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.
⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.
注：①曲线、直线关于一直线（）对称的解法：y换x，x换y. 例：曲线f(x ,y)=0关于直线y=x–2对称曲线方程是f(y+2 ,x –2)=0.
②曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a – x, 2b – y)=0.
二、圆的方程.
1. ⑴曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线上的 与一个二元方程的实数建立了如下关系：
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.
⑵曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点其坐标与方程的一种关系，曲线上任一点是方程的解；反过来，满足方程的解所对应的点是曲线上的点.
注：如果曲线C的方程是f(x ,y)=0，那么点P0(x0 ,y)线C上的充要条件是f(x0 ,y0)=0
2. 圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是.
特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：.
注：特殊圆的方程：①与轴相切的圆方程
②与轴相切的圆方程
③与轴轴都相切的圆方程
3. 圆的一般方程： .
当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.
当时，方程表示一个点.
当时，方程无图形（称虚圆）.
注：①圆的参数方程：（为参数）.
②方程表示圆的充要条件是：且且.
③圆的直径或方程：已知（用向量可征）.
4. 点和圆的位置关系：给定点及圆.
①在圆内
②在圆上
③在圆外
5. 直线和圆的位置关系：
设圆圆：； 直线：；
圆心到直线的距离.
①时，与相切；
附：若两圆相切，则相减为公切线方程.
②时，与相交；
附：公共弦方程：设
有两个交点，则其公共弦方程为.
③时，与相离.
附：若两圆相离，则相减为圆心的连线的中与线方程.
由代数特征判断：方程组用代入法，得关于（或）的一元二次方程，其判别式为，则：
与相切；
与相交；
与相离.
注：若两圆为同心圆则，相减，不表示直线.
6. 圆的切线方程：圆的斜率为的切线方程是过圆
上一点的切线方程为：.
①一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特别地，过圆上一点的切线方程为.
②若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则，联立求出切线方程.
7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD四类共圆. 已知的方程…① 又以ABCD为圆为方程为…②
…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即为所求.
三、曲线和方程
1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线C和方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：
1） 曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解（纯粹性）；
2） 方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上（完备性）。则称方程f(x,y)=0为曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x,y)=0的曲线。
2.求曲线方程的方法：.
1）直接法：建系设点，列式表标,简化检验; 2）参数法; 3）定义法， 4）待定系数法.
试题精粹
江苏省2011年高考数学联考试题
4．（江苏省2010届苏北四市第一次联考）直线l过点（-1，2）且与直线垂直，则直线l的方程是 ▲ ．
6. （常州市2011届高三数学调研）已知：圆M： ，直线的倾斜角为，与圆M交于P、Q两点，若(O为原点)，则在轴上的截距为 .
13．（姜堰二中学情调查（三））在平面直角坐标系xOy中，设直线和圆相切，其中m，，若函数 的零点，则k= ．0
11. （泰州市2011届高三第一次模拟考试）过直线上一点作圆的线，若关于直线对称，则点到圆心的距离为 。
11．（江苏省南通市2011届高三第一次调研测试）在平面直角坐标系中，已知A（0，－1），B（－3，－4）两点，若点C在 HYPERLINK "http://www." 的平分线上，且，则点C的坐标是 ▲ ． HYPERLINK "http://www."
13、（南通市六所省重点高中联考试卷）设M1(0，0)，M2(1，0)，以M1为圆心，| M1 M2 | 为半径作圆交x轴于点M3 (不同于M2)，记作⊙M1；以M2为圆心，| M2 M3 | 为半径作圆交x轴于点M4 (不同于M3)，记作⊙M2；……；
以Mn为圆心，| Mn Mn+1 | 为半径作圆交x轴于点Mn+2 (不同于Mn+1)，记作⊙Mn；……
当n∈N*时，过原点作倾斜角为30°的直线与⊙Mn交于An，Bn．考察下列论断：
当n＝1时，| A1B1 |＝2；
当n＝2时，| A2B2 |＝；
当n＝3时，| A3B3 |＝；
当n＝4时，| A4B4 |＝；
……
由以上论断推测一个一般的结论：对于n∈N*，| AnBn |＝ ▲
11、（宿迁市高三12月联考）若三条直线共有三个不同的交点，则实数满足的条件是___ ___；
12．（徐州市12月高三调研）已知直线与圆：相交于两点，若点M在圆上，且有（为坐标原点），则实数= ▲ .0
9．（盐城市第一次调研）已知点关于直线的对称点为,则圆关于直线对称的圆的方程为 ▲ .
10.（苏州市2011届高三调研测试）已知圆与圆相交，
则实数的取值范围为 ▲ .
【解析】由得该圆圆心坐标为，半径为，圆的圆心坐标在圆内，因此两圆相切的可能性只有两种：圆内切于圆此时圆内切于圆，此时所以
14. （苏州市2011届高三调研测试）在平面直角坐标系中，点是第一象限内曲线上的一个动点，点处的切线与两个坐标轴交于两点,则的面积的最小值为 ▲ .
【解析】设切点为，则切线的斜率，切线方程为，，所以
17、（南通市六所省重点高中联考试卷）（本题满分15分）已知圆，相互垂直的两条直线、都过点.
（Ⅰ）当时，若圆心为的圆和圆外切且与直线、都相切，求圆的方程；
（Ⅱ）当时，求、被圆所截得弦长之和的最大值，并求此时直线的方程.
解：（Ⅰ）设圆的半径为，易知圆心到点的距离为，
∴……………………………………………………………4分
解得且∴圆的方程为…………………7分
（Ⅱ）当时，设圆的圆心为，、被圆所截得弦的中点分别为，弦长分别为，因为四边形是矩形，所以,即
，化简得 …………………………10分
从而，等号成立，
时，，
即、被圆所截得弦长之和的最大值为 …………………………………13分
此时，显然直线的斜率存在，设直线的方程为：，则
，，
∴直线的方程为：或 …………………………15分
试题精粹
江苏省2010年高考数学联考试题
一、填空题:
9．（江苏省南通市2010年高三二模）设圆的一条切线与轴、轴分别交于点A、B，则线段AB长度的最小值为 ▲ ．
解析：设切点为D,,则连接OD知
,从而得到
,所以线段AB
,则线段AB长度的最小值为2.
8．(江苏通州市2010年3月高三素质检测)已知两圆(x－1)2+(y－1)2＝r2和(x+2)2+(y+2)2＝R2相交于P,Q两点，若点P坐标为(1,2)，则点Q的坐标为 ▲ ．（2，1）
（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）在平面直角坐标系中，设直线：与圆：相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆上，则实数k= ▲ ．0
8．（江苏省无锡市部分学校2010年4月联考试卷）设圆的一条切线与轴、轴分别交于点，则的最小值为 。2
7．（江苏省盐城市2010年高三第二次调研考试）已知圆的弦的中点为，则弦的长为 ▲ . 4
7、（江苏省连云港市2010届高三二模试题）已知两圆(x－1)2+(y－1)2＝r2和(x+2)2+(y+2)2＝R2相交于P,Q两点，若点P坐标为(1,2)，则点Q的坐标为 ▲ ．
8、（江苏省南京市2010年3月高三第二次模拟）过点（1，2）的直线与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，当D的面积最小时，直线的方程是
11．（江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷已知三点，，， ， ，矩形的顶点、分别在的边、上，、都在边上，不管矩形如何变化，它的对角线、的交点恒在一条定直线上，那么直线的方程是 。
二、解答题
18．(江苏通州市2010年3月高三素质检测)（本小题满分15分）
如图，已知圆O：x2+y2=2交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，其右焦点为F．若点P(－1,1)为圆O上一点，连结PF，过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的右准线l于点Q．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）证明：直线PQ与圆O相切．
18．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）（本小题满分16分）
已知半椭圆和半圆
组成曲线，其中；如图，半椭圆
内切于矩形，
且交轴于点，点是半圆上
异于的任意一点，当点位于点时，
的面积最大。
（1）求曲线的方程；
（2）连、交分别于点，求证：为定值。
18．（本小题满分16分）
18. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）已知抛物线的顶点在坐标原点，准线的方程为，点在准线上，纵坐标为，点在轴上，纵坐标为．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切，并求出圆的方程。
18.（1）设抛物线的方程为，
因为准线的方程为，所以，即，
因此抛物线的方程为． …………………………………………4分
（2）由题意可知，，,
则直线方程为：，
即，……………………………………………………8分
设圆心在轴上，且与直线相切的圆的方程为，
则圆心到直线的距离， …………………10分
即①或②
由①可得对任意恒成立，则有
，解得（舍去）……………………………………14分
由②可得对任意恒成立，则有
，可解得
因此直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切，圆的方程为.
………………………………………………………………………………………16分
配方法、待定系数法、换元法
一、知识整合
配方法、待定系数法、换元法是几种常用的数学基本方法.这些方法是数学思想的具体体现,是解决问题的手段,它不仅有明确的内涵,而且具有可操作性,有实施的步骤和作法.
配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧,由于这种配成“完全平方”的恒等变形,使问题的结构发生了转化,从中可找到已知与未知之间的联系,促成问题的解决.
待定系数法的实质是方程的思想,这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中,从而通过解方程(或方程组)求得未知数.
换元法是一种变量代换,它是用一种变数形式去取代另一种变数形式,从而使问题得到简化,换元的实质是转化.
二、例题解析
例1．已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为( ).
(A) (B) (C)5 (D)6
分析及解：设长方体三条棱长分别为x,y,z,则依条件得：
2(xy+yz+zx)=11,4(x+y+z)=24.而欲求的对角线长为,因此需将对称式写成基本对称式x+y+z及xy+yz+zx的组合形式,完成这种组合的常用手段是配方法.故=62-11=25
∴ ,应选C.
例2．设F1和F2为双曲线的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°,则ΔF1PF2的面积是( ).
(A)1 (B) (C)2 (D)
分析及解：欲求 (1),而由已知能得到什么呢？
由∠F1PF2=90°,得 (2),
又根据双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=4 (3),那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联系呢？我们发现将(3)式完全平方,即可找到三个式子之间的关系.即,
故∴ ,∴ 选(A).
注：配方法实现了“平方和”与“和的平方”的相互转化.
例3．设双曲线的中心是坐标原点,准线平行于x轴,离心率为,已知点P(0,5)到该双曲线上的点的最近距离是2,求双曲线方程.
分析及解：由题意可设双曲线方程为,∵,∴a=2b,因此所求双曲线方程可写成： (1),故只需求出a可求解.
设双曲线上点Q的坐标为(x,y),则|PQ|= (2),∵点Q(x,y)在双曲线上,∴(x,y)满足(1)式,代入(2)得|PQ|= (3),此时|PQ|2表示为变量y的二次函数,利用配方法求出其最小值即可求解.
由(3)式有(y≥a或y≤-a).
二次曲线的对称轴为y=4,而函数的定义域y≥a或y≤-a,因此,需对a≤4与a>4分类讨论.
(1)当a≤4时,如图(1)可知函数在y=4处取得最小值,
∴令,得a2=4
∴所求双曲线方程为.
(2)当a>4时,如图(2)可知函数在y=a处取得最小值,
∴令,得a2=49,
∴所求双曲线方程为.
注：此题是利用待定系数法求解双曲线方程的,其中利用配方法求解二次函数的最值问题,由于二次函数的定义域与参数a有关,因此需对字母a的取值分类讨论,从而得到两个解,同学们在解答数习题时应学会综合运用数学思想方法解题.
例4．设f(x)是一次函数,且其在定义域内是增函数,又,试求f(x)的表达式.
分析及解：因为此函数的模式已知,故此题需用待定系数法求出函数表达式.
设一次函数y=f(x)=ax+b (a>0),可知 ,
∴.
比较系数可知：
解此方程组,得 ,b=2,∴所求f(x)=.
例5．如图,已知在矩形ABCD中,C(4,4),点A在曲线(x>0,y>0)上移动,且AB,BC两边始终分别平行于x轴,y轴,求使矩形ABCD的面积为最小时点A的坐标.
分析及解：设A(x,y),如图所示,则(4-x)(4-y) (1)
此时S表示为变量x,y的函数,如何将S表示为一个变量x(或y)的函数呢？有的同学想到由已知得x2+y2=9,如何利用此条件？是从等式中解出x(或y),再代入(1)式,因为表达式有开方,显然此方法不好.
如果我们将(1)式继续变形,会得到S=16-4(x+y)+xy (2)
这时我们可联想到x2+y2与x+y、xy间的关系,即(x+y)2=9+2xy.
因此,只需设t=x+y,则xy=,代入(2)式得 S=16-4t+(3)S表示为变量t的二次函数,
∵0此时
注：换元前后新旧变量的取值范围是不同的,这样才能防止出现不必要的错误.
例6．设方程x2+2kx+4=0的两实根为x1,x2,若≥3,求k的取值范围.
解：∵≥3,
以,代入整理得(k2-2)2≥5,又∵Δ=4k2-16≥0,
∴解得k∈(-)∪[,+].
例7．点P(x,y)在椭圆上移动时,求函数u=x2+2xy+4y2+x+2y的最大值.
解：∵点P(x,y)在椭圆上移动, ∴可设 于是
=
=
令, ∵,∴|t|≤.
于是u=,(|t|≤).
当t=,即时,u有最大值.
∴θ=2kπ+(k∈Z)时,.
例8．过坐标原点的直线l与椭圆相交于A,B两点,若以AB为直径的圆恰好通过椭圆的左焦点F,求直线l的倾斜角.
解：设A(x1,y1),B(x2,y2)
直线l的方程为y=kx,将它代入椭圆方
程整理得 (*)
由韦达定理,(1),(2)
又F(1,0)且AF⊥BF,∴, 即 ,
将,代入上式整理得 ,
将(1)式,(2)式代入,解得 . 故直线l的倾斜角为或.
注：本题设交点坐标为参数,“设而不求”,以这些参数为桥梁建立斜率为k的方程求解.
例9．设集合A={}
(1)若A中有且只有一个元素,求实数a的取值集合B；
(2)当a∈B时,不等式x2-5x-6解：(1)令t=2x,则t>0且方程化为t2-2t+a=0 (*),A中有且只有一个元素等价于方程(*)有且只有一个正根,再令f(t)=t2-2t+a,
则Δ=0 或即a=1或a≤0,从而B=(-,0]∪{1}.
(2)当a=1时,当a≤0,令g(a)=a(x-4)-(x2-5x-6),则当a≤0时不等式 恒成立,
即当a≤0时,g(a)>0恒成立,故 ≤4.
综上讨论,x的取值范围是(,4).
直线与圆过关测试
直线(a+1)x－(2a+5)y－6=0必过一定点，定点的坐标为
若点A（3，4）和B（－3，4）在直线的同侧，则a的取值范围是
直线y=xcosα+1(α∈R)的倾斜角的取值范围是　
已知一直线经过点(1,2)，并且与点(2,3)和(0, －5)的距离相等，则此直线的方程为
已知三条直线3x－y+2=0，2x+y+3=0，mx+y=0不能围成三角形，则m的值为
圆C:x2+y2＋2x－6y－15=0与直线l：(1+3m)x+(3－2m)y+4m－17＝0的交点个数是
过点，且与轴、轴的截距相等的直线方程是
直线截圆所得的劣弧所对的圆心角为
设P为圆上的动点，则点P到直线的距离的最小值为
10、圆上任意一点的坐标都使不等式成立，则的取值范围是
11、如图，是直线上的两点，且．两个半径相等的动圆分别与相切于点，是这两个圆的公共点，则圆弧，与线段围成图形面积的取值范围是
12、已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴正半轴分别交于点A、B.
(1)求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程；
(2)求直线l在两坐标轴上的截距之和的最小值及此时直线l的方程；
(3)当|PA||PB|取最小值时，求直线l的方程．
13、已知直线l:2mx-y-8m-3=0和圆C:(x-3)2+(y+6)2=25.
(1)证明不论m取什么实数,直线l与圆C总相交;
(2)求直线l被圆C截得的线段最短时的直线l方程.
14、自点（－3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射线所在直线与圆
相切，求光线L所在直线方程．
参考答案
1、（-2，-4） 2、 3、 4、4x－y－2=0或x＝1
5、－3或－1或2 6、2 7、 8、60° 9、1
10、 11、
12、(1)设l的方程为=1，则A(a,0)，B(0,b)且a＞0，b＞0，
又∵l过P(3,2)∴=1∵a，b＞0∴1=≥2得ab≥24，
∴S△AOB=ab≥12当且仅当即a=6，b=4时取“=”．
∴S△AOB的最小值为12，此时，l的方程为=1即2x＋3y－12=0．
(2)由(1)知，=1∴a＋b=()(a＋b)=＋5≥2＋5=5＋2
当即a=3＋，b=2＋时取“=”.
∴l在两坐标轴上截距之和的最小值为5＋2，
此时l的方程为=1即2x＋y－2－6=0．
或者设l的方程为y－2=k(x－3)(k＜0，令x=0，则y=－3k＋2令y=0，
则x=－＋3，∴a＋b=－－3k＋5≥2＋5当且仅当=3k．即k=－时取“=”.
(3)由(2)知A(－＋3,0)，B(0,－3k＋2)∴|PA|·|PB|=
≥=12
(当且仅当k2=即k=－1时取“=”)此时l的方程为y－2=－(x－3)即x＋y－5=0．
13、解法一:(1)把y=2mx-8m-3代入圆C,得
(4m2+1)x2+?2(-16m2+6m-3)x+(64m2-48m-7)=0.
∵Δ=64×(6m2+1)>0,∴l与C总相交.
(2)设交点为A、B,由弦长公式得|AB|=|x1-x2|,
即|AB|=.
令,得4×(6-t)m2+3m+4-t=0.
∵m∈R,∴Δ=9-4×4(6-t)(4-t)≥0.
解得,t最小值为,此时.
∴当l被C截得的线段最小值为,此时l的方程为x+3y+5=0.
解法二:(1)圆心C(3,-6)到l的距离4(d2-1)m2+12m+d2-9=0,(*)
∵m∈R,∴Δ=122-4×4(d2-1)(d2-9)≥0.
解得0≤d≤d故不论m为何实数,l与C总相交.
(2)由(1)知d最大为,所以弦|AB|最小=2,把代入(*)得.
∴当l被C截得的线段最短时l的方程为x+3y+5=0.
解法三:(1)由直线方程知l过定点M(4,-3),而?(4-3)2+ (-3+6)2=10<25,
∴M在圆内.
∴不论m取何实数,l与C都相交.
(2)由几何知识知当l被C截得线段中点为M时,弦心距最大而弦长最短,此时MC与l垂直.
∴MC斜率为.
∴l斜率为,即m.
此时l的方程为x+3y+5=0.
14、解：已知圆的标准方程是(x－2)2＋(y－2)2＝1，
它关于x轴的对称圆的方程是(x－2)2＋(y＋2)2＝1。
设光线L所在直线方程是：y－3＝k(x＋3)。
由题设知对称圆的圆心C′（2，－2）到这条直线的距离等于1，即．
整理得 解得．
故所求的直线方程是，或，
即3x＋4y－3＝0，或4x＋3y＋3＝0．
l
A
B
Q
F
P
O
x
y
（第18题）第五部分——数列
知识点总结精华
考试内容：
数学探索 版权所有www.数列．
数学探索 版权所有www.等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．
数学探索 版权所有www.等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．
数学探索 版权所有www.考试要求：
数学探索 版权所有www.（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．
数学探索 版权所有www.（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．
数学探索 版权所有www.（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题．
知识要点
等差数列 等比数列
定义
递推公式 ； ；
通项公式 （）
中项 （） （）
前项和
重要性质
1. ⑴等差、等比数列：
等差数列 等比数列
定义
通项公式 =+（n-1）d=+（n-k）d=+-d
求和公式
中项公式 A= 推广：2= 。推广：
性质 1 若m+n=p+q则 若m+n=p+q，则。
2 若成A.P（其中）则也为A.P。 若成等比数列 （其中），则成等比数列。
3 ． 成等差数列。 成等比数列。
4 ，
5
⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法：
①
②2()
③(为常数).
⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：
①
②(，)①
注①：i. ，是a、b、c成等比的双非条件，即a、b、c等比数列.
ii. （ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要.
iii. →为a、b、c等比数列的必要不充分.
iv. 且→为a、b、c等比数列的充要.
注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.
③(为非零常数).
④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.
⑷数列{}的前项和与通项的关系：
[注]： ①（可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若不为0，则是等差数列充分条件）.
②等差{}前n项和 →可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若为零，则是等差数列的充分条件；若不为零，则是等差数列的充分条件.
③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）
2. ①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍；
②若等差数列的项数为2，则；
③若等差数列的项数为，则，且，
.
3. 常用公式：①1+2+3 …+n =
②
③
[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…； 5，55，555，….
4. 等比数列的前项和公式的常见应用题：
⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为，年增长率为，则每年的产量成等比数列，公比为. 其中第年产量为，且过年后总产量为：
⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存元，利息为，每月利息按复利计算，则每月的元过个月后便成为元. 因此，第二年年初可存款：
=.
⑶分期付款应用题：为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；为年利率.
5. 数列常见的几种形式：
⑴（p、q为二阶常数）用特证根方法求解.
具体步骤：①写出特征方程（对应，x对应），并设二根②若可设，若可设；③由初始值确定.
⑵（P、r为常数）用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为的形式，再用特征根方法求；④（公式法），由确定.
①转化等差，等比：.
②选代法：
.
③用特征方程求解：.
④由选代法推导结果：.
6. 几种常见的数列的思想方法：
⑴等差数列的前项和为，在时，有最大值. 如何确定使取最大值时的值，有两种方法：
一是求使，成立的值；二是由利用二次函数的性质求的值.
⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前项和可依照等比数列前项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：
⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差的最小公倍数.
2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证都成立。
3. 在等差数列｛｝中,有关Sn 的最值问题：(1)当>0,d<0时，满足的项数m使得取最大值. (2)当<0,d>0时，满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
（三）、数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。
　　　3.错位相减法:适用于其中{ }是等差数列，是各项不为0的等比数列。
4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
5.常用结论
1）: 1+2+3+...+n =
2） 1+3+5+...+(2n-1) =
3）
4）
5）
6）
备注：求递推数列的通项公式的九种方法
利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.
一、作差求和法
例1 在数列{}中，,，求通项公式.
解：原递推式可化为：则
，……，逐项相加得：.故.
二、作商求和法
例2 设数列{}是首项为1的正项数列，且（n=1,2,3…），则它的通项公式是=▁▁▁（2000年高考15题）
解：原递推式可化为：
=0 ∵ ＞0，
则 ……， 逐项相乘得：，即=.
三、换元法
例3 已知数列{}，其中，且当n≥3时，，求通项公式（1986年高考文科第八题改编）.
解：设，原递推式可化为：
是一个等比数列，，公比为.故.故.由逐差法可得：.
例4已知数列{}，其中，且当n≥3时，，求通项公式。解 由得：，令，则上式为，因此是一个等差数列，，公差为1.故.。
由于
又
所以，即
四、积差相消法
例5设正数列，，…，，…满足= 且，求的通项公式.
解 将递推式两边同除以整理得：
设=，则=1，，故有
⑴ ⑵
… … … …
()
由⑴+ ⑵ +…+()得=，即=.
逐项相乘得：=，考虑到，
故 .
五、取倒数法
例6 已知数列{}中，其中，且当n≥2时，，求通项公式。
解 将两边取倒数得：，这说明是一个等差数列，首项是，公差为2，所以，即.
六、取对数法
例7 若数列{}中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=▁▁▁（2002年上海高考题）.
解 由题意知＞0，将两边取对数得，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比数列， ，即.
七、平方（开方）法
例8 若数列{}中，=2且（n），求它的通项公式是.
解 将两边平方整理得。数列{}是以=4为首项，3为公差的等差数列。。因为＞0，所以。
八、待定系数法
待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列，可以少走弯路.其变换的基本形式如下：
1、（A、B为常数）型，可化为=A（）的形式.
例9 若数列{}中，=1，是数列{}的前项之和，且（n），求数列{}的通项公式是.
解 递推式可变形为 （1）
设（1）式可化为 （2）
比较（1）式与（2）式的系数可得，则有。故数列{}是以为首项，3为公比的等比数列。=。所以。
当n，。
数列{}的通项公式是 。
2、（A、B、C为常数，下同）型，可化为=）的形式.
例10 在数列{}中，求通项公式。
解：原递推式可化为：
①
比较系数得=-4，①式即是：.
则数列是一个等比数列，其首项，公比是2.
∴
即.
3、型，可化为的形式。
例11 在数列{}中，，当， ① 求通项公式.
解：①式可化为：
比较系数得=-3或=-2，不妨取=-2.①式可化为：
则是一个等比数列，首项=2-2（-1）=4，公比为3.
∴.利用上题结果有：
.
4、型，可化为的形式。
例12 在数列{}中，，=6 ①
求通项公式.
解 ①式可化为：
② 比较系数可得：
=-6，，② 式为
是一个等比数列，首项，公比为.
∴即 故.
九、猜想法
运用猜想法解题的一般步骤是：首先利用所给的递推式求出……，然后猜想出满足递推式的一个通项公式，最后用数学归纳法证明猜想是正确的。
求递推数列通项的特征根法与不动点法
一、形如是常数）的数列
形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为…①
若①有二异根，则可令是待定常数）
若①有二重根，则可令是待定常数）
再利用可求得，进而求得．
例1．已知数列满足，求数列的通项．
解：其特征方程为，解得，令，
由，得， ．
例2．已知数列满足，求数列的通项．
解：其特征方程为，解得，令，
由，得， ．
二、形如的数列
对于数列，是常数且）
其特征方程为，变形为…②
若②有二异根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值．
这样数列是首项为，公比为的等比数列，于是这样可求得．
若②有二重根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值．
这样数列是首项为，公差为的等差数列，于是这样可求得．
此方法又称不动点法．
例3．已知数列满足，求数列的通项．
解：其特征方程为，化简得，解得，令
由得，可得，
数列是以为首项，以为公比的等比数列，，．
例4．已知数列满足，求数列的通项．
解：其特征方程为，即，解得，令
由得，求得，
数列是以为首项，以为公差的等差数列，，
．
试题精粹
江苏省2011年高考数学联考试题
13．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2011届高三调研考试）在等差数列中，表示其前项，若，，则的取值范围是 ▲ ．（4，）
12．（江苏省2010届苏北四市第一次联考）已知等差数列的前 n 项和为 S n , T n ,若对于任意的自然数 n ，都有则 = ▲ ．
8. （常州市2011届高三数学调研）面积为S的的三边成等差数列，，设外接圆的面积为，则
10. （常州市2011届高三数学调研）若在由正整数构成的无穷数列{an}中，对任意的正整数n，都有an ≤ an+1，且对任意的正整数k，该数列中恰有2k–1个k，则a2008= .45
7．（姜堰二中学情调查（三））设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则+的最小值是______4
10. （泰州市2011届高三第一次模拟考试）数列为正项等比数列，若，且，则此数列的前4项和 。
10、（南通市六所省重点高中联考试卷）已知数列满足，（），.
若前100项中恰好含有30项为0，则的值为 ▲ 6或7
14. （苏北四市2011届高三第一次调研考试）已知数列，满足，，，且对任意的正整数，当时，都有，则的值是 ▲ ．2012
讲评建议：遇到这样一个新问题，学生首先应是先去归纳，找规律，这就是一种数学意识，解题意识，教学中要注意培养，如什么时候类比，什么时候归纳。
6、（宿迁市高三12月联考）已知公差不为的正项等差数列中，为其前项和，若，，也成等差数列，，则等于___ ___；30
（无锡市1月期末调研）已知数列的前项和Sn=n2—7n, 且满足16＜ak+ak+1＜22, 则正整数k= ▲ ．8
9．（徐州市12月高三调研）已知等差数列中，有 成立.类似地，在等比数列中，有 成立.
11．（徐州市12月高三调研）已知数列满足，则该数列的前20项的和为 ▲ . 2101
13．（盐城市第一次调研）已知{}是公差不为0的等差数列,{} 是等比数列,其中,
且存在常数α、β ,使得=对每一个正整数都成立,则= ▲ . 4
12. （苏州市2011届高三调研测试）已知数列满足,则数列
的前100项的和为 ▲ .
【解析】由得
则是周期数列，
19．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2011届高三调研考试）（本小题满分16分）
在数列中，，其中．
⑴求证：数列为等差数列；
⑵设，试问数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由．
⑶已知当且时，，其中，求满足等式的所有的值．
19．⑴证明： ……………………2
∴数列为等差数列 …………………………………………4
⑵解：假设数列中存在三项，它们可以够成等差数列；不妨设为第项，
由⑴得，∴， …………………………………………5
∴， ∴ …………………………………………7
又为偶数，为奇数． …………………………………………9
故不存在这样的三项，满足条件． …………………………………………10
⑶由⑵得等式
可化为
即
∴ …………………………………………12
∵当时，，
∴ …
∴
∴当时， …………………………………………14
当时，经验算时等号成立
∴满足等式的所有 ……………………………16
20．（江苏省2010届苏北四市第一次联考）(本小题满分16分)
已知数列、中,对任何正整数都有：
．
(1)若数列是首项和公差都是1的等差数列,求证：数列是等比数列；
(2)若数列是等比数列,数列是否是等差数列,若是请求出通项公式,若不是请说明理由；
(3)若数列是等差数列,数列是等比数列,求证：．
20．解：（1）依题意数列的通项公式是，
故等式即为，
，
两式相减可得 ---------------------------------3分
得，数列是首项为1，公比为2的等比数列． -------4分
（2）设等比数列的首项为，公比为，则，从而有：
，
又，
故 ------------------------6分
，
要使是与无关的常数，必需， ---------------------8分
即①当等比数列的公比时，数列是等差数列，其通项公式是；
②当等比数列的公比不是2时，数列不是等差数列． ---9分
（3）由（2）知， ---------------------------- --------------10分
显然时,当时
＜ -----14分
-----------------16分
20. （常州市2011届高三数学调研）（16） 在数列中,已知且.
（1）记. 求证：数列是等差数列；
（2）求的通项公式；
（3）对于任意的正整数，是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
20、解：（1）
即
又
故数列是以2为公差的等差数列.
（2）由1)知
（3）若存在,使得,
则解得
因为对于任意的正整数必为非负偶数,
故存在使得
20．（姜堰二中学情调查（三））（本小题共16分）
已知数列各项均不为0，其前项和为，且对任意都有 （为大于1的常数），记f（n）．
（1）求；
（2）试比较与的大小（）；
（3）求证：（2n-1）f（n）≤f（1）+f（2）+…+f（2n-1）
≤[1-（）2n-1] （n∈N*）
解：（1） ∵， ①
∴． ②
②－①，得，即．
在①中令，可得．
∴是首项为，公比为的等比数列，． ………　4分
（2）．
f（n），
．
而，且，
∴，．
∴，（）． …10分
（3） 由（2）知 ，
，（）．
∴当n时，．
，
（当且仅当时取等号）．
另一方面，当n，时，
．
∵，
∴．
∴,（当且仅当时取等号）．
∴．
（当且仅当时取等号）．
综上所述，2n-1）f（n）≤f（1）+f（2）+…+f（2n-1）
≤[1-（）2n-1] （n∈N*）………　16分
19. （泰州市2011届高三第一次模拟考试）(本小题满分16分)
已知在直角坐标系中，，其中数列都是递增数列。
（1）若，判断直线与是否平行；
（2）若数列都是正项等差数列，设四边形的面积为.
求证：也是等差数列；
（3）若,，记直线的斜率为，数列前8项依次递减，求满足条件的数列的个数。
19. ⑴由题意、、、.
∴，. …………………………………（2分）
，∴与不平行. ……………………………………（4分）
⑵、为等差数列，设它们的公差分别为和，则，
由题意.……………………………（6分）
∴
，…………………………………………（8分）
∴，∴是与无关的常数，
∴数列是等差数列. ……………………………………………………………（10分）
⑶、，∴.
又数列前项依次递减，
∴对成立，即对成立.………………（12分）
又数列是递增数列，∴，只要时，即即可.
又，联立不等式，作出可行域（如右图所示），易得或.…………（14分）
当时，，即，有解；
当时，，即，有解.∴数列共有个. …（16分）
20．（江苏省南通市2011届高三第一次调研测试）（本题满分16分）
已知数列为各项均为正的等比数列，其公比为q．
（1）当q＝ HYPERLINK "http://www." 时，在数列中：
①最多有几项在1～100之间？
②最多有几项是1～100之间的整数？
（2）当q＞1时，在数列 HYPERLINK "http://www." 中，最多有几项是100～1000之间的整数？
（参考数据：lg3=0.477，lg2=0.301）．
解：（1）①不妨设≥1，设数列 HYPERLINK "http://www." 有n项在1和100之间，则
≤100．所以， HYPERLINK "http://www." ≤100．
两边同取对数，得 （n－1）（ lg3－lg2）≤2．解之，得 n≤12.37．
故n的最大值为12，即数列中，最多有12项在1和100之间．……………5分
②不妨设1≤ HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 … HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ≤100，其中 HYPERLINK "http://www." ，， HYPERLINK "http://www." ，…， 均为整数，所以 HYPERLINK "http://www." 为2的倍数．所以3 HYPERLINK "http://www." ≤100，所以n≤5．………8分
又因为16，24，36，54，81是满足题设要求的5项．
所以，当q＝时，最多有5项是1和100之间的整数．…………………………10分
（2）设等比数列 HYPERLINK "http://www." 满足100≤aaq HYPERLINK "http://www." … HYPERLINK "http://www." ≤1000，
其中a，aq，…，均为整数， HYPERLINK "http://www." ，显然，q必为有理数．…………11分
设q=，t＞s≥1，t与s互质，
因为 HYPERLINK "http://www." =为整数，所以a是 HYPERLINK "http://www." 的倍数．………………………………12分
令t=s+1，于是数列满足 100≤a＜a·＜…＜a· HYPERLINK "http://www." ≤100．
如果s≥3，则1000≥a·≥（q+1）n－1≥4n－1，所以n≤5．
如果s=1，则1000≥a· HYPERLINK "http://www." ≥100·，所以，n≤4．
如果s=2，则1000≥a· HYPERLINK "http://www." ≥100·，所以n≤6．……………………………13分
另一方面，数列128，192，288，432，648，972满足题设条件的6个数，
所以，当q＞1时，最多有6项是100到1000之间的整数．………………………16分
19、（南通市六所省重点高中联考试卷）（本题满分16分）设数列的前项和为，满足(，，t为常数) ，
且.
（Ⅰ）当时，求和；
（Ⅱ）若是等比数列，求t的值；
（Ⅲ）求.
（Ⅰ）因为 及，得
所以 且，解得 ----------------------2分
同理 ，解得 ----------------------4分
（Ⅱ）当时，，
得 ， ----------------------5分
两式相减得：（**） ----------------------6分
即
当t＝0时，，显然是等比数列 ----------------------7分
当时，令，可得
因为 是等比数列，所以为等比数列，
当时，恒成立， ----------------------8分
即 恒成立，
化简得 恒成立，
即，解得
综合上述，或 ----------------------9分
（Ⅲ）当时，由（**）得
数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以 --------------------10分
当时，由（**）得
设（k为常数）
整理得
显然 --------------------12分
所以
即数列是以为首项，为公比的等比数列
所以，
即
所以
所以 ----------------------16分
17. （苏北四市2011届高三第一次调研考试）（本小题满分14分）
在各项均为正数的等比数列中，已知，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
17．（1）设公比为q，由题意得，
且即 ……………………………………………2分
解之得或（舍去），…………………………………………………4分
所以数列的通项公式为，.…………………………………6分
（2）由（1）可得，所以.…………………………………8分
所以，
所以，
两式相减得，…………………………………10分
，
所以数列的前n项和为. ………………………………14分
此题当初是：是考查学生最基础知识。当初是改变数字，求的前项的和。但考虑到分类讨论，可能比现在还繁，故改为现在情况，重点考查，等差数列、等比数列的基础知识。
20、（宿迁市高三12月联考）（本题满分16分）
已知数列为正常数，且
（1）求数列的通项公式；
（2）设
（3）是否存在正整数M，使得恒成立？若存在，求出相应的M的最小值；若不存在，请说明理由。
20、解：（I）由题设知 ……………1分
同时
两式作差得
所以
可见，数列 ……………4分
……………5分
（II） ……………7分
……………9分
所以， ……………10分
（III）
……………12分
①当
解得符合题意，此时不存在符合题意的M。 ……………14分
②当
解得此时存在的符合题意的M=8。
综上所述，当时，存在M=8符合题意 ……………16分
19．（无锡市1月期末调研）(本小题满分16分)
已知数列的首项，．
（1）求证：数列为等比数列；
(2) 记，若，求最大的正整数．
（3）是否存在互不相等的正整数，使成等差数列且成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．
19．（1）∵，∴，……………………………………………………2分
且∵，∴， …………………………………………………………3分
∴数列为等比数列． ………………………………………………………………………4分
（2）由（1）可求得，∴．………………………………………5分
，………………7分
若，则，∴．…………………………………………………9分
（3）假设存在，则， …………………………………………10分
∵，∴．………………………………………12分
化简得：，………………………………………………………………………………13分
∵，当且仅当时等号成立．………………………………………15分
又互不相等，∴不存在． ………………………………………………………………………16分
17．（徐州市12月高三调研）(本小题满分14分)
设数列的前项和，数列满足.
（Ⅰ）若成等比数列，试求的值；
（Ⅱ）是否存在，使得数列中存在某项满足成等差数列？若存在，请指出符合题意的的个数；若不存在，请说明理由.
17．解：（Ⅰ）因为，所以当时，………………3分
又当时，，适合上式，所以（）…………………4分
所以，则，由，
得，解得（舍）或，所以…………7分
（Ⅱ）假设存在，使得成等差数列，即，则
，化简得………………………………12分
所以当时，分别存在适合题意，
即存在这样，且符合题意的共有9个 ……………………………………14分
19．（盐城市第一次调研）(本小题满分16分)
已知数列满足前项和为,.
（Ⅰ）若数列满足,试求数列前项和；
（Ⅱ）若数列满足,试判断是否为等比数列,并说明理由；
（Ⅲ）当时,问是否存在,使得,若存在,求出所有的的值；
若不存在，请说明理由.
19．解：（Ⅰ）据题意得,所以成等差数列,故……4分
（Ⅱ）当时,数列成等比数列；当时,数列不为等比数列…………5分
理由如下:因为,
所以,故当时,数列是首项为1,公比为等比数列；
当时,数列不成等比数列 …………………… 9分
（Ⅲ）当时,,………………10分
因为=() ………………………………12分
，，设，
则，，且，
在递增，且，
仅存在惟一的使得成立………………………………16分
19. （苏北四市2011届高三第二次调研）（本小题满分16分）已知数列的前项和为，且满足，，其中常数．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）若，求数列的通项公式；
（3）对于（2）中数列，若数列满足（），在与 之间插入（）个2，得到一个新的数列，试问：是否存在正整数m,使得数列 的前m项的和 如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由.
19．解：（1）∵，∴，∴，
∴，∴， …………………………………4分
∵，∴，∴
∴，∴数列为等比数列．
（2）由（1）知，∴ ……………………………8分
又∵，∴，∴，∴ ……………………………10分
（3）由（2）得，即，
数列中，（含项）前的所有项的和是：
…………………12分
当k=10 时，其和是
当k=11 时，其和是
又因为2011-1077=934=4672，是2的倍数 ………………………………14分
所以当时，，
所以存在m=988使得 ……………………………………16分
19. （苏州市2011届高三调研测试）（本小题满分16分）
设数列的前项的和为，已知.
⑴求,及；
⑵设若对一切均有，求实数的取值范围.
19.【解析】依题意，时，;时，.
因为，
时
所以
上式对也成立，所以
（2）当时，,当时，,所以
，，数列是等比数列，则。
因为随的增大而增大，所以，
由得，所以或
试题精粹
江苏省2010年高考数学联考试题
一、填空题:
10．（江苏省南通市2010年高三二模）将正偶数按如图所示的规律排列：
2
4 6
8 10 12
14 16 18 20
……
则第n（n≥4）行从左向右的第4个数为 ▲ ．
解析：由每一行的最后一数知:从而得第n-1（n≥4）行的最后一个数为,则第n（n≥4）行从左向右的第4个数为.
10．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）设正项等比数列的公比为，且，则公比 。
解析：由题意知得或(与正项等比数列矛盾)．
14．（江苏省无锡市部分学校2010年4月联考试卷）数列满足：，记，若对任意的恒成立，则正整数的最小值为 。
8．（江苏省泰州市2010届高三联考试题）若数列是各项均为正数的等比数列，则当时，数列也是等比数列；类比上述性质，若数列是等差数列，则当______▲_______时，数列也是等差数列．
解析：由条件类比可知：时，数列也是等差数列．
10．（江苏省泰州市2010届高三联考试题）通项公式为的数列，若满足，且对恒成立，则实数的取值范围是______▲_______．
解析：由是二次函数型，且，且对恒成立，
得，可知。
7．(江苏通州市2010年3月高三素质检测)若实数列1，a，b，c，4是等比数列，则b的值为 ▲ ．2
8．（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）若等差数列的公差为，前项的和为，则数列为等差数列，公差为．类似地，若各项均为正数的等比数列的公比为，前项的积为，则数列为等比数列，公比为 ▲ ．
3．（江苏省盐城市2010年高三第二次调研考试）已知数列是等差数列，且，则＝ ▲ .
12．（江苏省盐城市2010年高三第二次调研考试）设等差数列的首项及公差均是正整数，前项和为，且，，，则= ▲ .4020
9、（江苏省连云港市2010届高三二模试题）把数列{}的所有项按照从大到小，左大右小的原则写成如图所示的数表，第k行有2k－1个数，第k行的第s个数（从左数起）记为(k，s)，则 可记为 ▲ ．（10，494）
14、（江苏省连云港市2010届高三二模试题）设，，…，是各项不为零的（）项等差数列，且公差．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对所组成的集合为___▲_____．
8. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）已知数列的各项均为正数，若对于任意的正整数总有，且，则 ▲ .
7、（江苏省南京市2010年3月高三第二次模拟）等比数列的公比﹥0，已知，则的前四项和是 。
14．（江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷已知等差数列的公差不为0，等比数列的公比是小于1的正有理数。若，且是正整数，则等于 .
二、解答题
17．（江苏省南通市2010年高三二模）（本小题满分15分）
设等比数列的首项为a1，公比为q，且q>0，q≠1.
（1）若a1=qm，m∈Z，且m≥－1，求证：数列中任意不同的两项之积仍为数列
中的项；
（2）若数列中任意不同的两项之积仍为数列中的项，求证：存在整数m，且
m≥－1，使得a1=qm.
17．(江苏通州市2010年3月高三素质检测)（本小题满分15分）
已知等差数列{an}中，首项a1＝1，公差d为整数，且满足a1+3＜a3，a2+5＞a4，数列{bn}满足，其前n项和为Sn．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）若S2为S1，Sm(m∈N*)的等比中项，求正整数m的值．
17．（本小题满分15分）
解：（1）由题意，得解得 ( http: / / www. )< d <． ………………………3分
又d∈Z，∴d = 2．∴an=1+(n－1)2=2n－1． ………………………6分
（2）∵，
∴．11分
∵， ( http: / / www. )，，S2为S1，Sm(m∈)的等比中项，
∴，即， ………………………14分
解得m=12． ………………………15分
19．（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）(本小题满分16分)
已知等比数列的公比为，首项为，其前项的和为．数列的前项的
和为， 数列的前项的和为．
（1）若，，求的通项公式；
（2）①当为奇数时，比较与的大小；
②当为偶数时，若，问是否存在常数（与n无关），使得等式恒成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19．解: (1) ∵,
∴ ∴或 ………………2分
∴，或. ……………………………………4分
(2) ∵常数， =常数，
∴数列，均为等比数列，首项分别为，，公比分别为，． ………………………………6分
= ． ………………………………14分
由题设，对所有的偶数n恒成立，又，
∴． ………………………………16分
∴存在常数，使得等式恒成立．
20．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）（本题满分16分）
由部分自然数构成如图的数表，用表示第行第个数（），
使，每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两个数的之和。设第
行中各数之和为。
（1）求；
（2）用表示；
（3）试问：数列中是否存在不同的三项，，（）恰好成等差数列？若存在，求出，，的关系；若不存在，请说明理由。
解析：（1） 2分
（2）
=； 6分
（3）∵，∴ 8分
所以是以为首项，2为公比的等比数列， 9分
则 11分
若数列中存在不同的三项恰好成等差数列，
不妨设，显然是递增数列，则 12分
即2，化简得：
……（*） 14分
由于，且，知≥1，≥2，
所以（*）式左边为偶数，右边为奇数，
故数列中不存在不同的三项恰好成等差数列。 16分
17．（江苏省无锡市部分学校2010年4月联考试卷）（15分）已知数列的前项的和为，数列是公比为2的等比数列。
（1）证明：数列成等比数列的充要条件是；
（2）设，若对恒成立，求的取值范围。
17．解：（1）略
（2）当时，；
当时，
当为偶数时：
当为奇数时：
所以：。
20、（江苏省连云港市2010届高三二模试题）（16分）（1）已知函数.数列满足：，且,记数列的前n项和为，且.求数列的通项公式；并判断是否仍为数列中的项？若是，请证明；否则，说明理由.
（2）设为首项是,公差的等差数列，求证：“数列中任意不同两项之和仍为数列中的项”的充要条件是“存在整数，使”.
即，所以
即与相矛盾，所以.
综上, 数列中任意不同两项之和仍为数列中的项的充要条件是存在整数，使. ……………………（16分）
19．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）（本小题满分16分）
各项均为正数的数列的前项和为，；
（1）求；（2）令，；求的前项和。
（3）令（为常数，且），，
是否存在实数对，使得数列成等比数列？
若存在，求出实数对及数列的通项公式，若不存在，请说明理由。
∴。 （10分）
（3），
令， （14分）
∴存在，。 （16分）
17. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）设为数列的前项和，若（）是非零常数，则称该数列为“和等比数列”．
（1）若数列是首项为2，公比为4的等比数列，试判断数列是否为“和等比数列”；
（2）若数列是首项为，公差为的等差数列，且数列是“和等比数列”，试探究与之间的等量关系．
19．（江苏省泰州市2010届高三联考试题）（本小题满分16分）
已知各项均为整数的数列满足：，，且前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若存在正整数使得：，请找出所有的有序数对，并证明你的结论．
（方法一）设负数项有，正数项有，
则应是，
故有；经验算：
时，，此时为，；
时，，此时为，；
时，，此时为，；
时，均不存在符合要求的正整数；
故当中既有正数又有负数时，存在三组有序数对， ，符合要求；
（方法二）因为负数项只有九项，我们按负数项分类：
含1个负数项时，，符合，此时；
含2个负数项时，，符合，此时；
含3个或4个负数项时，经验算不存在符合要求的；
含5个负数项时， ，符合，此时；
含6个及6个以上负数项时，经验算不存在符合要求的；
故当中既有正数又有负数时，存在三组有序数对，，符合要求；
综上，存在四组有序数对，，，符合要求． （16分）
（注：只找出有序数对无说明过程，一个有序数对只给1分）
19．（江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷在下表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于，每列上的数从上到下都成等差数列．正数表示位于第行第列的数，其中，，．
1） 求的值； （2）求的计算公式；
（3）设数列满足，的前项 和为，试比较与的大小，并说明理由.：
… …
… …
… …
… …
… … … … … … …
… …
… … … … … … …
所以．
因为（
所以数列 是递增数列.
同理
所以 是递减数列.
, 显然,,, 所以当时，；当时，。
数列问题的题型与方法
数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。
近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。
一、知识整合
1．在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；
2．在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，
进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．
3．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．
二、方法技巧
1．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。
(2)通项公式法：
①若 = +（n-1）d= +（n-k）d ，则为等差数列；
②若 ，则为等比数列。
(3)中项公式法：验证中项公式成立。
2. 在等差数列中,有关的最值问题——常用邻项变号法求解：
(1)当>0,d<0时，满足的项数m使得取最大值.
(2)当<0,d>0时，满足的项数m使得取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。
三、注意事项
1．证明数列是等差或等比数列常用定义，即通过证明 或而得。
2．在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。
3．注意与之间关系的转化。如：
= ， =．
4．数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路．
5．解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．
四、例题解析
例1．已知数列{a}是公差d≠0的等差数列，其前n项和为S．
(2)过点Q(1，a)，Q(2，a)作直线12，设l与l的夹角为θ，
证明：(1)因为等差数列{a}的公差d≠0，所以
Kpp是常数(k=2，3，…，n)．
(2)直线l的方程为y-a=d(x-1)，直线l的斜率为d．
例2．已知数列中，是其前项和，并且，
⑴设数列，求证：数列是等比数列；
⑵设数列，求证：数列是等差数列；
⑶求数列的通项公式及前项和。
分析：由于{b}和{c}中的项都和{a}中的项有关，{a}中又有S=4a+2，可由S-S作切入点探索解题的途径．
解：(1)由S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a．(根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)
a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b　　　 ①
已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3　　 ②
由①和②得，数列{b}是首项为3，公比为2的等比数列，故b=3·2．
当n≥2时，S=4a+2=2(3n-4)+2；当n=1时，S=a=1也适合上式．
综上可知，所求的求和公式为S=2(3n-4)+2．
说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前项和。解决本题的关键在于由条件得出递推公式。
2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．
例3．设数列{an}的前项的和Sn=（an-1） (n+),（1）求a1;a2; (2)求证数列{an}为等比数列。
解: (Ⅰ)由,得 ∴ 又,即,得.
(Ⅱ)当n>1时,
得所以是首项,公比为的等比数列.
例4、（04年重庆）设a1=1,a2=,an+2=an+1-an (n=1,2,---),令bn=an+1-an (n=1,2---)求数列{bn}的通项公式，(2)求数列{nan}的前n项的和Sn。
解：（I）因
故{bn}是公比为的等比数列，且
（II）由
注意到可得
记数列的前n项和为Tn，则
例5．在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项， 为公差的等差数列。
⑴求点的坐标；
⑵设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：。
⑶设，等差数列的任一项，其中是中的最大数，，求的通项公式。
解：（1）
（2）的对称轴垂直于轴，且顶点为.设的方程为：
把代入上式，得，的方程为：。
，
=
（3），
T中最大数.
设公差为，则，由此得
说明：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大（1）、（2）两问运用几何知识算出，解决（3）的关键在于算出及求数列的公差。
例6．数列中，且满足
⑴求数列的通项公式；
⑵设，求；
⑶设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
解：（1）由题意，，为等差数列，设公差为，
由题意得，.
（2）若，
时，
故
（3）
若对任意成立，即对任意成立，
的最小值是，的最大整数值是7。
即存在最大整数使对任意，均有
说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。.
五、强化训练
（一）用基本量方法解题
1、已知等差数列的公差为2，若a1,a3,a4成等比数列，则a2= （B ）
A －4 B －6 C －8 D －10
（二）用赋值法解题
2、等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（C ）
A 130 B 170 C 210 D 260
3、设{an}是公比为q的等比数列， Sn是{an}的前n项和,若{Sn}是等差数列，则q=__1_
4、设数列{an}的前项的和Sn= （对于所有n1），且a4=54,则a1=__2___
（三）用整体化方法解题
5、已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有（C ）
A a1+a101>0 B a2+a100<0 C a3+a99=0 D a51=51
6、若一个等差数列的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为（A）
A 13 B 12 C 11 D 10
7、在等差数列{an}中a5=3，a6=-2,a4+a5+…+a10=-49
（四）用函数方法解题
8、已知数列{an},那么“对任意的nN+,点Pn(n ,an)都在直线y=x+1上”是“{an}为等差数列”的（ B）
A必要条件 B 充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
9、已知等差数列{an}满足3a4=7a7,且a1>0,Sn是{an}的前n项和，Sn取得最大值，则n=___9______.
10、已知数列{an}中an=2n-7,(nN+),++--+=_153___
（五）用递推方法解题
11、设{an}是首项为1的正项数列，且（n+1）a2n+1-nan2+an+1an=0,求它的通项公式是__1/n
12、已知数列{an}满足a.1=1,an=a1+2a2+3a3+---+(n-1)an-1 (n>1),则{an}的通项an=______a1=1;an=n2
13、定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为__3___，这个数列的前n项和的计算公式为__当n为偶数时，；当n为奇数时，
14. 已知数列{an}中，a1=1，a2k=a2k-1+(-1)K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3，…。
(1)求a3,a5； （2）求{an}的通项公式
解：（I）a2=a1+(－1)1=0, a3=a2+31=3.a4=a3+(－1)2=4 a5=a4+32=13, 所以，a3=3,a5=13.
(II) a2k+1=a2k+3k = a2k－1+(－1)k+3k, 所以a2k+1－a2k－1=3k+(－1)k,
同理a2k－1－a2k－3=3k－1+(－1)k－1, a3－a1=3+(－1).
所以(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+…+(a3－a1)
=(3k+3k－1+…+3)+[(－1)k+(－1)k－1+…+(－1)],
由此得a2k+1－a1=(3k－1)+[(－1)k－1],
于是a2k+1=a2k= a2k－1+(－1)k=(－1)k－1－1+(－1)k=(－1)k=1.
{an}的通项公式为：
当n为奇数时，an =
当n为偶数时，
数列过关测试
一、选择题
1.在等差数列中，若++++=120，则2-的值为 （ ）
A、20 B、22 C、24 D、28
2.在等比数列{an}中，首项a1<0，则{an}是递增数列的充要条件是公比q满足 （ ）
A．q>1 B．q<1 C．03. 已知等差数列的公差为2,若成等比数列, 则= （ ）
(A) –4 (B) –6 (C) –8 (D) –10
4.等比数列中， ，则的前4项和为 （ ）
A． 81 B． 120 C．168 D． 192
5.已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“ 为等差数列”的 ( )
A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.设Sn是等差数列的前n项和，若 （ ）
A．1 B．－1 C．2 D．
7.正项等比数列｛an｝与等差数列｛bn｝满足且，则，的大小关系为 （ ）
（A） = （B）＜ （C）＞（D）不确定
8.给定正数p,q,a,b,c，其中pq，若p,a,q成等比数列，p,b,c,q成等差数列, 则一元二次程bx2－2ax+c=0 （ ）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个同号的相异的实数根 D．有两个异号的相异的实数根
9.已知等差数列的前n项和为，若m>1，且，则m等于 （ ）
A．38 B．20 C．10 D．9
10.北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年5年间更新市内现有全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新车辆数约为现有总车辆数的（参考数据1.14=1.46 1.15=1.61） （ ）
A．10% B．16.4% C．16.8% D．20%
二、填空题
11.设数列{an}满足a1=6，a2=4，a3=3，且数列{an+1－an}（n∈N*）是等差数列，求数列{an}的通项公式__________________.
12.已知等比数列及等差数列，其中，公差d≠0．将这两个数列的对应项相加，得一新数列1，1，2，…，则这个新数列的前10项之和为_________________.
13.设{an}是首项是1的正项数列, 且 0(n＝1.2,3,…),则它的通项公式＝ ______________.
14. 已知，把数列的各项排成三角形状；
……
记A（m,n）表示第m行，第n列的项，则A（10，8）= .
三、解答题
15.设是一个公差为的等差数列，它的前10项和且，，成等比数列。（1）证明；（2）求公差的值和数列的通项公式.
16. 已知等比数列的各项为不等于1的正数，数列满足，y4=17, y7=11
(1)证明：为等差数列；
（2）问数列的前多少项的和最大，最大值为多少？
17.已知数列是等差数列，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令求数列前n项和的公式.
18. 假设你正在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案：
（Ⅰ）每年年末加1000元； （Ⅱ）每半年结束时加300元。请你选择。
（1）如果在该公司干10年，问两种方案各加薪多少元？
（2）对于你而言，你会选择其中的哪一种？
19. 已知数列，且, , 其中k=1,2,3,…….
（Ⅰ）求，（II）求通项公式.
20. 已知点Pn(an,bn)都在直线：y=2x+2上，P1为直线与x轴的交点，数列成等差数列，公差为1.（n∈N+）
（1）求数列，的通项公式；
（2）若f(n)= 问是否存在k,使得f(k+5)=2f(k)－2成立；若存在，求出k的值，若不存在，说明理由。
（3）求证： （n≥2，n∈N+）
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B B B A B A C B
二、填空题
11. （n∈N*） 12.978 13. 14.
三、解答题
15. 证明：因，，成等比数列，故，而是等差数列，有，,于是 ，即，化简得
（2）解：由条件和，得到，由（1），，代入上式得，故 ，，
16. （1）
y
∴
(2)y ∴3d=－6 d=－2 y
当n=12时，S有最大值144.
∴前12项和最大为144.
17.(Ⅰ）解：设数列公差为，则 又所以
（Ⅱ）解：令则由得
①
②
当时，①式减去②式，得
所以
当时,
综上可得当时,；当时，
18. 设方案一第n年年末加薪an，因为每年末加薪1000元，则an=1000n；
设方案二第n个半年加薪bn，因为每半年加薪300元，则bn=300n；
(1)在该公司干10年(20个半年)，方案1共加薪S10=a1＋a2＋……＋a10=55000元。
方案2共加薪T20=b1＋b2＋……＋b20=20×300＋=63000元；
(2)设在该公司干n年，两种方案共加薪分别为：
Sn=a1＋a2＋……＋an=1000×n＋=500n2＋500n
T2n=b1＋b2＋……＋b2n=2n×300＋=600n2＋300n 令T2n≥Sn即：600n2＋300n>500n2＋500n，解得：n≥2，当n=2时等号成立。
∴如果干3年以上(包括3年)应选择第二方案；如果只干2年，随便选；如果只干1年，当然选择第一方案。
19. （I）a2=a1+(－1)1=0,a3=a2+31=3. a4=a3+(－1)2=4, a5=a4+32=13, 所以，a3=3,a5=13.
(II) a2k+1=a2k+3k = a2k－1+(－1)k+3k, 所以a2k+1－a2k－1=3k+(－1)k, 同理a2k－1－a2k－3=3k－1+(－1)k－1,
……a3－a1=3+(－1).
所以(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+…+(a3－a1)=(3k+3k－1+…+3)+[(－1)k+(－1)k－1+…+(－1)],
由此得a2k+1－a1=(3k－1)+[(－1)k－1],于是a2k+1=
a2k= a2k－1+(－1)k=(－1)k－1－1+(－1)k=(－1)k=1
{an}的通项公式为： 当n为奇数时，an = 当n为偶数时，
20. 1) P ∴ ∴　
(2)
若k为奇数 若k为偶数
则f(k)= 则f(k)=2k－2
f(k+5)=b f(k+5)=k+3
2k+8=2k－4－2 k+3=4k－4－2
无解： q=3k
这样的k不存在 k=3(舍去)无解
（3）
= n
数列
数列的定义
数列的有关概念
数列的通项
数列与函数的关系
项
项数
通项
等差数列
等差数列的定义
等差数列的通项
等差数列的性质
等差数列的前n项和
等比数列
等比数列的定义
等比数列的通项
等比数列的性质
等比数列的前n项和
eq \F(1,2)
eq \F(1,4) eq \F(1,6)
eq \F(1,8) eq \F(1,10) eq \F(1,12) eq \F(1,14)
eq \F(1,16) eq \F(1,18) eq \F(1,20) eq \F(1,22) eq \F(1,24) …
…第18部分——选修系列（选修4-5：不等式选讲）
试题精粹
江苏省2011年高考数学联考试题
D．（江苏省南通市2011届高三第一次调研测试）选修4－5：不等式选讲
设，求证： HYPERLINK "http://www." ．
证明：由柯西不等式，得
…………………………………5分
HYPERLINK "http://www." ．
∴ ．…………………………………………………10分
22．（江苏省南通市2011届高三第一次调研测试）【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
用数学归纳法证明：
HYPERLINK "http://www." ．
证明：（1）当时，左边 HYPERLINK "http://www." ，右边左边，
∴等式成立．……………………………………………………………………………2分
（2）设当 HYPERLINK "http://www." 时，等式成立，
即． ……………4分
则当 HYPERLINK "http://www." 时，
左边
HYPERLINK "http://www."
∴ 时，等式成立．…………………………………………………………8分
由（1）、（2）可知，原等式对于任意 HYPERLINK "http://www." 成立．………………………………10分
4．（无锡市1月期末调研）若能被正整数整除，请写出的最大值，并给予证明．
4．当时，，∴，……………………………………………………2分
下证能被整除． ……………………………………………………3分
、当时已证；………………………………………………………………………………………4分
、假设当时命题成立，即能被整除．……………………………5分
则当时， …………………………………………………6分
， …………………………………………………7分
∵能被整除，而为偶数，
∴也能被整除．即当时命题也成立．…………………………………………8分
由、得的最大值为． …………………………………………………………………………10分
D. （盐城市第一次调研）（选修4—5：不等式选讲）
已知, a , b∈R ，求证：.
D. 因为，所以，所以要证，即证，
即证，即证，而显然成立，故…10分
24．（苏州市2011届高三调研测试）（本小题满分10分）
设，．
⑴当时，比较与的大小．
⑵根据⑴的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．
24.【解析】（1）
(2)猜想：当时，有.
证明：①当时，猜想成立.
②假设当时猜想成立，即,
因为，，
所以
由①②知，对一切时，都成立.
试题精粹
江苏省2011年高考数学联考试题
21．D．（江苏省南通市2010年高三二模）选修4－5　不等式选讲
已知x，y，z均为正数．求证：．
证明：因为x，y，z都是为正数，所以．………………………4分
同理可得，
当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立．……………………………………7分
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得．…10分
21．D．(江苏通州市2010年3月高三素质检测)选修4—4　不等式证明
设a、b、c均为实数，求证：++≥++．
21．D．（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）选修4—5：不等式选讲
设实数满足，求的最小值，并求此时的值．
21．D．选修4—5：不等式选讲
解:∵, ………………………5分
∴，当且仅当时取等号, ………………………8分
∵，∴．
∴的最小值为6,此时．………………………10分
24．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）（本小题为选做题，满分10分）
已知，求函数的最小值以及取最小值时所对应的值．
21．D. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）选修4－5：不等式选讲
已知函数（为实数）的最小值为，若，求的最小值．
24．（江苏省泰州市2010届高三联考试题）（本小题为选做题，满分10分）
已知，证明不等式：
（1）；
（2）．
21．D．（江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷）选修4—5：不等式选讲
解不等式∣2x-1∣<∣x∣+1
D解:当x<0时,原不等式可化为又不存在;
当时,原不等式可化为又当
综上,原不等式的解集为
数学归纳法
归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。
数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n≥n且n∈N）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。
运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。
运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。
Ⅰ、再现性题组：
1. 用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2·1·2…(2n－1) （n∈N），从“k到k＋1”，左端需乘的代数式为_____。
A. 2k＋1 B. 2(2k＋1) C. D.
2. 用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，由n＝k (k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的代数式的个数是_____。
A. 2 B. 2－1 C. 2 D. 2＋1
3. 某个命题与自然数n有关，若n＝k (k∈N)时该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立。现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得______。 (94年上海高考)
A.当n＝6时该命题不成立 B.当n＝6时该命题成立
C.当n＝4时该命题不成立 D.当n＝4时该命题成立
4. 数列{a}中，已知a＝1，当n≥2时a＝a＋2n－1，依次计算a、a、a后，猜想a的表达式是_____。
A. 3n－2 B. n C. 3 D. 4n－3
5. 用数学归纳法证明3＋5 (n∈N)能被14整除，当n＝k＋1时对于式子3＋5应变形为_______________________。
6. 设k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱对角面的个数为f(k+1)＝f(k)＋_________。
【简解】1小题：n＝k时，左端的代数式是(k＋1)(k＋2)…(k＋k),n＝k＋1时，左端的代数式是(k＋2)(k＋3)…(2k＋1)(2k＋2)，所以应乘的代数式为，选B；
2小题：（2－1）－（2－1）＝2，选C；
3小题：原命题与逆否命题等价，若n＝k＋1时命题不成立，则n＝k命题不成立，选C。
4小题：计算出a＝1、a＝4、a＝9、a＝16再猜想a，选B；
5小题：答案（3＋5）3＋5（5－3）；
6小题：答案k－1。
Ⅱ、示范性题组：
已知数列，得，…，，…。S为其前n项和，求S、S、S、S，推测S公式，并用数学归纳法证明。 （93年全国理）
【解】 计算得S＝，S＝，S＝，S＝ ，
猜测S＝ (n∈N)。
当n＝1时，等式显然成立；
假设当n＝k时等式成立，即：S＝，
当n＝k＋1时，S＝S＋
＝＋
＝
＝＝,
由此可知，当n＝k＋1时等式也成立。
综上所述，等式对任何n∈N都成立。
【注】 把要证的等式S＝作为目标，先通分使分母含有(2k＋3)，再考虑要约分，而将分子变形，并注意约分后得到（2k＋3）－1。这样证题过程中简洁一些，有效地确定了证题的方向。本题的思路是从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是关于探索性问题的常见证法，在数列问题中经常见到。 假如猜想后不用数学归纳法证明，结论不一定正确，即使正确，解答过程也不严密。必须要进行三步：试值 → 猜想 → 证明。
【另解】 用裂项相消法求和：
由a＝＝－得，
S＝（1－）＋（－）＋……＋－＝1－
＝。
此种解法与用试值猜想证明相比，过程十分简单，但要求发现＝－的裂项公式。可以说，用试值猜想证明三步解题，具有一般性。
例2. 设a＝＋＋…＋ (n∈N),证明：n(n＋1)【分析】与自然数n有关，考虑用数学归纳法证明。n＝1时容易证得，n＝k＋1时，因为a＝a＋,所以在假设n＝k成立得到的不等式中同时加上，再与目标比较而进行适当的放缩求解。
【解】 当n＝1时，a＝，n(n+1)＝， (n+1)＝2 ，
∴ n＝1时不等式成立。
假设当n＝k时不等式成立，即：k(k＋1)当n＝k＋1时，k(k＋1)＋k(k＋1)＋>k(k＋1)＋(k＋1)＝(k＋1)(k＋3)>(k＋1)(k＋2)，
(k＋1)＋＝(k＋1)＋<(k＋1)＋(k＋)＝(k＋2)，
所以(k＋1)(k＋2) 综上所述，对所有的n∈N，不等式n(n＋1)【注】 用数学归纳法解决与自然数有关的不等式问题，注意适当选用放缩法。本题中分别将缩小成(k＋1)、将放大成(k＋)的两步放缩是证n＝k＋1时不等式成立的关键。为什么这样放缩，而不放大成(k＋2)，这是与目标比较后的要求，也是遵循放缩要适当的原则。
本题另一种解题思路是直接采用放缩法进行证明。主要是抓住对的分析，注意与目标比较后，进行适当的放大和缩小。解法如下：由>n可得，a>1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)；由例3. 设数列{a}的前n项和为S，若对于所有的自然数n，都有S＝，证明{a}是等差数列。 （94年全国文）
【分析】 要证明{a}是等差数列，可以证明其通项符合等差数列的通项公式的形式，即证：a＝a＋(n－1)d 。命题与n有关，考虑是否可以用数学归纳法进行证明。
【解】 设a－a＝d，猜测a＝a＋(n－1)d
当n＝1时，a＝a， ∴ 当n＝1时猜测正确。
当n＝2时，a＋(2－1)d＝a＋d＝a， ∴当n＝2时猜测正确。
假设当n＝k（k≥2）时，猜测正确，即：a＝a＋(k－1)d ，
当n＝k＋1时，a＝S－S＝－，
将a＝a＋(k－1)d代入上式， 得到2a＝(k＋1)(a＋a)－2ka－k(k－1)d，
整理得(k－1)a＝(k－1)a＋k(k－1)d，
因为k≥2,所以a＝a＋kd，即n＝k＋1时猜测正确。
综上所述，对所有的自然数n，都有a＝a＋(n－1)d，从而{a}是等差数列。
【注】 将证明等差数列的问题转化成证明数学恒等式关于自然数n成立的问题。在证明过程中a的得出是本题解答的关键，利用了已知的等式S＝、数列中通项与前n项和的关系a＝S－S建立含a的方程，代入假设成立的式子a＝a＋(k－1)d解出来a。另外本题注意的一点是不能忽视验证n＝1、n＝2的正确性，用数学归纳法证明时递推的基础是n＝2时等式成立，因为由(k－1)a＝(k－1)a＋k(k－1)d得到a＝a＋kd的条件是k≥2。
【另解】 可证a －a＝ a－ a对于任意n≥2都成立：当n≥2时，a＝S－S＝－；同理有a＝S－S＝－；从而a－a＝－n(a＋a)＋，整理得a －a＝ a－ a，从而{a}是等差数列。
一般地，在数列问题中含有a与S时，我们可以考虑运用a＝S－S的关系，并注意只对n≥2时关系成立，象已知数列的S求a一类型题应用此关系最多。第12部分——复数、推理与证明
知识点总结精华
考试内容：
　 复数的概念．
　　复数的加法和减法．
　　复数的乘法和除法．
　　数系的扩充．
考试要求：
（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．
（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．
（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．
复 数 知识要点
1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即.
⑵复数及其相关概念：
复数—形如a + bi的数（其中）；
实数—当b = 0时的复数a + bi，即a；
虚数—当时的复数a + bi；
纯虚数—当a = 0且时的复数a + bi，即bi.
复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）
复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.
⑶两个复数相等的定义：
.
⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.
注：①若为复数，则若，则.（×）[为复数，而不是实数]
若，则.（√）
②若，则是的必要不充分条件.（当，
时，上式成立）
2. ⑴复平面内的两点间距离公式：.
其中是复平面内的两点所对应的复数，间的距离.
由上可得：复平面内以为圆心，为半径的圆的复数方程：.
⑵曲线方程的复数形式：
①为圆心，r为半径的圆的方程.
②表示线段的垂直平分线的方程.
③为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若，此方程表示线段）.
④表示以为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若，此方程表示两条射线）.
⑶绝对值不等式：
设是不等于零的复数，则
①.
左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.
②.
左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.
注：.
3. 共轭复数的性质：
，（a + bi）
（）
注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]
4 ⑴①复数的乘方：
②对任何，及有
③
注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如若由就会得到的错误结论.
②在实数集成立的. 当为虚数时，，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.
⑵常用的结论：
若是1的立方虚数根，即，则 .
5. ⑴复数是实数及纯虚数的充要条件：
①.
②若，是纯虚数.
⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.
注：.
6. ⑴复数的三角形式：.
辐角主值：适合于0≤＜的值，记作.
注：①为零时，可取内任意值.
②辐角是多值的，都相差2的整数倍.
③设则.
⑵复数的代数形式与三角形式的互化：
，，.
⑶几类三角式的标准形式：
7. 复数集中解一元二次方程：
在复数集内解关于的一元二次方程时，应注意下述问题：
①当时，若＞0，则有二不等实数根；若=0，则有二相等实数根；若＜0，则有二相等复数根（为共轭复数）.
②当不全为实数时，不能用方程根的情况.
③不论为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.
8. 复数的三角形式运算：
棣莫弗定理：
试题精粹
江苏省2011年高考数学联考试题
一、填空题:
2．（江苏省南通市2010年高三二模）已知复数为实数，则实数m的值为 ▲ ．
2．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）若将复数表示为是虚数单位的形式，则 。
解析：复数，则1.
1. (江苏通州市2010年3月高三素质检测)若复数其中是虚数单位，则复数的实部为 ▲ 。-20
2．（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）若（，是虚数单位），则 ▲ ．
1．（江苏省无锡市部分学校2010年4月联考试卷）已知复数，且，则 。-1
2．（江苏省盐城市2010年高三第二次调研考试）已知，则复数= ▲ .
2、（江苏省连云港市2010届高三二模试题）若复数其中是虚数单位，则复数的实部为 ▲ . -20
4．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）已知，且，则_____________．1
2. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）已知复数（是虚数单位），则 ▲ .
2、（江苏省南京市2010年3月高三第二次模拟）已经复数满足（i是虚数单位），则复数的模是 。
2．（江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷）已知复数的实部为，虚部为，则的虚部为 ．1
二、解答题
23．（江苏省南通市2010年高三二模）设数列{an}满足a1＝a，an＋1＝an2＋a1，．
（1）当a∈（－∞，－2）时，求证：M；
（2）当a∈（0，］时，求证：a∈M；
（3）当a∈（，＋∞）时，判断元素a与集合M的关系，并证明你的结论．
23. (江苏通州市2010年3月高三素质检测)用数学归纳法证明不等式： 。
1．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）（本题满分8分）
写出的二项展开式（为虚数单位），并计算的值。
（本题满分8分）
………………3分
因为的展开式中的虚部， …………5分
又， ………………7分
所以 ………………8分
4．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）（本题满分12分）
试比较与的大小。
当时，有 填＞、＝或＜
当时，有 填＞、＝或＜
当时，有 填＞、＝或＜
当时，有 填＞、＝或＜
猜想一个一般性结论，并加以证明。
解：<，<，>，> ………………2分
当时恒成立。 ………………4分
证明：当成立； ………………6分
假设当……………7分
则当时，
，…………10分
时也成立 ………………11分
时恒成立 ………………12分函数与方程的思想方法
一、知识整合
函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y＝0通过方程进行研究。
就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。
2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.
3．(1) 函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点。
(2) 函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。
(3) 数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要。
(4) 函数f(x)＝（n∈N*）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题。
(5) 解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论。
(6) 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。
二、例题解析
Ⅰ．运用函数与方程、表达式相互转化的观点解决函数、方程、表达式问题。
例1 已知，（a、b、c∈R），则有（ ）
(A) (B) (C) (D)
解析 法一：依题设有 a·5－b·＋c＝0
∴是实系数一元二次方程的一个实根；
∴△＝≥0 ∴ 故选(B)
法二：去分母，移项，两边平方得：
≥10ac＋2·5a·c＝20ac
∴ 故选(B)
点评解法一通过简单转化，敏锐地抓住了数与式的特点，运用方程的思想使问题得到解决；解法二转化为b2是a、c的函数，运用重要不等式，思路清晰，水到渠成。
练习1 已知关于的方程 －（2 m－8）x +－16 = 0的两个实根 、 满足 ＜＜，则实数m的取值范围_______________。
答案：；
2 已知函数 的图象如下，则（ ）
（A） (B)
(C) (D)
答案：A.
3 求使不等式≤·对大于1的任意x、y恒成立的a的取值范围。
Ⅱ：构造函数或方程解决有关问题：
例2 已知，t∈[，8]，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式恒成立，求x的取值范围。
解析∵t∈[，8]，∴f(t)∈[，3]
原题转化为：>0恒成立，为m的一次函数（这里思维的转化很重要）
当x＝2时，不等式不成立。
∴x≠2。令g(m)＝，m∈[，3]
问题转化为g(m)在m∈[，3]上恒对于0，则：；
解得：x>2或x<－1
评析 首先明确本题是求x的取值范围，这里注意另一个变量m，不等式的左边恰是m的一次函数，因此依据一次函数的特性得到解决。在多个字母变量的问题中，选准“主元”往往是解题的关键。
例3 为了更好的了解鲸的生活习性，某动物保护组织在受伤的鲸身上装了电子监测装置，从海洋放归点A处，如图（1）所示，把它放回大海，并沿海岸线由西向东不停地对它进行了长达40分钟的跟踪观测，每隔10分钟踩点测得数据如下表（设鲸沿海面游动），然后又在观测站B处对鲸进行生活习性的详细观测，已知AB＝15km，观测站B的观测半径为5km。
观测时刻t（分钟） 跟踪观测点到放归点的距离a（km） 鲸位于跟踪观测点正北方向的距离b（km）
10 1 0.999
20 2 1.413
30 3 1.732
40 4 2.001
(1)据表中信息：①计算出鲸沿海岸线方向运动的速度；②试写出a、b近似地满足的关系式并
画出鲸的运动路线草图；
（2）若鲸继续以（1）－②运动的路线运动，试预测，该鲸经过多长时间（从放归时开设计时）可进入前方观测站B的观测范围？并求出可持续观测的时间及最佳观测时刻。（注：≈6.40；精确到1分钟）
解析（1）由表中的信息可知：
①鲸沿海岸线方向运动的速度为：（km/分钟）
②a、b近似地满足的关系式为：运动路线如图
（2）以A为原点，海岸线AB为x轴建立直角坐标系，设鲸所在
位置点P（x，y），由①、②得：，又B（15，0），
依题意：观测站B的观测范围是：
≤5 （y≥0） 又
∴≤25 解得：11.30≤x≤17.70
由①得：∴该鲸经过t＝＝113分钟可进入前方观测站B的观测范围
持续时间：＝64分钟
∴该鲸与B站的距离d＝＝
当d最小时为最佳观测时刻，这时x＝＝14.5，t＝145分钟。
练习4．已知关于的方程－2= 0有实数解，求实数的取值范围。
（答案：0≤≤4－）
Ⅲ：运用函数与方程的思想解决数列问题
例4设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知，>0，<0，
（1）求公差d的取值范围；
（2）指出、、…，中哪一个最大，并说明理由。
解析（1）由得：，
∵＝>0 ＝<0
∴（2）
∵d<0，是关于n 的二次函数，对称轴方程为：x＝
∵x
2
1
y
0
海岸
西
东
图1
A
B
A
B
y
x
图2第十部分——圆锥曲线方程
知识点总结精华
考试内容：
数学探索 版权所有www.椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．椭圆的参数方程．
数学探索 版权所有www.双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质．
数学探索 版权所有www.抛物线及其标准方程．抛物线的简单几何性质．
数学探索 版权所有www.考试要求：
数学探索 版权所有www.（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程．
数学探索 版权所有www.（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．
数学探索 版权所有www.（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．
数学探索 版权所有www.（4）了解圆锥曲线的初步应用．
圆锥曲线方程 知识要点
一、椭圆方程.
1. 椭圆方程的第一定义：
⑴①椭圆的标准方程：
i. 中心在原点，焦点在x轴上：. ii. 中心在原点，焦点在轴上：.
②一般方程：.③椭圆的标准参数方程：的参数方程为（一象限应是属于）.
⑵①顶点：或.②轴：对称轴：x轴，轴；长轴长，短轴长.③焦点：或.④焦距：.⑤准线：或.⑥离心率：.⑦焦点半径：
i. 设为椭圆上的一点，为左、右焦点，则
由椭圆方程的第二定义可以推出.
ii.设为椭圆上的一点，为上、下焦点，则
由椭圆方程的第二定义可以推出.
由椭圆第二定义可知：归结起来为“左加右减”.
注意：椭圆参数方程的推导：得方程的轨迹为椭圆.
⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：和
⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是，方程是大于0的参数，的离心率也是 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.
⑸若P是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为（用余弦定理与可得）. 若是双曲线，则面积为.
二、双曲线方程.
1. 双曲线的第一定义：
⑴①双曲线标准方程：. 一般方程：.
⑵①i. 焦点在x轴上：
顶点： 焦点： 准线方程 渐近线方程：或
ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或 .
②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距（两准线的距离）；通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）
“长加短减”原则：
构成满足 （与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）
⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.
⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.
例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？
解：令双曲线的方程为：，代入得.
⑹直线与双曲线的位置关系：
区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；
区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；
区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.
小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.
（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.
⑺若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n.
简证： = .
常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.
三、抛物线方程.
3. 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：
图形
焦点
准线
范围
对称轴 轴 轴
顶点 （0，0）
离心率
焦点
注：①顶点.
②则焦点半径;则焦点半径为.
③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.
④（或）的参数方程为（或）（为参数）.
四、圆锥曲线的统一定义..
4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线的距离之比为常数的点的轨迹.
当时，轨迹为椭圆；
当时，轨迹为抛物线；
当时，轨迹为双曲线；
当时，轨迹为圆（，当时）.
5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.
因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD与BC的中点重合即可.
注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质
椭圆 双曲线 抛物线
定义 1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹
2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（01） 与定点和直线的距离相等的点的轨迹.
图形
方程 标准方程 (>0) (a>0,b>0) y2=2px
参数方程 (t为参数)
范围 ─axa，─byb |x| a，yR x0
中心 原点O（0，0） 原点O（0，0）
顶点 (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) (a,0), (─a,0) (0,0)
对称轴 x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2b x轴，y轴;实轴长2a, 虚轴长2b. x轴
焦点 F1(c,0), F2(─c,0) F1(c,0), F2(─c,0)
焦距 2c （c=） 2c （c=）
离心率 e=1
准线 x= x=
渐近线 y=±x
焦半径
通径 2p
焦参数 P
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质.
等轴双曲线
共轭双曲线
5. 方程y2=ax与x2=ay的焦点坐标及准线方程.
6.共渐近线的双曲线系方程.
试题精粹
江苏省2011年高考数学联考试题
5．（江苏省2010届苏北四市第一次联考）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为
▲ ．或
9．（江苏省2010届苏北四市第一次联考）已知圆： 与轴交于点和，在线段上取一点，作与圆的一个交点为，若线段、、可作为一个锐角三角形的三边长，则的取值范围为 ▲ ．
12．（姜堰二中学情调查（三））已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形，设P为该椭圆上的动点，C、D的坐标分别是，则的最大值为 ．6
8．（江苏省南通市2011届高三第一次调研测试）双曲线上一点M到它的右焦点的距离是3，则点M的横坐标是 ▲ ． HYPERLINK "http://www."
3、（南通市六所省重点高中联考试卷）方程 的曲线是焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是 ▲
9、（南通市六所省重点高中联考试卷）已知椭圆的中心为O，右焦点为F、右顶点为A，右准线与x轴的交点为H，
则的最大值为 ▲
12、（宿迁市高三12月联考）椭圆的左焦点为F，其左准线与轴的交点为，若在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是　　 　　；[，1）
（无锡市1月期末调研）设双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为 ▲ ．或
10．（徐州市12月高三调研）已知分别是椭圆的上、下顶点和右焦点，直线与椭圆的右准线交于点，若直线∥轴，则该椭圆的离心率= ▲ .
12．（盐城市第一次调研）在中,,,则以为焦点且过点的椭圆的离心率为 ▲ .
10. （苏北四市2011届高三第二次调研）双曲线的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点在“上”区域内，则双曲线离心率的取值范围是 ▲ ．
18．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2011届高三调研考试）（本小题满分16分）
如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，下顶点为，点是椭圆上任一点，圆是以为直径的圆．
⑴当圆的面积为，求所在的直线方程；
⑵当圆与直线相切时，求圆的方程；
⑶求证：圆总与某个定圆相切．
解 ⑴易得，，，设，
则，
∴， ……………………………………………………2
又圆的面积为，∴，解得， ∴或，
∴所在的直线方程为或；…………………………4
⑵∵直线的方程为，且到直线的距离为
， 化简得，…………………………6
联立方程组，解得或． …………………………8
当时，可得， ∴ 圆的方程为；………9
当时，可得， ∴ 圆的方程为；…10
⑶圆始终与以原点为圆心，半径（长半轴）的圆（记作圆O）相切．
证明：∵， ……………14
又圆的半径，∴，
∴圆总与圆O内切． …………………………………………16
24．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2011届高三调研考试） 已知抛物线L的方程为，直线截抛物线L所得弦．
⑴求p的值；
⑵抛物线L上是否存在异于点A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线．若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：
解：⑴由解得
∴，∴ ………………………………………4
⑵由⑴得
假设抛物线L上存在异于点A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线
令圆的圆心为，则由得
得 …………………………………………6
∵抛物线L在点C处的切线斜率
又该切线与垂直， ∴
∴ ……………………8
∵，∴
故存在点C且坐标为（-2,1） …………………………………………10
17．（江苏省2010届苏北四市第一次联考）(本小题满分14分)
已知椭圆的左、右两个顶点分别为A，B，直线与椭圆相交于M，N两点，经过三点A，M，N的圆与经过三点B，M，N的圆分别记为圆C1与圆C2．
(1)求证：无论t如何变化，圆C1与圆C2的圆心距是定值；
(2)当t变化时，求圆C1与圆C2的面积的和S的最小值．
17、解：（1）易得的坐标,的坐标，的坐标，的坐标，线段的中点，
直线的斜率 ………………………………………3分
又, 直线的斜率
直线的方程，的坐标为
同理的坐标为 …………………………………………………… 7分
,即无论t如何变化，为圆C1与圆C2的圆心距是定值.…………… 9分
（2）圆的半径为，圆的半径为，
则 （＜＜）
显然时，最小，. …………… 14分
18. （常州市2011届高三数学调研）（15） 已知直线l的方程为，且直线l与x轴交于点M，圆与x轴交于两点（如图）．
（1）过M点的直线交圆于两点，且圆孤恰为圆周的，求直线的方程；
（2）求以l为准线，中心在原点，且与圆O恰有两个公共点的椭圆方程；
（3）过M点的圆的切线交（II）中的一个椭圆于两点，其中两点在x轴上方，求线段CD的长．
18、解：（1I）为圆周的 点到直线的距离为
设的方程为
的方程为
（2）设椭圆方程为，半焦距为c，则
椭圆与圆O恰有两个不同的公共点，则或
当时，所求椭圆方程为；
当时， 所求椭圆方程为
（3）设切点为N，则由题意得，椭圆方程为
在中，，则，
的方程为，代入椭圆中，整理得
设，则
18．（姜堰二中学情调查（三））（本小题共16分）
已知椭圆和圆：，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为．
（1）①若圆过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率；
②若椭圆上存在点，使得，求椭圆离心
率的取值范围；
（2）设直线与轴、轴分别交于点，，求证：
为定值．
18．解：（Ⅰ）（ⅰ）∵ 圆过椭圆的焦点，圆：，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴． ………　5分
（ⅱ）由及圆的性质，可得，
∴∴
∴，． ………　10分
（Ⅱ）设，则
整理得
∴方程为：，
方程为：．∴，
∴,
直线方程为 ，即 ．
令，得，令，得，
∴，
∴为定值，定值是………　16分
19．（姜堰二中学情调查（三））（本小题共16分）
已知M（p, q）为直线x+y-m=0与曲线y=-的交点，
且p求证：|f（）-f（）|<|p-q|
证明：
易证f（x）在（p,q）上单调………　6分
又 ，………　10
|f（）-f（）|=………　16分
18 . （泰州市2011届高三第一次模拟考试）(本小题满分16分)
如图，在直角坐标系中，三点在轴上，原点和点分别是线段和
的中点，已知（为常数），平面上的点满足。
（1）试求点的轨迹的方程；
（2）若点在曲线上，求证：点一定在某圆上；
（3）过点作直线，与圆相交于两点，若点恰好是线段的中点，试求直线的方程。
18. ⑴由题意可得点的轨迹是以为焦点的椭圆. ……………………（2分）
且半焦距长，长半轴长，则的方程为.………（5分）
⑵若点在曲线上，则.设，，则，. …………………………………………………………………………（7分）
代入，得，所以点一定在某一圆上.
………………………………（10分）
⑶由题意. ………………………………………………………………（11分）
设，则.┈┈┈①
因为点恰好是线段的中点，所以. 代入的方程得.┈┈┈②
联立①②，解得，.…………………………………………………（15分）
故直线有且只有一条，方程为. ……………………………………………（16分）
（若只写出直线方程，不说明理由，给1分）
18 . （泰州市2011届高三第一次模拟考试）(本小题满分16分)
如图，在直角坐标系中，三点在轴上，原点和点分别是线段和
的中点，已知（为常数），平面上的点满足。
（1）试求点的轨迹的方程；
（2）若点在曲线上，求证：点一定在某圆上；
（3）过点作直线，与圆相交于两点，若点恰好是线段的中点，试求直线的方程。
18. ⑴由题意可得点的轨迹是以为焦点的椭圆. ……………………（2分）
且半焦距长，长半轴长，则的方程为.………（5分）
⑵若点在曲线上，则.设，，则，. …………………………………………………………………………（7分）
代入，得，所以点一定在某一圆上.
………………………………（10分）
⑶由题意. ………………………………………………………………（11分）
设，则.┈┈┈①
因为点恰好是线段的中点，所以. 代入的方程得.┈┈┈②
联立①②，解得，.…………………………………………………（15分）
故直线有且只有一条，方程为. ……………………………………………（16分）
（若只写出直线方程，不说明理由，给1分）
18．（江苏省南通市2011届高三第一次调研测试）（本题满分15分）
如图，已知椭圆 HYPERLINK "http://www." 的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，直线l为椭圆的右准线，N为l上一动点，且在x轴上方，直线AN与椭圆交于点M．
（1）若AM=MN，求∠AMB的余弦值；
（2）设过A，F，N三点的圆与y轴交于P，Q两点，当
线段PQ的中点坐标为（0，9）时，求这个圆的方程．
解：（1）由已知，，直线 HYPERLINK "http://www." ．
设N（8，t）（t>0），因为AM=MN，所以M（4，）．
由M在椭圆上，得t=6．故所求的点M的坐标为M（4，3）．………………………4分
所以 HYPERLINK "http://www." ，．
HYPERLINK "http://www." ．……………………………………7分
（用余弦定理也可求得）
（2）设圆的方程为，将A，F，N三点坐标代入，得
HYPERLINK "http://www."
∵ 圆方程为，令 HYPERLINK "http://www." ，得．…11分
设 HYPERLINK "http://www." ，则．
由线段PQ的中点坐标为（0，9），得 HYPERLINK "http://www." ，．
此时所求圆的方程为 HYPERLINK "http://www." ．………………………………………15分
（本题用韦达定理也可解）
（2）（法二）由圆过点A、F得圆心横坐标为－1，由圆与y轴交点的纵坐标为（0，9），
得圆心的纵坐标为9，故圆心坐标为（－1，9）．…………………………………… 11分
易求得圆的半径为，………………………………………………………………13分
所以，所求圆的方程为 HYPERLINK "http://www." ．……………………………………… 15分
18. （苏北四市2011届高三第一次调研考试）（本小题满分16分）
已知椭圆E：的左焦点为F，左准线与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点.
（1）求圆C的方程；
（2）若直线FG与直线交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；
（3）在平面上是否存在定点P，使得？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.
讲评建议：对于第二问题当初是仿照2004年江苏高考题命制，用，考查两解情况，后改为，但综合全题还是有一线教师认为运算量较大，后改为现在情况，改成中点后，命题思想完全发生了变化，改成中点，学生用中点坐标公式，是代数方法，而原来思维是方程思想，这一点引起各位注意，对于第三问，也是教材的习题，逆向思维，同时是对两个参量求最值，学生一般接触较少，当然此题也可转化成一个参数，即对平方法，两次用圆方程消元，达到目的，建议教师讲解。同时注意到，此圆是以椭圆的左准线的与x轴的交点为圆心，两个定点恰是椭圆的左右焦点，三问题之间非常和谐，融为一体。
18．（1）由椭圆E：，得：，，，
又圆C过原点，所以圆C的方程为．………………………………4分
（2）由题意，得，代入，得，
所以的斜率为，的方程为， …………………8分
（注意：若点G或FG方程只写一种情况扣1分）
所以到的距离为，直线被圆C截得弦长为．
故直线被圆C截得弦长为7．…………………………………………………………10分
（3）设，，则由，得，
整理得①，…………………………12分
又在圆C：上，所以②，
②代入①得， …………………………14分
又由为圆C 上任意一点可知，解得．
所以在平面上存在一点P，其坐标为． …………………………16分
18、（宿迁市高三12月联考）（本题满分16分）已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短轴长为2，动点 在椭圆的准线上。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；
（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值。
18、解：（1）由，得 ……………1分
又由点M在准线上，得 ……………2分
故， 从而 ……………4分
所以椭圆方程为 ……………5分
（2）以OM为直径的圆的方程为
即
其圆心为,半径 ……………7分
因为以OM为直径的圆被直线截得的弦长为2
所以圆心到直线的距离 ……………9分
所以，解得
所求圆的方程为 ……………10分
（3）方法一：由平几知：
直线OM：，直线FN： ……………12分
由得
所以线段ON的长为定值。 ……………16分
方法二、设，则
又
所以，为定值。
18．（无锡市1月期末调研）(本小题满分16分)
已知椭圆 的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点．
当直线AM的斜率为时，求点M的坐标；
当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由．
18．（1）直线AM的斜率为时，直线AM：， ……………………………………………1分
代入椭圆方程并化简得：， ……………………………………………2分
解之得，∴． ……………………………………………………4分
（2）设直线AM的斜率为，则AM：，
则　化简得：．……………………………6分
∵此方程有一根为，∴， ………………………………………………………7分
同理可得．……………………………………………………………………………8分
由（1）知若存在定点，则此点必为．…………………………………………………9分
∵，…………………………………………………11分
同理可计算得．……………………………………………………………………13分
∴直线MN过轴上的一定点． …………………………………………………………16分
19．（徐州市12月高三调研）(本小题满分16分)
已知椭圆：的左、右焦点分别为，下顶点为，点是椭圆上任一点，⊙是以为直径的圆.
（Ⅰ）当⊙的面积为时，求所在直线的方程；
（Ⅱ）当⊙与直线相切时，求⊙的方程；
（Ⅲ）求证：⊙总与某个定圆相切.
19．解：（Ⅰ）易得，设点P，
则，所以…3分
又⊙的面积为，∴，解得，∴，
∴所在直线方程为或………………5分
（Ⅱ）因为直线的方程为，且到直线的
距离为………………………………7分
化简，得，联立方程组，解得或…10分
∴当时，可得，∴⊙的方程为；
当时，可得，∴⊙的方程为…12分
（Ⅲ）⊙始终和以原点为圆心，半径为（长半轴）的圆（记作⊙）相切…13分
证明：因为，
又⊙的半径，∴，∴⊙和⊙相内切……16分
17．（盐城市第一次调研）(本小题满分16分)
已知抛物线的准线为,焦点为.⊙M的圆心在轴的正半轴上,且与轴相切．
过原点作倾斜角为的直线,交于点, 交⊙M于另一点,且.
（Ⅰ）求⊙M和抛物线的方程；
（Ⅱ）若为抛物线上的动点,求的最小值；
（Ⅲ）过上的动点向⊙M作切线,切点为,
求证：直线恒过一个定点,并求该定点的坐标.
17．解：（Ⅰ）因为,即,所以抛物线C的方程为… 2分
设⊙M的半径为,则,所以的方程为……… 5分
（Ⅱ）设,
则=…8分
所以当时, 有最小值为2 ………………………………………10分
（Ⅲ）以点Q这圆心,QS为半径作⊙Q,则线段ST即为⊙Q与⊙M的公共弦………… 11分
设点,则,所以⊙Q的方程为
…………………………………13分
从而直线QS的方程为(*)…………………………………………14分
因为一定是方程(*)的解,所以直线QS恒过一个定点,且该定点坐标为……16分
18. （苏北四市2011届高三第二次调研）（本小题满分16分）
如图，椭圆过点，其左、右焦点分别为，离心率，是椭圆右准线上的两个动点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）求的最小值；
（3）以为直径的圆是否过定点？
请证明你的结论．
18.（1），且过点，
解得 椭圆方程为.……………………………………4分
设点 则，
， 又，
的最小值为．…………………………………………………………………………10分
圆心的坐标为，半径.
圆的方程为，
整理得：. ……………………………………16分
，
令，得，.
圆过定点.……………………………………………………………………………16分
21. （苏北四市2011届高三第二次调研）（本小题满分10分）
已知动圆过点且与直线相切.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点作一条直线交轨迹于两点，轨迹在两点处的切线相交于点，为线段的中点，求证：轴.
21.（1）根据抛物线的定义，可得动圆圆心的轨迹C的方程为…………4分
证明：设， ∵， ∴ ，∴ 的斜率分别
为，故的方程为，的方程为 …7分
即，两式相减，得，又，
∴ 的横坐标相等，于是………………10分
18. （苏州市2011届高三调研测试）（本小题满分16分）
如图，椭圆的左焦点为，上顶点为，
过点作直线的垂线分别交椭圆、轴于两点.
⑴若,求实数的值；
⑵设点为的外接圆上的任意一点，
当的面积最大时，求点的坐标.
18.【解析】（1）由条件得
因为所以
令得所以点的坐标为.
由得解得（舍）
所以点的坐标为.
因为，所以且
（2）因为是直角三角形，
所以的外接圆的圆心为，半径为
所以圆的方程为.
因为为定值，所以当的面积最大时点到直线的距离最大.
过作直线的垂线，则点为直线与圆的交点 .
直线与联立得（舍）或
所以点的坐标为.
试题精粹
江苏省2010年高考数学联考试题
一、填空题:
12．（江苏省南通市2010年高三二模）A、B是双曲线C的两个顶点，直线l与实轴垂直，与双曲线C 交于P、Q两点，若，则双曲线C的离心率e＝ ▲ ．
解析：设双曲线方程为，双曲线上点P(x,y)，
则,(x,y).由得
从而,又因点P在双曲线上,满足,另从题中知点P为任意可由两式比较得,则双曲线C的离心率e＝.
法二:由知为垂心,即PQ运动中始终要B点垂心;从而可假设三角形PAQ为等边三角形来处理.
7．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点（2，）与（，0），则双曲线的焦点坐标为 。
解析：由题意知设双曲线的方程为且,又过点（2，）
得,则双曲线的焦点坐标为.
13．（江苏省无锡市部分学校2010年4月联考试卷）已知是椭圆的半焦距，则的取值范围是 。
解：
2．(江苏通州市2010年3月高三素质检测)如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线 ( http: / / www. )相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ .
5．（江苏省泰州市2010届高三联考试题）已知双曲线的实轴长为2，离心率为2，则双曲线的焦点坐标是______▲_______．
解析：由双曲线的实轴长为2，离心率为2，
知，则，故双曲线的焦点坐标是。
（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）在平面直角坐标系中，已知双曲线：（）的一条渐近线与直线：垂直，则实数 ▲ ．2
9．（江苏省盐城市2010年高三第二次调研考试）中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 ▲ . w ww.ks 5u.c om
8、（江苏省连云港市2010届高三二模试题）已知双曲线（为锐角）的右焦为F，P是右支上任意一点，以P为圆心，PF长为半径的圆在右准线上截得的弦长恰好等于|PF|，则的值为 ▲ . （2，1）
10、（江苏省连云港市2010届高三二模试题）如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线 ( http: / / www. )与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ .
9．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）直线过双曲线的右焦点且与双曲线的两渐近线分别交于A、B两点，若原点在以AB为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是_____________．
13. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）如图，已知椭圆的方程为：，是它的下顶点，是其右焦点，的延长线与椭圆及其右准线分别交于、两点，若点恰好是的中点，则此椭圆的离心率是 ▲ .
11、（江苏省南京市2010年3月高三第二次模拟）.以椭圆 （a>b>0）的右焦点为圆心的圆经过原点O，且与该椭圆的右准线交与A，B两点，已知△OAB是正三角形，则该椭圆的离心率是 。
3．（江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为 。8
12．（江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷已知椭圆，是左右焦点，是右准线，若椭圆上存在点，使是到直线的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是______________．
二、解答题
18．（江苏省南通市2010年高三二模）（本小题满分15分）
平面直角坐标系xOy中，已知⊙M经过点F1（0，－c），F2（0，c），A（c，0）三点，其中c＞0．
（1）求⊙M的标准方程（用含的式子表示）；
（2）已知椭圆（其中）的左、右顶点分别为D、B，
⊙M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧．
①求椭圆离心率的取值范围；
②若A、B、M、O、C、D（O为坐标原点）依次均匀分布在x轴上，问直线MF1与直线DF2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．
18．(江苏通州市2010年3月高三素质检测)（本小题满分15分）
如图，已知圆O：x2+y2=2交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，其右焦点为F．若点P(－1,1)为圆O上一点，连结PF，过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的右准线l于点Q．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）证明：直线PQ与圆O相切．
17．（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系中，椭圆C：（）的左焦点为，右顶点为A，动点M 为右准线上一点（异于右准线与轴的交点），设线段交椭圆C于点P，已知椭圆C的离心率为，点M的横坐标为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线PA的斜率为，直线MA的斜率为，求的取值范围．
17．解：（1）由已知，得
……………………………………2分
18．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）（本题满分16分）
设椭圆的左，右两个焦点分别为，，短轴的上端点为B，短轴上的两个三等分点为P，Q，且为正方形。
（1）求椭圆的离心率；
（2）若过点B作此正方形的外接圆的切线在轴上的一个截距为，求此椭圆方程。
2．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）（本题满分8分）
已知动抛物线的准线为轴，且经过点（0，2），求抛物线的顶点轨迹方程。
（本题满分8分）
设抛物线的顶点坐标为， ……………………3分
由题意得， ………………6分
即顶点的轨迹方程为 ………………8分
18．（江苏省无锡市部分学校2010年4月联考试卷）（15分）已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且椭圆以抛物线的焦点为其一个焦点，以双曲线的焦点为顶点。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点，且分别为椭圆的上顶点和右顶点，点是线段上的动点，求的取值范围。
（3）试问在圆上，是否存在一点，使的面积（其中为椭圆的半长轴长，为椭圆的半短轴长，为椭圆的两个焦点），若存在，
求的值，若不存在，请说明理由。
18、（江苏省连云港市2010届高三二模试题）（16分）如图，已知椭圆的左顶点，右焦点分别为，右准线为。圆D：。
（1）若圆D过两点，求椭圆C的方程；
（2）若直线上不存在点Q，使为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围。
（3）在（Ⅰ）的条件下，若直线与轴的交点为，将直线绕顺时针旋转得直线，动点P在直线上，过P作圆D的两条切线，切点分别为M、N，求弦长MN的最小值。
18、解：（1）圆与轴交点坐标为，
，，故， …………………………………………2分
所以，椭圆方程是： …………………………5分
18．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）（本小题满分16分）
已知半椭圆和半圆
组成曲线，其中；如图，半椭圆
内切于矩形，
且交轴于点，点是半圆上
异于的任意一点，当点位于点时，
的面积最大。
（1）求曲线的方程；
（2）连、交分别于点，求证：为定值。
令，得，
所以； （12分）
则
，
又由，得，代入上式得
，所以为定值。 （16分）
18. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）已知抛物线的顶点在坐标原点，准线的方程为，点在准线上，纵坐标为，点在轴上，纵坐标为．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切，并求出圆的方程。
，可解得
因此直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切，圆的方程为.
………………………………………………………………………………………16分
23. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）【必做题】如图，已知抛物线的准线为，为上的一个动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，再分别过，两点作的垂线，垂足分别为，．
（1）求证：直线必经过轴上的一个定点，并写出点的坐标；
（2）若，，的面积依次构成等差数列，求此时点的坐标．
又因为，，
时，，，
所以所求点的坐标为． ………………………………10分
18．（江苏省泰州市2010届高三联考试题）（本小题满分16分）
已知椭圆的方程为，点分别为其左、右顶点，点分别为其左、右焦点，以点为圆心，为半径作圆；以点为圆心，为半径作圆；
若直线被圆和圆截得的弦长之比为；
（1）求椭圆的离心率；
（2）己知a=7，问是否存在点，使得过点有无数条直线被圆和圆截得的弦长之比为；若存在，请求出所有的点坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由，得直线的倾斜角为，
则点到直线的距离，
故直线被圆截得的弦长为，
直线被圆截得的弦长为， （3分）
据题意有：，即， （5分）
化简得：，
解得：或，又椭圆的离心率；
故椭圆的离心率为．（7分）
17．（江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷如图，已知椭圆的左顶点、右焦点分别为、，右准线为，为上一点，且在轴上方，与椭圆交于点。
⑴若，求证：；
⑵设过三点的圆与轴交于两点，求的最小值。
第14讲 解析几何问题的题型与方法
一、知识整合
能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了.
2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.
理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.
4．掌握圆的标准方程：（r＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程（θ为参数），明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法.
5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a、b、c、p、e之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法.
二、近几年高考试题知识点分析
2004年高考，各地试题中解析几何内容在全卷的平均分值为27.1分，占18．1％；2001年以来，解析几何内容在全卷的平均分值为29.3分，占19.5％．因此，占全卷近1/5的分值的解析几何内容，值得我们在二轮复习中引起足够的重视．高考试题中对解析几何内容的考查几乎囊括了该部分的所有内容，对直线、线性规划、圆、椭圆、双曲线、抛物线等内容都有涉及．
1．选择、填空题
1．1 大多数选择、填空题以对基础知识、基本技能的考查为主，难度以容易题和中档题为主
（1）对直线、圆的基本概念及性质的考查
例1 以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是_________．
（2）对圆锥曲线的定义、性质的考查
例2已知点、，动点P满足. 当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是
（A） （B） （C） （D）2
1．2 部分小题体现一定的能力要求能力，注意到对学生解题方法的考查
例3若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
2．解答题
解析几何的解答题主要考查求轨迹方程以及圆锥曲线的性质．以中等难度题为主，通常设置两问，在问题的设置上有一定的梯度，第一问相对比较简单．
例4已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F（-m,0）(m是大于0的常数).
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线与y轴交于点M. 若，求直线l的斜率．
本题第一问求椭圆的方程，是比较容易的，对大多数同学而言，是应该得分的；而第二问，需要进行分类讨论，则有一定的难度，得分率不高．
解：（I）设所求椭圆方程是
由已知，得 所以.
故所求的椭圆方程是
（II）设Q（），直线
当由定比分点坐标公式，得
.
于是 故直线l的斜率是0，.
例5设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.
（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：
（II）设直线l与y轴的交点为P，且求a的值.
解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组
有两个不同的实数解.消去y并整理得 （1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ①
双曲线的离心率
（II）设
由于x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0，
例6给定抛物线C：F是C的焦点，过点F的直线与C相交于A、B两点.
（Ⅰ）设的斜率为1，求夹角的大小；
（Ⅱ）设，求在轴上截距的变化范围.
解：（Ⅰ）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为
将代入方程，并整理得
设则有
所以夹角的大小为
（Ⅱ）由题设 得
即
由②得， ∵ ∴③
联立①、③解得，依题意有
∴又F（1，0），得直线l方程为
当时，l在方程y轴上的截距为
由 可知在[4，9]上是递减的，
∴
直线l在y轴上截距的变化范围为
从以上3道题我们不难发现，对解答题而言，椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线都有考查的可能，而且在历年的高考试题中往往是交替出现的，以江苏为例，01年考的是抛物线，02年考的是双曲线，03年考的是求轨迹方程（椭圆），04年考的是椭圆．
三、热点分析
1．重视与向量的综合
例7平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（－1，3），若点C满足，其中、∈R，且＋=1，则点C的轨迹方程为
（A）（x－1）2＋（y－2）2=5 （B）3x＋2y－11=0
（C）2x－y=0 （D）x＋2y－5=0
例8已知点、，动点，则点P的轨迹是
（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线 （D）抛物线
2．考查直线与圆锥曲线的位置关系几率较高
3．与数列相综合
例9如图，ΔOBC的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P为线段BC的中点,P2为线段CO的中点,P3为线段OP1的中点,对于每一个正整数n,Pn+3为线段PnPn+1的中点,令Pn的坐标为(xn,yn),
（Ⅰ）求及;
（Ⅱ）证明
（Ⅲ）若记证明是等比数列.
解：(Ⅰ)因为，所以，又由题意可知，
∴== ∴为常数列.∴
(Ⅱ)将等式两边除以2，得
又∵，∴
（Ⅲ）∵
又∵
∴是公比为的等比数列.
4．与导数相综合
近几年的新课程卷也十分注意与导数的综合，如03年的天津文科试题、04年的湖南文理科试题，都分别与向量综合．
例10如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于A,B两点，点Q是点P关于原点的对称点。
（I）设点P分有向线段所成的比为，证明:
（II）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.
解：（Ⅰ）依题意，可设直线AB的方程为 代入抛物线方程得 ①
设A、B两点的坐标分别是 、、x2是方程①的两根.
所以
由点P（0，m）分有向线段所成的比为，得
又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标是（0，－m），从而.
所以
（Ⅱ）由 得点A、B的坐标分别是（6，9）、（－4，4）.
由 得 所以抛物线 在点A处切线的斜率为
设圆C的方程是则
解之得
所以圆C的方程是 即
5．重视应用
例11某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)
解：如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）
设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，
依题意得a=680, c=1020，
用y=－x代入上式，得，∵|PB|>|PA|,
答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.
（二）高考预测
1．难度：解析几何内容是历年来高考数学试题中能够拉开成绩差距的内容之一，该部分试题往往有一定的难度和区分度。
2．命题内容：从今年各地的试题以及前几年的试题来看，解答题所考查的内容基本上是椭圆、双曲线、抛物线交替出现的，所以，今年极有可能考双曲线的解答题．此外，从命题所追求的目标来看，小题所涉及的内容一定会注意到知识的覆盖，兼顾到对能力的要求．
3．命题的热点：
（1）与其他知识进行综合，在知识网络的交汇处设计试题（如与向量综合，与数列综合、与函数、导数及不等式综合等）；
（2）直线与圆锥曲线的位置关系，由于该部分内容体现解析几何的基本思想方法——用代数的手段研究几何问题，因此该部分内容一直是考试的热点。
（3）求轨迹方程．
（4）应用题．
四、复习建议
1．根据学生的实际，有针对性地进行复习，提高复习的有效性
2．重视通性通法，加强解题指导，提高解题能力
在复习中，不能仅仅复习概念和性质，还应该以典型的例题和习题为载体，在二轮复习中强化各类问题的常规解法，使学生形成解决各种类型问题的操作范式．数学学习是学生自主学习的过程，解题能力只有通过学生的自主探究才能掌握．所以，在二轮复习中，教师的作用是对学生的解题方法进行引导、点拨和点评，只有这样，才能够实施有效复习．
3．注意强化思维的严谨性，力求规范解题，尽可能少丢分
在解解析几何的大题时，有不少学生常出现因解题不够规范而丢分的现象，因此，要通过平时的讲评对易出现错误的相关步骤作必要的强调，减少或避免无畏的丢分．
例14设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.
（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：
（II）设直线l与y轴的交点为P，且求a的值.
解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组
有两个不同的实数解.消去y并整理得
（1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ①
双曲线的离心率
还有，在设直线方程为点斜式时，就应该注意到直线斜率不存在的情形；又如，在求轨迹方程时，还要注意到纯粹性和完备性等．
五、参考例题
例1、若直线mx+y+2=0与线段AB有交点，其中A(-2, 3)，B(3,2)，求实数m的取值范围。
解：直线mx+y+2=0过一定点C(0, -2)，直线mx+y+2=0实际上表示的是过定点(0, -2)的直线系，因为直线与线段AB有交点，则直线只能落在∠ABC的内部，设BC、CA这两条直线的斜率分别为k1、k2，则由斜率的定义可知，直线mx+y+2=0的斜率k应满足k≥k1或k≤k2， ∵A(-2, 3) B(3, 2)
∴
∴-m≥或-m≤ 即m≤或m≥
说明：此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题，这里要清楚直线mx+y+2=0的斜率-m应为倾角的正切，而当倾角在(0°,90°)或(90°,180°)内，角的正切函数都是单调递增的，因此当直线在∠ACB内部变化时，k应大于或等于kBC，或者k小于或等于kAC，当A、B两点的坐标变化时，也要能求出m的范围。
例2、已知x、y满足约束条件
x≥1，
x-3y≤-4，
3x+5y≤30，
求目标函数z=2x-y的最大值和最小值.
解：根据x、y满足的约束条件作出可行域，即如图所示的阴影部分（包括边界）.
作直线：2x-y=0，再作一组平行于的直线：2x-y=t，t∈R.
可知，当在的右下方时，直线上的点（x，y）满足2x-y＞0，即t＞0，而且直线往右平移时，t随之增大.当直线平移至的位置时，直线经过可行域上的点B，此时所对应的t最大；当在的左上方时，直线上的点（x，y）满足2x-y＜0，即t＜0，而且直线往左平移时，t随之减小.当直线平移至的位置时，直线经过可行域上的点C，此时所对应的t最小.
x-3y+4=0，
由 解得点B的坐标为（5，3）；
3x+5y-30=0，
x=1，
由 解得点C的坐标为（1，）.
3x+5y-30=0，
所以，=2×5-3=7；=2×1-=.
例3、 已知⊙M：轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，（1）如果，求直线MQ的方程；
（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.
解:（1）由，可得由射影定理，得 在Rt△MOQ中，
，
故，
所以直线AB方程是
（2）连接MB，MQ，设由
点M，P，Q在一直线上，得
由射影定理得
即 把（*）及（**）消去a，
并注意到，可得
说明：适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在。
例4、已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.
解：∵（1）原点到直线AB：的距离.
故所求双曲线方程为
（2）把中消去y，整理得 .
设的中点是，则
即
故所求k=±.
说明：为了求出的值, 需要通过消元, 想法设法建构的方程.
例5、已知椭圆的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，向量与是共线向量。
（1）求椭圆的离心率e；
（2）设Q是椭圆上任意一点， 、分别是左、右焦点，求∠ 的取值范围；
解：（1）∵，∴。
∵是共线向量，∴，∴b=c,故。
（2）设
当且仅当时，cosθ=0，∴θ。
说明：由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题。
圆锥曲线过关测试
过点P（2，1）且被圆x2+y2－2x+4y=0，截得的弦长最大的直线的方程是
直线当k变动时，所有直线都过定点
3、直线和直线平行的充要条件是
4、方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t2+9=0(t∈R)表示圆方程，则t的取值范围是
5、过圆x2+y2=4外一点P(4，2)作圆的两条切线，切点为A、B，则△ABP的外接圆方程是
6、已知圆C过点A（4,-1）,且与圆相切于点B（1,2）,则圆C
的方程为
7、过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率=
8、若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆, 那么实数k的取值范围是
9、抛物线y=ax2 的准线方程是y=2，则a的值为
10、已知双曲线－＝1的一条准线与抛物线y＝4x的准线重合,则双曲线的离心率为
11、已知椭圆的两个焦点为 ，且，弦AB过点，则△的周长为
12、已知P是以F1、F2为焦点的椭圆(a>b>0)上一点，若=0，
tan∠PF1F2=，则此椭圆的离心率为
13、已知圆：和圆，直线与圆相切于点；圆的圆心在射线上，圆过原点，且被直线截得的弦长为．
(Ⅰ)求直线的方程； (Ⅱ)求圆的方程．
14、已知圆O:交轴于A，B两点,曲线C是以为长轴,离心率为的椭圆,其左焦点为F.若P是圆O上一点,连结PF,过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的左准线于点Q.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)若点P的坐标为(1,1),求证:直线PQ与圆相切；
(Ⅲ)试探究:当点P在圆O上运动时(不与A、B重合),直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系 若是,请证明；若不是,请说明理由.
参考答案
1、3x－y－5=0 2、（3，1） 3、 4、 5、(x-2)2+(y-1)2=5
6、 7、 8、(0, 1) 9、 10、
11、 12、
13、解：(Ⅰ)（法一）∵点在圆上，
∴直线的方程为，即．
（法二）当直线垂直轴时，不符合题意．
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即．
则圆心到直线的距离，即：，解得，
∴直线的方程为．
（Ⅱ）设圆：，∵圆过原点，∴．
∴圆的方程为．
∵圆被直线截得的弦长为，∴圆心到直线：的距离：
．
整理得：，解得或．
∵，∴．
∴圆：．
14、解：(Ⅰ)因为,所以c=1
则b=1,即椭圆的标准方程为
(Ⅱ)因为(1,1),所以,所以,所以直线OQ的方程为y=－2x(7分)
又椭圆的左准线方程为x=－2,所以点Q(－2,4)
所以,又,所以,即,
故直线与圆相切
(Ⅲ)当点在圆上运动时,直线与圆保持相切
证明:设(),则,所以,,
所以直线OQ的方程为
所以点Q(－2,)
所以,又,
所以,即,故直线始终与圆相切
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
M
EMBED Equation.3
．
x
N
M
O
y
A
B
l:x=t
A
B
O
M
P
Q
y
x
l
l1
（第18题）
P
第19题
x
y
A
F1
F2
·
M
O
·
O
l
x
y
A
B
F
·
M
第17题
O
M
N
F2
F1
y
x
（第18题）
O
F
x
y
·
·
P
第22题
O
F
x
y
·
·
P
第22题
4
O
y
xy
x
y
O
F
B
Q
P
第13题
l
A
B
Q
F
P
O
x
y
（第18题）
M
A
P
F
O
x
y
（第17题图）
A
B
C
D
N
O
x
y
A
·
F2
F1
y
B
x
O
·
①
②
x
y
O
P
F
Q
A
B
第14题第11部分——排列组合二项式定理、概率统计
知识点总结精华
1．抽样方法;
⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本，且每个个体被抽到的机会 ，就称这种抽样为简单随机抽样。
注：①每个个体被抽到的概率为 ；②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。③从含有个个体的总体中,抽取个体,则每个体第一次被抽到概率,第二次被抽到概率,…,故每个个体被抽到的概率为,即每个个体入样的概率为.
⑵系统抽样：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号；④按预先制定规则抽取样本。
⑶分层抽样：当总体差异比较明显，将总体分成几部分，然后按照各部分 进行抽样，这种抽样叫分层抽样。每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数;
2. 总体特征数的估计：
⑴样本平均数 ；
⑵方差去估计总体方差。
⑶样本标准差=
3.(理科)排列数公式:, .
组合数公式：,.
组合数性质：；.
4. (理科)二项式定理：
⑴掌握二项展开式的通项：；
⑵注意第r＋1项二项式系数与第r＋1项系数的区别.
6. 线性回归
相关系数：
7．独立性检验（分类变量关系）：.
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
随机变量越大，说明两个分类变量，关系 ，反之，
经过对统计量分布的研究，已经得到了两个临界值：3.841与6.635。当根据具体的数据算出的k>3.841时，有95%的把握说事件A与B有关；当k>6.635时，有99%的把握说事件A与B有关；当k3.841时，认为事件A与B是无关的
8. 统计学最关心的是：我们的数据能提供那些信息. 具体地说，面对一个实际问题，我们关心的是
（1）如何抽取数据；（2）如何从数据中提取信息；（3）所得结论的可靠性.
案例1 回归分析，函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系.
例1：从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170
体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重.
作出散点图，得到回归方程是
所以，对于身高172cm的女大学生，由回归方程可以预报其体重为（kg）
案例2 假设检验 假设检验是利用样本信息，根据一定概率，对总体参数或分布的某一假设作出拒绝或保留的决断，即在论述H不成立的前提下，有利于H的小概率事件发生，就推断H发生.
例2：某地区的羊患某种病的概率是0.4，且每只羊患病与否是彼此独立的，今研制一种新的预防药，任选6只羊做实验，结果6只羊服用此药后均未患病. 你认为这种药是否有效？
现假设“药无效”，则事件“6只羊都不患病”发生的概率为，这是一个小概率事件. 这个小概率事件的发生，说明“药无效”的假设不合理，应该认为药是有效的.
案例3 独立性检验 独立性检验是对两种分类变量之间是否有关系进行检验.
例3：为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果：（吸烟与患肺癌列联表;略）那么吸烟是否对患肺癌有影响？
由列联表可以粗略估计出：在不吸烟者中，有0.54%患有肺癌；在吸烟者中，有2.28%患有肺癌.
现在想要推断的论述是 H0：吸烟与患肺癌没有关系 ----略
试题精粹
江苏省2011年高考数学联考试题
7．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2011届高三调研考试）用数字1,2,3作为函数的系数，则该函数有零点的概率为 ▲ ．（）
4. （常州市2011届高三数学调研）现有性状特征一样的若干个小球，每个小球上写着一个两位数，一个口袋里放有标着所有不同的两位数的小球，现任意取一个小球，取出小球上两位数的十位数字比个位数字大的概率是 .0.5
7. （常州市2011届高三数学调研）在区间上任意取两点，方程的两根均为实数的概率为，则的取值范围为 .
8．（姜堰二中学情调查（三））抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x，y，则为整数的概率是 ．
5. （泰州市2011届高三第一次模拟考试）某单位有职工900人，其中青年职工450人，中年职工270人，老年职工180人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为10人，则样本容量为 。
6. （泰州市2011届高三第一次模拟考试）设，则在区间上随机取一个数，使的概率为 。
2．（江苏省南通市2011届高三第一次调研测试）已知射手甲射击一次，命中9环以上（含9环）的概率为0.5，命中8环的概率为0.2，命中7环的概率为0.1，则甲射击一次，命中6环以下（含6环）
的概率为 ▲ 0.2．
4、（南通市六所省重点高中联考试卷）如图所示，在两个圆盘中，
指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，
那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 ▲
（无锡市1月期末调研）某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机想收听电台整点报时，则他等待的时间短于分钟的概率为 ▲ ．
5．（徐州市12月高三调研）已知集合，若从 HYPERLINK "http://www." 中任取一个元素作为直线的倾斜角，则直线 HYPERLINK "http://www." 的斜率小于零的概率是 ▲ .
5.（苏州市2011届高三调研测试）已知集合,在中可重复的依次取出三个数
，则“以为边恰好构成三角形”的概率是 ▲ . 5.
【解析】“在中可重复的依次取出三个数”的基本事件总数为，事件“以为边不能构成三角形”分别为所以
22．若（），求的值．
解：由题意得：， ………………………………………2
∴，…………………………6
∵ …………………………8
∴ …………………………………………10
23．（江苏省南通市2011届高三第一次调研测试）【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
某车站每天上午发出两班客车，第一班客车在8∶00，8∶20，8∶40这三个时刻随机发出，且在8∶00发出的概率为，8∶20发出的概率为，8∶40发出的概率为；第二班客车在9∶00，9∶20，9∶40这三个时刻随机发出，且在9∶00发出的概率为，9∶20发出的概率为，9∶40发出的概率为．两班客车发出时刻是相互独立的，一位旅客预计8∶10到站．求：
（1）请预测旅客乘到第一班客车的概率；
（2）旅客候车时间的分布列；
（3）旅客候车时间的数学期望．
解：（1）第一班若在8∶20或8∶40发出，则旅客能乘到，其概率为
P=+=．………………………………………………………………………………3分
（2）旅客候车时间的分布列为：
候车时间（分） 10 30 50 70 90
概率 × × ×
……………………………………………………………………………………6分
（3）候车时间的数学期望为
10×＋30×＋50×＋70×＋90×
=5＋＋＋＋=30． ……………………………………………………………9分
答：这旅客候车时间的数学期望是30分钟．……………………………………………10分
6. （南通市六所省重点高中联考试卷）计算机考试分理论考试与上机操作考试两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”则计算机考试“合格”并颁发“合格证书”．甲、乙、丙三人在理论考试中合格的概率分别为，，；在上机操作考试中合格的概率分别为，，．所有考试是否合格相互之间没有影响．
（1）甲、乙、丙三人在同一次计算机考试中谁获得“合格证书”可能性最大？
（2）求这三人计算机考试都获得“合格证书”的概率；
（3）用表示甲、乙、丙三人在理论考核中合格人数，求的分布列和数学期望．
4.解：记“甲理论考试合格”为事件，“乙理论考试合格”为事件，“丙理论考试合格”为事件， 记为的对立事件，；记“甲上机考试合格”为事件，“乙上机考试合格”为事件，“丙上机考试合格”为事件．
（1）记“甲计算机考试获得合格证书”为事件A，记“乙计算机考试获得合格证书”为事件B，记“丙计算机考试获得合格证书”为事件C，
则，，，有，
故乙获得“合格证书”可能性最大； ………………………………3分
（2）记“三人该课程考核都合格” 为事件．
=×××××=，
所以，这三人该课程考核都合格的概率为． …………………6分
（3）用表示甲、乙、丙三人在理论考核中合格人数，则可以取0，1，2，3，
故的分布列如下：
0 1 2 3
P（）
的数学期望：
=0×+1×+2×+3×= …………………10分
8. （苏北四市2011届高三第一次调研考试）一个质地均匀的正四面体（侧棱长与底面边长相等的正三棱锥）玩具的四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字.若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是 ▲ .
22、（宿迁市高三12月联考）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，．
（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为，求随机变量的期望．
22、解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件，，，
（1）设表示第一次烧制后恰好有一件合格，则
．……………5分
（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为，
所以，
故．……………10分
解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件，则
，
所以，
，
，
．
于是，．
２．（无锡市1月期末调研）设在个同类型的零件中有2个次品，现抽取次进行检验，每次抽一个，并且取出不再放回，若以变量X表示取出的次品个数．
求X的分布列；
求X的数学期望及方差．
2．（1）X的分布列为：
…………………………………………………………………………………………………………………6分
（2）， ……………………………………………………………8分
．……………………………………………………………10分
3. （无锡市1月期末调研）若二项式的展开式中的常数项为第五项．
(1)求n的值；
(2)求展开式中系数最大的项．
3．（1），　…………………………………………………………………１分
的指数为，………………………………………………………………………２分
　　的展开式中的常数项为第五项，∴，…………………………………………3分
解得：．　………………………………………………………………………………４分
（2），其系数为．……………………………………………５分
设第项的系数最大，则　…………………………………………６分
化简得： 即∴，………………………………………………８分
即第四项系数最大，．……………………………………………１０分
23．（徐州市12月高三调研）（本小题满分10分）
将一枚硬币连续抛掷次，每次抛掷互不影响. 记正面向上的次数为奇数的概率为，正面向上的次数为偶数的概率为.
（Ⅰ）若该硬币均匀，试求与；
（Ⅱ）若该硬币有暇疵，且每次正面向上的概率为，试比较与的大小.
23.解：（Ⅰ）抛硬币一次正面向上的概率为，所以正面向上的次数为奇数次的概率为
…3分
故 ……………………………………………………5分
（Ⅱ）因为，
…………………………7分
则
EMBED Equation.DSMT4 ，而，∴ ，∴ ………10分
22．（盐城市第一次调研）（本小题满分10分）
设,.
（Ⅰ）当=2011时,记，求；
（Ⅱ）若展开式中的系数是20，则当、变化时，试求系数的最小值．
22.解：（Ⅰ）令，得=……………4分
（Ⅱ）因为，所以,则的系数为
=……7分
所以当时，展开式中的系数最小，最小值为85…………………………10分
23．（盐城市第一次调研）（本小题满分10分）
有一种闯三关游戏规则规定如下：用抛掷正四面体型骰子（各面上分别有1，2，3，4点数的质地均匀的正四面体）决定是否过关，在闯第关时，需要抛掷次骰子，当次骰子面朝下的点数之和大于时,则算闯此关成功,并且继续闯关，否则停止闯关. 每次抛掷骰子相互独立.
（Ⅰ）求仅闯过第一关的概率；
（Ⅱ）记成功闯过的关数为，求的分布列和期望．
23.解：（Ⅰ）记“仅闯过第一关的概率”这一事件为A,则 ………………4分
（Ⅱ）由题意得, 的取值有0,1,2,3,且, ,
, ,
即随机变量的概率分布列为:
0 1 2 3
………………8分
所以,……………………………………10
8. （苏北四市2011届高三第二次调研）在区间内随机地取出一个数，使得
的概率为 ▲ ．0.3
22. （苏北四市2011届高三第二次调研）（本小题满分10分）
甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为，三人各射击一次，击中目标的次数记为.
（1）求的分布列及数学期望；
（2）在概率(=0，1，2，3)中, 若的值最大, 求实数的取值范围.
22.(1)是“个人命中,个人未命中”的概率.其中的可能取值为0，1，2，3.
,
,
,
.
所以的分布列为
的数学期望为
. ……………5分
(2) ,
,
.
由和，得,即的取值范围是. …… 10分
22. （苏州市2011届高三调研测试）（本小题满分10分）
一个口袋装有5个红球，3个白球，这些球除颜色外完全相同，某人一次从中摸出3个球，其中白球的个数为.
⑴求摸出的三个球中既有红球又有白球的概率；
⑵求的分布列及的数学期望.
22.【解析】（1）记“摸出的三球中既有红球又有白球”为事件，依题意知
所以摸出的三个球中既有红球又有白球的概率为
（2）
所以的分布列为
所以的数学期望
试题精粹
江苏省2010年高考数学联考试题
一、填空题:
4．（江苏省南通市2010年高三二模）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=1，BC=2．在BC边上任取一点M，则∠AMB≥90°的概率为 ▲ ．
解析：由∠A=90°，AB=1，BC=2知BM=,要使∠AMB≥90°
则M在BM上运动，即.
5．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）今年9月10日，某报社做了一次关于“尊师重教”的社会调查，在A、B、C、D四个单位回收的问卷数一次成等差数列，因报道需要，从回收的问卷中按单位分层抽取容量为300的样本，其中在B单位抽的60份，则在D单位抽取的问卷是 份。
解析：由题意设A、B、C、D四个单位分别为,且分层抽取容量为300,得,则在D单位抽取的问卷是120份.
9．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）集合，，点P的坐标为（，），，，则点P在直线下方的概率为 。
解析：由题意知本题是古典概型问题,基本事件总数为25, 点P在直线下方的事件为10,则点P在直线下方的概率为.
4．（江苏省无锡市部分学校2010年4月联考试卷）把长为1的线段分成三段，则这三条线段能构成三角形的概率为 。
6．(江苏通州市2010年3月高三素质检测)某射击运动员在四次射击中分别打出了10，x，10，8环
的成绩，已知这组数据的平均数为9，则这组数据的方差是 ▲ ．1
10．(江苏通州市2010年3月高三素质检测)已知集合，，在集合A中任取一个元素p，则p∈B的概率为 ▲ ．
3．（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）某地区在连续7天中，新增某种流感的数据分别为4，2，1，0，0，0，0，则这组数据的方差= ▲ ．2
（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）已知集合，若从A中任取一个元素x，则恰有的概率为 ▲ ．
5．（江苏省盐城市2010年高三第二次调研考试）某人有甲、乙两只密码箱，现存放两份不同的文件，则此人使用同一密码箱存放这两份文件的概率是 ▲ .
6．（江苏省盐城市2010年高三第二次调研考试）一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了10000人，并根据
所得数据画出样本的频率分布直方图（如图所示）. 为了分析居民的收
入与年龄、学历、职业等方面的关系，再从这10000人中用分层抽样
方法抽出100人作进一步调查，则在（元/月）收入段应
抽出 ▲ 人.40 w ww.ks 5u.c om
3、（江苏省连云港市2010届高三二模试题）对某种电子元件使用寿命跟踪调查，抽取容量为1000的样本，其频率分布直方图如图所示，根据此图可知这批样本中电子元件的寿命在300~500小时的数量是____▲____个．650
8．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）把一根均匀木棒随机地按任意点拆成两段，则“其中一段长度大于另一段长度2倍”的
概率为_____________．
5. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）如图是某市歌手大奖赛七位评委为某位选手打出分数的茎叶图，若去掉一个最高分和一个最低分，则所剩余分数的方差为 ▲ ．（茎表示十位数字，叶表示个位数字）
10. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）已知函数，其中，，则此函数在区间上为增函数的概率为 ▲ .
4、（江苏省南京市2010年3月高三第二次模拟）已知函数其中，则函数有零点的概率是 。
5、（江苏省南京市2010年3月高三第二次模拟）下图是根据某小学一年级10名学生的身高（单位：cm）画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，则选10名学生平均身高是 115 cm
4．（江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷某学校为了解该校600名男生的百米成绩（单位：s），随机选择了50名学生进行调查，下图是这50名学生百米成绩的频率分布直方图。根据样本的频率分布，估计这600名学生中成绩在（单位：s）内的人数大约是 。120
8．（江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷甲盒子里装有分别标有数字1、2、4、7的4张卡片，乙盒子里装有分别标有数字1、4的2张卡片，若从两个盒子中各随机地取出1张卡片，则2张卡片上的数字之和为奇数的概率是　　　　　　。
二、解答题
22．（江苏省南通市2010年高三二模）一个暗箱中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分．甲从暗箱中有放回地依次取出3只球．
（1）写出甲总得分ξ的分布列；
（2）求甲总得分ξ的期望E（ξ）．
23．（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）(本小题满分10分)21世纪教育网
一个袋中装有黑球，白球和红球共n()个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球． [来源:21世纪教育网]
（1）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设表示摸出的2个球中红球的个数,求随机变量的概率分布及数学期望；
（2）当n取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少
23．解：（1）设袋中黑球的个数为(个)，记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事件A，则．
∴． …………………………………………………1分
设袋中白球的个数为(个)，记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B，则，
∴， ∴或(舍)．
∴红球的个数为(个)． …………………………………3分
∴随机变量的取值为0，1，2，分布列是
0 1 2
的数学期望． …………6分
（2）设袋中有黑球个，则…）．
设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件C，
则， …………………………………8分
当时，最大，最大值为．…………………………………10分
26．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）（本小题为必做题，满分10分）
在这个自然数中，任取个不同的数．
（1）求这个数中至少有个是偶数的概率；
（2）求这个数和为18的概率；
（3）设为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有两组相邻的数和，此时的值是）．求随机变量的分布列及其数学期望．
26．（必做题）（本小题满分10分）
解：（1）记“这3个数至少有一个是偶数”为事件，
则；. （3分）
（2）记“这3个数之和为18”为事件,考虑三数由大到小排列后的中间数只有可能为5、6、7、8，分别为459，567，468，369，279，378，189七种情况，
所以； （7分）
（3）随机变量的取值为的分布列为
0 1 2
P
∴的数学期望为。（10分）
22．（2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）【必做题】某电视台综艺频道组织的闯关游戏，游戏规定前两关至少过一关才有资格闯第三关，闯关者闯第一关成功得3分，闯第二关成功得3分，闯第三关成功得4分．现有一位参加游戏者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为、、，记该参加者闯三关所得总分为．
（1）求该参加者有资格闯第三关的概率；
（2）求的分布列和数学期望．
22. （江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷） 甲乙两个奥运会主办城市之间有7条网线并联，这7条网线能通过的信息量分别为l，1，2，2，2，3，3，现从中任选三条网线，设可通过的信息总量为X，若可通过的信息量X≥6，则可保证信息通畅．（1）求线路信息通畅的概率；（2）求线路可通过的信息量X的分布列；（3）求线路可通过的信息量X的数学期望．
22．解（1）
所以线路信息通畅的概率为
（2）
X的分布列为
X 4 5 6 7 8
（3）由分布列知
1．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）（本题满分8分）
写出的二项展开式（为虚数单位），并计算的值。
（本题满分8分）
………………3分
因为的展开式中的虚部， …………5分
又， ………………7分
所以 ………………8分
26．（江苏省泰州市2010届高三联考试题）（本小题为必做题，满分10分）
设函数.
（1）当时，求的展开式中二项式系数最大的项；
（2）若且，求；
（3）设是正整数，为正实数，实数满足，求证：
．
排列组合二项式定理和概率解题方法
一、知识整合
二、考试要求：
1．掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.
2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.
3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.
4．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.
5．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义.
6．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.
7．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率.
8．会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.
Ⅰ、随机事件的概率
例1 某商业银行为储户提供的密码有0，1，2，…，9中的6个数字组成.
(1)某人随意按下6个数字，按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少？
(2)某人忘记了自己储蓄卡的第6位数字，随意按下一个数字进行试验，按对自己的密码的概率是多少？
解 （1）储蓄卡上的数字是可以重复的，每一个6位密码上的每一个数字都有0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为，随意按下6个数字相当于随意按下个，随意按下6个数字相当于随意按下个密码之一，其概率是.
(2)以该人记忆自己的储蓄卡上的密码在前5个正确的前提下，随意按下一个数字，等可能性的结果为0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为.
例2 一个口袋内有m个白球和n个黑球，从中任取3个球，这3个球恰好是2白1黑的概率是多少？（用组合数表示）
解 设事件I是“从m个白球和n个黑球中任选3个球”，要对应集合I1，事件A是“从m个白球中任选2个球，从n个黑球中任选一个球”，本题是等可能性事件问题，且Card(I1)= ，于是P(A)=.
Ⅱ、互斥事件有一个发生的概率
例3在20件产品中有15件正品，5件次品，从中任取3件，求：
（1）恰有1件次品的概率；（2）至少有1件次品的概率.
解 （1）从20件产品中任取3件的取法有，其中恰有1件次品的取法为。
恰有一件次品的概率P=.
(2)法一 从20件产品中任取3件，其中恰有1件次品为事件A1,恰有2件次品为事件A2，3件全是次品为事件A3,则它们的概率
P(A1)= =,,,
而事件A1、A2、A3彼此互斥，因此3件中至少有1件次品的概率
P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= .
法二 记从20件产品中任取3件，3件全是正品为事件A，那么任取3件，至少有1件次品为，根据对立事件的概率加法公式P()=
例4 1副扑克牌有红桃、黑桃、梅花、方块4种花色，每种13张，共52张，从1副洗好的牌中任取4张，求4张中至少有3张黑桃的概率.
解 从52张牌中任取4张，有种取法.“4张中至少有3张黑桃”，可分为“恰有3张黑桃”和“4张全是黑桃”，共有种取法
注 研究至少情况时，分类要清楚。
Ⅲ、相互独立事件同时发生的概率
例5 猎人在距离100米处射击一野兔，其命中率为0.5，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但距离150米. 如果第二次射击又未中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为200米. 已知猎人的命中概率与距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率.
解 记三次射击依次为事件A，B，C，其中,由，求得k=5000。
,命中野兔的概率为
例6 要制造一种机器零件，甲机床废品率为0.05，而乙机床废品率为0.1，而它们的生产是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求：
（1）其中至少有一件废品的概率； （2）其中至多有一件废品的概率.
解： 设事件A为“从甲机床抽得的一件是废品”；B为“从乙机床抽得的一件是废品”.
则P（A）=0.05, P(B)=0.1,
（1）至少有一件废品的概率
（2）至多有一件废品的概率
Ⅳ、概率内容的新概念较多，本课时就学生易犯错误作如下归纳总结：
类型一 “非等可能”与“等可能”混同
例1 掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率．
错解 掷两枚骰子出现的点数之和2，3，4，…，12共11种基本事件，所以概率为P=
剖析 以上11种基本事件不是等可能的，如点数和2只有(1，1)，而点数之和为6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5种．事实上，掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P=．
类型二 “互斥”与“对立”混同
例2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）
A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．以上均不对
错解 A
剖析 本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，二者的联系与区别主要体现在 ：
(1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生．
事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个不发生，可能两个都不发生，所以应选C．
类型三 “互斥”与“独立”混同
例3 甲投篮命中率为O．8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少
错解 设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，则两人都恰好投中两次为事件A+B，P(A+B)=P(A)+P(B)：
剖析 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．互斥事件是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生与否没有影响，它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关系是根本不同．
解： 设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，且A，B相互独立，
则两人都恰好投中两次为事件A·B，于是P(A·B)=P(A)×P(B)= 0.169
概率统计过关测试
1. 某工厂生产产品，用传送带将产品送至下一个工序，质检人员每隔十分钟在传送带某一位置取一件检验，则这种抽样的方法为 .
2.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量.现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取___ ___辆.
3．下表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据，
月份 1 2 3 4
用水量 4.5 4 3 2.5
由其散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程
是
4.用简单随机抽样方法从含有6个个体的总体中，抽取一个容量为2的样本，某一个体a“第一次被抽到的概率”、“第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到”的概率分别是
5. 为了了解1200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为 .
6．同时掷两颗骰子，得到的点数和为4的概率是
7．盒子内有10个大小相同的小球，其中有6个红球，3个绿球和1个黄球，从中任意摸出1个球，则它不是红球的概率为
8、已知数据的平均数为，方差为，则数据 的平均数和标准差分别为 .
9、在矩形中， ，，以为圆心， 1为半径作四分之一个圆弧，在圆弧上任取一点，则直线与线段有公共点的概率是
10、在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，则小明考试及格的概率为 .
11、先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是
12、在平面直角坐标系中，向平面区域内随机抛掷一点，则点落在平面区域内的概率＝ ．
13、由经验得知，在商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：
排队人数 0 1 2 3 4 5人以上
概率 0．10 0．16 0．3 0．3 0．1 0．04
求（1）至多2人排队的概率； （2）至少2人排队的概率.
14、设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数．
（1）求方程有实根的概率；
（2）求先后两次出现的点数中有5的条件下，方程有实根的概率．
参考答案
1、系统抽样 2、_6___， 30 ， _10 3、 4、
5、30 6、 7、 8、22和6 9、 10、0.93 11、 12、
13、解：(1)记没有人排队为事件A，1人排队为事件B，2人排队为事件C，A，B，C彼此互斥.P（A+B+C）= +P（C）=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)记至少有2人排队为事件D，P（D）=1- [ P（A）+P（B）]=0.74
14、解：（1）基本事件总数为6×6＝36，
若使方程有实根，则，即．
当；当；当；当；当；当．
目标事件个数为，因此方程有实根的概率为．
（2）记“先后出现的点中有5”为事件M，则事件M的基本事件有11种，先后两次出现的点数有5的条件下，方程的实根记为事件B，则事件B的基本事件有7种，分别是共7种，所以．
………8分
0．0005
0．0004
0．0003
0．0002
0．0001
1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
月收入（元）
第6题
第5题第十六部分——矩阵与变换
知识点总结精华
1. 矩阵的定义：同一横（竖）排中按原来次序的两个数叫做矩阵的行（列），组成矩阵的每一个数都叫做矩阵的元素，其中，从左上角到右下角的这条对角线称为矩阵的主对角线。
特别：（1）2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵
（2）零矩阵
（3）行矩阵：[a11,a12]
列矩阵：，一般用，等表示。
（4）行向量与列向量. 列向量：P（x，y）向量OP， （x，y）
2. 二阶行矩与平面向量的乘法=
3. 二阶行矩的乘法:一般地，
=。,表示几何意义是什么？
4.几种常见的平面变换
(1) 恒等变换阵（即单位矩阵）：
(2) 伸压变换:
(3) 反射变换：。
（4）旋转变换：（5）投影变换：
（6）切变换：
5. 逆矩阵：设Ａ是一个二阶可逆矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使ＡＢ＝ＢＡ＝E，则称二阶矩阵Ａ是可逆矩阵，称Ｂ是二阶矩阵Ａ的逆矩阵（简称逆阵）记作A-1。
6利用逆矩阵解方程组
可以表示成=，简写成,
7.特征值和特征向量
（1）,如果存在和非零向量满足=，即,则叫A的一个特征值，叫特征向量。
8. 是A的一个特征值，求特征向量
解方程组，取或者，写出相应的向量；
试题精粹
江苏省2011年高考数学联考试题
B．（江苏省南通市2011届高三第一次调研测试）选修4－2：矩阵与变换
曲线 HYPERLINK "http://www." 在矩阵的作用下变换为曲线 HYPERLINK "http://www." ，
求的方程．
B．选修4－2：矩阵与变换
解：设 HYPERLINK "http://www." 为曲线上任意一点， HYPERLINK "http://www." 为曲线 上与P对应的点，
则 HYPERLINK "http://www." ，即 ……………………………………5分
∵ HYPERLINK "http://www." 是曲线上的点，∴ HYPERLINK "http://www." 的方程．………………………………10分
2. （南通市六所省重点高中联考试卷）（选修4—2：矩阵与变换）
设是把坐标平面上的点的横坐标伸长到倍，纵坐标伸长到倍的伸压变换．
（1）求矩阵的特征值及相应的特征向量；
（2）求逆矩阵以及椭圆在的作用下的新曲线的方程．
已知椭圆的长轴长为6，焦距,过椭圆左焦点F1作一直线，交椭圆于两点M、N，设,当α为何值时，MN与椭圆短轴长相等？
解：以椭圆的左焦点为极点长轴所在直线为
极轴建立极坐标系（如图）
这里:a=3,c=,
………………………2分
所以椭圆的极坐标方程为：
………………………４分
设M点的极坐标为，N点的极坐标为，………………５分
解法二：设椭圆的方程为，其左焦点为，直线MN的参数方程为：
， ………………４分
将此参数方程代人椭圆方程并整理得：
，设M、N对应的参数分别为，则
B．（宿迁市高三12月联考）选修4—2：矩阵与变换
已知二阶矩阵A的属于特征值－1的一个特征向量为，属于特征值3的一个特征向量为，求矩阵A．
B．选修4—2：矩阵与变换
解：设A=，由题知=，=3 ……………4分
即， ……………6分
解之得： ……………9分
∴A= ……………10分
B．（盐城市第一次调研）（选修4—2：矩阵与变换）
求矩阵的特征值及对应的特征向量.
B. 解：特征多项式………………………………3分
由，解得……6分 将代入特征方程组，得
,可取为属于特征值1=1的一个特征向量………………………………………8分
同理,当时,由,所以可取为属于特征值的一个特征向量．
综上所述,矩阵有两个特征值；属于的一个特征向量为，
属于的一个特征向量为 ……………………………………………………………………10分
试题精粹
江苏省2010年高考数学联考试题
21．B．（江苏省南通市2010年高三二模）选修4－2　矩阵与变换
若点A（2，2）在矩阵对应变换的作用下得到的点为B（－2，2），求矩阵M的逆矩阵．
21．B．(江苏通州市2010年3月高三素质检测)选修4—2　矩阵与变换
已知，若所对应的变换把直线变换为自身，求实数，并求M的逆矩阵．
21B．法一：特殊点法
在直线上任取两点（2、1）和（3、3），…………1分
则·即得点 …………3 分
即得点
将和分别代入上得
则矩阵 …………6 分
21．B．（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵=，求的特征值，及对应的特征向量．
21．B．选修4—2：矩阵与变换
解：矩阵的特征多项式为
== ， ……………………………2分
令=0，得到矩阵的特征值为1=3，2=． ………………4分
当1=3时，由=3，得，∴，取，得到属于特征值3的一个特征向量= ； ……………………………7分
当2=时，由=，得，取，则，得到属于特征值的一个特征向量=． ……………………………10分
23．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）（本小题为选做题，满分10分）
求使等式成立的矩阵．
23．（选做题）（本小题满分10分）
解：设，则由
（5分）
则，即. （10分）
21．B. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）选修4－2：矩阵与变换
已知矩阵，求矩阵的特征值及其相应的特征向量．
23．（江苏省泰州市2010届高三联考试题）（本小题为选做题，满分10分）
已知在二阶矩阵对应变换的作用下，四边形变成四边形，其中，， ， ，，．
（1）求出矩阵；
（2）确定点及点的坐标．
解：（1）设，则有，　
故 解得，． （5分）
（2）由知，，
由知，． （10分）
21．B．（江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷）选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵M所对应的线性变换把点A(x,y)变成点,试求M的逆矩阵及点A的坐标。
B解:依题意得
由得,故
从而由得
故为所求.
分类讨论思想方法
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。
引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：
① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。
② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。
③ 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。
另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。
进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。
解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。
Ⅰ、再现性题组：
1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若AB，那么a的范围是_____。
A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 02.若a>0且a≠1，p＝log(a＋a＋1)，q＝log(a＋a＋1)，则p、q的大小关系是_____。
A. p＝q B. pq D.当a>1时，p>q；当03.函数y＝＋＋＋的值域是_________。
4.若θ∈(0, )，则的值为_____。
A. 1或－1 B. 0或－1 C. 0或1 D. 0或1或－1
5.函数y＝x＋的值域是_____。
A. [2,+∞) B. (-∞,-2]∪[2,+∞) C. (-∞,+∞) D. [-2,2]
6.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为_____。
A. B. C. D. 或
7.过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。
A. 3x－2y＝0 B. x＋y－5＝0 C. 3x－2y＝0或x＋y－5＝0 D.不能确定
【简解】1小题：对参数a分a>0、a＝0、a<0三种情况讨论，选B；
2小题：对底数a分a>1、03小题：分x在第一、二、三、四象限等四种情况，答案{4,-2,0}；
4小题：分θ＝、0<θ<、<θ<三种情况，选D；
5小题：分x>0、x<0两种情况，选B；
6小题：分侧面矩形长、宽分别为2和4、或4和2两种情况，选D；
7小题：分截距等于零、不等于零两种情况，选C。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 设00且a≠1，比较|log(1－x)|与|log(1＋x)|的大小。
【分析】 比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底数a分两类情况进行讨论。
【解】 ∵ 01
当00，log(1＋x)<0，所以
|log(1－x)|－|log(1＋x)|＝log(1－x)－[－log(1＋x)]＝log(1－x)>0;
当a>1时，log(1－x)<0，log(1＋x)>0，所以
|log(1－x)|－|log(1＋x)|＝－log(1－x) －log(1＋x)＝－log(1－x)>0；
由①、②可知，|log(1－x)|>|log(1＋x)|。
【注】本题要求对对数函数y＝logx的单调性的两种情况十分熟悉，即当a>1时其是增函数，当0例2. 已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数： ①. CA∪B且C中含有3个元素； ②. C∩A≠φ 。
【分析】 由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类：①属于A 元素；②不属于A而属于B的元素。并由含A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。
【解】 C·C＋C·C＋C·C＝1084
【注】本题是排列组合中“包含与排除”的基本问题，正确地解题的前提是合理科学的分类，达到分类完整及每类互斥的要求，还有一个关键是要确定C中元素如何取法。另一种解题思路是直接使用“排除法”，即C－C＝1084。
例3. 设{a}是由正数组成的等比数列，S是前n项和。 ①. 证明： 0，使得＝lg（S－c）成立？并证明结论。(95年全国理)
【分析】 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。其中在应用等比数列前n项和的公式时，由于公式的要求，分q＝1和q≠1两种情况。
【解】 设{a}的公比q，则a>0，q>0
①．当q＝1时，S＝na，从而SS－S＝na(n＋2)a－(n＋1)a＝－a<0；
当q≠1时，S＝，从而
SS－S＝－＝－aq<0；
由上可得SS②. 要使＝lg（S－c）成立，则必有(S－c)(S－c)＝(S－c),
分两种情况讨论如下：
当q＝1时，S＝na，则
(S－c)(S－c)－(S－c)＝(na－c)[(n＋2)a－c]－[(n＋1)a－c]＝－a<0
当q≠1时，S＝，则(S－c)(S－c)－(S－c)＝[－c][ －c]－[－c]＝－aq[a－c(1－q)]
∵ aq≠0 ∴ a－c(1－q)＝0即c＝
而S－c＝S－＝－<0 ∴对数式无意义
由上综述，不存在常数c>0, 使得＝lg（S－c）成立。
【注】 本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。该题文科考生改问题为：证明>logS ，和理科第一问类似，只是所利用的是底数是0.5时，对数函数为单调递减。
例1、例2、例3属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的问题或者分类给出的，我们解决时按要求进行分类，即题型为概念、性质型。
例4. 设函数f(x)＝ax－2x＋2，对于满足10，求实数a的取值范围。
1 4 x
1 4 x
【分析】 含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后综合得解。
【解】当a>0时，f(x)＝a（x－）＋2－
∴ 或
或
∴ a≥1或；
当a<0时，，解得φ；
当a＝0时，f(x)＝－2x＋2, f(1)＝0，f(4)＝－6， ∴不合题意
由上而得，实数a的取值范围是a> 。
【注】本题分两级讨论，先对决定开口方向的二次项系数a分a>0、a<0、a＝0三种情况，再每种情况结合二次函数的图像，在a>0时将对称轴与闭区间的关系分三种，即在闭区间左边、右边、中间。本题的解答，关键是分析符合条件的二次函数的图像，也可以看成是“数形结合法”的运用。
例5. 解不等式>0 (a为常数，a≠－)
【分析】 含参数的不等式，参数a决定了2a＋1的符号和两根－4a、6a的大小，故对参数a分四种情况a>0、a＝0、－【解】 2a＋1>0时，a>－； －4a<6a时，a>0 。 所以分以下四种情况讨论：
当a>0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x<－4a或x>6a；
当a＝0时，x>0，解得：x≠0；
当－0，解得: x<6a或x>－4a；
当a>－时，(x＋4a)(x－6a)<0，解得： 6a综上所述，当a>0时，x<－4a或x>6a；当a＝0时，x≠0；当－－4a；当a>－时，6a【注】 本题的关键是确定对参数a分四种情况进行讨论，做到不重不漏。一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论，此种题型为含参型。
例6. 设a≥0,在复数集C中，解方程：z＋2|z|＝a 。 (90年全国高考)
【分析】由已知z＋2|z|＝a和|z|∈R可以得到z∈R，即对z分实数、纯虚数两种情况进行讨论求解。
【解】 ∵ |z|∈R，由z＋2|z|＝a得：z∈R； ∴ z为实数或纯虚数
当z∈R时，|z|＋2|z|＝a,解得：|z|＝－1＋ ∴ z＝±(－1＋)；
当z为纯虚数时，设z＝±yｉ (y>0)， ∴ －y＋2y＝a 解得：y＝1± （0≤a≤1）
由上可得，z＝±(－1＋)或±(1±)ｉ
【注】本题用标准解法（设z＝x＋yｉ再代入原式得到一个方程组，再解方程组）过程十分繁难，而挖掘隐含，对z分两类讨论则简化了数学问题。
【另解】 设z＝x＋yｉ，代入得 x－y＋2＋2xyｉ＝a；
∴
当y＝0时，x＋2|x|＝a，解得x＝±(－1＋)，所以z＝±(－1＋)；
当x＝0时，－y＋2|y|＝a，解得y＝±(1±)，所以±(1±)ｉ。
由上可得，z＝±(－1＋)或±(1±)ｉ
【注】此题属于复数问题的标准解法，即设代数形式求解。其中抓住2xy＝0而分x＝0和y＝0两种情况进行讨论求解。实际上，每种情况中绝对值方程的求解，也渗透了分类讨论思想。
例7. 在xoy平面上给定曲线y＝2x，设点A(a,0)，a∈R，曲线上的点到点A的距离的最小值为f(a)，求f(a)的函数表达式。 （本题难度0.40）
【分析】 求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数，转化为二次函数在约束条件x≥0下的最小值问题，而引起对参数a的取值讨论。
【解】 设M(x,y)为曲线y＝2x上任意一点，则
|MA|＝(x－a)＋y＝(x－a)＋2x＝x－2(a－1)x＋a＝[x－(a－1)]＋(2a－1)
由于y＝2x限定x≥0，所以分以下情况讨论：
当a－1≥0时，x＝a－1取最小值，即|MA}＝2a－1；
当a－1<0时，x＝0取最小值，即|MA}＝a；
综上所述，有f(a)＝ 。
【注】本题解题的基本思路是先建立目标函数。求二次函数的最大值和最小值问题我们十分熟悉，但含参数a，以及还有隐含条件x≥0的限制，所以要从中找出正确的分类标准，从而得到d＝f(a)的函数表达式。第二部分——函数
知识点总结精华
考试内容：
数学探索 版权所有www.映射、函数、函数的单调性、奇偶性．
数学探索 版权所有www.反函数．互为反函数的函数图像间的关系．
数学探索 版权所有www.指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．
数学探索 版权所有www.对数．对数的运算性质．对数函数．
数学探索 版权所有www.函数的应用．
数学探索 版权所有www.考试要求：
数学探索 版权所有www.（1）了解映射的概念，理解函数的概念．
数学探索 版权所有www.（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．
数学探索 版权所有www.（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．
数学探索 版权所有www.（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像 和性质．
数学探索 版权所有www.（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．
数学探索 版权所有www.（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．
知识要点
一、本章知识网络结构：
二、知识回顾：
映射与函数
映射与一一映射
2.函数
函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.
3.反函数
反函数的定义
设函数的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x=(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=(y) (yC)叫做函数的反函数，记作,习惯上改写成
（二）函数的性质
⒈函数的单调性
定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,
⑴若当x1⑵若当x1f(x2),则说f(x) 在这个区间上是减函数.
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.
2.函数的奇偶性
7. 奇函数，偶函数：
⑴偶函数：
设（）为偶函数上一点，则（）也是图象上一点.
偶函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于轴对称，例如：在上不是偶函数.
②满足，或，若时，.
⑵奇函数：
设（）为奇函数上一点，则（）也是图象上一点.
奇函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称，例如：在上不是奇函数.
②满足，或，若时，.
8. 对称变换：①y = f（x）
②y =f（x）
③y =f（x）
9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：
在进行讨论.
10. 外层函数的定义域是内层函数的值域.
例如：已知函数f（x）= 1+的定义域为A，函数f[f（x）]的定义域是B，则集合A与集合B之间的关系是 .
解：的值域是的定义域，的值域，故，而A，故.
11. 常用变换：
①.
证：
②
证：
12. ⑴熟悉常用函数图象：
例：→关于轴对称. →→
→关于轴对称.
⑵熟悉分式图象：
例：定义域，
值域→值域前的系数之比.
（三）指数函数与对数函数
指数函数的图象和性质
a>1 0图象
性质 (1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1
(4)x>0时，y>1;x<0时，00时，01.
（5）在 R上是增函数 （5）在R上是减函数
a>1 0对数函数y=logax的图象和性质:
对数运算：
（以上）
注⑴：当时，.
⑵：当时，取“+”，当是偶数时且时，，而，故取“—”.
例如：中x＞0而中x∈R）.
⑵（）与互为反函数.
当时，的值越大，越靠近轴；当时，则相反.
（四）方法总结
⑴.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.
⑴对数运算：
（以上）
注⑴：当时，.
⑵：当时，取“+”，当是偶数时且时，，而，故取“—”.
例如：中x＞0而中x∈R）.
⑵（）与互为反函数.
当时，的值越大，越靠近轴；当时，则相反.
⑵.函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法.
⑶.反函数的求法：先解x,互换x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域).
⑷.函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.
⑸.函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法.
⑹.单调性的判定法：①设x,x是所研究区间内任两个自变量，且x＜x；②判定f(x)与f(x)的大小；③作差比较或作商比较.
⑺.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数.
⑻.图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.
补充：函数图象的几种常见变换
⑴平移变换：左右平移----“左加右减”（注意是针对而言）；上下平移----“上加下减”(注意是针对而言).
⑵翻折变换：；.
⑶对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上.
②函数与的图像关于原点成中心对称
③函数与的图像关于直线(轴)对称；函数与函数的图像关于直线(轴)对称；
④函数对时，或恒成立,则图像关于直线对称；
⑤若对时,恒成立,则图像关于直线对称；
⑥函数,的图像关于直线对称(由确定)；
9.函数的周期性：⑴若对时恒成立,则 的周期为；
⑵若是偶函数,其图像又关于直线对称,则的周期为；
⑶若奇函数,其图像又关于直线对称,则的周期为；
⑷若关于点,对称,则的周期为；
⑸对时,或,则的周期为；
试题精粹
江苏省2011年高考数学联考试题
5．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2011届高三调研考试）观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则与的关系是 ．（+=0）
14．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2011届高三调研考试）设函数，区间，集合，则使成立的实数对有 ▲ 对．（0）
4、（淮阴中学、姜堰中学、前黄中学2011届第一次联考）已知函数是上的偶函数，则常数= .（0）
9．（淮阴中学、姜堰中学、前黄中学2011届第一次联考）设曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线方程为 .（ ）
11．（淮阴中学、姜堰中学、前黄中学2011届第一次联考）已知函数的图像是一个中心对称图形，则图像的对称中心坐标为 .
12．（淮阴中学、姜堰中学、前黄中学2011届第一次联考）已知函数在上是增函数，则实数的取值范围为 .
14．（淮阴中学、姜堰中学、前黄中学2011届第一次联考）如图放置的等腰直角三角形薄片（，）沿轴滚动，设顶点的轨迹方程是，则在其相邻两个零点间的图像与轴所围区域的面积为 .
3．（江苏省2010届苏北四市第一次联考）
设是奇函数，则的取值范围是 ▲ .
11．（江苏省2010届苏北四市第一次联考）已知是定义在上的函数，且对任意实数，恒有，且的最大值为1，则满足的解集为 ▲ ．
13．（江苏省2010届苏北四市第一次联考）已知函数，给出下列命题：
（1）当时，的图像关于点成中心对称；
（2）当时，是递增函数；
（3）当时，的最大值为.
其中正确的序号是 ▲ ．（1）（3）
（无锡市1月期末调研）已知函数，若存在实数，当时，恒成立，则实数的最大值为 ▲ ．8
（无锡市1月期末调研）已知函数f（x）=|x2－2|，若f（a）≥f（b），且0≤a≤b，则满足条件的点（a，b）所围成区域的面积为 ▲ ．
14．（姜堰二中学情调查（三））已知函数,若对任意，存在，使，则实数取值范围是
7. （泰州市2011届高三第一次模拟考试）设函数，若曲线在点处的切线方程为，则 。1
13. （泰州市2011届高三第一次模拟考试）已知函数，若，且，则的取值范围为 。
12．（江苏省南通市2011届高三第一次调研测试）已知函数 HYPERLINK "http://www." ，若在（1，3]上有解，则实数 HYPERLINK "http://www." 的取值范围为 ▲ ．
13．（江苏省南通市2011届高三第一次调研测试）已知 HYPERLINK "http://www." ，若对， HYPERLINK "http://www." ，，则实数 HYPERLINK "http://www." 的取值范围是 ▲ ．
6、（南通市六所省重点高中联考试卷）已知函数，其图象在点(1,)处的切线方程为,
则它在点处的切线方程为 ▲
10. （苏北四市2011届高三第一次调研考试）已知函数及其导函数的图象如图所示，
则曲线在点P处的切线方程是 ▲ ．
讲评建议：此题也体现着解决问题的本质思想，求一个函数在某点处
的切线方程的关键是什么，当然是某点的坐标及此点的导数值，有了
这样的分析此题就太简单了，也许这就是高考想要的思相方法。此题
可能出现的问题是由于导函数是一次函数，原函数是二次函数，学生
会求两个函数，再求切线方程，既走了回路。放在第10题也正是这种用意。
9、（宿迁市高三12月联考）已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是 ；
13、（宿迁市高三12月联考）如图放置的边长为的正三角形沿轴滚动，设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系式是，则在区间上的解析式是　　 　　；
14、（宿迁市高三12月联考）关于函数，有下列命题：
①若，则函数的定域为R；
②若，则的单调增区间为
③函数的值域为R，则实数a 的取值范围是且
④定义在R的函数，且对任意的都有：
则4是的一个周期。
其中真命题的序号是 ；①③④
14．（徐州市12月高三调研）设，函数，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围为 ▲ .
14．（盐城市第一次调研）已知函数
,,
设,且函数的零点均在区间内,
则的最小值为 ▲ .9
12. （苏北四市2011届高三第二次调研）已知函数的图象在点处的切线恰好与直线平行，若在区间上单调递减，则实数的取值范围是 ▲ ．
14. （苏北四市2011届高三第二次调研）
已知函数，
且，则满足条件的所有整数的和是 ▲ ．6
20．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2011届高三调研考试）（本小题满分16分）
已知函数，a为正常数．
⑴若，且a，求函数的单调增区间；
⑵在⑴中当时，函数的图象上任意不同的两点，，线段的中点为，记直线的斜率为，试证明：．
⑶若，且对任意的，，都有，求a的取值范围．
解：⑴
∵a，令得或
∴函数的单调增区间为 ……………………………4
⑵证明：当时
∴ ∴
又
不妨设 ， 要比较与的大小，
即比较与的大小，又∵，
∴ 即比较与的大小．
令 ………………………………………8
则
∴在上位增函数．
又，∴， ∴，
即 ……………………………………………10
⑶∵ ， ∴
由题意得在区间上是减函数．………………………………………12
当， ∴
由在恒成立．
设，，则
∴在上为增函数，∴ ………………………………………14
当，∴
由在恒成立
设，为增函数∴
综上：a的取值范围为 ………………………………………16
19．（淮阴中学、姜堰中学、前黄中学2011届第一次联考）（16分）设函数 的最小值为，两个实根为． .
（1）求的值；（2）若关于的不等式解集为，函数在上不存在最小值，求的取值范围；（3）若，求的取值范围。
19．解：（1）∵
∴ ∴ . （4分）
（2）不妨设；，在不存在最小值，∴或 （8分）
又， ∴ （10分）
（3）∵， ∴ （12分）
又 ∴ ∴在上为增函数.
∴ （16分）
20．（淮阴中学、姜堰中学、前黄中学2011届第一次联考）（16分）函数，，.
（1）①试用含有的式子表示；②求的单调区间；
（2）对于函数图像上的不同两点，，如果在函数图像上存在点（其中在与之间），使得点处的切线∥，则称存在“伴随切线”，当时，又称存在“中值伴随切线”。试问：在函数的图像上是否存在两点．，使得存在“中值伴随切线”？若存在，求出．的坐标；若不存在，说明理由。
20．解：（1）① ∵ ∴ . （2分）
② ∵， ∴当时 ，
当时，
∴增区间为，减区间为 （6分）
（2）不存在 （7分） （反证法）
若存在两点，，不妨设，则
曲线在的切线斜率
又
∴由得 ① （11分）
法一：令
∴在上为增函数 （15分）
又 ∴ 与①矛盾
∴不存在 （16分）
法二：令，则①化为 ②
令 ∵
∴在为增函数 （15分）
又 ∴此与②矛盾，∴不存在 （16分）
19、（江苏省2010届苏北四市第一次联考）(本小题满分16分)
已知二次函数，若不等式的解集为C。
（1）求集合C；
（2）若方程在C上有解，求实数a的取值范围；
（3）已知，记在C上的值域为A， 若，的值域为B，且，求实数t的取值范围.
19、解： （1）原不等式可转换为, 当 ……2分
当 ，所以 ……4分
（2）由得
令，因为，所以
则问题转化为求内有解。 ……6分
……7分
由图象及根的存在性定理得 ……9分
解得。 ……10分
（3） （因为）
所以在上单调递增。所以函数的值域 …13分
因为，所以 解得 ……………16分
19. （常州市2011届高三数学调研）（16） 已知.
（1）若,求的单调区间；
（2）若当时,恒有,求实数的取值范围.
19、解：（1）
当时,的单调递增区间为和,单调递减区间为
（2）(i)当时,显然成立;
(ii)当时,由,可得,
令,则有.
由单调递增,可知.
又是单调减函数,
故,故所求的取值范围是.
20. （泰州市2011届高三第一次模拟考试）(本小题满分16分)
已知常数，函数
（1）求的单调递增区间；
（2）若，求在区间上的最小值；
（3）是否存在常数，使对于任意时，
恒成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
20. ⑴当时，为增函数. …………………………………（1分）
当时，=.令，得.…………（3分）
∴的增区间为，和.……………………………（4分）
⑵由右图可知，
①当时，，在区间上递减，在上递增，最小值为；………（6分）
②当时，在区间为增函数，最小值为；……………………………（8分）
③当时，在区间为增函数，最小值为； ……………………………（9分）
综上，最小值. ………………………………（10分）
⑶由，
可得， ………………………………（12分）
即或成立，所以为极小值点，或为极大值点.又时没有极大值，所以为极小值点，即……………（16分）
（若只给出，不说明理由，得1分）
19．（江苏省南通市2011届高三第一次调研测试）（本题满分16分）
设 HYPERLINK "http://www." 是定义在上的奇函数，函数 HYPERLINK "http://www." 与的图象关于 HYPERLINK "http://www." 轴对称，且当时， HYPERLINK "http://www." ．
（1）求函数的解析式；
（2）若对于区间 HYPERLINK "http://www." 上任意的，都有 HYPERLINK "http://www." 成立，求实数的取值范围．
解：（1） ∵ HYPERLINK "http://www." 的图象与的图象关于y轴对称，
∴ HYPERLINK "http://www." 的图象上任意一点关于 HYPERLINK "http://www." 轴对称的对称点在 HYPERLINK "http://www." 的图象上．
当时， HYPERLINK "http://www." ，则．………………………2分
∵ HYPERLINK "http://www." 为上的奇函数，则 HYPERLINK "http://www." ．…………………………………………4分
当时， HYPERLINK "http://www." ，．…………………………6分
∴ HYPERLINK "http://www." …………………………………………………7分
（1）由已知，．
①若 HYPERLINK "http://www." 在恒成立，则 HYPERLINK "http://www." ．
此时，， HYPERLINK "http://www." 在上单调递减， HYPERLINK "http://www." ，
∴ 的值域为 HYPERLINK "http://www." 与矛盾．……………………………………11分
②当 HYPERLINK "http://www." 时，令，
∴ 当 HYPERLINK "http://www." 时，， HYPERLINK "http://www." 单调递减，
当时， HYPERLINK "http://www." ，单调递增，
∴ HYPERLINK "http://www." ．
由，得 HYPERLINK "http://www." ．……………………………………15分
综上所述，实数的取值范围为 HYPERLINK "http://www." ． ……………………………………………16分
20、（南通市六所省重点高中联考试卷）（本题满分16分）设，函数.
（Ⅰ）当时，求函数的单调增区间；
（Ⅱ）若时，不等式恒成立，实数的取值范围.
解：（1）当时，
…………（2分）
当时，，在内单调递增；
当时，恒成立，故在内单调递增；
的单调增区间为。 …………（6分）
（2）①当时，，
，恒成立，在上增函数。
故当时，。 …………（8分）
②当时，，
（Ⅰ）当，即时，在时为正数，所以在区间上为增函数。故当时，，且此时 …………（10分）
（Ⅱ）当，即时，在时为负数，在时为正数，所以在区间上为减函数，在上为增函数。故当时，，且此时。 …………（12分）
（Ⅲ）当，即时，在进为负数，所以在区间上为减函数，故当时，。 …………（14分）
所以函数的最小值为。
由条件得此时；或，此时；或，此时无解。
综上，。 …………（16分）
20. （苏北四市2011届高三第一次调研考试）（本小题满分16分）
已知函数(，且a为常数)．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，若方程只有一解，求a的值；
（3）若对所有都有，求a的取值范围．
20．（1），………………………………………………………………1分
当时，，在上是单调增函数．…………………3分
当时，
由，得，在上是单调增函数；
由，得，在上是单调减函数．
综上，时，的单调增区间是．
时，的单调增区间是，单调减区间是．…6分
（2）由（1）知，当，时，最小，即，
由方程只有一解，得，又考虑到，
所以，解得．…………………………………………………10分
（3）当时，恒成立，
即得恒成立，即得恒成立，
令（），即当时，恒成立．
又，且，当时等号成立．
………………………………………………………………………………………12分
①当时，，
所以在上是增函数，故恒成立．
②当时，若，，
若，，
所以在上是增函数，故恒成立．…………………14分
③当时，方程的正根为，
此时，若，则，故在该区间为减函数．
所以，时，，与时，恒成立矛盾．
综上，满足条件的的取值范围是．……………………………………16分
讲评建议：此题当初是（1）只有一解，求a的范围，大家感觉，作为（1）起点太高，学生不易得分，且上来讨论，又两问题都求范围可以，但还是单调形式单调，后改为现在形式。对于（3）主要是想改变教学中老师不研究情况，分参法是解决参数的一种好方法，但不唯一，且有时其方法不好图象快，如在区间是恒小于，用图象法就很快，同时也要注意到解决参数问题还有很多求不出最值问题。如本题，分参后求不出函数的最值，而且很多参数的范围是求不出来的，是对关键点进行分类讨论求得的。
19、（宿迁市高三12月联考）（本题满分16分）已知。
（1）求函数的最小值；
（2）若存在，使成立，求实数的取值范围；
（3）证明对一切，都有成立。
19、解：（1）的定义域为，， ……………1分
令，得，
当时，；当时，， ……………3分
所以在上单调递减；在上单调递增，
故当时取最小值为。 ……………5分
（2）存在，使成立，即在能成立，等价于在能成立；
等价于 ……………8分
记，
则
当时，；当时，，
所以当时取最小值为4，故。 ……………11分
（3）记，则
当时，；当时，，
所以当时取最大值为。 ……………14分
又由（1）知当时取最小值为，
故对一切，都有成立。 ……………16分
20．（无锡市1月期末调研）(本小题满分16分)
对于定义在区间D上的函数和，如果对于任意，都有成立，那么称函数在区间D上可被函数替代．
(1) 若，试判断在区间[]上能否被替代？
(2) 记，证明在上不能被替代；
(3) 设，若在区间上能被替代，求实数的范围．
20．∵ ，
令，∵，……………………………2分
∴在上单调增，∴．……………………………………………3分
∴，即在区间[]上能被替代．…………………………………4分
（2）令．
，………………………………………………………………………………5分
且当时，；当时，，…………………………………………………6分
，即，…………………………………………………7分
∴在上不能被替代． ……………………………………………………8分
（3）∵在区间上能被替代，即对于恒成立．
∴． ， ………………………………9分
由（2）的知，当时，恒成立，
∴有① ，…………………………………………………………………………10分
令，
∵，
由（1）的结果可知，……………………………………………………………11分
∴恒大于零，∴．…………………………………………………………………………12分
② ，…………………………………………………………………………………13分
令，
∵，
∵，…………………………………………………………14分
∴恒大于零，
∴， …………………………………………………………15分
即实数的范围为
． …………………………………………………………16分
20．（徐州市12月高三调研）(本小题满分16分)
已知函数．
（Ⅰ）若有两个不同的解，求的值；
（Ⅱ）若当时，不等式恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）求在上的最大值.
20．解：（Ⅰ）方程，即，变形得，
显然，x=1已是该方程的根，从而欲原方程有两个不同的解，即要求方程
“有且仅有一个不等于1的解”或“有两解，一解为1，另一解不等于1” ……3分
结合图形，得或……………………………………………………5分
（Ⅱ）不等式对恒成立，即（*）对恒成立，
①当x=1时，（*）显然成立，此时 ……………………………………6分
②当x≠1时，（*）可变形为，令，
因为当x>1时，；而当x<1时，.
所以，故此时……………………………………………9分
综合①②，得所求的取值范围是 ……………………………10分
（Ⅲ）因为=,
当时，结合图形可知h(x)在[-2，1]上递减，在[1，2]上递增，
且h(-2)=3a+3, h(2)=a+3，经比较，此时h(x)在[-2，2]上的最大值为…11分
当时，结合图形可知h(x)在[-2，-1]，上递减，
在，[1，2]上递增，且h(-2)=3a+3, h(2)=a+3，，
经比较，知此时h(x) 在[-2，2]上的最大值为……………………12分
当时，结合图形可知h(x)在[-2，-1]，上递减，
在，[1，2]上递增，且h(-2)=3a+3, h(2)=a+3，，
经比较，知此时h(x) 在[-2，2]上的最大值为………………………13分
当时，结合图形可知h(x)在，上递减，
在，上递增，且h(-2)=3a+3, h(2)=a+3，
经比较，知此时h(x) 在[-2，2]上的最大值为………………………14分
当时，结合图形可知h(x)在[-2，1]上递减，在[1，2]上递增，
故此时h(x) 在[-2，2]上的最大值为h(1)=0………………………………15分
综上所述，当时，h(x) 在[-2，2]上的最大值为；
当时，h(x) 在[-2，2]上的最大值为；
当时，h(x) 在[-2，2]上的最大值为0…………………………………16分
20．（盐城市第一次调研）(本小题满分16分)
已知函数,.
（Ⅰ）当时,求函数在区间上的最大值；
（Ⅱ）若恒成立,求的取值范围；
（Ⅲ）对任意,总存在惟一的,使得成立, 求的取值范围.
20．解：（Ⅰ）当,时,,
所以在 递增,所以………………………4分
（Ⅱ）①当时，，，，恒成立,
在上增函数,故当时，………………………5分
②当时，，，
（i）当即时，在时为正数，所以在区间上为增函数,故当时，，且此时…………………………7分
(ii)当,即时，在时为负数，在间 时为正数,所以在区间上为减函数，在上为增函数,故当时，，
且此时……………………………………………………8分
(iii)当,即 时，在时为负数，所以在区间[1,e]上为减函数，
故当时，…………………………………………………9分
综上所述，函数的最小值为…………………10分
所以当时,得；当()时,无解；
当 （）时,得不成立.
综上,所求的取值范围是…………………………………………11分
（Ⅲ）①当时,在单调递增,由,
得………………………………………………………………………12分
②当时，在先减后增,由,
得,
设,,
所以单调递增且，所以恒成立得…………………………14分
③当时,在递增，在递减，
在递增,所以由,
得,设,
则,所以递增，且,
所以恒成立，无解.
④当时，在递增，在递减，在递增,
所以由得无解.
综上,所求的取值范围是………………………16分
20. （苏北四市2011届高三第二次调研）(本小题满分16分)
已知函数．
（1）若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）求函数在区间上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）．
20．（1）方程，即，变形得，
显然，已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程，
有且仅有一个等于1的解或无解 ，
结合图形得. ……………………4分
（2）不等式对恒成立，即（*）对恒成立，
①当时，（*）显然成立，此时；
②当时，（*）可变形为，令
因为当时，，当时，，
所以，故此时.
综合①②，得所求实数的取值范围是. …………………………………8分
（3）因为=…10分
当时，结合图形可知在上递减，在上递增，
且，经比较，此时在上的最大值为.
当时，结合图形可知在，上递减，
在，上递增，且，，
经比较，知此时在上的最大值为.
当时，结合图形可知在，上递减，
在，上递增，且，，
经比较，知此时 在上的最大值为.
当时，结合图形可知在，上递减，
在，上递增，且, ，
经比较，知此时 在上的最大值为.
当时，结合图形可知在上递减，在上递增，
故此时 在上的最大值为.
综上所述，当时，在上的最大值为；
当时， 在上的最大值为；
当时， 在上的最大值为0.…………………………………………16
20. （苏州市2011届高三调研测试）（本小题满分16分）
设函数.
⑴当时，判断函数的单调性，并加以证明；
⑵当时，求证：对一切恒成立；
⑶若，且为常数，求证：的极小值是一个与无关的常数.
20.【解析】(1)当时，，
，
所以函数在上是单调减函数.
(2) 当时, ,.
令得
当时，，是单调减函数；
当时，，是单调增函数；
所以当时，有最小值，
即对一切恒成立.
(3) ,所以。
令，得，
（舍）或，所以.
当时，，是单调减函数；
当时，，是单调增函数。
当时，有极小值，
而是与无关的常数，
所以是与无关的常数，
即的极小值是一个与无关的常数.
试题精粹
江苏省2010年高考数学联考试题
一、填空题:
3．（江苏省南通市2010年高三二模）曲线在点（1，2）处的切线方程是 ▲ ．
解析：由函数知,切线方程是:,即.
8．（江苏省南通市2010年高三二模）已知函数若函数有3个零点，则实数m的取值范围是 ▲ ．
解析：函数 得到图象为:
又函数有3个零点知有三个零点,
则实数m的取值范围是.
14．（江苏省南通市2010年高三二模）设函数，．若存在，使得与同时成立，则实数a的取值范围是 ▲ ．
6．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）直线是曲线的一条切线，则实数的值为 。
解析：设切点为,而的导数为,在切点处的切线斜率为
,得切点为,所以实数的值为.
14．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）已知函数，，若存在，使为的最小值，为的最大值，则此时数对为
。
解析：由知，又得
；而的最小值时=，又为的最大值即
所以得得0或1，则此时数对为（1，2）。
3．（江苏省泰州市2010届高三联考试题）设是定义在上的奇函数，且，则______▲_______．
解析：由是定义在上的奇函数，且,知,
则.
7．（江苏省泰州市2010届高三联考试题）已知函数，若，则实数的取值范围是__▲___．
14．(江苏通州市2010年3月高三素质检测)若函数有三个不同的零点，则实数k的取值范围为 ▲ ．{k|或k>0}
11．（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）已知函数，正实数m，n满足，且，若在区间上的最大值为2，则 ▲ ．
（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）若函数（）的最大值是正整数，则= ▲ ．7
7．（江苏省无锡市部分学校2010年4月联考试卷）设是给定的常数，是上的奇函数，且在上是增函数，若，则的取值范围是 。
10．（江苏省无锡市部分学校2010年4月联考试卷）已知四次多项式的四个实根构成公差为2的等差数列，则的所有根中最大根与最小根之差是
解析：不妨设，
则，所以，最大根与最小根之差为。
13．（江苏省盐城市2010年高三第二次调研考试）若二次函数的值域为，则的最小值为 ▲ .
14．（江苏省盐城市2010年高三第二次调研考试）设函数，则下列命题中正确命题的序号有 ▲ . （请将你认为正确命题的序号都填上）①③④
①当时，函数在R上是单调增函数； ②当时，函数在R上有最小值；
③函数的图象关于点对称； ④方程可能有三个实数根
11、（江苏省连云港市2010届高三二模试题）已知函数．
（Ⅰ）方程在区间上实数解的个数是_____▲_____；（Ⅱ）对于下列命题：① 函数是周期函数；
② 函数既有最大值又有最小值；
③ 函数的定义域是R，且其图象有对称轴；
④对于任意（是函数的导函数）．
其中真命题的序号是 ▲ ．（填写出所有真命题的序号）；②③
13、（江苏省连云港市2010届高三二模试题）函数f(x)是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式 ＜0的解集为 ▲ ．（－，－1）∪（1，）
2．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）是偶函数，且在上是减函数，则_____________．1或2
12．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）
（其中），则_____________．
7. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）已知函数（为常数且），若在区间的最小值为，则实数的值为 ▲ .
14. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）若函数的定义域和值域均为，则的取值范围是 ▲ ___.
12、（江苏省南京市2010年3月高三第二次模拟）定义在R上的满足=则 。
14、（江苏省南京市2010年3月高三第二次模拟）已知定义域为D的函数f(x),如果对任意x∈D,存在正数K, 都有∣f(x)∣≤K∣x∣成立，那么称函数f(x)是D上的“倍约束函数”，已知下列函数：①f(x)=2x②=；③=；④=，其中是“倍约束函数的是 。①③④
10、（江苏省南京市2010年3月高三第二次模拟）定义在R上的奇函数,当x∈（0，+∞）时，f(x)=,则不等式f(x)<-1的解集是 。
13．（江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷已知映射.设点，，点M 是线段AB上一动点，.当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点所经过的路线长度为
二、解答题
20．（江苏省南通市2010年高三二模）（本小题满分16分）
设函数f（x）＝x4＋bx2＋cx＋d，当x＝t1时，f（x）有极小值．
（1）若b＝－6时，函数f（x）有极大值，求实数c的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若存在实数c，使函数f（x）在闭区间［m－2，m＋2］上单调递增，求实数m的取值范围；
（3）若函数f（x）只有一个极值点，且存在t2∈（t1，t1＋1），使f ′（t2）＝0，证明：函数g（x）＝f（x）－x2＋t1x在区间（t1，t2）内最多有一个零点．
19．（江苏省南通市2010年高三二模）（本小题满分16分）
如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB=1米，高0.5米，CD=2a（a＞）米．上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD平行的伸缩横杆．
（1）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数；
（2）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积．
当时，．……………………………………………14分
综上，时，当时，，即MN与AB之间的距离为0米时，三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为平方米．时，当时，， 即与之间的距离为米时，三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为平方米．………………………16分
20．（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）(本小题满分16分)
已知函数（，实数，为常数）．21世纪教育网
（1）若（），且函数在上的最小值为0，求的值；
（2）若对于任意的实数，，函数在区间上总是减函数，对每个给定的n，求的最大值h(n)．设g(x)=，
19．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）（本题满分16分）
已知函数为奇函数，
且在处取得极大值2.
（1）求函数的解析式；
（2）记，求函数的单调区间；
（3）在（2）的条件下，当时，若函数的图像的直线的下方，求的取值范围。
解析：（1）由（≠0）为奇函数，
∴，代入得， 1分
∴，且在取得极大值2.
∴ 3分
解得，，∴ 4分
（2）∵，
∴ 5分
因为函数定义域为（0，+∞），所以
得，（舍去）.
由函数定义域为（0，+∞）， 13分
则当时，，当时，
∴当时，函数取得最小值1-。 15分
故的取值范围是（1，+∞）。答也正确 16分
20．（江苏省无锡市部分学校2010年4月联考试卷）（16分）已知函数。
（1）若证明：对于任意的两个正数，总有成立；
（2）若对任意的，不等式：恒成立，求的取值范围。
即：
19、（江苏省连云港市2010届高三二模试题）（16分）设m为实数，函数， .
（1）若≥4，求m的取值范围；
（2）当m＞0时，求证在上是单调递增函数；
（3）若对于一切，不等式≥1恒成立，求实数m的取值范围.
② 当时，
易证 在为递增，由②得在为递增，
所以，，即， 所以 。 （14分）
③当时， （无解） （15分）
综上所述 。 （16分）
20．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）（本小题满分16分）
已知函数 ，
（Ⅰ）若在上存在最大值与最小值，且其最大值与最小值的和为，试求和的值。
（Ⅱ）若为奇函数，
（1）是否存在实数，使得在为增函数，为减函数，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
（2）如果当时，都有恒成立，试求的取值范围。
20．（本小题满分16分）
（Ⅰ）∵在上存在最大值和最小值，
∴（否则值域为R），
∴
，
又，由题意有，
∴； （4分）
（Ⅱ）若为奇函数，∵，∴，
20. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）已知函数（不同时为零的常数），导函数为.
（1）当时，若存在使得成立，求的取值范围；
（2）求证：函数在内至少有一个零点；
（3）若函数为奇函数，且在处的切线垂直于直线，关于的方程在上有且只有一个实数根，求实数的取值范围.
当时，，故．
所以所求的取值范围是或．
20．（江苏省泰州市2010届高三联考试题）（本小题满分16分）
已知函数，（其中为常数）；
（1）如果函数和有相同的极值点，求的值；
（2）设，问是否存在，使得，若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）记函数，若函数有5个不同的零点，求实数的取值范围．
20．（江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷对于定义在区间D上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意，都有，且对任意∈D，当时，恒成立，则称函数为区间D上的“平底型”函数.
（1）判断函数和是否为R上的“平底型”函数？ 并说明理由；
（2）设是（1）中的“平底型”函数，为非零常数，若不等式 对一切R恒成立，求实数的取值范围；
（3）若函数是区间上的“平底型”函数，求和的值.
函数问题的题型与方法
三、函数的概念
函数有二种定义，一是变量观点下的定义，一是映射观点下的定义．复习中不能仅满足对这两种定义的背诵，而应在判断是否构成函数关系，两个函数关系是否相同等问题中得到深化，更应在有关反函数问题中正确运用．具体要求是：
1．深化对函数概念的理解，明确函数三要素的作用，并能以此为指导正确理解函数与其反函数的关系．
2．系统归纳求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法．在熟练有关技能的同时，注意对换元、待定系数法等数学思想方法的运用．
3．通过对分段定义函数，复合函数，抽象函数等的认识，进一步体会函数关系的本质，进一步树立运动变化，相互联系、制约的函数思想，为函数思想的广泛运用打好基础．
本部分的难点首先在于克服“函数就是解析式”的片面认识，真正明确不仅函数的对应法则，而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用，并真正以此作为处理问题的指导．其次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合．
Ⅰ 深化对函数概念的认识
例1．下列函数中，不存在反函数的是　　　　　　　　　　（ ）
分析：处理本题有多种思路．分别求所给各函数的反函数，看是否存在是不好的，因为过程太繁琐．
从概念看，这里应判断对于给出函数值域内的任意值，依据相应的对应法则，是否在其定义域内都只有惟一确定的值与之对应，因此可作出给定函数的图象，用数形结合法作判断，这是常用方法。
此题作为选择题还可采用估算的方法．对于D，y=3是其值域内一个值，但若y=3，则可能x=2(2＞1)，也可能x=-1(-1≤-1)．依据概念，则易得出D中函数不存在反函数．于是决定本题选D．
说明：不论采取什么思路，理解和运用函数与其反函数的关系是这里解决问题的关键．
由于函数三要素在函数概念中的重要地位，那么掌握确定函数三要素的基本方法当然成了函数概念复习中的重要课题．
例1．（重庆市）函数的定义域是（ D ）
A、 B、 C、 D、
例2．（天津市）函数（）的反函数是（ D ）
A、 B、
C、 D、
也有个别小题的难度较大，如
例3．（北京市）函数其中P、M为实数集R的两个非空子集，又规定，，给出下列四个判断：
①若，则 ②若，则
③若，则 ④若，则
其中正确判断有（ B ）
A、 1个 B、 2个 C、 3个 D、 4个
分析：若，则只有这一种可能．②和④是正确的．
Ⅱ 系统小结确定函数三要素的基本类型与常用方法
1．求函数定义域的基本类型和常用方法
由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的x的取值范围．它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练．这里的最高层次要求是给出的解析式还含有其他字
例2．已知函数定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：
分析：x的函数f(x)是由u=x与f(u)这两个函数复合而成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量．由于f(x)，f(u)是同一个函数，故(1)为已知0＜u＜2，即0＜x＜2．求x的取值范围．
解：(1)由0＜x＜2， 得
说明：本例(1)是求函数定义域的第二种类型，即不给出f(x)的解析式，由f(x)的定义域求函数f[g(x)]的定义域．关键在于理解复合函数的意义，用好换元法．(2)是二种类型的综合．
求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系，求其定义域。
2．求函数值域的基本类型和常用方法
函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的．其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域．
3．求函数解析式举例
例3．已知xy＜0，并且4x-9y=36．由此能否确定一个函数关系y=f(x)？如果能，求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由．
分析： 4x-9y=36在解析几何中表示双曲线的方程，仅此当然不能确定一个函数关系y=f(x)，但加上条件xy＜0呢？
所以
因此能确定一个函数关系y=f(x)．其定义域为(-∞，-3)∪(3，+∞)．且不难得到其值域为(-∞，0)∪(0，＋∞)．
说明：本例从某种程度上揭示了函数与解析几何中方程的内在联系．任何一个函数的解析式都可看作一个方程，在一定条件下，方程也可转化为表示函数的解析式．求函数解析式还有两类问题：
(1)求常见函数的解析式．由于常见函数(一次函数，二次函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数及反三角函数)的解析式的结构形式是确定的，故可用待定系数法确定其解析式．这里不再举例．
(2)从生产、生活中产生的函数关系的确定．这要把有关学科知识，生活经验与函数概念结合起来，举例也宜放在函数复习的以后部分．
四、函数的性质、图象
(一)函数的性质
函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫．
复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是：
1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性．
2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法．
3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．
这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解．
函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．
对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映．
这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求．
1．对函数单调性和奇偶性定义的理解
例4．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)，其中正确命题的个数是　　 （　　　 ）
A．1　　　　　　 B．2 C．3　　　　　　 D．4
分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误．
奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确．
若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定x∈R，如例1中的(3)，故④错误，选A．
说明：既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零．
2．复合函数的性质
复合函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)和y=f(u)构成的，因变量y通过中间变量u与自变量x建立起函数关系，函数u=g(x)的值域是y=f(u)定义域的子集．
复合函数的性质由构成它的函数性质所决定，具备如下规律：
(1)单调性规律
如果函数u=g(x)在区间［m，n］上是单调函数，且函数y=f(u)在区间[g(m)，g(n)] (或[g(n)，g(m)])上也是单调函数，那么
若u=g(x)，y=f(u)增减性相同，则复合函数y=f[g(x)]为增函数；若u=g(x)，y= f(u)增减性不同，则y=f[g(x)]为减函数．
(2)奇偶性规律
若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数．
例5．若y=log(2-ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是（ 　）
A．(0，1) B．(1，2) C．(0，2) D．[2，+∞)
分析：本题存在多种解法，但不管哪种方法，都必须保证：①使log(2-ax)有意义，即a＞0且a≠1，2-ax＞0．②使log(2-ax)在[0，1]上是x的减函数．由于所给函数可分解为y=logu，u=2-ax，其中u=2-ax在a＞0时为减函数，所以必须a＞1；③[0，1]必须是y=log(2-ax)定义域的子集．
解法一：因为f(x)在［0，1］上是x的减函数，所以f(0)＞f(1)，
即log2＞log(2-a)．
解法二：由对数概念显然有a＞0且a≠1，因此u=2-ax在［0，1］上是减函数，y= logu应为增函数，得a＞1，排除A，C，再令
故排除D，选B．
说明：本题为1995年全国高考试题，综合了多个知识点，无论是用直接法，还是用排除法都需要概念清楚，推理正确．
3．函数单调性与奇偶性的综合运用
例6．甲、乙两地相距Skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km／h，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(km／h)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km／h)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶．
分析：(1)难度不大，抓住关系式：全程运输成本=单位时间运输成本×全程运输时间，而全程运输时间=(全程距离)÷(平均速度)就可以解决．
故所求函数及其定义域为
但由于题设条件限制汽车行驶速度不超过ckm／h，所以(2)的解决需要
论函数的增减性来解决．
由于vv＞0，v-v＞0，并且
又S＞0，所以即
则当v=c时，y取最小值．
说明：此题是1997年全国高考试题．由于限制汽车行驶速度不得超过c，因而求最值的方法也就不完全是常用的方法，再加上字母的抽象性，使难度有所增大．
（二）函数的图象
1．掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法．
2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题．
3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题．
4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力．
以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的重点．
运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点．用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换．这也是个难点．
1．作函数图象的一个基本方法
例7．作出下列函数的图象(1)y=|x-2|(x＋1)；(2)y=10|lgx|．
分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形．
解：(1)当x≥2时，即x-2≥0时，
当x＜2时，即x-2＜0时，
这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(见图6)
(2)当x≥1时，lgx≥0，y=10|lgx|=10lgx=x；
当0＜x＜1时，lgx＜0，
所以
这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出．(见图7)
说明：作不熟悉的函数图象，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x，y的变化范围．因此必须熟记基本函数的图象．例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图象．
在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想．
2．作函数图象的另一个基本方法——图象变换法．
一个函数图象经过适当的变换(如平移、伸缩、对称、旋转等)，得到另一个与之相关的图象，这就是函数的图象变换．
在高中，主要学习了三种图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换．
(1)平移变换
函数y=f(x+a)(a≠0)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位而得到；
函数y=f(x)+b(b≠0)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象向上(b＞0)或向下(b＜0)平移|b|个单位而得到．
(2)伸缩变换
函数y=Af(x)(A＞0，A≠1)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)成原来的A倍，横坐标不变而得到．
函数y=f(ωx)(ω＞0，ω≠1)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象上
而得到．
(3)对称变换
函数y=-f(x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于x轴对称的图形而得到．
函数y=f(-x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于y轴对称的图形而得到．
函数y=-f(-x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于原点对称的图形而得到．
函数y=f-1(x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称的图形而得到。
函数y=f(|x|)的图象可以通过作函数y=f(x)在y轴右方的图象及其与y轴对称的图形而得到．
函数y=|f(x)|的图象可以通过作函数y=f(x)的图象，然后把在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分保持不变而得到．
例8．已知f(x+199)=4x＋4x+3(x∈R)，那么函数f(x)的最小值为____．
分析：由f(x＋199)的解析式求f(x)的解析式运算量较大，但这里我们注意到，y=f(x ＋100)与y=f(x)，其图象仅是左右平移关系，它们取得
求得f(x)的最小值即f(x＋199)的最小值是2．
说明：函数图象与函数性质本身在学习中也是密切联系的，是“互相利用”关系，函数图象在判断函数奇偶性、单调性、周期性及求最值等方面都有重要用途．
五、函数综合应用
函数的综合复习是在系统复习函数有关知识的基础上进行函数的综合应用:
1．在应用中深化基础知识．在复习中基础知识经历一个由分散到系统，由单一到综合的发展过程．这个过程不是一次完成的，而是螺旋式上升的．因此要在应用深化基础知识的同时，使基础知识向深度和广度发展．
2．以数学知识为载体突出数学思想方法．数学思想方法是观念性的东西，是解决数学问题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知识．函数内容最重要的数学思想是函数思想和数形结合的思想．此外还应注意在解题中运用的分类讨论、换元等思想方法．解较综合的数学问题要进行一系列等价转化或非等价转化．因此本课题也十分重视转化的数学思想．
3．重视综合运用知识分析问题解决问题的能力和推理论证能力的培养．函数是数学复习的开始，还不可能在大范围内综合运用知识．但从复习开始就让学生树立综合运用知识解决问题的意识是十分重要的．推理论证能力是学生的薄弱环节，近几年高考命题中加强对这方面的考查，尤其是对代数推理论证能力的考查是十分必要的．本课题在例题安排上作了这方面的考虑．
具体要求是：
1．在全面复习函数有关知识的基础上，进一步深刻理解函数的有关概念，全面把握各类函数的特征，提高运用基础知识解决问题的能力．
2．掌握初等数学研究函数的方法，提高研究函数的能力，重视数形结合数学思想方法的运用和推理论证能力的培养．
3．初步沟通函数与方程、不等式及解析几何有关知识的横向联系，提高综合运用知识解决问题的能力．
4．树立函数思想，使学生善于用运动变化的观点分析问题．
本部分内容的重点是：通过对问题的讲解与分析，使学生能较好的调动函数的基础知识解决问题，并在解决问题中深化对基础知识的理解，深化对函数思想、数形结合思想的理解与运用．
难点是：函数思想的理解与运用，推理论证能力、综合运用知识解决问题能力的培养与提高．
函数的综合运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题．函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．因此，运动变化、相互联系、相互制约是函数思想的精髓，掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，提高用初等数学思想方法研究函数的能力，树立运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键．
1．准确理解、熟练运用，不断深化有关函数的基础知识
在中学阶段函数只限于定义在实数集合上的一元单值函数，其内容可分为两部分．第一部分是函数的概念和性质，这部分的重点是能从变量的观点和集合映射的观点理解函数及其有关概念，掌握描述函数性质的单调性、奇偶性、周期性等概念；第二部分是七类常见函数(一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数)的图象和性质．第一部分是理论基础，第二部分是第一部分的运用与发展．
例9．已知函数f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)|y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1｝中所含元素的个数是．（　　　 ）
A．0 B．1 C．0或1 D．1或2
分析：这里首先要识别集合语言，并能正确把集合语言转化成熟悉的语言．从函数观点看，问题是求函数y=f(x)，x∈F的图象与直线x=1的交点个数(这是一次数到形的转化)，不少学生常误认为交点是1个，并说这是根据函数定义中“惟一确定”的规定得到的，这是不正确的，因为函数是由定义域、值域、对应法则三要素组成的．这里给出了函数y=f(x)的定义域是F，但未明确给出1与F的关系，当1∈F时有1个交点，当1 F时没有交点，所以选C．
2．掌握研究函数的方法，提高研究函数问题的能力
高中数学对函数的研究理论性加强了，对一些典型问题的研究十分重视，如求函数的定义域，确定函数的解析式，判断函数的奇偶性，判断或证明函数在指定区间的单调性等，并形成了研究这些问题的初等方法，这些方法对分析问题能力，推理论证能力和综合运用数学知识能力的培养和发展是十分重要的．
函数、方程、不等式是相互联系的．对于函数f(x)与g(x)，令f(x)=g(x)，f(x)＞g(x)或f(x)＜g(x)则分别构成方程和不等式，因此对于某些方程、不等式的问题用函数观点认识是十分有益的；方程、不等式从另一个侧面为研究函数提供了工具．
例10．方程lgx+x=3的解所在区间为（　　　 ）
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，+∞)
分析：在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图2)．它们的交点横坐标，显然在区间(1，3)内，由此可排除A，D．至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了．实际上这是要比较与2的大小．当x=2时，lgx=lg2，3-x=1．由于lg2＜1，因此＞2，从而判定∈(2，3)，故本题应选C．
说明：本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间．数形结合，要在结合方面下功夫．不仅要通过图象直观估计，而且还要计算的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断．
例11．(1)一次函数f(x)=kx+h(k≠0)，若m＜n有f(m)＞0，f(n)＞0，则对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0，试证明之；
(2)试用上面结论证明下面的命题：
若a，b，c∈R且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，则ab+bc+ca＞-1．
分析：问题(1)实质上是要证明，一次函数f(x)=kx+h(k≠0)， x∈(m， n)．若区间两个端点的函数值均为正，则对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0．之所以具有上述性质是由于一次函数是单调的．因此本问题的证明要从函数单调性入手．
(1)证明：
当k＞0时，函数f(x)=kx+h在x∈R上是增函数，m＜x＜n，f(x)＞f(m)＞0；
当k＜0时，函数f(x)=kx+h在x∈R上是减函数，m＜x＜n，f(x)＞f(n)＞0．
所以对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0成立．
(2)将ab+bc+ca+1写成(b+c)a+bc+1，构造函数f(x)=(b+c)x+bc+1．则
f(a)=(b+c)a+bc+1．
当b+c=0时，即b=-c， f(a)=bc+1=-c2+1．
因为|c|＜1，所以f(a)=-c2+1＞0．
当b+c≠0时，f(x)=(b+c)x+bc+1为x的一次函数．
因为|b|＜1，|c|＜1，
f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)＞0， f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)＞0．
由问题(1)对于|a|＜1的一切值f(a)＞0，即(b+c)a+bc+1=ab+ac+bc+1＞0．
说明：问题(2)的关键在于“转化”“构造”．把证明ab+bc+ca＞-1转化为证明ab+bc+ca+1＞0， 由于式子ab+bc+ca+1中， a，b，c是对称的，构造函数f(x)=(b+c)x+bc+1，则f(a)=(b+c)a+bc+1，问题转化为在|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1的条件下证明f(a)＞0．(也可构造 f(x)=(a+c)x+ac+1，证明f(b)＞0)。
例12．定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．
(1)求证f(x)为奇函数；
(2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
分析：欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明．
(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，　　　　　　　　　　　　 ①
令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．
令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有
0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．
(2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．
f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， k·3＜-3+9+2，
3-(1+k)·3+2＞0对任意x∈R成立．
令t=3＞0，问题等价于t-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．
R恒成立．
说明：问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x∈R上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+2对于任意t＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解．本题还有更简捷的解法：
分离系数由k·3＜-3+9+2得
上述解法是将k分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖．
六、强化训练
1．对函数作代换x=g(t)，则总不改变f(x)值域的代换是 ( ) A． B．
C．g(t)=(t－1)2 D．g(t)=cost
2．方程f(x,y)=0的曲线如图所示，那么方程f(2－x,y)=0的曲线是 ( )
3．已知命题p：函数的值域为R，命题q：函数
是减函数。若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是
A．a≤1 B．a<2 C．14.方程lgx＋x＝3的解所在的区间为 （ ）
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+∞)
5.如果函数f(x)＝x＋bx＋c对于任意实数t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么（ ）
A. f(2)C. f(2)6.已知函数y＝f(x)有反函数，则方程f(x)＝a (a是常数) （ ）
A.有且仅有一个实根 B.至多一个实根 C.至少一个实根 D.不同于以上结论
7.已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(，π)，则tanθ的值是 （ ）
A. － B. － C. D.
8.已知等差数列的前n项和为S，且S＝S (p≠q，p、q∈N)，则S＝_________。
9.关于x的方程sinx＋cosx＋a＝0有实根，则实数a的取值范围是__________。
10.正六棱锥的体积为48,侧面与底面所成的角为45°，则此棱锥的侧面积为___________。
11. 建造一个容积为8m，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为___________。
12．已知函数满足：，，则
。
13．已知为正整数，方程的两实根为，且，则的最小值为________________________。
14．设函数f(x)=lg(ax+2x+1)．
(1)若f(x)的定义域是R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域是R，求实数a的取值范围．
15．设不等式2x－1>m(x－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立。求x的取值范围。
16. 设等差数列{a}的前n项的和为S，已知a＝12，S>0，S<0 。
①.求公差d的取值范围；
②.指出S、S、…、S中哪一个值最大，并说明理由。(1992年全国高考)
P
M
A H B
D C
17. 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上任一点，设∠BAC＝θ，PA＝AB=2r，求异面直线PB和AC的距离。
18. 已知△ABC三内角A、B、C的大小成等差数列，且tanA·tanC＝2＋，又知顶点C的对边c上的高等于4,求△ABC的三边a、b、c及三内角。
19. 设f(x)＝lg，如果当x∈(-∞,1]时f(x)有意义，求 实数a的取值范围。
20．已知偶函数f(x)=cossinx－sin(x－)+(tan－2)sinx－sin的最小值是0，求f(x)的最大值 及此时x的集合．
21．已知，奇函数在上单调．
（Ⅰ）求字母应满足的条件；
（Ⅱ）设，且满足，求证：．
七、参考答案
1．不改变f(x)值域，即不能缩小原函数定义域。选项B，C，D均缩小了的定义域，故选A。
2．先作出f(x,y)=0关于轴对称的函数的图象，即为函数f(-x,y)=0的图象，又
f(2－x,y)=0即为，即由f(-x,y)=0向右平移2个单位。故选C。
3．命题p为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数的判别式，从而；命题q为真时，。
若p或q为真命题，p且q为假命题，故p和q中只有一个是真命题，一个是假命题。
若p为真，q为假时，无解；若p为假，q为真时，结果为14．图像法解方程，也可代入各区间的一个数（特值法或代入法），选C；
5．函数f(x)的对称轴为2，结合其单调性，选A；
6．从反面考虑，注意应用特例，选B；
7．设tan＝x (x>0），则＋＝，解出x＝2，再用万能公式，选A；
8．利用是关于n的一次函数，设S＝S＝m，＝x，则（,p）、(,q)、
(x，p+q)在同一直线上，由两点斜率相等解得x＝0，则答案：0；
9．设cosx＝t，t∈[-1,1]，则a＝t－t－1∈[－,1]，所以答案：[－,1]；
10．设高h，由体积解出h＝2，答案：24；
11．设长x，则宽，造价y＝4×120＋4x×80＋×80≥1760，答案：1760。
12．运用条件知：=2，且
==16
13．依题意可知，从而可知，所以有
，又为正整数，取，则
，所以，从而，所以，又，所以，因此有最小值为。
下面可证时，，从而，所以, 又,所以,所以,综上可得:的最小值为11。
14．分析:这是有关函数定义域、值域的问题，题目是逆向给出的，解好本题要运用复合函数，把f(x)分解为u=ax+2x+1和y=lgu 并结合其图象性质求解．
切实数x恒成立． a=0或a＜0不合题意，
解得a＞1．
当a＜0时不合题意； a=0时，u=2x+1，u能取遍一切正实数；
a＞0时，其判别式Δ=22-4×a×1≥0，解得0＜a≤1．
所以当0≤a≤1时f(x)的值域是R．
15．分析：此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论。然而，若变换一个角度以m为变量，即关于m的一次不等式(x－1)m－(2x－1)<0在[-2,2]上恒成立的问题。对此的研究，设f(m)＝(x－1)m－(2x－1)，则问题转化为求一次函数（或常数函数）f(m)的值在[-2,2]内恒为负值时参数x应该满足的条件。
解：问题可变成关于m的一次不等式：(x－1)m－(2x－1)<0在[-2,2] 恒成立，设f(m)＝(x－1)m－(2x－1), 则
解得x∈（,）
说明 本题的关键是变换角度，以参数m作为自变量而构造函数式，不等式问题变成函数在闭区间上的值域问题。本题有别于关于x的不等式2x－1>m(x－1)的解集是[-2,2]时求m的值、关于x的不等式2x－1>m(x－1)在[-2,2]上恒成立时求m的范围。
一般地，在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化。或者含有参数的函数中，将函数自变量作为参数，而参数作为函数，更具有灵活性，从而巧妙地解决有关问题。
16．分析： ①问利用公式a与S建立不等式，容易求解d的范围；②问利用S是n的二次函数，将S中哪一个值最大，变成求二次函数中n为何值时S取最大值的函数最值问题。
解：① 由a＝a＋2d＝12,得到a＝12－2d，所以
S＝12a＋66d＝12(12－2d)＋66d＝144＋42d>0，
S＝13a＋78d＝13(12－2d)＋78d＝156＋52d<0。
解得：－② S＝na＋n(n1－1)d＝n(12－2d)＋n(n－1)d
＝[n－(5－)]－[(5－)]
因为d<0，故[n－(5－)]最小时，S最大。由－说明： 数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题。也可以利用方程的思想，设出未知的量，建立等式关系即方程，将问题进行算式化，从而简洁明快。由次可见，利用函数与方程的思想来解决问题，要求灵活地运用、巧妙的结合，发展了学生思维品质的深刻性、独创性。
本题的另一种思路是寻求a>0、a<0 ，即：由d<0知道a>a>…>a，由S＝13a<0得a<0，由S＝6(a＋a)>0得a>0。所以，在S、S、…、S中，S的值最大。
17．分析：异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值，从而设定变量，建立目标函数而求函数最小值。
P
M
A H B
D C
解：在PB上任取一点M，作MD⊥AC于D，MH⊥AB于H，
设MH＝x，则MH⊥平面ABC，AC⊥HD 。
∴MD＝x＋[(2r－x)sinθ]＝(sin＋1)x－4rsinθx＋4rsinθ＝(sinθ＋1)[x－]＋
即当x＝时，MD取最小值为两异面直线的距离。
说明：本题巧在将立体几何中“异面直线的距离”变成“求异面直线上两点之间距离的最小值”，并设立合适的变量将问题变成代数中的“函数问题”。一般地，对于求最大值、最小值的实际问题，先将文字说明转化成数学语言后，再建立数学模型和函数关系式，然后利用函数性质、重要不等式和有关知识进行解答。比如再现性题组第8题就是典型的例子。
18．分析：已知了一个积式，考虑能否由其它已知得到一个和式，再用方程思想求解。
解： 由A、B、C成等差数列，可得B＝60°；
由△ABC中tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC，得
tanA＋tanC＝tanB(tanA·tanC－1)＝ (1＋)
设tanA、tanC是方程x－(＋3)x＋2＋＝0的两根，解得x＝1，x＝2＋
设A由此容易得到a＝8，b＝4，c＝4＋4。
说明：本题的解答关键是利用“△ABC中tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC”这一条性质得到tanA＋tanC，从而设立方程求出tanA和tanC的值，使问题得到解决。
19．分析：当x∈(-∞,1]时f(x)＝lg有意义的函数问题，转化为1＋2＋4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的不等式问题。
解：由题设可知，不等式1＋2＋4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立，
即：()＋()＋a>0在x∈(-∞,1]上恒成立。
设t＝(), 则t≥， 又设g(t)＝t＋t＋a，其对称轴为t＝－
∴ t＋t＋a＝0在[,+∞)上无实根， 即 g()＝()＋＋a>0，得a>－
所以a的取值范围是a>－。
说明：对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想。一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化。
在解决不等式()＋()＋a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的问题时，也可使用“分离参数法”： 设t＝(), t≥，则有a＝－t－t∈(－∞,－]，所以a的取值范围是a>－。其中最后得到a的范围，是利用了二次函数在某区间上值域的研究，也可属应用“函数思想”。
20．解：f(x)=cossinx－(sinxcos－cosxsin)+(tan－2)sinx－sin
=sincosx+(tan－2)sinx－sin
因为f(x)是偶函数，
所以对任意xR，都有f(－x)=f(x)，
即sincos(－x)+(tan－2)sin(－x)－sin=sincosx+(tan－2)sinx－sin,
即(tan－2)sinx=0，
所以tan=2
由
解得或
此时，f(x)=sin(cosx－1).
当sin=时，f(x)=(cosx－1)最大值为0，不合题意最小值为0，舍去；
当sin=时，f(x)=(cosx－1)最小值为0，
当cosx=－1时，f(x)有最大值为,
自变量x的集合为{x|x=2k+,kZ}．
21．解：（1）；．，
若上是增函数，则恒成立，即
若上是减函数，则恒成立，这样的不存在．
综上可得：．
（2）（证法一）设，由得，于是有，（1）－（2）得：，化简可得
，，，故，即有．
（证法二）假设，不妨设，由（1）可知在
上单调递增，故，
这与已知矛盾，故原假设不成立，即有．
过关测试
一、填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共70分．．
1．(06广东B1)函数的定义域是_____
2.定义在R上的函数的值域为［a,b］,则的值域为____
3．若函数的定义域为R，则的值为____
4. 函数f(x)= 若f(f(x))=1，则x的取值范围是_____
5. 规定记号“”表示一种运算，即，若，则函数的值域为
6. （08江苏）A=，则AZ的元素的个数．
7．函数，若则的所有可能值为
8. 已知f（x）的定义域为［0，1］，则函数y=f（3－x）的定义域是
9. 函数的单调递增区间是.
10. 设函数满足，则．
11. 设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为
12. 若直线y=2a与函数y=|ax－1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是___________________.
13. （10天津）设函数f(x)=x-,对任意x恒成立，则实数m的取值范围是________
14．已知函数f(x)=|x2-2ax+b|(x∈R).给出下列命题：
①f(x)必是偶函数； ②当f(0)=f(2)时，f(x)的图象必关于直线x=1对称；
③f(x)有最大值|a2-b|; ④若a2-b≤0，则f(x)在区间[a，+∞上是增函数.
其中正确命题的序号是_________.
三、解答题：本大题共5小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（本小题满分14分）
已知函数f(x)=是定义在R上的奇函数，a为常数.
16. (本题14分)已知函数，，．
⑴讨论在定义域上的单调性，并给予证明；
⑵若在上的值域是,，求的取值范围和相应的，的值．
17. (本题14分)已知，是二次函数，是奇函数，且当时，的最小值为1，求的表达式．
18．（09广东）已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．
（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；
（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点．
19．（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分7分，第三小问满分3分）
设f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且f(x)＝，
(1) 求证：直线x＝1是函数y＝ f(x)的对称轴;
(2) 当时，求的解析式；
(3) 若A＝，求a的取值范围.
20．（本小题满分16分，第一小问满分4分，第二小问满分5分，第三小问满分7分）
定义：若存在常数，使得对定义域D内的任意两个不同的实数，均有：成立，则称在D上满足利普希茨(Lipschitz)条件．
（1）试举出一个满足利普希茨(Lipschitz)条件的函数及常数的值，并加以验证；
（2）若函数在上满足利普希茨(Lipschitz)条件，求常数的最小值；
（3) 现有函数，请找出所有的一次函数，使得下列条件同时成立：
①函数满足利普希茨(Lipschitz)条件；
②方程的根也是方程的根，且；
③方程在区间上有且仅有一解．
答案
一、填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共70分．．
1．(06广东B1)函数的定义域是
2.定义在R上的函数的值域为［a,b］,则的值域为［a,b］
3．若函数的定义域为R，则的值为－6.
若a+2=0,则b=0
若a+2≠0由题意知,不合，所以a=－2,b=0.所以3a+b=－6.
4. 函数f(x)= 若f(f(x))=1，则x的取值范围是{或}. 当时， 当时，又解得。故{或}。．
5. 规定记号“”表示一种运算，即，若，则函数的值域为
由条件=解得。1=
6. （08江苏）A=，则AZ的元素的个数0 ．
7．函数，若则的所有可能值为_-eq \F(,2)_1__
8. 已知f（x）的定义域为［0，1］，则函数y=f（3－x）的定义域是[2,3].
9. 函数的单调递增区间是（－1，0.
10. 设函数满足，则 ．
11. 设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为＿1＿＿3＿＿
12. 若直线y=2a与函数y=|ax－1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是___________________.0＜a＜
13. （10天津）设函数f(x)=x-,对任意x恒成立，则实数m的取值范围是________
若m>0，由复合函数的单调性可知f（mx）和mf（x）均为增函数，此时不符合题意。
M<0，时有因为在上的最小值为2，所以1+即>1,解得m<-1.
14．已知函数f(x)=|x2-2ax+b|(x∈R).给出下列命题：
①f(x)必是偶函数； ②当f(0)=f(2)时，f(x)的图象必关于直线x=1对称；
③f(x)有最大值|a2-b|; ④若a2-b≤0，则f(x)在区间[a，+∞上是增函数.
其中正确命题的序号是___④______.
三、解答题：本大题共5小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（本小题满分14分）
已知函数f(x)=是定义在R上的奇函数，a为常数.
(1)求a的值； (2)判断f(x)在区间(－1、1)上的增减性.
(1) ∵ f(x)在R上是奇函数，∴ f(0)=0 ∴a=0 ………………… 6分
(2) 由上可知f(x)=－.设x1、x2∈(－1，1)且x1＜x2，则f(x2)－f(x1)=－
=. …………………………………………………………（9分）
∵ －1＜x1＜x2＜1, ∴x2－x1＞0,x1·x2－1＜0, 1+＞0, 1+＞0,
∴ f(x2)－f(x1)＜0, 即f(x2)＜f(x1)， ……………… 12分
∴ f(x)在(－1，1)上为减函数. ……………… 14分
16. (本题14分)已知函数，，．
⑴讨论在定义域上的单调性，并给予证明；
⑵若在上的值域是,，求的取值范围和相应的，的值．
解：（1）在定义域上单调递增．
任取,=
∵,∴，,∴,
∴在定义域上单调递增． ……………………………………6分
（2）由（1）知在[m，n]上单调递增， ∴在[m，n]上的值域是
即， ………………………10分
∴，为方程的两个正相异实根，
∴△=1＞0，且可得 　 ………………………12分
　　　 ， ……………………14分
17. (本题14分)已知，是二次函数，是奇函数，且当时，的最小值为1，求的表达式．
解：设，则为奇函数，
∴，, ……………………………………4分
∴
∵当时，的最小值为1
∴或或 …………10分
解得　 或， ……………………………………13分
∴或 ………………………………14分
18．（09广东）已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．
（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；
（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点．
【解析】（1）设，则；
又的图像与直线平行
又在取极小值， ，
， ；
， 设
则
（2）由，
得
当时，方程有一解，函数有一零点；
当时，方程有二解，若，，
函数有两个零点；若，
，函数有两个零点；
当时，方程有一解, , 函数有一零点
19．（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分7分，第三小问满分3分）
设f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且f(x)＝，
(1) 求证：直线x＝1是函数y＝ f(x)的对称轴;
(2) 当时，求的解析式；
(3) 若A＝，求a的取值范围.
略
20．（本小题满分16分，第一小问满分4分，第二小问满分5分，第三小问满分7分）
定义：若存在常数，使得对定义域D内的任意两个不同的实数，均有：成立，则称在D上满足利普希茨(Lipschitz)条件．
（1）试举出一个满足利普希茨(Lipschitz)条件的函数及常数的值，并加以验证；
（2）若函数在上满足利普希茨(Lipschitz)条件，求常数的最小值；
（3) 现有函数，请找出所有的一次函数，使得下列条件同时成立：
①函数满足利普希茨(Lipschitz)条件；
②方程的根也是方程的根，且；
③方程在区间上有且仅有一解．
（1）例如令由
知可取满足题意（任何一次函数或常值函数等均可）.…………………………………… 4分
（2）在为增函数对任意有
，……………………… 7分
所以. ………………………………… 9分
（3）由于所有一次函数均满足（1）故设是的根，，又
若符合题意，则也符合题意，故以下仅考虑的情形。
设
①若，则由，且
所以，在中另有一根，矛盾。 ………………………………………………… 12分
②若，则由
所以，在中另有一根，矛盾。 ……………………………………………… 14分
以下证明，对任意符合题意。
当时，由图象在连接两点的线段的上方知
当时，
当时，
综上：有且仅有一个解，在满足题意。
综上所述： ………… 16分
x
y
O
1
（第10题图）
y
a
x
C
A
B
M
N
D
E
m
m
A
B
C
D
E
M
N
（第19题）