2021年全国乙卷高考文科数学真题试卷（Word版，含解析）

2021年全国统一高考数学试卷（文科）（乙卷）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.
1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则?U（M∪N）＝（　　）
A．{5} B．{1，2} C．{3，4} D．{1，2，3，4}
2．设iz＝4+3i，则z＝（　　）
A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i
3．已知命题p：?x∈R，sinx＜1；命题q：?x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（　　）
A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢（p∨q）
4．函数f（x）＝sin+cos的最小正周期和最大值分别是（　　）
A．3π和 B．3π和2 C．6π和 D．6π和2
5．若x，y满足约束条件则z＝3x+y的最小值为（　　）
A．18 B．10 C．6 D．4
6．cos2﹣cos2＝（　　）
A． B． C． D．
7．在区间（0，）随机取1个数，则取到的数小于的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．下列函数中最小值为4的是（　　）
A．y＝x2+2x+4 B．y＝|sinx|+
C．y＝2x+22﹣x D．y＝lnx+
9．设函数f（x）＝，则下列函数中为奇函数的是（　　）
A．f（x﹣1）﹣1 B．f（x﹣1）+1 C．f（x+1）﹣1 D．f（x+1）+1
10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（　　）
A． B． C． D．
11．设B是椭圆C：+y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（　　）
A． B． C． D．2
12．设a≠0，若x＝a为函数f（x）＝a（x﹣a）2（x﹣b）的极大值点，则（　　）
A．a＜b B．a＞b C．ab＜a2 D．ab＞a2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分。
13．已知向量＝（2，5），＝（λ，4），若∥，则λ＝　 　．
14．双曲线﹣＝1的右焦点到直线x+2y﹣8＝0的距离为　 　．
15．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2+c2＝3ac，则b＝　 　．
16．以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为　 　（写出符合要求的一组答案即可）．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为s12和s22．
（1）求，，s12，s22；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果﹣≥2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM．
（1）证明：平面PAM⊥平面PBD；
（2）若PD＝DC＝1，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
19．设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝，已知a1，3a2，9a3成等差数列．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn＜．
20．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程；
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足＝9，求直线OQ斜率的最大值．
21．已知函数f（x）＝x3﹣x2+ax+1．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）求曲线y＝f（x）过坐标原点的切线与曲线y＝f（x）的公共点的坐标．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C（2，1），半径为1．
（1）写出⊙C的一个参数方程；
（2）过点F（4，1）作⊙C的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+3|．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥6的解集；
（2）若f（x）＞﹣a，求a的取值范围．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则?U（M∪N）＝（　　）
A．{5} B．{1，2} C．{3，4} D．{1，2，3，4}
解：∵全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，
∴M∪N＝{1，2，3，4}，
∴?U（M∪N）＝{5}．
故选：A．
2．设iz＝4+3i，则z＝（　　）
A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i
解：由iz＝4+3i，得z＝．
故选：C．
3．已知命题p：?x∈R，sinx＜1；命题q：?x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（　　）
A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢（p∨q）
解：对于命题p：?x∈R，sinx＜1，
当x＝0时，sinx＝0＜1，故命题p为真命题，￢p为假命题；
对于命题q：?x∈R，e|x|≥1，
因为|x|≥0，又函数y＝ex为单调递增函数，故e|x|≥e0＝1，
故命题q为真命题，￢q为假命题，
所以p∧q为真命题，￢p∧q为假命题，p∧￢q为假命题，￢（p∨q）为假命题，
故选：A．
4．函数f（x）＝sin+cos的最小正周期和最大值分别是（　　）
A．3π和 B．3π和2 C．6π和 D．6π和2
解：∵f（x）＝sin+cos＝sin（+），
∴T＝＝6π．
当sin（+）＝1时，函数f（x）取得最大值；
∴函数f（x）的周期为 6π，最大值．
故选：C．
5．若x，y满足约束条件则z＝3x+y的最小值为（　　）
A．18 B．10 C．6 D．4
解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（1，3），
由z＝3x+y，得y＝﹣3x+z，由图可知，当直线y＝﹣3x+z过A时，
直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3×1+3＝6．
故选：C．
6．cos2﹣cos2＝（　　）
A． B． C． D．
解：法一、cos2﹣cos2
＝
＝
＝．
法二、cos2﹣cos2
＝cos2﹣sin2
＝cos＝．
故选：D．
7．在区间（0，）随机取1个数，则取到的数小于的概率为（　　）
A． B． C． D．
解：由于试验的全部结果构成的区域长度为﹣0＝，
构成该事件的区域长度为﹣0＝，
所以取到的数小于的概率P＝＝．
故选：B．
8．下列函数中最小值为4的是（　　）
A．y＝x2+2x+4 B．y＝|sinx|+
C．y＝2x+22﹣x D．y＝lnx+
解：对于A，y＝x2+2x+4＝（x+1）2+3≥3，
所以函数的最小值为3，故选项A错误；
对于B，因为0＜|sinx|≤1，所以y＝|sinx|+，
当且仅当，即|sinx|＝2时取等号，
因为|sinx|≤1，所以等号取不到，
所以y＝|sinx|+＞4，故选项B错误；
对于C，因为2x＞0，所以y＝2x+22﹣x＝，
当且仅当2x＝2，即x＝1时取等号，
所以函数的最小值为4，故选项C正确；
对于D，因为当x＝时，，
所以函数的最小值不是4，故选项D错误．
故选：C．
9．设函数f（x）＝，则下列函数中为奇函数的是（　　）
A．f（x﹣1）﹣1 B．f（x﹣1）+1 C．f（x+1）﹣1 D．f（x+1）+1
解：因为f（x）＝＝，
所以函数f（x）的对称中心为（﹣1，﹣1），
所以将函数f（x）向右平移一个单位，向上平移一个单位，
得到函数y＝f（x﹣1）+1，该函数的对称中心为（0，0），
故函数y＝f（x﹣1）+1为奇函数．
故选：B．
10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解∵AD1∥BC1，∴∠PBC1是直线PB与AD1所成的角（或所成角的补角），
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，
则PB1＝PC1＝＝，BC1＝＝2，BP＝＝，
∴cos∠PBC1＝＝＝，
∴∠PBC1＝，
∴直线PB与AD1所成的角为．
故选：D．
11．设B是椭圆C：+y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（　　）
A． B． C． D．2
解：B是椭圆C：+y2＝1的上顶点，所以B（0，1），
点P在C上，设P（，sinθ），θ∈[0，2π），
所以|PB|＝＝
＝＝，
当sinθ＝时，|PB|取得最大值，最大值为．
故选：A．
12．设a≠0，若x＝a为函数f（x）＝a（x﹣a）2（x﹣b）的极大值点，则（　　）
A．a＜b B．a＞b C．ab＜a2 D．ab＞a2
解：令f（x）＝0，解得x＝a或x＝b，即x＝a及x＝b是f（x）的两个零点，
当a＞0时，由三次函数的性质可知，要使x＝a是f（x）的极大值点，则函数f（x）的大致图象如下图所示，
则0＜a＜b；
当a＜0时，由三次函数的性质可知，要使x＝a是f（x）的极大值点，则函数f（x）的大致图象如下图所示，
则b＜a＜0；
综上，ab＞a2．
故选：D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分。
13．已知向量＝（2，5），＝（λ，4），若∥，则λ＝　　．
解：因为＝（2，5），＝（λ，4），∥，
所以8﹣5λ＝0，解得λ＝．
故答案为：．
14．双曲线﹣＝1的右焦点到直线x+2y﹣8＝0的距离为　　．
解：双曲线﹣＝1的右焦点（3，0），
所以右焦点到直线x+2y﹣8＝0的距离为d＝＝．
故答案为：．
15．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2+c2＝3ac，则b＝　2　．
解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2+c2＝3ac，
∴acsinB＝?ac×＝?ac＝4?a2+c2＝12，
又cosB＝?＝?b＝2，（负值舍）
故答案为：2．
16．以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为　②⑤或③④　（写出符合要求的一组答案即可）．
解：观察正视图，推出正视图的长为2和高1，②③图形的高也为1，即可能为该三棱锥的侧视图，
④⑤图形的长为2，即可能为该三棱锥的俯视图，
当②为侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定该三棱锥的俯视图为⑤，
当③为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓线，可以确定该三棱锥的俯视图为④．
故答案为：②⑤或③④．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为s12和s22．
（1）求，，s12，s22；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果﹣≥2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
解：（1）由题中的数据可得，（9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7）＝10，
＝（10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5）＝10.3，
s12＝[（9.8﹣10）2+（10.3﹣10）2+（10﹣10）2+（10.2﹣10）2+（9.9﹣10）2+（9.8﹣10）2
+（10﹣10）2+（10.1﹣10）2+（10.2﹣10）2+（9.7﹣10）2]＝0.036；
s22＝[（10.1﹣10.3）2+（10.4﹣10.3）2+（10.1﹣10.3）2+（10.0﹣10.3）2+（10.1﹣10.3）2
+（10.3﹣10.3）2+（10.6﹣10.3）2+（10.5﹣10.3）2+（10.4﹣10.3）2+（10.5﹣10.3）2]＝0.04；
（2），，
因为，
所以﹣＞2，
故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．
18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM．
（1）证明：平面PAM⊥平面PBD；
（2）若PD＝DC＝1，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
【解答】（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，AM?平面ABCD，
∴PD⊥AM，
又∵PB⊥AM，
PD∩PB＝P，PB，PD?平面PBD．
∴AM⊥平面PBD．
∵AM?平面PAM，
∴平面PAM⊥平面PBD；
（2）解：由PD⊥底面ABCD，
∴PD即为四棱锥P﹣ABCD的高，△DPB是直角三角形；
∵ABCD底面是矩形，PD＝DC＝1，M为BC的中点，且PB⊥AM．
设AD＝BC＝2a，取CP的中点为F．作EF⊥CD交于E，
连接MF，AF，AE，
可得MF∥PB，EF∥DP，
那么AM⊥MF．且EF＝．AE＝，AM＝，．
那么△AMF是直角三角形，
∵△DPB是直角三角形，
∴根据勾股定理：BP＝，则MF＝；
由△AMF是直角三角形，
可得AM2+MF2＝AF2，
解得a＝．
底面ABCD的面积S＝，
则四棱锥P﹣ABCD的体积V＝＝．
19．设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝，已知a1，3a2，9a3成等差数列．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn＜．
解：（1）∵a1，3a2，9a3成等差数列，∴6a2＝a1+9a3，
∵{an}是首项为1的等比数列，设其公比为q，
则6q＝1+9q2，∴q＝，
∴an＝a1qn﹣1＝，
∴bn＝＝n?．
（2）证明：由（1）知an＝，bn＝n?，
∴＝，
，①
∴，②
①﹣②得，，
∴，
∴Tn﹣＝﹣＜0，
∴Tn＜．
20．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程；
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足＝9，求直线OQ斜率的最大值．
【解答】（1）解：由题意知，p＝2，
∴y2＝4x．
（2）由（1）知，抛物线C：y2＝4x，F（1，0），
设点Q的坐标为（m，n），
则＝（1﹣m，﹣n），
∴P点坐标为（10m﹣9，10n），
将点P代入C得100n2＝40m﹣36，
整理得，
∴，当n＝时取最大值．
故答案为：．
21．已知函数f（x）＝x3﹣x2+ax+1．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）求曲线y＝f（x）过坐标原点的切线与曲线y＝f（x）的公共点的坐标．
解：（1）f′（x）＝3x2﹣2x+a，△＝4﹣12a，
①当△≤0，即时，由于f′（x）的图象是开口向上的抛物线，故此时f′（x）≥0，则f（x）在R上单调递增；
②当△＞0，即时，令f′（x）＝0，解得，
令f′（x）＞0，解得x＜x1或x＞x2，令f′（x）＜0，解得x1＜x＜x2，
∴f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）单调递增，在（x1，x2）单调递减；
综上，当时，f（x）在R上单调递增；当时，f（x）在单调递增，在单调递减．
（2）设曲线y＝f（x）过坐标原点的切线为l，切点为，
则切线方程为，
将原点代入切线方程有，，解得x0＝1，
∴切线方程为y＝（a+1）x，
令x3﹣x2+ax+1＝（a+1）x，即x3﹣x2﹣x+1＝0，解得x＝1或x＝﹣1，
∴曲线y＝f（x）过坐标原点的切线与曲线y＝f（x）的公共点的坐标为（1，a+1）和（﹣1，﹣a﹣1）．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C（2，1），半径为1．
（1）写出⊙C的一个参数方程；
（2）过点F（4，1）作⊙C的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
解：（1）⊙C的圆心为C（2，1），半径为1，
则⊙C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，
⊙C的一个参数方程为（θ为参数）．
（2）由题意可知两条切线方程斜率存在，
设切线方程为y﹣1＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k+1＝0，
圆心C（2，1）到切线的距离d＝＝1，解得k＝±，
所以切线方程为y＝±（x﹣4）+1，
因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
所以这两条切线的极坐标方程为ρsinθ＝±（ρcosθ﹣4）+1．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+3|．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥6的解集；
（2）若f（x）＞﹣a，求a的取值范围．
解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|x+3|＝，
∵f（x）≥6，∴或或，
∴x≤﹣4或x≥2，
∴不等式的解集为（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）．
（2）f（x）＝|x﹣a|+|x+3|≥|x﹣a﹣x﹣3|＝|a+3|，
若f（x）＞﹣a，则|a+3|＞﹣a，
两边平方可得a2+6a+9＞a2，解得a＞﹣，
即a的取值范围是（﹣，+∞）．