2021年全国甲卷高考数学(文科)试卷(Word解析版)

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名称 2021年全国甲卷高考数学(文科)试卷(Word解析版)
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文件大小 1.1MB
资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2021-06-28 11:39:57

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文档简介

2021年全国统一高考数学试卷(文科)(甲卷)
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分).
1.设集合M={1,3,5,7,9},N={x|2x>7},则M∩N=(  )
A.{7,9} B.{5,7,9} C.{3,5,7,9} D.{1,3,5,7,9}
2.为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:
根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是(  )
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
3.已知(1﹣i)2z=3+2i,则z=(  )
A.﹣1﹣i B.﹣1+i C.﹣+i D.﹣﹣i
4.下列函数中是增函数的为(  )
A.f(x)=﹣x B.f(x)=()x C.f(x)=x2 D.f(x)=
5.点(3,0)到双曲线﹣=1的一条渐近线的距离为(  )
A. B. C. D.
6.青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(  )(≈1.259)
A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
7.在一个正方体中,过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A﹣EFG后,所得多面体的三视图中,正视图如图所示,则相应的侧视图是(  )
A. B. C. D.
8.在△ABC中,已知B=120°,AC=,AB=2,则BC=(  )
A.1 B. C. D.3
9.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=4,S4=6,则S6=(  )
A.7 B.8 C.9 D.10
10.将3个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为(  )
A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.8
11.若α∈(0,),tan2α=,则tanα=(  )
A. B. C. D.
12.设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(﹣x).若f(﹣)=,则f()=(  )
A.﹣ B.﹣ C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.若向量,满足||=3,|﹣|=5,?=1,则||=   .
14.已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30π,则该圆锥的侧面积为   .
15.已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图像如图所示,则f()=   .
16.已知F1,F2为椭圆C:+=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为   .
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。
17.甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表:
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附:K2=.
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
18.记Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,a2=3a1,且数列{}是等差数列,证明:{an}是等差数列.
19.已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,BF⊥A1B1.
(1)求三棱锥F﹣EBC的体积;
(2)已知D为棱A1B1上的点,证明:BF⊥DE.
20.设函数f(x)=a2x2+ax﹣3lnx+1,其中a>0.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若y=f(x)的图像与x轴没有公共点,求a的取值范围.
21.抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线l:x=1交C于P,Q两点,且OP⊥OQ.已知点M(2,0),且⊙M与l相切.
(1)求C,⊙M的方程;
(2)设A1,A2,A3是C上的三个点,直线A1A2,A1A3均与⊙M相切.判断直线A2A3与⊙M的位置关系,并说明理由.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.
(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)设点A的直角坐标为(1,0),M为C上的动点,点P满足=,写出P的轨迹C1的参数方程,并判断C与C1是否有公共点.
[选修4-5:不等式选讲]
23.已知函数f(x)=|x﹣2|,g(x)=|2x+3|﹣|2x﹣1|.
(1)画出y=f(x)和y=g(x)的图像;
(2)若f(x+a)≥g(x),求a的取值范围.
参考答案
一、选择题(共12小题).
1.设集合M={1,3,5,7,9},N={x|2x>7},则M∩N=(  )
A.{7,9} B.{5,7,9} C.{3,5,7,9} D.{1,3,5,7,9}
解:因为N={x|2x>7}={x|x>},M={1,3,5,7,9},
所以M∩N={5,7,9}.
故选:B.
2.为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:
根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是(  )
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
解:对于A,该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为(0.02+0.04)×1=0.06=6%,故选项A正确;
对于B,该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为(0.04+0.02×3)×1=0.1=10%,故选项B正确;
对于C,估计该地农户家庭年收入的平均值为3×0.02+4×0.04+5×0.1+6×0.14+7×0.2+8×0.2+9×0.1+10×0.1+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02=7.68>6.5万元,故选项C错误;
对于D,家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为(0.1+0.14+0.2+0.2)×1=0.64>0.5,
故估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间,故选项D正确.
故选:C.
3.已知(1﹣i)2z=3+2i,则z=(  )
A.﹣1﹣i B.﹣1+i C.﹣+i D.﹣﹣i
解:因为(1﹣i)2z=3+2i,
所以.
故选:B.
4.下列函数中是增函数的为(  )
A.f(x)=﹣x B.f(x)=()x C.f(x)=x2 D.f(x)=
解:由一次函数性质可知f(x)=﹣x在R上是减函数,不符合题意;
由指数函数性质可知f(x)=()x在R上是减函数,不符合题意;
由二次函数的性质可知f(x)=x2在R上不单调,不符合题意;
根据幂函数性质可知f(x)=在R上单调递增,符合题意.
故选:D.
5.点(3,0)到双曲线﹣=1的一条渐近线的距离为(  )
A. B. C. D.
解:由题意可知,双曲线的渐近线方程为,即3x±4y=0,
结合对称性,不妨考虑点(3,0)到直线3x﹣4y=0 的距离,
则点(3,0)到双曲线的一条渐近线的距离.
故选:A.
6.青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(  )(≈1.259)
A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
解:在L=5+lgV中,L=4.9,所以4.9=5+lgV,即lgV=﹣0.1,
解得V=10﹣0.1===≈0.8,
所以其视力的小数记录法的数据约为0.8.
故选:C.
7.在一个正方体中,过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A﹣EFG后,所得多面体的三视图中,正视图如图所示,则相应的侧视图是(  )
A. B. C. D.
解:由题意,作出正方体,截去三棱锥A﹣EFG,根据正视图,
可得A﹣EFG在正方体左侧面,如图,根据三视图的投影,
可得相应的侧视图是D图形,
故选:D.
8.在△ABC中,已知B=120°,AC=,AB=2,则BC=(  )
A.1 B. C. D.3
解:设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
结合余弦定理,可得19=a2+4?2×a×2×cos120°,
即a2+2a?15=0,解得a=3 (a=﹣5 舍去),
所以BC=3.
故选:D.
9.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=4,S4=6,则S6=(  )
A.7 B.8 C.9 D.10
解:∵Sn为等比数列{an}的前n项和,S2=4,S4=6,
由等比数列的性质,可知S2,S4﹣S2,S6﹣S4成等比数列,
∴4,2,S6﹣6成等比数列,
∴22=4(S6﹣6),解得S6=7.
故选:A.
10.将3个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为(  )
A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.8
解:将3个1和2个0随机排成一行的方法可以是:00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100,共10种排法,
其中2个0不相邻的排列方法可以是:01011,01101,01110,10101,10110,11010,共6种方法,
满足题意的概率为 ,
故选:C.
11.若α∈(0,),tan2α=,则tanα=(  )
A. B. C. D.
解:由tan2α=,得,
即,
∵α∈(0,),∴cosα≠0,
则2sinα(2﹣sinα)=1﹣2sin2α,解得sinα=,
则cosα==,
∴tanα=.
故选:A.
12.设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(﹣x).若f(﹣)=,则f()=(  )
A.﹣ B.﹣ C. D.
解:由题意得f(﹣x)=﹣f(x),
又f(1+x)=f(﹣x)=﹣f(x),
所以f(2+x)=f(x),
又f(﹣)=,
则f()=f(2﹣)=f(﹣)=.
故选:C.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.若向量,满足||=3,|﹣|=5,?=1,则||=  .
解:由题意,可得,
因为||=3,?=1,所以,
所以.
故答案为:.
14.已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30π,则该圆锥的侧面积为 39π .
解:由圆锥的底面半径为6,其体积为30π,
设圆锥的高为h,则,解得,
所以圆锥的母线长,
所以圆锥的侧面积.
故答案为:39π.
15.已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图像如图所示,则f()= ﹣ .
解:由图可知,f(x)的最小正周期T=(﹣)=π,
所以ω==2,因为f()=0,
所以由五点作图法可得2×+φ=,解得φ=﹣,
所以f(x)=2cos(2x﹣),
所以f()=2cos(2×﹣)=﹣2cos=﹣.
故答案为:﹣.
16.已知F1,F2为椭圆C:+=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为 8 .
解:因为P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,
所以四边形PF1QF2为矩形,
设|PF1|=m,|PF2|=n,
由椭圆的定义可得||PF1|+|PF2||=m+n=2a=8,
所以m2+2mn+n2=64,
因为|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=4(a2﹣b2)=48,
即m2+n2=48,
所以mn=8,
所以四边形PF1QF2的面积为|PF1||PF2|=mn=8.
故答案为:8.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。
17.甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表:
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附:K2=.
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
解:由题意,可得甲机床、乙机床生产总数均为200件,
因为甲的一级品的频数为150,所以甲的一级品的频率为;
因为乙的一级品的频数为120,所以乙的一级品的频率为;
(2)根据2×2列联表,可得K2=
=≈10.256>6.635.
所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.
18.记Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,a2=3a1,且数列{}是等差数列,证明:{an}是等差数列.
【解答】证明:设等差数列{}的公差为d,
由题意得=;===2,
则d=﹣=2﹣=,所以=+(n﹣1)=n,
所以Sn=n2a1①;
当n≥2时,有Sn﹣1=(n﹣1)2a1②.
由①②,得an=Sn﹣Sn﹣1=n2a1﹣(n﹣1)2a1=(2n﹣1)a1③,
经检验,当n=1时也满足③.
所以an=(2n﹣1)a1,n∈N+,
当n≥2时,an﹣an﹣1=(2n﹣1)a1﹣(2n﹣3)a1=2a1,
所以数列{an}是等差数列.
19.已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,BF⊥A1B1.
(1)求三棱锥F﹣EBC的体积;
(2)已知D为棱A1B1上的点,证明:BF⊥DE.
解:(1)在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,BB1⊥A1B1,
又BF⊥A1B1,BB1∩BF=B,BB1,BF?平面BCC1B1,
∴A1B1⊥平面BCC1B1,
∵AB∥A1B1,
∴AB⊥平面BCC1B1,
∴AB⊥BC,
又AB=AC,故,
∴,
而侧面AA1B1B为正方形,
∴,
∴,即三棱锥F﹣EBC的体积为;
(2)证明:如图,取BC中点G,连接EG,B1G,设B1G∩BF=H,
∵点E是AC的中点,点G时BC的中点,
∴EG∥AB,
∴EG∥AB∥B1D,
∴E、G、B1、D四点共面,
由(1)可得AB⊥平面BCC1B1,
∴EG⊥平面BCC1B1,
∴BF⊥EG,
∵,且这两个角都是锐角,
∴∠CBF=∠BB1G,
∴∠BHB1=∠BGB1+∠CBF=∠BGB1+∠BB1G=90°,
∴BF⊥B1G,
又EG∩B1G=G,EG,B1G?平面EGB1D,
∴BF⊥平面EGB1D,
又DE?平面EGB1D,
∴BF⊥DE.
20.设函数f(x)=a2x2+ax﹣3lnx+1,其中a>0.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若y=f(x)的图像与x轴没有公共点,求a的取值范围.
解:(1)f′(x)=2a2x+a﹣==,x>0,
因为a>0,
所以﹣<0<,
所以在(0,)上,f′(x)<0,f(x)单调递减,
在(,+∞)上,f′(x)>0,f(x)单调递增.
综上所述,f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上f(x)单调递增.
(2)由(1)可知,f(x)min=f()=a2×()2+a×﹣3ln+1=3+3lna,
因为y=f(x)的图像与x轴没有公共点,
所以3+3lna>0,
所以a>,
所以a的取值范围为(,+∞).
21.抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线l:x=1交C于P,Q两点,且OP⊥OQ.已知点M(2,0),且⊙M与l相切.
(1)求C,⊙M的方程;
(2)设A1,A2,A3是C上的三个点,直线A1A2,A1A3均与⊙M相切.判断直线A2A3与⊙M的位置关系,并说明理由.
解:(1)因为x=1与抛物线有两个不同的交点,故可设抛物线C的方程为:y2=2px(p>0),
令x=1,则,
根据抛物线的对称性,不妨设P在x轴上方,Q在X轴下方,故,
因为OP⊥OQ,故,
抛物线C的方程为:y2=x,
因为⊙M与l相切,故其半径为1,故⊙M:(x﹣2)2+y2=1.
(2)设A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3).
当A1,A2,A3其中某一个为坐标原点时(假设A1为坐标原点时),
设直线A1A2方程为kx﹣y=0,根据点M(2,0)到直线距离为1可得=1,解得k=,
联立直线A1A2与抛物线方程可得x=3,
此时直线A2A3与⊙M的位置关系为相切,
当A1,A2,A3都不是坐标原点时,即x1≠x2≠x3,直线A1A2的方程为x?(y1+y2)y+y1y2=0,
此时有,,即,
同理,由对称性可得,,
所以y2,y3是方程 的两根,
依题意有,直线A2A3的方程为x?(y2+y3)y+y2y3=0,
令M到直线A2A3的距离为d,则有,
此时直线A2A3与⊙M的位置关系也为相切,
综上,直线A2A3与⊙M相切.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.
(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)设点A的直角坐标为(1,0),M为C上的动点,点P满足=,写出P的轨迹C1的参数方程,并判断C与C1是否有公共点.
解:(1)由极坐标方程为ρ=2cosθ,得ρ2=2ρcosθ,
化为直角坐标方程是x2+y2=2x,
即+y2=2,表示圆心为C(,0),半径为的圆.
(2)设点P的直角坐标为(x,y),M(x1,y1),因为A(1,0),
所以=(x﹣1,y),=(x1﹣1,y1),
由=,
即,
解得,
所以M((x﹣1)+1,y),代入C的方程得+=2,
化简得点P的轨迹方程是+y2=4,表示圆心为C1(3﹣,0),半径为2 的圆;
化为参数方程是,θ为参数;
计算|CC1|=|(3﹣)﹣|=3﹣2<2﹣,
所以圆C与圆C1内含,没有公共点.
[选修4-5:不等式选讲]
23.已知函数f(x)=|x﹣2|,g(x)=|2x+3|﹣|2x﹣1|.
(1)画出y=f(x)和y=g(x)的图像;
(2)若f(x+a)≥g(x),求a的取值范围.
解:(1)函数f(x)=|x﹣2|=,
g(x)=|2x+3|﹣|2x﹣1|=.
画出y=f(x)和y=g(x)的图像;
(2)由图像可得:f(6)=4,g()=4,
若f(x+a)≥g(x),说明把函数f(x)的图像向左或向右平移|a|单位以后,f(x)的图像不在g(x)的下方,
由图像观察可得:a≥2﹣+4=
∴a的取值范围为[,+∞).
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