2021年新高考北京卷数学高考真题（Word版，含答案）

2021年普通高等学校招生全国统一考试
北京卷·数学
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.
已知集合，，则（
）
A.
B.
C.
D.
2.
在复平面内，复数满足，则（
）
A.
1
B.i
C.
D.
3.设函数的定义域为，则“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（
）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
4.
某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（
）
A.
B.
C.
D.
5.
双曲线过点，离心率为，则该双曲线的标准方程为（
）
A.
B.
C.
D.
6.已知和是两个等差数列，且是常值，若，，，则的值为（
）
A.
B.
100
C.
128
D.
132
7.已知函数，则该函数（
）
A.
奇函数，最大值为2
B.
偶函数，最大值为2
C.
奇函数，最大值为
D.
偶函数，最大值为
8.对24小时内降水在平地上的积水厚度（mm）进行如下定义：
小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级（
）
A.
小雨
B.
中雨
C.
大雨
D.
暴雨
9.
已知圆，直线，则当的值发生变化时，直线被圆C所截的弦长的最小值为1，则的取值为（
）
A.
B.
C.
D.
10.
数列是递增的整数数列，且，，则的最大值为（
）
A.
9
B.
10
C.
11
D.
12
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题5小题，每小题5分，共25分．
11.
的展开式中常数项为__________．
12.
已知抛物线，C焦点为，点在上，且，则的横坐标是_______；作轴于，则_______．
13.
，，，则_______；_______．
14.
若点与点关于轴对称，写出一个符合题意的值___．
15.
已知，给出下列四个结论：
①若，则有两个零点；
②，使得有一个零点；
③，使得有三个零点；
④，使得有三个零点．
以上正确结论的序号是_______．
三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16.
已知在中，，．
（1）求的大小；
（2）在三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．
①；②周长为；③面积为；
17.
已知正方体，点为中点，直线交平面于点．
（1）求证：点为中点；
（2）若点为棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．
18.
为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．
（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；
②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；
（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．
19.
已知函数．
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若函数在处取得极值，求的单调区间，以及最大值和最小值．
20.
已知椭圆过点，以四个顶点围成的四边形面积为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．
21.
定义数列：对p∈R，满足：①，；②；③，．
（1）对前4项2，-2，0，1的数列，可以是数列吗？说明理由；
（2）若是数列，求的值；
（3）是否存在p∈R，使得存在数列，对任意满足？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题
1.B
2.D
3.A
4.A
5.A
6.B
7.D
8.B
9.C
10.C
二、填空题
11.-4
12.
(1).
5
(2).
13.
(1).
0
(2).
3
14.
（满足即可）
15.
①②④
三、解答题
16.
（1）；
（2）答案不唯一
由余弦定理可得边上的中线的长度为：
；
则由余弦定理可得边上的中线的长度为：
.
17.
（1）证明见解析；（2）．
18.
（1）①次；②分布列见解析；期望为
（2）若时，；
若时，；
若时，.
19.
（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为.
20.（1）；（2）．
21.（1）不可以是数列；理由见解析；（2）；（3）存在；．