2022届高考数学一轮复习-立体几何外接球专题教案(Word含解析)

学
科
数学
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所在年级
上课时间
课题名称
外接球问题
教学目标
圆柱和圆锥的外接球模型
2、有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥外接球
3、利用模型解决相关棱柱和棱锥外接球问题
教学重点
教学难点
知识梳理
模型一、圆柱外接球
结论：
（R：外接球半径
h：圆柱高
r：圆柱底面半径）
推导：
模型一推广：
（1）直棱柱
（h:圆柱的高
r:直棱柱底面外接圆半径
）
（2）侧面为三角形，底面为矩形，侧面和底面垂直的四棱锥
（3）侧棱垂直于底面的棱锥
【2017深二模】
已知三棱锥S-ABC，△ABC是直角三角形，其斜边AB=8，SC⊥平面ABC，SC=6，
则三棱锥的外接球的表面积为(
)
（A）64π
（B）68π
（C）72π
（D）100π
模型二、圆锥外接球
结论：
（R：外接球半径
h：圆锥高
r：圆锥底面半径）
推导：
模型二推广：
（1）棱锥（上顶点在底面外心正上方）外接球
（h:棱锥的高
r:棱锥底面外接圆半径
）
【2018深一模】
如图，网格纸上小正方形的边长为1，某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为（　　）
A．
B．
C．16π
D．25π
【2017全国一卷
文
16】
已知三棱锥S?ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，
三棱锥S?ABC的体积为9，则球O的表面积为______________．
【2019
全国一卷
理
12】
已知三棱锥P?ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
A．
B．
C．
D．
模型一、二总结
题型：求几何体的外接球
模型一：
（圆柱模型）
模型二：
（圆锥模型）
适用于：
适用于：
1、所有的圆柱、直棱柱
上顶点在底面外心正上方的棱锥
2、侧棱垂直于底面的棱锥
3、侧面为任意三角形，底面为矩形，
且侧面垂直于底面的四棱锥
模型三、有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥
，球心在公共斜边的中点处
如下图，∠ABC=∠ADC=90°，则O为外接球球心
1、在矩形中，＝4，＝3，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为
A.
B.
C.
D.
2.三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且，，则该球的体积为
A
B
C
D
专题练习
类型一
构造法（补形法）
【例1】已知是球上的点，
,
，
,则球的表面积等于________________．
【例2】【辽宁省鞍山一中2019届高三三模】刘徽《九章算术?商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（　　）
A．
B．
C．
D．
【举一反三】
1、【山东省济宁市2019届高三一模】已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为
A．
B．
C．
D．
2、【辽宁省师范大学附属中学2019届高三上学期期中】在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为（　　）
A．Π
B．
C．Π
D．
3、【河南省天一大联考2019届高三阶段性测试（五)】某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
类型二
正棱锥与球的外接
【例3】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为
（
）
A．
B．
C．
D．
【举一反三】
1、球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S?ABC的体积的最大值为(　　)
A.
B.
C．2
D．4
2.
【四川省德阳市2018届高三二诊】正四面体ABCD的体积为，则正四面体ABCD的外接球的体积为______．
3、【安徽省蚌埠市2019届高三下学期第二次检查】正三棱锥中，，点在棱上，且.正三棱锥的外接球为球，过点作球的截面，截球所得截面面积的最小值为__________．
类型三
直棱柱的外接球
【例4】直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，
则此球的表面积等于
.
【举一反三】
1、【云南省2019年高三第二次统一检测】已知直三棱柱的顶点都在球的球面上，，，若球的表面积为，则这个直三棱柱的体积是（
）
A．16
B．15
C．
D．
2、已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上,,,,则球的半径为（　　）
A．
B．
C．
D．
3、
正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，则正四棱柱的侧面积有最
值，为
.
答案与解析
类型一
构造法（补形法）
【例1】已知是球上的点，
,
，
,则球的表面积等于________________．
【答案】
【解析】
由已知S,A,B,C是球O表面上的点，所以
，又，
，所以四面体的外接球半径等于以长宽高分别以SA,AB,BC三边长为长方体的外接球的半径，因为，
,所以，所以球的表面积.
【指点迷津】当一三棱锥的三侧棱两两垂直时，可将三棱锥补成一个长方体，将问题转化为长方体（正方体）来解.长方体的外接球即为该三棱锥的外接球.
【例2】【辽宁省鞍山一中2019届高三三模】刘徽《九章算术?商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
由题意可知阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个底面，四棱锥的高为长方体的一棱长，且阳马的外接球也是长方体的外接球，
由三视图可知四棱锥的底面是边长为1的正方形，四棱锥的高为1，
∴长方体的一个顶点处的三条棱长分别为1，1，1，
∴长方体的对角线为，∴外接球的半径为，
∴外接球的体积为.
故选：B．
【指点迷津】当一四面体或三棱锥的棱长相等时，可以构造正方体，在正方体中构造三棱锥或四面体，利用三棱锥或四面体与正方体的外接球相同来解即可.
【举一反三】
1、【山东省济宁市2019届高三一模】已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
如图所示，将直三棱柱补充为长方体，
则该长方体的体对角线为，
设长方体的外接球的半径为，则，,
所以该长方体的外接球的体积，
故选C.
2、【辽宁省师范大学附属中学2019届高三上学期期中】在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
解：如图，
把三棱锥补形为长方体，设长方体的长、宽、高分别为，
则，
∴三棱锥外接球的半径
∴三棱锥外接球的表面积为．
故选：C．
3、【河南省天一大联考2019届高三阶段性测试（五)】某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
由三视图可得，该几何体为一个三棱锥，放在长、宽、高分别为2，1，2的长方体中，此三棱锥和长方体的外接球是同一个，长方体的外接球的球心在体对角线的中点处，易得其外接球的直径为，从而外接球的表面积为.
故答案为：C.
类型二
正棱锥与球的外接
【例3】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A．
【指点迷津】求正棱锥外接球的表面积或体积，应先求其半径，在棱锥的高上取一点作为外接球的球心，构造直角三角形，利用勾股定理求半径.
【举一反三】
1、球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S?ABC的体积的最大值为(　　)
A.
B.
C．2
D．4
【答案】A
【解析】
(1)由于平面SAB⊥平面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球的对称性可知，当S在“最高点”，即H为AB的中点时，SH最大，此时棱锥S?ABC的体积最大．学科
网
因为△ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径r＝OC＝CH＝××2＝.
在Rt△SHO中，OH＝OC＝，
所以SH＝＝1，
故所求体积的最大值为××22×1＝.
2.
【四川省德阳市2018届高三二诊】正四面体ABCD的体积为，则正四面体ABCD的外接球的体积为______．
【答案】
【解析】
解：如图，
设正四面体ABCD的棱长为，过A作AD⊥BC，
设等边三角形ABC的中心为O，则，
，
，即．
再设正四面体ABCD的外接球球心为G，连接GA，
则，即．
∴正四面体ABCD的外接球的体积为.
故答案为：．
3、【安徽省蚌埠市2019届高三下学期第二次检查】正三棱锥中，，点在棱上，且.正三棱锥的外接球为球，过点作球的截面，截球所得截面面积的最小值为__________．
【答案】
【解析】
因为，所以，
所以，同理，
故可把正三棱锥补成正方体（如图所示），其外接球即为球，直径为正方体的体对角线，故，设的中点为，连接，
则且，所以，
当平面时，平面截球的截面面积最小，
此时截面为圆面，其半径为，故截面的面积为．填．
类型三
直棱柱的外接球
【例4】直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，
则此球的表面积等于
.
【答案】
【解析】在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为.
【指点迷津】直棱柱的外接球的球心在上、下底面的外接圆的圆心的连线上，确定球心，用球心、一底面的外接圆的圆心，一顶点构成一个直角三角形，用勾股定理得关于外接球半径的关系式，可球的半径.
【举一反三】
1、【云南省2019年高三第二次统一检测】已知直三棱柱的顶点都在球的球面上，，，若球的表面积为，则这个直三棱柱的体积是（
）
A．16
B．15
C．
D．
【答案】A
【解析】
由题，
，
因为，，易知三角形ABC为等腰直角三角形，
故三棱柱的高
故体积
故选A
2、已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,,,则球的半径为
（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由球心作面ABC的垂线，则垂足为BC中点M.计算AM=，由垂径定理，OM=6，所以半径R=,选C.
3、
正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，则正四棱柱的侧面积有最
值，为
.
【答案】大
1
！