2021高考数学真题试卷（10份）

2021年高考数学真题试卷（新高考Ⅰ卷）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。（共8题；共40分）
1.设集合A=
{x|-2B
=
{2,3,4,5},则A∩B=（
??）
A.?{2}????????????????????????????????????B.?{2,3}????????????????????????????????????C.?{3,4,}????????????????????????????????????D.?{2,3,4}
2.已知z=2-i，则(
=（
??）
A.?6-2i?????????????????????????????????????B.?4-2i?????????????????????????????????????C.?6+2i?????????????????????????????????????D.?4+2i
3.已知圆锥的底面半径为
，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（
??）
A.?2???????????????????????????????????????B.?2
???????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????D.?4
4.下列区间中，函数f(x)=7sin(
)单调递增的区间是（
??）
A.?(0,
???
)??????????????????????????B.?(
?,
)??????????????????????????C.?(
,
)??????????????????????????D.?(
,
)
5.已知F1,F2是椭圆C：
的两个焦点，点M在C
上，则|MF1|·|MF2|的最大值为（
??）
A.?13??????????????????????????????????????????B.?12??????????????????????????????????????????C.?9??????????????????????????????????????????D.?6
6.若tan
=-2,则
?=（
??）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
7.若过点（a,b)可以作曲线y=ex的两条切线，则（
??）
A.?eb8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（
??）
A.?甲与丙相互独立?????????????B.?甲与丁相互独立?????????????C.?乙与丙相互独立?????????????D.?丙与丁相互独立
二、选择题：本题共4小题。每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（共4题；共20分）
9.有一组样本数据x1
，
x2,…,xn,由这组数据得到新样本数据y1
，
y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数，则（
??）
A.?两组样本数据的样本平均数相同
B.?两组样本数据的样本中位数相同
C.?两组样本数据的样本标准差相同
D.?两组样本数据的样本极差相同
10.已知O为坐标原点，点P1(cosα,sinα),P2(cosβ，-sinβ),P3(cos(α+β),sin(α+β))，A(1，0),则（
??）
A.?|
=
???????????B.?
=
???????????C.?
=
???????????D.?
11.已知点P在圆
+
?=16上，点A（4,0），B（0,2），则（
??）
A.?点P到直线AB的距离小于10
B.?点P到直线AB的距离大于2
C.?当∠PBA最小时，|PB|=3
D.?当∠PBA最大时，|PB|=3
12.在正三棱柱ABC-
中，AB=A
，点P满足
，其中λ∈[0,1]，
∈[0,1]，则（
??）
A.?当λ=1时，△
P的周长为定值
B.?当
=1时，三棱锥P-A1BC的体积为定值
C.?当λ=
时，有且仅有一个点P，使得
D.?当
=
时，有且仅有一个点P，使得
B⊥平面A
P
三、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分（共4题；共20分）
13.已知函数f(x)=
是偶函数，则a=________
14.已知O为坐标原点，抛物线C:
的焦点为F,P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP,若|FQ|=6，则C的准线方程为________
15.函数f(x)
=|2x-l|-2lnx的最小值为________
16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现此纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折。规格为20dm×12dm的长方形纸.对折1次共可以得到10dm×2dm、20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和
S1
=240
dm2
，
对折2次共可以得5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和
S2=180dm2。以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________；如果对折n次，那么
=________dm.
四、解答题：本题共6小题，共70分。（共6题；共70分）
17.已知数列{
}满足
=1，
（1）记
=
，写出
，
，并求数列
的通项公式；
（2）求
的前20项和
18.某学校组织"一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题?每位参加比赛的同学先在两类问题中选择类并从中随机抽収一个问题冋答，若回答错误则该同学比赛结束；若
回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问題回答，无论回答正确与否，该同学比赛
结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B类问题中的每个问题
回答正确得80分，否则得0分。
己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8
,能正确回答B类问題的概率为0.6.且能正确回答问题的概率与回答次序无关。
（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列：
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由。
19.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a.，b.，c,已知
=ac,点D在边AC
上，BDsin∠ABC=asinC.
（1）证明：BD
=
b：
（2）若AD
=
2DC
.求cos∠ABC.
20.如图，在三棱锥A-BCD中.平面ABD丄平面BCD，AB=AD.O为BD的中点.
（1）证明：OA⊥CD：
（2）若△OCD是边长为1的等边三角形.点E在
棱AD上.DE=2EA.且二面角E-BC-D的大小为45°，求三棱锥A-BCD的体积.
21.在平面直角坐标系xOy中，己知点
(-
7,0)，
(
7,0),点M满足|MFt|-|MF2|=2.记M
的轨迹为C.
（1）求C的方程;
（2）设点T在直线
上，过T
的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|
,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和
22.已知函数f(x)=x（1-lnx)
（1）讨论f(x)的单调性
（2）设a,b为两个不相等的正数,且blna-alnb=a-b证明:
答案解析部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.【答案】
B
【考点】交集及其运算
【解析】【解答】解：根据交集的定义易知A∩B是求集合A与集合B的公共元素，即{2,3}，
故答案为：B
【分析】根据交集的定义直接求解即可.
2.【答案】
C
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：C
【分析】根据复数的运算，结合共轭复数的定义求解即可.
3.【答案】
B
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】【解答】解：根据底面周长等于侧面展开图弧长，设母线为l，底面半径为r，则有
，
解得
故答案为：B
【分析】根据底面周长等于侧面展开图弧长，结合圆的周长公式与扇形的弧长公式求解即可.
4.【答案】
A
【考点】正弦函数的单调性
【解析】【解答】解：由得
，
k∈Z，当k=0时，是函数的一个增区间，显然
，
故答案为：A
【分析】根据正弦函数的单调性求解即可.
5.【答案】
C
【考点】基本不等式在最值问题中的应用，椭圆的定义
【解析】【解答】解：由椭圆的定义可知a2=9,b2=4,|MF1|+|MF2|=2a=6，
则由基本不等式可得|MF1||MF2|≤
，
当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，等号成立.
故答案为：C
【分析】根据椭圆的定义，结合基本不等式求解即可.
6.【答案】
C
【考点】二倍角的正弦公式，同角三角函数间的基本关系，同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：原式
故答案为：C
【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合二倍角公式求解即可.
7.【答案】
D
【考点】极限及其运算，利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由题意易知，当x趋近于-∞时，切线为x=0，当x趋近于+∞时，切线为y=+∞，因此切线的交点必位于第一象限，且在曲线y=ex的下方.
故答案为：D
【分析】利用极限，结合图象求解即可.
8.【答案】
B
【考点】相互独立事件，相互独立事件的概率乘法公式，古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：设甲乙丙丁事件发生的概率分别为P(A)，P(B)，P(C)，P(D)，
则
，
对于A，P(AC)=0；
对于B，；
对于C，；
对于D，P(CD)=0.
若两事件X,Y相互独立，则P(XY)=P(X)P(Y),
故B正确.
故答案为：B
【分析】根据古典概型，以及独立事件的概率求解即可
二、选择题：本题共4小题。每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.【答案】
C,D
【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：对于A，
，
因为c≠0，所以
，
故A错误；
对于B，若x1,x2,……,xn的中位数为xk
，
因为yi=xi+c，因为c≠0，所以y1,y2,……,yn的中位数为yk=xk+c≠xk
，
故B错误；
对于C，y1,y2,……,yn的标准差为
，
故C正确；
对于D，设样本数据x1,x2,……,xn中的最大为xn
，
最小为x1,因为yi=xi+c，所以y1,y2,……,yn中的最大为yn
，
最小为y1,
极差为yn-y1=(xn+c)-(x1+c)=xn-x1
，
故D正确.
???????故答案为：CD
【分析】根据平均数，中位数，标准差的定义求解即可.
10.【答案】
A,C
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，平面向量数量积的运算，两角和与差的余弦公式，两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：
，
故A正确；
因为
，
故B错误；
因为
，
，
所以
故C正确；
因为
，
，
所以D错误
故答案为：AC.
【分析】根据向量的数量积，及向量的求模直接求解即可.
11.【答案】
A,C,D
【考点】直线的截距式方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：直线AB为：
，
即x+2y-4=0，
设点P（5+4cosθ，5+4sinθ），则点P到直线AB的距离为
，
则
所以A正确B错误；
又圆心O为（5,5），半径为4，则
，
所以当直线PB与圆相切时，∠PBA取得最值，此时，
所以CD正确
故答案为：ACD.
【分析】根据直线的截距式，利用点到直线的距离公式，以及直线与圆的位置关系求解即可.
12.【答案】
B,D
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：由
点P满足?
可知点P在正方形BCC1B1内，
对于A，当λ=1时，可知点P在CC1（包括端点）上运动，如下图所示，△AB1P中，
，
因此周长L=AB+AP+B1P不为定值，故A错误.
对于B，当μ=1时，可知点P在B1C1（包括端点）上运动，如下图所示，
易知B1C1//平面A1BC，即点P到平面A1BC的距离处处相等，
△A1BC的面积是定值，所以三棱锥P-A1BC的体积为定值，故B正确；
对于C，当时，分别取线段BB1
，
CC1的中点M,N，可知点P在线段DD1（包括端点）上运动，如下图所示，
很显然若点P与D,D1重合，均满足题意，故C正确；
对于D，当时，分别取线段BB1
，
CC1的中点D,D1
，
可知点P在线段DD1（包括端点）上运动，如下图所示，
此时，有且只有点P与点N重合时，满足题意，故D正确.
故答案为：BD
【分析】根据三角形的周长，棱锥的体积的求法，利用特殊点进行判断AB即可,根据线线垂直及线面垂直的判定定理，利用特殊点进行判断CD即可.
三、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.【答案】
1
【考点】函数奇偶性的判断，函数奇偶性的性质
【解析】【解答】解：设
?
，
则题意可知函数g(x)为奇函数，则g(0)=a·20-2-0=a-1=0，故a=1
故答案为：1
【分析】根据函数的奇偶性的判定，结合奇函数的性质求解即可.
14.【答案】
【考点】直线的点斜式方程，抛物线的定义
【解析】【解答】解：由题意可设
，
则,
因此直线PQ的方程为：
令y=0，得
因此
则p=3
因此抛物线C的准线方程为：
【分析】根据抛物线的定义及几何性质，结合直线的方程求解即可.
15.【答案】
1
【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，分段函数的应用
【解析】【解答】解：①当时，f（x）=2x-1-2lnx，则
，
当x>1时，f'(x)>0，当时，f'(x)<0，所以f（x）min=f（1）=1；
②当时，f（x）=1-2x-2lnx，则
，
此时函数f（x）=1-2x-2lnx在上为减函数，则f（x）min=
，
综上，f（x）min=1
故答案为：1
【分析】根据分段函数的定义，分别利用导数研究函数的单调性与最值，并比较即可求解
16.【答案】
5；
【考点】数列的求和，类比推理
【解析】【解答】解：对折3次有2.5×12，6×5，3×10，20×1.5共4种，面积和为S3=4×30=120dm2;
对折4次有1.25×12,2.5×6,3×5,1.5×10,20×0.75共5种，面积和为S4=5×15=75dm2;
对折n次有n+1中类型，,
因此
，
上式相减，得
则
故答案为：5，
【分析】根据类比推理可求对折4次及对折n次的图形种数，运用错位相减法可求.
四、解答题：本题共6小题，共70分。
17.【答案】
（1）
为偶数，
则
，
，
，即
，且
，
是以
为首项，3为公差的等差数列，
，
，
．
（2）当
为奇数时，
，
的前
项和为
．
由（1）可知，
．
的前20项和为
．
【考点】等差数列，等差数列的通项公式，数列的求和
【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义及通项公式即可求解；
（2）运用分组求和法，结合项之间的关系即可求解.
?
18.【答案】
（1）
的取值可能为
，
，
，
，
，
，
的分布列为
X
0
20
100
?
P
0.2
0.32
0.48
（2）假设先答
类题，得分为
，
则
可能为0，80，100，
，
，
，
的分布列为
Y
0
80
100
P
0.4
0.12
0.48
，
由（1）可知
，
，
∴应先答B类题．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据独立事件的概率，并列出X的分布列即可；
（2）根据独立事件的概率，并列出Y的分布列，根据期望公式求得E(X),E(Y)并比较即可判断.
19.【答案】
（1）在
中，
，
，
，
联立
得
，即
，
，
．
（2）若
，
中，
，
中，
，
，
，
整理得
，
，
，
，即
或
，
若
时，
，
则
（舍），
若
，
，
则
.
【考点】正弦定理的应用，余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据正弦定理求解即可；
（2）根据余弦定理，结合方程思想和分类讨论思想求解即可.
20.【答案】
（1）
，
为
中点，
，
面
，
面
面
且面
面
，
面
，
．
（2）以
为坐标原点，
为
轴，
为
轴，垂直
且过
的直线为
轴，
设
，
，
，
，
,
，
，
设
为面
法向量，
，
，
令
，
，
，
，
面
法向量为
，
，解得
，
，
，
．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，平面与平面垂直的性质，与二面角有关的立体几何综合题，用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合等腰三角形的性质求解即可；
（2）利用向量法，结合二面角的平面角求得m=1，再根据棱锥的体积公式直接求解即可.
21.【答案】
（1）
，
轨迹
为双曲线右半支，
，
，
，
，
．
（2）设
，
设
：
，
联立
，
，
，
，
，
，
，
设
：
，
同理
，
，
，
，
，即
，
，
.
【考点】双曲线的定义，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义直接求解即可；
（2）利用直线与双曲线的位置关系，结合根与系数的关系，以及弦长公式求解即可.
22.【答案】
（1）
在
单调递增，
在
单调递减
（2）由
，得
即
令
，
则
为
的两根，其中
．
不妨令
，
，则
先证
，即证
即证
令
则
恒成立，
得证
同理，要证
即证
令
则
，令
又
，
，且
故
，
，
恒成立
得证
【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可求解；
（2）根据化归转化思想，将不等式问题等价转化为函数h(x)=f(x)-f(2-x)与的最值问题，利用h'(x)与研究函数函数h(x)与的单调性及最值即可.2021年高考数学真题试卷（新高考Ⅰ卷）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。（共8题；共40分）
1.设集合A=
{x|-2B
=
{2,3,4,5},则A∩B=（
??）
A.?{2}????????????????????????????????????B.?{2,3}????????????????????????????????????C.?{3,4,}????????????????????????????????????D.?{2,3,4}
【答案】
B
【考点】交集及其运算
【解析】【解答】解：根据交集的定义易知A∩B是求集合A与集合B的公共元素，即{2,3}，
故答案为：B
【分析】根据交集的定义直接求解即可.
2.已知z=2-i，则(
=（
??）
A.?6-2i?????????????????????????????????????B.?4-2i?????????????????????????????????????C.?6+2i?????????????????????????????????????D.?4+2i
【答案】
C
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：C
【分析】根据复数的运算，结合共轭复数的定义求解即可.
3.已知圆锥的底面半径为
，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（
??）
A.?2???????????????????????????????????????B.?2
???????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????D.?4
【答案】
B
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】【解答】解：根据底面周长等于侧面展开图弧长，设母线为l，底面半径为r，则有
，
解得
故答案为：B
【分析】根据底面周长等于侧面展开图弧长，结合圆的周长公式与扇形的弧长公式求解即可.
4.下列区间中，函数f(x)=7sin(
)单调递增的区间是（
??）
A.?(0,
???
)??????????????????????????B.?(
?,
)??????????????????????????C.?(
,
)??????????????????????????D.?(
,
)
【答案】
A
【考点】正弦函数的单调性
【解析】【解答】解：由得
，
k∈Z，当k=0时，是函数的一个增区间，显然
，
故答案为：A
【分析】根据正弦函数的单调性求解即可.
5.已知F1,F2是椭圆C：
的两个焦点，点M在C
上，则|MF1|·|MF2|的最大值为（
??）
A.?13??????????????????????????????????????????B.?12??????????????????????????????????????????C.?9??????????????????????????????????????????D.?6
【答案】
C
【考点】基本不等式在最值问题中的应用，椭圆的定义
【解析】【解答】解：由椭圆的定义可知a2=9,b2=4,|MF1|+|MF2|=2a=6，
则由基本不等式可得|MF1||MF2|≤
，
当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，等号成立.
故答案为：C
【分析】根据椭圆的定义，结合基本不等式求解即可.
6.若tan
=-2,则
?=（
??）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】
C
【考点】二倍角的正弦公式，同角三角函数间的基本关系，同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：原式
故答案为：C
【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合二倍角公式求解即可.
7.若过点（a,b)可以作曲线y=ex的两条切线，则（
??）
A.?eb【答案】
D
【考点】极限及其运算，利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由题意易知，当x趋近于-∞时，切线为x=0，当x趋近于+∞时，切线为y=+∞，因此切线的交点必位于第一象限，且在曲线y=ex的下方.
故答案为：D
【分析】利用极限，结合图象求解即可.
8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（
??）
A.?甲与丙相互独立?????????????B.?甲与丁相互独立?????????????C.?乙与丙相互独立?????????????D.?丙与丁相互独立
【答案】
B
【考点】相互独立事件，相互独立事件的概率乘法公式，古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：设甲乙丙丁事件发生的概率分别为P(A)，P(B)，P(C)，P(D)，
则
，
对于A，P(AC)=0；
对于B，；
对于C，；
对于D，P(CD)=0.
若两事件X,Y相互独立，则P(XY)=P(X)P(Y),
故B正确.
故答案为：B
【分析】根据古典概型，以及独立事件的概率求解即可
二、选择题：本题共4小题。每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（共4题；共20分）
9.有一组样本数据x1
，
x2,…,xn,由这组数据得到新样本数据y1
，
y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数，则（
??）
A.?两组样本数据的样本平均数相同
B.?两组样本数据的样本中位数相同
C.?两组样本数据的样本标准差相同
D.?两组样本数据的样本极差相同
【答案】
C,D
【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：对于A，
，
因为c≠0，所以
，
故A错误；
对于B，若x1,x2,……,xn的中位数为xk
，
因为yi=xi+c，因为c≠0，所以y1,y2,……,yn的中位数为yk=xk+c≠xk
，
故B错误；
对于C，y1,y2,……,yn的标准差为
，
故C正确；
对于D，设样本数据x1,x2,……,xn中的最大为xn
，
最小为x1,因为yi=xi+c，所以y1,y2,……,yn中的最大为yn
，
最小为y1,
极差为yn-y1=(xn+c)-(x1+c)=xn-x1
，
故D正确.
???????故答案为：CD
【分析】根据平均数，中位数，标准差的定义求解即可.
10.已知O为坐标原点，点P1(cosα,sinα),P2(cosβ，-sinβ),P3(cos(α+β),sin(α+β))，A(1，0),则（
??）
A.?|
=
???????????B.?
=
???????????C.?
=
???????????D.?
【答案】
A,C
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，平面向量数量积的运算，两角和与差的余弦公式，两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：
，
故A正确；
因为
，
故B错误；
因为
，
，
所以
故C正确；
因为
，
，
所以D错误
故答案为：AC.
【分析】根据向量的数量积，及向量的求模直接求解即可.
11.已知点P在圆
+
?=16上，点A（4,0），B（0,2），则（
??）
A.?点P到直线AB的距离小于10
B.?点P到直线AB的距离大于2
C.?当∠PBA最小时，|PB|=3
D.?当∠PBA最大时，|PB|=3
【答案】
A,C,D
【考点】直线的截距式方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：直线AB为：
，
即x+2y-4=0，
设点P（5+4cosθ，5+4sinθ），则点P到直线AB的距离为
，
则
所以A正确B错误；
又圆心O为（5,5），半径为4，则
，
所以当直线PB与圆相切时，∠PBA取得最值，此时，
所以CD正确
故答案为：ACD.
【分析】根据直线的截距式，利用点到直线的距离公式，以及直线与圆的位置关系求解即可.
12.在正三棱柱ABC-
中，AB=A
，点P满足
，其中λ∈[0,1]，
∈[0,1]，则（
??）
A.?当λ=1时，△
P的周长为定值
B.?当
=1时，三棱锥P-A1BC的体积为定值
C.?当λ=
时，有且仅有一个点P，使得
D.?当
=
时，有且仅有一个点P，使得
B⊥平面A
P
【答案】
B,D
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：由
点P满足?
可知点P在正方形BCC1B1内，
对于A，当λ=1时，可知点P在CC1（包括端点）上运动，如下图所示，△AB1P中，
，
因此周长L=AB+AP+B1P不为定值，故A错误.
对于B，当μ=1时，可知点P在B1C1（包括端点）上运动，如下图所示，
易知B1C1//平面A1BC，即点P到平面A1BC的距离处处相等，
△A1BC的面积是定值，所以三棱锥P-A1BC的体积为定值，故B正确；
对于C，当时，分别取线段BB1
，
CC1的中点M,N，可知点P在线段DD1（包括端点）上运动，如下图所示，
很显然若点P与D,D1重合，均满足题意，故C正确；
对于D，当时，分别取线段BB1
，
CC1的中点D,D1
，
可知点P在线段DD1（包括端点）上运动，如下图所示，
此时，有且只有点P与点N重合时，满足题意，故D正确.
故答案为：BD
【分析】根据三角形的周长，棱锥的体积的求法，利用特殊点进行判断AB即可,根据线线垂直及线面垂直的判定定理，利用特殊点进行判断CD即可.
三、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分（共4题；共20分）
13.已知函数f(x)=
是偶函数，则a=________
【答案】
1
【考点】函数奇偶性的判断，函数奇偶性的性质
【解析】【解答】解：设
?
，
则题意可知函数g(x)为奇函数，则g(0)=a·20-2-0=a-1=0，故a=1
故答案为：1
【分析】根据函数的奇偶性的判定，结合奇函数的性质求解即可.
14.已知O为坐标原点，抛物线C:
的焦点为F,P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP,若|FQ|=6，则C的准线方程为________
【答案】
【考点】直线的点斜式方程，抛物线的定义
【解析】【解答】解：由题意可设
，
则,
因此直线PQ的方程为：
令y=0，得
因此
则p=3
因此抛物线C的准线方程为：
【分析】根据抛物线的定义及几何性质，结合直线的方程求解即可.
15.函数f(x)
=|2x-l|-2lnx的最小值为________
【答案】
1
【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，分段函数的应用
【解析】【解答】解：①当时，f（x）=2x-1-2lnx，则
，
当x>1时，f'(x)>0，当时，f'(x)<0，所以f（x）min=f（1）=1；
②当时，f（x）=1-2x-2lnx，则
，
此时函数f（x）=1-2x-2lnx在上为减函数，则f（x）min=
，
综上，f（x）min=1
故答案为：1
【分析】根据分段函数的定义，分别利用导数研究函数的单调性与最值，并比较即可求解
16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现此纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折。规格为20dm×12dm的长方形纸.对折1次共可以得到10dm×2dm、20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和
S1
=240
dm2
，
对折2次共可以得5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和
S2=180dm2。以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________；如果对折n次，那么
=________dm.
【答案】
5；
【考点】数列的求和，类比推理
【解析】【解答】解：对折3次有2.5×12，6×5，3×10，20×1.5共4种，面积和为S3=4×30=120dm2;
对折4次有1.25×12,2.5×6,3×5,1.5×10,20×0.75共5种，面积和为S4=5×15=75dm2;
对折n次有n+1中类型，,
因此
，
上式相减，得
则
故答案为：5，
【分析】根据类比推理可求对折4次及对折n次的图形种数，运用错位相减法可求.
四、解答题：本题共6小题，共70分。（共6题；共70分）
17.已知数列{
}满足
=1，
（1）记
=
，写出
，
，并求数列
的通项公式；
（2）求
的前20项和
【答案】
（1）
为偶数，
则
，
，
，即
，且
，
是以
为首项，3为公差的等差数列，
，
，
．
（2）当
为奇数时，
，
的前
项和为
．
由（1）可知，
．
的前20项和为
．
【考点】等差数列，等差数列的通项公式，数列的求和
【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义及通项公式即可求解；
（2）运用分组求和法，结合项之间的关系即可求解.
?
18.某学校组织"一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题?每位参加比赛的同学先在两类问题中选择类并从中随机抽収一个问题冋答，若回答错误则该同学比赛结束；若
回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问題回答，无论回答正确与否，该同学比赛
结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B类问题中的每个问题
回答正确得80分，否则得0分。
己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8
,能正确回答B类问題的概率为0.6.且能正确回答问题的概率与回答次序无关。
（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列：
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由。
【答案】
（1）
的取值可能为
，
，
，
，
，
，
的分布列为
X
0
20
100
?
P
0.2
0.32
0.48
（2）假设先答
类题，得分为
，
则
可能为0，80，100，
，
，
，
的分布列为
Y
0
80
100
P
0.4
0.12
0.48
，
由（1）可知
，
，
∴应先答B类题．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据独立事件的概率，并列出X的分布列即可；
（2）根据独立事件的概率，并列出Y的分布列，根据期望公式求得E(X),E(Y)并比较即可判断.
19.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a.，b.，c,已知
=ac,点D在边AC
上，BDsin∠ABC=asinC.
（1）证明：BD
=
b：
（2）若AD
=
2DC
.求cos∠ABC.
【答案】
（1）在
中，
，
，
，
联立
得
，即
，
，
．
（2）若
，
中，
，
中，
，
，
，
整理得
，
，
，
，即
或
，
若
时，
，
则
（舍），
若
，
，
则
.
【考点】正弦定理的应用，余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据正弦定理求解即可；
（2）根据余弦定理，结合方程思想和分类讨论思想求解即可.
20.如图，在三棱锥A-BCD中.平面ABD丄平面BCD，AB=AD.O为BD的中点.
（1）证明：OA⊥CD：
（2）若△OCD是边长为1的等边三角形.点E在
棱AD上.DE=2EA.且二面角E-BC-D的大小为45°，求三棱锥A-BCD的体积.
【答案】
（1）
，
为
中点，
，
面
，
面
面
且面
面
，
面
，
．
（2）以
为坐标原点，
为
轴，
为
轴，垂直
且过
的直线为
轴，
设
，
，
，
，
,
，
，
设
为面
法向量，
，
，
令
，
，
，
，
面
法向量为
，
，解得
，
，
，
．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，平面与平面垂直的性质，与二面角有关的立体几何综合题，用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合等腰三角形的性质求解即可；
（2）利用向量法，结合二面角的平面角求得m=1，再根据棱锥的体积公式直接求解即可.
21.在平面直角坐标系xOy中，己知点
(-
7,0)，
(
7,0),点M满足|MFt|-|MF2|=2.记M
的轨迹为C.
（1）求C的方程;
（2）设点T在直线
上，过T
的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|
,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和
【答案】
（1）
，
轨迹
为双曲线右半支，
，
，
，
，
．
（2）设
，
设
：
，
联立
，
，
，
，
，
，
，
设
：
，
同理
，
，
，
，
，即
，
，
.
【考点】双曲线的定义，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义直接求解即可；
（2）利用直线与双曲线的位置关系，结合根与系数的关系，以及弦长公式求解即可.
22.已知函数f(x)=x（1-lnx)
（1）讨论f(x)的单调性
（2）设a,b为两个不相等的正数,且blna-alnb=a-b证明:
【答案】
（1）
在
单调递增，
在
单调递减
（2）由
，得
即
令
，
则
为
的两根，其中
．
不妨令
，
，则
先证
，即证
即证
令
则
恒成立，
得证
同理，要证
即证
令
则
，令
又
，
，且
故
，
，
恒成立
得证
【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可求解；
（2）根据化归转化思想，将不等式问题等价转化为函数h(x)=f(x)-f(2-x)与的最值问题，利用h'(x)与研究函数函数h(x)与的单调性及最值即可.2021年高考数学真题试卷（浙江卷）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共10题；共40分）
1.设集合
，
，则
（???
）
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
【答案】
D
【考点】交集及其运算
【解析】【解答】由交集的定义结合题意可得：
.
故答案为：D.
【分析】利用数轴，求不等式表示的集合的交集。
2.已知
，
，(i为虚数单位)，则
（???
）
A.?-1??????????????????????????????????????????B.?1??????????????????????????????????????????C.?-3??????????????????????????????????????????D.?3
【答案】
C
【考点】复数代数形式的乘除运算，复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】
，
利用复数相等的充分必要条件可得：
.
故答案为：C.
【分析】根据复数相等的条件，即可求得a的值。
3.已知非零向量
，则“
”是“
”的（???
）
A.?充分不必要条件???????????B.?必要不充分条件???????????C.?充分必要条件???????????D.?既不充分又不必要条件
【答案】
B
【考点】充分条件，必要条件，充要条件，平面向量数量积的运算
【解析】【解答】若
，则
，推不出
；若
，则
必成立，
故“
”是“
”的必要不充分条件
故答案为：B.
【分析】先将条件等式变形，可能得到条件不充分，后者显然成立。
4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?3????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】
A
【考点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】几何体为如图所示的四棱柱
，其高为1，底面为等腰梯形
，
该等腰梯形的上底为
，下底为
，腰长为1，故梯形的高为
，
故
，
故答案为：A.
【分析】先由三视图，还原立体图形，然后根据数量关系计算体积。
5.若实数x
，
y满足约束条件
，则
的最小值是（???
）
A.?-2??????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
【答案】
B
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】画出满足约束条件
的可行域，
如下图所示：
目标函数
化为
，
由
，解得
，设
，
当直线
过
点时，
取得最小值为
.
故答案为：B.
【分析】先画出可行域，然后由目标函数，作出直线
，当直线过
点时，得到最优解，从而计算出结果。
6.如图已知正方体
，M
，
N分别是
，
的中点，则（???
）
A.?直线
与直线
垂直，直线
平面
B.?直线
与直线
平行，直线
平面
C.?直线
与直线
相交，直线
平面
D.?直线
与直线
异面，直线
平面
【答案】
A
【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】连
，在正方体
中，
M是
的中点，所以
为
中点，
又N是
的中点，所以
，
平面
平面
，
所以
平面
.
因为
不垂直
，所以
不垂直
则
不垂直平面
，所以选项B,D不正确；
在正方体
中，
，
平面
，所以
，
，所以
平面
，
平面
，所以
，
且直线
是异面直线，
所以选项B错误，选项A正确.
故答案为：A.
【分析】对于A：连AD1,根据三角形的中位线定理，得到
，
，所以A正确；
对于B：若（１）知
直线
AB，若?
平面
BDD1B1,则BD，从而ABD，这显然不正确，所以B不正确；
对于C：显然，
直线
与直线
是异面直线，故C错误；
对于Ｄ：由B知，MN不垂直平面BDD1B1。
7.已知函数
，则图象为如图的函数可能是（???
）
A.??????????????B.??????????????C.??????????????D.?
【答案】
D
【考点】函数的图象与图象变化
【解析】【解答】对于A，
，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，
，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，
，则
，
当
时，
，与图象不符，排除C.
故答案为：D.
【分析】由A,B解析式都是非奇非偶函数，可以判断A,B错；
对于C，先对
求导，然后计算当
时，ｆ／（
）＞０，与图不符合，所以C错，故选D.
8.已知
是互不相同的锐角，则在
三个值中，大于
的个数的最大值是（???
）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
【答案】
C
【考点】正弦函数的定义域和值域，余弦函数的定义域和值域
【解析】【解答】法1：由基本不等式有
，
同理
，
，
故
，
故
不可能均大于
.
取
，
，
，
则
，
故三式中大于
的个数的最大值为2，
故答案为：C.
法2：不妨设
，则
，
由排列不等式可得：
，
而
，
故
不可能均大于
.
取
，
，
，
则
，
故三式中大于
的个数的最大值为2，
故答案为：C.
【分析】先由基本不等式得出三个积
的取值范围，就可以得到结果。
9.已知
，函数
.若
成等比数列，则平面上点
的轨迹是（???
）
A.?直线和圆??????????????????????B.?直线和椭圆??????????????????????C.?直线和双曲线??????????????????????D.?直线和抛物线
【答案】
C
【考点】等比数列，平面向量的综合题
【解析】【解答】由题意得
，即
，
对其进行整理变形：
，
，
，
，
所以
或
，
其中
为双曲线，
为直线.
故答案为：C.
【分析】由三个数成等差数列，列出等式，推导结果。
10.已知数列
满足
.记数列
的前n项和为
，则（???
）
A.????????????????????B.????????????????????C.????????????????????D.?
【答案】
A
【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，等比数列，等比数列的通项公式
【解析】【解答】因为
，所以
，
．
由
，即
根据累加法可得，
，当且仅当
时取等号，
，当且仅当
时取等号，
所以
，即
．
故答案为：A．
【分析】由递推公式，冼先得到
，
进一步推导出
，
然后用累加法等推导出。
二、填空题（共7题；共36分）
11.我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为
，小正方形的面积为
，则
________.
【答案】
25
【考点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】由题意可得，大正方形的边长为：
，
则其面积为：
，
小正方形的面积：
，
从而
.
故答案为：25.
【分析】由勾股定理及三角形面积公式求解。
12.已知
，函数
若
，则
________.
【答案】
2
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】
，故
，
故答案为：2.
【分析】分段函数求函数值。
13.已知平面向量
满足
.记向量
在
方向上的投影分别为x
，
y
，
在
方向上的投影为z
，
则
的最小值为________.
【答案】
【考点】向量的模，平面向量数量积的性质及其运算律
【解析】【解答】由题意，设
，
则
，即
，
又向量
在
方向上的投影分别为x
，
y
，
所以
，
所以
在
方向上的投影
，
即
,
所以
，
当且仅当
即
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
【分析】根据已知条件，先取特殊值并设
，
再由投影公式解答。
14.已知多项式
，则
________，
________.
【答案】
5；10
【考点】二项式定理
【解析】【解答】
，
，
所以
，
，
所以
.
故答案为：5，10.
【分析】因为指数不高，直接展开。
15.在
中，
，M是
的中点，
，则
________，
________.
【答案】
；
【考点】解三角形，余弦定理的应用
【解析】【解答】由题意作出图形，如图，
在
中，由余弦定理得
，
即
，解得
（负值舍去），
所以
，
在
中，由余弦定理得
，
所以
；
在
中，由余弦定理得
.
故答案为：
；
.
【分析】三次使用余弦定理求BM，AC,?
即可。
16.袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为
，若取出的两个球都是红球的概率为
，一红一黄的概率为
，则
________，
________.
【答案】
1；
【考点】等可能事件的概率，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】
，所以
，
?P（一红一黄）
,
所以
,
则
．
由于
．
故答案为：1；
．
【分析】
先由取出的两个球都是红球的概率为
，
由古典概型公式得到
ｍ＋ｎ＝５，再由ξ的可能取值，求出相应的概率，根据数学期望的计算公式求解即可.
17.已知椭圆
，焦点
，
，若过
的直线和圆
相切，与椭圆在第一象限交于点P
，
且
轴，则该直线的斜率是________，椭圆的离心率是________.
【答案】
；
【考点】圆的标准方程，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】如图所示：不妨假设
，设切点为
，
，
所以
,
由
，所以
，
于是
，即
，所以
．
故答案为：
；
．
【分析】（1）取特殊值c=2,根据圆的切线的性质，计算相关线段长度，在直角三角形ABF1中，可以求得
的值；
（2）由（1）及椭圆的定义，就可以计算
a的值，进一步得到离心率。
?
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（共5题；共74分）
18.设函数
.
（1）求函数
的最小正周期；
（2）求函数
在
上的最大值.
【答案】
（1）解：由辅助角公式得
，
则
，
所以该函数的最小正周期
（2）解：由题意，
，
由
可得
，
所以当
即
时，函数取最大值
【考点】正弦函数的定义域和值域，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的周期性
【解析】【分析】（1）先将原函数化为：
，
再化简
，再根据正弦函数的周期公式，求得周期；
（2）化简?
，
然后根据x的取值范围，求得函数的最大值。
19.如图，在四棱锥
中，底面
是平行四边形，
，M
，
N分别为
的中点，
.
（1）证明：
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】
（1）证明：在
中，
，
，
，由余弦定理可得
，
所以
，
．由题意
且
，
平面
，而
平面
，所以
，又
，所以
（2）解：由
，
，而
与
相交，所以
平面
，因为
，所以
，取
中点
，连接
，则
两两垂直，以点
为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,
则
,
又
为
中点，所以
.
由（1）得
平面
，所以平面
的一个法向量
从而直线
与平面
所成角的正弦值为
【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）通过已知的边，用余弦定理求得DM的长度，再根据勾股定理的逆定理，判断出
，
由
，
得DC⊥平面
，
结合AB||DC，则有AB⊥PM
；
（2）建立空间直角坐标系，定义相关点的坐标，用空间向量的知识求直线与平面成的角。
20.已知数列
的前n项和为
，
，且
.
（1）求数列
的通项；
（2）设数列
满足
，记
的前n项和为
，若
对任意
恒成立，求
的范围.
【答案】
（1）解：当
时，
，
，
当
时，由
①，
得
②，①
②得
，
又
是首项为
，公比为
的等比数列，
（2）解：由
，得
，
所以
，
，
两式相减得
，
所以
，
由
得
恒成立，
即
恒成立，
时不等式恒成立；
时，
，得
；
时，
，得
；
所以
【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数列的求和，等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）首先根据递推公式，证明
{an}
是等比数列
，进一步求得an，
（2）先由an与bn的关系，求出bn，然后通过逐项求和，写出Tn,再由错项相减的方法，求得Tn；
在由
恒成立，进一步求得
的取值范围。
21.如图，已知F是抛物线
的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且
，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A?B两点，斜率为2的直线l与直线
，x轴依次交于点P
，
Q
，
R
，
N
，
且
，求直线l在x轴上截距的范围.
【答案】
（1）解：因为
，故
，故抛物线的方程为：
（2）解：设
，
，
，
所以直线
，由题设可得
且
.
由
可得
，故
，
因为
，故
，故
.
又
，由
可得
，
同理
，
由
可得
，
所以
，
整理得到
，
故
，
令
，则
且
，
故
，
故
即
，
解得
或
或
.
故直线
在
轴上的截距的范围为
或
或
【考点】抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义，即可求得P，进而写出方程；
（2）
设
，
并设
，
，写
出直线
，代入抛物线，由韦达定理写出关系式，再由
，
结合直线方程
，推出关系式，进而利用基本不等式以及解相关不等式，得出直线l在x轴上截距的范围。
22.设a
，
b为实数，且
，函数
(注：
是自然对数的底数)
（1）求函数
的单调区间；
（2）若对任意
，函数
有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当
时，证明：对任意
，函数
有两个不同的零点
，满足
.
【答案】
（1）解：
，
①若
，则
，所以
在
上单调递增；
②若
，
当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增.
综上可得，
时，
在
上单调递增；
时，函数的单调减区间为
，单调增区间为
（2）解：
有2个不同零点
有2个不同解
有2个不同的解，
令
，则
，
记
，
记
，
又
，所以
时，
时，
，
则
在
单调递减，
单调递增，
，
.
即实数
的取值范围是
（3）解：
有2个不同零点，则
，故函数的零点一定为正数.
由(2)可知有2个不同零点，记较大者为
，较小者为
，
，
注意到函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
故
，又由
知
，
，
要证
，只需
，
且关于
的函数
在
上单调递增，
所以只需证
，
只需证
，
只需证
，
，只需证
在
时为正，
由于
，故函数
单调递增，
又
，故
在
时为正，
从而题中的不等式得证.
【考点】函数的单调性与导数的关系，利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】（1）先对函数求导，对b的值分类讨论，研究导数的正负，从而确定函数的单调区间；
（2）将问题转化为
有两个不同解?
有2个不同的解，通过换元，构造函数，进一步利用导数研究相关函数的单调性，通过解属地等式，得到a的取值范围；
（3）当
有2个不同零点，则
零点一定是正值，设出二正根，构造函数，研究相关函数的单调性，通过一系列不等式推导出结论。2021年高考数学真题试卷（浙江卷）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共10题；共40分）
1.设集合
，
，则
（???
）
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
2.已知
，
，(i为虚数单位)，则
（???
）
A.?-1??????????????????????????????????????????B.?1??????????????????????????????????????????C.?-3??????????????????????????????????????????D.?3
3.已知非零向量
，则“
”是“
”的（???
）
A.?充分不必要条件???????????B.?必要不充分条件???????????C.?充分必要条件???????????D.?既不充分又不必要条件
4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?3????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
5.若实数x
，
y满足约束条件
，则
的最小值是（???
）
A.?-2??????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
6.如图已知正方体
，M
，
N分别是
，
的中点，则（???
）
A.?直线
与直线
垂直，直线
平面
B.?直线
与直线
平行，直线
平面
C.?直线
与直线
相交，直线
平面
D.?直线
与直线
异面，直线
平面
7.已知函数
，则图象为如图的函数可能是（???
）
A.??????????????B.??????????????C.??????????????D.?
8.已知
是互不相同的锐角，则在
三个值中，大于
的个数的最大值是（???
）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
9.已知
，函数
.若
成等比数列，则平面上点
的轨迹是（???
）
A.?直线和圆??????????????????????B.?直线和椭圆??????????????????????C.?直线和双曲线??????????????????????D.?直线和抛物线
10.已知数列
满足
.记数列
的前n项和为
，则（???
）
A.????????????????????B.????????????????????C.????????????????????D.?
二、填空题（共7题；共36分）
11.我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为
，小正方形的面积为
，则
________.
12.已知
，函数
若
，则
________.
13.已知平面向量
满足
.记向量
在
方向上的投影分别为x
，
y
，
在
方向上的投影为z
，
则
的最小值为________.
14.已知多项式
，则
________，
________.
15.在
中，
，M是
的中点，
，则
________，
________.
16.袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为
，若取出的两个球都是红球的概率为
，一红一黄的概率为
，则
________，
________.
17.已知椭圆
，焦点
，
，若过
的直线和圆
相切，与椭圆在第一象限交于点P
，
且
轴，则该直线的斜率是________，椭圆的离心率是________.
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（共5题；共74分）
18.设函数
.
（1）求函数
的最小正周期；
（2）求函数
在
上的最大值.
19.如图，在四棱锥
中，底面
是平行四边形，
，M
，
N分别为
的中点，
.
（1）证明：
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
20.已知数列
的前n项和为
，
，且
.
（1）求数列
的通项；
（2）设数列
满足
，记
的前n项和为
，若
对任意
恒成立，求
的范围.
21.如图，已知F是抛物线
的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且
，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A?B两点，斜率为2的直线l与直线
，x轴依次交于点P
，
Q
，
R
，
N
，
且
，求直线l在x轴上截距的范围.
22.设a
，
b为实数，且
，函数
(注：
是自然对数的底数)
（1）求函数
的单调区间；
（2）若对任意
，函数
有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当
时，证明：对任意
，函数
有两个不同的零点
，满足
.
答案解析部分
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.【答案】
D
【考点】交集及其运算
【解析】【解答】由交集的定义结合题意可得：
.
故答案为：D.
【分析】利用数轴，求不等式表示的集合的交集。
2.【答案】
C
【考点】复数代数形式的乘除运算，复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】
，
利用复数相等的充分必要条件可得：
.
故答案为：C.
【分析】根据复数相等的条件，即可求得a的值。
3.【答案】
B
【考点】充分条件，必要条件，充要条件，平面向量数量积的运算
【解析】【解答】若
，则
，推不出
；若
，则
必成立，
故“
”是“
”的必要不充分条件
故答案为：B.
【分析】先将条件等式变形，可能得到条件不充分，后者显然成立。
4.【答案】
A
【考点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】几何体为如图所示的四棱柱
，其高为1，底面为等腰梯形
，
该等腰梯形的上底为
，下底为
，腰长为1，故梯形的高为
，
故
，
故答案为：A.
【分析】先由三视图，还原立体图形，然后根据数量关系计算体积。
5.【答案】
B
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】画出满足约束条件
的可行域，
如下图所示：
目标函数
化为
，
由
，解得
，设
，
当直线
过
点时，
取得最小值为
.
故答案为：B.
【分析】先画出可行域，然后由目标函数，作出直线
，当直线过
点时，得到最优解，从而计算出结果。
6.【答案】
A
【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】连
，在正方体
中，
M是
的中点，所以
为
中点，
又N是
的中点，所以
，
平面
平面
，
所以
平面
.
因为
不垂直
，所以
不垂直
则
不垂直平面
，所以选项B,D不正确；
在正方体
中，
，
平面
，所以
，
，所以
平面
，
平面
，所以
，
且直线
是异面直线，
所以选项B错误，选项A正确.
故答案为：A.
【分析】对于A：连AD1,根据三角形的中位线定理，得到
，
，所以A正确；
对于B：若（１）知
直线
AB，若?
平面
BDD1B1,则BD，从而ABD，这显然不正确，所以B不正确；
对于C：显然，
直线
与直线
是异面直线，故C错误；
对于Ｄ：由B知，MN不垂直平面BDD1B1。
7.【答案】
D
【考点】函数的图象与图象变化
【解析】【解答】对于A，
，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，
，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，
，则
，
当
时，
，与图象不符，排除C.
故答案为：D.
【分析】由A,B解析式都是非奇非偶函数，可以判断A,B错；
对于C，先对
求导，然后计算当
时，ｆ／（
）＞０，与图不符合，所以C错，故选D.
8.【答案】
C
【考点】正弦函数的定义域和值域，余弦函数的定义域和值域
【解析】【解答】法1：由基本不等式有
，
同理
，
，
故
，
故
不可能均大于
.
取
，
，
，
则
，
故三式中大于
的个数的最大值为2，
故答案为：C.
法2：不妨设
，则
，
由排列不等式可得：
，
而
，
故
不可能均大于
.
取
，
，
，
则
，
故三式中大于
的个数的最大值为2，
故答案为：C.
【分析】先由基本不等式得出三个积
的取值范围，就可以得到结果。
9.【答案】
C
【考点】等比数列，平面向量的综合题
【解析】【解答】由题意得
，即
，
对其进行整理变形：
，
，
，
，
所以
或
，
其中
为双曲线，
为直线.
故答案为：C.
【分析】由三个数成等差数列，列出等式，推导结果。
10.【答案】
A
【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，等比数列，等比数列的通项公式
【解析】【解答】因为
，所以
，
．
由
，即
根据累加法可得，
，当且仅当
时取等号，
，当且仅当
时取等号，
所以
，即
．
故答案为：A．
【分析】由递推公式，冼先得到
，
进一步推导出
，
然后用累加法等推导出。
二、填空题
11.【答案】
25
【考点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】由题意可得，大正方形的边长为：
，
则其面积为：
，
小正方形的面积：
，
从而
.
故答案为：25.
【分析】由勾股定理及三角形面积公式求解。
12.【答案】
2
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】
，故
，
故答案为：2.
【分析】分段函数求函数值。
13.【答案】
【考点】向量的模，平面向量数量积的性质及其运算律
【解析】【解答】由题意，设
，
则
，即
，
又向量
在
方向上的投影分别为x
，
y
，
所以
，
所以
在
方向上的投影
，
即
,
所以
，
当且仅当
即
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
【分析】根据已知条件，先取特殊值并设
，
再由投影公式解答。
14.【答案】
5；10
【考点】二项式定理
【解析】【解答】
，
，
所以
，
，
所以
.
故答案为：5，10.
【分析】因为指数不高，直接展开。
15.【答案】
；
【考点】解三角形，余弦定理的应用
【解析】【解答】由题意作出图形，如图，
在
中，由余弦定理得
，
即
，解得
（负值舍去），
所以
，
在
中，由余弦定理得
，
所以
；
在
中，由余弦定理得
.
故答案为：
；
.
【分析】三次使用余弦定理求BM，AC,?
即可。
16.【答案】
1；
【考点】等可能事件的概率，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】
，所以
，
?P（一红一黄）
,
所以
,
则
．
由于
．
故答案为：1；
．
【分析】
先由取出的两个球都是红球的概率为
，
由古典概型公式得到
ｍ＋ｎ＝５，再由ξ的可能取值，求出相应的概率，根据数学期望的计算公式求解即可.
17.【答案】
；
【考点】圆的标准方程，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】如图所示：不妨假设
，设切点为
，
，
所以
,
由
，所以
，
于是
，即
，所以
．
故答案为：
；
．
【分析】（1）取特殊值c=2,根据圆的切线的性质，计算相关线段长度，在直角三角形ABF1中，可以求得
的值；
（2）由（1）及椭圆的定义，就可以计算
a的值，进一步得到离心率。
?
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.【答案】
（1）解：由辅助角公式得
，
则
，
所以该函数的最小正周期
（2）解：由题意，
，
由
可得
，
所以当
即
时，函数取最大值
【考点】正弦函数的定义域和值域，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的周期性
【解析】【分析】（1）先将原函数化为：
，
再化简
，再根据正弦函数的周期公式，求得周期；
（2）化简?
，
然后根据x的取值范围，求得函数的最大值。
19.【答案】
（1）证明：在
中，
，
，
，由余弦定理可得
，
所以
，
．由题意
且
，
平面
，而
平面
，所以
，又
，所以
（2）解：由
，
，而
与
相交，所以
平面
，因为
，所以
，取
中点
，连接
，则
两两垂直，以点
为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,
则
,
又
为
中点，所以
.
由（1）得
平面
，所以平面
的一个法向量
从而直线
与平面
所成角的正弦值为
【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）通过已知的边，用余弦定理求得DM的长度，再根据勾股定理的逆定理，判断出
，
由
，
得DC⊥平面
，
结合AB||DC，则有AB⊥PM
；
（2）建立空间直角坐标系，定义相关点的坐标，用空间向量的知识求直线与平面成的角。
20.【答案】
（1）解：当
时，
，
，
当
时，由
①，
得
②，①
②得
，
又
是首项为
，公比为
的等比数列，
（2）解：由
，得
，
所以
，
，
两式相减得
，
所以
，
由
得
恒成立，
即
恒成立，
时不等式恒成立；
时，
，得
；
时，
，得
；
所以
【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数列的求和，等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）首先根据递推公式，证明
{an}
是等比数列
，进一步求得an，
（2）先由an与bn的关系，求出bn，然后通过逐项求和，写出Tn,再由错项相减的方法，求得Tn；
在由
恒成立，进一步求得
的取值范围。
21.【答案】
（1）解：因为
，故
，故抛物线的方程为：
（2）解：设
，
，
，
所以直线
，由题设可得
且
.
由
可得
，故
，
因为
，故
，故
.
又
，由
可得
，
同理
，
由
可得
，
所以
，
整理得到
，
故
，
令
，则
且
，
故
，
故
即
，
解得
或
或
.
故直线
在
轴上的截距的范围为
或
或
【考点】抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义，即可求得P，进而写出方程；
（2）
设
，
并设
，
，写
出直线
，代入抛物线，由韦达定理写出关系式，再由
，
结合直线方程
，推出关系式，进而利用基本不等式以及解相关不等式，得出直线l在x轴上截距的范围。
22.【答案】
（1）解：
，
①若
，则
，所以
在
上单调递增；
②若
，
当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增.
综上可得，
时，
在
上单调递增；
时，函数的单调减区间为
，单调增区间为
（2）解：
有2个不同零点
有2个不同解
有2个不同的解，
令
，则
，
记
，
记
，
又
，所以
时，
时，
，
则
在
单调递减，
单调递增，
，
.
即实数
的取值范围是
（3）解：
有2个不同零点，则
，故函数的零点一定为正数.
由(2)可知有2个不同零点，记较大者为
，较小者为
，
，
注意到函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
故
，又由
知
，
，
要证
，只需
，
且关于
的函数
在
上单调递增，
所以只需证
，
只需证
，
只需证
，
，只需证
在
时为正，
由于
，故函数
单调递增，
又
，故
在
时为正，
从而题中的不等式得证.
【考点】函数的单调性与导数的关系，利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】（1）先对函数求导，对b的值分类讨论，研究导数的正负，从而确定函数的单调区间；
（2）将问题转化为
有两个不同解?
有2个不同的解，通过换元，构造函数，进一步利用导数研究相关函数的单调性，通过解属地等式，得到a的取值范围；
（3）当
有2个不同零点，则
零点一定是正值，设出二正根，构造函数，研究相关函数的单调性，通过一系列不等式推导出结论。(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
2021年高考文数真题试卷（全国乙卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，总共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12题；共51分）
1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则Cu（MUN）=（??
）
A.?{5}???????????????????????????????????B.?{1,2}???????????????????????????????????C.?{3,4}???????????????????????????????????D.?{1,2,3,4}
【答案】
A
【考点】交集及其运算，补集及其运算
【解析】【解答】因为
U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4}
则
MUN
＝{1，2，3，4}，
于是
Cu（MUN）=
{5}
。
故答案为：A
【分析】先求
MUN，再求
Cu（MUN）
。
2.设iz=4+3i，则z等于（??
）
A.?-3-4i????????????????????????????????????B.?-3+4i????????????????????????????????????C.?3-4i????????????????????????????????????D.?3+4i
【答案】
C
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】因为
iz=4+3i
，所以Z＝
故答案为：C
【分析】直接解方程，由复数的除法运算法则，得到结果。
3.已知命题p：
x∈R，sinx＜1；命题q：
x∈R，
e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（
）
A.?p
q????????????????????????????B.?
p
q????????????????????????????C.?p
q????????????????????????????D.?
(pVq)
【答案】
A
【考点】全称量词命题，存在量词命题，命题的否定，命题的真假判断与应用
【解析】【解答】因为命题P是真命题，命题
q也是真命题，
故答案为：A
【分析】先判断命题p，q的真假，然后判断选项的真假。
4.函数f（x）=sin
+cos
的最小正周期和最大值分别是（??
）
A.?3
和
????????????????????????????B.?3
和2????????????????????????????C.?
和
????????????????????????????D.?
和2
【答案】
C
【考点】正弦函数的图象，y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，正弦函数的周期性，正弦函数的零点与最值
【解析】【解答】因为
f（x）=sin
+cos
＝
,所以周期值域
即最大值是
故答案为：C。
【分析】先将
f（x）
解析式化成的形式，再由正弦函数的周期公式计算周期，再由正弦函数的性质，得到它的最大与最小值。
5.若x，y满足约束条件
,则z=3x+y的最小值为（??
）
A.?18??????????????????????????????????????????B.?10??????????????????????????????????????????C.?6??????????????????????????????????????????D.?4
【答案】
C
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】作出线性约束的可行域（如图阴影部分所示区域），
当直线
z=3x+y经过点（1，3）时，z取得最小值。此时zmin=3x1+3=6.?
故答案为：C
【分析】先作出可行域，再通过目标函数以及可行域，确定最优解，进一步得到答案。
6.
?（??
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】
D
【考点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】因为?
故选D。
?
【分析】由降幂公式，可以化成特殊角的三角函数求值。
7.在区间(0,
)随机取1个数，则取到的数小于
的概率为（??
）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】
B
【考点】几何概型
【解析】【解答】由几何概型得：P＝.
故答案为：B
【分析】由几何概型概率公式即可得到结果。
8.下列函数中最小值为4的是（??
）
A.?????????????????B.?????????????????C.?????????????????D.?
【答案】
C
【考点】函数的最值及其几何意义，指数函数的定义、解析式、定义域和值域，对数函数的图象与性质，基本不等式
【解析】【解答】对于A：因为y=(x+1)2+3,则ymin=3;
故A不符合题意；
对于B：因为
，
设t=|sinx|(??
),则y=g(t)=由双沟函数知，
函数y＝g(t)=是减函数，所以ymin=g(1)=5，所以B选项不符合；
对于C：因为
当且仅当时“＝”成立，
即ymin=4，故C选项正确；
对于D：当时，<0，故D选项不符合，
故答案为：C.
【分析】A,用配方法求出干净函数的最小值，判断不符合；B.换元利用双沟函数的单调性，求出最小值，判断不适合；C.变形后用基本不等式计算出最小值，判断符合；D
举反列说明其不符合。
9.设函数
，则下列函数中为奇函数的是（??
）
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
【答案】
B
【考点】函数奇偶性的判断，奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】对于A：因为h(x)=
f(x-1)-1,则h(-X)h(X),所以h(X)不是奇函数，故A不符合；
对于B：因为h(x)=
f(x-1)+1,则h(-X)＝h(X),所以h(X)是奇函数，故B符合；
对于C：h(x)=
f(x+1)－1,则h(-X)h(X)，所以C不符合；?
对于D：h(x)=
f(x+1)+1,则h(-X)≠h(X)，故D不符合.
故答案为：B.
【分析】设选项的各个函数是h(x),分别计算h(-x)，与h(x)比较，就可以得到正确选项是B。
10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】
D
【考点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图，连接AC，设AC与BD交于O，连接OD1,AD1,BP,设正方体的棱长为x，
因为D1P||OB||BD,且D1P=BO=BD,所以四边形OD1PB是平行四边形，所以BP||OD1,所以
即为所求的角，易证平面BDD1B1,故OD1,
又,所以＝.
故答案为：D
【分析】在正方体中，作辅助线，通过平移线，作出所要求的角。
11.设B是椭圆C：
的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（??
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?2
【答案】
A
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意知B(0,1),设P(x,y)则|PB|2=(x-0)2+(y-1)2=x2+y2-2y+1=5(1-y2)+y2-2y+1
=-4y2-2y+6=-4(y+4)2+,因为所以当时，|PB|2max=,此时，|PB|max
＝
，
故答案为：A
【分析】先写出B的坐标，然后设任意点P(x,y),再用两点间的距离公式，表示出|PB|，再用本文法计算|PB|的最大值即可。
12.设a≠0，若x=a为函数
的极大值点，则（
）
A.?a＜b?????????????????????????????????B.?a＞b?????????????????????????????????C.?ab＜a2?????????????????????????????????D.?ab＞a2
【答案】
D
【考点】二次函数的图象，二次函数的性质
【解析】【解答】当a>0时，若a为极大值点，则(如图1)，必有a当a<0时，若a为极大值点，则(如图2)，必有a>b>a2,故A错。
故答案为：D.
【分析】对a的正负进行讨论，根据极值点的意义，作图分析，得到正确选项。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分（共4题；共17分）
13.已知向量a=(2,5),b=(λ,4)，若
，则λ=________.
【答案】
【考点】平面向量的坐标运算，平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为=(2,5),=(λ,4)，且
，
则
，
则
。
【分析】根据向量平行的条件即可得到结果。
14.双曲线
的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为________.
【答案】
【考点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】由题意得，a2=4,b2=5,所以c2=a2+b2=9,所以c=3(c>0),所以椭圆的右焦点是(3,0)，则右焦点(3,0)到直线x+2y-8的距离为.
【分析】先求出椭圆的右焦点坐标，然后用点到直线的距离公式求焦点到直线的距离即可。
15.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为
，B=60°，a2+c2=3ac，则b=________.
【答案】
【考点】余弦定理，三角形中的几何计算
【解析】【解答】
于是
【分析】根据面积的值，计算出ac，再由余弦定理求解。
16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为________（写出符合要求的一组答案即可）.
【答案】
②⑤或③④
【考点】由三视图还原实物图
【解析】【解答】当俯视图为
④
时，右侧棱在左侧，不可观测到，所以为虚线，故选择③为侧视图；
当俯视图为⑤时，左侧棱在左侧可观测到，所以为实线，故选择②为侧视图，
故答案为：
②⑤或③④
【分析】分情况讨论各种视图的位置关系。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（共5题；共50分）
17.某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为
和
，样本方差分别记为s12和s22
（1）求
，
，
s12
，
s22；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果
-
≥
，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.
【答案】
（1）解：各项所求值如下所示
=
(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0
=
(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3
=
x[(9.7-10.0)2+2x(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2x(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2]=0.36，
=
x[(10.0-10.3)2+3x(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2x(10.4-10.3)2+2x(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2]=0.4.
（2）由(1)中数据得
-
=0.3，2
≈0.34
显然
-
＜2
，所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。
【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）先计算新旧样本平均数
，
再直接用公式计算
s12
，
s22；
(2)由
(1)中的数据，计算得：
-
=0.3，2
≈0.34
，
显然
-
＜2
，可得到答案。
18.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD
底面ABCD，M为BC的中点，且PB
AM.
??
（1）证明：平面PAM
平面PBD；
（2）若PD=DC=1，求四棱锥P-ADCD的体积.
【答案】
（1）因为
底面
，
平面
，
所以
，
又
，
，
所以
平面
，
而
平面
，
所以平面
平面
．
（2）由（1）可知，
平面
，所以
，
从而
，
设
，
，则
，
即
，
解得
，所以
．
因为
底面
，
故四棱锥
的体积为
．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）由PD垂直平面ABCD，及PB垂直AM，可以证明
平面
，
从而可能证明
平面
平面
；
（2）由连接BD（1）可得
，
证明?
通过计算，求出高
，再用棱锥体积公式直接得到答案。
19.设
是首项为1的等比数列，数列
满足
，已知
，3
，9
成等差数列.
（1）求
和
的通项公式；
（2）记
和
分别为
和
的前n项和.证明：
<
.
【答案】
（1）因为
是首项为1的等比数列且
，
，
成等差数列，
所以
，所以
，
即
，解得
，所以
，
所以
.
（2）证明：由（1）可得
，
，①
，②
①
②得
，
所以
，
所以
，
所以
.
【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数列的求和
【解析】【分析】由
，
，
成等差数列，列关系式等比数列
的公比q，进而得到
，再由bn与an的关系求得bn；
（2）先根据条件求得
，再由错项相减的方法求得的表达式，最后用求差比较法，证明
<
.
20.已知抛物线C：
(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
（1）求C的方程.
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足
，求直线OQ斜率的最大值.
【答案】
（1）抛物线
的焦点
，准线方程为
，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为
，
所以该抛物线的方程为
；
（2）设
，则
，
所以
，
由
在抛物线上可得
，即
，
所以直线
的斜率
，
当
时，
；
当
时，
，
当
时，因为
，
此时
，当且仅当
，即
时，等号成立；
当
时，
；
综上，直线
的斜率的最大值为
.
【考点】抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）根据抛物线的几何性质，可求得P的值，就可以写出抛物线的方程；
（2）先设出Q的坐标M(x0,y0),在代入已知等式
，用(x0,yO)表示出
，再
代入抛物线方程，推导出x0
，
y0的关系，再表示出OQ的斜率。再利用基本不等式，求出斜率最大值即可。
21.已知函数
.
（1）讨论
的单调性；
（2）求曲线
过坐标原点的切线与曲线
的公共点的坐标.
【答案】
（1）由函数的解析式可得：
，
导函数的判别式
，
当
时，
在R上单调递增，
当
时，
的解为：
，
当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增；
综上可得：当
时，
在R上单调递增，
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）由题意可得：
，
，
则切线方程为：
，
切线过坐标原点，则：
,
整理可得：
，即：
，
解得：
，则
，
即曲线
过坐标原点的切线与曲线
的公共点的坐标为
.
【考点】导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）先对函数求导，通过分类讨论a的取值，确定导数的符号，来确定函数的单调区间；
（2）先设切点坐标横坐标x0,通过求导求出切线的斜率，写出切线的方程，再利用切线过原点的条件，就可以得到x0的值，进一步得到公共点坐标。
四、[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1题；共2分）
22.在直角坐标系xOy中，
C的圆心为C（2，1），半径为1.
（1）写出
C的一个参数方程；
（2）过点F（4，1）作
C的两条切线，
以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.
【答案】
（1）因为
C的圆心为(2，1)，半径为1.故
C的参数方程为
（
为参数).
（2）设切线y=k（x-4)+1，即kx-y-4k+1=0.
故
?=1
即|2k|=
，4
=
，
解得k=±
.
故直线方程为y=
?(x-4)+1，
y=
?(x-4)+1
故两条切线的极坐标方程为
sin
=
cos
-
+1或
sin
=
cos
+
+1.
【考点】点的极坐标和直角坐标的互化，参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）根据圆的参数方程的定义，不难得到圆的参数方程；
（2）设出过点（4，1）的圆的切线方程，利用直线与相切求出切线的斜率，进而求得两条切线的方程，并将它们化为极坐标方程。
五、[选修4-5：不等式选讲]（共1题；共2分）
23.已知函数f（x）=|x-a|+|x+3|.
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥6的解集；
（2）若f（x）≥-a，求a的取值范围.
【答案】
（1）解：a=1时，f(x)=|x-1|+|x+3|，即求|x-1|+|x-3|≥6的解集.
当x≥1时，2x十2≥6，得x≥2;
当-3当x≤-3时-2x-2≥6.得x≤-4，
综上，解集为(-∞，-4]U[2，-∞).
（2）f(x)最小值>-a，而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.
当x在a和-3之间时最小，此时f(x)最小值为|a+3|，即|a+3|＞-a.
A≥-3时，2a+3>0，得a>-
；a<-3时，-a-3>-a，此时a不存在.
综上，a>-
.
【考点】不等式的综合
【解析】【分析】（1)当a=1，写出
f(x)=|x-1|+|x+3|
，进一步分段讨论去值，解不等式；
（2）只要保证
f(x)最小值>-a，而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.
(
第
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)2021年高考文数真题试卷（全国甲卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12题；共45分）
1.设集合
，则
(??
)
A.???????????????????????????B.???????????????????????????C.???????????????????????????D.?
2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（??
）
A.?该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.?该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.?估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.?估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
3.已知
，则z=（??
）
A.?-1-
i????????????????????????????????B.?-1+
i????????????????????????????????C.?-
+i????????????????????????????????D.?-
-i
4.下列函数中是增函数的为(??
)
A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
5.点
到双曲线
的一条渐近线的距离为(??
)
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记数法的数据约为（??
）（
≈1.259）
A.?1.5????????????????????????????????????????B.?1.2????????????????????????????????????????C.?0.8????????????????????????????????????????D.?0.6
7.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正试图如右图所示，则相应的侧视图是（??
）
A.???????????????????B.???????????????????C.???????????????????D.?
8.在
中，已知
，则
(??
)
A.?1?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?3
9.记
为等比数列
的前
项和．若
，则
(??
)
A.?7???????????????????????????????????????????B.?8???????????????????????????????????????????C.?9???????????????????????????????????????????D.?10
10.将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为(??
)
A.?0.3????????????????????????????????????????B.?0.5????????????????????????????????????????C.?0.6????????????????????????????????????????D.?0.8
11.若
,
，则
（??
）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
12.设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f（-x）．若
(??
)
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。（共4题；共17分）
13.若向量
满足|
|＝3，|
|＝5，
?
＝1，则|
|＝________．
14.己知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为________．
15.已知函数
的部分图像如图所示，则
＝________．
16.已知F1
，
F2为椭圆C：
的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点堆成的两点，且
，则四边形PF1QF2的面积为________。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（共5题；共40分）
17.?
甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：
?
18.记
为
的前
项和，已知
，且数列
是等差数列．证明：
是等差数列．
19.已知直三棱柱
中，侧面
为正方形．
分别为
和
的中点，
．
（1）求三棱锥F－EBC的体积；
（2）已知
为棱
上的点，证明：
．
20.设函数
，其中a>0．
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）若y＝f(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．
21.抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上，直线L：x
=
1交C于P，Q两点，且OP丄OQ.已知点M（2,0）,且
M与L相切，
（1）求
M的方程；
（2）设A1,A2,A3,是C上的三个点,直线A1
A2
，
A1
A3均与
M相切，判断A2A3与
M的位置关系，并说明理由.
四、[选修4－4：坐标系与参数方程]。（共1题；共10分）
22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
=2
cosθ.
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为（1,0）,M为C上的动点，点P满足
?=
,写出
P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点.
五、
[选修4－5：不等式选讲]（共1题；共2分）
23.已知函数f（x）=|x-2|，
g（x）
=|2x
+
3|-|2x-1|.
??
（1）画出f（x）和y=g（x）的图像；
（2）若f（x+a）≥g（x）,求a的取值范围.
答案解析部分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.【答案】
B
【考点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由2x>7，得
，
故
，
则根据交集的定义易得M∩N={5,7,9}.
故答案为：B
【分析】根据交集的定义求解即可.
2.【答案】
C
【考点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：对于A，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为0.02+0.04=6%，故A正确；
对于B，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为0.02×3+0.04=10%，故B正确；
对于D，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间比率估计为0.10+0.14+0.20×2=0.64>0.5，故D正确
故不正确的是C
故答案为：C
【分析】根据频率分布直方图直接求解即可.
3.【答案】
B
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.
4.【答案】
D
【考点】函数的单调性及单调区间，函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：对于A，考察函数f(x)=kx，易知当x<0时，y=kx单调递减，故A错误；
对于B，考察函数f(x)=ax
，
易知当0对于C，考察函数f(x)=x2
，
易知当x<0时，f(x)=x2单调递减，当x>0时，f(x)=x2单调递增，故C错误；
对于D，考察函数
，
易知f(x)=ax单调递增，故D正确.
故答案为：D
【分析】根据正比例函数，指数函数，二次函数，幂函数的单调性之间求解即可.
5.【答案】
A
【考点】点到直线的距离公式，双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：不妨取双曲线的一条渐近线为：
，
即3x-4y=0，
则所求距离为
故答案为：A
【分析】根据双曲线的几何性质，结合点到直线的距离公式求解即可.
6.【答案】
C
【考点】指数式与对数式的互化，对数的运算性质
【解析】【解答】解：由题意得，将L=4.9代入l=5+lgV，得lgV=-0.1=
，
所以
故答案为：C
【分析】根据对数的运算法则，结合对数式与指数式的互化求解即可.
7.【答案】
D
【考点】简单空间图形的三视图，由三视图还原实物图
【解析】【解答】解：由题意得正方体如图所示，
则侧视图是
故答案为：D
【分析】根据三视图的画法求解即可.
8.【答案】
D
【考点】余弦定理，余弦定理的应用
【解析】【解答】解：由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2·AB·BC·cos120°，
即19=4+BC2+2BC
即BC2+2BC-15=0
解得BC=3或BC=-5(舍去)
故BC=3
故答案为：D
【分析】由余弦定理直接求解即可.
9.【答案】
A
【考点】等比数列的性质
【解析】【解答】由题意知S2,S4-S2,S6-S4成等比数列，
即4,2，S6-6成等比数列，
则4×（S6-6）=22
解得S6=7
故答案为：A
【分析】根据等比数列的性质直接求解即可.
10.【答案】
C
【考点】古典概型及其概率计算公式，排列、组合及简单计数问题，排列与组合的综合
【解析】【解答】解：
3个1和2个0随机排成一行
一共有以下10种排法：
11100,11010,11001,10110,10101,10011,01110,01101,01011,00111
其中
2个0不相邻
共有6种，
所以所求概率为
【分析】根据古典概型，结合列举法求解即可.
11.【答案】
A
【考点】二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式，同角三角函数间的基本关系，同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由题意得
?
，
则
，
解得sinα=
，
又因为
?,
所以
所以
故答案为：A
【分析】根据二倍角公式，结合同角三角函数基本关系求解即可.
12.【答案】
C
【考点】奇函数，函数奇偶性的性质
【解析】【解答】解：因为
f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f－x)，
所以
故答案为：C
【分析】根据奇函数的性质，结合题设中函数的性质求解即可.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.【答案】
【考点】向量的模，向量的线性运算性质及几何意义
【解析】【解答】解：由得
即9-2×1+=25
解得
故答案为：
【分析】根据向量的运算法则求解即可.
14.【答案】
39π
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，
则底面面积S=πr2=36π，
则由得,
则
故圆锥的侧面积为
【分析】根据圆锥的特征，结合圆锥的体积与侧面积公式求解即可.
15.【答案】
【考点】余弦函数的图象
【解析】【解答】解：由题意得
，
则T=π，ω=2，所以,
将点代入得
，
则
，
则
，
故
，
所以
，
所以
，
故答案为：
【分析】根据余弦函数的图象与性质求解即可.
16.【答案】
8
【考点】椭圆的定义，三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由|PQ|=|F1F2|，得|OP|=|F1F2|，所以PF1⊥PF2
，
所以
故答案为：8
【分析】根据椭圆的定义及直角三角形的性质，结合三角形的面积公式求解即可
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17.【答案】
（1）（1）由题意可知：甲机床生产的产品中一级品的频率是：
乙机床生产的产品中一级品的频率是：
（2）由于
所以，有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。
【考点】频率分布表，独立性检验，独立性检验的应用
【解析】【分析】（1）根据频率=频数/总体直接求解即可；
（2）根据独立性检验的方法直接求解即可.
18.【答案】
∵数列
是等差数列，设公差为
∴
，
∴
，
∴当
时，
当
时，
，满足
，
∴
的通项公式为
，
∴
∴
是等差数列.
【考点】数列的概念及简单表示法，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和
【解析】【分析】由
数列
是等差数列
，及?
，
即可得到
等差数列
的公差
,从而得到
，
，
进一步根据ａｎ与ｓｎ的关系，以及等差数列的定义，证明
是等差数列.
?
19.【答案】
（1）如图所示，连结AF，
由题意可得：
，
由于AB⊥BB1
，
BC⊥AB，
，故
平面
，
而
平面
，故
，
从而有
，
从而
，
则
，
为等腰直角三角形，
，
.
（2）由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体
，如图所示，取棱
的中点
，连结
，
正方形
中，
为中点，则
，
又
，
故
平面
，而
平面
，
从而
.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（１）
连结AF
，通过计算得出AC线段的长度，
得到
，
进一步可以计算出
F－EBC的体积；
（２）
由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体
，
取棱
的中点
，连结
，
通过证明?
平面
，
而得到
DE.
20.【答案】
（1）函数的定义域为
，
又
，
因为
，故
，
当
时，
；当
时，
；
所以
的减区间为
，增区间为
.
（2）因为
且
的图与
轴没有公共点，
所以
的图象在
轴的上方，
由（1）中函数的单调性可得
，
故
即
.
【考点】函数单调性的性质，函数的单调性与导数的关系
【解析】【分析】（１）先明确函数的定义域，先对函数求导，然后根据a的取值，讨论导数年的正负，来确定函数的单调区间；
（２）首先注意到
且
的图与
轴没有公共点这一特点，表明
的图象在
轴的上方，求函数f(x)的最小值，只要最小值大于０即可，
解不等式，即可得到结果。
21.【答案】
（1）依题意设抛物线
，
，
所以抛物线
的方程为
，
与
相切，所以半径为
，
所以
的方程为
；
（2）设
若
斜率不存在，则
方程为
或
，
若
方程为
，根据对称性不妨设
，
则过
与圆
相切的另一条直线方程为
，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在
，不合题意；
若
方程为
，根据对称性不妨设
则过
与圆
相切的直线
为
，
又
，
，此时直线
关于
轴对称，
所以直线
与圆
相切；
若直线
斜率均存在，
则
，
所以直线
方程为
，
整理得
，
同理直线
的方程为
，
直线
的方程为
，
与圆
相切，
整理得
，
与圆
相切，同理
所以
为方程
的两根，
，
到直线
的距离为：
，
所以直线
与圆
相切；
综上若直线
与圆
相切，则直线
与圆
相切.
【考点】平面向量的综合题，圆的标准方程，点的极坐标和直角坐标的互化，圆的参数方程
【解析】【分析】（1）
先设抛物线的方程
由对称性，可知
，
进而由
可以很容易求出抛物线的P值，进而写出抛物线的方程；
由于圆M的圆心已知,且与x=1相切，立刻知道半径，故很容易求得M的方程；
（２）先设出三点的坐标，分
斜率不存在及
直线
斜率均存在讨论，
分别写出相应的直线方程，根据相关直线与圆相切的条件，分别代入抛物线方程，利用达定理，点到直线距离公式等知识，推导结论。
四、[选修4－4：坐标系与参数方程]。
22.【答案】
（1）由曲线C的极坐标方程
可得
，
将
代入可得
，即
，
即曲线C的直角坐标方程为
；
（2）设
，设
，
，
则
，即
，
故P的轨迹
的参数方程为
（
为参数）
曲线C的圆心为
，半径为
，曲线
的圆心为
，半径为2，
则圆心距为
，
，
两圆内含，
故曲线C与
没有公共点.
【考点】圆的标准方程，圆与圆的位置关系及其判定，点的极坐标和直角坐标的互化，圆的参数方程
【解析】【分析】（１）先将
两边平方
可得
，然后用
替换即可得到C的直角坐标方程；
（２）先
设
及M
再由
，建立ｘ，ｙ与的关系式，此即点P的轨迹C1的参数方程，进一步化成直角方程（圆），最后根据两圆圆心距，判断位置关系。
?
五、
[选修4－5：不等式选讲]
23.【答案】
（1）可得
，画出图像如下：
，画出函数图像如下：
（2）
，
如图，在同一个坐标系里画出
图像，
是
平移了
个单位得到，
则要使
，需将
向左平移，即
，
当
过
时，
，解得
或
（舍去），
则数形结合可得需至少将
向左平移
个单位，
.
【考点】函数的图象与图象变化，分段函数的解析式求法及其图象的作法，不等式的综合
【解析】【分析】（１）先去绝对值将二函数解析式写成分段函数物形式，然后分段作图；
（２）将上面两个函数图象画在同一个直角坐标系内，（注意f（x+a）与　f（x）图象的关系），由
f（x+a）≥g（x）,
确定a的取值范围。2021年高考文数真题试卷（全国甲卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12题；共45分）
1.设集合
，则
(??
)
A.???????????????????????????B.???????????????????????????C.???????????????????????????D.?
【答案】
B
【考点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由2x>7，得
，
故
，
则根据交集的定义易得M∩N={5,7,9}.
故答案为：B
【分析】根据交集的定义求解即可.
2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（??
）
A.?该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.?该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.?估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.?估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
【答案】
C
【考点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：对于A，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为0.02+0.04=6%，故A正确；
对于B，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为0.02×3+0.04=10%，故B正确；
对于D，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间比率估计为0.10+0.14+0.20×2=0.64>0.5，故D正确
故不正确的是C
故答案为：C
【分析】根据频率分布直方图直接求解即可.
3.已知
，则z=（??
）
A.?-1-
i????????????????????????????????B.?-1+
i????????????????????????????????C.?-
+i????????????????????????????????D.?-
-i
【答案】
B
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.
4.下列函数中是增函数的为(??
)
A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
【答案】
D
【考点】函数的单调性及单调区间，函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：对于A，考察函数f(x)=kx，易知当x<0时，y=kx单调递减，故A错误；
对于B，考察函数f(x)=ax
，
易知当0对于C，考察函数f(x)=x2
，
易知当x<0时，f(x)=x2单调递减，当x>0时，f(x)=x2单调递增，故C错误；
对于D，考察函数
，
易知f(x)=ax单调递增，故D正确.
故答案为：D
【分析】根据正比例函数，指数函数，二次函数，幂函数的单调性之间求解即可.
5.点
到双曲线
的一条渐近线的距离为(??
)
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】
A
【考点】点到直线的距离公式，双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：不妨取双曲线的一条渐近线为：
，
即3x-4y=0，
则所求距离为
故答案为：A
【分析】根据双曲线的几何性质，结合点到直线的距离公式求解即可.
6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记数法的数据约为（??
）（
≈1.259）
A.?1.5????????????????????????????????????????B.?1.2????????????????????????????????????????C.?0.8????????????????????????????????????????D.?0.6
【答案】
C
【考点】指数式与对数式的互化，对数的运算性质
【解析】【解答】解：由题意得，将L=4.9代入l=5+lgV，得lgV=-0.1=
，
所以
故答案为：C
【分析】根据对数的运算法则，结合对数式与指数式的互化求解即可.
7.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正试图如右图所示，则相应的侧视图是（??
）
A.???????????????????B.???????????????????C.???????????????????D.?
【答案】
D
【考点】简单空间图形的三视图，由三视图还原实物图
【解析】【解答】解：由题意得正方体如图所示，
则侧视图是
故答案为：D
【分析】根据三视图的画法求解即可.
8.在
中，已知
，则
(??
)
A.?1?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?3
【答案】
D
【考点】余弦定理，余弦定理的应用
【解析】【解答】解：由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2·AB·BC·cos120°，
即19=4+BC2+2BC
即BC2+2BC-15=0
解得BC=3或BC=-5(舍去)
故BC=3
故答案为：D
【分析】由余弦定理直接求解即可.
9.记
为等比数列
的前
项和．若
，则
(??
)
A.?7???????????????????????????????????????????B.?8???????????????????????????????????????????C.?9???????????????????????????????????????????D.?10
【答案】
A
【考点】等比数列的性质
【解析】【解答】由题意知S2,S4-S2,S6-S4成等比数列，
即4,2，S6-6成等比数列，
则4×（S6-6）=22
解得S6=7
故答案为：A
【分析】根据等比数列的性质直接求解即可.
10.将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为(??
)
A.?0.3????????????????????????????????????????B.?0.5????????????????????????????????????????C.?0.6????????????????????????????????????????D.?0.8
【答案】
C
【考点】古典概型及其概率计算公式，排列、组合及简单计数问题，排列与组合的综合
【解析】【解答】解：
3个1和2个0随机排成一行
一共有以下10种排法：
11100,11010,11001,10110,10101,10011,01110,01101,01011,00111
其中
2个0不相邻
共有6种，
所以所求概率为
【分析】根据古典概型，结合列举法求解即可.
11.若
,
，则
（??
）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
【答案】
A
【考点】二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式，同角三角函数间的基本关系，同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由题意得
?
，
则
，
解得sinα=
，
又因为
?,
所以
所以
故答案为：A
【分析】根据二倍角公式，结合同角三角函数基本关系求解即可.
12.设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f（-x）．若
(??
)
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】
C
【考点】奇函数，函数奇偶性的性质
【解析】【解答】解：因为
f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f－x)，
所以
故答案为：C
【分析】根据奇函数的性质，结合题设中函数的性质求解即可.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。（共4题；共17分）
13.若向量
满足|
|＝3，|
|＝5，
?
＝1，则|
|＝________．
【答案】
【考点】向量的模，向量的线性运算性质及几何意义
【解析】【解答】解：由得
即9-2×1+=25
解得
故答案为：
【分析】根据向量的运算法则求解即可.
14.己知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为________．
【答案】
39π
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，
则底面面积S=πr2=36π，
则由得,
则
故圆锥的侧面积为
【分析】根据圆锥的特征，结合圆锥的体积与侧面积公式求解即可.
15.已知函数
的部分图像如图所示，则
＝________．
【答案】
【考点】余弦函数的图象
【解析】【解答】解：由题意得
，
则T=π，ω=2，所以,
将点代入得
，
则
，
则
，
故
，
所以
，
所以
，
故答案为：
【分析】根据余弦函数的图象与性质求解即可.
16.已知F1
，
F2为椭圆C：
的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点堆成的两点，且
，则四边形PF1QF2的面积为________。
【答案】
8
【考点】椭圆的定义，三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由|PQ|=|F1F2|，得|OP|=|F1F2|，所以PF1⊥PF2
，
所以
故答案为：8
【分析】根据椭圆的定义及直角三角形的性质，结合三角形的面积公式求解即可
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（共5题；共40分）
17.?
甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：
?
【答案】
（1）（1）由题意可知：甲机床生产的产品中一级品的频率是：
乙机床生产的产品中一级品的频率是：
（2）由于
所以，有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。
【考点】频率分布表，独立性检验，独立性检验的应用
【解析】【分析】（1）根据频率=频数/总体直接求解即可；
（2）根据独立性检验的方法直接求解即可.
18.记
为
的前
项和，已知
，且数列
是等差数列．证明：
是等差数列．
【答案】
∵数列
是等差数列，设公差为
∴
，
∴
，
∴当
时，
当
时，
，满足
，
∴
的通项公式为
，
∴
∴
是等差数列.
【考点】数列的概念及简单表示法，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和
【解析】【分析】由
数列
是等差数列
，及?
，
即可得到
等差数列
的公差
,从而得到
，
，
进一步根据ａｎ与ｓｎ的关系，以及等差数列的定义，证明
是等差数列.
?
19.已知直三棱柱
中，侧面
为正方形．
分别为
和
的中点，
．
（1）求三棱锥F－EBC的体积；
（2）已知
为棱
上的点，证明：
．
【答案】
（1）如图所示，连结AF，
由题意可得：
，
由于AB⊥BB1
，
BC⊥AB，
，故
平面
，
而
平面
，故
，
从而有
，
从而
，
则
，
为等腰直角三角形，
，
.
（2）由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体
，如图所示，取棱
的中点
，连结
，
正方形
中，
为中点，则
，
又
，
故
平面
，而
平面
，
从而
.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（１）
连结AF
，通过计算得出AC线段的长度，
得到
，
进一步可以计算出
F－EBC的体积；
（２）
由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体
，
取棱
的中点
，连结
，
通过证明?
平面
，
而得到
DE.
20.设函数
，其中a>0．
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）若y＝f(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．
【答案】
（1）函数的定义域为
，
又
，
因为
，故
，
当
时，
；当
时，
；
所以
的减区间为
，增区间为
.
（2）因为
且
的图与
轴没有公共点，
所以
的图象在
轴的上方，
由（1）中函数的单调性可得
，
故
即
.
【考点】函数单调性的性质，函数的单调性与导数的关系
【解析】【分析】（１）先明确函数的定义域，先对函数求导，然后根据a的取值，讨论导数年的正负，来确定函数的单调区间；
（２）首先注意到
且
的图与
轴没有公共点这一特点，表明
的图象在
轴的上方，求函数f(x)的最小值，只要最小值大于０即可，
解不等式，即可得到结果。
21.抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上，直线L：x
=
1交C于P，Q两点，且OP丄OQ.已知点M（2,0）,且
M与L相切，
（1）求
M的方程；
（2）设A1,A2,A3,是C上的三个点,直线A1
A2
，
A1
A3均与
M相切，判断A2A3与
M的位置关系，并说明理由.
【答案】
（1）依题意设抛物线
，
，
所以抛物线
的方程为
，
与
相切，所以半径为
，
所以
的方程为
；
（2）设
若
斜率不存在，则
方程为
或
，
若
方程为
，根据对称性不妨设
，
则过
与圆
相切的另一条直线方程为
，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在
，不合题意；
若
方程为
，根据对称性不妨设
则过
与圆
相切的直线
为
，
又
，
，此时直线
关于
轴对称，
所以直线
与圆
相切；
若直线
斜率均存在，
则
，
所以直线
方程为
，
整理得
，
同理直线
的方程为
，
直线
的方程为
，
与圆
相切，
整理得
，
与圆
相切，同理
所以
为方程
的两根，
，
到直线
的距离为：
，
所以直线
与圆
相切；
综上若直线
与圆
相切，则直线
与圆
相切.
【考点】平面向量的综合题，圆的标准方程，点的极坐标和直角坐标的互化，圆的参数方程
【解析】【分析】（1）
先设抛物线的方程
由对称性，可知
，
进而由
可以很容易求出抛物线的P值，进而写出抛物线的方程；
由于圆M的圆心已知,且与x=1相切，立刻知道半径，故很容易求得M的方程；
（２）先设出三点的坐标，分
斜率不存在及
直线
斜率均存在讨论，
分别写出相应的直线方程，根据相关直线与圆相切的条件，分别代入抛物线方程，利用达定理，点到直线距离公式等知识，推导结论。
四、[选修4－4：坐标系与参数方程]。（共1题；共10分）
22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
=2
cosθ.
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为（1,0）,M为C上的动点，点P满足
?=
,写出
P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点.
【答案】
（1）由曲线C的极坐标方程
可得
，
将
代入可得
，即
，
即曲线C的直角坐标方程为
；
（2）设
，设
，
，
则
，即
，
故P的轨迹
的参数方程为
（
为参数）
曲线C的圆心为
，半径为
，曲线
的圆心为
，半径为2，
则圆心距为
，
，
两圆内含，
故曲线C与
没有公共点.
【考点】圆的标准方程，圆与圆的位置关系及其判定，点的极坐标和直角坐标的互化，圆的参数方程
【解析】【分析】（１）先将
两边平方
可得
，然后用
替换即可得到C的直角坐标方程；
（２）先
设
及M
再由
，建立ｘ，ｙ与的关系式，此即点P的轨迹C1的参数方程，进一步化成直角方程（圆），最后根据两圆圆心距，判断位置关系。
?
五、
[选修4－5：不等式选讲]（共1题；共2分）
23.已知函数f（x）=|x-2|，
g（x）
=|2x
+
3|-|2x-1|.
??
（1）画出f（x）和y=g（x）的图像；
（2）若f（x+a）≥g（x）,求a的取值范围.
【答案】
（1）可得
，画出图像如下：
，画出函数图像如下：
（2）
，
如图，在同一个坐标系里画出
图像，
是
平移了
个单位得到，
则要使
，需将
向左平移，即
，
当
过
时，
，解得
或
（舍去），
则数形结合可得需至少将
向左平移
个单位，
.
【考点】函数的图象与图象变化，分段函数的解析式求法及其图象的作法，不等式的综合
【解析】【分析】（１）先去绝对值将二函数解析式写成分段函数物形式，然后分段作图；
（２）将上面两个函数图象画在同一个直角坐标系内，（注意f（x+a）与　f（x）图象的关系），由
f（x+a）≥g（x）,
确定a的取值范围。2021年高考理数真题试卷（全国乙卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12题；共60分）
1.设2（z+
）+3(z-
)=4+6i，则z=（??
）.
A.?1-2i??????????????????????????????????????B.?1+2i??????????????????????????????????????C.?1+i??????????????????????????????????????D.?1-i
【答案】
C
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】设所以a=b=1，所以z＝1+i。
故答案为：C
【分析】先设z的代数式，代入运算后由复数相等的条件，即可求得结果。
2.已知集合S=｛s|s=2n+1，n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1，n∈Z｝，则S∩T=（??
）
A.?
???????????????????????????????????????????B.?S??????????????????????????????????????????C.?T??????????????????????????????????????????D.?Z
【答案】
C
【考点】交集及其运算
【解析】【解答】当n=2k???
时，S={s|s=4k+1,?
},
当n=2k+1
?
时,S={s|s=4k+3,?
}
所以S,所以,?
故答案为：C.
【分析】分n的奇偶讨论集合S。
3.已知命题p：
x∈R，sinx＜1；命题q：
x∈R，
≥1，则下列命题中为真命题的是（
）
A.?p
q????????????????????????????B.?
p
q????????????????????????????C.?p
q????????????????????????????D.?
(pVq)
【答案】
A
【考点】全称量词命题，存在量词命题，命题的否定，命题的真假判断与应用
【解析】【解答】因为命题P是真命题，命题
q也是真命题，
故答案为：A
【分析】先判断命题p，q的真假，然后判断选项的真假。
4.设函数f(x)=
，则下列函数中为奇函数的是（
）
A.?f(x-1)-1????????????????????????????B.?f(x-1)+1????????????????????????????C.?f(x+1)-1????????????????????????????D.?f(x+1)+1
【答案】
B
【考点】函数奇偶性的判断，函数奇偶性的性质
【解析】【解答】因为
f(x)=
，
所以函数的对称中心是(-1,-1)，所以函数f(x)向右平移1
个单位，再向上平移1个单位后关于（0，0）中心对称，而四个选项中只有B满足条件，
故答案为：B。
【分析】将
函数变形为f(x)=?后，判断。
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】
D
【考点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图，连接AC，设AC与BD交于O，连接OD1,AD1,BP,设正方体的棱长为x，
因为D1P||OB||BD,且D1P=BO=BD,所以四边形OD1PB是平行四边形，所以BP||OD1,所以
即为所求的角，易证平面BDD1B1,故OD1,
又,所以＝.
故答案为：D
【分析】在正方体中，作辅助线，通过平移线，作出所要求的角。
6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（
）
A.?60种??????????????????????????????????B.?120种??????????????????????????????????C.?240种??????????????????????????????????D.?480种
【答案】
C
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】由题意知，必须有2个人一组，其他各组只有1个人，所以分配方法是：
，
故答案为：C.
【分析】利用排列与组合来求解。
7.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移
个单位长度，得到函数y=sin(x-
)的图像，则f(x)=（
）
A.?sin(
)?????????????????B.?sin(
)?????????????????C.?sin(
)?????????????????D.?sin(
)
【答案】
B
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】根据图象平移的规律可知，将y=
y=sin(x-
)的图像
上所有的点向左平移平移个单位，纵坐标不变，得到再把所得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，即函数的周期变原来的2倍，就得到函数y=
，
故答案为：B。
【分析】根据三角函数图象的相位，周期变化规律来解题。
8.在区间（0，1）与（1，2）中各随机取1个数，则两数之和大于
的概率为（
）
A.?
???????????????????????????????????????B.?
???????????????????????????????????????C.?
???????????????????????????????????????D.?
【答案】
B
【考点】几何概型
【解析】【解答】不妨设这两个数为a,b且
01表示为一个正方四个顶点：(0,1),(1,0),(1,2),(0,2),且包括边界在内的正方形区域。作
直线a+b=?
，
满足a+b>
的a,b取值的可行域如图中阴影部分表示，
直线a+b＝
与正方形的两个交点分别为,则可计算事件(a+bR人svyf概率为P＝,
故选B。
【分析】利用几何概型解答。
9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”。则海岛的高AB=（
）.
A.?
B.?
C.?
D.?
【答案】
A
【考点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】如图，连接DF,直线DF交AB于M，
则AB＝AM+BM,设则
因为,所以所以
故答案为：A.
【分析】通过作辅助线，(如图)，然后利用解直角形的知识来解答。
10.设a≠0，若x=a为函数
的极大值点，则（
）
A.?a＜b?????????????????????????????????B.?a＞b?????????????????????????????????C.?ab＜a2?????????????????????????????????D.?ab＞a2
【答案】
D
【考点】二次函数的图象，二次函数的性质
【解析】【解答】当a>0时，若a为极大值点，则(如图1)，必有a当a<0时，若a为极大值点，则(如图2)，必有a>b>a2,故A错。
故答案为：D.
【分析】对a的正负进行讨论，根据极值点的意义，作图分析，得到正确选项。
11.设B是椭圆C：
（a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足
，则C的离心率的取值范围是（?
?）
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
【答案】
C
【考点】椭圆的定义，椭圆的简单性质
【解析】【解答】依题意，点B(0,b),设P(x0,y0),则有
移项并用十字相乘法得到：
因为恒成立，即恒
成立，
据此解得
，
故答案为：C。
【分析】由两点间的距离公式，表示出|PB|2
，
再根据椭圆上任意点的纵坐标y0的取值范围，解相关不等式得到结果。
12.设
，
，
，则（
）
A.?a＜b＜c?????????????????????????????B.?b＜c＜a?????????????????????????????C.?b＜a＜c?????????????????????????????D.?c＜a＜b
【答案】
B
【考点】指数函数的图象与性质，对数函数的图象与性质
【解析】【解答】构造函数f(x)=ln(1+x)-
，
则b-c=f(0.02)，则当x>0时，,
所以f/(x)<0,所以f(x)在单调递减，所以f(0.02)再构造函数则而,
当
所以所以g(x)在（0，2）上单调递增，所以所以b故答案为：B
【分析】本题就在于构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，从而解题。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。（共4题；共20分）
13.已知双曲线C：
（m>0）的一条渐近线为
+my=0，则C的焦距为________.
【答案】
4
【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为又曲线方程C：,一条渐近线是
，
所以双曲线方程是,
故答案为：4
【分析】由双曲线渐近线的斜率可得到m的值，再进一步求得焦距的值。
14.已知向量
=（1，3），b=（3，4），若（
-λ
）⊥
，
则λ=________。
【答案】
【考点】平面向量的坐标运算，平面向量数量积的运算，数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为
，
所以
，
所以
，
故答案为：
【分析】先计算出的坐标式，再根据两向量垂直，列式求解。
15.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为
，B=60°，a2+c2=3ac，则b=________.
【答案】
【考点】余弦定理，三角形中的几何计算
【解析】【解答】
于是
【分析】根据面积的值，计算出ac，再由余弦定理求解。
16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为________（写出符合要求的一组答案即可）.
【答案】
②⑤或③④
【考点】由三视图还原实物图
【解析】【解答】当俯视图为
④
时，右侧棱在左侧，不可观测到，所以为虚线，故选择③为侧视图；
当俯视图为⑤时，左侧棱在左侧可观测到，所以为实线，故选择②为侧视图，
故答案为：
②⑤或③④
【分析】分情况讨论各种视图的位置关系。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（共5题；共60分）
17.某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为
和
，样本方差分别记为s12和s22
（1）求
，
，
s12
，
s22；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果
-
≥
，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.
【答案】
（1）解：各项所求值如下所示
=
(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0
=
(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3
=
x[(9.7-10.0)2+2x(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2x(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2]=0.36，
=
x[(10.0-10.3)2+3x(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2x(10.4-10.3)2+2x(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2]=0.4.
（2）由(1)中数据得
-
=0.3，2
≈0.34
显然
-
＜2
，所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。
【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）先计算新旧样本平均数
，
再直接用公式计算
s12
，
s22；
(2)由
(1)中的数据，计算得：
-
=0.3，2
≈0.34
，
显然
-
＜2
，可得到答案。
18.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB⊥AM，
（1）求BC；
（2）求二面角A-PM-B的正弦值。
【答案】
（1）解：因为PD⊥平面ABCD，且矩形ABCD中，AD⊥DC，所以以
，
，
分别为x，y，z轴正方向，D为原点建立空间直角坐标系D-xyz。
设BC=t，A（t，0，0），B（t，1，0），M（
，1，0），P(0，0，1)，所以
=（t，1，-1），
=（
，1，0），
因为PB⊥AM，所以
?
=-
+1=0，所以t=
，所以BC=
。
（2）设平面APM的一个法向量为
=（x，y，z），由于
=（-
，0，1），则
令x=
，得
=（
，1，2）。
设平面PMB的一个法向量为
=（xt
，
yt
，
zt），则
令
=1，得
=(0，1，1).
所以cos（
，
）=
=
=
，所以二面角A-PM-B的正弦值为
.
【考点】向量方法证明线、面的位置关系定理，用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，定义相关点的坐标，通过计算求解；
（2）呈上，分别求二面角的两个平面的法向量，用法向量的夹角计算。
19.记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项和，已知
=2.
（1）证明：数列{bn}是等差数列；
（2）求{an}的通项公式.
【答案】
（1）由已知
+
=2，则
=Sn(n≥2)
+
=2
2bn-1+2=2bn
bn-bn-1=
(n≥2)，b1=
故｛bn｝是以
为首项，
为公差的等差数列。
（2）由（1）知bn=
+（n-1）
=
，则
+
=2
Sn=
n=1时，a1=S1=
n≥2时，an=Sn-Sn-1=
-
=
故an=
【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，数列递推式
【解析】【分析】（1）根据等差数列及前n项和的定义，由递推关系，求证。
（2）呈上，先写出bn,再求{bn}前n磺的和
Sn
，再由
an与
Sn
的关系，进一步求得结果。
20.设函数f（x）=ln（a-x），已知x=0是函数y=xf（x）的极值点。
（1）求a；
（2）设函数g（x）=
，证明：g（x）＜1.
【答案】
（1）[xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x)
当x=0时，[xf(x)]′=f(0)=lna=0，所以a=1
（2）由f(x)=ln(1-x)，得x＜1
当0＜x＜1时，f(x)=ln(1-x)＜0，xf(x)＜0；当x＜0时，f(x)=ln(1-x)＞0，xf(x)＜0
故即证x+f(x)＞xf(x)，x+ln(1-x)-xln(1-x)＞0
令1-x=t(t＞0且t≠1)，x=1-t，即证1-t+lnt-(1-t)lnt＞0
令f(t)=1-t+lnt-(1-t)lnt，
则f′(t)=-1-
-[(-1)lnt+
]=-1+
+lnt-
=lnt
所以f(t)在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故f(t)＞f（1）=0，得证。
【考点】利用导数研究函数的极值，导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）先对函数
y=xf（x）求导：
[xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x)，因为x=0是方程的根，代入求得a值。
（2）首先由（1）写出函数f(x),并求其定义域，将问题转化为证明
x+f(x)＞xf(x)，即证：x+ln(1-x)-xln(1-x)＞0
，然后通过换元，构造函数，用导数研究相关函数的单调性，从而证明命题成立。
21.己知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4.
（1）求p；
（2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求
PAB的最大值.
【答案】
（1）解：焦点
到
的最短距离为
，所以p=2.
（2）抛物线
，设A(x1
，
y1），B(x2
，
y2)，P(x0
，
y0)，则
，
，且
.
，
都过点P(x0
，
y0），则
故
，即
.
联立
，得
，
.
所以
=
?，
，所以
=
=
=
.
而
.故当y0=-5时，
达到最大，最大值为
.
【考点】圆的标准方程，抛物线的标准方程，抛物线的应用
【解析】【分析】（1）因为F点到圆上距离最小的即为F到圆心的距离减去半径1，据此得到结果；
（2）由（1）写出抛物线的标准方程
，分别设出切点A,B的坐标，及P（在圆M上）的坐标，分别写出两条切线的方程，利用A,B都过P点，建立方程求解。最后通过三角形PAB面积表达式，研究最值。
四、［选修4一4：坐标系与参数方程］（共1题；共10分）
22.在直角坐标系xOy中，
C的圆心为C（2，1），半径为1.
（1）写出
C的一个参数方程；
（2）过点F（4，1）作
C的两条切线，
以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.
【答案】
（1）因为
C的圆心为(2，1)，半径为1.故
C的参数方程为
（
为参数).
（2）设切线y=k（x-4)+1，即kx-y-4k+1=0.
故
?=1
即|2k|=
，4
=
，
解得k=±
.
故直线方程为y=
?(x-4)+1，
y=
?(x-4)+1
故两条切线的极坐标方程为
sin
=
cos
-
+1或
sin
=
cos
+
+1.
【考点】点的极坐标和直角坐标的互化，参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）根据圆的参数方程的定义，不难得到圆的参数方程；
（2）设出过点（4，1）的圆的切线方程，利用直线与相切求出切线的斜率，进而求得两条切线的方程，并将它们化为极坐标方程。
五、[选修4一5：不等式选讲]（共1题；共10分）
23.已知函数f（x）=|x-a|+|x+3|.
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥6的解集；
（2）若f（x）≥-a，求a的取值范围.
【答案】
（1）解：a=1时，f(x)=|x-1|+|x+3|，即求|x-1|+|x-3|≥6的解集.
当x≥1时，2x十2≥6，得x≥2;
当-3当x≤-3时-2x-2≥6.得x≤-4，
综上，解集为(-∞，-4]U[2，-∞).
（2）f(x)最小值>-a，而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.
当x在a和-3之间时最小，此时f(x)最小值为|a+3|，即|a+3|＞-a.
A≥-3时，2a+3>0，得a>-
；a<-3时，-a-3>-a，此时a不存在.
综上，a>-
.
【考点】不等式的综合
【解析】【分析】（1)当a=1，写出
f(x)=|x-1|+|x+3|
，进一步分段讨论去值，解不等式；
（2）只要保证
f(x)最小值>-a，而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.2021年高考理数真题试卷（全国甲卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12题；共60分）
1.设集合M=｛x|0＜x＜4｝，N=｛x|
≤x≤5｝，则M∩N=（??
）
A.?｛x|0＜x≤
｝???????????????B.?｛x|
≤x＜4｝???????????????C.?｛x|4≤x＜5｝???????????????D.?｛x|0＜x≤5｝
2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（??
）
A.?该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.?该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.?估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.?估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
3.已知
，则z=（??
）
A.?-1-
i????????????????????????????????B.?-1+
i????????????????????????????????C.?-
+i????????????????????????????????D.?-
-i
4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记数法的数据约为（??
）（
≈1.259）
A.?1.5????????????????????????????????????????B.?1.2????????????????????????????????????????C.?0.8????????????????????????????????????????D.?0.6
5.已知F1
，
F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为（??
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
6.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正试图如右图所示，则相应的侧视图是（??
）
A.???????????????????B.???????????????????C.???????????????????D.?
7.等比数列｛an｝的公比为q，前n项和为Sn
，
设甲：q>0，乙:｛Sn｝是递増数列，则（??
）
A.?甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.?甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.?甲是乙的充要条件
D.?甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测量法的一个示意图，现有以A，B，C三点，且A，B,C在同一水平而上的投影A’,B’，C'满足
.由c点测得B点的仰角为15°，曲，
与
的差为100
:由B点测得A点的仰角为45°，则A,C两点到水平面
的高度差
约为（??
）
A.?346??????????????????????????????????????B.?373??????????????????????????????????????C.?446??????????????????????????????????????D.?473
9.若
,
，则
（??
）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
10.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0
不相邻的概率为（??
）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
11.已知A,B,C是半径为1的求O的球面上的三个点，且AC⊥BC,AC=BC=1，则三棱锥O-ABC的体积为（??
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
12.设函数f(x)的定义域为R
，
f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当
时，
.若
,则
（??
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。（共4题；共20分）
13.曲线
在点（-1，-3）处的切线方程为________。
14.已知向量a=(3,1)，b=(1,0)，
，若a⊥c，则k=________。
15.已知F1
，
F2为椭圆C：
的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点堆成的两点，且
，则四边形PF1QF2的面积为________。
16.已知函数
的部分图像如图所示，则满足条件
的最小正整数x为________。
三、解答題：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（共5题；共60分）
17.?
甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：
?
18.已知数列{an｝的各项均为正数，记Sn为{an｝的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列{an｝是等差数列：②数列{
｝是等差数列；③a2=3a1
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
19.已知直三棱柱ABC-A1B1C1.中，侧面AA1B1B为正方形，AB=
BC
=
2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF丄A1B1.
??
（1）?
证明：BF⊥DE；
（2）当为B1D何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？
20.抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上，直线L：x
=
1交C于P，Q两点，且OP丄OQ.已知点M（2,0）,且
M与L相切，
（1）求
M的方程；
（2）设A1,A2,A3,是C上的三个点,直线A1
A2
，
A1
A3均与
M相切，判断A2A3与
M的位置关系，并说明理由.
21.己知a＞0且a≠1，函数f（x）=
（x＞0），
（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；
（2）若曲线y=
f（x）与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围.
四、选修4一4：坐标系与参数方程］（共1题；共10分）
22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
=2
cosθ.
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为（1,0）,M为C上的动点，点P满足
?=
,写出
P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点.
五、[选修4一5：不等式选讲]（共1题；共10分）
23.已知函数f（x）=|x-2|，
g（x）
=|2x
+
3|-|2x-1|.
??
（1）画出f（x）和y=g（x）的图像；
（2）若f（x+a）≥g（x）,求a的取值范围.
答案解析部分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.【答案】
B
【考点】交集及其运算
【解析】【解答】解：M∩N即求集合M,N的公共元素，所以M∩N={x|≤x﹤4}，
故答案为：B
【分析】根据交集的定义求解即可.
2.【答案】
C
【考点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：对于A，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为0.02+0.04=6%，故A正确；
对于B，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为0.02×3+0.04=10%，故B正确；
对于D，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间比率估计为0.10+0.14+0.20×2=0.64>0.5，故D正确
故不正确的是C
故答案为：C
【分析】根据频率分布直方图直接求解即可.
3.【答案】
B
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.
4.【答案】
C
【考点】指数式与对数式的互化，对数的运算性质
【解析】【解答】解：由题意得，将L=4.9代入l=5+lgV，得lgV=-0.1=
，
所以
故答案为：C
【分析】根据对数的运算法则，结合对数式与指数式的互化求解即可.
5.【答案】
A
【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由
|PF1|=3|PF2|
，
|PF1|-|PF2|=2a得
|PF1|=3a，|PF2|=a
在△F1PF2中，由|F1F2|2=
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2
得(2c)2=(3a)2+a2-2×3a×a×cos60°
解得
所以
故答案为：A
【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理以及离心率公式直接求解即可.
6.【答案】
D
【考点】简单空间图形的三视图，由三视图还原实物图
【解析】【解答】解：由题意得正方体如图所示，
则侧视图是
故答案为：D
【分析】根据三视图的画法求解即可.
7.【答案】
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当a1=-1，q=2时，{Sn}是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；
当{Sn}是递增数列时，an+1=Sn+1-Sn>0，即a1qn>0，则q>0，所以甲是乙的必要条件；
所以甲是乙的必要条件但不是充分条件.
故答案为：B
【分析】根据充要条件的判定，结合等比数列的性质求解即可.
8.【答案】
B
【考点】正弦定理，正弦定理的应用
【解析】【解答】解：如图，过C作BB'的垂线交BB'于点M，过B作AA'的垂线交AA'于点N，
设B'C'=CM=m，A'B'=BN=n，
在△A'B'C'中，由正弦定理得
，
在△BCM中，由正弦定理得
，
则
，
解得
，
得A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'≈273+100=373.
故答案为：B
【分析】根据正弦定理求解即可.
9.【答案】
A
【考点】二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式，同角三角函数间的基本关系，同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由题意得
?
，
则
，
解得sinα=
，
又因为
?,
所以
所以
故答案为：A
【分析】根据二倍角公式，结合同角三角函数基本关系求解即可.
10.【答案】
C
【考点】古典概型及其概率计算公式，排列、组合的实际应用，排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：
将4个1和2个0随机排成一行
共有种排法，
先将4个1全排列，再用插空法将2个0插入进行排列，共有种排法，
则所求概率为
故答案为：C
【分析】根据古典概型，结合插空法求解即可.
11.【答案】
A
【考点】球面距离及相关计算，棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：记△ABC的外接圆圆心为O1
，
由AC⊥BC，AC=BC=1知O1为AB的中点，且
，
又球的半径为1，所以OA=OB=OC=1，所以OA2+OB2=AB2
，
，
则OO12+O1C2=OC2
则OO1⊥O1C，OO1⊥AB，
所以OO1⊥平面ABC，
所以
故答案为：A
【分析】根据直角三角形的几何性质，结合三棱锥的外接球的性质，运用三棱锥的体积公式直接求解即可.
12.【答案】
D
【考点】函数奇偶性的性质，函数的值
【解析】【解答】解：因为f(x+1)是奇函数，所以f(1)=0，即a+b=0，则b=-a，
又f(0)=f(-1+1)=f(-1+2)==f(1)=0，
由f(0)+f(3)=6得a=-2，
所以
故答案为：D
【分析】根据函数的奇偶性，利用函数的性质求解即可.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.【答案】
5x-y+2=0
【考点】导数的几何意义，直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：由题意得
，
所以在点（-1，-3）处的切线斜率k=5，故切线方程为y+3=5(x+1)，即5x-y+2=0
故答案为：5x-y+2=0
【分析】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程求解即可.
14.【答案】
【考点】平面向量的坐标运算，数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：
，
由得
，
解得
故答案为：
【分析】根据向量的坐标运算，结合向量垂直的判断条件求解即可.
15.【答案】
8
【考点】椭圆的定义，三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由|PQ|=|F1F2|，得|OP|=|F1F2|，所以PF1⊥PF2
，
所以
故答案为：8
【分析】根据椭圆的定义及直角三角形的性质，结合三角形的面积公式求解即可
16.【答案】
2
【考点】一元二次不等式的解法，余弦函数的图象
【解析】【解答】解：由得T=π，ω=2
将点代入
，
得
则
，
所以
所以
?
等价于
则或
由图象得最小整数
，
所以x=2
故答案为：2
【分析】根据余弦函数的图象与性质求解即可.
三、解答題：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17.【答案】
（1）（1）由题意可知：甲机床生产的产品中一级品的频率是：
乙机床生产的产品中一级品的频率是：
（2）由于
所以，有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。
【考点】频率分布表，独立性检验，独立性检验的应用
【解析】【分析】（1）根据频率=频数/总体直接求解即可；
（2）根据独立性检验的方法直接求解即可.
18.【答案】
选①②作条件证明③：
设
，则
，
当
时，
；
当
时，
；
因为
也是等差数列，所以
，解得
；
所以
，所以
.
选①③作条件证明②：
因为
，
是等差数列，
所以公差
，
所以
，即
，
因为
，
所以
是等差数列.
选②③作条件证明①：
设
，则
，
当
时，
；
当
时，
；
因为
，所以
，解得
或
；
当
时，
，当
时，
满足等差数列的定义，此时
为等差数列；
当
时，
，
不合题意，舍去.
综上可知
为等差数列.
【考点】数列的概念及简单表示法，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和
【解析】【分析】选(1)(2)做条件时，证明
③：根据等差数列的定义得出
，且
也是等差数列
，
进一步递推出
③
；
若选
①③作条件证明②：
由
，显然
再写出前n项的和与a1,n的关系式
，进而证明
是等差数列.；
选②③作条件证明①：
先设
，
进一步形为
，
再根据
an与sn的关系，分ｎ为１，n>1，推导出
,显然
为等差数列
。
19.【答案】
（1）因为三棱柱
是直三棱柱，所以
底面
，所以
因为
，
，所以
，
又
，所以
平面
．
所以
两两垂直．
以
为坐标原点，分别以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，如图．
所以
，
．
由题设
（
）．
因为
，
所以
，所以
．
（2）设平面
的法向量为
，
因为
，
所以
，即
．
令
，则
因为平面
的法向量为
，
设平面
与平面
的二面角的平面角为
，
则
．
当
时，
取最小值为
，
此时
取最大值为
．
所以
，
此时
．
【考点】直线与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角，二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（１）根据条件，先证明
两两垂直
，再建立如图所示空间直角坐标系，定义相关点的坐标，用空间向量证明
．
（２）先设
设出平面
平面
的法向量及
平面
的法向量
，分别求出二法向量，再由向量的夹角公式，得到夹角余弦值，当其值最大时正弦值最小，确定此时的ａ值即为B1D的值。
20.【答案】
（1）依题意设抛物线
，
，
所以抛物线
的方程为
，
与
相切，所以半径为
，
所以
的方程为
；
（2）设
若
斜率不存在，则
方程为
或
，
若
方程为
，根据对称性不妨设
，
则过
与圆
相切的另一条直线方程为
，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在
，不合题意；
若
方程为
，根据对称性不妨设
则过
与圆
相切的直线
为
，
又
，
，此时直线
关于
轴对称，
所以直线
与圆
相切；
若直线
斜率均存在，
则
，
所以直线
方程为
，
整理得
，
同理直线
的方程为
，
直线
的方程为
，
与圆
相切，
整理得
，
与圆
相切，同理
所以
为方程
的两根，
，
到直线
的距离为：
，
所以直线
与圆
相切；
综上若直线
与圆
相切，则直线
与圆
相切.
【考点】平面向量的综合题，圆的标准方程，点的极坐标和直角坐标的互化，圆的参数方程
【解析】【分析】（1）
先设抛物线的方程
由对称性，可知
，
进而由
可以很容易求出抛物线的P值，进而写出抛物线的方程；
由于圆M的圆心已知,且与x=1相切，立刻知道半径，故很容易求得M的方程；
（２）先设出三点的坐标，分
斜率不存在及
直线
斜率均存在讨论，
分别写出相应的直线方程，根据相关直线与圆相切的条件，分别代入抛物线方程，利用达定理，点到直线距离公式等知识，推导结论。
21.【答案】
（1）当
时，
,
令
得
,当
时，
,当
时，
,
∴函数
在
上单调递增；
上单调递减；
（2）
,设函数
,
则
,令
，得
,
在
内
,
单调递增；
在
上
,
单调递减；
,
又
，当
趋近于
时，
趋近于0，
所以曲线
与直线
有且仅有两个交点，即曲线
与直线
有两个交点的充分必要条件是
,这即是
,
所以
的取值范围是
.
【考点】函数的单调性与导数的关系，导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）当ａ＝２时，函数
用导数研究其单调性；
（２）首先将问题转化为方程有两个解的问题，进一步转化为函数与函数有两听问题，然后利用导数研究相关函数的单调性及函数的最大值，进而得到结果。
四、选修4一4：坐标系与参数方程］
22.【答案】
（1）由曲线C的极坐标方程
可得
，
将
代入可得
，即
，
即曲线C的直角坐标方程为
；
（2）设
，设
，
，
则
，即
，
故P的轨迹
的参数方程为
（
为参数）
曲线C的圆心为
，半径为
，曲线
的圆心为
，半径为2，
则圆心距为
，
，
两圆内含，
故曲线C与
没有公共点.
【考点】圆的标准方程，圆与圆的位置关系及其判定，点的极坐标和直角坐标的互化，圆的参数方程
【解析】【分析】（１）先将
两边平方
可得
，然后用
替换即可得到C的直角坐标方程；
（２）先
设
及M
再由
，建立ｘ，ｙ与的关系式，此即点P的轨迹C1的参数方程，进一步化成直角方程（圆），最后根据两圆圆心距，判断位置关系。
?
五、[选修4一5：不等式选讲]
23.【答案】
（1）可得
，画出图像如下：
，画出函数图像如下：
（2）
，
如图，在同一个坐标系里画出
图像，
是
平移了
个单位得到，
则要使
，需将
向左平移，即
，
当
过
时，
，解得
或
（舍去），
则数形结合可得需至少将
向左平移
个单位，
.
【考点】函数的图象与图象变化，分段函数的解析式求法及其图象的作法，不等式的综合
【解析】【分析】（１）先去绝对值将二函数解析式写成分段函数物形式，然后分段作图；
（２）将上面两个函数图象画在同一个直角坐标系内，（注意f（x+a）与　f（x）图象的关系），由
f（x+a）≥g（x）,
确定a的取值范围。2021年高考理数真题试卷（全国甲卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12题；共60分）
1.设集合M=｛x|0＜x＜4｝，N=｛x|
≤x≤5｝，则M∩N=（??
）
A.?｛x|0＜x≤
｝???????????????B.?｛x|
≤x＜4｝???????????????C.?｛x|4≤x＜5｝???????????????D.?｛x|0＜x≤5｝
【答案】
B
【考点】交集及其运算
【解析】【解答】解：M∩N即求集合M,N的公共元素，所以M∩N={x|≤x﹤4}，
故答案为：B
【分析】根据交集的定义求解即可.
2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（??
）
A.?该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.?该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.?估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.?估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
【答案】
C
【考点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：对于A，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为0.02+0.04=6%，故A正确；
对于B，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为0.02×3+0.04=10%，故B正确；
对于D，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间比率估计为0.10+0.14+0.20×2=0.64>0.5，故D正确
故不正确的是C
故答案为：C
【分析】根据频率分布直方图直接求解即可.
3.已知
，则z=（??
）
A.?-1-
i????????????????????????????????B.?-1+
i????????????????????????????????C.?-
+i????????????????????????????????D.?-
-i
【答案】
B
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.
4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记数法的数据约为（??
）（
≈1.259）
A.?1.5????????????????????????????????????????B.?1.2????????????????????????????????????????C.?0.8????????????????????????????????????????D.?0.6
【答案】
C
【考点】指数式与对数式的互化，对数的运算性质
【解析】【解答】解：由题意得，将L=4.9代入l=5+lgV，得lgV=-0.1=
，
所以
故答案为：C
【分析】根据对数的运算法则，结合对数式与指数式的互化求解即可.
5.已知F1
，
F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为（??
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
【答案】
A
【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由
|PF1|=3|PF2|
，
|PF1|-|PF2|=2a得
|PF1|=3a，|PF2|=a
在△F1PF2中，由|F1F2|2=
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2
得(2c)2=(3a)2+a2-2×3a×a×cos60°
解得
所以
故答案为：A
【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理以及离心率公式直接求解即可.
6.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正试图如右图所示，则相应的侧视图是（??
）
A.???????????????????B.???????????????????C.???????????????????D.?
【答案】
D
【考点】简单空间图形的三视图，由三视图还原实物图
【解析】【解答】解：由题意得正方体如图所示，
则侧视图是
故答案为：D
【分析】根据三视图的画法求解即可.
7.等比数列｛an｝的公比为q，前n项和为Sn
，
设甲：q>0，乙:｛Sn｝是递増数列，则（??
）
A.?甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.?甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.?甲是乙的充要条件
D.?甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当a1=-1，q=2时，{Sn}是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；
当{Sn}是递增数列时，an+1=Sn+1-Sn>0，即a1qn>0，则q>0，所以甲是乙的必要条件；
所以甲是乙的必要条件但不是充分条件.
故答案为：B
【分析】根据充要条件的判定，结合等比数列的性质求解即可.
8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测量法的一个示意图，现有以A，B，C三点，且A，B,C在同一水平而上的投影A’,B’，C'满足
.由c点测得B点的仰角为15°，曲，
与
的差为100
:由B点测得A点的仰角为45°，则A,C两点到水平面
的高度差
约为（??
）
A.?346??????????????????????????????????????B.?373??????????????????????????????????????C.?446??????????????????????????????????????D.?473
【答案】
B
【考点】正弦定理，正弦定理的应用
【解析】【解答】解：如图，过C作BB'的垂线交BB'于点M，过B作AA'的垂线交AA'于点N，
设B'C'=CM=m，A'B'=BN=n，
在△A'B'C'中，由正弦定理得
，
在△BCM中，由正弦定理得
，
则
，
解得
，
得A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'≈273+100=373.
故答案为：B
【分析】根据正弦定理求解即可.
9.若
,
，则
（??
）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
【答案】
A
【考点】二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式，同角三角函数间的基本关系，同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由题意得
?
，
则
，
解得sinα=
，
又因为
?,
所以
所以
故答案为：A
【分析】根据二倍角公式，结合同角三角函数基本关系求解即可.
10.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0
不相邻的概率为（??
）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】
C
【考点】古典概型及其概率计算公式，排列、组合的实际应用，排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：
将4个1和2个0随机排成一行
共有种排法，
先将4个1全排列，再用插空法将2个0插入进行排列，共有种排法，
则所求概率为
故答案为：C
【分析】根据古典概型，结合插空法求解即可.
11.已知A,B,C是半径为1的求O的球面上的三个点，且AC⊥BC,AC=BC=1，则三棱锥O-ABC的体积为（??
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
【答案】
A
【考点】球面距离及相关计算，棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：记△ABC的外接圆圆心为O1
，
由AC⊥BC，AC=BC=1知O1为AB的中点，且
，
又球的半径为1，所以OA=OB=OC=1，所以OA2+OB2=AB2
，
，
则OO12+O1C2=OC2
则OO1⊥O1C，OO1⊥AB，
所以OO1⊥平面ABC，
所以
故答案为：A
【分析】根据直角三角形的几何性质，结合三棱锥的外接球的性质，运用三棱锥的体积公式直接求解即可.
12.设函数f(x)的定义域为R
，
f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当
时，
.若
,则
（??
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】
D
【考点】函数奇偶性的性质，函数的值
【解析】【解答】解：因为f(x+1)是奇函数，所以f(1)=0，即a+b=0，则b=-a，
又f(0)=f(-1+1)=f(-1+2)==f(1)=0，
由f(0)+f(3)=6得a=-2，
所以
故答案为：D
【分析】根据函数的奇偶性，利用函数的性质求解即可.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。（共4题；共20分）
13.曲线
在点（-1，-3）处的切线方程为________。
【答案】
5x-y+2=0
【考点】导数的几何意义，直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：由题意得
，
所以在点（-1，-3）处的切线斜率k=5，故切线方程为y+3=5(x+1)，即5x-y+2=0
故答案为：5x-y+2=0
【分析】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程求解即可.
14.已知向量a=(3,1)，b=(1,0)，
，若a⊥c，则k=________。
【答案】
【考点】平面向量的坐标运算，数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：
，
由得
，
解得
故答案为：
【分析】根据向量的坐标运算，结合向量垂直的判断条件求解即可.
15.已知F1
，
F2为椭圆C：
的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点堆成的两点，且
，则四边形PF1QF2的面积为________。
【答案】
8
【考点】椭圆的定义，三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由|PQ|=|F1F2|，得|OP|=|F1F2|，所以PF1⊥PF2
，
所以
故答案为：8
【分析】根据椭圆的定义及直角三角形的性质，结合三角形的面积公式求解即可
16.已知函数
的部分图像如图所示，则满足条件
的最小正整数x为________。
【答案】
2
【考点】一元二次不等式的解法，余弦函数的图象
【解析】【解答】解：由得T=π，ω=2
将点代入
，
得
则
，
所以
所以
?
等价于
则或
由图象得最小整数
，
所以x=2
故答案为：2
【分析】根据余弦函数的图象与性质求解即可.
三、解答題：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（共5题；共60分）
17.?
甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：
?
【答案】
（1）（1）由题意可知：甲机床生产的产品中一级品的频率是：
乙机床生产的产品中一级品的频率是：
（2）由于
所以，有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。
【考点】频率分布表，独立性检验，独立性检验的应用
【解析】【分析】（1）根据频率=频数/总体直接求解即可；
（2）根据独立性检验的方法直接求解即可.
18.已知数列{an｝的各项均为正数，记Sn为{an｝的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列{an｝是等差数列：②数列{
｝是等差数列；③a2=3a1
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】
选①②作条件证明③：
设
，则
，
当
时，
；
当
时，
；
因为
也是等差数列，所以
，解得
；
所以
，所以
.
选①③作条件证明②：
因为
，
是等差数列，
所以公差
，
所以
，即
，
因为
，
所以
是等差数列.
选②③作条件证明①：
设
，则
，
当
时，
；
当
时，
；
因为
，所以
，解得
或
；
当
时，
，当
时，
满足等差数列的定义，此时
为等差数列；
当
时，
，
不合题意，舍去.
综上可知
为等差数列.
【考点】数列的概念及简单表示法，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和
【解析】【分析】选(1)(2)做条件时，证明
③：根据等差数列的定义得出
，且
也是等差数列
，
进一步递推出
③
；
若选
①③作条件证明②：
由
，显然
再写出前n项的和与a1,n的关系式
，进而证明
是等差数列.；
选②③作条件证明①：
先设
，
进一步形为
，
再根据
an与sn的关系，分ｎ为１，n>1，推导出
,显然
为等差数列
。
19.已知直三棱柱ABC-A1B1C1.中，侧面AA1B1B为正方形，AB=
BC
=
2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF丄A1B1.
??
（1）?
证明：BF⊥DE；
（2）当为B1D何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？
【答案】
（1）因为三棱柱
是直三棱柱，所以
底面
，所以
因为
，
，所以
，
又
，所以
平面
．
所以
两两垂直．
以
为坐标原点，分别以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，如图．
所以
，
．
由题设
（
）．
因为
，
所以
，所以
．
（2）设平面
的法向量为
，
因为
，
所以
，即
．
令
，则
因为平面
的法向量为
，
设平面
与平面
的二面角的平面角为
，
则
．
当
时，
取最小值为
，
此时
取最大值为
．
所以
，
此时
．
【考点】直线与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角，二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（１）根据条件，先证明
两两垂直
，再建立如图所示空间直角坐标系，定义相关点的坐标，用空间向量证明
．
（２）先设
设出平面
平面
的法向量及
平面
的法向量
，分别求出二法向量，再由向量的夹角公式，得到夹角余弦值，当其值最大时正弦值最小，确定此时的ａ值即为B1D的值。
20.抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上，直线L：x
=
1交C于P，Q两点，且OP丄OQ.已知点M（2,0）,且
M与L相切，
（1）求
M的方程；
（2）设A1,A2,A3,是C上的三个点,直线A1
A2
，
A1
A3均与
M相切，判断A2A3与
M的位置关系，并说明理由.
【答案】
（1）依题意设抛物线
，
，
所以抛物线
的方程为
，
与
相切，所以半径为
，
所以
的方程为
；
（2）设
若
斜率不存在，则
方程为
或
，
若
方程为
，根据对称性不妨设
，
则过
与圆
相切的另一条直线方程为
，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在
，不合题意；
若
方程为
，根据对称性不妨设
则过
与圆
相切的直线
为
，
又
，
，此时直线
关于
轴对称，
所以直线
与圆
相切；
若直线
斜率均存在，
则
，
所以直线
方程为
，
整理得
，
同理直线
的方程为
，
直线
的方程为
，
与圆
相切，
整理得
，
与圆
相切，同理
所以
为方程
的两根，
，
到直线
的距离为：
，
所以直线
与圆
相切；
综上若直线
与圆
相切，则直线
与圆
相切.
【考点】平面向量的综合题，圆的标准方程，点的极坐标和直角坐标的互化，圆的参数方程
【解析】【分析】（1）
先设抛物线的方程
由对称性，可知
，
进而由
可以很容易求出抛物线的P值，进而写出抛物线的方程；
由于圆M的圆心已知,且与x=1相切，立刻知道半径，故很容易求得M的方程；
（２）先设出三点的坐标，分
斜率不存在及
直线
斜率均存在讨论，
分别写出相应的直线方程，根据相关直线与圆相切的条件，分别代入抛物线方程，利用达定理，点到直线距离公式等知识，推导结论。
21.己知a＞0且a≠1，函数f（x）=
（x＞0），
（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；
（2）若曲线y=
f（x）与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围.
【答案】
（1）当
时，
,
令
得
,当
时，
,当
时，
,
∴函数
在
上单调递增；
上单调递减；
（2）
,设函数
,
则
,令
，得
,
在
内
,
单调递增；
在
上
,
单调递减；
,
又
，当
趋近于
时，
趋近于0，
所以曲线
与直线
有且仅有两个交点，即曲线
与直线
有两个交点的充分必要条件是
,这即是
,
所以
的取值范围是
.
【考点】函数的单调性与导数的关系，导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）当ａ＝２时，函数
用导数研究其单调性；
（２）首先将问题转化为方程有两个解的问题，进一步转化为函数与函数有两听问题，然后利用导数研究相关函数的单调性及函数的最大值，进而得到结果。
四、选修4一4：坐标系与参数方程］（共1题；共10分）
22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
=2
cosθ.
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为（1,0）,M为C上的动点，点P满足
?=
,写出
P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点.
【答案】
（1）由曲线C的极坐标方程
可得
，
将
代入可得
，即
，
即曲线C的直角坐标方程为
；
（2）设
，设
，
，
则
，即
，
故P的轨迹
的参数方程为
（
为参数）
曲线C的圆心为
，半径为
，曲线
的圆心为
，半径为2，
则圆心距为
，
，
两圆内含，
故曲线C与
没有公共点.
【考点】圆的标准方程，圆与圆的位置关系及其判定，点的极坐标和直角坐标的互化，圆的参数方程
【解析】【分析】（１）先将
两边平方
可得
，然后用
替换即可得到C的直角坐标方程；
（２）先
设
及M
再由
，建立ｘ，ｙ与的关系式，此即点P的轨迹C1的参数方程，进一步化成直角方程（圆），最后根据两圆圆心距，判断位置关系。
?
五、[选修4一5：不等式选讲]（共1题；共10分）
23.已知函数f（x）=|x-2|，
g（x）
=|2x
+
3|-|2x-1|.
??
（1）画出f（x）和y=g（x）的图像；
（2）若f（x+a）≥g（x）,求a的取值范围.
【答案】
（1）可得
，画出图像如下：
，画出函数图像如下：
（2）
，
如图，在同一个坐标系里画出
图像，
是
平移了
个单位得到，
则要使
，需将
向左平移，即
，
当
过
时，
，解得
或
（舍去），
则数形结合可得需至少将
向左平移
个单位，
.
【考点】函数的图象与图象变化，分段函数的解析式求法及其图象的作法，不等式的综合
【解析】【分析】（１）先去绝对值将二函数解析式写成分段函数物形式，然后分段作图；
（２）将上面两个函数图象画在同一个直角坐标系内，（注意f（x+a）与　f（x）图象的关系），由
f（x+a）≥g（x）,
确定a的取值范围。