2014年全国高考理数真题试卷（新课标II卷）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.
1．（2014·新课标II卷理）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（ ）
A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}
2．（2014·新课标II卷理）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i
3．（2014·新课标II卷理）设向量 ， 满足| + |= ，| ﹣ |= ，则 =（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
4．（2014·新课标II卷理）钝角三角形ABC的面积是 ，AB=1，BC= ，则AC=（ ）
A．5 B． C．2 D．1
5．（2014·新课标II卷理）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）
A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45
6．（2014·新课标II卷理）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2014·新课标II卷理）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（2014·新课标II卷理）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（2014·新课标II卷理）设x，y满足约束条件 ，则z=2x﹣y的最大值为（ ）
A．10 B．8 C．3 D．2
10．（2014·新课标II卷理）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．（2014·新课标II卷理）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2014·新课标II卷理）设函数f（x）= sin ，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
二、填空题：（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）
13．（2014·新课标II卷理）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a= ．
14．（2014·新课标II卷理）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为 ．
15．（2014·新课标II卷理）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是 ．
16．（2014·新课标II卷理）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.
17．（2014·新课标II卷理）已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1．
（1）证明{an+ }是等比数列，并求{an}的通项公式；
（2）证明： + +…+ ＜ ．
18．（2014·新课标II卷理）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（1）证明：PB∥平面AEC；
（2）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD= ，求三棱锥E﹣ACD的体积．
19．（2014·新课标II卷理）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：
年份 2007 2008 2009 2010 2011 2014 2013
年份代号t 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
（1）求y关于t的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： = ， = ﹣ ．
20．（2014·新课标II卷理）设F1，F2分别是C： （a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．
（1）若直线MN的斜率为 ，求C的离心率；
（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．
21．（2014·新课标II卷理）已知函数f（x）=ex﹣e﹣x﹣2x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；
（3）已知1.4142＜ ＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．
22．（2014·新课标II卷理）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：
（1）BE=EC；
（2）AD DE=2PB2．
23．（2014·新课标II卷理）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0， ]
（1）求C的参数方程；
（2）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y= x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．
四、解答题
24．（2014·新课标II卷理）设函数f（x）=|x+ |+|x﹣a|（a＞0）．
（1）证明：f（x）≥2；
（2）若f（3）＜5，求a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，
∴M∩N={1，2}，
故选：D．
【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），
∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，
∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），
则对应的复数，z2=﹣2+i，
则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，
故选：A
【分析】根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．
3．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：∵| + |= ，| ﹣ |= ，
∴分别平方得 +2 + =10， ﹣2 + =6，
两式相减得4 =10﹣6=4，
即 =1，
故选：A．
【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．
4．【答案】B
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是 ，AB=c=1，BC=a= ，
∴S= acsinB= ，即sinB= ，
当B为钝角时，cosB=﹣ =﹣ ，
利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB BC cosB=1+2+2=5，即AC= ，
当B为锐角时，cosB= = ，
利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB BC cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，
此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，
则AC= ．
故选：B．
【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．
5．【答案】A
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则有题意可得0.75×p=0.6，
解得p=0.8，
故选：A．
【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．
6．【答案】C
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，
组合体体积是：32π 2+22π 4=34π．
底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π
切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为： = ．
故选：C．
【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．
7．【答案】D
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：若x=t=2，
则第一次循环，1≤2成立，则M= ，S=2+3=5，k=2，
第二次循环，2≤2成立，则M= ，S=2+5=7，k=3，
此时3≤2不成立，输出S=7，
故选：D．
【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解： ，
∴y′（0）=a﹣1=2，
∴a=3．
故答案选D．
【分析】根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．
9．【答案】B
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
由z=2x﹣y得y=2x﹣z，
平移直线y=2x﹣z，
由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，
此时z最大．
由 ，解得 ，即C（5，2）
代入目标函数z=2x﹣y，
得z=2×5﹣2=8．
故选：B．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．
10．【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由y2=2px，得2p=3，p= ，
则F（ ，0）．
∴过A，B的直线方程为y= （x﹣ ），
即x= y+ ．
联立 ，得4y2﹣12 y﹣9=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1+y2=3 ，y1y2=﹣ ．
∴S△OAB=S△OAF+S△OFB= × |y1﹣y2|= = × = ．
故选：D．
【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．
11．【答案】C
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON，
，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，
∵BC=CA=CC1，
设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO= ，AN= ，MB= = = ，
在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO= = = ．
故选：C．
【分析】画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．
12．【答案】C
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，f（x0）=± ，且 =kπ+ ，k∈z，即 x0= m．
再由x02+[f（x0）]2＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为 |m|，
∴m2＞ m2+3，∴m2＞4．
求得 m＞2，或m＜﹣2，
故选：C．
【分析】由题意可得，f（x0）=± ，且 =kπ+ ，k∈z，再由题意可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为 |m|，可得m2＞ m2+3，由此求得m的取值范围．
13．【答案】
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：（x+a）10的展开式的通项公式为 Tr+1= x10﹣r ar，
令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3 =120a3=15，
∴a= ，
故答案为： ．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值．
14．【答案】1
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）=sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos（x+φ）
=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ
=sin[（x+φ）﹣φ]=sinx，
故函数f（x）的最大值为1，
故答案为：1．
【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sinx，从而求得函数的最大值．
15．【答案】（﹣1，3）
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，
∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），
即f（|x﹣1|）＞f（2），
∴|x﹣1|＜2，
解得﹣1＜x＜3，
故答案为：（﹣1，3）
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论．
16．【答案】[﹣1，1]
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），
要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，
则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，
而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，
此时MN=1，
图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1，
∴x0的取值范围是[﹣1，1]．
【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．
17．【答案】（1）证明： =3，
∵ ≠0，
∴数列{an+ }是以首项为 ，公比为3的等比数列；
∴an+ = = ，即 ；
（2）证明：由（1）知 ，
当n≥2时，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴ ＜ = ，
∴当n=1时， 成立，
当n≥2时， + +…+ ＜1+ …+ = = ＜ ．
∴对n∈N+时， + +…+ ＜ ．
【知识点】数列的求和；等比数列的性质
【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即 =常数，又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出{an}的通项公式；（2）将 进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．
18．【答案】（1）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，
∵O为BD中点，E为PD中点，
∴EO∥PB，（2分）
EO 平面AEC，PB 平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）
（2）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，
∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，
∴CD⊥平面AMD，
∵二面角D﹣AE﹣C为60°，
∴∠CMD=60°，
∵AP=1，AD= ，∠ADP=30°，
∴PD=2，
E为PD的中点．AE=1，
∴DM= ，
CD= = ．
三棱锥E﹣ACD的体积为： = = ．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（2）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．
19．【答案】（1）解：由题意， = ×（1+2+3+4+5+6+7）=4，
= ×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，
∴ = = =0.5，
= ﹣ =4.3﹣0.5×4=2.3．
∴y关于t的线性回归方程为 =0.5t+2.3；
（2）解：由（1）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．
将2015年的年份代号t=9代入 =0.5t+2.3，得：
=0.5×9+2.3=6.8，
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元
【知识点】线性回归方程
【解析】【分析】（1）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．（2）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．
20．【答案】（1）解：∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，
∴M的横坐标为c，当x=c时，y= ，即M（c， ），
若直线MN的斜率为 ，
即tan∠MF1F2= ，
即b2= =a2﹣c2，
即c2+ ﹣a2=0，
则 ，
即2e2+3e﹣2=0
解得e= 或e=﹣2（舍去），
即e=
（2）解：由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，
设M（c，y），（y＞0），
则 ，即 ，解得y= ，
∵OD是△MF1F2的中位线，
∴ =4，即b2=4a，
由|MN|=5|F1N|，
则|MF1|=4|F1N|，
解得|DF1|=2|F1N|，
即
设N（x1，y1），由题意知y1＜0，
则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．
即 ，即
代入椭圆方程得 ，
将b2=4a代入得 ，
解得a=7，b= ．
【知识点】椭圆的应用
【解析】【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为 ，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．
21．【答案】（1）解：由f（x）得f′（x）=ex+e﹣x﹣2 ，
即f′（x）≥0，当且仅当ex=e﹣x即x=0时，f′（x）=0，
∴函数f（x）在R上为增函数．
（2）解：g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（ex﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，
则g′（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（ex+e﹣x）+（4b﹣2）]
=2[（ex+e﹣x）2﹣2b（ex+e﹣x）+（4b﹣4）]
=2（ex+e﹣x﹣2）（ex+e﹣x+2﹣2b）．
①∵ex+e﹣x＞2，ex+e﹣x+2＞4，
∴当2b≤4，即b≤2时，g′（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，
从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，
∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．
②当b＞2时，若x满足2＜ex+e﹣x＜2b﹣2即 ，得 ，此时，g′（x）＜0，
又由g（0）=0知，当 时，g（x）＜0，不符合题意．
综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．
（3）解：∵1.4142＜ ＜1.4143，根据（Ⅱ）中g（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（ex﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，
为了凑配ln2，并利用 的近似值，故将ln 即 代入g（x）的解析式中，
得 ．
当b=2时，由g（x）＞0，得 ，
从而 ；
令 ，得 ＞2，当 时，
由g（x）＜0，得 ，得 ．
所以ln2的近似值为0.693．
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】对第（1）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；
对第（2）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g′（x）＞0是否成立”的问题；
对第（3）问，根据第（2）问的结论，设法利用 的近似值，并寻求ln2，于是在b=2及b＞2的情况下分别计算 ，最后可估计ln2的近似值．
22．【答案】（1）证明：连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，
∵PC=2PA，D为PC的中点，
∴PA=PD，
∴∠PAD=∠PDA，
∵∠PDA=∠CDE，
∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，
∴OE⊥BC，
∴E是 的中点，
∴BE=EC；
（2）证明：∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，
∴PA2=PB PC，
∵PC=2PA，
∴PA=2PB，
∴PD=2PB，
∴PB=BD，
∴BD DC=PB 2PB，
∵AD DE=BD DC，
∴AD DE=2PB2．
【知识点】相似三角形的判定；与圆有关的比例线段
【解析】【分析】（1）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是 的中点，从而BE=EC；（2）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD DE=2PB2．
23．【答案】（1）解：由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0， ]，即ρ2=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．
可得C的参数方程为 （t为参数，0≤t≤π）．
（2）解：设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，
∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant= ，t= ．
故D的直角坐标为 ，即（ ， ）
【知识点】参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）利用 即可得出直角坐标方程，利用cos2t+sin2t=1进而得出参数方程．（2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y= x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．
24．【答案】（1）解：证明：∵a＞0，f（x）=|x+ |+|x﹣a|≥|（x+ ）﹣（x﹣a）|=|a+ |=a+ ≥2 =2，
故不等式f（x）≥2成立．
（2）解：∵f（3）=|3+ |+|3﹣a|＜5，
∴当a＞3时，不等式即a+ ＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜ ．
当0＜a≤3时，不等式即 6﹣a+ ＜5，即 a2﹣a﹣1＞0，求得 ＜a≤3．
综上可得，a的取值范围（ ， ）
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）由a＞0，f（x）=|x+ |+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（2）由f（3）=|3+ |+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．
1 / 12014年全国高考理数真题试卷（新课标II卷）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.
1．（2014·新课标II卷理）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（ ）
A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，
∴M∩N={1，2}，
故选：D．
【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．
2．（2014·新课标II卷理）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），
∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，
∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），
则对应的复数，z2=﹣2+i，
则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，
故选：A
【分析】根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．
3．（2014·新课标II卷理）设向量 ， 满足| + |= ，| ﹣ |= ，则 =（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：∵| + |= ，| ﹣ |= ，
∴分别平方得 +2 + =10， ﹣2 + =6，
两式相减得4 =10﹣6=4，
即 =1，
故选：A．
【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．
4．（2014·新课标II卷理）钝角三角形ABC的面积是 ，AB=1，BC= ，则AC=（ ）
A．5 B． C．2 D．1
【答案】B
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是 ，AB=c=1，BC=a= ，
∴S= acsinB= ，即sinB= ，
当B为钝角时，cosB=﹣ =﹣ ，
利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB BC cosB=1+2+2=5，即AC= ，
当B为锐角时，cosB= = ，
利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB BC cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，
此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，
则AC= ．
故选：B．
【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．
5．（2014·新课标II卷理）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）
A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45
【答案】A
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则有题意可得0.75×p=0.6，
解得p=0.8，
故选：A．
【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．
6．（2014·新课标II卷理）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，
组合体体积是：32π 2+22π 4=34π．
底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π
切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为： = ．
故选：C．
【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．
7．（2014·新课标II卷理）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：若x=t=2，
则第一次循环，1≤2成立，则M= ，S=2+3=5，k=2，
第二次循环，2≤2成立，则M= ，S=2+5=7，k=3，
此时3≤2不成立，输出S=7，
故选：D．
【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．
8．（2014·新课标II卷理）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解： ，
∴y′（0）=a﹣1=2，
∴a=3．
故答案选D．
【分析】根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．
9．（2014·新课标II卷理）设x，y满足约束条件 ，则z=2x﹣y的最大值为（ ）
A．10 B．8 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
由z=2x﹣y得y=2x﹣z，
平移直线y=2x﹣z，
由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，
此时z最大．
由 ，解得 ，即C（5，2）
代入目标函数z=2x﹣y，
得z=2×5﹣2=8．
故选：B．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．
10．（2014·新课标II卷理）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由y2=2px，得2p=3，p= ，
则F（ ，0）．
∴过A，B的直线方程为y= （x﹣ ），
即x= y+ ．
联立 ，得4y2﹣12 y﹣9=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1+y2=3 ，y1y2=﹣ ．
∴S△OAB=S△OAF+S△OFB= × |y1﹣y2|= = × = ．
故选：D．
【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．
11．（2014·新课标II卷理）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON，
，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，
∵BC=CA=CC1，
设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO= ，AN= ，MB= = = ，
在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO= = = ．
故选：C．
【分析】画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．
12．（2014·新课标II卷理）设函数f（x）= sin ，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【答案】C
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，f（x0）=± ，且 =kπ+ ，k∈z，即 x0= m．
再由x02+[f（x0）]2＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为 |m|，
∴m2＞ m2+3，∴m2＞4．
求得 m＞2，或m＜﹣2，
故选：C．
【分析】由题意可得，f（x0）=± ，且 =kπ+ ，k∈z，再由题意可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为 |m|，可得m2＞ m2+3，由此求得m的取值范围．
二、填空题：（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）
13．（2014·新课标II卷理）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a= ．
【答案】
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：（x+a）10的展开式的通项公式为 Tr+1= x10﹣r ar，
令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3 =120a3=15，
∴a= ，
故答案为： ．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值．
14．（2014·新课标II卷理）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为 ．
【答案】1
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）=sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos（x+φ）
=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ
=sin[（x+φ）﹣φ]=sinx，
故函数f（x）的最大值为1，
故答案为：1．
【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sinx，从而求得函数的最大值．
15．（2014·新课标II卷理）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是 ．
【答案】（﹣1，3）
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，
∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），
即f（|x﹣1|）＞f（2），
∴|x﹣1|＜2，
解得﹣1＜x＜3，
故答案为：（﹣1，3）
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论．
16．（2014·新课标II卷理）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是 ．
【答案】[﹣1，1]
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），
要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，
则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，
而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，
此时MN=1，
图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1，
∴x0的取值范围是[﹣1，1]．
【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.
17．（2014·新课标II卷理）已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1．
（1）证明{an+ }是等比数列，并求{an}的通项公式；
（2）证明： + +…+ ＜ ．
【答案】（1）证明： =3，
∵ ≠0，
∴数列{an+ }是以首项为 ，公比为3的等比数列；
∴an+ = = ，即 ；
（2）证明：由（1）知 ，
当n≥2时，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴ ＜ = ，
∴当n=1时， 成立，
当n≥2时， + +…+ ＜1+ …+ = = ＜ ．
∴对n∈N+时， + +…+ ＜ ．
【知识点】数列的求和；等比数列的性质
【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即 =常数，又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出{an}的通项公式；（2）将 进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．
18．（2014·新课标II卷理）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（1）证明：PB∥平面AEC；
（2）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD= ，求三棱锥E﹣ACD的体积．
【答案】（1）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，
∵O为BD中点，E为PD中点，
∴EO∥PB，（2分）
EO 平面AEC，PB 平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）
（2）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，
∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，
∴CD⊥平面AMD，
∵二面角D﹣AE﹣C为60°，
∴∠CMD=60°，
∵AP=1，AD= ，∠ADP=30°，
∴PD=2，
E为PD的中点．AE=1，
∴DM= ，
CD= = ．
三棱锥E﹣ACD的体积为： = = ．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（2）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．
19．（2014·新课标II卷理）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：
年份 2007 2008 2009 2010 2011 2014 2013
年份代号t 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
（1）求y关于t的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： = ， = ﹣ ．
【答案】（1）解：由题意， = ×（1+2+3+4+5+6+7）=4，
= ×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，
∴ = = =0.5，
= ﹣ =4.3﹣0.5×4=2.3．
∴y关于t的线性回归方程为 =0.5t+2.3；
（2）解：由（1）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．
将2015年的年份代号t=9代入 =0.5t+2.3，得：
=0.5×9+2.3=6.8，
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元
【知识点】线性回归方程
【解析】【分析】（1）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．（2）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．
20．（2014·新课标II卷理）设F1，F2分别是C： （a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．
（1）若直线MN的斜率为 ，求C的离心率；
（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．
【答案】（1）解：∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，
∴M的横坐标为c，当x=c时，y= ，即M（c， ），
若直线MN的斜率为 ，
即tan∠MF1F2= ，
即b2= =a2﹣c2，
即c2+ ﹣a2=0，
则 ，
即2e2+3e﹣2=0
解得e= 或e=﹣2（舍去），
即e=
（2）解：由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，
设M（c，y），（y＞0），
则 ，即 ，解得y= ，
∵OD是△MF1F2的中位线，
∴ =4，即b2=4a，
由|MN|=5|F1N|，
则|MF1|=4|F1N|，
解得|DF1|=2|F1N|，
即
设N（x1，y1），由题意知y1＜0，
则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．
即 ，即
代入椭圆方程得 ，
将b2=4a代入得 ，
解得a=7，b= ．
【知识点】椭圆的应用
【解析】【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为 ，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．
21．（2014·新课标II卷理）已知函数f（x）=ex﹣e﹣x﹣2x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；
（3）已知1.4142＜ ＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．
【答案】（1）解：由f（x）得f′（x）=ex+e﹣x﹣2 ，
即f′（x）≥0，当且仅当ex=e﹣x即x=0时，f′（x）=0，
∴函数f（x）在R上为增函数．
（2）解：g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（ex﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，
则g′（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（ex+e﹣x）+（4b﹣2）]
=2[（ex+e﹣x）2﹣2b（ex+e﹣x）+（4b﹣4）]
=2（ex+e﹣x﹣2）（ex+e﹣x+2﹣2b）．
①∵ex+e﹣x＞2，ex+e﹣x+2＞4，
∴当2b≤4，即b≤2时，g′（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，
从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，
∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．
②当b＞2时，若x满足2＜ex+e﹣x＜2b﹣2即 ，得 ，此时，g′（x）＜0，
又由g（0）=0知，当 时，g（x）＜0，不符合题意．
综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．
（3）解：∵1.4142＜ ＜1.4143，根据（Ⅱ）中g（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（ex﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，
为了凑配ln2，并利用 的近似值，故将ln 即 代入g（x）的解析式中，
得 ．
当b=2时，由g（x）＞0，得 ，
从而 ；
令 ，得 ＞2，当 时，
由g（x）＜0，得 ，得 ．
所以ln2的近似值为0.693．
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】对第（1）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；
对第（2）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g′（x）＞0是否成立”的问题；
对第（3）问，根据第（2）问的结论，设法利用 的近似值，并寻求ln2，于是在b=2及b＞2的情况下分别计算 ，最后可估计ln2的近似值．
22．（2014·新课标II卷理）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：
（1）BE=EC；
（2）AD DE=2PB2．
【答案】（1）证明：连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，
∵PC=2PA，D为PC的中点，
∴PA=PD，
∴∠PAD=∠PDA，
∵∠PDA=∠CDE，
∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，
∴OE⊥BC，
∴E是 的中点，
∴BE=EC；
（2）证明：∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，
∴PA2=PB PC，
∵PC=2PA，
∴PA=2PB，
∴PD=2PB，
∴PB=BD，
∴BD DC=PB 2PB，
∵AD DE=BD DC，
∴AD DE=2PB2．
【知识点】相似三角形的判定；与圆有关的比例线段
【解析】【分析】（1）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是 的中点，从而BE=EC；（2）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD DE=2PB2．
23．（2014·新课标II卷理）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0， ]
（1）求C的参数方程；
（2）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y= x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．
【答案】（1）解：由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0， ]，即ρ2=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．
可得C的参数方程为 （t为参数，0≤t≤π）．
（2）解：设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，
∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant= ，t= ．
故D的直角坐标为 ，即（ ， ）
【知识点】参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）利用 即可得出直角坐标方程，利用cos2t+sin2t=1进而得出参数方程．（2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y= x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．
四、解答题
24．（2014·新课标II卷理）设函数f（x）=|x+ |+|x﹣a|（a＞0）．
（1）证明：f（x）≥2；
（2）若f（3）＜5，求a的取值范围．
【答案】（1）解：证明：∵a＞0，f（x）=|x+ |+|x﹣a|≥|（x+ ）﹣（x﹣a）|=|a+ |=a+ ≥2 =2，
故不等式f（x）≥2成立．
（2）解：∵f（3）=|3+ |+|3﹣a|＜5，
∴当a＞3时，不等式即a+ ＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜ ．
当0＜a≤3时，不等式即 6﹣a+ ＜5，即 a2﹣a﹣1＞0，求得 ＜a≤3．
综上可得，a的取值范围（ ， ）
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）由a＞0，f（x）=|x+ |+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（2）由f（3）=|3+ |+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．
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