2012年最新预测选修系列解答策略

2012年最新预测选修系列解答策略
命题趋势
几何证明选讲是高考的选考内容，主要考查相似三角形的判定与性质，射影定理，平行线分线段成比例定理；圆的切线定理，切割线定理，相交弦定理，圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等．题目难度不大，以容易题为主．对本部分的考查主要是一道选考解答题，预测2012年仍会如此，难度不会太大．
矩阵与变换主要考查二阶矩阵的基本运算，主要是以解答题的形式出现．预测在2012年高考主要考查(1)矩阵的逆矩阵；(2)利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程．
坐标系与参数方程重点考查直线与圆的极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化；直线，圆与椭圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，题目不难，考查“转化”为目的．预测2012高考中，极坐标、参数方程与直角坐标系间的互化仍是考查的热点，题目容易．
不等式选讲是高考的选考内容之一，主要考查绝对值的几何意义，绝对值不等式的解法以及不等式证明的基本方法(比较法、分析法、综合法)．关于含有绝对值的不等式的问题．预测2012年高考在本部分可能会考查不等式的证明或求最值问题．
备考建议
选考内容由各省市自行选择内容和数量，选修系列包括几何证明选讲（选修4-1）、矩阵与变换（选修4-2）、坐标系与参数方程（选修4-4）、不等式选讲（选修4-5）等几部分内容。纵观近几年来的全国卷与各省市的试卷，试题在选择题、填空题、解答题中都有可能出现，题目不难；通常与其它数学内容联系而构成组合题，主要考查数形结合与分类讨论等数学思想与方法的灵活应用能力。从各地的高考试卷看，考生在备考时，应从下列考点夯实基础，做到以不变应万变：（1）理解三角形和圆的知识．（2）理解直线、圆和圆锥曲线的参数方程及应用．（3）了解矩阵与变换的内容．（4）掌握绝对值不等式、数学归纳法等证明方法。
解答策略
选考题在高考试题中出现，是新课改的一大成果，包括平面几何证明选讲、矩阵与变换、参数方程与极坐标、不等式证明选讲四个专题的解答题各一道，所涉及试题一般比较简单，是大家应着力突破的部分
几何证明选讲是考查同学们推理能力、逻辑思维能力的好资料，题目以证明题为主，特别是一些定理的证明和用多个定理证明一个问题的题目，我们更应注意．
重点把握以下内容：1．射影定理的内容及其证明；2．圆周角与弦切角定理的内容及证明；3．圆幂定理的内容及其证明；4．圆内接四边形的性质与判定；5．平行投影的性质与圆锥曲线的统一定义．
矩阵与变换
1．伸压变换是指沿着特定坐标轴方向伸长或者压缩的变换，我们不能简单地把伸压变换理解为把平面上的点向下压，或者向上拉伸．2．在旋转变换中的θ为一个实数，叫做旋转角．当θ>0时，旋转的方向是逆时针，当θ<0时，旋转的方向则是顺时针．我们一般是讨论逆时针方向．3．投影变换不是一一映射．投影变换不仅仅依赖于投影的目标直线(点)，还依赖于投影的方向．4．矩阵的乘法对应着变换的复合，这样简单的变换可以复合成较为复杂的变换，反过来一些较复杂的几何变换实际上可以分解为若干简单的变换．(可以用二阶矩阵表示的)5．矩阵的乘法与数的乘法之间有着很多本质的区别，同样矩阵乘法的性质与数的乘法之间也有着本质的区别．6．关于特征值与特征向量的讨论与矩阵变换性质、矩阵的乘积、行列式以及线性方程组的解等有密切的联系，或说是所学知识的一个综合使用．本部分的学习在本专题中既是重点，又是难点．大家可先从一些具体的几何变换的不变量入手，体会特征向量是客观存在的，并且是重要的，逐渐从直观到抽象更好地理解特征向量的概念．
1．极点的极径为0，极角为任意角，即极点的坐标不是惟一的．极径ρ的值也允许取负值，极角θ允许取任意角，当ρ<0时，点M(ρ，θ)位于极角θ的终边的反向延长线上，且OM＝|ρ|，在这样的规定下，平面上的点的坐标不是惟一的，即给定极坐标后，可以确定平面上惟一的点，但给出平面上的点，其极坐标却不是惟一的．这有两种情况：①如果所给的点是极点，其极径确定，但极角可以是任意角；②如果所给点M的一个极坐标为(ρ，θ)(ρ≠0)，则(ρ，2kπ＋θ)，(－ρ，(2k＋1)π＋θ)(k∈Z)也都是点M的极坐标．这两种情况都使点的极坐标不惟一，因此在解题的过程中要引起注意．
2．在进行极坐标与直角坐标的转化时，要求极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同，在这个前提下才能用转化公式．同时，在曲线的极坐标方程和直角坐标方程互化时，如遇约分，两边平方，两边同乘以ρ，去分母等变形，应特别注意变形的等价性．
3．对于极坐标方程，需要明确：①曲线上点的极坐标不一定满足方程．如点P(1,1)在方程ρ＝θ表示的曲线上，但点P的其他形式的坐标都不满足方程；②曲线的极坐标方程不惟一，如ρ＝1和ρ＝－1都表示以极点为圆心，半径为1的圆．
4．同一个参数方程，以不同量作为参数，一般表示不同的曲线．
5．任何一个参数方程化为普通方程，从理论上分析都存在扩大取值范围的可能性．从曲线和方程的概念出发，应通过限制普通方程中变量的取值范围，使化简前后的方程表示的是同一条曲线，原则上要利用x＝f(t)，y＝g(t)，借助函数中求值域的方法，以t为自变量，求出x和y的值域，作为普通方程中x和y的取值范围．
6．直线还有其他形式的参数方程，但只有中的参数才具有特定的意义，因此若直线的参数方程是(t是参数，a2＋b2≠1)，则要通过换元(b≥0时，令t′＝t；b<0时，令t′＝－t)将方程化为上述标准方程后再应用上述结论，否则会导致错误．
不等式选讲
1．对于两个不等式的加法，即：a>b，c>d a＋c>b＋d，也就是说两个同向不等式可以相加．但是对于两个不等式相减时，要慎重使用，这时往往转化为两个同向不等式后，再相加．
2．对于不等式的各项取倒数问题，一定要分清各项的符号，对于同号的，可运用深化(2)；若不同号，可根据符号进行判定．
3．解含绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值．常用的方法是：①由定义分段讨论；②利用绝对值不等式的性质；③平方．
4．解含参数的不等式，如果转化不等式的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围有关，就必须分类讨论．注意：①要考虑参数的取值范围；②用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏．5．利用绝对值的定义和几何意义来分析，绝对值的特点是解决带有绝对值符号问题的关键，如何去掉绝对值符号，一定要认真总结规律与方法．6．绝对值不等式的证明通常与放缩法联系在一起，放缩常用如下绝对值不等式：
①|a＋b|≤|a|＋|b|；②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.
7．注意柯西不等式等号成立的条件 a1b2－a2b1＝0，这时我们称(a1，a2)，(b1，b2)成比例，如果b1≠0，b2≠0，那么a1b2－a2b1＝0 ＝.若b1·b2＝0，我们分情况说明：①b1＝b2＝0，则原不等式两边都是0，自然成立；②b1＝0，b2≠0，原不等式化为(a＋a)b≥ab，是自然成立的；③b1≠0，b2＝0，原不等式和②的道理一样，自然成立．正是因为b1·b2＝0时，不等式恒成立，因此我们研究柯西不等式时，总是假定b1·b2≠0，等号成立的条件可写成＝.
典型例题
考点一、几何证明选讲
相似三角形判定定理及性质定理是高考考查的重点之一．除相似三角形的性质定理外，还要注意两个相似形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方，这是相似形的性质，也是经常被考查的知识点，此类问题的求解关键是合理、准确地找到相似比．
例：已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于F，求证：＝.
【证明】　∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝∠BAC＝90°，
∴∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠C＝90°，∴∠1＝∠C，∴△ABD∽△CAD，∴＝.
又∵E是AC的中点，∴DE＝EC，∴∠3＝∠C.又∵∠3＝∠4，∠1＝∠C，∴∠1＝∠4，
又有∠F＝∠F，∴△FBD∽△FDA，∴＝，∴＝.
【名师点睛】三角形相似的证明方法很多，解题时应根据条件，结合图形选择恰当的方法．一般的思考程序是：先找两对内角对应相等；若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．
圆周角、弦切角和圆的切线问题1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．
例：如图所示，⊙O的直径为6，AB为⊙O的直径，C为圆周上一点．BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于D、E，求∠DAC的大小及线段AE的长．
证明：由已知△ABC是直角三角形，易知∠CAB＝30°，由于直线l与⊙O相切，由弦切角定理知∠BCF＝30°，由∠DCA＋∠ACB＋∠BCF＝180°，
知∠DCA＝60°，故在Rt△ADC中，∠DAC＝30°.连结BE，如图所示，
∠EAB＝60°＝∠CBA，则Rt△ABE≌Rt△BAC，所以AE＝BC＝3.
【名师点睛】利用圆的有关性质寻找角与角之间的关系以及利用三角形全等或相似是解决此类问题的关键．
相交弦定理、切割线定理的应用
1．相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．
2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．
例：如图所示，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，连结EB并延长交⊙O1于点C，直线CA交⊙O2于点D.
(1)当点D与点A不重合时，试猜想线段EA＝ED是否成立？证明你的结论；(2)当点D与点A重合时，直线AC与⊙O2有怎样
的位置关系？此时若BC＝2，CE＝8，求⊙O1的直径．
【解】　(1)EA＝ED成立．证明如下：
连结AB，在EA的延长线上取点F，如图(1)所示．
∵AE是⊙O1的切线，切点为A，∴∠FAC＝∠ABC.
∵∠FAC＝∠DAE，∴∠ABC＝∠DAE.
∵∠ABC是⊙O2内接四边形ABED的外角，
∴∠ABC＝∠D，∴∠DAE＝∠D，∴EA＝ED.
(2)当点D与点A重合时，直线CA与⊙O2只有一个公共点，所以直线CA与⊙O2相切．如图(2)所示，由弦切角定理知：∠1＝∠3，∠2＝∠4， 又∠1＝∠2，∴∠3＝∠4＝ ×180°＝90°，∴AC与AE分别为⊙O1和⊙O2的直径，∴由切割线定理知：AC2＝CB·CE，而CB＝2，
CE＝8，∴AC2＝2×8＝16，AC＝4，故⊙O1的直径为4.
【名师点睛】应用相交弦定理、切割线定理及推论的证明题的常见解决方法有：(1)找过渡乘积式证明等积式成立；(2)为三角形相似提供对应边成比例的条件；(3)利用等积式来证明有关线段相等．
考点二、矩阵与变换
几种常见的变换
1．求变换后的解析式常采用数形结合的方法，先观察是属于哪一种变换，然后利用解析几何中的相关点法(亦称转移法)来解．
2．对于已知变换前后的象和原象，要求变换矩阵这类问题，我们显然无法对所有的变换进行一一尝试，用待定系数法解题可起到事半功倍的效果．通过具体的矩阵对平面上给定图形(如正方形、三角形)的变换，应充分地认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影变换．
例：已知△ABC经过矩阵M的变换后变成了△A′B′C′，且A(1,0)，B(1，－1)，C(0，－1)，A′(1,0)，B′(0，－1)． (1)试求出矩阵M，并说明它的变换类型；(2)试求出点C′的坐标．
【解】　(1)设M＝，依题意得 ＝且 ＝，
∴　　∴∴M＝，它是沿x轴方向的切变变换．
(2)∵ ＝，故点C′的坐标是(－1，－1)．
【名师点睛】伸压、反射、切变变换这三种几何变换称为初等变换，对应的变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法对应于变换的复合，一一对应的平面变换都可以看作这三种初等变换的一次或多次的复合．
矩阵的乘法
对于几何意义明确的矩阵变换，应注意几何意义在解题中的应用．还要注意矩阵的知识并不是孤立存在的，解题时应该注意矩阵与其他知识的有机结合．另外对运算律的灵活运用将有助于我们简化运算，但要十分注意的是，有些运算律(如交换律和消去律)在矩阵的乘法运算中并不成立．
例：设矩阵（其中a＞0，b＞0）．（I）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M-1；（II）若曲线C：x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C’：，求a，b的值
解：（I）设矩阵M的逆矩阵，则又，
所以，所以
故所求的逆矩阵
（II）设曲线C上任意一点，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点，
则又点在曲线上，所以,,则
为曲线C的方程，又已知曲线C的方程为又
【名师点睛】在解决通过矩阵进行平面曲线的变换时，变换矩阵可以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后的变量区别清楚，防止混淆．
逆矩阵、特征值及特征向量
如果向量α是属于λ的特征向量，将它乘以非零实数t后所得的新向量tα与向量α共线，故tα也是属于λ的特征向量，因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征值的一个特征向量就可以表示属于这个特征值的共线的所有特征向量了．
例：求矩阵的特征值及对应的特征向量.
解：特征多项式
由，解得 将代入特征方程组，得,可取为属于特征值1=1的一个特征向量同理,时,由,所以可取为属于特征值的一个特征向量．综上所述,矩阵有两个特征值；属于的一个特征向量为，属于的一个特征向量为
【名师点睛】(1)关于特征值问题的一般解法如下：给定矩阵A＝，向量α＝，若有特征值λ，则 ＝λ，即 ＝，所以＝0，即λ2－(a＋d)λ＋(ad－bc)＝0. (2)对于矩阵来说，矩阵的一个特征向量只是属于A的一个特征值；属于矩阵A的不同特征值的特征向量相互之间一定不共线，若α是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量，则对任意的非零常数k，kα也是矩阵A的属于特征值λ的特征向量．
考点三、坐标系与参数方程
极坐极系与直角坐标系的互化
1．极坐标的四要素：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可．
2．极坐标和直角坐标互化关系式或是解决该类问题的关键．
3．若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．
例：在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sinθ上的动点，Q是曲线ρ＝12cos(θ－ )上的动点，试求PQ的最大值．
【解】ρ＝12sinθ化为直角坐标方程为x2＋y2＝12y，即x2＋(y－6)2＝62.ρ＝12cos(θ－)
＝12cosθcos ＋12sinθsin ＝6cosθ＋6sinθ，化为直角坐标方程为x2＋y2－6x－6y＝0，
即(x－3)2＋(y－3)2＝62，两圆圆心距为＝＝6，两圆半径均为6，所以PQ的最大值为6＋2×6＝18.
【名师点睛】圆的极坐标方程，简单类型有ρ＝r，ρ＝2rcosθ，ρ＝2rsinθ.一般形式有ρ＝asin(θ±α)和ρ＝acos(θ±α)．解这类问题，可以将圆的极坐标方程化为直角坐标方程．
参数方程与普通方程的互化
1．化参数方程为普通方程
消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消去法；②加减消去法；③乘除消去法；④三角恒等式消去法．
2．化普通方程为参数方程
只要适当选取参数t，确定x＝φ(t)，再代入普通方程，求得y＝φ(t)，即可化为参数方程
例：在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，(t为参数)，椭圆C的参数方程为.(θ为参数)，试在椭圆C上求一点P，使得点P到直线l的距离最小．
【解】法一：直线l的普通方程为x＋2y－4＝0.设P(2cosθ，sinθ)，点P到直线l的距离为
d＝＝.所以当sin＝1时，d有最小值，
此时sinθ＝sin＝sincos －cossin ＝，cosθ＝cos
＝coscos ＋sinsin ＝.所以点P的坐标为.从而椭圆C上到直线l的距离最小的点P的坐标为.
法二：设与直线l平行的直线l′的方程为x＋2y＝m.当l′与C只有一个公共点且l′与l距离最小时，l′与C的公共点即为所求的点P.椭圆的普通方程为＋y2＝1.由消去x，得8y2－4my＋m2－4＝0.因为l′与C只有一个公共点，所以Δ＝16m2－32(m2－4)＝0.解得m＝2或－2.l′与l的距离为d＝.所以当m＝2时，d最小，此时点P坐标为.
【名师点睛】法一借助了三角函数的知识，较为方便，这也是参数方程的一个优点，其实质是减少了变量的个数，最终归结到某一个变量来研究．
极坐标、参数方程的综合应用
利用极坐标、参数方程与普通方程间的转化，把点、线和曲线等问题转化为熟知内容，进而解决有关问题．
例：（1）已知点c极坐标为，求出以C为圆心，半径r=2的圆的极坐标方程（写出解题过程）；
（2）P是以原点为圆心，r=2的圆上的任意一点，，M是PQ中点，当点P在圆上运动时，求点M的轨迹的参数方程。
（2）依题意
例：在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为．
（I）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
解：（I）把极坐标系下的点化为直角坐标，得P（0，4）。因为点P的直角坐标（0，4）满足直线的方程，所以点P在直线上
（II）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为，从而点Q到直线的距离为
由此得，当时，d取得最小值，且最小值为
【名师点睛】1.平面直角坐标系：需要了解解析几何中的基本知识，如两点间距离公式，椭圆，双曲线，抛物线方程的建立以及一般的求轨迹方程的方法. 求轨迹方程的一般步骤.(1)建立恰当的直角坐标系,设动点M(x,y);(2)根据题目条件,找出动点M所适合的等量关系式;(3)列方程,即利用x,y表示上述等量关系式;(4)化简上述方程为最简形式;(5)检验.验证所得到的方程与曲线是否满足一一对应关系.
求轨迹方程的常用方法有:定义法、待定系数法、直接法、代入法、参数法、几何法等.
2．极坐标与极坐标方程：会在极坐标系中刻画点的位置，体会在极坐标系和直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。
3．柱坐标与球坐标：借助具体的实例（如圆形体育台场的座位、地球的经纬度等）了解在柱坐标系中，球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画空间中点的位置的方法相比较，体会它们的区别.会进行柱坐标,球坐标与直角坐标的互化.
考点四、不等式选讲
绝对值不等式
绝对值不等式的常见类型及其解法
1．形如|f(x)|＜a，|f(x)|＞a(a∈R)型不等式此类不等式的简单解法是等价命题法，即(1)当a＞0时，|f(x)|＜a －a＜f(x)＜a.|f(x)|＞a f(x)＞a或f(x)＜－a.(2)当a＝0时，|f(x)|＜a无解．|f(x)|＞a f(x)≠0. (3)当a＜0时，|f(x)|＜a无解．|f(x)|＞a f(x)有意义．
2．含有两个绝对值的不等式的解法
(1)零点分段法
零点分段法解绝对值不等式的步骤：a.求零点；b.划分区间、去绝对值号；c.分别解去掉绝对值的不等式；d.取每个结果的并集，特别注意在分段时不要漏掉区间的端点值．注意：在利用分类讨论解决含多个绝对值的不等式时，应做到分类不重、不漏；在某个区间上解出不等式后，不要忘了与前提条件求交集．
(2)利用|x－a1|±|x－a2|的几何意义
利用数形结合法，把绝对值问题转化为数轴上的动点x到两个定点a1、a2的距离之和(差)的问题．
例：解下列不等式：
(1)1＜|x－2|≤3；(2)|2x＋5|＞7＋x；(3)|x2－9|≤x＋3；(4)|x－1|＋|x＋2|＜5.
【解】　(1)∵1＜|x－2|≤3，∴1＜x－2≤3或－3≤x－2＜－1，
即3＜x≤5或－1≤x＜1，∴原不等式的解集为{x|3＜x≤5或－1≤x＜1}．
(2)∵|2x＋5|＞7＋x，∴2x＋5＞7＋x或2x＋5＜－7－x，即x＞2或x＜－4，∴原不等式的解集为{x|x＞2或x＜－4}．
(3)∵|x2－9|≤x＋3，∴－x－3≤x2－9≤x＋3，即解之得x＝－3或2≤x≤4，
∴原不等式的解集为{x|x＝－3或2≤x≤4}．
(4)∵|x－1|＋|x＋2|＜5，∴当x≥1时，原不等式等价于x－1＋x＋2＜5，即2x＜4，∴x＜2，
∴1≤x＜2，当－2＜x＜1时，原不等式等价于1－x＋x＋2＜5即3＜5恒成立， ∴－2＜x＜1；
当x≤－2时，原不等式等价于1－x－x－2＜5即x＞－3，∴－3＜x≤－2，
综上所述，原不等式的解集为{x|－3＜x＜2}．
【名师点睛】绝对值不等式的解法主要是转化为不含绝对值的不等式或不等式组处理，而去掉绝对值的方式主要有以下三种：(1)利用常见的等价命题；(2)对绝对值内的式子符号进行讨论；(3)两边平方(必须保证两边都是正数)．
不等式证明
用算术－几何平均不等式与柯西不等式证明不等式时，可直接应用其结论，可将要证的不等式拆成若干个不等式的和或积．
例：设a，b，c为正数且各不相等，求证：＋＋＞.
【证明】　∵a，b，c均为正数，∴a＋b＞0，b＋c＞0，c＋a＞0.
∵2(a＋b＋c)＝(a＋b)＋(b＋c)＋(a＋c)，∴2(a＋b＋c)(＋＋)
＝[()2＋()2＋()2]·[()2＋()2＋()2]
≥(× ＋×＋×)2＝9，∴2 (a＋b＋c)(＋＋)≥9，
当且仅当a＋b＝b＋c＝c＋a，即a＝b＝c时，等号成立．又a，b，c各不相等，等号不成立，
∴2(a＋b＋c)(＋＋)＞9，即＋＋＞.
【名师点睛】证明不等式的方法较多，如比较法、分析法、综合法等，准确选择适当的证明方法是解题的关键，对所证明的不等式整体结构特点要仔细分析才能选准证明方法．
用重要不等式求最大(小)值
用算术－几何平均不等式求最大(小)值，要注意“一正、二定、三相等”．用柯西不等式求最大(小)值，一要创造使用定理的条件，二要注意等号成立的条件．
例：已知实数a，b，c∈R，a＋b＋c＝1，求4a＋4b＋4c2的最小值，并求出取最小值时a，b，c的值．
【解】　由均值不等式，得4a＋4b＋4c2≥3 ＝3 (当且仅当a＝b＝c2时取等号)．
因为a＋b＋c＝1，所以a＋b＝1－c.则a＋b＋c2＝c2－c＋1＝2＋，当c＝时，a＋b＋c2取得最小值.从而当a＝b＝，c＝时，4a＋4b＋4c2取最小值，最小值为3.
【名师点睛】注意利用均值不等式的条件，利用a＋b＋c＝1，转化为二次函数求最值，本题的处理非常巧妙，要注意学习和借鉴．
突破训练
1如图3，是半径为的圆的两条弦，他们相交于
AB的中点P，，，则＝_____．
【解析】因为点P是AB的中点，由垂径定理知， .
在中，.由相交弦定理知，，
即，所以．
2、如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，
且EC=ED．（I）证明：CD//AB；（II）延长CD到F，延长DC到G，
使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆．
解：（I）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，
所以∠EDC=∠EBA.故∠ECD=∠EBA，所以CD//AB.
（II）由（I）知，AE=BE，因为EF=FG，故∠EFD=∠EGC
从而∠FED=∠GEC.
连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE，
又CD//AB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA.
所以∠AFG+∠GBA=180°.故A，B，G，F四点共圆
3、如图，圆与圆内切于点，其半径分别为与，
圆的弦交圆于点（不在上），求证：为定值。
证明：连结AO1，并延长分别交两圆于点Ｅ和点Ｄ连结BD、CE，
因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上，故AD，
AE分别为圆O1，圆O2的直径。
从而，所以BD//CE，
于是所以AB：AC为定值。
4、如图，的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E
（I）证明：（II）若的面积，求的大小。
证明：（Ⅰ）由已知条件，可得因为是同弧上的圆周角，所以故△ABE∽△ADC.
（Ⅱ）因为△ABE∽△ADC，所以，即AB·AC=AD·AE.
又S=AB·ACsin，且S=AD·AE，故AB·ACsin= AD·AE.
则sin=1，又为三角形内角，所以=90°. ……10分
5、已知矩阵，向量，求向量，使得．
解：设，从而解得
6、在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设k为非零实数，矩阵M=,N=，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值。
[解析] 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。满分10分。
解：由题设得由，可知A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（，-2）。计算得△ABC面积的面积是1，△A1B1C1的面积是，则由题设知：。所以k的值为2或-2。
7、已知矩阵M=，，且，
（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求直线在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程。
【解析】（Ⅰ）由题设得，解得；
（Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线上的两（0，0），（1，3），由，得：点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的线性变换下的像是（0，0），（-2，2），从而直线在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为。8、在平面直角坐标系中，求过椭圆（为参数）的右焦点且与直线（为参数）平行的直线的普通方程。
解：由题设知，椭圆的长半轴长，短半轴长，从而，所以右焦点为（4，0），将已知直线的参数方程化为普通方程：故所求直线的斜率为，因此其方程为
9、已知P为半圆C： （为参数，）上的点，点A的坐标为（1,0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为。（I）以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；（II）求直线AM的参数方程。
解：（Ⅰ）由已知，M点的极角为，且M点的极径等于，故点M的极坐标为（，）
（Ⅱ）M点的直角坐标为（），A（0,1）故直线AM的参数方程为（t为参数）
10、在极坐标系中，已知圆与直线3+4+a=0相切，求实数a的值。
解：，圆ρ=2cosθ的普通方程为：，直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：，又圆与直线相切，所以解得：，或。
11、在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的参数方程为（，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=与C1，C2各有一个交点．当=0时，这两个交点间的距离为2，当=时，这两个交点重合．
（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；（II）设当=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当=时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．
解： （I）C1是圆，C2是椭圆. 当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距离为2，所以a=3. 当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），因为这两点重合，所以b=1.
（II）C1，C2的普通方程分别为 当时，射线l与C1交点A1的横坐标为，与C2交点B1的横坐标为 当时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此，四边形A1A2B2B1为梯形.故四边形A1A2B2B1的面积为
12、解不等式：
解：原不等式可化为
解得所以原不等式的解集是
13、已知函数。（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。
【解析】（Ⅰ）由得，解得，
又已知不等式的解集为，所以，解得。
（Ⅱ）当时，，设，于是
=，所以当时，；当时，；当时，。
14、设不等式的解集为M．（I）求集合M；（II）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小．
解：（I）由所以
（II）由（I）和，所以
故
15、已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。
（证法一）因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得 ①所以 ②故.
又 ③所以原不等式成立. 当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立。当且仅当时，③式等号成立。即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。
（证法二）因为a，b，c均为正数，由基本不等式得
所以 ①同理 ②
故 ③所以原不等式成立.
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，时，③式等号成立。即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。