2017年高考文数真题试卷（新课标Ⅲ卷）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2017·新课标Ⅲ卷文）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2017·新课标Ⅲ卷文）复平面内表示复数z=i（﹣2+i）的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2017·新课标Ⅲ卷文）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是（ ）
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
4．（2017·新课标Ⅲ卷文）已知sinα﹣cosα= ，则sin2α=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
5．（2017·新课标Ⅲ卷文）设x，y满足约束条件 则z=x﹣y的取值范围是（ ）
A．[﹣3，0] B．[﹣3，2] C．[0，2] D．[0，3]
6．（2017·新课标Ⅲ卷文）函数f（x）= sin（x+ ）+cos（x﹣ ）的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
7．（2017·新课标Ⅲ卷文）函数y=1+x+ 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2017·新课标Ⅲ卷文）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．（2017·新课标Ⅲ卷文）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）
A．π B． C． D．
10．（2017·新课标Ⅲ卷文）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（ ）
A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC
11．（2017·新课标Ⅲ卷文）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．（2017·新课标Ⅲ卷文）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（ ）
A．﹣ B． C． D．1
二、填空题
13．（2017·新课标Ⅲ卷文）已知向量 =（﹣2，3）， =（3，m），且 ，则m= ．
14．（2017·新课标Ⅲ卷文）双曲线 （a＞0）的一条渐近线方程为y= x，则a= ．
15．（2017·新课标Ⅲ卷文）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b= ，c=3，则A= ．
16．（2017·新课标Ⅲ卷文）设函数f（x）= ，则满足f（x）+f（x﹣ ）＞1的x的取值范围是 ．
三、解答题
17．（2017·新课标Ⅲ卷文）设数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{ }的前n项和．
18．（2017·新课标Ⅲ卷文）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
19．（2017·新课标Ⅲ卷文）如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
20．（2017·新课标Ⅲ卷文）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
21．（2017·新课标Ⅲ卷文）已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＜0时，证明f（x）≤﹣ ﹣2．
四、选做题
22．（2017·新课标Ⅲ卷文）[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为 ，（t为参数），直线l2的参数方程为 ，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0，M为l3与C的交点，求M的极径．
23．（2017·新课标Ⅲ卷文）已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，
∴A∩B={2，4}，
∴A∩B中元素的个数为2．
故选：B．
【分析】利用交集定义先求出A∩B，由此能求出A∩B中元素的个数．
2．【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：z=i（﹣2+i）=﹣2i﹣1对应的点（﹣1，﹣2）位于第三象限．
故选：C．
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
3．【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：由折线图中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：
月接待游客量逐月有增有减，故A错误；
年接待游客量逐年增加，故B正确；
各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；
各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确；
故选：A
【分析】根据折线图中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案．
4．【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：∵sinα﹣cosα= ，
∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=1﹣sin2α= ，
∴sin2α=﹣ ，
故选：A．
【分析】由条件，两边平方，根据二倍角公式和平方关系即可求出．
5．【答案】B
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域
【解析】【解答】解：x，y满足约束条件 的可行域如图：
目标函数z=x﹣y，经过可行域的A，B时，目标函数取得最值，
由 解得A（0，3），
由 解得B（2，0），
目标函数的最大值为：2，最小值为：﹣3，
目标函数的取值范围：[﹣3，2]．
故选：B．
【分析】画出约束条件的可行域，结合平移过程，求解目标函数的范围即可．
6．【答案】A
【知识点】正弦函数的性质；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：函数f（x）= sin（x+ ）+cos（x﹣ ）= sin（x+ ）+cos（﹣x+ ）= sin（x+ ）+sin（x+ ）
= sin（x+ ） ．
故选：A．
【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可．
7．【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：函数y=1+x+ ，可知：f（x）=x+ 是奇函数，所以函数f(x)的图象关于原点对称，
则函数y=1+x+ 的图象关于（0，1）对称，
当x→0+，f（x）＞0，排除A、C，当x=π时，y=1+π，排除B．
故选：D．
【分析】通过函数的解析式，利用函数的奇偶性，结合函数的图象经过的特殊点判断函数的图象即可．
8．【答案】D
【知识点】循环结构；程序框图
【解析】【解答】解：由题可知初始值t=1，M=100，S=0，
要使输出S的值小于91，应满足“t≤N”，
则进入循环体，从而S=100，M=﹣10，t=2，
要使输出S的值小于91，应接着满足“t≤N”，
则进入循环体，从而S=90，M=1，t=3，
若此时输出S，则S的值小于91，故t=3应不满足“t≤N”，跳出循环体，
所以输入的N的最小值为2，
故选：D．
【分析】通过执行程序框图，可得到S的取值情况，进而可得结论．
9．【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，
∴该圆柱底面圆周半径r= = ，
∴该圆柱的体积：V=Sh= = ．
故选：B．
【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r= = ，由此能求出该圆柱的体积．
10．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，
则A1（2，0，2），E（0，1，0），B（2，2，0），D（0，0，0），C1（0，2，2），A（2，0，0），C（0，2，0），
=（﹣2，1，﹣2）， =（0，2，2）， =（﹣2，﹣2，0），
=（﹣2，0，2）， =（﹣2，2，0），
∵ =﹣2， =2， =0， =6，
∴A1E⊥BC1．
故选：C．
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求向量的数量积，得到答案．
11．【答案】A
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，
∴原点到直线的距离 =a，化为：a2=3b2．
∴椭圆C的离心率e= = = ．
故选：A．
【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离 =a，化简即可得出．
12．【答案】C
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（ex﹣1+ ）=0，
所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2=a（ex﹣1+ ）有唯一解，
等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+ ）的图象只有一个交点．
①当a=0时，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；
②当a＜0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
且y=a（ex﹣1+ ）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+ ）的图象的最高点为B（1，2a），
由于2a＜0＜1，此时函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+ ）的图象有两个交点，矛盾；
③当a＞0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
且y=a（ex﹣1+ ）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，
所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+ ）的图象的最低点为B（1，2a），
由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a=1，即a= ，符合条件；
综上所述，a= ，
故选：C．
【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+ ）的图象只有一个交点求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论．
13．【答案】2
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：∵向量 =（﹣2，3）， =（3，m），且 ，
∴ =﹣6+3m=0，
解得m=2．
故答案为：2．
【分析】利用平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质求解．
14．【答案】5
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线 （a＞0）的一条渐近线方程为y= x，
可得 ，解得a=5．
故答案为：5．
【分析】利用双曲线方程，求出渐近线方程，求解a即可．
15．【答案】75°
【知识点】正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：根据正弦定理可得 = ，C=60°，b= ，c=3，
∴sinB= = ，
∵b＜c，
∴B=45°，
∴A=180°﹣B﹣C=180°﹣45°﹣60°=75°，
故答案为：75°．
【分析】根据正弦定理和三角形的内角和计算即可
16．【答案】x＞
【知识点】函数的值域；函数的值
【解析】【解答】解：若x≤0，则x﹣ ≤﹣ ，
则f（x）+f（x﹣ ）＞1等价为x+1+x﹣ +1＞1，即2x＞﹣ ，则x＞ ，
此时 ＜x≤0，
当x＞0时，f（x）=2x＞1，x﹣ ＞﹣ ，
当x﹣ ＞0即x＞ 时，满足f（x）+f（x﹣ ）＞1恒成立，
当0≥x﹣ ＞﹣ ，即 ≥x＞0时，f（x﹣ ）=x﹣ +1=x+ ，
此时f（x）+f（x﹣ ）＞1恒成立，
综上x＞ ，
故答案为：x＞
【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x的取值范围，进行求解即可．
17．【答案】（1）解：数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n．
n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）an﹣1=2（n﹣1）．
∴（2n﹣1）an=2．∴an= ．
当n=1时，a1=2，上式也成立．
∴an= ．
（2） = = ﹣ ．
∴数列{ }的前n项和= + . +…+ =1﹣ = ．
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）利用数列递推关系即可得出．（2） = = ﹣ ．利用裂项相消求和方法即可得出．
18．【答案】（1）解：由前三年六月份各天的最高气温数据，
得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36=54，
根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．
如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，
如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶，
如果最高气温低于20，需求量为200瓶，
∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p= = ．
（2）解：当温度大于等于25℃时，需求量为500，Y=450×2=900元，当温度在[20，25）℃时，需求量为300，Y=300×2﹣（450﹣300）×2=300元，当温度低于20℃时，需求量为200，Y=400﹣（450﹣200）×2=﹣100元，当温度大于等于20时，Y＞0，由前三年六月份各天的最高气温数据得，温度大于等于20℃的天数有：90﹣（2+16）=72，
∴估计Y大于零的概率P= ．
【知识点】频率分布表；用样本的频率分布估计总体分布；概率的意义；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1.）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．
（2.）当温度大于等于25℃时，需求量为500，求出Y=900元；当温度在[20，25）℃时，需求量为300，求出Y=300元；当温度低于20℃时，需求量为200，求出Y=﹣100元，从而当温度大于等于20时，Y＞0，由此能估计估计Y大于零的概率．
19．【答案】（1）证明：取AC中点O，连结DO、BO，
∵△ABC是正三角形，AD=CD，
∴DO⊥AC，BO⊥AC，
∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面BDO，
∵BD 平面BDO，∴AC⊥BD．
（2）解：设AD=CD= ，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，
∴BO= = ，∴BO2+DO2=BD2，∴BO⊥DO，
以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，
则C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0， ，0），A（1，0，0），
设E（a，b，c）， ，（0≤λ≤1），则（a，b，c﹣1）=λ（0， ，﹣1），解得E（0， ，1﹣λ），
∴ =（1， ）， =（﹣1， ），
∵AE⊥EC，∴ =﹣1+3λ2+（1﹣λ）2=0，
由λ∈[0，1]，解得 ，∴DE=BE，
∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，
∵DE=BE，∴S△DCE=S△BCE，
∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质；空间向量的数乘运算；空间向量的数量积运算；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【分析】（1.）取AC中点O，连结DO、BO，推导出DO⊥AC，BO⊥AC，从而AC⊥平面BDO，由此能证明AC⊥BD．
（2.）设AD=CD= ，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，BO= ，推导出BO⊥DO，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，由AE⊥EC，求出DE=BE，由此能求出四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
20．【答案】（1）解：曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，
可设A（x1，0），B（x2，0），
由韦达定理可得x1x2=﹣2，
若AC⊥BC，则kAC kBC=﹣1，
即有 =﹣1，
即为x1x2=﹣1这与x1x2=﹣2矛盾，
故不出现AC⊥BC的情况；
（2）证明：设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0），
由题意可得y=0时，x2+Dx+F=0与x2+mx﹣2=0等价，
可得D=m，F=﹣2，
圆的方程即为x2+y2+mx+Ey﹣2=0，
由圆过C（0，1），可得0+1+0+E﹣2=0，可得E=1，
则圆的方程即为x2+y2+mx+y﹣2=0，
再令x=0，可得y2+y﹣2=0，
解得y=1或﹣2．
即有圆与y轴的交点为（0，1），（0，﹣2），
则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3．
【知识点】用斜率判定两直线垂直；圆的一般方程；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1.）设曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），运用韦达定理，再假设AC⊥BC，运用直线的斜率之积为﹣1，即可判断是否存在这样的情况；
（2.）设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0），由题意可得D=m，F=﹣2，代入（0，1），可得E=1，再令x=0，即可得到圆在y轴的交点，进而得到弦长为定值．
21．【答案】（1）解：因为f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x，
求导f'（x）= +2ax+（2a+1）= = ，（x＞0），
①当a=0时，f'（x）= +1＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＞0，由于x＞0，所以（2ax+1）（x+1）＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增；
③当a＜0时，令f'（x）=0，解得：x=﹣ ．
因为当x∈（0，﹣ ）时，f'（x）＞0、当x∈（﹣ ，+∞）时，f'（x）＜0，
所以y=f（x）在（0，﹣ ）上单调递增、在（﹣ ，+∞）上单调递减．
综上可知：当a≥0时f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＜0时，f（x）在（0，﹣ ）上单调递增、在（﹣ ，+∞）上单调递减；
（2）证明：由（1）可知：当a＜0时f（x）在（0，﹣ ）上单调递增、在（﹣ ，+∞）上单调递减，
所以当x=﹣ 时函数y=f（x）取最大值f（x）max=f（﹣ ）=﹣1﹣ln2﹣ +ln（﹣ ）．
从而要证f（x）≤﹣ ﹣2，即证f（﹣ ）≤﹣ ﹣2，
即证﹣1﹣ln2﹣ +ln（﹣ ）≤﹣ ﹣2，即证﹣ （﹣ ）+ln（﹣ ）≤﹣1+ln2．
令t=﹣ ，则t＞0，问题转化为证明：﹣ t+lnt≤﹣1+ln2．…（*）
令g（t）=﹣ t+lnt，则g'（t）=﹣ + ，
令g'（t）=0可知t=2，则当0＜t＜2时g'（t）＞0，当t＞2时g'（t）＜0，
所以y=g（t）在（0，2）上单调递增、在（2，+∞）上单调递减，
即g（t）≤g（2）=﹣ ×2+ln2=﹣1+ln2，即（*）式成立，
所以当a＜0时，f（x）≤﹣ ﹣2成立．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；一元二次不等式及其解法；分析法的思考过程、特点及应用
【解析】【分析】（1.）题干求导可知f'（x）= （x＞0），分a=0、a＞0、a＜0三种情况讨论f'（x）与0的大小关系可得结论；
（2.）通过（1）可知f（x）max=f（﹣ ）=﹣1﹣ln2﹣ +ln（﹣ ），进而转化可知问题转化为证明：当t＞0时﹣ t+lnt≤﹣1+ln2．进而令g（t）=﹣ t+lnt，利用导数求出y=g（t）的最大值即可．
22．【答案】（1）解：∵直线l1的参数方程为 ，（t为参数），
∴消掉参数t得：直线l1的普通方程为：y=k（x﹣2）①；
又直线l2的参数方程为 ，（m为参数），
同理可得，直线l2的普通方程为：x=﹣2+ky②；
联立①②，消去k得：x2﹣y2=4，即C的普通方程为x2﹣y2=4；
（2）∵l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0，
∴其普通方程为：x+y﹣ =0，
联立 得： ，
∴ρ2=x2+y2= + =5．
∴l3与C的交点M的极径为ρ= ．
【知识点】极坐标系；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程；直线的参数方程
【解析】【分析】解：（1.）分别消掉参数t与m可得直线l1与直线l2的普通方程为y=k（x﹣2）①与x=﹣2+ky②；联立①②，消去k可得C的普通方程为x2﹣y2=4；
（2.）将l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0化为普通方程：x+y﹣ =0，再与曲线C的方程联立，可得 ，即可求得l3与C的交点M的极径为ρ= ．
23．【答案】（1）解：∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ，f（x）≥1，
∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；
当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；
综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．
（2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，
即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x．
由（1）知，g（x）= ，
当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x= ＞﹣1，
∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；
当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x= ∈（﹣1，2），
∴g（x）≤g（ ）=﹣ + ﹣1= ；
当x≥2时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x= ＜2，
∴g（x）≤g（2）=﹣4+2=3=1；
综上，g（x）max= ，
∴m的取值范围为（﹣∞， ]．
【知识点】函数的值域；绝对值三角不等式；含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1.）由于f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集；
（2.）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）max= ，从而可得m的取值范围．
1 / 12017年高考文数真题试卷（新课标Ⅲ卷）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2017·新课标Ⅲ卷文）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，
∴A∩B={2，4}，
∴A∩B中元素的个数为2．
故选：B．
【分析】利用交集定义先求出A∩B，由此能求出A∩B中元素的个数．
2．（2017·新课标Ⅲ卷文）复平面内表示复数z=i（﹣2+i）的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：z=i（﹣2+i）=﹣2i﹣1对应的点（﹣1，﹣2）位于第三象限．
故选：C．
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
3．（2017·新课标Ⅲ卷文）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是（ ）
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：由折线图中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：
月接待游客量逐月有增有减，故A错误；
年接待游客量逐年增加，故B正确；
各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；
各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确；
故选：A
【分析】根据折线图中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案．
4．（2017·新课标Ⅲ卷文）已知sinα﹣cosα= ，则sin2α=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：∵sinα﹣cosα= ，
∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=1﹣sin2α= ，
∴sin2α=﹣ ，
故选：A．
【分析】由条件，两边平方，根据二倍角公式和平方关系即可求出．
5．（2017·新课标Ⅲ卷文）设x，y满足约束条件 则z=x﹣y的取值范围是（ ）
A．[﹣3，0] B．[﹣3，2] C．[0，2] D．[0，3]
【答案】B
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域
【解析】【解答】解：x，y满足约束条件 的可行域如图：
目标函数z=x﹣y，经过可行域的A，B时，目标函数取得最值，
由 解得A（0，3），
由 解得B（2，0），
目标函数的最大值为：2，最小值为：﹣3，
目标函数的取值范围：[﹣3，2]．
故选：B．
【分析】画出约束条件的可行域，结合平移过程，求解目标函数的范围即可．
6．（2017·新课标Ⅲ卷文）函数f（x）= sin（x+ ）+cos（x﹣ ）的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】正弦函数的性质；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：函数f（x）= sin（x+ ）+cos（x﹣ ）= sin（x+ ）+cos（﹣x+ ）= sin（x+ ）+sin（x+ ）
= sin（x+ ） ．
故选：A．
【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可．
7．（2017·新课标Ⅲ卷文）函数y=1+x+ 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：函数y=1+x+ ，可知：f（x）=x+ 是奇函数，所以函数f(x)的图象关于原点对称，
则函数y=1+x+ 的图象关于（0，1）对称，
当x→0+，f（x）＞0，排除A、C，当x=π时，y=1+π，排除B．
故选：D．
【分析】通过函数的解析式，利用函数的奇偶性，结合函数的图象经过的特殊点判断函数的图象即可．
8．（2017·新课标Ⅲ卷文）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【知识点】循环结构；程序框图
【解析】【解答】解：由题可知初始值t=1，M=100，S=0，
要使输出S的值小于91，应满足“t≤N”，
则进入循环体，从而S=100，M=﹣10，t=2，
要使输出S的值小于91，应接着满足“t≤N”，
则进入循环体，从而S=90，M=1，t=3，
若此时输出S，则S的值小于91，故t=3应不满足“t≤N”，跳出循环体，
所以输入的N的最小值为2，
故选：D．
【分析】通过执行程序框图，可得到S的取值情况，进而可得结论．
9．（2017·新课标Ⅲ卷文）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）
A．π B． C． D．
【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，
∴该圆柱底面圆周半径r= = ，
∴该圆柱的体积：V=Sh= = ．
故选：B．
【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r= = ，由此能求出该圆柱的体积．
10．（2017·新课标Ⅲ卷文）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（ ）
A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC
【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，
则A1（2，0，2），E（0，1，0），B（2，2，0），D（0，0，0），C1（0，2，2），A（2，0，0），C（0，2，0），
=（﹣2，1，﹣2）， =（0，2，2）， =（﹣2，﹣2，0），
=（﹣2，0，2）， =（﹣2，2，0），
∵ =﹣2， =2， =0， =6，
∴A1E⊥BC1．
故选：C．
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求向量的数量积，得到答案．
11．（2017·新课标Ⅲ卷文）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，
∴原点到直线的距离 =a，化为：a2=3b2．
∴椭圆C的离心率e= = = ．
故选：A．
【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离 =a，化简即可得出．
12．（2017·新课标Ⅲ卷文）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（ ）
A．﹣ B． C． D．1
【答案】C
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（ex﹣1+ ）=0，
所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2=a（ex﹣1+ ）有唯一解，
等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+ ）的图象只有一个交点．
①当a=0时，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；
②当a＜0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
且y=a（ex﹣1+ ）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+ ）的图象的最高点为B（1，2a），
由于2a＜0＜1，此时函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+ ）的图象有两个交点，矛盾；
③当a＞0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
且y=a（ex﹣1+ ）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，
所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+ ）的图象的最低点为B（1，2a），
由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a=1，即a= ，符合条件；
综上所述，a= ，
故选：C．
【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+ ）的图象只有一个交点求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论．
二、填空题
13．（2017·新课标Ⅲ卷文）已知向量 =（﹣2，3）， =（3，m），且 ，则m= ．
【答案】2
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：∵向量 =（﹣2，3）， =（3，m），且 ，
∴ =﹣6+3m=0，
解得m=2．
故答案为：2．
【分析】利用平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质求解．
14．（2017·新课标Ⅲ卷文）双曲线 （a＞0）的一条渐近线方程为y= x，则a= ．
【答案】5
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线 （a＞0）的一条渐近线方程为y= x，
可得 ，解得a=5．
故答案为：5．
【分析】利用双曲线方程，求出渐近线方程，求解a即可．
15．（2017·新课标Ⅲ卷文）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b= ，c=3，则A= ．
【答案】75°
【知识点】正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：根据正弦定理可得 = ，C=60°，b= ，c=3，
∴sinB= = ，
∵b＜c，
∴B=45°，
∴A=180°﹣B﹣C=180°﹣45°﹣60°=75°，
故答案为：75°．
【分析】根据正弦定理和三角形的内角和计算即可
16．（2017·新课标Ⅲ卷文）设函数f（x）= ，则满足f（x）+f（x﹣ ）＞1的x的取值范围是 ．
【答案】x＞
【知识点】函数的值域；函数的值
【解析】【解答】解：若x≤0，则x﹣ ≤﹣ ，
则f（x）+f（x﹣ ）＞1等价为x+1+x﹣ +1＞1，即2x＞﹣ ，则x＞ ，
此时 ＜x≤0，
当x＞0时，f（x）=2x＞1，x﹣ ＞﹣ ，
当x﹣ ＞0即x＞ 时，满足f（x）+f（x﹣ ）＞1恒成立，
当0≥x﹣ ＞﹣ ，即 ≥x＞0时，f（x﹣ ）=x﹣ +1=x+ ，
此时f（x）+f（x﹣ ）＞1恒成立，
综上x＞ ，
故答案为：x＞
【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x的取值范围，进行求解即可．
三、解答题
17．（2017·新课标Ⅲ卷文）设数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{ }的前n项和．
【答案】（1）解：数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n．
n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）an﹣1=2（n﹣1）．
∴（2n﹣1）an=2．∴an= ．
当n=1时，a1=2，上式也成立．
∴an= ．
（2） = = ﹣ ．
∴数列{ }的前n项和= + . +…+ =1﹣ = ．
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）利用数列递推关系即可得出．（2） = = ﹣ ．利用裂项相消求和方法即可得出．
18．（2017·新课标Ⅲ卷文）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
【答案】（1）解：由前三年六月份各天的最高气温数据，
得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36=54，
根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．
如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，
如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶，
如果最高气温低于20，需求量为200瓶，
∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p= = ．
（2）解：当温度大于等于25℃时，需求量为500，Y=450×2=900元，当温度在[20，25）℃时，需求量为300，Y=300×2﹣（450﹣300）×2=300元，当温度低于20℃时，需求量为200，Y=400﹣（450﹣200）×2=﹣100元，当温度大于等于20时，Y＞0，由前三年六月份各天的最高气温数据得，温度大于等于20℃的天数有：90﹣（2+16）=72，
∴估计Y大于零的概率P= ．
【知识点】频率分布表；用样本的频率分布估计总体分布；概率的意义；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1.）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．
（2.）当温度大于等于25℃时，需求量为500，求出Y=900元；当温度在[20，25）℃时，需求量为300，求出Y=300元；当温度低于20℃时，需求量为200，求出Y=﹣100元，从而当温度大于等于20时，Y＞0，由此能估计估计Y大于零的概率．
19．（2017·新课标Ⅲ卷文）如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
【答案】（1）证明：取AC中点O，连结DO、BO，
∵△ABC是正三角形，AD=CD，
∴DO⊥AC，BO⊥AC，
∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面BDO，
∵BD 平面BDO，∴AC⊥BD．
（2）解：设AD=CD= ，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，
∴BO= = ，∴BO2+DO2=BD2，∴BO⊥DO，
以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，
则C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0， ，0），A（1，0，0），
设E（a，b，c）， ，（0≤λ≤1），则（a，b，c﹣1）=λ（0， ，﹣1），解得E（0， ，1﹣λ），
∴ =（1， ）， =（﹣1， ），
∵AE⊥EC，∴ =﹣1+3λ2+（1﹣λ）2=0，
由λ∈[0，1]，解得 ，∴DE=BE，
∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，
∵DE=BE，∴S△DCE=S△BCE，
∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质；空间向量的数乘运算；空间向量的数量积运算；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【分析】（1.）取AC中点O，连结DO、BO，推导出DO⊥AC，BO⊥AC，从而AC⊥平面BDO，由此能证明AC⊥BD．
（2.）设AD=CD= ，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，BO= ，推导出BO⊥DO，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，由AE⊥EC，求出DE=BE，由此能求出四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
20．（2017·新课标Ⅲ卷文）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
【答案】（1）解：曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，
可设A（x1，0），B（x2，0），
由韦达定理可得x1x2=﹣2，
若AC⊥BC，则kAC kBC=﹣1，
即有 =﹣1，
即为x1x2=﹣1这与x1x2=﹣2矛盾，
故不出现AC⊥BC的情况；
（2）证明：设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0），
由题意可得y=0时，x2+Dx+F=0与x2+mx﹣2=0等价，
可得D=m，F=﹣2，
圆的方程即为x2+y2+mx+Ey﹣2=0，
由圆过C（0，1），可得0+1+0+E﹣2=0，可得E=1，
则圆的方程即为x2+y2+mx+y﹣2=0，
再令x=0，可得y2+y﹣2=0，
解得y=1或﹣2．
即有圆与y轴的交点为（0，1），（0，﹣2），
则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3．
【知识点】用斜率判定两直线垂直；圆的一般方程；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1.）设曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），运用韦达定理，再假设AC⊥BC，运用直线的斜率之积为﹣1，即可判断是否存在这样的情况；
（2.）设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0），由题意可得D=m，F=﹣2，代入（0，1），可得E=1，再令x=0，即可得到圆在y轴的交点，进而得到弦长为定值．
21．（2017·新课标Ⅲ卷文）已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＜0时，证明f（x）≤﹣ ﹣2．
【答案】（1）解：因为f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x，
求导f'（x）= +2ax+（2a+1）= = ，（x＞0），
①当a=0时，f'（x）= +1＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＞0，由于x＞0，所以（2ax+1）（x+1）＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增；
③当a＜0时，令f'（x）=0，解得：x=﹣ ．
因为当x∈（0，﹣ ）时，f'（x）＞0、当x∈（﹣ ，+∞）时，f'（x）＜0，
所以y=f（x）在（0，﹣ ）上单调递增、在（﹣ ，+∞）上单调递减．
综上可知：当a≥0时f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＜0时，f（x）在（0，﹣ ）上单调递增、在（﹣ ，+∞）上单调递减；
（2）证明：由（1）可知：当a＜0时f（x）在（0，﹣ ）上单调递增、在（﹣ ，+∞）上单调递减，
所以当x=﹣ 时函数y=f（x）取最大值f（x）max=f（﹣ ）=﹣1﹣ln2﹣ +ln（﹣ ）．
从而要证f（x）≤﹣ ﹣2，即证f（﹣ ）≤﹣ ﹣2，
即证﹣1﹣ln2﹣ +ln（﹣ ）≤﹣ ﹣2，即证﹣ （﹣ ）+ln（﹣ ）≤﹣1+ln2．
令t=﹣ ，则t＞0，问题转化为证明：﹣ t+lnt≤﹣1+ln2．…（*）
令g（t）=﹣ t+lnt，则g'（t）=﹣ + ，
令g'（t）=0可知t=2，则当0＜t＜2时g'（t）＞0，当t＞2时g'（t）＜0，
所以y=g（t）在（0，2）上单调递增、在（2，+∞）上单调递减，
即g（t）≤g（2）=﹣ ×2+ln2=﹣1+ln2，即（*）式成立，
所以当a＜0时，f（x）≤﹣ ﹣2成立．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；一元二次不等式及其解法；分析法的思考过程、特点及应用
【解析】【分析】（1.）题干求导可知f'（x）= （x＞0），分a=0、a＞0、a＜0三种情况讨论f'（x）与0的大小关系可得结论；
（2.）通过（1）可知f（x）max=f（﹣ ）=﹣1﹣ln2﹣ +ln（﹣ ），进而转化可知问题转化为证明：当t＞0时﹣ t+lnt≤﹣1+ln2．进而令g（t）=﹣ t+lnt，利用导数求出y=g（t）的最大值即可．
四、选做题
22．（2017·新课标Ⅲ卷文）[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为 ，（t为参数），直线l2的参数方程为 ，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0，M为l3与C的交点，求M的极径．
【答案】（1）解：∵直线l1的参数方程为 ，（t为参数），
∴消掉参数t得：直线l1的普通方程为：y=k（x﹣2）①；
又直线l2的参数方程为 ，（m为参数），
同理可得，直线l2的普通方程为：x=﹣2+ky②；
联立①②，消去k得：x2﹣y2=4，即C的普通方程为x2﹣y2=4；
（2）∵l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0，
∴其普通方程为：x+y﹣ =0，
联立 得： ，
∴ρ2=x2+y2= + =5．
∴l3与C的交点M的极径为ρ= ．
【知识点】极坐标系；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程；直线的参数方程
【解析】【分析】解：（1.）分别消掉参数t与m可得直线l1与直线l2的普通方程为y=k（x﹣2）①与x=﹣2+ky②；联立①②，消去k可得C的普通方程为x2﹣y2=4；
（2.）将l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0化为普通方程：x+y﹣ =0，再与曲线C的方程联立，可得 ，即可求得l3与C的交点M的极径为ρ= ．
23．（2017·新课标Ⅲ卷文）已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．
【答案】（1）解：∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ，f（x）≥1，
∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；
当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；
综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．
（2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，
即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x．
由（1）知，g（x）= ，
当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x= ＞﹣1，
∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；
当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x= ∈（﹣1，2），
∴g（x）≤g（ ）=﹣ + ﹣1= ；
当x≥2时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x= ＜2，
∴g（x）≤g（2）=﹣4+2=3=1；
综上，g（x）max= ，
∴m的取值范围为（﹣∞， ]．
【知识点】函数的值域；绝对值三角不等式；含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1.）由于f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集；
（2.）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）max= ，从而可得m的取值范围．
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