2017年高考理数真题试卷（新课标Ⅲ卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2017·新课标Ⅲ卷理）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由 ，解得： 或 ，
∴A∩B的元素的个数是2个，
故选：B．
【分析】解方程组求出元素的个数即可．
2．（2017·新课标Ⅲ卷理）设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：∵（1+i）z=2i，∴（1﹣i）（1+i）z=2i（1﹣i），z=i+1．
则|z|= ．
故选：C．
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
3．（2017·新课标Ⅲ卷理）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是（ ）
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：由折线图中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：
月接待游客量逐月有增有减，故A错误；
年接待游客量逐年增加，故B正确；
各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；
各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确；
故选：A
【分析】根据折线图中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案．
4．（2017·新课标Ⅲ卷理）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为 （ ）
A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．80
【答案】C
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：（2x﹣y）5的展开式的通项公式：Tr+1= （2x）5﹣r（﹣y）r=25﹣r（﹣1）r x5﹣ryr．
令5﹣r=2，r=3，解得r=3．
令5﹣r=3，r=2，解得r=2．
∴（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数= +23× =40．
故选：C．
【分析】（2x﹣y）5的展开式的通项公式：Tr+1= （2x）5﹣r（﹣y）r=25﹣r（﹣1）r x5﹣ryr．令5﹣r=2，r=3，解得r=3．令5﹣r=3，r=2，解得r=2．即可得出．
5．（2017·新课标Ⅲ卷理）已知双曲线C： ﹣ =1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y= x，且与椭圆 + =1有公共焦点，则C的方程为（ ）
A．﹣ =1 B．﹣ =1
C．﹣ =1 D．﹣ =1
【答案】B
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：椭圆 + =1的焦点坐标（±3，0），
则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得c=3，
双曲线C： ﹣ =1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y= x，
可得 ，即 ，可得 = ，解得a=2，b= ，
所求的双曲线方程为： ﹣ =1．
故选：B．
【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程．
6．（2017·新课标Ⅲ卷理）设函数f（x）=cos（x+ ），则下列结论错误的是（ ）
A．f（x）的一个周期为﹣2π
B．y=f（x）的图象关于直线x= 对称
C．f（x+π）的一个零点为x=
D．f（x）在（ ，π）单调递减
【答案】D
【知识点】三角函数的周期性；余弦函数的图象；余弦函数的奇偶性与对称性；余弦函数的单调性
【解析】【解答】解：A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A正确，
B．当x= 时，cos（x+ ）=cos（ + ）=cos =cos3π=﹣1为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x= 对称，故B正确，
C当x= 时，f（ +π）=cos（ +π+ ）=cos =0，则f（x+π）的一个零点为x= ，故C正确，
D．当 ＜x＜π时， ＜x+ ＜ ，此时余弦函数不是单调函数，故D错误，
故选：D
【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可．
7．（2017·新课标Ⅲ卷理）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【知识点】循环结构；程序框图
【解析】【解答】解：由题可知初始值t=1，M=100，S=0，
要使输出S的值小于91，应满足“t≤N”，
则进入循环体，从而S=100，M=﹣10，t=2，
要使输出S的值小于91，应接着满足“t≤N”，
则进入循环体，从而S=90，M=1，t=3，
若此时输出S，则S的值小于91，故t=3应不满足“t≤N”，跳出循环体，
所以输入的N的最小值为2，
故选：D．
【分析】通过执行程序框图，可得到S的取值情况，进而可得结论．
8．（2017·新课标Ⅲ卷文）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）
A．π B． C． D．
【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，
∴该圆柱底面圆周半径r= = ，
∴该圆柱的体积：V=Sh= = ．
故选：B．
【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r= = ，由此能求出该圆柱的体积．
9．（2017·新课标Ⅲ卷理）等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为（ ）
A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．8
【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列概念与表示
【解析】【解答】解：∵等差数列{an}的首项为1，公差不为0．a2，a3，a6成等比数列，
∴ ，
∴（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），且a1=1，d≠0，
解得d=﹣2，
∴{an}前6项的和为 = =﹣24．
故选：A．
【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出{an}前6项的和．
10．（2017·新课标Ⅲ卷文）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，
∴原点到直线的距离 =a，化为：a2=3b2．
∴椭圆C的离心率e= = = ．
故选：A．
【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离 =a，化简即可得出．
11．（2017·新课标Ⅲ卷文）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（ ）
A．﹣ B． C． D．1
【答案】C
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（ex﹣1+ ）=0，
所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2=a（ex﹣1+ ）有唯一解，
等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+ ）的图象只有一个交点．
①当a=0时，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；
②当a＜0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
且y=a（ex﹣1+ ）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+ ）的图象的最高点为B（1，2a），
由于2a＜0＜1，此时函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+ ）的图象有两个交点，矛盾；
③当a＞0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
且y=a（ex﹣1+ ）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，
所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+ ）的图象的最低点为B（1，2a），
由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a=1，即a= ，符合条件；
综上所述，a= ，
故选：C．
【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+ ）的图象只有一个交点求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论．
12．（2017·新课标Ⅲ卷理）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若 =λ +μ ，则λ+μ的最大值为（ ）
A．3 B．2 C． D．2
【答案】A
【知识点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，
则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），
∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，
设圆的半径为r，
∵BC=2，CD=1，
∴BD= =
∴ BC CD= BD r，
∴r= ，
∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2= ，
设点P的坐标为（ cosθ+1， sinθ+2），
∵ =λ +μ ，
∴（ cosθ+1， sinθ﹣2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），
∴ cosθ+1=λ， sinθ+2=2μ，
∴λ+μ= cosθ+ sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，
∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，
∴1≤λ+μ≤3，
故λ+μ的最大值为3，
故选：A
【分析】如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（ cosθ+1， sinθ+2），根据 =λ +μ ，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．
二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2017·新课标Ⅲ卷理）若x，y满足约束条件 ，则z=3x﹣4y的最小值为
【答案】﹣1
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划
【解析】【解答】解：由z=3x﹣4y，得y= x﹣ ，作出不等式对应的可行域（阴影部分），
平移直线y= x﹣ ，通过平移可知当直线y= x﹣ ，
经过点B（1，1）时，直线y= x﹣ 在y轴上的截距最大，此时z取得最小值，
将B的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1，
即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，结合平移过程，求目标函数z=3x﹣4y的最小值．
14．（2017·新课标Ⅲ卷理）设等比数列{an}满足a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，则a4=
【答案】-8
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，
∴a1（1+q）=﹣1，a1（1﹣q2）=﹣3，
解得a1=1，q=﹣2．
则a4=（﹣2）3=﹣8．
故答案为：﹣8．
【分析】设等比数列{an}的公比为q，由a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，可得：a1（1+q）=﹣1，a1（1﹣q2）=﹣3，解方程组即可得出．
15．（2017·新课标Ⅲ卷文）设函数f（x）= ，则满足f（x）+f（x﹣ ）＞1的x的取值范围是 ．
【答案】x＞
【知识点】函数的值域；函数的值
【解析】【解答】解：若x≤0，则x﹣ ≤﹣ ，
则f（x）+f（x﹣ ）＞1等价为x+1+x﹣ +1＞1，即2x＞﹣ ，则x＞ ，
此时 ＜x≤0，
当x＞0时，f（x）=2x＞1，x﹣ ＞﹣ ，
当x﹣ ＞0即x＞ 时，满足f（x）+f（x﹣ ）＞1恒成立，
当0≥x﹣ ＞﹣ ，即 ≥x＞0时，f（x﹣ ）=x﹣ +1=x+ ，
此时f（x）+f（x﹣ ）＞1恒成立，
综上x＞ ，
故答案为：x＞
【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x的取值范围，进行求解即可．
16．（2017·新课标Ⅲ卷理）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所成角的最小值为45°；
④直线AB与a所成角的最小值为60°；
其中正确的是 （填写所有正确结论的编号）
【答案】②③
【知识点】异面直线及其所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，
不妨设图中所示正方体边长为1，
故|AC|=1，|AB|= ，
斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，
B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，
以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，
则D（1，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量 =（0，1，0），| |=1，
直线b的方向单位向量 =（1，0，0），| |=1，
设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′（cosθ，sinθ，0），
其中θ为B′C与CD的夹角，θ∈[0，2π），
∴AB′在运动过程中的向量， =（﹣cosθ，﹣sinθ，1），| |= ，
设 与 所成夹角为α∈[0， ]，
则cosα= = |sinθ|∈[0， ]，
∴α∈[ ， ]，∴③正确，④错误．
设 与 所成夹角为β∈[0， ]，
cosβ= = = |cosθ|，
当 与 夹角为60°时，即α= ，
|sinθ|= = = ，
∵cos2θ+sin2θ=1，∴cosβ= |cosθ|= ，
∵β∈[0， ]，∴β= ，此时 与 的夹角为60°，
∴②正确，①错误．
故答案为：②③．
【分析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1的正方体，|AC|=1，|AB|= ，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
三、解答题
17．（2017·新课标Ⅲ卷理）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+ cosA=0，a=2 ，b=2．
（Ⅰ）求c；
（Ⅱ）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
【答案】解：（Ⅰ）∵sinA+ cosA=0，
∴tanA= ，
∵0＜A＜π，
∴A= ，
由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，
即28=4+c2﹣2×2c×（﹣ ），
即c2+2c﹣24=0，
解得c=﹣6（舍去）或c=4，
（Ⅱ）∵c2=b2+a2﹣2abcosC，
∴16=28+4﹣2×2 ×2×cosC，
∴cosC= ，
∴sinC= ，
∴tanC=
在Rt△ACD中，tanC= ，
∴AD= ，
∴S△ACD= AC AD= ×2× = ，
∵S△ABC= AB AC sin∠BAD= ×4×2× =2 ，
∴S△ABD=S△ABC﹣S△ADC=2 ﹣ =
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（Ⅰ）先根据同角的三角函数的关系求出A，再根据余弦定理即可求出，
（Ⅱ）先根据夹角求出cosC，求出AD的长，再求出△ABC和△ADC的面积，即可求出△ABD的面积．
18．（2017·新课标Ⅲ卷理）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
（Ⅰ）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（Ⅱ）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
【答案】解：（Ⅰ）由题意知X的可能取值为200，300，500，
P（X=200）= =0.2，
P（X=300）= ，
P（X=500）= =0.4，
∴X的分布列为：
X 200 300 500
P 0.2 0.4 0.4
（Ⅱ）当n≤200时，Y=n（6﹣4）=2n≤400，EY≤400，
当200＜n≤300时，
若x=200，则Y=200×（6﹣4）+（n﹣200）×2﹣4）=800﹣2n，
若x≥300，则Y=n（6﹣4）=2n，
∴EY=p（x=200）×（800﹣2n）+p（x≥300）×2n=0.2（800﹣2n）+0.8=1.2n+160，
∴EY≤1.2×300+160=520，
当300＜n≤500时，若x=200，则Y=800﹣2n，
若x=300，则Y=300×（6﹣4）+（n﹣300）×（2﹣4）=1200﹣2n，
∴当n=300时，（EY）max=640﹣0.4×300=520，
若x=500，则Y=2n，
∴EY=0.2×（800﹣2n）+0.4（1200﹣2n）+0.4×2n=640﹣0.4n，
当n≥500时，Y= ，
EY=0.2（800﹣2n）+0.4（1200﹣2n）+0.4（2000﹣2n）=1440﹣2n，
∴EY≤1440﹣2×500=440．
综上，当n=300时，EY最大值为520元．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意知X的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．
（Ⅱ）当n≤200时，Y=n（6﹣4）=2n≤400，EY≤400；当200＜n≤300时，EY≤1.2×300+160=520；当300＜n≤500时，n=300时，（EY）max=640﹣0.4×300=520；当n≥500时，EY≤1440﹣2×500=440．从而得到当n=300时，EY最大值为520元．
19．（2017·新课标Ⅲ卷理）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（Ⅱ）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．
【答案】（Ⅰ）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC．△ABD与△CBD中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．∵△ACD是直角三角形，∴AC是斜边，∴∠ADC=90°．∴DO= AC．∴DO2+BO2=AB2=BD2．∴∠BOD=90°．∴OB⊥OD．又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD．又OB 平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC．（Ⅱ）解：设点D，B到平面ACE的距离分别为hD，hE．则 = ．∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，∴ = = =1．∴点E是BD的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设AB=2．则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0， ，0），E ． =（﹣1，0，1）， = ， =（﹣2，0，0）．设平面ADE的法向量为 =（x，y，z），则 ，即 ，取 = ．同理可得：平面ACE的法向量为 =（0，1， ）．∴cos = = =﹣ ．∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为 ．
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（Ⅰ）如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．△ABC是等边三角形，可得OB⊥AC．由已知可得：△ABD≌△CBD，AD=CD．△ACD是直角三角形，可得AC是斜边，∠ADC=90°．可得DO= AC．利用DO2+BO2=AB2=BD2．可得OB⊥OD．利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明．
（Ⅱ）设点D，B到平面ACE的距离分别为hD，hE．则 = ．根据平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，可得 = = =1，即点E是BD的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．设AB=2．利用法向量的夹角公式即可得出．
20．（2017·新课标Ⅲ卷理）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
（Ⅰ）证明：坐标原点O在圆M上；
（Ⅱ）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．
【答案】解：方法一：证明：（Ⅰ）当直线l的斜率不存在时，则A（2，2），B（2，﹣2），
则 =（2，2）， =（2，﹣2），则 =0，
∴ ⊥ ，
则坐标原点O在圆M上；
当直线l的斜率存在，设直线l的方程y=k（x﹣2），设A（x1，y1），B（x2，y2），
，整理得：k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0，
则x1x2=4，4x1x2=y12y22=（y1y2）2，由y1y2＜0，
则y1y2=﹣4，
由 =x1x2+y1y2=0，
则 ⊥ ，则坐标原点O在圆M上，
综上可知：坐标原点O在圆M上；
方法二：设直线l的方程x=my+2，
，整理得：y2﹣2my﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1y2=﹣4，
则（y1y2）2=4x1x2，则x1x2=4，则 =x1x2+y1y2=0，
则 ⊥ ，则坐标原点O在圆M上，
∴坐标原点O在圆M上；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：x1x2=4，x1+x2= ，y1+y2= ，y1y2=﹣4，
圆M过点P（4，﹣2），则 =（4﹣x1，﹣2﹣y1）， =（4﹣x2，﹣2﹣y2），
由 =0，则（4﹣x1）（4﹣x2）+（﹣2﹣y1）（﹣2﹣y2）=0，
整理得：k2+k﹣2=0，解得：k=﹣2，k=1，
当k=﹣2时，直线l的方程为y=﹣2x+4，
则x1+x2= ，y1+y2=﹣1，
则M（ ，﹣ ），半径为r=丨MP丨= = ，
∴圆M的方程（x﹣ ）2+（y+ ）2= ．
当直线斜率k=1时，直线l的方程为y=x﹣2，
同理求得M（3，1），则半径为r=丨MP丨= ，
∴圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10，
综上可知：直线l的方程为y=﹣2x+4，圆M的方程（x﹣ ）2+（y+ ）2=
或直线l的方程为y=x﹣2，圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10．
【知识点】直线的点斜式方程；直线的斜截式方程；圆的标准方程；点与圆的位置关系；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（Ⅰ）方法一：分类讨论，当直线斜率不存在时，求得A和B的坐标，由 =0，则坐标原点O在圆M上；当直线l斜率存在，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的可得 =0，则坐标原点O在圆M上；
方法二：设直线l的方程x=my+2，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得 =0，则坐标原点O在圆M上；
（Ⅱ）由题意可知： =0，根据向量数量积的坐标运算，即可求得k的值，求得M点坐标，则半径r=丨MP丨，即可求得圆的方程．
21．（2017·新课标Ⅲ卷理）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx．
（Ⅰ）若 f（x）≥0，求a的值；
（Ⅱ）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m，求m的最小值．
【答案】解：（Ⅰ）因为函数f（x）=x﹣1﹣alnx，x＞0，
所以f′（x）=1﹣ = ，且f（1）=0．
所以当a≤0时f′（x）＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以在（0,1）上f(x)<0,这与f（x）≥0矛盾；
当a＞0时令f′（x）=0，解得x=a，
所以y=f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，即f（x）min=f（a），
又因为f（x）min=f（a）≥0，
所以a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当a=1时f（x）=x﹣1﹣lnx≥0，即lnx≤x﹣1，
所以ln（x+1）≤x当且仅当x=0时取等号，
所以ln（1+ ）＜ ，k∈N*,
所以 ，k∈N*．
一方面，因为 + +…+ =1﹣ ＜1，
所以，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜e；
另一方面，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＞（1+ ）（1+ ）（1+ ）= ＞2，
同时当n≥3时，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）∈（2，e）．
因为m为整数，且对于任意正整数n（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m，
所以m的最小值为3．
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；等比数列的前n项和；反证法与放缩法
【解析】【分析】（Ⅰ）通过对函数f（x）=x﹣1﹣alnx（x＞0）求导，分a≤0、a＞0两种情况考虑导函数f′（x）与0的大小关系可得结论；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）可知lnx≤x﹣1，进而取特殊值可知ln（1+ ）＜ ，k∈N*．一方面利用等比数列的求和公式放缩可知（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜e；另一方面可知（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＞2，且当n≥3时，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）∈（2，e）．
22．（2017·新课标Ⅲ卷理）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为 ，（t为参数），直线l2的参数方程为 ，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）写出C的普通方程；
（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0，M为l3与C的交点，求M的极径．
【答案】解：（Ⅰ）∵直线l1的参数方程为 ，（t为参数），
∴消掉参数t得：直线l1的普通方程为：y=k（x﹣2）①；
又直线l2的参数方程为 ，（m为参数），
同理可得，直线l2的普通方程为：x=﹣2+ky②；
联立①②，消去k得：x2﹣y2=4，即C的普通方程为x2﹣y2=4；
（Ⅱ）∵l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0，
∴其普通方程为：x+y﹣ =0，
联立 得： ，
∴ρ2=x2+y2= + =5．
∴l3与C的交点M的极径为ρ= ．
【知识点】极坐标系；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程；直线的参数方程
【解析】【分析】解：（Ⅰ）分别消掉参数t与m可得直线l1与直线l2的普通方程为y=k（x﹣2）①与x=﹣2+ky②；联立①②，消去k可得C的普通方程为x2﹣y2=4；
（Ⅱ）将l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0化为普通方程：x+y﹣ =0，再与曲线C的方程联立，可得 ，即可求得l3与C的交点M的极径为ρ= ．
23．（2017·新课标Ⅲ卷理）已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥1的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ，f（x）≥1，
∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；
当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；
综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．
（Ⅱ）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，
即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x．
由（1）知，g（x）= ，
当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x= ＞﹣1，
∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；
当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x= ∈（﹣1，2），
∴g（x）≤g（ ）=﹣ + ﹣1= ；
当x≥2时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x= ＜2，
∴g（x）≤g（2）=﹣4+2=3=1；
综上，g（x）max= ，
∴m的取值范围为（﹣∞， ]．
【知识点】函数的值域；绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（Ⅰ）由于f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集；
（Ⅱ）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）max= ，从而可得m的取值范围．
1 / 12017年高考理数真题试卷（新课标Ⅲ卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2017·新课标Ⅲ卷理）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．（2017·新课标Ⅲ卷理）设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（ ）
A． B． C． D．2
3．（2017·新课标Ⅲ卷理）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是（ ）
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
4．（2017·新课标Ⅲ卷理）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为 （ ）
A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．80
5．（2017·新课标Ⅲ卷理）已知双曲线C： ﹣ =1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y= x，且与椭圆 + =1有公共焦点，则C的方程为（ ）
A．﹣ =1 B．﹣ =1
C．﹣ =1 D．﹣ =1
6．（2017·新课标Ⅲ卷理）设函数f（x）=cos（x+ ），则下列结论错误的是（ ）
A．f（x）的一个周期为﹣2π
B．y=f（x）的图象关于直线x= 对称
C．f（x+π）的一个零点为x=
D．f（x）在（ ，π）单调递减
7．（2017·新课标Ⅲ卷理）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．（2017·新课标Ⅲ卷文）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）
A．π B． C． D．
9．（2017·新课标Ⅲ卷理）等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为（ ）
A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．8
10．（2017·新课标Ⅲ卷文）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．（2017·新课标Ⅲ卷文）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（ ）
A．﹣ B． C． D．1
12．（2017·新课标Ⅲ卷理）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若 =λ +μ ，则λ+μ的最大值为（ ）
A．3 B．2 C． D．2
二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2017·新课标Ⅲ卷理）若x，y满足约束条件 ，则z=3x﹣4y的最小值为
14．（2017·新课标Ⅲ卷理）设等比数列{an}满足a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，则a4=
15．（2017·新课标Ⅲ卷文）设函数f（x）= ，则满足f（x）+f（x﹣ ）＞1的x的取值范围是 ．
16．（2017·新课标Ⅲ卷理）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所成角的最小值为45°；
④直线AB与a所成角的最小值为60°；
其中正确的是 （填写所有正确结论的编号）
三、解答题
17．（2017·新课标Ⅲ卷理）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+ cosA=0，a=2 ，b=2．
（Ⅰ）求c；
（Ⅱ）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
18．（2017·新课标Ⅲ卷理）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
（Ⅰ）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（Ⅱ）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
19．（2017·新课标Ⅲ卷理）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（Ⅱ）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．
20．（2017·新课标Ⅲ卷理）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
（Ⅰ）证明：坐标原点O在圆M上；
（Ⅱ）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．
21．（2017·新课标Ⅲ卷理）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx．
（Ⅰ）若 f（x）≥0，求a的值；
（Ⅱ）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m，求m的最小值．
22．（2017·新课标Ⅲ卷理）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为 ，（t为参数），直线l2的参数方程为 ，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）写出C的普通方程；
（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0，M为l3与C的交点，求M的极径．
23．（2017·新课标Ⅲ卷理）已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥1的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由 ，解得： 或 ，
∴A∩B的元素的个数是2个，
故选：B．
【分析】解方程组求出元素的个数即可．
2．【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：∵（1+i）z=2i，∴（1﹣i）（1+i）z=2i（1﹣i），z=i+1．
则|z|= ．
故选：C．
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
3．【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：由折线图中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：
月接待游客量逐月有增有减，故A错误；
年接待游客量逐年增加，故B正确；
各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；
各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确；
故选：A
【分析】根据折线图中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案．
4．【答案】C
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：（2x﹣y）5的展开式的通项公式：Tr+1= （2x）5﹣r（﹣y）r=25﹣r（﹣1）r x5﹣ryr．
令5﹣r=2，r=3，解得r=3．
令5﹣r=3，r=2，解得r=2．
∴（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数= +23× =40．
故选：C．
【分析】（2x﹣y）5的展开式的通项公式：Tr+1= （2x）5﹣r（﹣y）r=25﹣r（﹣1）r x5﹣ryr．令5﹣r=2，r=3，解得r=3．令5﹣r=3，r=2，解得r=2．即可得出．
5．【答案】B
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：椭圆 + =1的焦点坐标（±3，0），
则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得c=3，
双曲线C： ﹣ =1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y= x，
可得 ，即 ，可得 = ，解得a=2，b= ，
所求的双曲线方程为： ﹣ =1．
故选：B．
【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程．
6．【答案】D
【知识点】三角函数的周期性；余弦函数的图象；余弦函数的奇偶性与对称性；余弦函数的单调性
【解析】【解答】解：A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A正确，
B．当x= 时，cos（x+ ）=cos（ + ）=cos =cos3π=﹣1为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x= 对称，故B正确，
C当x= 时，f（ +π）=cos（ +π+ ）=cos =0，则f（x+π）的一个零点为x= ，故C正确，
D．当 ＜x＜π时， ＜x+ ＜ ，此时余弦函数不是单调函数，故D错误，
故选：D
【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可．
7．【答案】D
【知识点】循环结构；程序框图
【解析】【解答】解：由题可知初始值t=1，M=100，S=0，
要使输出S的值小于91，应满足“t≤N”，
则进入循环体，从而S=100，M=﹣10，t=2，
要使输出S的值小于91，应接着满足“t≤N”，
则进入循环体，从而S=90，M=1，t=3，
若此时输出S，则S的值小于91，故t=3应不满足“t≤N”，跳出循环体，
所以输入的N的最小值为2，
故选：D．
【分析】通过执行程序框图，可得到S的取值情况，进而可得结论．
8．【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，
∴该圆柱底面圆周半径r= = ，
∴该圆柱的体积：V=Sh= = ．
故选：B．
【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r= = ，由此能求出该圆柱的体积．
9．【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列概念与表示
【解析】【解答】解：∵等差数列{an}的首项为1，公差不为0．a2，a3，a6成等比数列，
∴ ，
∴（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），且a1=1，d≠0，
解得d=﹣2，
∴{an}前6项的和为 = =﹣24．
故选：A．
【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出{an}前6项的和．
10．【答案】A
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，
∴原点到直线的距离 =a，化为：a2=3b2．
∴椭圆C的离心率e= = = ．
故选：A．
【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离 =a，化简即可得出．
11．【答案】C
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（ex﹣1+ ）=0，
所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2=a（ex﹣1+ ）有唯一解，
等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+ ）的图象只有一个交点．
①当a=0时，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；
②当a＜0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
且y=a（ex﹣1+ ）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+ ）的图象的最高点为B（1，2a），
由于2a＜0＜1，此时函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+ ）的图象有两个交点，矛盾；
③当a＞0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
且y=a（ex﹣1+ ）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，
所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+ ）的图象的最低点为B（1，2a），
由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a=1，即a= ，符合条件；
综上所述，a= ，
故选：C．
【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+ ）的图象只有一个交点求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论．
12．【答案】A
【知识点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，
则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），
∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，
设圆的半径为r，
∵BC=2，CD=1，
∴BD= =
∴ BC CD= BD r，
∴r= ，
∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2= ，
设点P的坐标为（ cosθ+1， sinθ+2），
∵ =λ +μ ，
∴（ cosθ+1， sinθ﹣2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），
∴ cosθ+1=λ， sinθ+2=2μ，
∴λ+μ= cosθ+ sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，
∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，
∴1≤λ+μ≤3，
故λ+μ的最大值为3，
故选：A
【分析】如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（ cosθ+1， sinθ+2），根据 =λ +μ ，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．
13．【答案】﹣1
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划
【解析】【解答】解：由z=3x﹣4y，得y= x﹣ ，作出不等式对应的可行域（阴影部分），
平移直线y= x﹣ ，通过平移可知当直线y= x﹣ ，
经过点B（1，1）时，直线y= x﹣ 在y轴上的截距最大，此时z取得最小值，
将B的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1，
即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，结合平移过程，求目标函数z=3x﹣4y的最小值．
14．【答案】-8
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，
∴a1（1+q）=﹣1，a1（1﹣q2）=﹣3，
解得a1=1，q=﹣2．
则a4=（﹣2）3=﹣8．
故答案为：﹣8．
【分析】设等比数列{an}的公比为q，由a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，可得：a1（1+q）=﹣1，a1（1﹣q2）=﹣3，解方程组即可得出．
15．【答案】x＞
【知识点】函数的值域；函数的值
【解析】【解答】解：若x≤0，则x﹣ ≤﹣ ，
则f（x）+f（x﹣ ）＞1等价为x+1+x﹣ +1＞1，即2x＞﹣ ，则x＞ ，
此时 ＜x≤0，
当x＞0时，f（x）=2x＞1，x﹣ ＞﹣ ，
当x﹣ ＞0即x＞ 时，满足f（x）+f（x﹣ ）＞1恒成立，
当0≥x﹣ ＞﹣ ，即 ≥x＞0时，f（x﹣ ）=x﹣ +1=x+ ，
此时f（x）+f（x﹣ ）＞1恒成立，
综上x＞ ，
故答案为：x＞
【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x的取值范围，进行求解即可．
16．【答案】②③
【知识点】异面直线及其所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，
不妨设图中所示正方体边长为1，
故|AC|=1，|AB|= ，
斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，
B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，
以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，
则D（1，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量 =（0，1，0），| |=1，
直线b的方向单位向量 =（1，0，0），| |=1，
设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′（cosθ，sinθ，0），
其中θ为B′C与CD的夹角，θ∈[0，2π），
∴AB′在运动过程中的向量， =（﹣cosθ，﹣sinθ，1），| |= ，
设 与 所成夹角为α∈[0， ]，
则cosα= = |sinθ|∈[0， ]，
∴α∈[ ， ]，∴③正确，④错误．
设 与 所成夹角为β∈[0， ]，
cosβ= = = |cosθ|，
当 与 夹角为60°时，即α= ，
|sinθ|= = = ，
∵cos2θ+sin2θ=1，∴cosβ= |cosθ|= ，
∵β∈[0， ]，∴β= ，此时 与 的夹角为60°，
∴②正确，①错误．
故答案为：②③．
【分析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1的正方体，|AC|=1，|AB|= ，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
17．【答案】解：（Ⅰ）∵sinA+ cosA=0，
∴tanA= ，
∵0＜A＜π，
∴A= ，
由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，
即28=4+c2﹣2×2c×（﹣ ），
即c2+2c﹣24=0，
解得c=﹣6（舍去）或c=4，
（Ⅱ）∵c2=b2+a2﹣2abcosC，
∴16=28+4﹣2×2 ×2×cosC，
∴cosC= ，
∴sinC= ，
∴tanC=
在Rt△ACD中，tanC= ，
∴AD= ，
∴S△ACD= AC AD= ×2× = ，
∵S△ABC= AB AC sin∠BAD= ×4×2× =2 ，
∴S△ABD=S△ABC﹣S△ADC=2 ﹣ =
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（Ⅰ）先根据同角的三角函数的关系求出A，再根据余弦定理即可求出，
（Ⅱ）先根据夹角求出cosC，求出AD的长，再求出△ABC和△ADC的面积，即可求出△ABD的面积．
18．【答案】解：（Ⅰ）由题意知X的可能取值为200，300，500，
P（X=200）= =0.2，
P（X=300）= ，
P（X=500）= =0.4，
∴X的分布列为：
X 200 300 500
P 0.2 0.4 0.4
（Ⅱ）当n≤200时，Y=n（6﹣4）=2n≤400，EY≤400，
当200＜n≤300时，
若x=200，则Y=200×（6﹣4）+（n﹣200）×2﹣4）=800﹣2n，
若x≥300，则Y=n（6﹣4）=2n，
∴EY=p（x=200）×（800﹣2n）+p（x≥300）×2n=0.2（800﹣2n）+0.8=1.2n+160，
∴EY≤1.2×300+160=520，
当300＜n≤500时，若x=200，则Y=800﹣2n，
若x=300，则Y=300×（6﹣4）+（n﹣300）×（2﹣4）=1200﹣2n，
∴当n=300时，（EY）max=640﹣0.4×300=520，
若x=500，则Y=2n，
∴EY=0.2×（800﹣2n）+0.4（1200﹣2n）+0.4×2n=640﹣0.4n，
当n≥500时，Y= ，
EY=0.2（800﹣2n）+0.4（1200﹣2n）+0.4（2000﹣2n）=1440﹣2n，
∴EY≤1440﹣2×500=440．
综上，当n=300时，EY最大值为520元．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意知X的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．
（Ⅱ）当n≤200时，Y=n（6﹣4）=2n≤400，EY≤400；当200＜n≤300时，EY≤1.2×300+160=520；当300＜n≤500时，n=300时，（EY）max=640﹣0.4×300=520；当n≥500时，EY≤1440﹣2×500=440．从而得到当n=300时，EY最大值为520元．
19．【答案】（Ⅰ）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC．△ABD与△CBD中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．∵△ACD是直角三角形，∴AC是斜边，∴∠ADC=90°．∴DO= AC．∴DO2+BO2=AB2=BD2．∴∠BOD=90°．∴OB⊥OD．又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD．又OB 平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC．（Ⅱ）解：设点D，B到平面ACE的距离分别为hD，hE．则 = ．∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，∴ = = =1．∴点E是BD的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设AB=2．则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0， ，0），E ． =（﹣1，0，1）， = ， =（﹣2，0，0）．设平面ADE的法向量为 =（x，y，z），则 ，即 ，取 = ．同理可得：平面ACE的法向量为 =（0，1， ）．∴cos = = =﹣ ．∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为 ．
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（Ⅰ）如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．△ABC是等边三角形，可得OB⊥AC．由已知可得：△ABD≌△CBD，AD=CD．△ACD是直角三角形，可得AC是斜边，∠ADC=90°．可得DO= AC．利用DO2+BO2=AB2=BD2．可得OB⊥OD．利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明．
（Ⅱ）设点D，B到平面ACE的距离分别为hD，hE．则 = ．根据平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，可得 = = =1，即点E是BD的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．设AB=2．利用法向量的夹角公式即可得出．
20．【答案】解：方法一：证明：（Ⅰ）当直线l的斜率不存在时，则A（2，2），B（2，﹣2），
则 =（2，2）， =（2，﹣2），则 =0，
∴ ⊥ ，
则坐标原点O在圆M上；
当直线l的斜率存在，设直线l的方程y=k（x﹣2），设A（x1，y1），B（x2，y2），
，整理得：k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0，
则x1x2=4，4x1x2=y12y22=（y1y2）2，由y1y2＜0，
则y1y2=﹣4，
由 =x1x2+y1y2=0，
则 ⊥ ，则坐标原点O在圆M上，
综上可知：坐标原点O在圆M上；
方法二：设直线l的方程x=my+2，
，整理得：y2﹣2my﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1y2=﹣4，
则（y1y2）2=4x1x2，则x1x2=4，则 =x1x2+y1y2=0，
则 ⊥ ，则坐标原点O在圆M上，
∴坐标原点O在圆M上；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：x1x2=4，x1+x2= ，y1+y2= ，y1y2=﹣4，
圆M过点P（4，﹣2），则 =（4﹣x1，﹣2﹣y1）， =（4﹣x2，﹣2﹣y2），
由 =0，则（4﹣x1）（4﹣x2）+（﹣2﹣y1）（﹣2﹣y2）=0，
整理得：k2+k﹣2=0，解得：k=﹣2，k=1，
当k=﹣2时，直线l的方程为y=﹣2x+4，
则x1+x2= ，y1+y2=﹣1，
则M（ ，﹣ ），半径为r=丨MP丨= = ，
∴圆M的方程（x﹣ ）2+（y+ ）2= ．
当直线斜率k=1时，直线l的方程为y=x﹣2，
同理求得M（3，1），则半径为r=丨MP丨= ，
∴圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10，
综上可知：直线l的方程为y=﹣2x+4，圆M的方程（x﹣ ）2+（y+ ）2=
或直线l的方程为y=x﹣2，圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10．
【知识点】直线的点斜式方程；直线的斜截式方程；圆的标准方程；点与圆的位置关系；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（Ⅰ）方法一：分类讨论，当直线斜率不存在时，求得A和B的坐标，由 =0，则坐标原点O在圆M上；当直线l斜率存在，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的可得 =0，则坐标原点O在圆M上；
方法二：设直线l的方程x=my+2，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得 =0，则坐标原点O在圆M上；
（Ⅱ）由题意可知： =0，根据向量数量积的坐标运算，即可求得k的值，求得M点坐标，则半径r=丨MP丨，即可求得圆的方程．
21．【答案】解：（Ⅰ）因为函数f（x）=x﹣1﹣alnx，x＞0，
所以f′（x）=1﹣ = ，且f（1）=0．
所以当a≤0时f′（x）＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以在（0,1）上f(x)<0,这与f（x）≥0矛盾；
当a＞0时令f′（x）=0，解得x=a，
所以y=f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，即f（x）min=f（a），
又因为f（x）min=f（a）≥0，
所以a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当a=1时f（x）=x﹣1﹣lnx≥0，即lnx≤x﹣1，
所以ln（x+1）≤x当且仅当x=0时取等号，
所以ln（1+ ）＜ ，k∈N*,
所以 ，k∈N*．
一方面，因为 + +…+ =1﹣ ＜1，
所以，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜e；
另一方面，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＞（1+ ）（1+ ）（1+ ）= ＞2，
同时当n≥3时，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）∈（2，e）．
因为m为整数，且对于任意正整数n（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m，
所以m的最小值为3．
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；等比数列的前n项和；反证法与放缩法
【解析】【分析】（Ⅰ）通过对函数f（x）=x﹣1﹣alnx（x＞0）求导，分a≤0、a＞0两种情况考虑导函数f′（x）与0的大小关系可得结论；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）可知lnx≤x﹣1，进而取特殊值可知ln（1+ ）＜ ，k∈N*．一方面利用等比数列的求和公式放缩可知（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜e；另一方面可知（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＞2，且当n≥3时，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）∈（2，e）．
22．【答案】解：（Ⅰ）∵直线l1的参数方程为 ，（t为参数），
∴消掉参数t得：直线l1的普通方程为：y=k（x﹣2）①；
又直线l2的参数方程为 ，（m为参数），
同理可得，直线l2的普通方程为：x=﹣2+ky②；
联立①②，消去k得：x2﹣y2=4，即C的普通方程为x2﹣y2=4；
（Ⅱ）∵l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0，
∴其普通方程为：x+y﹣ =0，
联立 得： ，
∴ρ2=x2+y2= + =5．
∴l3与C的交点M的极径为ρ= ．
【知识点】极坐标系；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程；直线的参数方程
【解析】【分析】解：（Ⅰ）分别消掉参数t与m可得直线l1与直线l2的普通方程为y=k（x﹣2）①与x=﹣2+ky②；联立①②，消去k可得C的普通方程为x2﹣y2=4；
（Ⅱ）将l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0化为普通方程：x+y﹣ =0，再与曲线C的方程联立，可得 ，即可求得l3与C的交点M的极径为ρ= ．
23．【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ，f（x）≥1，
∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；
当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；
综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．
（Ⅱ）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，
即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x．
由（1）知，g（x）= ，
当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x= ＞﹣1，
∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；
当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x= ∈（﹣1，2），
∴g（x）≤g（ ）=﹣ + ﹣1= ；
当x≥2时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x= ＜2，
∴g（x）≤g（2）=﹣4+2=3=1；
综上，g（x）max= ，
∴m的取值范围为（﹣∞， ]．
【知识点】函数的值域；绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（Ⅰ）由于f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集；
（Ⅱ）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）max= ，从而可得m的取值范围．
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