2017年高考理数真题试卷（新课标Ⅱ卷）

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…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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2017年高考理数真题试卷（新课标Ⅱ卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（共12题；共60分）
1.
=（???
）
A.?1+2i???????????????????????????B.?1﹣2i???????????????????????????C.?2+i???????????????????????????D.?2﹣i
【答案】
D
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：
=
=
=2﹣i，
故选
D．
【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i的幂运算性质，求出结果．
2.设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（???
）
A.?{1，﹣3}??????????????????????B.?{1，0}??????????????????????C.?{1，3}??????????????????????D.?{1，5}
【答案】
C
【考点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．
若A∩B={1}，则1∈A且1∈B，
可得1﹣4+m=0，解得m=3，
即有B={x|x2﹣4x+3=0}={1，3}．
故选：C．
【分析】由交集的定义可得1∈A且1∈B，代入二次方程，求得m，再解二次方程可得集合B．
3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（???
）
A.?1盏??????????????????????????????B.?3盏??????????????????????????????C.?5盏??????????????????????????????D.?9盏
【答案】
B
【考点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯，
∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，
∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，
又总共有灯381盏，
∴381=
=127a，解得a=3，
则这个塔顶层有3盏灯，
故选B．
【分析】设这个塔顶层有a盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n项公式列出方程，求出a的值．
4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（???
）
A.?90π????????????????????????????B.?63π????????????????????????????C.?42π????????????????????????????D.?36π
【答案】
B
【考点】由三视图求面积、体积，由三视图还原实物图，棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，
V=π?32×10﹣
?π?32×6=63π，
故选：B．
【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，即可求出几何体的体积．
5.设x，y满足约束条件
，则z=2x+y的最小值是（???
）
A.?﹣15???????????????????????????????B.?﹣9???????????????????????????????C.?1???????????????????????????????D.?9
【答案】
A
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划
【解析】【解答】解：x、y满足约束条件
的可行域如图：
z=2x+y
经过可行域的A时，目标函数取得最小值，
由
解得A（﹣6，﹣3），
则z=2x+y
的最小值是：﹣15．
故选：A．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可．
6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（???
）
A.?12种???????????????????????????B.?18种???????????????????????????C.?24种???????????????????????????D.?36种
【答案】
D
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：4项工作分成3组，可得：
=6，
安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，
可得：6×
=36种．
故选：D．
【分析】把工作分成3组，然后安排工作方式即可．
7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（???
）
A.?乙可以知道四人的成绩??????????????????????????B.?丁可以知道四人的成绩
C.?乙、丁可以知道对方的成绩???????????????????D.?乙、丁可以知道自己的成绩
【答案】
D
【考点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，
甲不知自己的成绩
→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）
→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩
→丁看到甲、丁中也为一优一良，丁知自己的成绩，
故选：D．
【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案
8.执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（???
）
A.?2??????????????????????????????????B.?3??????????????????????????????????C.?4??????????????????????????????????D.?5
【答案】
B
【考点】循环结构，程序框图
【解析】【解答】解：执行程序框图，有S=0，k=1，a=﹣1，代入循环，
第一次满足循环，S=﹣1，a=1，k=2；
满足条件，第二次满足循环，S=1，a=﹣1，k=3；
满足条件，第三次满足循环，S=﹣2，a=1，k=4；
满足条件，第四次满足循环，S=2，a=﹣1，k=5；
满足条件，第五次满足循环，S=﹣3，a=1，k=6；
满足条件，第六次满足循环，S=3，a=﹣1，k=7；
7≤6不成立，退出循环输出，S=3；
故选：B．
【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k值，当k=7时，程序终止即可得到结论．
9.若双曲线C：
﹣
=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（???
）
A.?2??????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
【答案】
A
【考点】直线与圆相交的性质，双曲线的简单性质，圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：双曲线C：
﹣
=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，
圆（x﹣2）2+y2=4的圆心（2，0），半径为：2，
双曲线C：
﹣
=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，
可得圆心到直线的距离为：
=
，
解得：
，可得e2=4，即e=2．
故选：A．
【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．
10.已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（???
）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
【答案】
C
【考点】异面直线及其所成的角，余弦定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，
则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角
（因异面直线所成角为（0，
]），
可知MN=
AB1=
，
NP=
BC1=
；
作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；
∵PQ=1，MQ=
AC，
△ABC中，由余弦定理得
AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cos∠ABC
=4+1﹣2×2×1×（﹣
）
=7，
∴AC=
，
∴MQ=
；
在△MQP中，MP=
=
；
在△PMN中，由余弦定理得
cos∠MNP=
=
=﹣
；
又异面直线所成角的范围是（0，
]，
∴AB1与BC1所成角的余弦值为
．
【分析】设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，得出AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP和∠MNP的余弦值即可．
11.若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（???
）
A.?﹣1???????????????????????????B.?﹣2e﹣3???????????????????????????C.?5e﹣3???????????????????????????D.?1
【答案】
A
【考点】导数的运算，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1
，
可得f′（x）=（2x+a）ex﹣1+（x2+ax﹣1）ex﹣1
，
x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，
可得：﹣4+a+（3﹣2a）=0．
解得a=﹣1．
可得f′（x）=（2x﹣1）ex﹣1+（x2﹣x﹣1）ex﹣1
，
=（x2+x﹣2）ex﹣1
，
函数的极值点为：x=﹣2，x=1，
当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函数，
x=1时，函数取得极小值：f（1）=（12﹣1﹣1）e1﹣1=﹣1．
故选：A．
【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出a，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可．
12.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则
?（
+
）的最小值是（???
）
A.?﹣2????????????????????????????B.?﹣
????????????????????????????C.?﹣
????????????????????????????D.?﹣1
【答案】
B
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，
则A（0，
），B（﹣1，0），C（1，0），
设P（x，y），则
=（﹣x，
﹣y），
=（﹣1﹣x，﹣y），
=（1﹣x，﹣y），
则
?（
+
）=2x2﹣2
y+2y2=2[x2+（y﹣
）2﹣
]
∴当x=0，y=
时，取得最小值2×（﹣
）=﹣
，
故选：B
【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.（共4题；共20分）
13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX=________．
【答案】
1.96
【考点】离散型随机变量的期望与方差，二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.02，n=100，
则DX=npq=np（1﹣p）=100×0.02×0.98=1.96．
故答案为：1.96．
【分析】判断概率满足的类型，然后求解方差即可．
14.函数f（x）=sin2x+
cosx﹣
（x∈[0，
]）的最大值是________．
【答案】
1
【考点】二次函数在闭区间上的最值，三角函数的最值，同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：f（x）=sin2x+
cosx﹣
=1﹣cos2x+
cosx﹣
，
令cosx=t且t∈[0，1]，
则f（t）=﹣t2+
+
=﹣（t﹣
）2+1，
当t=
时，f（t）max=1，
即f（x）的最大值为1，
故答案为：1
【分析】同角的三角函数的关系以及二次函数的性质即可求出．
15.等差数列{an}的前n项和为Sn
，
a3=3，S4=10，则
=________．
【答案】
【考点】等差数列的前n项和，数列的求和
【解析】【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn
，
a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，
可得a2=2，数列的首项为1，公差为1，
Sn=
，
=
，
则
=2[1﹣
+
+…+
]=2（1﹣
）=
．
故答案为：
．
【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求解即可．
16.已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|=________．
【答案】
6
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，
可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：
，
|FN|=2|FM|=2
=6．
故答案为：6．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解即可．
三、解答题（共7题；共80分）
17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2
．
（Ⅰ）求cosB；
（Ⅱ）若a+c=6，△ABC面积为2，求b．
【答案】
解：（Ⅰ）sin（A+C）=8sin2
，
∴sinB=4（1﹣cosB），
∵sin2B+cos2B=1，
∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，
∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，
∴cosB=
；
（Ⅱ）由（1）可知sinB=
，
∵S△ABC=
ac?sinB=2，
∴ac=
，
∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2×
×
=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，
∴b=2．
【考点】二倍角的正弦公式，同角三角函数间的基本关系，运用诱导公式化简求值，余弦定理，三角形中的几何计算
【解析】【分析】（Ⅰ）利用三角形的内角和定理可知A+C=π﹣B，再利用诱导公式化简sin（A+C），利用降幂公式化简8sin2
，结合sin2B+cos2B=1，求出cosB，
（Ⅱ）由（1）可知sinB=
，利用勾面积公式求出ac，再利用余弦定理即可求出b．
18.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100
个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：
（Ⅰ）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；
（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg????????
????????
箱产量≥50kg
旧养殖法
?????????
?
新养殖法
??????????
（Ⅲ）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．
附：
P（K2≥k）??
0.050
0.010??????????
0.001???????????
K
3.841?????
6.635????
10.828???
K2=
．
【答案】
解：（Ⅰ）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”，由P（A）=P（BC）=P（B）P（C），则旧养殖法的箱产量低于50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62，故P（B）的估计值0.62，新养殖法的箱产量不低于50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）×5=0.66，故P（C）的估计值为，则事件A的概率估计值为P（A）=P（B）P（C）=0.62×0.66=0.4092；∴A发生的概率为0.4092；（Ⅱ）2×2列联表：
箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
总计
旧养殖法
62
38
100
新养殖法
34
66
100
总计
96
104
200
则K2=
≈15.705，由15.705＞6.635，∴有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（Ⅲ）由题意可知：方法一：
=5×（37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+52.5×0.068+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008），=5×10.47，=52.35（kg）．新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）方法二：由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的面积：（0.004+0.020+0.044）×5=0.034，箱产量低于55kg的直方图面积为：（0.004+0.020+0.044+0.068）×5=0.68＞0.5，故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+
≈52.35（kg），所以新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）．
【考点】频率分布直方图，用样本的数字特征估计总体的数字特征，独立性检验，相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可知：P（A）=P（BC）=P（B）P（C），分布求得发生的频率，即可求得其概率；
（Ⅱ）完成2×2列联表：求得观测值，与参考值比较，即可求得有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
（Ⅲ）根据频率分布直方图即可求得其平均数．
19.如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=
AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．
（Ⅰ）证明：直线CE∥平面PAB；
（Ⅱ）点M在棱PC
上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．
【答案】
（Ⅰ）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以EF
AD，AB=BC=
AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥
AD，∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF?平面PAB，CF?平面PAB，∴直线CE∥平面PAB；（Ⅱ）解：四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=
AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1，OP=
，∴∠PCO=60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°，可得：BN=MN，CN=
MN，BC=1，可得：1+
BN2=BN2
，
BN=
，MN=
，作NQ⊥AB于Q，连接MQ，所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ=
=
，二面角M﹣AB﹣D的余弦值为：
=
．
【考点】直线与平面平行的判定，二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（Ⅰ）取PA的中点F，连接EF，BF，通过证明CE∥BF，利用直线与平面平行的判定定理证明即可．
（Ⅱ）利用已知条件转化求解M到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解二面角M﹣AB﹣D的余弦值即可．
20.设O为坐标原点，动点M在椭圆C：
+y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足
=
．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设点Q在直线x=﹣3上，且
?
=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
【答案】
解：（Ⅰ）设M（x0
，
y0），由题意可得N（x0
，
0），
设P（x，y），由点P满足
=
．
可得（x﹣x0
，
y）=
（0，y0），
可得x﹣x0=0，y=
y0
，
即有x0=x，y0=
，
代入椭圆方程
+y2=1，可得
+
=1，
即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2；
（Ⅱ）证明：设Q（﹣3，m），P（
cosα，
sinα），（0≤α＜2π），
?
=1，可得（
cosα，
sinα）?（﹣3﹣
cosα，m﹣
sinα）=1，
即为﹣3
cosα﹣2cos2α+
msinα﹣2sin2α=1，
解得m=
，
即有Q（﹣3，
），
椭圆
+y2=1的左焦点F（﹣1，0），
由kOQ=﹣
，
kPF=
，
由kOQ?kPF=﹣1，
可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
【考点】数量积的坐标表达式，斜率的计算公式，两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，轨迹方程，同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（Ⅰ）设M（x0
，
y0），由题意可得N（x0
，
0），设P（x，y），运用向量的坐标运算，结合M满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程；
（Ⅱ）设Q（﹣3，m），P（
cosα，
sinα），（0≤α＜2π），运用向量的数量积的坐标表示，可得m，即有Q的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ，PF的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证．
21.已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0
，
且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2
．
【答案】
（Ⅰ）解：因为f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx=x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），
则f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，
因为h′（x）=a﹣
，且当0＜x＜
时h′（x）＜0、当x＞
时h′（x）＞0，
所以h（x）min=h（
），
又因为h（1）=a﹣a﹣ln1=0，
所以
=1，解得a=1；
（Ⅱ）证明：由（1）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，f′（x）=2x﹣2﹣lnx，
令f′（x）=0，可得2x﹣2﹣lnx=0，记t（x）=2x﹣2﹣lnx，则t′（x）=2﹣
，
令t′（x）=0，解得：x=
，
所以t（x）在区间（0，
）上单调递减，在（
，+∞）上单调递增，
所以t（x）min=t（
）=ln2﹣1＜0，从而t（x）=0有解，即f′（x）=0存在两根x0
，
x2
，
且不妨设f′（x）在（0，x0）上为正、在（x0
，
x2）上为负、在（x2
，
+∞）上为正，
所以f（x）必存在唯一极大值点x0
，
且2x0﹣2﹣lnx0=0，
所以f（x0）=
﹣x0﹣x0lnx0=
﹣x0+2x0﹣2
=x0﹣
，
由x0＜
可知f（x0）＜（x0﹣
）max=﹣
+
=
；
由f′（
）＜0可知x0＜
＜
，
所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0
，
）上单调递减，
所以f（x0）＞f（
）=﹣
+
=
＞
；
综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0
，
且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2
．
【考点】导数的运算，利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值，导数在最大值、最小值问题中的应用，不等式的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）通过分析可知f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，进而利用h′（x）=a﹣
可得h（x）min=h（
），从而可得结论；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，记t（x）=f′（x）=2x﹣2﹣lnx，解不等式可知t（x）min=t（
）=ln2﹣1＜0，从而可知f′（x）=0存在两根x0
，
x2
，
利用f（x）必存在唯一极大值点x0及x0＜
可知f（x0）＜
，另一方面可知f（x0）＞f（
）=﹣
+
=
＞
．
22.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．
（Ⅰ）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|?|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点A的极坐标为（2，
），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
【答案】
解：（Ⅰ）曲线C1的直角坐标方程为：x=4，设P（x，y），M（4，y0），则
，∴y0=
，∵|OM||OP|=16，∴
=16，即（x2+y2）（1+
）=16，整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0），∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．（Ⅱ）点A的直角坐标为A（1，
），显然点A在曲线C2上，|OA|=2，∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d=
=
，∴△AOB的最大面积S=
|OA|?（2+
）=2+
．
【考点】两点间的距离公式，点到直线的距离公式，简单曲线的极坐标方程，极坐标刻画点的位置，点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【分析】（Ⅰ）设P（x，y），利用相似得出M点坐标，根据|OM|?|OP|=16列方程化简即可；
（Ⅱ）求出曲线C2的圆心和半径，得出B到OA的最大距离，即可得出最大面积．
23.[选修4-5：不等式选讲]
已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：
（Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4；
（Ⅱ）a+b≤2．
【答案】
证明：（Ⅰ）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（
+
）2=（a3+b3）2≥4，
当且仅当
=
，即a=b=1时取等号，
（Ⅱ）∵a3+b3=2，
∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2，
∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2，
∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2，
∴
=ab，
由均值不等式可得：
=ab≤（
）2
，
∴（a+b）3﹣2≤
，
∴
（a+b）3≤2，
∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．
【考点】不等式比较大小，基本不等式，不等式的证明，二维形式的柯西不等式
【解析】【分析】（Ⅰ）由柯西不等式即可证明，
（Ⅱ）由a3+b3=2转化为
=ab，再由均值不等式可得：
=ab≤（
）2
，
即可得到
（a+b）3≤2，问题得以证明．
1
/
1(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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2017年高考理数真题试卷（新课标Ⅱ卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（共12题；共60分）
1.
=（???
）
A.?1+2i???????????????????????????B.?1﹣2i???????????????????????????C.?2+i???????????????????????????D.?2﹣i
2.设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（???
）
A.?{1，﹣3}??????????????????????B.?{1，0}??????????????????????C.?{1，3}??????????????????????D.?{1，5}
3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（???
）
A.?1盏??????????????????????????????B.?3盏??????????????????????????????C.?5盏??????????????????????????????D.?9盏
4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（???
）
A.?90π????????????????????????????B.?63π????????????????????????????C.?42π????????????????????????????D.?36π
5.设x，y满足约束条件
，则z=2x+y的最小值是（???
）
A.?﹣15???????????????????????????????B.?﹣9???????????????????????????????C.?1???????????????????????????????D.?9
6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（???
）
A.?12种???????????????????????????B.?18种???????????????????????????C.?24种???????????????????????????D.?36种
7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（???
）
A.?乙可以知道四人的成绩??????????????????????????B.?丁可以知道四人的成绩
C.?乙、丁可以知道对方的成绩???????????????????D.?乙、丁可以知道自己的成绩
8.执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（???
）
A.?2??????????????????????????????????B.?3??????????????????????????????????C.?4??????????????????????????????????D.?5
9.若双曲线C：
﹣
=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（???
）
A.?2??????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
10.已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（???
）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
11.若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（???
）
A.?﹣1???????????????????????????B.?﹣2e﹣3???????????????????????????C.?5e﹣3???????????????????????????D.?1
12.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则
?（
+
）的最小值是（???
）
A.?﹣2????????????????????????????B.?﹣
????????????????????????????C.?﹣
????????????????????????????D.?﹣1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.（共4题；共20分）
13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX=________．
14.函数f（x）=sin2x+
cosx﹣
（x∈[0，
]）的最大值是________．
15.等差数列{an}的前n项和为Sn
，
a3=3，S4=10，则
=________．
16.已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|=________．
三、解答题（共7题；共80分）
17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2
．
（Ⅰ）求cosB；
（Ⅱ）若a+c=6，△ABC面积为2，求b．
18.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100
个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：
（Ⅰ）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；
（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg????????
????????
箱产量≥50kg
旧养殖法
?????????
?
新养殖法
??????????
（Ⅲ）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．
附：
P（K2≥k）??
0.050
0.010??????????
0.001???????????
K
3.841?????
6.635????
10.828???
K2=
．
19.如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=
AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．
（Ⅰ）证明：直线CE∥平面PAB；
（Ⅱ）点M在棱PC
上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．
20.设O为坐标原点，动点M在椭圆C：
+y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足
=
．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设点Q在直线x=﹣3上，且
?
=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
21.已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0
，
且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2
．
22.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．
（Ⅰ）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|?|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点A的极坐标为（2，
），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
23.[选修4-5：不等式选讲]
已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：
（Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4；
（Ⅱ）a+b≤2．
答案解析部分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.【答案】
D
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：
=
=
=2﹣i，
故选
D．
【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i的幂运算性质，求出结果．
2.【答案】
C
【考点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．
若A∩B={1}，则1∈A且1∈B，
可得1﹣4+m=0，解得m=3，
即有B={x|x2﹣4x+3=0}={1，3}．
故选：C．
【分析】由交集的定义可得1∈A且1∈B，代入二次方程，求得m，再解二次方程可得集合B．
3.【答案】
B
【考点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯，
∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，
∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，
又总共有灯381盏，
∴381=
=127a，解得a=3，
则这个塔顶层有3盏灯，
故选B．
【分析】设这个塔顶层有a盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n项公式列出方程，求出a的值．
4.【答案】
B
【考点】由三视图求面积、体积，由三视图还原实物图，棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，
V=π?32×10﹣
?π?32×6=63π，
故选：B．
【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，即可求出几何体的体积．
5.【答案】
A
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划
【解析】【解答】解：x、y满足约束条件
的可行域如图：
z=2x+y
经过可行域的A时，目标函数取得最小值，
由
解得A（﹣6，﹣3），
则z=2x+y
的最小值是：﹣15．
故选：A．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可．
6.【答案】
D
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：4项工作分成3组，可得：
=6，
安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，
可得：6×
=36种．
故选：D．
【分析】把工作分成3组，然后安排工作方式即可．
7.【答案】
D
【考点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，
甲不知自己的成绩
→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）
→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩
→丁看到甲、丁中也为一优一良，丁知自己的成绩，
故选：D．
【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案
8.【答案】
B
【考点】循环结构，程序框图
【解析】【解答】解：执行程序框图，有S=0，k=1，a=﹣1，代入循环，
第一次满足循环，S=﹣1，a=1，k=2；
满足条件，第二次满足循环，S=1，a=﹣1，k=3；
满足条件，第三次满足循环，S=﹣2，a=1，k=4；
满足条件，第四次满足循环，S=2，a=﹣1，k=5；
满足条件，第五次满足循环，S=﹣3，a=1，k=6；
满足条件，第六次满足循环，S=3，a=﹣1，k=7；
7≤6不成立，退出循环输出，S=3；
故选：B．
【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k值，当k=7时，程序终止即可得到结论．
9.【答案】
A
【考点】直线与圆相交的性质，双曲线的简单性质，圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：双曲线C：
﹣
=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，
圆（x﹣2）2+y2=4的圆心（2，0），半径为：2，
双曲线C：
﹣
=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，
可得圆心到直线的距离为：
=
，
解得：
，可得e2=4，即e=2．
故选：A．
【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．
10.【答案】
C
【考点】异面直线及其所成的角，余弦定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，
则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角
（因异面直线所成角为（0，
]），
可知MN=
AB1=
，
NP=
BC1=
；
作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；
∵PQ=1，MQ=
AC，
△ABC中，由余弦定理得
AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cos∠ABC
=4+1﹣2×2×1×（﹣
）
=7，
∴AC=
，
∴MQ=
；
在△MQP中，MP=
=
；
在△PMN中，由余弦定理得
cos∠MNP=
=
=﹣
；
又异面直线所成角的范围是（0，
]，
∴AB1与BC1所成角的余弦值为
．
【分析】设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，得出AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP和∠MNP的余弦值即可．
11.【答案】
A
【考点】导数的运算，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1
，
可得f′（x）=（2x+a）ex﹣1+（x2+ax﹣1）ex﹣1
，
x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，
可得：﹣4+a+（3﹣2a）=0．
解得a=﹣1．
可得f′（x）=（2x﹣1）ex﹣1+（x2﹣x﹣1）ex﹣1
，
=（x2+x﹣2）ex﹣1
，
函数的极值点为：x=﹣2，x=1，
当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函数，
x=1时，函数取得极小值：f（1）=（12﹣1﹣1）e1﹣1=﹣1．
故选：A．
【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出a，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可．
12.【答案】
B
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，
则A（0，
），B（﹣1，0），C（1，0），
设P（x，y），则
=（﹣x，
﹣y），
=（﹣1﹣x，﹣y），
=（1﹣x，﹣y），
则
?（
+
）=2x2﹣2
y+2y2=2[x2+（y﹣
）2﹣
]
∴当x=0，y=
时，取得最小值2×（﹣
）=﹣
，
故选：B
【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.【答案】
1.96
【考点】离散型随机变量的期望与方差，二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.02，n=100，
则DX=npq=np（1﹣p）=100×0.02×0.98=1.96．
故答案为：1.96．
【分析】判断概率满足的类型，然后求解方差即可．
14.【答案】
1
【考点】二次函数在闭区间上的最值，三角函数的最值，同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：f（x）=sin2x+
cosx﹣
=1﹣cos2x+
cosx﹣
，
令cosx=t且t∈[0，1]，
则f（t）=﹣t2+
+
=﹣（t﹣
）2+1，
当t=
时，f（t）max=1，
即f（x）的最大值为1，
故答案为：1
【分析】同角的三角函数的关系以及二次函数的性质即可求出．
15.【答案】
【考点】等差数列的前n项和，数列的求和
【解析】【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn
，
a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，
可得a2=2，数列的首项为1，公差为1，
Sn=
，
=
，
则
=2[1﹣
+
+…+
]=2（1﹣
）=
．
故答案为：
．
【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求解即可．
16.【答案】
6
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，
可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：
，
|FN|=2|FM|=2
=6．
故答案为：6．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解即可．
三、解答题
17.【答案】
解：（Ⅰ）sin（A+C）=8sin2
，
∴sinB=4（1﹣cosB），
∵sin2B+cos2B=1，
∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，
∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，
∴cosB=
；
（Ⅱ）由（1）可知sinB=
，
∵S△ABC=
ac?sinB=2，
∴ac=
，
∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2×
×
=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，
∴b=2．
【考点】二倍角的正弦公式，同角三角函数间的基本关系，运用诱导公式化简求值，余弦定理，三角形中的几何计算
【解析】【分析】（Ⅰ）利用三角形的内角和定理可知A+C=π﹣B，再利用诱导公式化简sin（A+C），利用降幂公式化简8sin2
，结合sin2B+cos2B=1，求出cosB，
（Ⅱ）由（1）可知sinB=
，利用勾面积公式求出ac，再利用余弦定理即可求出b．
18.【答案】
解：（Ⅰ）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”，由P（A）=P（BC）=P（B）P（C），则旧养殖法的箱产量低于50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62，故P（B）的估计值0.62，新养殖法的箱产量不低于50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）×5=0.66，故P（C）的估计值为，则事件A的概率估计值为P（A）=P（B）P（C）=0.62×0.66=0.4092；∴A发生的概率为0.4092；（Ⅱ）2×2列联表：
箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
总计
旧养殖法
62
38
100
新养殖法
34
66
100
总计
96
104
200
则K2=
≈15.705，由15.705＞6.635，∴有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（Ⅲ）由题意可知：方法一：
=5×（37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+52.5×0.068+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008），=5×10.47，=52.35（kg）．新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）方法二：由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的面积：（0.004+0.020+0.044）×5=0.034，箱产量低于55kg的直方图面积为：（0.004+0.020+0.044+0.068）×5=0.68＞0.5，故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+
≈52.35（kg），所以新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）．
【考点】频率分布直方图，用样本的数字特征估计总体的数字特征，独立性检验，相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可知：P（A）=P（BC）=P（B）P（C），分布求得发生的频率，即可求得其概率；
（Ⅱ）完成2×2列联表：求得观测值，与参考值比较，即可求得有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
（Ⅲ）根据频率分布直方图即可求得其平均数．
19.【答案】
（Ⅰ）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以EF
AD，AB=BC=
AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥
AD，∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF?平面PAB，CF?平面PAB，∴直线CE∥平面PAB；（Ⅱ）解：四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=
AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1，OP=
，∴∠PCO=60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°，可得：BN=MN，CN=
MN，BC=1，可得：1+
BN2=BN2
，
BN=
，MN=
，作NQ⊥AB于Q，连接MQ，所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ=
=
，二面角M﹣AB﹣D的余弦值为：
=
．
【考点】直线与平面平行的判定，二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（Ⅰ）取PA的中点F，连接EF，BF，通过证明CE∥BF，利用直线与平面平行的判定定理证明即可．
（Ⅱ）利用已知条件转化求解M到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解二面角M﹣AB﹣D的余弦值即可．
20.【答案】
解：（Ⅰ）设M（x0
，
y0），由题意可得N（x0
，
0），
设P（x，y），由点P满足
=
．
可得（x﹣x0
，
y）=
（0，y0），
可得x﹣x0=0，y=
y0
，
即有x0=x，y0=
，
代入椭圆方程
+y2=1，可得
+
=1，
即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2；
（Ⅱ）证明：设Q（﹣3，m），P（
cosα，
sinα），（0≤α＜2π），
?
=1，可得（
cosα，
sinα）?（﹣3﹣
cosα，m﹣
sinα）=1，
即为﹣3
cosα﹣2cos2α+
msinα﹣2sin2α=1，
解得m=
，
即有Q（﹣3，
），
椭圆
+y2=1的左焦点F（﹣1，0），
由kOQ=﹣
，
kPF=
，
由kOQ?kPF=﹣1，
可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
【考点】数量积的坐标表达式，斜率的计算公式，两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，轨迹方程，同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（Ⅰ）设M（x0
，
y0），由题意可得N（x0
，
0），设P（x，y），运用向量的坐标运算，结合M满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程；
（Ⅱ）设Q（﹣3，m），P（
cosα，
sinα），（0≤α＜2π），运用向量的数量积的坐标表示，可得m，即有Q的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ，PF的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证．
21.【答案】
（Ⅰ）解：因为f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx=x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），
则f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，
因为h′（x）=a﹣
，且当0＜x＜
时h′（x）＜0、当x＞
时h′（x）＞0，
所以h（x）min=h（
），
又因为h（1）=a﹣a﹣ln1=0，
所以
=1，解得a=1；
（Ⅱ）证明：由（1）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，f′（x）=2x﹣2﹣lnx，
令f′（x）=0，可得2x﹣2﹣lnx=0，记t（x）=2x﹣2﹣lnx，则t′（x）=2﹣
，
令t′（x）=0，解得：x=
，
所以t（x）在区间（0，
）上单调递减，在（
，+∞）上单调递增，
所以t（x）min=t（
）=ln2﹣1＜0，从而t（x）=0有解，即f′（x）=0存在两根x0
，
x2
，
且不妨设f′（x）在（0，x0）上为正、在（x0
，
x2）上为负、在（x2
，
+∞）上为正，
所以f（x）必存在唯一极大值点x0
，
且2x0﹣2﹣lnx0=0，
所以f（x0）=
﹣x0﹣x0lnx0=
﹣x0+2x0﹣2
=x0﹣
，
由x0＜
可知f（x0）＜（x0﹣
）max=﹣
+
=
；
由f′（
）＜0可知x0＜
＜
，
所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0
，
）上单调递减，
所以f（x0）＞f（
）=﹣
+
=
＞
；
综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0
，
且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2
．
【考点】导数的运算，利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值，导数在最大值、最小值问题中的应用，不等式的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）通过分析可知f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，进而利用h′（x）=a﹣
可得h（x）min=h（
），从而可得结论；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，记t（x）=f′（x）=2x﹣2﹣lnx，解不等式可知t（x）min=t（
）=ln2﹣1＜0，从而可知f′（x）=0存在两根x0
，
x2
，
利用f（x）必存在唯一极大值点x0及x0＜
可知f（x0）＜
，另一方面可知f（x0）＞f（
）=﹣
+
=
＞
．
22.【答案】
解：（Ⅰ）曲线C1的直角坐标方程为：x=4，设P（x，y），M（4，y0），则
，∴y0=
，∵|OM||OP|=16，∴
=16，即（x2+y2）（1+
）=16，整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0），∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．（Ⅱ）点A的直角坐标为A（1，
），显然点A在曲线C2上，|OA|=2，∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d=
=
，∴△AOB的最大面积S=
|OA|?（2+
）=2+
．
【考点】两点间的距离公式，点到直线的距离公式，简单曲线的极坐标方程，极坐标刻画点的位置，点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【分析】（Ⅰ）设P（x，y），利用相似得出M点坐标，根据|OM|?|OP|=16列方程化简即可；
（Ⅱ）求出曲线C2的圆心和半径，得出B到OA的最大距离，即可得出最大面积．
23.【答案】
证明：（Ⅰ）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（
+
）2=（a3+b3）2≥4，
当且仅当
=
，即a=b=1时取等号，
（Ⅱ）∵a3+b3=2，
∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2，
∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2，
∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2，
∴
=ab，
由均值不等式可得：
=ab≤（
）2
，
∴（a+b）3﹣2≤
，
∴
（a+b）3≤2，
∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．
【考点】不等式比较大小，基本不等式，不等式的证明，二维形式的柯西不等式
【解析】【分析】（Ⅰ）由柯西不等式即可证明，
（Ⅱ）由a3+b3=2转化为
=ab，再由均值不等式可得：
=ab≤（
）2
，
即可得到
（a+b）3≤2，问题得以证明．
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