2017年高考理数真题试卷（新课标Ⅰ卷）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2017·新课标Ⅰ卷理）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（ ）
A．A∩B={x|x＜0} B．A∪B=R
C．A∪B={x|x＞1} D．A∩B=
2．（2017·新课标Ⅰ卷文）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2017·新课标Ⅰ卷理）设有下面四个命题
p1：若复数z满足 ∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1= ；
p4：若复数z∈R，则 ∈R．
其中的真命题为（ ）
A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4
4．（2017·新课标Ⅰ卷理）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．（2017·新课标Ⅰ卷理）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）
A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]
6．（2017·新课标Ⅰ卷理）（1+ ）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）
A．15 B．20 C．30 D．35
7．（2017·新课标Ⅰ卷理）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
8．（2017·新课标Ⅰ卷文）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入（ ）
A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2
C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2
9．（2017·新课标Ⅰ卷理）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+ ），则下面结论正确的是（ ）
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线C2
10．（2017·新课标Ⅰ卷理）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
11．（2017·新课标Ⅰ卷理）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（ ）
A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z
12．（2017·新课标Ⅰ卷理）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）
A．440 B．330 C．220 D．110
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2017·新课标Ⅰ卷理）已知向量 ， 的夹角为60°，| |=2，| |=1，则| +2 |= ．
14．（2017·新课标Ⅰ卷理）设x，y满足约束条件 ，则z=3x﹣2y的最小值为 ．
15．（2017·新课标Ⅰ卷理）已知双曲线C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为 ．
16．（2017·新课标Ⅰ卷理）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 ．
三、解答题：共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2017·新课标Ⅰ卷理）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为 ．（12分）
（1）求sinBsinC；
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．
18．（2017·新课标Ⅰ卷理）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（12分）
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
19．（2017·新课标Ⅰ卷理）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（12分）
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得 = =9.97，s= = ≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，…，16．
用样本平均数 作为μ的估计值 ，用样本标准差s作为σ的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（ ﹣3 +3 ）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．
附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592， ≈0.09．
20．（2017·新课标Ⅰ卷理）已知椭圆C： + =1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1， ），P4（1， ）中恰有三点在椭圆C上．（12分）
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．
21．（2017·新课标Ⅰ卷理）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
四、选考题
22．（2017·新课标Ⅰ卷理）[选修4-4，坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （θ为参数），直线l的参数方程为 （t为参数）．（10分）
（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为 ，求a．
23．（2017·新课标Ⅰ卷文）已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：∵集合A={x|x＜1}，
B={x|3x＜1}={x|x＜0}，
∴A∩B={x|x＜0}，故A正确，D错误；
A∪B={x|x＜1}，故B和C都错误．
故选：A．
【分析】先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．
2．【答案】B
【知识点】几何概型
【解析】【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，
则黑色部分的面积S= ，
则对应概率P= = ，
故选：B
【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．
3．【答案】B
【知识点】命题的真假判断与应用；复数的基本概念
【解析】【解答】解：若复数z满足 ∈R，则z∈R，故命题p1为真命题；
p2：复数z=i满足z2=﹣1∈R，则z R，故命题p2为假命题；
p3：若复数z1=i，z2=2i满足z1z2∈R，但z1≠ ，故命题p3为假命题；
p4：若复数z∈R，则 =z∈R，故命题p4为真命题．
故选：B．
【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．
4．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，
∴ ，
解得a1=﹣2，d=4，
∴{an}的公差为4．
故选：C．
【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{an}的公差．
5．【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间；奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．
若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1，
又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，
∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），
∴﹣1≤x﹣2≤1，
解得：x∈[1，3]，
故选：D
【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化为﹣1≤x﹣2≤1，解得答案．
6．【答案】C
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：（1+ ）（1+x）6展开式中：
若（1+ ）=（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：
若（1+ ）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：
由（1+x）6通项公式可得 ．
可知r=2时，可得展开式中x2的系数为 ．
可知r=4时，可得展开式中x2的系数为 ．
（1+ ）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30．
故选C．
【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可．
7．【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积；组合几何体的面积、体积问题；由三视图还原实物图
【解析】【解答】解：由三视图可画出直观图，
该立体图中只有两个相同的梯形的面，
S梯形= ×2×（2+4）=6，
∴这些梯形的面积之和为6×2=12，
故选：B
【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，根据梯形的面积公式计算即可
8．【答案】D
【知识点】循环结构；程序框图
【解析】【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，
所以“ ”内不能输入“A＞1000”，
又要求n为偶数，且n的初始值为0，
所以“ ”中n依次加2可保证其为偶数，
所以D选项满足要求，
故选：D．
【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在“否”时输出确定“ ”内不能输入“A＞1000”，进而通过偶数的特征确定n=n+2．
9．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到函数y=cos2（x+ ）=cos（2x+ ）=sin（2x+ ）的图象，即曲线C2，
故选：D．
【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．
10．【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，
直线l2与C交于D、E两点，
要使|AB|+|DE|最小，
则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，
又直线l2过点（1，0），
则直线l2的方程为y=x﹣1，
联立方程组 ，则y2﹣4y﹣4=0，
∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，
∴|DE|= |y1﹣y2|= × =8，
∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，
故选：A
【分析】根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．
11．【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；利用对数函数的单调性比较对数值的大小；不等式比较大小
【解析】【解答】解：x、y、z为正数，
令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．
则x= ，y= ，z= ．
∴3y= ，2x= ，5z= ．
∵ = = ， ＞ = ．
∴ ＞lg ＞ ＞0．
∴3y＜2x＜5z．
故选：D．
【分析】x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x= ，y= ，z= ．可得3y= ，2x= ，5z= ．根据 = = ， ＞ = ．即可得出大小关系．
12．【答案】A
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：设该数列为{an}，设bn= +…+ =2n﹣1，（n∈N+），则 = ai，
由题意可设数列{an}的前N项和为SN，数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn=21﹣1+22﹣1+…+2n﹣1=2n﹣n﹣2，
可知当N为 时（n∈N+），数列{an}的前N项和为数列{bn}的前n项和，即为2n﹣n﹣2，
容易得到N＞100时，n≥14，
A项，由 =435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A项符合题意．
B项，仿上可知 =325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．
C项，仿上可知 =210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．
D项，仿上可知 =105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．
故选A．
方法二：由题意可知： ， ， ，… ，
根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，
每项含有的项数为：1，2，3，…，n，
总共的项数为N=1+2+3+…+n= ，
所有项数的和为Sn：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n= ﹣n=2n+1﹣2﹣n，
由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，
则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有 +2=2，不满足N＞100，
②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有 +3=17，不满足N＞100，
③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有 +4=95，不满足N＞100，
④1+2+4+8+16（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有 +5=440，满足N＞100，
∴该款软件的激活码440．
故选A．
【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{bn}的通项公式及前n项和，可知当N为 时（n∈N+），数列{an}的前N项和为数列{bn}的前n项和，即为2n﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；
方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和Sn=2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别分别即可求得N的值．
13．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：∵向量 ， 的夹角为60°，且| |=2，| |=1，
∴ = +4 +4
=22+4×2×1×cos60°+4×12
=12，
∴| +2 |=2 ．
故答案为：2 ．
【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．
14．【答案】-5
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：由x，y满足约束条件 作出可行域如图，
由图可知，目标函数的最优解为A，
联立 ，解得A（﹣1，1）．
∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．
故答案为：﹣5．
【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．
15．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），
以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．
若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°= ，
可得： = ，即 ，可得离心率为：e= ．
故答案为： ．
【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．
16．【答案】4 cm3
【知识点】棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG= BC，
即OG的长度与BC的长度成正比，
设OG=x，则BC=2 x，DG=5﹣x，
三棱锥的高h= = = ，
=3 ，
则V= = = ，
令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0， ），f′（x）=100x3﹣50x4，
令f′（x）≥0，即x4﹣2x3≤0，解得x≤2，
则f（x）≤f（2）=80，
∴V≤ =4 cm3，∴体积最大值为4 cm3．
故答案为：4 cm3．
【分析】由题，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG= BC，设OG=x，则BC=2 x，DG=5﹣x，三棱锥的高h= ，求出S△ABC=3 ，V= = ，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0， ），f′（x）=100x3﹣50x4，f（x）≤f（2）=80，由此能求出体积最大值．
17．【答案】（1）解：由三角形的面积公式可得S△ABC= acsinB= ，
∴3csinBsinA=2a，
由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，
∵sinA≠0，
∴sinBsinC= ；
（2）解：∵6cosBcosC=1，
∴cosBcosC= ，
∴cosBcosC﹣sinBsinC= ﹣ =﹣ ，
∴cos（B+C）=﹣ ，
∴cosA= ，
∵0＜A＜π，
∴A= ，
∵ = = =2R= =2 ，
∴sinBsinC= = = = ，
∴bc=8，
∵a2=b2+c2﹣2bccosA，
∴b2+c2﹣bc=9，
∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，
∴b+c=
∴周长a+b+c=3+ ．
【知识点】两角和与差的余弦公式；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1.）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，
（2.）根据两角余弦公式可得cosA= ，即可求出A= ，再根据正弦定理可得bc=8，根据余弦定理即可求出b+c，问题得以解决．
18．【答案】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，
∵AB∥CD，∴AB⊥PD，
又∵PA∩PD=P，且PA 平面PAD，PD 平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，又AB 平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD；
（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，
由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，
在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，
设PA=AB=2a，则AD= ．
取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，
以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则：D（ ），B（ ），P（0，0， ），C（ ）．
， ， ．
设平面PBC的一个法向量为 ，
由 ，得 ，取y=1，得 ．
∵AB⊥平面PAD，AD 平面PAD，∴AB⊥AD，
又PD⊥PA，PA∩AB=A，
∴PD⊥平面PAB，则 为平面PAB的一个法向量， ．
∴cos＜ ＞= = ．
由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，
∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为 ．
【知识点】平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1.）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD；
（2.）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，设PA=AB=2a，则AD= ．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，得 为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
19．【答案】（1）解：由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，
则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，
因为P（X=0）= ×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，
所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，
又因为X～B（16，0.0026），
所以E（X）=16×0.0026=0.0416；
（2）（ⅰ）由（1）知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为0.0026，
由正态分布知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件，
因此上述监控生产过程方法合理；
（ⅱ）因为用样本平均数 作为μ的估计值 ，用样本标准差s作为σ的估计值 ，
且 = =9.97，s= = ≈0.212，
所以 ﹣3 =9.97﹣3×0.212=9.334， +3 =9.97+3×0.212=10.606，
所以9.22 （ ﹣3 +3 ）=（9.334，10.606），
因此需要对当天的生产过程进行检查，剔除（ ﹣3 +3 ）之外的数据9.22，
则剩下的数据估计μ= =10.02，
将剔除掉9.22后剩下的15个数据，利用方差的计算公式代入计算可知σ2≈0.008，
所以σ≈0.09．
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【分析】（1.）通过P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；
（2.）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；
（ⅱ）通过样本平均数 、样本标准差s估计 、 可知（ ﹣3 +3 ）=（9.334，10.606），进而需剔除（ ﹣3 +3 ）之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．
20．【答案】（1）解：根据椭圆的对称性，P3（﹣1， ），P4（1， ）两点必在椭圆C上，
又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），
∴P2（0，1），P3（﹣1， ），P4（1， ）三点在椭圆C上．
把P2（0，1），P3（﹣1， ）代入椭圆C，得：
，解得a2=4，b2=1，
∴椭圆C的方程为 =1．
（2）证明：①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，yA），B（m，﹣yA），
∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，
∴ = = =﹣1，
解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．
②当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立 ，整理，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，
，x1x2= ，
则 = =
= = =﹣1，又b≠1，
∴b=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，
∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，
当x=2时，y=﹣1，
∴l过定点（2，﹣1）．
【知识点】直线的斜截式方程；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1.）根据椭圆的对称性，得到P2（0，1），P3（﹣1， ），P4（1， ）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1， ）代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C的方程．
（2.）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），联立 ，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，﹣1）．
21．【答案】（1）解：由f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）ex﹣1，当a=0时，f′（x）=2ex﹣1＜0，∴当x∈R，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）=（2ex+1）（aex﹣1）=2a（ex+ ）（ex﹣ ），令f′（x）=0，解得：x=ln ，当f′（x）＞0，解得：x＞ln ，当f′（x）＜0，解得：x＜ln ，∴x∈（﹣∞，ln ）时，f（x）单调递减，x∈（ln ，+∞）单调递增；
当a＜0时，f′（x）=2a（ex+ ）（ex﹣ ）＜0，恒成立，
∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，
当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln ）是减函数，在（ln ，+∞）是增函数；
（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，
②a＞0时，由（1）可知，当x=-lna时，f（x）取得最小值，f（x）min=f（-lna）=1--ln，
当a=1时，f（-lna）=0，故f（x）只有一个零点，
当a∈（1，+∞）时，有1--ln＞0，即f（-lna）＞0
故f（x）没有零点
当a∈（0，1）时,1--ln＜0，f（-lna）＜0
有f（-2）=ae-4+（a-2）e-2+2＞-2e-2+2＞0
故f（x）在（-∞，-lna）有一个零点
假设存在正整数n0，满足n0＞ln（），则f（n0）=＞＞0
有ln（）＞-lna
因此在（-lna，+∞）有一个零点
∴a的取值范围是（0,1）.
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点的判定定理
【解析】【分析】（1.）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；
（2.）由（1）可知：当a＞0时才有个零点，根据函数的单调性求得f（x）最小值，由f（x）min＜0，g（a）=alna+a﹣1，a＞0，求导，由g（a）min=g（e﹣2）=e﹣2lne﹣2+e﹣2﹣1=﹣ ﹣1，g（1）=0，即可求得a的取值范围．
22．【答案】（1）解：曲线C的参数方程为 （θ为参数），化为标准方程是： +y2=1；
a=﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3=0；
联立方程 ，
解得 或 ，
所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（﹣ ， ）．
（2）l的参数方程 （t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4=0，
椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），
所以点P到直线l的距离d为：
d= = ，φ满足tanφ= ，
又d的最大值dmax= ，
所以|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|的最大值为17，
得：5﹣a﹣4=17或﹣5﹣a﹣4=﹣17，
即a=﹣16或a=8．
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；平面内点到直线的距离公式；直线与圆锥曲线的关系；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1.）将曲线C的参数方程化为标准方程，直线l的参数方程化为一般方程，联立两方程可以求得焦点坐标；
（2.）曲线C上的点可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），运用点到直线距离公式可以表示出P到直线l的距离，再结合距离最大值为 进行分析，可以求出a的值．
23．【答案】（1）解：（1）当a=1时，f（x）=﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x= 的二次函数，
g（x）=|x+1|+|x﹣1|= ，
当x∈（1，+∞）时，令﹣x2+x+4=2x，解得x= ，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1， ]；
当x∈[﹣1，1]时，g（x）=2，f（x）≥f（﹣1）=2．
当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）=f（﹣1）=2．
综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1， ]；
（2）（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需 ，解得﹣1≤a≤1，
故a的取值范围是[﹣1，1]．
【知识点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1.）当a=1时，f（x）=﹣x2+x+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|= ，分x＞1、x∈[﹣1，1]、x∈（﹣∞，﹣1）三类讨论，结合g（x）与f（x）的单调性质即可求得f（x）≥g（x）的解集为[﹣1， ]；
（2.）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立 x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，只需 ，解之即可得a的取值范围．
1 / 12017年高考理数真题试卷（新课标Ⅰ卷）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2017·新课标Ⅰ卷理）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（ ）
A．A∩B={x|x＜0} B．A∪B=R
C．A∪B={x|x＞1} D．A∩B=
【答案】A
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：∵集合A={x|x＜1}，
B={x|3x＜1}={x|x＜0}，
∴A∩B={x|x＜0}，故A正确，D错误；
A∪B={x|x＜1}，故B和C都错误．
故选：A．
【分析】先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．
2．（2017·新课标Ⅰ卷文）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】几何概型
【解析】【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，
则黑色部分的面积S= ，
则对应概率P= = ，
故选：B
【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．
3．（2017·新课标Ⅰ卷理）设有下面四个命题
p1：若复数z满足 ∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1= ；
p4：若复数z∈R，则 ∈R．
其中的真命题为（ ）
A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4
【答案】B
【知识点】命题的真假判断与应用；复数的基本概念
【解析】【解答】解：若复数z满足 ∈R，则z∈R，故命题p1为真命题；
p2：复数z=i满足z2=﹣1∈R，则z R，故命题p2为假命题；
p3：若复数z1=i，z2=2i满足z1z2∈R，但z1≠ ，故命题p3为假命题；
p4：若复数z∈R，则 =z∈R，故命题p4为真命题．
故选：B．
【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．
4．（2017·新课标Ⅰ卷理）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，
∴ ，
解得a1=﹣2，d=4，
∴{an}的公差为4．
故选：C．
【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{an}的公差．
5．（2017·新课标Ⅰ卷理）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）
A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]
【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间；奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．
若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1，
又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，
∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），
∴﹣1≤x﹣2≤1，
解得：x∈[1，3]，
故选：D
【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化为﹣1≤x﹣2≤1，解得答案．
6．（2017·新课标Ⅰ卷理）（1+ ）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）
A．15 B．20 C．30 D．35
【答案】C
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：（1+ ）（1+x）6展开式中：
若（1+ ）=（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：
若（1+ ）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：
由（1+x）6通项公式可得 ．
可知r=2时，可得展开式中x2的系数为 ．
可知r=4时，可得展开式中x2的系数为 ．
（1+ ）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30．
故选C．
【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可．
7．（2017·新课标Ⅰ卷理）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积；组合几何体的面积、体积问题；由三视图还原实物图
【解析】【解答】解：由三视图可画出直观图，
该立体图中只有两个相同的梯形的面，
S梯形= ×2×（2+4）=6，
∴这些梯形的面积之和为6×2=12，
故选：B
【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，根据梯形的面积公式计算即可
8．（2017·新课标Ⅰ卷文）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入（ ）
A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2
C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2
【答案】D
【知识点】循环结构；程序框图
【解析】【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，
所以“ ”内不能输入“A＞1000”，
又要求n为偶数，且n的初始值为0，
所以“ ”中n依次加2可保证其为偶数，
所以D选项满足要求，
故选：D．
【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在“否”时输出确定“ ”内不能输入“A＞1000”，进而通过偶数的特征确定n=n+2．
9．（2017·新课标Ⅰ卷理）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+ ），则下面结论正确的是（ ）
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线C2
【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到函数y=cos2（x+ ）=cos（2x+ ）=sin（2x+ ）的图象，即曲线C2，
故选：D．
【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．
10．（2017·新课标Ⅰ卷理）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，
直线l2与C交于D、E两点，
要使|AB|+|DE|最小，
则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，
又直线l2过点（1，0），
则直线l2的方程为y=x﹣1，
联立方程组 ，则y2﹣4y﹣4=0，
∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，
∴|DE|= |y1﹣y2|= × =8，
∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，
故选：A
【分析】根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．
11．（2017·新课标Ⅰ卷理）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（ ）
A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z
【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；利用对数函数的单调性比较对数值的大小；不等式比较大小
【解析】【解答】解：x、y、z为正数，
令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．
则x= ，y= ，z= ．
∴3y= ，2x= ，5z= ．
∵ = = ， ＞ = ．
∴ ＞lg ＞ ＞0．
∴3y＜2x＜5z．
故选：D．
【分析】x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x= ，y= ，z= ．可得3y= ，2x= ，5z= ．根据 = = ， ＞ = ．即可得出大小关系．
12．（2017·新课标Ⅰ卷理）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）
A．440 B．330 C．220 D．110
【答案】A
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：设该数列为{an}，设bn= +…+ =2n﹣1，（n∈N+），则 = ai，
由题意可设数列{an}的前N项和为SN，数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn=21﹣1+22﹣1+…+2n﹣1=2n﹣n﹣2，
可知当N为 时（n∈N+），数列{an}的前N项和为数列{bn}的前n项和，即为2n﹣n﹣2，
容易得到N＞100时，n≥14，
A项，由 =435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A项符合题意．
B项，仿上可知 =325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．
C项，仿上可知 =210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．
D项，仿上可知 =105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．
故选A．
方法二：由题意可知： ， ， ，… ，
根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，
每项含有的项数为：1，2，3，…，n，
总共的项数为N=1+2+3+…+n= ，
所有项数的和为Sn：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n= ﹣n=2n+1﹣2﹣n，
由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，
则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有 +2=2，不满足N＞100，
②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有 +3=17，不满足N＞100，
③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有 +4=95，不满足N＞100，
④1+2+4+8+16（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有 +5=440，满足N＞100，
∴该款软件的激活码440．
故选A．
【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{bn}的通项公式及前n项和，可知当N为 时（n∈N+），数列{an}的前N项和为数列{bn}的前n项和，即为2n﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；
方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和Sn=2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别分别即可求得N的值．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2017·新课标Ⅰ卷理）已知向量 ， 的夹角为60°，| |=2，| |=1，则| +2 |= ．
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：∵向量 ， 的夹角为60°，且| |=2，| |=1，
∴ = +4 +4
=22+4×2×1×cos60°+4×12
=12，
∴| +2 |=2 ．
故答案为：2 ．
【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．
14．（2017·新课标Ⅰ卷理）设x，y满足约束条件 ，则z=3x﹣2y的最小值为 ．
【答案】-5
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：由x，y满足约束条件 作出可行域如图，
由图可知，目标函数的最优解为A，
联立 ，解得A（﹣1，1）．
∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．
故答案为：﹣5．
【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．
15．（2017·新课标Ⅰ卷理）已知双曲线C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为 ．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），
以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．
若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°= ，
可得： = ，即 ，可得离心率为：e= ．
故答案为： ．
【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．
16．（2017·新课标Ⅰ卷理）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 ．
【答案】4 cm3
【知识点】棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG= BC，
即OG的长度与BC的长度成正比，
设OG=x，则BC=2 x，DG=5﹣x，
三棱锥的高h= = = ，
=3 ，
则V= = = ，
令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0， ），f′（x）=100x3﹣50x4，
令f′（x）≥0，即x4﹣2x3≤0，解得x≤2，
则f（x）≤f（2）=80，
∴V≤ =4 cm3，∴体积最大值为4 cm3．
故答案为：4 cm3．
【分析】由题，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG= BC，设OG=x，则BC=2 x，DG=5﹣x，三棱锥的高h= ，求出S△ABC=3 ，V= = ，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0， ），f′（x）=100x3﹣50x4，f（x）≤f（2）=80，由此能求出体积最大值．
三、解答题：共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2017·新课标Ⅰ卷理）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为 ．（12分）
（1）求sinBsinC；
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．
【答案】（1）解：由三角形的面积公式可得S△ABC= acsinB= ，
∴3csinBsinA=2a，
由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，
∵sinA≠0，
∴sinBsinC= ；
（2）解：∵6cosBcosC=1，
∴cosBcosC= ，
∴cosBcosC﹣sinBsinC= ﹣ =﹣ ，
∴cos（B+C）=﹣ ，
∴cosA= ，
∵0＜A＜π，
∴A= ，
∵ = = =2R= =2 ，
∴sinBsinC= = = = ，
∴bc=8，
∵a2=b2+c2﹣2bccosA，
∴b2+c2﹣bc=9，
∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，
∴b+c=
∴周长a+b+c=3+ ．
【知识点】两角和与差的余弦公式；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1.）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，
（2.）根据两角余弦公式可得cosA= ，即可求出A= ，再根据正弦定理可得bc=8，根据余弦定理即可求出b+c，问题得以解决．
18．（2017·新课标Ⅰ卷理）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（12分）
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
【答案】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，
∵AB∥CD，∴AB⊥PD，
又∵PA∩PD=P，且PA 平面PAD，PD 平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，又AB 平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD；
（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，
由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，
在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，
设PA=AB=2a，则AD= ．
取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，
以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则：D（ ），B（ ），P（0，0， ），C（ ）．
， ， ．
设平面PBC的一个法向量为 ，
由 ，得 ，取y=1，得 ．
∵AB⊥平面PAD，AD 平面PAD，∴AB⊥AD，
又PD⊥PA，PA∩AB=A，
∴PD⊥平面PAB，则 为平面PAB的一个法向量， ．
∴cos＜ ＞= = ．
由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，
∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为 ．
【知识点】平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1.）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD；
（2.）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，设PA=AB=2a，则AD= ．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，得 为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
19．（2017·新课标Ⅰ卷理）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（12分）
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得 = =9.97，s= = ≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，…，16．
用样本平均数 作为μ的估计值 ，用样本标准差s作为σ的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（ ﹣3 +3 ）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．
附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592， ≈0.09．
【答案】（1）解：由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，
则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，
因为P（X=0）= ×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，
所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，
又因为X～B（16，0.0026），
所以E（X）=16×0.0026=0.0416；
（2）（ⅰ）由（1）知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为0.0026，
由正态分布知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件，
因此上述监控生产过程方法合理；
（ⅱ）因为用样本平均数 作为μ的估计值 ，用样本标准差s作为σ的估计值 ，
且 = =9.97，s= = ≈0.212，
所以 ﹣3 =9.97﹣3×0.212=9.334， +3 =9.97+3×0.212=10.606，
所以9.22 （ ﹣3 +3 ）=（9.334，10.606），
因此需要对当天的生产过程进行检查，剔除（ ﹣3 +3 ）之外的数据9.22，
则剩下的数据估计μ= =10.02，
将剔除掉9.22后剩下的15个数据，利用方差的计算公式代入计算可知σ2≈0.008，
所以σ≈0.09．
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【分析】（1.）通过P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；
（2.）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；
（ⅱ）通过样本平均数 、样本标准差s估计 、 可知（ ﹣3 +3 ）=（9.334，10.606），进而需剔除（ ﹣3 +3 ）之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．
20．（2017·新课标Ⅰ卷理）已知椭圆C： + =1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1， ），P4（1， ）中恰有三点在椭圆C上．（12分）
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．
【答案】（1）解：根据椭圆的对称性，P3（﹣1， ），P4（1， ）两点必在椭圆C上，
又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），
∴P2（0，1），P3（﹣1， ），P4（1， ）三点在椭圆C上．
把P2（0，1），P3（﹣1， ）代入椭圆C，得：
，解得a2=4，b2=1，
∴椭圆C的方程为 =1．
（2）证明：①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，yA），B（m，﹣yA），
∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，
∴ = = =﹣1，
解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．
②当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立 ，整理，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，
，x1x2= ，
则 = =
= = =﹣1，又b≠1，
∴b=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，
∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，
当x=2时，y=﹣1，
∴l过定点（2，﹣1）．
【知识点】直线的斜截式方程；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1.）根据椭圆的对称性，得到P2（0，1），P3（﹣1， ），P4（1， ）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1， ）代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C的方程．
（2.）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），联立 ，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，﹣1）．
21．（2017·新课标Ⅰ卷理）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
【答案】（1）解：由f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）ex﹣1，当a=0时，f′（x）=2ex﹣1＜0，∴当x∈R，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）=（2ex+1）（aex﹣1）=2a（ex+ ）（ex﹣ ），令f′（x）=0，解得：x=ln ，当f′（x）＞0，解得：x＞ln ，当f′（x）＜0，解得：x＜ln ，∴x∈（﹣∞，ln ）时，f（x）单调递减，x∈（ln ，+∞）单调递增；
当a＜0时，f′（x）=2a（ex+ ）（ex﹣ ）＜0，恒成立，
∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，
当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln ）是减函数，在（ln ，+∞）是增函数；
（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，
②a＞0时，由（1）可知，当x=-lna时，f（x）取得最小值，f（x）min=f（-lna）=1--ln，
当a=1时，f（-lna）=0，故f（x）只有一个零点，
当a∈（1，+∞）时，有1--ln＞0，即f（-lna）＞0
故f（x）没有零点
当a∈（0，1）时,1--ln＜0，f（-lna）＜0
有f（-2）=ae-4+（a-2）e-2+2＞-2e-2+2＞0
故f（x）在（-∞，-lna）有一个零点
假设存在正整数n0，满足n0＞ln（），则f（n0）=＞＞0
有ln（）＞-lna
因此在（-lna，+∞）有一个零点
∴a的取值范围是（0,1）.
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点的判定定理
【解析】【分析】（1.）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；
（2.）由（1）可知：当a＞0时才有个零点，根据函数的单调性求得f（x）最小值，由f（x）min＜0，g（a）=alna+a﹣1，a＞0，求导，由g（a）min=g（e﹣2）=e﹣2lne﹣2+e﹣2﹣1=﹣ ﹣1，g（1）=0，即可求得a的取值范围．
四、选考题
22．（2017·新课标Ⅰ卷理）[选修4-4，坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （θ为参数），直线l的参数方程为 （t为参数）．（10分）
（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为 ，求a．
【答案】（1）解：曲线C的参数方程为 （θ为参数），化为标准方程是： +y2=1；
a=﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3=0；
联立方程 ，
解得 或 ，
所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（﹣ ， ）．
（2）l的参数方程 （t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4=0，
椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），
所以点P到直线l的距离d为：
d= = ，φ满足tanφ= ，
又d的最大值dmax= ，
所以|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|的最大值为17，
得：5﹣a﹣4=17或﹣5﹣a﹣4=﹣17，
即a=﹣16或a=8．
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；平面内点到直线的距离公式；直线与圆锥曲线的关系；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1.）将曲线C的参数方程化为标准方程，直线l的参数方程化为一般方程，联立两方程可以求得焦点坐标；
（2.）曲线C上的点可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），运用点到直线距离公式可以表示出P到直线l的距离，再结合距离最大值为 进行分析，可以求出a的值．
23．（2017·新课标Ⅰ卷文）已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．
【答案】（1）解：（1）当a=1时，f（x）=﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x= 的二次函数，
g（x）=|x+1|+|x﹣1|= ，
当x∈（1，+∞）时，令﹣x2+x+4=2x，解得x= ，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1， ]；
当x∈[﹣1，1]时，g（x）=2，f（x）≥f（﹣1）=2．
当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）=f（﹣1）=2．
综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1， ]；
（2）（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需 ，解得﹣1≤a≤1，
故a的取值范围是[﹣1，1]．
【知识点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1.）当a=1时，f（x）=﹣x2+x+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|= ，分x＞1、x∈[﹣1，1]、x∈（﹣∞，﹣1）三类讨论，结合g（x）与f（x）的单调性质即可求得f（x）≥g（x）的解集为[﹣1， ]；
（2.）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立 x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，只需 ，解之即可得a的取值范围．
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