2017年高考文数真题试卷（新课标Ⅱ卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2017·新课标Ⅱ卷文）设集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∪B=（ ）
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3}
C．{2，3，4} D．{1，3，4}
【答案】A
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：∵A={1，2，3}，B={2，3，4}，
∴A∪B={1，2，3，4}
故选A．
【分析】集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，求A∪B，可并集的定义直接求出两集合的并集．
2．（2017·新课标Ⅱ卷文）（1+i）（2+i）=（ ）
A．1﹣i B．1+3i C．3+i D．3+3i
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：原式=2﹣1+3i=1+3i．
故选：B．
【分析】利用复数的运算法则即可得出．
3．（2017·新课标Ⅱ卷文）函数f（x）=sin（2x+ ）的最小正周期为（ ）
A．4π B．2π C．π D．
【答案】C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：函数f（x）=sin（2x+ ）的最小正周期为： =π．
故选：C．
【分析】利用三角函数周期公式，直接求解即可．
4．（2017·新课标Ⅱ卷文）设非零向量 ， 满足| + |=| ﹣ |则（ ）
A．⊥ B．| |=| |
C．∥ D．| |＞| |
【答案】A
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：∵非零向量 ， 满足| + |=| ﹣ |，
∴ ，
解得 =0，
∴ ．
故选：A．
【分析】由已知得 ，从而 =0，由此得到 ．
5．（2017·新课标Ⅱ卷文）若a＞1，则双曲线 ﹣y2=1的离心率的取值范围是（ ）
A．（ ，+∞） B．（ ，2）
C．（1， ） D．（1，2）
【答案】C
【知识点】函数的值域；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：a＞1，则双曲线 ﹣y2=1的离心率为： = = ∈（1， ）．
故选：C．
【分析】利用双曲线方程，求出a，c然后求解双曲线的离心率的范围即可．
6．（2017·新课标Ⅱ卷文）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）
A．90π B．63π C．42π D．36π
【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积；由三视图还原实物图；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，
V=π 32×10﹣ π 32×6=63π，
故选：B．
【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，即可求出几何体的体积．
7．（2017·新课标Ⅱ卷文）（2017 新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件 ，则z=2x+y的最小值是（ ）
A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9
【答案】A
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划
【解析】【解答】解：x、y满足约束条件 的可行域如图：
z=2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值，
由 解得A（﹣6，﹣3），
则z=2x+y 的最小值是：﹣15．
故选：A．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可．
8．（2017·新课标Ⅱ卷文）函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（ ）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣1）
C．（1，+∞） D．（4，+∞）
【答案】D
【知识点】复合函数的单调性；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由x2﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），
令t=x2﹣2x﹣8，则y=lnt，
∵x∈（﹣∞，﹣2）时，t=x2﹣2x﹣8为减函数；
x∈（4，+∞）时，t=x2﹣2x﹣8为增函数；
y=lnt为增函数，
故函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（4，+∞），
故选：D．
【分析】由x2﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），令t=x2﹣2x﹣8，则y=lnt，结合复合函数单调性“同增异减”的原则，可得答案．
9．（2017·新课标Ⅱ卷文）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ）
A．乙可以知道两人的成绩 B．丁可能知道两人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
【答案】D
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，
甲不知自己的成绩
→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）
→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩
→丁看到甲、丁中也为一优一良，丁知自己的成绩，
故选：D．
【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案
10．（2017·新课标Ⅱ卷文）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】循环结构；程序框图
【解析】【解答】解：执行程序框图，有S=0，k=1，a=﹣1，代入循环，
第一次满足循环，S=﹣1，a=1，k=2；
满足条件，第二次满足循环，S=1，a=﹣1，k=3；
满足条件，第三次满足循环，S=﹣2，a=1，k=4；
满足条件，第四次满足循环，S=2，a=﹣1，k=5；
满足条件，第五次满足循环，S=﹣3，a=1，k=6；
满足条件，第六次满足循环，S=3，a=﹣1，k=7；
7≤6不成立，退出循环输出，S=3；
故选：B．
【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k值，当k=7时，程序终止即可得到结论．
11．（2017·新课标Ⅱ卷文）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】解：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，
基本事件总数n=5×5=25，
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：
（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），
共有m=10个基本事件，
∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p= = ．
故选：D．
【分析】先求出基本事件总数n=5×5=25，再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率．
12．（2017·新课标Ⅱ卷文）过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为 的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（ ）
A． B．2 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】直线的点斜式方程；平面内点到直线的距离公式；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），且斜率为 的直线：y= （x﹣1），
过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为 的直线交C于点M（M在x轴上方），l
可知： ，解得M（3，2 ）．
可得N（﹣1，2 ），NF的方程为：y=﹣ （x﹣1），即 ，
则M到直线NF的距离为： =2 ．
故选：C．
【分析】利用已知条件求出M的坐标，求出N的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．
二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（2017·新课标Ⅱ卷文）函数f（x）=2cosx+sinx的最大值为 ．
【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：函数f（x）=2cosx+sinx= （ cosx+ sinx）= sin（x+θ），其中tanθ=2，
可知函数的最大值为： ．
故答案为： ．
【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，通过正弦函数的有界性求解即可．
14．（2017·新课标Ⅱ卷文）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2，则f（2）= ．
【答案】12
【知识点】奇函数与偶函数的性质；抽象函数及其应用；函数的值
【解析】【解答】解：∵当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2，
∴f（﹣2）=﹣12，
又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（2）=12，
故答案为：12
【分析】由已知中当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2，先求出f（﹣2），进而根据奇函数的性质，可得答案．
15．（2017·新课标Ⅱ卷文）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 ．
【答案】14
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】解：长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，可知长方体的对角线的长就是球的直径，
所以球的半径为： = ．
则球O的表面积为：4× =14π．
故答案为：14π．
【分析】求出球的半径，然后求解球的表面积．
16．（2017·新课标Ⅱ卷文）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B= ．
【答案】
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值；正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：∵2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得，
2cosBsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，
∵sinB≠0，
∴cosB= ，
∵0＜B＜π，
∴B= ，
故答案为：
【分析】根据正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式计算即可
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（2017·新课标Ⅱ卷文）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．
（Ⅰ）若a3+b3=5，求{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若T3=21，求S3．
【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2，a3+b3=5，
可得﹣1+d+q=2，﹣1+2d+q2=5，
解得d=1，q=2或d=3，q=0（舍去），
则{bn}的通项公式为bn=2n﹣1，n∈N*；
（Ⅱ）b1=1，T3=21，
可得1+q+q2=21，
解得q=4或﹣5，
当q=4时，b2=4，a2=2﹣4=﹣2，
d=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，S3=﹣1﹣2﹣3=﹣6；
当q=﹣5时，b2=﹣5，a2=2﹣（﹣5）=7，
d=7﹣（﹣1）=8，S3=﹣1+7+15=21．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，列方程解方程可得d，q，即可得到所求通项公式；
（Ⅱ）运用等比数列的求和公式，解方程可得公比，再由等差数列的通项公式和求和，计算即可得到所求和．
18．（2017·新课标Ⅱ卷文）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°．
（Ⅰ）证明：直线BC∥平面PAD；
（Ⅱ）若△PCD面积为2 ，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
【答案】（Ⅰ）证明：四棱锥P﹣ABCD中，∵∠BAD=∠ABC=90°．∴BC∥AD，∵AD 平面PAD，BC 平面PAD，
∴直线BC∥平面PAD；
（Ⅱ）解：四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°．设AD=2x，
则AB=BC=x，CD= ，O是AD的中点，
连接PO，OC，CD的中点为：E，连接OE，
则OE= ，PO= ，PE= = ，
△PCD面积为2 ，可得： =2 ，
即： ，解得x=2，PE=2 ．
则V P﹣ABCD= × （BC+AD）×AB×PE= =4 ．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（Ⅰ）利用直线与平面平行的判定定理证明即可．
（Ⅱ）利用已知条件转化求解几何体的线段长，然后求解几何体的体积即可．
19．（2017·新课标Ⅱ卷文）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：
（Ⅰ）记A表示时间“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；
（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
（Ⅲ）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．
附：
P（K2≥K） 0.050 0.010 0.001
K 3.841 6.635 10.828
K2= ．
【答案】解：（Ⅰ）根据题意，由旧养殖法的频率分布直方图可得：P（A）=（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62；（Ⅱ）根据题意，补全列联表可得：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 总计
旧养殖法 62 38 100
新养殖法 34 66 100
总计 96 104 200
则有K2= ≈15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（Ⅲ）由频率分布直方图可得：旧养殖法100个网箱产量的平均数 1=（27.5×0.012+32.5×0.014+37.5×0.024+42.5×0.034+47.5×0.040+52.5×0.032+57.5×0.032+62.5×0.012+67.5×0.012）×5=5×9.42=47.1；新养殖法100个网箱产量的平均数 2=（37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+52.5×0.068+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008）×5=5×10.47=52.35；比较可得： 1＜ 2，故新养殖法更加优于旧养殖法．
【知识点】频率分布直方图；独立性检验；独立性检验的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，由旧养殖法的频率分布直方图计算可得答案；
（Ⅱ）由频率分布直方图可以将列联表补全，进而计算可得K2= ≈7.853＞6.635，与附表比较即可得答案；
（Ⅲ）由频率分布直方图计算新旧养殖法产量的平均数，比较即可得答案．
20．（2017·新课标Ⅱ卷文）（2017 新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C： +y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足 = ．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设点Q在直线x=﹣3上，且 =1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
【答案】解：（Ⅰ）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），
设P（x，y），由点P满足 = ．
可得（x﹣x0，y）= （0，y0），
可得x﹣x0=0，y= y0，
即有x0=x，y0= ，
代入椭圆方程 +y2=1，可得 + =1，
即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2；
（Ⅱ）证明：设Q（﹣3，m），P（ cosα， sinα），（0≤α＜2π），
=1，可得（ cosα， sinα） （﹣3﹣ cosα，m﹣ sinα）=1，
即为﹣3 cosα﹣2cos2α+ msinα﹣2sin2α=1，
解得m= ，
即有Q（﹣3， ），
椭圆 +y2=1的左焦点F（﹣1，0），
由kOQ=﹣ ，
kPF= ，
由kOQ kPF=﹣1，
可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
【知识点】平面向量的数量积运算；用斜率判定两直线垂直；轨迹方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（Ⅰ）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），运用向量的坐标运算，结合M满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程；
（Ⅱ）设Q（﹣3，m），P（ cosα， sinα），（0≤α＜2π），运用向量的数量积的坐标表示，可得m，即有Q的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ，PF的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证．
21．（2017·新课标Ⅱ卷文）设函数f（x）=（1﹣x2）ex．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ）因为f（x）=（1﹣x2）ex，x∈R，
所以f′（x）=（1﹣2x﹣x2）ex，
令f′（x）=0可知x=﹣1± ，
当x＜﹣1﹣ 或x＞﹣1+ 时f′（x）＜0，当﹣1﹣ ＜x＜﹣1+ 时f′（x）＞0，
所以f（x）在（﹣∞，﹣1﹣ ），（﹣1+ ，+∞）上单调递减，在（﹣1﹣ ，﹣1+ ）上单调递增；
（Ⅱ）由题可知f（x）=（1﹣x）（1+x）ex．下面对a的范围进行讨论：
①当a≥1时，设函数h（x）=（1﹣x）ex，则h′（x）=﹣xex＜0（x＞0），
因此h（x）在[0，+∞）上单调递减，
又因为h（0）=1，所以h（x）≤1，
所以f（x）=（1﹣x）h（x）≤x+1≤ax+1；
②当0＜a＜1时，设函数g（x）=ex﹣x﹣1，则g′（x）=ex﹣1＞0（x＞0），
所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，
又g（0）=1﹣0﹣1=0，
所以ex≥x+1．
因为当0＜x＜1时f（x）＞（1﹣x）（1+x）2，
所以（1﹣x）（1+x）2﹣ax﹣1=x（1﹣a﹣x﹣x2），
取x0= ∈（0，1），则（1﹣x0）（1+x0）2﹣ax0﹣1=0，
所以f（x0）＞ax0+1，矛盾；
③当a≤0时，取x0= ∈（0，1），则f（x0）＞（1﹣x0）（1+x0）2=1≥ax0+1，矛盾；
综上所述，a的取值范围是[1，+∞）．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求出极值点，利用导函数的符号，判断函数的单调性即可．
（Ⅱ）化简f（x）=（1﹣x）（1+x）ex．f（x）≤ax+1，下面对a的范围进行讨论：
①当a≥1时，②当0＜a＜1时，设函数g（x）=ex﹣x﹣1，则g′（x）=ex﹣1＞0（x＞0），推出结论；③当a≤0时，推出结果，然后得到a的取值范围．
22．（2017·新课标Ⅱ卷文）（2017 新课标Ⅱ）[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．
（Ⅰ）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM| |OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点A的极坐标为（2， ），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
【答案】解：（Ⅰ）曲线C1的直角坐标方程为：x=4，
设P（x，y），M（4，y0），则 ，∴y0= ，
∵|OM||OP|=16，
∴ =16，
即（x2+y2）（1+ ）=16，
整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0），
∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．
（Ⅱ）点A的直角坐标为A（1， ），显然点A在曲线C2上，|OA|=2，
∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d= = ，
∴△AOB的最大面积S= |OA| （2+ ）=2+ ．
【知识点】直线的点斜式方程；平面内点到直线的距离公式；简单曲线的极坐标方程；极坐标刻画点的位置；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【分析】（Ⅰ）设P（x，y），利用相似得出M点坐标，根据|OM| |OP|=16列方程化简即可；
（Ⅱ）求出曲线C2的圆心和半径，得出B到OA的最大距离，即可得出最大面积．
23．（2017·新课标Ⅱ卷文）（2017 新课标Ⅱ）[选修4-5：不等式选讲]
已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：
（Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4；
（Ⅱ）a+b≤2．
【答案】证明：（Ⅰ）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（ + ）2=（a3+b3）2≥4，
当且仅当 = ，即a=b=1时取等号，
（Ⅱ）∵a3+b3=2，
∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2，
∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2，
∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2，
∴ =ab，
由均值不等式可得： =ab≤（ ）2，
∴（a+b）3﹣2≤ ，
∴ （a+b）3≤2，
∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．
【知识点】基本不等式；不等式的证明；二维形式的柯西不等式
【解析】【分析】（Ⅰ）由柯西不等式即可证明，
（Ⅱ）由a3+b3=2转化为 =ab，再由均值不等式可得： =ab≤（ ）2，即可得到 ≤2，问题得以证明．
1 / 12017年高考文数真题试卷（新课标Ⅱ卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2017·新课标Ⅱ卷文）设集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∪B=（ ）
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3}
C．{2，3，4} D．{1，3，4}
2．（2017·新课标Ⅱ卷文）（1+i）（2+i）=（ ）
A．1﹣i B．1+3i C．3+i D．3+3i
3．（2017·新课标Ⅱ卷文）函数f（x）=sin（2x+ ）的最小正周期为（ ）
A．4π B．2π C．π D．
4．（2017·新课标Ⅱ卷文）设非零向量 ， 满足| + |=| ﹣ |则（ ）
A．⊥ B．| |=| |
C．∥ D．| |＞| |
5．（2017·新课标Ⅱ卷文）若a＞1，则双曲线 ﹣y2=1的离心率的取值范围是（ ）
A．（ ，+∞） B．（ ，2）
C．（1， ） D．（1，2）
6．（2017·新课标Ⅱ卷文）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）
A．90π B．63π C．42π D．36π
7．（2017·新课标Ⅱ卷文）（2017 新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件 ，则z=2x+y的最小值是（ ）
A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9
8．（2017·新课标Ⅱ卷文）函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（ ）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣1）
C．（1，+∞） D．（4，+∞）
9．（2017·新课标Ⅱ卷文）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ）
A．乙可以知道两人的成绩 B．丁可能知道两人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
10．（2017·新课标Ⅱ卷文）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．（2017·新课标Ⅱ卷文）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．（2017·新课标Ⅱ卷文）过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为 的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（ ）
A． B．2 C．2 D．3
二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（2017·新课标Ⅱ卷文）函数f（x）=2cosx+sinx的最大值为 ．
14．（2017·新课标Ⅱ卷文）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2，则f（2）= ．
15．（2017·新课标Ⅱ卷文）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 ．
16．（2017·新课标Ⅱ卷文）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B= ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（2017·新课标Ⅱ卷文）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．
（Ⅰ）若a3+b3=5，求{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若T3=21，求S3．
18．（2017·新课标Ⅱ卷文）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°．
（Ⅰ）证明：直线BC∥平面PAD；
（Ⅱ）若△PCD面积为2 ，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
19．（2017·新课标Ⅱ卷文）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：
（Ⅰ）记A表示时间“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；
（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
（Ⅲ）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．
附：
P（K2≥K） 0.050 0.010 0.001
K 3.841 6.635 10.828
K2= ．
20．（2017·新课标Ⅱ卷文）（2017 新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C： +y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足 = ．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设点Q在直线x=﹣3上，且 =1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
21．（2017·新课标Ⅱ卷文）设函数f（x）=（1﹣x2）ex．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围．
22．（2017·新课标Ⅱ卷文）（2017 新课标Ⅱ）[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．
（Ⅰ）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM| |OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点A的极坐标为（2， ），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
23．（2017·新课标Ⅱ卷文）（2017 新课标Ⅱ）[选修4-5：不等式选讲]
已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：
（Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4；
（Ⅱ）a+b≤2．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：∵A={1，2，3}，B={2，3，4}，
∴A∪B={1，2，3，4}
故选A．
【分析】集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，求A∪B，可并集的定义直接求出两集合的并集．
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：原式=2﹣1+3i=1+3i．
故选：B．
【分析】利用复数的运算法则即可得出．
3．【答案】C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：函数f（x）=sin（2x+ ）的最小正周期为： =π．
故选：C．
【分析】利用三角函数周期公式，直接求解即可．
4．【答案】A
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：∵非零向量 ， 满足| + |=| ﹣ |，
∴ ，
解得 =0，
∴ ．
故选：A．
【分析】由已知得 ，从而 =0，由此得到 ．
5．【答案】C
【知识点】函数的值域；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：a＞1，则双曲线 ﹣y2=1的离心率为： = = ∈（1， ）．
故选：C．
【分析】利用双曲线方程，求出a，c然后求解双曲线的离心率的范围即可．
6．【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积；由三视图还原实物图；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，
V=π 32×10﹣ π 32×6=63π，
故选：B．
【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，即可求出几何体的体积．
7．【答案】A
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划
【解析】【解答】解：x、y满足约束条件 的可行域如图：
z=2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值，
由 解得A（﹣6，﹣3），
则z=2x+y 的最小值是：﹣15．
故选：A．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可．
8．【答案】D
【知识点】复合函数的单调性；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由x2﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），
令t=x2﹣2x﹣8，则y=lnt，
∵x∈（﹣∞，﹣2）时，t=x2﹣2x﹣8为减函数；
x∈（4，+∞）时，t=x2﹣2x﹣8为增函数；
y=lnt为增函数，
故函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（4，+∞），
故选：D．
【分析】由x2﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），令t=x2﹣2x﹣8，则y=lnt，结合复合函数单调性“同增异减”的原则，可得答案．
9．【答案】D
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，
甲不知自己的成绩
→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）
→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩
→丁看到甲、丁中也为一优一良，丁知自己的成绩，
故选：D．
【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案
10．【答案】B
【知识点】循环结构；程序框图
【解析】【解答】解：执行程序框图，有S=0，k=1，a=﹣1，代入循环，
第一次满足循环，S=﹣1，a=1，k=2；
满足条件，第二次满足循环，S=1，a=﹣1，k=3；
满足条件，第三次满足循环，S=﹣2，a=1，k=4；
满足条件，第四次满足循环，S=2，a=﹣1，k=5；
满足条件，第五次满足循环，S=﹣3，a=1，k=6；
满足条件，第六次满足循环，S=3，a=﹣1，k=7；
7≤6不成立，退出循环输出，S=3；
故选：B．
【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k值，当k=7时，程序终止即可得到结论．
11．【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】解：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，
基本事件总数n=5×5=25，
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：
（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），
共有m=10个基本事件，
∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p= = ．
故选：D．
【分析】先求出基本事件总数n=5×5=25，再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率．
12．【答案】C
【知识点】直线的点斜式方程；平面内点到直线的距离公式；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），且斜率为 的直线：y= （x﹣1），
过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为 的直线交C于点M（M在x轴上方），l
可知： ，解得M（3，2 ）．
可得N（﹣1，2 ），NF的方程为：y=﹣ （x﹣1），即 ，
则M到直线NF的距离为： =2 ．
故选：C．
【分析】利用已知条件求出M的坐标，求出N的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．
13．【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：函数f（x）=2cosx+sinx= （ cosx+ sinx）= sin（x+θ），其中tanθ=2，
可知函数的最大值为： ．
故答案为： ．
【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，通过正弦函数的有界性求解即可．
14．【答案】12
【知识点】奇函数与偶函数的性质；抽象函数及其应用；函数的值
【解析】【解答】解：∵当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2，
∴f（﹣2）=﹣12，
又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（2）=12，
故答案为：12
【分析】由已知中当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2，先求出f（﹣2），进而根据奇函数的性质，可得答案．
15．【答案】14
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】解：长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，可知长方体的对角线的长就是球的直径，
所以球的半径为： = ．
则球O的表面积为：4× =14π．
故答案为：14π．
【分析】求出球的半径，然后求解球的表面积．
16．【答案】
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值；正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：∵2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得，
2cosBsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，
∵sinB≠0，
∴cosB= ，
∵0＜B＜π，
∴B= ，
故答案为：
【分析】根据正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式计算即可
17．【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2，a3+b3=5，
可得﹣1+d+q=2，﹣1+2d+q2=5，
解得d=1，q=2或d=3，q=0（舍去），
则{bn}的通项公式为bn=2n﹣1，n∈N*；
（Ⅱ）b1=1，T3=21，
可得1+q+q2=21，
解得q=4或﹣5，
当q=4时，b2=4，a2=2﹣4=﹣2，
d=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，S3=﹣1﹣2﹣3=﹣6；
当q=﹣5时，b2=﹣5，a2=2﹣（﹣5）=7，
d=7﹣（﹣1）=8，S3=﹣1+7+15=21．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，列方程解方程可得d，q，即可得到所求通项公式；
（Ⅱ）运用等比数列的求和公式，解方程可得公比，再由等差数列的通项公式和求和，计算即可得到所求和．
18．【答案】（Ⅰ）证明：四棱锥P﹣ABCD中，∵∠BAD=∠ABC=90°．∴BC∥AD，∵AD 平面PAD，BC 平面PAD，
∴直线BC∥平面PAD；
（Ⅱ）解：四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°．设AD=2x，
则AB=BC=x，CD= ，O是AD的中点，
连接PO，OC，CD的中点为：E，连接OE，
则OE= ，PO= ，PE= = ，
△PCD面积为2 ，可得： =2 ，
即： ，解得x=2，PE=2 ．
则V P﹣ABCD= × （BC+AD）×AB×PE= =4 ．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（Ⅰ）利用直线与平面平行的判定定理证明即可．
（Ⅱ）利用已知条件转化求解几何体的线段长，然后求解几何体的体积即可．
19．【答案】解：（Ⅰ）根据题意，由旧养殖法的频率分布直方图可得：P（A）=（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62；（Ⅱ）根据题意，补全列联表可得：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 总计
旧养殖法 62 38 100
新养殖法 34 66 100
总计 96 104 200
则有K2= ≈15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（Ⅲ）由频率分布直方图可得：旧养殖法100个网箱产量的平均数 1=（27.5×0.012+32.5×0.014+37.5×0.024+42.5×0.034+47.5×0.040+52.5×0.032+57.5×0.032+62.5×0.012+67.5×0.012）×5=5×9.42=47.1；新养殖法100个网箱产量的平均数 2=（37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+52.5×0.068+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008）×5=5×10.47=52.35；比较可得： 1＜ 2，故新养殖法更加优于旧养殖法．
【知识点】频率分布直方图；独立性检验；独立性检验的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，由旧养殖法的频率分布直方图计算可得答案；
（Ⅱ）由频率分布直方图可以将列联表补全，进而计算可得K2= ≈7.853＞6.635，与附表比较即可得答案；
（Ⅲ）由频率分布直方图计算新旧养殖法产量的平均数，比较即可得答案．
20．【答案】解：（Ⅰ）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），
设P（x，y），由点P满足 = ．
可得（x﹣x0，y）= （0，y0），
可得x﹣x0=0，y= y0，
即有x0=x，y0= ，
代入椭圆方程 +y2=1，可得 + =1，
即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2；
（Ⅱ）证明：设Q（﹣3，m），P（ cosα， sinα），（0≤α＜2π），
=1，可得（ cosα， sinα） （﹣3﹣ cosα，m﹣ sinα）=1，
即为﹣3 cosα﹣2cos2α+ msinα﹣2sin2α=1，
解得m= ，
即有Q（﹣3， ），
椭圆 +y2=1的左焦点F（﹣1，0），
由kOQ=﹣ ，
kPF= ，
由kOQ kPF=﹣1，
可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
【知识点】平面向量的数量积运算；用斜率判定两直线垂直；轨迹方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（Ⅰ）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），运用向量的坐标运算，结合M满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程；
（Ⅱ）设Q（﹣3，m），P（ cosα， sinα），（0≤α＜2π），运用向量的数量积的坐标表示，可得m，即有Q的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ，PF的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证．
21．【答案】解：（Ⅰ）因为f（x）=（1﹣x2）ex，x∈R，
所以f′（x）=（1﹣2x﹣x2）ex，
令f′（x）=0可知x=﹣1± ，
当x＜﹣1﹣ 或x＞﹣1+ 时f′（x）＜0，当﹣1﹣ ＜x＜﹣1+ 时f′（x）＞0，
所以f（x）在（﹣∞，﹣1﹣ ），（﹣1+ ，+∞）上单调递减，在（﹣1﹣ ，﹣1+ ）上单调递增；
（Ⅱ）由题可知f（x）=（1﹣x）（1+x）ex．下面对a的范围进行讨论：
①当a≥1时，设函数h（x）=（1﹣x）ex，则h′（x）=﹣xex＜0（x＞0），
因此h（x）在[0，+∞）上单调递减，
又因为h（0）=1，所以h（x）≤1，
所以f（x）=（1﹣x）h（x）≤x+1≤ax+1；
②当0＜a＜1时，设函数g（x）=ex﹣x﹣1，则g′（x）=ex﹣1＞0（x＞0），
所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，
又g（0）=1﹣0﹣1=0，
所以ex≥x+1．
因为当0＜x＜1时f（x）＞（1﹣x）（1+x）2，
所以（1﹣x）（1+x）2﹣ax﹣1=x（1﹣a﹣x﹣x2），
取x0= ∈（0，1），则（1﹣x0）（1+x0）2﹣ax0﹣1=0，
所以f（x0）＞ax0+1，矛盾；
③当a≤0时，取x0= ∈（0，1），则f（x0）＞（1﹣x0）（1+x0）2=1≥ax0+1，矛盾；
综上所述，a的取值范围是[1，+∞）．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求出极值点，利用导函数的符号，判断函数的单调性即可．
（Ⅱ）化简f（x）=（1﹣x）（1+x）ex．f（x）≤ax+1，下面对a的范围进行讨论：
①当a≥1时，②当0＜a＜1时，设函数g（x）=ex﹣x﹣1，则g′（x）=ex﹣1＞0（x＞0），推出结论；③当a≤0时，推出结果，然后得到a的取值范围．
22．【答案】解：（Ⅰ）曲线C1的直角坐标方程为：x=4，
设P（x，y），M（4，y0），则 ，∴y0= ，
∵|OM||OP|=16，
∴ =16，
即（x2+y2）（1+ ）=16，
整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0），
∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．
（Ⅱ）点A的直角坐标为A（1， ），显然点A在曲线C2上，|OA|=2，
∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d= = ，
∴△AOB的最大面积S= |OA| （2+ ）=2+ ．
【知识点】直线的点斜式方程；平面内点到直线的距离公式；简单曲线的极坐标方程；极坐标刻画点的位置；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【分析】（Ⅰ）设P（x，y），利用相似得出M点坐标，根据|OM| |OP|=16列方程化简即可；
（Ⅱ）求出曲线C2的圆心和半径，得出B到OA的最大距离，即可得出最大面积．
23．【答案】证明：（Ⅰ）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（ + ）2=（a3+b3）2≥4，
当且仅当 = ，即a=b=1时取等号，
（Ⅱ）∵a3+b3=2，
∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2，
∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2，
∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2，
∴ =ab，
由均值不等式可得： =ab≤（ ）2，
∴（a+b）3﹣2≤ ，
∴ （a+b）3≤2，
∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．
【知识点】基本不等式；不等式的证明；二维形式的柯西不等式
【解析】【分析】（Ⅰ）由柯西不等式即可证明，
（Ⅱ）由a3+b3=2转化为 =ab，再由均值不等式可得： =ab≤（ ）2，即可得到 ≤2，问题得以证明．
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