2017年高考理数真题试卷（北京卷）
一、选择题.（每小题5分）
1．（2017·北京）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，则A∩B=（ ）
A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣2＜x＜3}
C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，
∴A∩B={x|﹣2＜x＜﹣1}
故选：A
【分析】根据已知中集合A和B，结合集合交集的定义，可得答案．
2．（2017·北京）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1）
C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞）
【答案】B
【知识点】虚数单位i及其性质；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，
∴ ，解得a＜﹣1．
则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．
故选：B．
【分析】复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，可得 ，解得a范围．
3．（2017·北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】循环结构；程序框图
【解析】【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2，
当k=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S= ，
当k=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S= ，
当k=3时，不满足进行循环的条件，
故输出结果为： ，
故选：C．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
4．（2017·北京）若x，y满足 ，则x+2y的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
【答案】D
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划
【解析】【解答】解：x，y满足 的可行域如图：
由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由 ，可得A（3，3），
目标函数的最大值为：3+2×3=9．
故选：D．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可．
5．（2017·北京）已知函数f（x）=3x﹣（ ）x，则f（x）（ ）
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：显然，函数的定义域为全体实数，
f（x）=3x﹣（ ）x=3x﹣3﹣x，
∴f（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣f（x），
即函数f（x）为奇函数，
又由函数y=3x为增函数，y=（ ）x为减函数，
故函数f（x）=3x﹣（ ）x为增函数，
故选：A．
【分析】由已知得f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，由函数y=3x为增函数，y=（ ）x为减函数，结合“增”﹣“减”=“增”可得答案．
6．（2017·北京）设 ， 为非零向量，则“存在负数λ，使得 =λ ”是 ＜0”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量数乘的运算；平面向量数量积的性质
【解析】【解答】解： ， 为非零向量，存在负数λ，使得 =λ ，则向量 ， 共线且方向相反，可得 ＜0．
反之不成立，非零向量 ， 的夹角为钝角，满足 ＜0，而 =λ 不成立．
∴ ， 为非零向量，则“存在负数λ，使得 =λ ”是 ＜0”的充分不必要条件．
故选：A．
【分析】 ， 为非零向量，存在负数λ，使得 =λ ，则向量 ， 共线且方向相反，可得 ＜0．反之不成立，非零向量 ， 的夹角为钝角，满足 ＜0，而 =λ 不成立．即可判断出结论．
7．（2017·北京）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）
A．3 B．2 C．2 D．2
【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积；由三视图还原实物图
【解析】【解答】解：由三视图可得直观图，
再四棱锥P﹣ABCD中，
最长的棱为PA，
即PA= =
=2 ，
故选：B．
【分析】根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得最长的棱为PA，根据勾股定理求出即可．
8．（2017·北京）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与 最接近的是（ ）
（参考数据：lg3≈0.48）
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，
根据对数性质有：3=10lg3≈100.48，
∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，
∴ ≈ =1093，
故本题选：D．
【分析】根据对数的性质：T= ，可得：3=10lg3≈100.48，代入M将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果．
二、填空题（每小题5分）
9．（2017·北京）若双曲线x2﹣ =1的离心率为 ，则实数m= ．
【答案】2
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线x2﹣ =1（m＞0）的离心率为 ，
可得： ，
解得m=2．
故答案为：2．
【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可．
10．（2017·北京）若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，则 = ．
【答案】1
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【解答】解：等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，
设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．
可得：8=﹣1+3d，d=3，a2=2；
8=﹣q3，解得q=﹣2，∴b2=2．
可得 =1．
故答案为：1．
【分析】利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可得到结果．
11．（2017·北京）在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为 ．
【答案】1
【知识点】点与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【解答】解：设圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0为圆C，将圆C的极坐标方程化为：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0，
再化为标准方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1；
如图，当A在CP与⊙C的交点Q处时，|AP|最小为：
|AP|min=|CP|﹣rC=2﹣1=1，
故答案为：1．
【分析】先将圆的极坐标方程化为标准方程，再运用数形结合的方法求出圆上的点到点P的距离的最小值．
12．（2017·北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα= ，则cos（α﹣β）= ．
【答案】﹣
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：方法一：∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，
∴sinα=sinβ= ，cosα=﹣cosβ，
∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣cos2α+sin2α=2sin2α﹣1= ﹣1=﹣
方法二：∵sinα= ，
当α在第一象限时，cosα= ，
∵α，β角的终边关于y轴对称，
∴β在第二象限时，sinβ=sinα= ，cosβ=﹣cosα=﹣ ，
∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣ × + × =﹣
：∵sinα= ，
当α在第二象限时，cosα=﹣ ，
∵α，β角的终边关于y轴对称，
∴β在第一象限时，sinβ=sinα= ，cosβ=﹣cosα= ，
∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣ × + × =﹣
综上所述cos（α﹣β）=﹣ ，
故答案为：﹣
【分析】方法一：根据教的对称得到sinα=sinβ= ，cosα=﹣cosβ，以及两角差的余弦公式即可求出
方法二：分α在第一象限，或第二象限，根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出
13．（2017·北京）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为 ．
【答案】﹣1，﹣2，﹣3
【知识点】命题的否定；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，
则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，
可设a，b，c的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一），
故答案为：﹣1，﹣2，﹣3
【分析】设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，举例即可，本题答案不唯一
14．（2017·北京）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3．
①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是 ．
②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是 ．
【答案】Q1；p2
【知识点】函数的图象与图象变化
【解析】【解答】解：①若Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，
Q1=A1的综坐标+B1的综坐标；
Q2=A2的综坐标+B2的综坐标，
Q3=A3的综坐标+B3的综坐标，
由已知中图象可得：Q1，Q2，Q3中最大的是Q1，
②若pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，
则pi为AiBi中点与原点连线的斜率，
故p1，p2，p3中最大的是p2
故答案为：Q1，p2
【分析】①若Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Qi=Ai的综坐标+Bi的综坐标；进而得到答案．
②若pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则pi为AiBi中点与原点连线的斜率；进而得到答案．
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（2017·北京）在△ABC中，∠A=60°，c= a．（13分）
（1）求sinC的值；
（2）若a=7，求△ABC的面积．
【答案】（1）解：∠A=60°，c= a，
由正弦定理可得sinC= sinA= × = ，
（2）解：a=7，则c=3，
∴C＜A，
由（1）可得cosC= ，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC= × + × = ，
∴S△ABC= acsinB= ×7×3× =6 ．
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1.）根据正弦定理即可求出答案，
（2.）根据同角的三角函数的关系求出cosC，再根据两角和正弦公式求出sinB，根据面积公式计算即可．
16．（2017·北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD= ，AB=4．
（1）求证：M为PB的中点；
（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；
（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：如图，设AC∩BD=O，∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM，
∵PD∥平面MAC，PD 平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM，
∴PD∥OM，则 ，即M为PB的中点；
（2）解：取AD中点G，
∵PA=PD，∴PG⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，
由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD．
以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，
由PA=PD= ，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0， ），C（2，4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2， ），
， ．
设平面PBD的一个法向量为 ，
则由 ，得 ，取z= ，得 ．
取平面PAD的一个法向量为 ．
∴cos＜ ＞= = ．
∴二面角B﹣PD﹣A的大小为60°；
（3）解： ，平面PAD的一个法向量为 ．
∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos＜ ＞|=| |=| |= ．
【知识点】直线与平面平行的性质；平面与平面垂直的性质；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1.）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点；
（2.）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小；
（3.）求出 的坐标，由 与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
17．（2017·北京）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．
（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
（2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；
（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论）
【答案】（1）解：由图知：在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，
则从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率为：
p= = ．
（2）解：由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7，
可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2，
P（ξ=0）= ，
P（ξ=1）= = ，
P（ξ=2）= = ，
∴ξ的分布列如下：
ξ 0 1 2
P
E（ξ）= =1．
（3）解：由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大．
【知识点】随机抽样和样本估计总体的实际应用；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1.）由图求出在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，由此能求出从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率．
（2.）由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7，可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．
（3.）由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大．
18．（2017·北京）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0， ）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（14分）
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）求证：A为线段BM的中点．
【答案】（1）解：（1）∵y2=2px过点P（1，1），∴1=2p，
解得p= ，
∴y2=x，∴焦点坐标为（ ，0），准线为x=﹣ ，
（2）（2）证明：设过点（0， ）的直线方程为
y=kx+ ，M（x1，y1），N（x2，y2），
∴直线OP为y=x，直线ON为：y= x，
由题意知A（x1，x1），B（x1， ），
由 ，可得k2x2+（k﹣1）x+ =0，
∴x1+x2= ，x1x2=
∴y1+ =kx1+ + =2kx1+ =2kx1+ =
∴A为线段BM的中点．
【知识点】抛物线的简单性质；抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1.）根据抛物线过点P（1，1）．代值求出p，即可求出抛物线C的方程，焦点坐标和准线方程；
（2.）设过点（0， ）的直线方程为y=kx+ ，M（x1，y1），N（x2，y2），根据韦达定理得到x1+x2= ，x1x2= ，根据中点的定义即可证明．
19．（2017·北京）已知函数f（x）=excosx﹣x．（13分）
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[0， ]上的最大值和最小值．
【答案】（1）解：函数f（x）=excosx﹣x的导数为f′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1，
可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=e0（cos0﹣sin0）﹣1=0，
切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），
曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；
（2）解：函数f（x）=excosx﹣x的导数为f′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1，
令g（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1，
则g（x）的导数为g′（x）=ex（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）=﹣2ex sinx，
当x∈[0， ]，可得g′（x）=﹣2ex sinx≤0，
即有g（x）在[0， ]递减，可得g（x）≤g（0）=0，
则f（x）在[0， ]递减，
即有函数f（x）在区间[0， ]上的最大值为f（0）=e0cos0﹣0=1；
最小值为f（ ）=e cos ﹣ =﹣ ．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1.）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；
（2.）求出f（x）的导数，再令g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，可得g（x）在区间[0， ]的单调性，即可得到f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值．
20．（2017·北京）设{an}和{bn}是两个等差数列，记cn=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，bn﹣ann}（n=1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，xs}表示x1，x2，…，xs这s个数中最大的数．（13分）
（1）若an=n，bn=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{cn}是等差数列；
（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时， ＞M；或者存在正整数m，使得cm，cm+1，cm+2，…是等差数列．
【答案】（1）解： a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，
当n=1时，c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0，
当n=2时，c2=max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}=max{﹣1，﹣1}=﹣1，
当n=3时，c3=max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}=max{﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2，
下面证明：对 n∈N*，且n≥2，都有cn=b1﹣na1，
当n∈N*，且2≤k≤n时，
则（bk﹣nak）﹣（b1﹣na1），
=[（2k﹣1）﹣nk]﹣1+n，
=（2k﹣2）﹣n（k﹣1），
=（k﹣1）（2﹣n），由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，
则（bk﹣nak）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥bk﹣nak，
因此，对 n∈N*，且n≥2，cn=b1﹣na1=1﹣n，
cn+1﹣cn=﹣1，
∴c2﹣c1=﹣1，
∴cn+1﹣cn=﹣1对 n∈N*均成立，
∴数列{cn}是等差数列；
（2）证明：设数列{an}和{bn}的公差分别为d1，d2，下面考虑的cn取值，
由b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，bn﹣ann，
考虑其中任意bi﹣ain，（i∈N*，且1≤i≤n），
则bi﹣ain=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n，
=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），
下面分d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论，
①若d1=0，则bi﹣ain═（b1﹣a1n）+（i﹣1）d2，
当若d2≤0，则（bi﹣ain）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）d2≤0，
则对于给定的正整数n而言，cn=b1﹣a1n，此时cn+1﹣cn=﹣a1，
∴数列{cn}是等差数列；
当d1＞0，（bi﹣ain）﹣（bn﹣ann）=（i﹣1）d2≤0，
则对于给定的正整数n而言，cn=bn﹣ann=bn﹣a1n，
此时cn+1﹣cn=d2﹣a1，
∴数列{cn}是等差数列；
此时取m=1，则c1，c2，…，是等差数列，命题成立；
②若d1＞0，则此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，
故必存在m∈N*，使得n≥m时，﹣d1n+d2＜0，
则当n≥m时，（bi﹣ain）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），
因此当n≥m时，cn=b1﹣a1n，
此时cn+1﹣cn=﹣a1，故数列{cn}从第m项开始为等差数列，命题成立；
③若d1＜0，此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数，
故必存在s∈N*，使得n≥s时，﹣d1n+d2＞0，
则当n≥s时，（bi﹣ain）﹣（bn﹣ann）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），
因此，当n≥s时，cn=bn﹣ann，
此时= =﹣an+ ，
=﹣d2n+（d1﹣a1+d2）+ ，
令﹣d1=A＞0，d1﹣a1+d2=B，b1﹣d2=C，
下面证明： =An+B+ 对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m， ＞M，
若C≥0，取m=[ +1]，[x]表示不大于x的最大整数，
当n≥m时， ≥An+B≥Am+B=A[ +1]+B＞A +B=M，
此时命题成立；
若C＜0，取m=[ ]+1，
当n≥m时，
≥An+B+ ≥Am+B+C＞A +B+C ≥M﹣C﹣B+B+C=M，
此时命题成立，
因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时， ＞M；
综合以上三种情况，命题得证．
【知识点】数列的应用；等差关系的确定
【解析】【分析】（1.）分别求得a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得c1，c2，c3；由（bk﹣nak）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥bk﹣nak，则cn=b1﹣na1=1﹣n，cn+1﹣cn=﹣1对 n∈N*均成立；
（2.）由bi﹣ain=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），分类讨论d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得cm，cm+1，cm+2，…是等差数列；设 =An+B+ 对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m， ＞M，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时， ＞M．
1 / 12017年高考理数真题试卷（北京卷）
一、选择题.（每小题5分）
1．（2017·北京）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，则A∩B=（ ）
A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣2＜x＜3}
C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}
2．（2017·北京）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1）
C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞）
3．（2017·北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．2 B． C． D．
4．（2017·北京）若x，y满足 ，则x+2y的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
5．（2017·北京）已知函数f（x）=3x﹣（ ）x，则f（x）（ ）
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
6．（2017·北京）设 ， 为非零向量，则“存在负数λ，使得 =λ ”是 ＜0”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2017·北京）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）
A．3 B．2 C．2 D．2
8．（2017·北京）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与 最接近的是（ ）
（参考数据：lg3≈0.48）
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
二、填空题（每小题5分）
9．（2017·北京）若双曲线x2﹣ =1的离心率为 ，则实数m= ．
10．（2017·北京）若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，则 = ．
11．（2017·北京）在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为 ．
12．（2017·北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα= ，则cos（α﹣β）= ．
13．（2017·北京）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为 ．
14．（2017·北京）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3．
①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是 ．
②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是 ．
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（2017·北京）在△ABC中，∠A=60°，c= a．（13分）
（1）求sinC的值；
（2）若a=7，求△ABC的面积．
16．（2017·北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD= ，AB=4．
（1）求证：M为PB的中点；
（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；
（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
17．（2017·北京）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．
（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
（2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；
（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论）
18．（2017·北京）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0， ）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（14分）
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）求证：A为线段BM的中点．
19．（2017·北京）已知函数f（x）=excosx﹣x．（13分）
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[0， ]上的最大值和最小值．
20．（2017·北京）设{an}和{bn}是两个等差数列，记cn=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，bn﹣ann}（n=1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，xs}表示x1，x2，…，xs这s个数中最大的数．（13分）
（1）若an=n，bn=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{cn}是等差数列；
（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时， ＞M；或者存在正整数m，使得cm，cm+1，cm+2，…是等差数列．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，
∴A∩B={x|﹣2＜x＜﹣1}
故选：A
【分析】根据已知中集合A和B，结合集合交集的定义，可得答案．
2．【答案】B
【知识点】虚数单位i及其性质；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，
∴ ，解得a＜﹣1．
则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．
故选：B．
【分析】复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，可得 ，解得a范围．
3．【答案】C
【知识点】循环结构；程序框图
【解析】【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2，
当k=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S= ，
当k=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S= ，
当k=3时，不满足进行循环的条件，
故输出结果为： ，
故选：C．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
4．【答案】D
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划
【解析】【解答】解：x，y满足 的可行域如图：
由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由 ，可得A（3，3），
目标函数的最大值为：3+2×3=9．
故选：D．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可．
5．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：显然，函数的定义域为全体实数，
f（x）=3x﹣（ ）x=3x﹣3﹣x，
∴f（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣f（x），
即函数f（x）为奇函数，
又由函数y=3x为增函数，y=（ ）x为减函数，
故函数f（x）=3x﹣（ ）x为增函数，
故选：A．
【分析】由已知得f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，由函数y=3x为增函数，y=（ ）x为减函数，结合“增”﹣“减”=“增”可得答案．
6．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量数乘的运算；平面向量数量积的性质
【解析】【解答】解： ， 为非零向量，存在负数λ，使得 =λ ，则向量 ， 共线且方向相反，可得 ＜0．
反之不成立，非零向量 ， 的夹角为钝角，满足 ＜0，而 =λ 不成立．
∴ ， 为非零向量，则“存在负数λ，使得 =λ ”是 ＜0”的充分不必要条件．
故选：A．
【分析】 ， 为非零向量，存在负数λ，使得 =λ ，则向量 ， 共线且方向相反，可得 ＜0．反之不成立，非零向量 ， 的夹角为钝角，满足 ＜0，而 =λ 不成立．即可判断出结论．
7．【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积；由三视图还原实物图
【解析】【解答】解：由三视图可得直观图，
再四棱锥P﹣ABCD中，
最长的棱为PA，
即PA= =
=2 ，
故选：B．
【分析】根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得最长的棱为PA，根据勾股定理求出即可．
8．【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，
根据对数性质有：3=10lg3≈100.48，
∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，
∴ ≈ =1093，
故本题选：D．
【分析】根据对数的性质：T= ，可得：3=10lg3≈100.48，代入M将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果．
9．【答案】2
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线x2﹣ =1（m＞0）的离心率为 ，
可得： ，
解得m=2．
故答案为：2．
【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可．
10．【答案】1
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【解答】解：等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，
设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．
可得：8=﹣1+3d，d=3，a2=2；
8=﹣q3，解得q=﹣2，∴b2=2．
可得 =1．
故答案为：1．
【分析】利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可得到结果．
11．【答案】1
【知识点】点与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【解答】解：设圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0为圆C，将圆C的极坐标方程化为：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0，
再化为标准方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1；
如图，当A在CP与⊙C的交点Q处时，|AP|最小为：
|AP|min=|CP|﹣rC=2﹣1=1，
故答案为：1．
【分析】先将圆的极坐标方程化为标准方程，再运用数形结合的方法求出圆上的点到点P的距离的最小值．
12．【答案】﹣
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：方法一：∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，
∴sinα=sinβ= ，cosα=﹣cosβ，
∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣cos2α+sin2α=2sin2α﹣1= ﹣1=﹣
方法二：∵sinα= ，
当α在第一象限时，cosα= ，
∵α，β角的终边关于y轴对称，
∴β在第二象限时，sinβ=sinα= ，cosβ=﹣cosα=﹣ ，
∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣ × + × =﹣
：∵sinα= ，
当α在第二象限时，cosα=﹣ ，
∵α，β角的终边关于y轴对称，
∴β在第一象限时，sinβ=sinα= ，cosβ=﹣cosα= ，
∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣ × + × =﹣
综上所述cos（α﹣β）=﹣ ，
故答案为：﹣
【分析】方法一：根据教的对称得到sinα=sinβ= ，cosα=﹣cosβ，以及两角差的余弦公式即可求出
方法二：分α在第一象限，或第二象限，根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出
13．【答案】﹣1，﹣2，﹣3
【知识点】命题的否定；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，
则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，
可设a，b，c的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一），
故答案为：﹣1，﹣2，﹣3
【分析】设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，举例即可，本题答案不唯一
14．【答案】Q1；p2
【知识点】函数的图象与图象变化
【解析】【解答】解：①若Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，
Q1=A1的综坐标+B1的综坐标；
Q2=A2的综坐标+B2的综坐标，
Q3=A3的综坐标+B3的综坐标，
由已知中图象可得：Q1，Q2，Q3中最大的是Q1，
②若pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，
则pi为AiBi中点与原点连线的斜率，
故p1，p2，p3中最大的是p2
故答案为：Q1，p2
【分析】①若Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Qi=Ai的综坐标+Bi的综坐标；进而得到答案．
②若pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则pi为AiBi中点与原点连线的斜率；进而得到答案．
15．【答案】（1）解：∠A=60°，c= a，
由正弦定理可得sinC= sinA= × = ，
（2）解：a=7，则c=3，
∴C＜A，
由（1）可得cosC= ，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC= × + × = ，
∴S△ABC= acsinB= ×7×3× =6 ．
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1.）根据正弦定理即可求出答案，
（2.）根据同角的三角函数的关系求出cosC，再根据两角和正弦公式求出sinB，根据面积公式计算即可．
16．【答案】（1）证明：如图，设AC∩BD=O，∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM，
∵PD∥平面MAC，PD 平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM，
∴PD∥OM，则 ，即M为PB的中点；
（2）解：取AD中点G，
∵PA=PD，∴PG⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，
由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD．
以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，
由PA=PD= ，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0， ），C（2，4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2， ），
， ．
设平面PBD的一个法向量为 ，
则由 ，得 ，取z= ，得 ．
取平面PAD的一个法向量为 ．
∴cos＜ ＞= = ．
∴二面角B﹣PD﹣A的大小为60°；
（3）解： ，平面PAD的一个法向量为 ．
∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos＜ ＞|=| |=| |= ．
【知识点】直线与平面平行的性质；平面与平面垂直的性质；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1.）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点；
（2.）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小；
（3.）求出 的坐标，由 与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
17．【答案】（1）解：由图知：在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，
则从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率为：
p= = ．
（2）解：由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7，
可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2，
P（ξ=0）= ，
P（ξ=1）= = ，
P（ξ=2）= = ，
∴ξ的分布列如下：
ξ 0 1 2
P
E（ξ）= =1．
（3）解：由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大．
【知识点】随机抽样和样本估计总体的实际应用；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1.）由图求出在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，由此能求出从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率．
（2.）由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7，可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．
（3.）由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大．
18．【答案】（1）解：（1）∵y2=2px过点P（1，1），∴1=2p，
解得p= ，
∴y2=x，∴焦点坐标为（ ，0），准线为x=﹣ ，
（2）（2）证明：设过点（0， ）的直线方程为
y=kx+ ，M（x1，y1），N（x2，y2），
∴直线OP为y=x，直线ON为：y= x，
由题意知A（x1，x1），B（x1， ），
由 ，可得k2x2+（k﹣1）x+ =0，
∴x1+x2= ，x1x2=
∴y1+ =kx1+ + =2kx1+ =2kx1+ =
∴A为线段BM的中点．
【知识点】抛物线的简单性质；抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1.）根据抛物线过点P（1，1）．代值求出p，即可求出抛物线C的方程，焦点坐标和准线方程；
（2.）设过点（0， ）的直线方程为y=kx+ ，M（x1，y1），N（x2，y2），根据韦达定理得到x1+x2= ，x1x2= ，根据中点的定义即可证明．
19．【答案】（1）解：函数f（x）=excosx﹣x的导数为f′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1，
可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=e0（cos0﹣sin0）﹣1=0，
切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），
曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；
（2）解：函数f（x）=excosx﹣x的导数为f′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1，
令g（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1，
则g（x）的导数为g′（x）=ex（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）=﹣2ex sinx，
当x∈[0， ]，可得g′（x）=﹣2ex sinx≤0，
即有g（x）在[0， ]递减，可得g（x）≤g（0）=0，
则f（x）在[0， ]递减，
即有函数f（x）在区间[0， ]上的最大值为f（0）=e0cos0﹣0=1；
最小值为f（ ）=e cos ﹣ =﹣ ．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1.）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；
（2.）求出f（x）的导数，再令g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，可得g（x）在区间[0， ]的单调性，即可得到f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值．
20．【答案】（1）解： a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，
当n=1时，c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0，
当n=2时，c2=max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}=max{﹣1，﹣1}=﹣1，
当n=3时，c3=max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}=max{﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2，
下面证明：对 n∈N*，且n≥2，都有cn=b1﹣na1，
当n∈N*，且2≤k≤n时，
则（bk﹣nak）﹣（b1﹣na1），
=[（2k﹣1）﹣nk]﹣1+n，
=（2k﹣2）﹣n（k﹣1），
=（k﹣1）（2﹣n），由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，
则（bk﹣nak）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥bk﹣nak，
因此，对 n∈N*，且n≥2，cn=b1﹣na1=1﹣n，
cn+1﹣cn=﹣1，
∴c2﹣c1=﹣1，
∴cn+1﹣cn=﹣1对 n∈N*均成立，
∴数列{cn}是等差数列；
（2）证明：设数列{an}和{bn}的公差分别为d1，d2，下面考虑的cn取值，
由b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，bn﹣ann，
考虑其中任意bi﹣ain，（i∈N*，且1≤i≤n），
则bi﹣ain=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n，
=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），
下面分d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论，
①若d1=0，则bi﹣ain═（b1﹣a1n）+（i﹣1）d2，
当若d2≤0，则（bi﹣ain）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）d2≤0，
则对于给定的正整数n而言，cn=b1﹣a1n，此时cn+1﹣cn=﹣a1，
∴数列{cn}是等差数列；
当d1＞0，（bi﹣ain）﹣（bn﹣ann）=（i﹣1）d2≤0，
则对于给定的正整数n而言，cn=bn﹣ann=bn﹣a1n，
此时cn+1﹣cn=d2﹣a1，
∴数列{cn}是等差数列；
此时取m=1，则c1，c2，…，是等差数列，命题成立；
②若d1＞0，则此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，
故必存在m∈N*，使得n≥m时，﹣d1n+d2＜0，
则当n≥m时，（bi﹣ain）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），
因此当n≥m时，cn=b1﹣a1n，
此时cn+1﹣cn=﹣a1，故数列{cn}从第m项开始为等差数列，命题成立；
③若d1＜0，此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数，
故必存在s∈N*，使得n≥s时，﹣d1n+d2＞0，
则当n≥s时，（bi﹣ain）﹣（bn﹣ann）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），
因此，当n≥s时，cn=bn﹣ann，
此时= =﹣an+ ，
=﹣d2n+（d1﹣a1+d2）+ ，
令﹣d1=A＞0，d1﹣a1+d2=B，b1﹣d2=C，
下面证明： =An+B+ 对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m， ＞M，
若C≥0，取m=[ +1]，[x]表示不大于x的最大整数，
当n≥m时， ≥An+B≥Am+B=A[ +1]+B＞A +B=M，
此时命题成立；
若C＜0，取m=[ ]+1，
当n≥m时，
≥An+B+ ≥Am+B+C＞A +B+C ≥M﹣C﹣B+B+C=M，
此时命题成立，
因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时， ＞M；
综合以上三种情况，命题得证．
【知识点】数列的应用；等差关系的确定
【解析】【分析】（1.）分别求得a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得c1，c2，c3；由（bk﹣nak）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥bk﹣nak，则cn=b1﹣na1=1﹣n，cn+1﹣cn=﹣1对 n∈N*均成立；
（2.）由bi﹣ain=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），分类讨论d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得cm，cm+1，cm+2，…是等差数列；设 =An+B+ 对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m， ＞M，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时， ＞M．
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