2017年高考文数真题试卷（北京卷）
一、选择题
1．（2017·北京）已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣2或x＞2}，则 UA=（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
2．（2017·北京）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1）
C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞）
3．（2017·北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．2 B． C． D．
4．（2017·北京）若x，y满足 ，则x+2y的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
5．（2017·北京）已知函数f（x）=3x﹣（ ）x，则f（x）（ ）
A．是偶函数，且在R上是增函数 B．是奇函数，且在R上是增函数
C．是偶函数，且在R上是减函数 D．是奇函数，且在R上是减函数
6．（2017·北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A．60 B．30 C．20 D．10
7．（2017·北京）设 ， 为非零向量，则“存在负数λ，使得 =λ ”是 ＜0”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2017·北京）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与 最接近的是（ ）
（参考数据：lg3≈0.48）
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
二、填空题
9．（2017·北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα= ，则sinβ= ．
10．（2017·北京）若双曲线x2﹣ =1的离心率为 ，则实数m= ．
11．（2017·北京）已知x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2的取值范围是 ．
12．（2017·北京）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则 的最大值为 ．
13．（2017·北京）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为 ．
14．（2017·北京）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
（i）男学生人数多于女学生人数；
（ii）女学生人数多于教师人数；
（iii）教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为 ．
②该小组人数的最小值为 ．
三、解答题
15．（2017·北京）已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．
16．（2017·北京）已知函数f（x）= cos（2x﹣ ）﹣2sinxcosx．（13分）
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求证：当x∈[﹣ ， ]时，f（x）≥﹣ ．
17．（2017·北京）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；
（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
18．（2017·北京）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．
19．（2017·北京）已知椭圆C的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．求证：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．
20．（2017·北京）已知函数f（x）=excosx﹣x．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[0， ]上的最大值和最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：∵集合A={x|x＜﹣2或x＞2}=（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），全集U=R，
∴ UA=[﹣2，2]，
故选：C
【分析】根据已知中集合A和U，结合补集的定义，可得答案．
2．【答案】B
【知识点】虚数单位i及其性质；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，
∴ ，解得a＜﹣1．
则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．
故选：B．
【分析】复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，可得 ，解得a范围．
3．【答案】C
【知识点】循环结构；程序框图
【解析】【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2，
当k=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S= ，
当k=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S= ，
当k=3时，不满足进行循环的条件，
故输出结果为： ，
故选：C．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
4．【答案】D
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划
【解析】【解答】解：x，y满足 的可行域如图：
由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由 ，可得A（3，3），
目标函数的最大值为：3+2×3=9．
故选：D．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可．
5．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：显然函数的定义域为R,
f（x）=3x﹣（ ）x=3x﹣3﹣x，
∴f（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣f（x），
即函数f（x）为奇函数，
又由函数y=3x为增函数，y=（ ）x为减函数，
故函数f（x）=3x﹣（ ）x为增函数，
故选：B．
【分析】由已知得f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，由函数y=3x为增函数，y=（ ）x为减函数，结合“增”﹣“减”=“增”可得答案．
6．【答案】D
【知识点】由三视图还原实物图；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥，
该三棱锥的体积= =10．
故选：D．
【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥，如图所示．
7．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量数乘的运算；平面向量数量积的性质
【解析】【解答】解： ， 为非零向量，存在负数λ，使得 =λ ，则向量 ， 共线且方向相反，可得 ＜0．
反之不成立，非零向量 ， 的夹角为钝角，满足 ＜0，而 =λ 不成立．
∴ ， 为非零向量，则“存在负数λ，使得 =λ ”是 ＜0”的充分不必要条件．
故选：A．
【分析】 ， 为非零向量，存在负数λ，使得 =λ ，则向量 ， 共线且方向相反，可得 ＜0．反之不成立，非零向量 ， 的夹角为钝角，满足 ＜0，而 =λ 不成立．即可判断出结论．
8．【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，
根据对数性质有：3=10lg3≈100.48，
∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，
∴ ≈ =1093，
故本题选：D．
【分析】根据对数的性质：T= ，可得：3=10lg3≈100.48，代入M将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果．
9．【答案】
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，
∴α+β=π+2kπ，k∈Z，
∵sinα= ，
∴sinβ=sin（π+2kπ﹣α）=sinα= ．
故答案为： ．
【分析】推导出α+β=π+2kπ，k∈Z，从而sinβ=sin（π+2kπ﹣α）=sinα，由此能求出结果．
10．【答案】2
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线x2﹣ =1（m＞0）的离心率为 ，
可得： ，
解得m=2．
故答案为：2．
【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可．
11．【答案】[ ，1]
【知识点】二次函数的性质
【解析】【解答】解：x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2=x2+（1﹣x）2=2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，
则令f（x）=2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，函数的对称轴为：x= ，开口向上，
所以函数的最小值为：f（ ）= = ．
最大值为：f（1）=2﹣2+1=1．
则x2+y2的取值范围是：[ ，1]．
故答案为：[ ，1]．
【分析】利用已知条件转化所求表达式，通过二次函数的性质求解即可．
12．【答案】6
【知识点】平面向量的数量积运算；余弦函数的定义域和值域；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：设P（cosα，sinα）. =（2，0）， =（cosα+2，sinα）．
则 =2（cosα+2）≤6，当且仅当cosα=1时取等号．
故答案为：6．
【分析】设P（cosα，sinα）．可得 =（2，0）， =（cosα+2，sinα）．利用数量积运算性质、三角函数的单调性与值域即可得出．
13．【答案】﹣1，﹣2，﹣3
【知识点】命题的否定；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，
则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，
可设a，b，c的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一），
故答案为：﹣1，﹣2，﹣3
【分析】设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，举例即可，本题答案不唯一
14．【答案】6；12
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：①设男学生女学生分别为x，y人，
若教师人数为4，
则 ，即4＜y＜x＜8，
即x的最大值为7，y的最大值为6，
即女学生人数的最大值为6．
②设男学生女学生分别为x，y人，教师人数为z，
则 ，即z＜y＜x＜2z
即z最小为3才能满足条件，
此时x最小为5，y最小为4，
即该小组人数的最小值为12，
故答案为：6，12
【分析】①设男学生女学生分别为x，y人，若教师人数为4，则 ，进而可得答案；
②设男学生女学生分别为x，y人，教师人数为z，则 ，进而可得答案；
15．【答案】解：（Ⅰ）等差数列{an}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，
所以{an}的通项公式：an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5=a1+4d=9，
等比数列{bn}满足b1=1，b2b4=9．可得b3=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．
∴q2=3，
{b2n﹣1}是等比数列，公比为3，首项为1．
b1+b3+b5+…+b2n﹣1= = ．
【知识点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，然后求{an}的通项公式；
（Ⅱ）利用已知条件求出公比，然后求解数列的和即可．
16．【答案】解：（Ⅰ）f（x）= cos（2x﹣ ）﹣2sinxcosx，
= （ co2x+ sin2x）﹣sin2x，
= cos2x+ sin2x，
=sin（2x+ ），
∴T= =π，
∴f（x）的最小正周期为π，
（Ⅱ）∵x∈[﹣ ， ]，
∴2x+ ∈[﹣ ， ]，
∴﹣ ≤sin（2x+ ）≤1，
∴f（x）≥﹣
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性；正弦函数的定义域和值域；三角函数的值域与最值
【解析】【分析】（Ⅰ）根据两角差的余弦公式和两角和正弦公式即可求出f（x）sin（2x+ ），根据周期的定义即可求出，
（Ⅱ）根据正弦函数的图象和性质即可证明．
17．【答案】解：（Ⅰ）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1﹣（0.04+0.02）×10=0.4
故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，
故样本中分数小于40的频率为：0.05，
则分数在区间[40，50）内的频率为：1﹣（0.04+0.02+0.02+0.01）×10﹣0.05=0.05，
估计总体中分数在区间[40，50）内的人数为400×0.05=20人，
（Ⅲ）样本中分数不小于70的频率为：0.6，
由于样本中分数不小于70的男女生人数相等．
故分数不小于70的男生的频率为：0.3，
由样本中有一半男生的分数不小于70，
故男生的频率为：0.6，
即女生的频率为：0.4，
即总体中男生和女生人数的比例约为：3：2．
【知识点】频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（Ⅰ）根据频率=组距×高，可得分数小于70的概率为：1﹣（0.04+0.02）×10；
（Ⅱ）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50）内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；
（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．进而得到答案．
18．【答案】（1）解：证明：由PA⊥AB，PA⊥BC，
AB 平面ABC，BC 平面ABC，且AB∩BC=B，
可得PA⊥平面ABC，
由BD 平面ABC，
可得PA⊥BD；
（2）解：证明：由AB=BC，D为线段AC的中点，
可得BD⊥AC，
由PA⊥平面ABC，PA 平面PAC，
可得平面PAC⊥平面ABC，
又平面ABC∩平面ABC=AC，
BD 平面ABC，且BD⊥AC，
即有BD⊥平面PAC，
BD 平面BDE，
可得平面BDE⊥平面PAC；
（3）解：PA∥平面BDE，PA 平面PAC，
且平面PAC∩平面BDE=DE，
可得PA∥DE，
又D为AC的中点，
可得E为PC的中点，且DE= PA=1，
由PA⊥平面ABC，
可得DE⊥平面ABC，
可得S△BDC= S△ABC= × ×2×2=1，
则三棱锥E﹣BCD的体积为 DE S△BDC= ×1×1= ．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1.）运用线面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABC，再由性质定理即可得证；
（2.）要证平面BDE⊥平面PAC，可证BD⊥平面PAC，由（1）运用面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面ABC，再由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，运用面面垂直的性质定理，即可得证；
（3.）由线面平行的性质定理可得PA∥DE，运用中位线定理，可得DE的长，以及DE⊥平面ABC，求得三角形BCD的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值．
19．【答案】解：（Ⅰ）由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程： （a＞b＞0），
则a=2，e= = ，则c= ，
b2=a2﹣c2=1，
∴椭圆C的方程 ；
（Ⅱ）证明：设D（x0，0），（﹣2＜x0＜2），M（x0，y0），N（x0，﹣y0），y0＞0，
由M，N在椭圆上，则 ，则x02=4﹣4y02，
则直线AM的斜率kAM= = ，直线DE的斜率kDE=﹣ ，
直线DE的方程：y=﹣ （x﹣x0），
直线BN的斜率kBN= ，直线BN的方程y= （x﹣2），
，解得： ，
过E做EH⊥x轴，△BHE∽△BDN，
则丨EH丨= ，
则 = ，
∴：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．
【知识点】直线的点斜式方程；两条直线的交点坐标；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意设椭圆方程，由a=2，根据椭圆的离心率公式，即可求得c，则b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的方程；
（Ⅱ）由题意分别求得DE和BN的斜率及方程，联立即可求得E点坐标，根据三角形的相似关系，即可求得 = ，因此可得△BDE与△BDN的面积之比为4：5．
20．【答案】（1）解：函数f（x）=excosx﹣x的导数为f′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1，
可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=e0（cos0﹣sin0）﹣1=0，
切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），
曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；
（2）解：函数f（x）=excosx﹣x的导数为f′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1，
令g（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1，
则g（x）的导数为g′（x）=ex（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）=﹣2ex sinx，
当x∈[0， ]，可得g′（x）=﹣2ex sinx≤0，
即有g（x）在[0， ]递减，可得g（x）≤g（0）=0，
则f（x）在[0， ]递减，
即有函数f（x）在区间[0， ]上的最大值为f（0）=e0cos0﹣0=1；
最小值为f（ ）=e cos ﹣ =﹣ ．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1.）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；
（2.）求出f（x）的导数，再令g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，可得g（x）在区间[0， ]的单调性，即可得到f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值．
1 / 12017年高考文数真题试卷（北京卷）
一、选择题
1．（2017·北京）已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣2或x＞2}，则 UA=（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
【答案】C
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：∵集合A={x|x＜﹣2或x＞2}=（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），全集U=R，
∴ UA=[﹣2，2]，
故选：C
【分析】根据已知中集合A和U，结合补集的定义，可得答案．
2．（2017·北京）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1）
C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞）
【答案】B
【知识点】虚数单位i及其性质；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，
∴ ，解得a＜﹣1．
则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．
故选：B．
【分析】复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，可得 ，解得a范围．
3．（2017·北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】循环结构；程序框图
【解析】【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2，
当k=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S= ，
当k=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S= ，
当k=3时，不满足进行循环的条件，
故输出结果为： ，
故选：C．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
4．（2017·北京）若x，y满足 ，则x+2y的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
【答案】D
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划
【解析】【解答】解：x，y满足 的可行域如图：
由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由 ，可得A（3，3），
目标函数的最大值为：3+2×3=9．
故选：D．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可．
5．（2017·北京）已知函数f（x）=3x﹣（ ）x，则f（x）（ ）
A．是偶函数，且在R上是增函数 B．是奇函数，且在R上是增函数
C．是偶函数，且在R上是减函数 D．是奇函数，且在R上是减函数
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：显然函数的定义域为R,
f（x）=3x﹣（ ）x=3x﹣3﹣x，
∴f（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣f（x），
即函数f（x）为奇函数，
又由函数y=3x为增函数，y=（ ）x为减函数，
故函数f（x）=3x﹣（ ）x为增函数，
故选：B．
【分析】由已知得f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，由函数y=3x为增函数，y=（ ）x为减函数，结合“增”﹣“减”=“增”可得答案．
6．（2017·北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A．60 B．30 C．20 D．10
【答案】D
【知识点】由三视图还原实物图；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥，
该三棱锥的体积= =10．
故选：D．
【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥，如图所示．
7．（2017·北京）设 ， 为非零向量，则“存在负数λ，使得 =λ ”是 ＜0”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量数乘的运算；平面向量数量积的性质
【解析】【解答】解： ， 为非零向量，存在负数λ，使得 =λ ，则向量 ， 共线且方向相反，可得 ＜0．
反之不成立，非零向量 ， 的夹角为钝角，满足 ＜0，而 =λ 不成立．
∴ ， 为非零向量，则“存在负数λ，使得 =λ ”是 ＜0”的充分不必要条件．
故选：A．
【分析】 ， 为非零向量，存在负数λ，使得 =λ ，则向量 ， 共线且方向相反，可得 ＜0．反之不成立，非零向量 ， 的夹角为钝角，满足 ＜0，而 =λ 不成立．即可判断出结论．
8．（2017·北京）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与 最接近的是（ ）
（参考数据：lg3≈0.48）
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，
根据对数性质有：3=10lg3≈100.48，
∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，
∴ ≈ =1093，
故本题选：D．
【分析】根据对数的性质：T= ，可得：3=10lg3≈100.48，代入M将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果．
二、填空题
9．（2017·北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα= ，则sinβ= ．
【答案】
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，
∴α+β=π+2kπ，k∈Z，
∵sinα= ，
∴sinβ=sin（π+2kπ﹣α）=sinα= ．
故答案为： ．
【分析】推导出α+β=π+2kπ，k∈Z，从而sinβ=sin（π+2kπ﹣α）=sinα，由此能求出结果．
10．（2017·北京）若双曲线x2﹣ =1的离心率为 ，则实数m= ．
【答案】2
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线x2﹣ =1（m＞0）的离心率为 ，
可得： ，
解得m=2．
故答案为：2．
【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可．
11．（2017·北京）已知x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2的取值范围是 ．
【答案】[ ，1]
【知识点】二次函数的性质
【解析】【解答】解：x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2=x2+（1﹣x）2=2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，
则令f（x）=2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，函数的对称轴为：x= ，开口向上，
所以函数的最小值为：f（ ）= = ．
最大值为：f（1）=2﹣2+1=1．
则x2+y2的取值范围是：[ ，1]．
故答案为：[ ，1]．
【分析】利用已知条件转化所求表达式，通过二次函数的性质求解即可．
12．（2017·北京）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则 的最大值为 ．
【答案】6
【知识点】平面向量的数量积运算；余弦函数的定义域和值域；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：设P（cosα，sinα）. =（2，0）， =（cosα+2，sinα）．
则 =2（cosα+2）≤6，当且仅当cosα=1时取等号．
故答案为：6．
【分析】设P（cosα，sinα）．可得 =（2，0）， =（cosα+2，sinα）．利用数量积运算性质、三角函数的单调性与值域即可得出．
13．（2017·北京）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为 ．
【答案】﹣1，﹣2，﹣3
【知识点】命题的否定；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，
则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，
可设a，b，c的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一），
故答案为：﹣1，﹣2，﹣3
【分析】设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，举例即可，本题答案不唯一
14．（2017·北京）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
（i）男学生人数多于女学生人数；
（ii）女学生人数多于教师人数；
（iii）教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为 ．
②该小组人数的最小值为 ．
【答案】6；12
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：①设男学生女学生分别为x，y人，
若教师人数为4，
则 ，即4＜y＜x＜8，
即x的最大值为7，y的最大值为6，
即女学生人数的最大值为6．
②设男学生女学生分别为x，y人，教师人数为z，
则 ，即z＜y＜x＜2z
即z最小为3才能满足条件，
此时x最小为5，y最小为4，
即该小组人数的最小值为12，
故答案为：6，12
【分析】①设男学生女学生分别为x，y人，若教师人数为4，则 ，进而可得答案；
②设男学生女学生分别为x，y人，教师人数为z，则 ，进而可得答案；
三、解答题
15．（2017·北京）已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．
【答案】解：（Ⅰ）等差数列{an}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，
所以{an}的通项公式：an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5=a1+4d=9，
等比数列{bn}满足b1=1，b2b4=9．可得b3=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．
∴q2=3，
{b2n﹣1}是等比数列，公比为3，首项为1．
b1+b3+b5+…+b2n﹣1= = ．
【知识点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，然后求{an}的通项公式；
（Ⅱ）利用已知条件求出公比，然后求解数列的和即可．
16．（2017·北京）已知函数f（x）= cos（2x﹣ ）﹣2sinxcosx．（13分）
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求证：当x∈[﹣ ， ]时，f（x）≥﹣ ．
【答案】解：（Ⅰ）f（x）= cos（2x﹣ ）﹣2sinxcosx，
= （ co2x+ sin2x）﹣sin2x，
= cos2x+ sin2x，
=sin（2x+ ），
∴T= =π，
∴f（x）的最小正周期为π，
（Ⅱ）∵x∈[﹣ ， ]，
∴2x+ ∈[﹣ ， ]，
∴﹣ ≤sin（2x+ ）≤1，
∴f（x）≥﹣
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性；正弦函数的定义域和值域；三角函数的值域与最值
【解析】【分析】（Ⅰ）根据两角差的余弦公式和两角和正弦公式即可求出f（x）sin（2x+ ），根据周期的定义即可求出，
（Ⅱ）根据正弦函数的图象和性质即可证明．
17．（2017·北京）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；
（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
【答案】解：（Ⅰ）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1﹣（0.04+0.02）×10=0.4
故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，
故样本中分数小于40的频率为：0.05，
则分数在区间[40，50）内的频率为：1﹣（0.04+0.02+0.02+0.01）×10﹣0.05=0.05，
估计总体中分数在区间[40，50）内的人数为400×0.05=20人，
（Ⅲ）样本中分数不小于70的频率为：0.6，
由于样本中分数不小于70的男女生人数相等．
故分数不小于70的男生的频率为：0.3，
由样本中有一半男生的分数不小于70，
故男生的频率为：0.6，
即女生的频率为：0.4，
即总体中男生和女生人数的比例约为：3：2．
【知识点】频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（Ⅰ）根据频率=组距×高，可得分数小于70的概率为：1﹣（0.04+0.02）×10；
（Ⅱ）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50）内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；
（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．进而得到答案．
18．（2017·北京）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．
【答案】（1）解：证明：由PA⊥AB，PA⊥BC，
AB 平面ABC，BC 平面ABC，且AB∩BC=B，
可得PA⊥平面ABC，
由BD 平面ABC，
可得PA⊥BD；
（2）解：证明：由AB=BC，D为线段AC的中点，
可得BD⊥AC，
由PA⊥平面ABC，PA 平面PAC，
可得平面PAC⊥平面ABC，
又平面ABC∩平面ABC=AC，
BD 平面ABC，且BD⊥AC，
即有BD⊥平面PAC，
BD 平面BDE，
可得平面BDE⊥平面PAC；
（3）解：PA∥平面BDE，PA 平面PAC，
且平面PAC∩平面BDE=DE，
可得PA∥DE，
又D为AC的中点，
可得E为PC的中点，且DE= PA=1，
由PA⊥平面ABC，
可得DE⊥平面ABC，
可得S△BDC= S△ABC= × ×2×2=1，
则三棱锥E﹣BCD的体积为 DE S△BDC= ×1×1= ．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1.）运用线面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABC，再由性质定理即可得证；
（2.）要证平面BDE⊥平面PAC，可证BD⊥平面PAC，由（1）运用面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面ABC，再由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，运用面面垂直的性质定理，即可得证；
（3.）由线面平行的性质定理可得PA∥DE，运用中位线定理，可得DE的长，以及DE⊥平面ABC，求得三角形BCD的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值．
19．（2017·北京）已知椭圆C的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．求证：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．
【答案】解：（Ⅰ）由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程： （a＞b＞0），
则a=2，e= = ，则c= ，
b2=a2﹣c2=1，
∴椭圆C的方程 ；
（Ⅱ）证明：设D（x0，0），（﹣2＜x0＜2），M（x0，y0），N（x0，﹣y0），y0＞0，
由M，N在椭圆上，则 ，则x02=4﹣4y02，
则直线AM的斜率kAM= = ，直线DE的斜率kDE=﹣ ，
直线DE的方程：y=﹣ （x﹣x0），
直线BN的斜率kBN= ，直线BN的方程y= （x﹣2），
，解得： ，
过E做EH⊥x轴，△BHE∽△BDN，
则丨EH丨= ，
则 = ，
∴：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．
【知识点】直线的点斜式方程；两条直线的交点坐标；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意设椭圆方程，由a=2，根据椭圆的离心率公式，即可求得c，则b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的方程；
（Ⅱ）由题意分别求得DE和BN的斜率及方程，联立即可求得E点坐标，根据三角形的相似关系，即可求得 = ，因此可得△BDE与△BDN的面积之比为4：5．
20．（2017·北京）已知函数f（x）=excosx﹣x．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[0， ]上的最大值和最小值．
【答案】（1）解：函数f（x）=excosx﹣x的导数为f′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1，
可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=e0（cos0﹣sin0）﹣1=0，
切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），
曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；
（2）解：函数f（x）=excosx﹣x的导数为f′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1，
令g（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1，
则g（x）的导数为g′（x）=ex（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）=﹣2ex sinx，
当x∈[0， ]，可得g′（x）=﹣2ex sinx≤0，
即有g（x）在[0， ]递减，可得g（x）≤g（0）=0，
则f（x）在[0， ]递减，
即有函数f（x）在区间[0， ]上的最大值为f（0）=e0cos0﹣0=1；
最小值为f（ ）=e cos ﹣ =﹣ ．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1.）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；
（2.）求出f（x）的导数，再令g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，可得g（x）在区间[0， ]的单调性，即可得到f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值．
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