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2017年高考文数真题试卷（山东卷）
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合M={x||x﹣1|＜1}，N={x|x＜2}，则M∩N=（ ）
A. （﹣1，1） B. （﹣1，2） C. （0，2） D. （1，2）
2.已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则z2=（ ）
A. ﹣2i B. 2i C. ﹣2 D. 2
3.已知x，y满足约束条件 则z=x+2y的最大值是（ ）
A. ﹣3 B. ﹣1 C. 1 D. 3
4.已知cosx= ，则cos2x=（ ）
A. ﹣ B. C. ﹣ D.
5.已知命题p： x∈R，x2﹣x+1≥0．命题q：若a2＜b2 ， 则a＜b，下列命题为真命题的是（ ）
A. p∧q B. p∧￢q C. ￢p∧q D. ￢p∧￢q
6.若执行右侧的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为（ ）
A. x＞3 B. x＞4 C. x≤4 D. x≤5
7.函数y= sin2x+cos2x的最小正周期为（ ）
A. B. C. π D. 2π
8.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（ ）
A. 3，5 B. 5，5 C. 3，7 D. 5，7
9.设f（x）= 若f（a）=f（a+1），则f（ ）=（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
10.若函数exf（x）（e=2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称f（x）具有M性质，下列函数中具有M性质的是（ ）
A. f（x）=2x B. f（x）=x2 C. f（x）=3﹣x D. f（x）=cosx
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11.已知向量 =（2，6）， =（﹣1，λ），若 ，则λ=________．
12.若直线 =1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为________．
13.由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．
14.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+4）=f（x﹣2）．若当x∈[﹣3，0]时，f（x）=6﹣x ， 则f（919）=________．
15.在平面直角坐标系xOy中，双曲线 =1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
三、解答题
16.某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1 ， A2 ， A3和3个欧洲国家B1 ， B2 ， B3中选择2个国家去旅游．
（Ⅰ）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
（Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．
17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3， =﹣6，S△ABC=3，求A和a．
18.由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为正方形，O为AC与BD 的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD，
（Ⅰ）证明：A1O∥平面B1CD1；
（Ⅱ）设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1 ．
19.已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3 ．
（1）求数列{an}通项公式；
（2）{bn} 为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn ， 已知S2n+1=bnbn+1 ， 求数列 的前n项和Tn ．
20.已知函数f（x）= x3﹣ ax2 ， a∈R，
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（2）设函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
21.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）动直线l：y=kx+m（m≠0）交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|．设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．
答案解析部分
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.【答案】 C
【考点】交集及其运算，绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解：集合M={x||x﹣1|＜1}=（0，2），
N={x|x＜2}=（﹣∞，2），
∴M∩N=（0，2），
故选：C．
【分析】解不等式求出集合M，结合集合的交集运算定义，可得答案．
2.【答案】 A
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵复数z满足zi=1+i，
∴z= =1﹣i，
∴z2=﹣2i，
故选：A．
【分析】根据已知，求出z值，进而可得答案．
3.【答案】 D
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划
【解析】【解答】解：x，y满足约束条件 的可行域如图：
目标函数z=x+2y经过可行域的A时，目标函数取得最大值，
由： 解得A（﹣1，2），
目标函数的最大值为：﹣1+2×2=3．
故选：D．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．
4.【答案】 D
【考点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：∵cosx= ，则cos2x=2× ﹣1= ．
故选：D．
【分析】利用倍角公式即可得出．
5.【答案】 B
【考点】逻辑联结词“且”，逻辑联结词“非”，复合命题的真假，命题的真假判断与应用，不等式比较大小，一元二次不等式的解法
【解析】【解答】解：命题p： x=0∈R，使x2﹣x+1≥0成立．
故命题p为真命题；
当a=1，b=﹣2时，a2＜b2成立，但a＜b不成立，
故命题q为假命题，
故命题p∧q，￢p∧q，￢p∧￢q均为假命题；
命题p∧￢q为真命题，
故选：B．
【分析】先判断命题p，q的真假，进而根据复合命题真假的真值表，可得答案．
6.【答案】 B
【考点】选择结构，程序框图
【解析】【解答】解：方法一：当x=4，输出y=2，则由y=log2x输出，需要x＞4，
故选B．
方法二：若空白判断框中的条件x＞3，输入x=4，满足4＞3，输出y=4+2=6，不满足，故A错误，
若空白判断框中的条件x＞4，输入x=4，满足4=4，不满足x＞3，输出y=y=log24=2，故B正确；
若空白判断框中的条件x≤4，输入x=4，满足4=4，满足x≤4，输出y=4+2=6，不满足，故C错误，
若空白判断框中的条件x≤5，输入x=4，满足4≤5，满足x≤5，输出y=4+2=6，不满足，故D错误，
故选B．
【分析】方法一：由题意可知：输出y=2，则由y=log2x输出，需要x＞4，则判断框中的条件是x＞4，
方法二：采用排除法，分别进行模拟运算，即可求得答案．
7.【答案】 C
【考点】两角和与差的正弦公式，三角函数的周期性及其求法
【解析】【解答】解：∵函数y= sin2x+cos2x=2sin（2x+ ），
∵ω=2，
∴T=π，
故选：C
【分析】利用辅助角公式，化简函数的解析式，进而根据ω值，可得函数的周期．
8.【答案】 A
【考点】茎叶图，众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：由已知中甲组数据的中位数为65，
故乙组数据的中位数也为65，
即y=5，
则乙组数据的平均数为：66，
故x=3，
故选：A．
【分析】由已知有中这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，可得x，y的值．
9.【答案】 C
【考点】函数的值，分段函数的应用
【解析】【解答】解：当a∈（0，1）时，则a+1>1,
若f（a）=f（a+1），可得 =2a，
解得a= ，则：f（ ）=f（4）=2（4﹣1）=6．
当a∈[1，+∞）时．则a+1》2，
由f（a）=f（a+1），可得2（a﹣1）=2a，显然无解．
故选：C．
【分析】利用已知条件，求出a的值，然后求解所求的表达式的值即可．
10.【答案】 A
【考点】函数单调性的性质，函数的单调性与导数的关系，利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：当f（x）=2x时，函数exf（x）=（2e）x在R上单调递增，函数f（x）具有M性质，
故选：A
【分析】根据已知中函数f（x）具有M性质的定义，可得f（x）=2x时，满足定义．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11.【答案】 ﹣3
【考点】平行向量与共线向量，平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：∵ ，∴﹣6﹣2λ=0，解得λ=﹣3．
故答案为：﹣3．
【分析】利用向量共线定理即可得出．
12.【答案】 8
【考点】基本不等式，基本不等式在最值问题中的应用，直线的一般式方程与直线的性质
【解析】【解答】解：直线 =1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则 + =1，
由2a+b=（2a+b）×（ + ）=2+ + +2=4+ + ≥4+2 =4+4=8，
当且仅当 = ，即a= ，b=1时，取等号，
∴2a+b的最小值为8，
故答案为：8．
【分析】将（1，2）代入直线方程，求得 + =1，利用“1”代换，根据基本不等式的性质，即可求得2a+b的最小值．
13.【答案】 2+
【考点】组合几何体的面积、体积问题，旋转体（圆柱、圆锥、圆台），由三视图还原实物图，棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V1=2×1×1=2，
圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积V2= ×π×12×1= ，
则该几何体的体积V=V1+2V1=2+ ，
故答案为：2+ ．
【分析】由三视图可知：长方体长为2，宽为1，高为1，圆柱的底面半径为1，高为1圆柱的 ，根据长方体及圆柱的体积公式，即可求得几何体的体积．
14.【答案】 6
【考点】函数奇偶性的性质，函数的周期性
【解析】【解答】解：由f（x+4）=f（x﹣2）．则f（x+6）=f（x），
∴f（x）为周期为6的周期函数，
f（919）=f（153×6+1）=f（1），
由f（x）是定义在R上的偶函数，则f（1）=f（﹣1），
当x∈[﹣3，0]时，f（x）=6﹣x ，
f（﹣1）=6﹣（﹣1）=6，
∴f（919）=6，
故答案为：6．
【分析】由题意可知：（x+6）=f（x），函数的周期性可知：f（x）周期为6，则f（919）=f（153×6+1）=f（1），由f（x）为偶函数，则f（1）=f（﹣1），即可求得答案．
15.【答案】 y=± x
【考点】抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，双曲线的标准方程，双曲线的简单性质，圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：把x2=2py（p＞0）代入双曲线 =1（a＞0，b＞0），
可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，
∴yA+yB= ，
∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴yA+yB+2× =4× ，
∴ =p，
∴ = ．
∴该双曲线的渐近线方程为：y=± x．
故答案为：y=± x．
【分析】把x2=2py（p＞0）代入双曲线 =1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出．
三、解答题
16.【答案】 解：（Ⅰ）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1 ， A2 ， A3和3个欧洲国家B1 ， B2 ， B3中选择2个国家去旅游．
从这6个国家中任选2个，基本事件总数n= =15，
这2个国家都是亚洲国家包含的基本事件个数m= ，
∴这2个国家都是亚洲国家的概率P= = = ．
（Ⅱ）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，包含的基本事件个数为9个，分别为：
（A1 ， B1），（A1 ， B2），（A1 ， B3），（A2 ， B1），（A2 ， B2），
（A2 ， B3），（A3 ， B1），（A3 ， B2），（A3 ， B3），
这2个国家包括A1但不包括B1包含的基本事件有：（A1 ， B2），（A1 ， B3），共2个，
∴这2个国家包括A1但不包括B1的概率P= ．
【考点】古典概型及其概率计算公式，列举法计算基本事件数及事件发生的概率，组合及组合数公式
【解析】【分析】（Ⅰ）从这6个国家中任选2个，基本事件总数n= =15，这2个国家都是亚洲国家包含的基本事件个数m= ，由此能求出这2个国家都是亚洲国家的概率．
（Ⅱ）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，利用列举法能求出这2个国家包括A1但不包括B1的概率．
17.【答案】 解：由 =﹣6可得bccosA=﹣6，①，
由三角形的面积公式可得S△ABC= bcsinA=3，②
∴tanA=﹣1，
∵0＜A＜180°，
∴A=135°，
∴c= =2 ，
由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=9+8+12=29
∴a=
【考点】平面向量数量积的运算，余弦定理的应用，三角形中的几何计算
【解析】【分析】根据向量的数量积和三角形的面积公式可得tanA=﹣1，求出A和c的值，再根据余弦定理即可求出a．
18.【答案】 证明：（Ⅰ）取B1D1中点G，连结A1G、CG，
∵四边形ABCD为正方形，O为AC与BD 的交点，
∴四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1后，A1G OC，
∴四边形OCGA1是平行四边形，∴A1O∥CG，
∵A1O 平面B1CD1 ， CG 平面B1CD1 ，
∴A1O∥平面B1CD1 ．
（Ⅱ）四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1后，BD B1D1 ，
∵M是OD的中点，O为AC与BD 的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD，
又BD 平面ABCD，∴BD⊥A1E，
∵四边形ABCD为正方形，O为AC与BD 的交点，
∴AO⊥BD，
∵M是OD的中点，E为AD的中点，∴EM⊥BD，
∵A1E∩EM=E，∴BD⊥平面A1EM，
∵BD∥B1D1 ， ∴B1D1⊥平面A1EM，
∵B1D1 平面B1CD1 ，
∴平面A1EM⊥平面B1CD1 ．
【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（Ⅰ）取B1D1中点G，连结A1G、CG，推导出A1G OC，从而四边形OCGA1是平行四边形，进而A1O∥CG，由此能证明A1O∥平面B1CD1 ．
（Ⅱ）推导出BD⊥A1E，AO⊥BD，EM⊥BD，从而BD⊥平面A1EM，再由BD∥B1D1 ， 得B1D1⊥平面A1EM，由此能证明平面A1EM⊥平面B1CD1 ．
19.【答案】 （1）解：记正项等比数列{an}的公比为q，
因为a1+a2=6，a1a2=a3 ，
所以（1+q）a1=6，q =q2a1 ，
解得：a1=q=2，
所以an=2n；
（2）因为{bn} 为各项非零的等差数列，
所以S2n+1=（2n+1）bn+1 ，
又因为S2n+1=bnbn+1 ，
所以bn=2n+1， = ，
所以Tn=3 +5 +…+（2n+1） ，
Tn=3 +5 +…+（2n﹣1） +（2n+1） ，
两式相减得： Tn=3 +2（ + +…+ ）﹣（2n+1） ，
即 Tn=3 +（ + + +…+ ）﹣（2n+1） ，
即Tn=3+1+ + + +…+ ）﹣（2n+1） =3+ ﹣（2n+1）
=5﹣ ．
【考点】等比数列的通项公式，数列的求和，数列递推式
【解析】【分析】（1）通过首项和公比，联立a1+a2=6、a1a2=a3 ， 可求出a1=q=2，进而利用等比数列的通项公式可得结论；（2）利用等差数列的性质可知S2n+1=（2n+1）bn+1 ， 结合S2n+1=bnbn+1可知bn=2n+1，进而可知 = ，利用错位相减法计算即得结论．
20.【答案】 （1）解：当a=2时，f（x）= x3﹣x2 ，
∴f′（x）=x2﹣2x，
∴k=f′（3）=9﹣6=3，f（3）= ×27﹣9=0，
∴曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程y=3（x﹣3），即3x﹣y﹣9=0
（2）函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx= x3﹣ ax2+（x﹣a）cosx﹣sinx，
∴g′（x）=x2﹣ax+cosx﹣（x﹣a）sinx﹣cosx=x2﹣ax+（x﹣a）sinx=（x﹣a）（x+sinx），
令g′（x）=0，解得x=a，或x=0，
当x＜0时，x+sinx＜0，当x≥0，x+sinx≥0，
①若a＞0时，当x＜0时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
当x＞a时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（a，+∞）上单调递增，
当0＜x＜a时，g′（x）＜0恒成立，故g（x）在（0，a）上单调递减，
∴当x=a时，函数有极小值，极小值为g（a）=﹣ a3﹣sina
当x=0时，有极大值，极大值为g（0）=﹣a，
②若a＜0时，当x＞0时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
当x＜a时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，a）上单调递增，
当a＜x＜0时，g′（x）＜0恒成立，故g（x）在（a，0）上单调递减，
∴当x=a时，函数有极大值，极大值为g（a）=﹣ a3﹣sina
当x=0时，有极小值，极小值为g（0）=﹣a
③当a=0时，g′（x）=x（x+sinx），
当x＞0时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（0，+∞）上单调递增，
当x＜0时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
∴g（x）在R上单调递增，无极值．
【考点】导数的运算，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程，（2）先求导，再分类讨论即可求出函数的单调区间和极值
21.【答案】 解：（Ⅰ）∵椭圆C的离心率为 ，∴ = ，a2=2b2 ，
∵椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2 ，
∴椭圆C过点（ ，1），∴ + =1，∴b2=2，a2=4，
∴椭圆C的方程为 + =1．
（Ⅱ）设A，B的横坐标为x1 ， x2 ， 则A（x1 ， kx1+m），B（x2 ， kx2+m），D（ ， +m），
联立 可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，
∴x1+x2=﹣ ，∴D（﹣ ， ），
∵M（0，m），则N（0，﹣m），
∴⊙N的半径为|m|，|DN|= = ，
设∠EDF=α，∴sin = = = = ，
令y= ，则y′= ，
当k=0时，sin 取得最小值，最小值为 ．
∴∠EDF的最小值是60°．
【考点】椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题，圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）首先根据题中信息可得椭圆C过点（ ，1），然后结合离心率可得椭圆方程；（Ⅱ）可将题目所求角度的最小值转化为求角度正弦的最小值，结合题目信息可求得D、N坐标及⊙N半径，进而将DN长度表示出来，可求∠EDF最小值．
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2017年高考文数真题试卷（山东卷）
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合M={x||x﹣1|＜1}，N={x|x＜2}，则M∩N=（ ）
A. （﹣1，1） B. （﹣1，2） C. （0，2） D. （1，2）
【答案】 C
【考点】交集及其运算，绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解：集合M={x||x﹣1|＜1}=（0，2），
N={x|x＜2}=（﹣∞，2），
∴M∩N=（0，2），
故选：C．
【分析】解不等式求出集合M，结合集合的交集运算定义，可得答案．
2.已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则z2=（ ）
A. ﹣2i B. 2i C. ﹣2 D. 2
【答案】 A
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵复数z满足zi=1+i，
∴z= =1﹣i，
∴z2=﹣2i，
故选：A．
【分析】根据已知，求出z值，进而可得答案．
3.已知x，y满足约束条件 则z=x+2y的最大值是（ ）
A. ﹣3 B. ﹣1 C. 1 D. 3
【答案】 D
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划
【解析】【解答】解：x，y满足约束条件 的可行域如图：
目标函数z=x+2y经过可行域的A时，目标函数取得最大值，
由： 解得A（﹣1，2），
目标函数的最大值为：﹣1+2×2=3．
故选：D．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．
4.已知cosx= ，则cos2x=（ ）
A. ﹣ B. C. ﹣ D.
【答案】 D
【考点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：∵cosx= ，则cos2x=2× ﹣1= ．
故选：D．
【分析】利用倍角公式即可得出．
5.已知命题p： x∈R，x2﹣x+1≥0．命题q：若a2＜b2 ， 则a＜b，下列命题为真命题的是（ ）
A. p∧q B. p∧￢q C. ￢p∧q D. ￢p∧￢q
【答案】 B
【考点】逻辑联结词“且”，逻辑联结词“非”，复合命题的真假，命题的真假判断与应用，不等式比较大小，一元二次不等式的解法
【解析】【解答】解：命题p： x=0∈R，使x2﹣x+1≥0成立．
故命题p为真命题；
当a=1，b=﹣2时，a2＜b2成立，但a＜b不成立，
故命题q为假命题，
故命题p∧q，￢p∧q，￢p∧￢q均为假命题；
命题p∧￢q为真命题，
故选：B．
【分析】先判断命题p，q的真假，进而根据复合命题真假的真值表，可得答案．
6.若执行右侧的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为（ ）
A. x＞3 B. x＞4 C. x≤4 D. x≤5
【答案】 B
【考点】选择结构，程序框图
【解析】【解答】解：方法一：当x=4，输出y=2，则由y=log2x输出，需要x＞4，
故选B．
方法二：若空白判断框中的条件x＞3，输入x=4，满足4＞3，输出y=4+2=6，不满足，故A错误，
若空白判断框中的条件x＞4，输入x=4，满足4=4，不满足x＞3，输出y=y=log24=2，故B正确；
若空白判断框中的条件x≤4，输入x=4，满足4=4，满足x≤4，输出y=4+2=6，不满足，故C错误，
若空白判断框中的条件x≤5，输入x=4，满足4≤5，满足x≤5，输出y=4+2=6，不满足，故D错误，
故选B．
【分析】方法一：由题意可知：输出y=2，则由y=log2x输出，需要x＞4，则判断框中的条件是x＞4，
方法二：采用排除法，分别进行模拟运算，即可求得答案．
7.函数y= sin2x+cos2x的最小正周期为（ ）
A. B. C. π D. 2π
【答案】 C
【考点】两角和与差的正弦公式，三角函数的周期性及其求法
【解析】【解答】解：∵函数y= sin2x+cos2x=2sin（2x+ ），
∵ω=2，
∴T=π，
故选：C
【分析】利用辅助角公式，化简函数的解析式，进而根据ω值，可得函数的周期．
8.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（ ）
A. 3，5 B. 5，5 C. 3，7 D. 5，7
【答案】 A
【考点】茎叶图，众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：由已知中甲组数据的中位数为65，
故乙组数据的中位数也为65，
即y=5，
则乙组数据的平均数为：66，
故x=3，
故选：A．
【分析】由已知有中这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，可得x，y的值．
9.设f（x）= 若f（a）=f（a+1），则f（ ）=（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】 C
【考点】函数的值，分段函数的应用
【解析】【解答】解：当a∈（0，1）时，则a+1>1,
若f（a）=f（a+1），可得 =2a，
解得a= ，则：f（ ）=f（4）=2（4﹣1）=6．
当a∈[1，+∞）时．则a+1》2，
由f（a）=f（a+1），可得2（a﹣1）=2a，显然无解．
故选：C．
【分析】利用已知条件，求出a的值，然后求解所求的表达式的值即可．
10.若函数exf（x）（e=2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称f（x）具有M性质，下列函数中具有M性质的是（ ）
A. f（x）=2x B. f（x）=x2 C. f（x）=3﹣x D. f（x）=cosx
【答案】 A
【考点】函数单调性的性质，函数的单调性与导数的关系，利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：当f（x）=2x时，函数exf（x）=（2e）x在R上单调递增，函数f（x）具有M性质，
故选：A
【分析】根据已知中函数f（x）具有M性质的定义，可得f（x）=2x时，满足定义．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11.已知向量 =（2，6）， =（﹣1，λ），若 ，则λ=________．
【答案】 ﹣3
【考点】平行向量与共线向量，平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：∵ ，∴﹣6﹣2λ=0，解得λ=﹣3．
故答案为：﹣3．
【分析】利用向量共线定理即可得出．
12.若直线 =1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为________．
【答案】 8
【考点】基本不等式，基本不等式在最值问题中的应用，直线的一般式方程与直线的性质
【解析】【解答】解：直线 =1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则 + =1，
由2a+b=（2a+b）×（ + ）=2+ + +2=4+ + ≥4+2 =4+4=8，
当且仅当 = ，即a= ，b=1时，取等号，
∴2a+b的最小值为8，
故答案为：8．
【分析】将（1，2）代入直线方程，求得 + =1，利用“1”代换，根据基本不等式的性质，即可求得2a+b的最小值．
13.由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．
【答案】 2+
【考点】组合几何体的面积、体积问题，旋转体（圆柱、圆锥、圆台），由三视图还原实物图，棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V1=2×1×1=2，
圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积V2= ×π×12×1= ，
则该几何体的体积V=V1+2V1=2+ ，
故答案为：2+ ．
【分析】由三视图可知：长方体长为2，宽为1，高为1，圆柱的底面半径为1，高为1圆柱的 ，根据长方体及圆柱的体积公式，即可求得几何体的体积．
14.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+4）=f（x﹣2）．若当x∈[﹣3，0]时，f（x）=6﹣x ， 则f（919）=________．
【答案】 6
【考点】函数奇偶性的性质，函数的周期性
【解析】【解答】解：由f（x+4）=f（x﹣2）．则f（x+6）=f（x），
∴f（x）为周期为6的周期函数，
f（919）=f（153×6+1）=f（1），
由f（x）是定义在R上的偶函数，则f（1）=f（﹣1），
当x∈[﹣3，0]时，f（x）=6﹣x ，
f（﹣1）=6﹣（﹣1）=6，
∴f（919）=6，
故答案为：6．
【分析】由题意可知：（x+6）=f（x），函数的周期性可知：f（x）周期为6，则f（919）=f（153×6+1）=f（1），由f（x）为偶函数，则f（1）=f（﹣1），即可求得答案．
15.在平面直角坐标系xOy中，双曲线 =1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
【答案】 y=± x
【考点】抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，双曲线的标准方程，双曲线的简单性质，圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：把x2=2py（p＞0）代入双曲线 =1（a＞0，b＞0），
可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，
∴yA+yB= ，
∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴yA+yB+2× =4× ，
∴ =p，
∴ = ．
∴该双曲线的渐近线方程为：y=± x．
故答案为：y=± x．
【分析】把x2=2py（p＞0）代入双曲线 =1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出．
三、解答题
16.某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1 ， A2 ， A3和3个欧洲国家B1 ， B2 ， B3中选择2个国家去旅游．
（Ⅰ）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
（Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．
【答案】 解：（Ⅰ）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1 ， A2 ， A3和3个欧洲国家B1 ， B2 ， B3中选择2个国家去旅游．
从这6个国家中任选2个，基本事件总数n= =15，
这2个国家都是亚洲国家包含的基本事件个数m= ，
∴这2个国家都是亚洲国家的概率P= = = ．
（Ⅱ）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，包含的基本事件个数为9个，分别为：
（A1 ， B1），（A1 ， B2），（A1 ， B3），（A2 ， B1），（A2 ， B2），
（A2 ， B3），（A3 ， B1），（A3 ， B2），（A3 ， B3），
这2个国家包括A1但不包括B1包含的基本事件有：（A1 ， B2），（A1 ， B3），共2个，
∴这2个国家包括A1但不包括B1的概率P= ．
【考点】古典概型及其概率计算公式，列举法计算基本事件数及事件发生的概率，组合及组合数公式
【解析】【分析】（Ⅰ）从这6个国家中任选2个，基本事件总数n= =15，这2个国家都是亚洲国家包含的基本事件个数m= ，由此能求出这2个国家都是亚洲国家的概率．
（Ⅱ）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，利用列举法能求出这2个国家包括A1但不包括B1的概率．
17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3， =﹣6，S△ABC=3，求A和a．
【答案】 解：由 =﹣6可得bccosA=﹣6，①，
由三角形的面积公式可得S△ABC= bcsinA=3，②
∴tanA=﹣1，
∵0＜A＜180°，
∴A=135°，
∴c= =2 ，
由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=9+8+12=29
∴a=
【考点】平面向量数量积的运算，余弦定理的应用，三角形中的几何计算
【解析】【分析】根据向量的数量积和三角形的面积公式可得tanA=﹣1，求出A和c的值，再根据余弦定理即可求出a．
18.由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为正方形，O为AC与BD 的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD，
（Ⅰ）证明：A1O∥平面B1CD1；
（Ⅱ）设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1 ．
【答案】 证明：（Ⅰ）取B1D1中点G，连结A1G、CG，
∵四边形ABCD为正方形，O为AC与BD 的交点，
∴四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1后，A1G OC，
∴四边形OCGA1是平行四边形，∴A1O∥CG，
∵A1O 平面B1CD1 ， CG 平面B1CD1 ，
∴A1O∥平面B1CD1 ．
（Ⅱ）四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1后，BD B1D1 ，
∵M是OD的中点，O为AC与BD 的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD，
又BD 平面ABCD，∴BD⊥A1E，
∵四边形ABCD为正方形，O为AC与BD 的交点，
∴AO⊥BD，
∵M是OD的中点，E为AD的中点，∴EM⊥BD，
∵A1E∩EM=E，∴BD⊥平面A1EM，
∵BD∥B1D1 ， ∴B1D1⊥平面A1EM，
∵B1D1 平面B1CD1 ，
∴平面A1EM⊥平面B1CD1 ．
【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（Ⅰ）取B1D1中点G，连结A1G、CG，推导出A1G OC，从而四边形OCGA1是平行四边形，进而A1O∥CG，由此能证明A1O∥平面B1CD1 ．
（Ⅱ）推导出BD⊥A1E，AO⊥BD，EM⊥BD，从而BD⊥平面A1EM，再由BD∥B1D1 ， 得B1D1⊥平面A1EM，由此能证明平面A1EM⊥平面B1CD1 ．
19.已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3 ．
（1）求数列{an}通项公式；
（2）{bn} 为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn ， 已知S2n+1=bnbn+1 ， 求数列 的前n项和Tn ．
【答案】 （1）解：记正项等比数列{an}的公比为q，
因为a1+a2=6，a1a2=a3 ，
所以（1+q）a1=6，q =q2a1 ，
解得：a1=q=2，
所以an=2n；
（2）因为{bn} 为各项非零的等差数列，
所以S2n+1=（2n+1）bn+1 ，
又因为S2n+1=bnbn+1 ，
所以bn=2n+1， = ，
所以Tn=3 +5 +…+（2n+1） ，
Tn=3 +5 +…+（2n﹣1） +（2n+1） ，
两式相减得： Tn=3 +2（ + +…+ ）﹣（2n+1） ，
即 Tn=3 +（ + + +…+ ）﹣（2n+1） ，
即Tn=3+1+ + + +…+ ）﹣（2n+1） =3+ ﹣（2n+1）
=5﹣ ．
【考点】等比数列的通项公式，数列的求和，数列递推式
【解析】【分析】（1）通过首项和公比，联立a1+a2=6、a1a2=a3 ， 可求出a1=q=2，进而利用等比数列的通项公式可得结论；（2）利用等差数列的性质可知S2n+1=（2n+1）bn+1 ， 结合S2n+1=bnbn+1可知bn=2n+1，进而可知 = ，利用错位相减法计算即得结论．
20.已知函数f（x）= x3﹣ ax2 ， a∈R，
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（2）设函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
【答案】 （1）解：当a=2时，f（x）= x3﹣x2 ，
∴f′（x）=x2﹣2x，
∴k=f′（3）=9﹣6=3，f（3）= ×27﹣9=0，
∴曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程y=3（x﹣3），即3x﹣y﹣9=0
（2）函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx= x3﹣ ax2+（x﹣a）cosx﹣sinx，
∴g′（x）=x2﹣ax+cosx﹣（x﹣a）sinx﹣cosx=x2﹣ax+（x﹣a）sinx=（x﹣a）（x+sinx），
令g′（x）=0，解得x=a，或x=0，
当x＜0时，x+sinx＜0，当x≥0，x+sinx≥0，
①若a＞0时，当x＜0时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
当x＞a时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（a，+∞）上单调递增，
当0＜x＜a时，g′（x）＜0恒成立，故g（x）在（0，a）上单调递减，
∴当x=a时，函数有极小值，极小值为g（a）=﹣ a3﹣sina
当x=0时，有极大值，极大值为g（0）=﹣a，
②若a＜0时，当x＞0时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
当x＜a时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，a）上单调递增，
当a＜x＜0时，g′（x）＜0恒成立，故g（x）在（a，0）上单调递减，
∴当x=a时，函数有极大值，极大值为g（a）=﹣ a3﹣sina
当x=0时，有极小值，极小值为g（0）=﹣a
③当a=0时，g′（x）=x（x+sinx），
当x＞0时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（0，+∞）上单调递增，
当x＜0时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
∴g（x）在R上单调递增，无极值．
【考点】导数的运算，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程，（2）先求导，再分类讨论即可求出函数的单调区间和极值
21.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）动直线l：y=kx+m（m≠0）交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|．设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．
【答案】 解：（Ⅰ）∵椭圆C的离心率为 ，∴ = ，a2=2b2 ，
∵椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2 ，
∴椭圆C过点（ ，1），∴ + =1，∴b2=2，a2=4，
∴椭圆C的方程为 + =1．
（Ⅱ）设A，B的横坐标为x1 ， x2 ， 则A（x1 ， kx1+m），B（x2 ， kx2+m），D（ ， +m），
联立 可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，
∴x1+x2=﹣ ，∴D（﹣ ， ），
∵M（0，m），则N（0，﹣m），
∴⊙N的半径为|m|，|DN|= = ，
设∠EDF=α，∴sin = = = = ，
令y= ，则y′= ，
当k=0时，sin 取得最小值，最小值为 ．
∴∠EDF的最小值是60°．
【考点】椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题，圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）首先根据题中信息可得椭圆C过点（ ，1），然后结合离心率可得椭圆方程；（Ⅱ）可将题目所求角度的最小值转化为求角度正弦的最小值，结合题目信息可求得D、N坐标及⊙N半径，进而将DN长度表示出来，可求∠EDF最小值．
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