2017年高考理数真题试卷（天津卷）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2017·天津）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=（ ）
A．{2} B．{1，2，4}
C．{1，2，4，5} D．{x∈R|﹣1≤x≤5}
2．（2017·天津）设变量x，y满足约束条件 ，则目标函数z=x+y的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．3
3．（2017·天津）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2017·天津）设θ∈R，则“|θ﹣ |＜ ”是“sinθ＜ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2017·天津）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为 ．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）
A． =1 B． =1 C． =1 D． =1
6．（2017·天津）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log25.1），b=g（20.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a
7．（2017·天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f（ ）=2，f（ ）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（ ）
A．ω= ，φ= B．ω= ，φ=﹣
C．ω= ，φ=﹣ D．ω= ，φ=
8．（2017·天津）已知函数f（x）= ，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．[﹣ ，2] B．[﹣ ， ]
C．[﹣2 ，2] D．[﹣2 ， ]
二、二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．（2017·天津）已知a∈R，i为虚数单位，若 为实数，则a的值为 ．
10．（2017·天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ．
11．（2017·天津）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣ ）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为 ．
12．（2017·天津）若a，b∈R，ab＞0，则 的最小值为 ．
13．（2017·天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2 ， =λ ﹣ （λ∈R），且 =﹣4，则λ的值为 ．
14．（2017·天津）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个．（用数字作答）
三、三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（2017·天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB= ．
（Ⅰ）求b和sinA的值；
（Ⅱ）求sin（2A+ ）的值．
16．（2017·天津）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 ， ， ．
（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
17．（2017·天津）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．
（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；
（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ，求线段AH的长．
18．（2017·天津）已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N+），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a2nb2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．
19．（2017·天津）设椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为 ．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为 ．
（Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（Ⅱ）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为 ，求直线AP的方程．
20．（2017·天津）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数．
（Ⅰ）求g（x）的单调区间；
（Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；
（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且 ∈[1，x0）∪（x0，2]，满足| ﹣x0|≥ ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：∵A={1，2，6}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4，6}，
又C={x∈R|﹣1≤x≤5}，∴（A∪B）∩C={1，2，4}．
故选：B．
【分析】由并集概念求得A∪B，再由交集概念得答案．
2．【答案】D
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划
【解析】【解答】解：变量x，y满足约束条件 的可行域如图：
目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值，
由 可得A（0，3），目标函数z=x+y的最大值为：3．
故选：D．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．
3．【答案】C
【知识点】选择结构；循环结构；程序框图
【解析】【解答】解：第一次N=24，能被3整除，N= ≤3不成立，
第二次N=8，8不能被3整除，N=8﹣1=7，N=7≤3不成立，
第三次N=7，不能被3整除，N=7﹣1=6，N= =2≤3成立，
输出N=2，
故选：C
【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可．
4．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；正弦函数的图象；正弦函数的性质；含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解：|θ﹣ |＜ ﹣ ＜θ﹣ ＜ 0＜θ＜ ，
sinθ＜ ﹣ +2kπ＜θ＜ +2kπ，k∈Z，
则（0， ） [﹣ +2kπ， +2kπ]，k∈Z，
可得“|θ﹣ |＜ ”是“sinθ＜ ”的充分不必要条件．
故选：A．
【分析】运用绝对值不等式的解法和正弦函数的图象和性质，化简两已知不等式，结合充分必要条件的定义，即可得到结论．
5．【答案】B
【知识点】斜率的计算公式；两条直线平行的判定；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设双曲线的左焦点F（﹣c，0），离心率e= = ，c= a，
则双曲线为等轴双曲线，即a=b，
双曲线的渐近线方程为y=± x=±x，
则经过F和P（0，4）两点的直线的斜率k= = ，
则 =1，c=4，则a=b=2 ，
∴双曲线的标准方程： ；
故选B．
【分析】由双曲线的离心率为 ，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x，根据直线的斜率公式，即可求得c的值，求得a和b的值，即可求得双曲线方程．
6．【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数的奇偶性；利用对数函数的单调性比较大小；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，当x＞0，f（x）＞f（0）=0，且f′（x）＞0，
∴g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（x）=xf（x）偶函数，
∴a=g（﹣log25.1）=g（log25.1），
则2＜﹣log25.1＜3，1＜20.8＜2，
由g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（20.8）＜g（log25.1）＜g（3），
∴b＜a＜c，
故选C．
【分析】由奇函数f（x）在R上是增函数，则g（x）=xf（x）偶函数，且在（0，+∞）单调递增，则a=g（﹣log25.1）=g（log25.1），则2＜﹣log25.1＜3，1＜20.8＜2，即可求得b＜a＜c
7．【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得 ，
又f（ ）=2，f（ ）=0，得 ，
∴T=3π，则 ，即 ．
∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（ x+φ），
由f（ ）= ，得sin（φ+ ）=1．
∴φ+ = ，k∈Z．
取k=0，得φ= ＜π．
∴ ，φ= ．
故选：A．
【分析】由题意求得 ，再由周期公式求得ω，最后由若f（ ）=2求得φ值．
8．【答案】A
【知识点】函数恒成立问题；分段函数的应用
【解析】【解答】解：当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，
即为﹣x2+x﹣3≤ +a≤x2﹣x+3，
即有﹣x2+ x﹣3≤a≤x2﹣ x+3，
由y=﹣x2+ x﹣3的对称轴为x= ＜1，可得x= 处取得最大值﹣ ；
由y=x2﹣ x+3的对称轴为x= ＜1，可得x= 处取得最小值 ，
则﹣ ≤a≤ ①
当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，
即为﹣（x+ ）≤ +a≤x+ ，
即有﹣（ x+ ）≤a≤ + ，
由y=﹣（ x+ ）≤﹣2 =﹣2 （当且仅当x= ＞1）取得最大值﹣2 ；
由y= x+ ≥2 =2（当且仅当x=2＞1）取得最小值2．
则﹣2 ≤a≤2②
由①②可得，﹣ ≤a≤2．
故选：A．
【分析】讨论当x≤1时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得﹣x2+ x﹣3≤a≤x2﹣ x+3，再由二次函数的最值求法，可得a的范围；讨论当x＞1时，同样可得﹣（ x+ ）≤a≤ + ，再由基本不等式可得最值，可得a的范围，求交集即可得到所求范围．
9．【答案】﹣2
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：a∈R，i为虚数单位，
= = = ﹣ i
由 为实数，
可得﹣ =0，
解得a=﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简 ，再由复数为实数的条件：虚部为0，解方程即可得到所求值．
10．【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：设正方体的棱长为a，
∵这个正方体的表面积为18，
∴6a2=18，
则a2=3，即a= ，
∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，
∴正方体的体对角线等于球的直径，
即 a=2R，
即R= ，
则球的体积V= π （ ）3= ；
故答案为： ．
【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可．
11．【答案】2
【知识点】直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程；极坐标系和平面直角坐标的区别
【解析】【解答】解：直线4ρcos（θ﹣ ）+1=0展开为：4ρ +1=0，化为：2 x+2y+1=0．
圆ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2y，配方为：x2+（y﹣1）2=1．
∴圆心C（0，1）到直线的距离d= = ＜1=R．
∴直线4ρcos（θ﹣ ）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为2．
故答案为：2．
【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d，与半径比较即可得出位置关系．
12．【答案】4
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：a，b∈R，ab＞0，
∴ ≥
=
=4ab+ ≥2 =4，
当且仅当 ，
即 ，
即a= ，b= 或a=﹣ ，b=﹣ 时取“=”；
∴上式的最小值为4．
故答案为：4．
【分析】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．
13．【答案】
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；平面向量数乘的运算；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：如图所示，
△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，
=2 ，
∴ = +
= +
= + （ ﹣ ）
= + ，
又 =λ ﹣ （λ∈R），
∴ =（ + ） （λ ﹣ ）
=（ λ﹣ ） ﹣ + λ
=（ λ﹣ ）×3×2×cos60°﹣ ×32+ λ×22=﹣4，
∴ λ=1，
解得λ= ．
故答案为： ．
【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用 、 表示出 ，
再根据平面向量的数量积 列出方程求出λ的值．
14．【答案】1080
【知识点】基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可，
有A54=120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数；
②、四位数中只有一个偶数数字，
在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有C53 C41=40种取法，
将取出的4个数字全排列，有A44=24种顺序，
则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数；
则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个；
故答案为：1080．
【分析】根据题意，要求四位数中至多有一个数字是偶数，分2种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数数字，②、四位数中只有一个偶数数字，分别求出每种情况下四位数的数目，由分类计数原理计算可得答案．
15．【答案】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，
故由sinB= ，可得cosB= ．
由已知及余弦定理，有 =13，
∴b= ．
由正弦定理 ，得sinA= ．
∴b= ，sinA= ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA= ，∴sin2A=2sinAcosA= ，
cos2A=1﹣2sin2A=﹣ ．
故sin（2A+ ）= = ．
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（Ⅰ）由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB，再由余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinA；
（Ⅱ）由同角三角函数基本关系式求得cosA，再由倍角公式求得sin2A，cos2A，展开两角和的正弦得答案．
16．【答案】解：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；
则P（X=0）=（1﹣ ）×（1﹣ ）（1﹣ ）= ，
P（X=1）= ×（1﹣ ）×（1﹣ ）+（1﹣ ）× ×（1﹣ ）+（1﹣ ）×（1﹣ ）× = ，
P（X=2）=（1﹣ ）× × + ×（1﹣ ）× + × ×（1﹣ ）= ，
P（X=3）= × × = ；
所以，随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
随机变量X的数学期望为E（X）=0× +1× +2× +3× = ；
（Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，
则所求事件的概率为
P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）
=P（Y=0） P（Z=1）+P（Y=1） P（Z=0）
= × + ×
= ；
所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为 ．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率与独立事件
【解析】【分析】（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率值，
写出它的分布列，计算数学期望值；
（Ⅱ）利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值．
17．【答案】（Ⅰ）证明：取AB中点F，连接MF、NF，
∵M为AD中点，∴MF∥BD，
∵BD 平面BDE，MF 平面BDE，∴MF∥平面BDE．
∵N为BC中点，∴NF∥AC，
又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE．
∵DE 平面BDE，NF 平面BDE，∴NF∥平面BDE．
又MF∩NF=F．
∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；
（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．
∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
∵PA=AC=4，AB=2，
∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），
则 ， ，
设平面MEN的一个法向量为 ，
由 ，得 ，取z=2，得 ．
由图可得平面CME的一个法向量为 ．
∴cos＜ ＞= ．
∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值为 ，则正弦值为 ；
（Ⅲ）解：设AH=t，则H（0，0，t）， ， ．
∵直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ，
∴|cos＜ ＞|=| |=| |= ．
解得：t=4．
∴当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ，此时线段AH的长为4．
【知识点】异面直线及其所成的角；平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（Ⅰ）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；
（Ⅱ）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角C﹣EM﹣N的余弦值，进一步求得正弦值；
（Ⅲ）设AH=t，则H（0，0，t），求出 的坐标，结合直线NH与直线BE所成角的余弦值为 列式求得线段AH的长．
18．【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．
由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q+q2﹣6=0．
又因为q＞0，解得q=2．所以，bn=2n．
由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8①．
由S11=11b4，可得a1+5d=16②，
联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得an=3n﹣2．
所以，数列{an}的通项公式为an=3n﹣2，数列{bn}的通项公式为bn=2n．
（Ⅱ）设数列{a2nb2n﹣1}的前n项和为Tn，
由a2n=6n﹣2，b2n﹣1= 4n，有a2nb2n﹣1=（3n﹣1）4n，
故Tn=2×4+5×42+8×43+…+（3n﹣1）4n，
4Tn=2×42+5×43+8×44+…+（3n﹣1）4n+1，
上述两式相减，得﹣3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣（3n﹣1）4n+1
= =﹣（3n﹣2）4n+1﹣8
得Tn= ．
所以，数列{a2nb2n﹣1}的前n项和为 ．
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）设出公差与公比，利用已知条件求出公差与公比，然后求解{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．
19．【答案】（Ⅰ）解：设F的坐标为（﹣c，0）．
依题意可得 ，
解得a=1，c= ，p=2，于是b2=a2﹣c2= ．
所以，椭圆的方程为x2+ =1，抛物线的方程为y2=4x．
（Ⅱ）解：直线l的方程为x=﹣1，设直线AP的方程为x=my+1（m≠0），
联立方程组 ，解得点P（﹣1，﹣ ），故Q（﹣1， ）．
联立方程组 ，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y=﹣ ．
∴B（ ， ）．
∴直线BQ的方程为（ ﹣ ）（x+1）﹣（ ）（y﹣ ）=0，
令y=0，解得x= ，故D（ ，0）．
∴|AD|=1﹣ = ．
又∵△APD的面积为 ，∴ × = ，
整理得3m2﹣2 |m|+2=0，解得|m|= ，∴m=± ．
∴直线AP的方程为3x+ y﹣3=0，或3x﹣ y﹣3=0．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p即可得出方程；（Ⅱ）设AP方程为x=my+1，联立方程组得出B，P，Q三点坐标，从而得出直线BQ的方程，解出D点坐标，根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案．
20．【答案】（Ⅰ）解：由f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a，可得g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，
进而可得g′（x）=24x2+18x﹣6．令g′（x）=0，解得x=﹣1，或x= ．
当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表：
x （﹣∞，﹣1） （﹣1， ） （ ，+∞）
g′（x） + ﹣ +
g（x） ↗ ↘ ↗
所以，g（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（ ，+∞），单调递减区间是（﹣1， ）．
（Ⅱ）证明：由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），得h（m）=g（m）（m﹣x0）﹣f（m），
h（x0）=g（x0）（m﹣x0）﹣f（m）．
令函数H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），则H′1（x）=g′（x）（x﹣x0）．
由（Ⅰ）知，当x∈[1，2]时，g′（x）＞0，
故当x∈[1，x0）时，H′1（x）＜0，H1（x）单调递减；
当x∈（x0，2]时，H′1（x）＞0，H1（x）单调递增．
因此，当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H1（x）＞H1（x0）=﹣f（x0）=0，可得H1（m）＞0即h（m）＞0，
令函数H2（x）=g（x0）（x﹣x0）﹣f（x），则H′2（x）=g′（x0）﹣g（x）．由（Ⅰ）知，g（x）在[1，2]上单调递增，故当x∈[1，x0）时，H′2（x）＞0，H2（x）单调递增；当x∈（x0，2]时，H′2（x）＜0，H2（x）单调递减．因此，当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H2（x）＞H2（x0）=0，可得得H2（m）＜0即h（x0）＜0，．
所以，h（m）h（x0）＜0．
（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且 ，
令m= ，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．
由（Ⅱ）知，当m∈[1，x0）时，h（x）在区间（m，x0）内有零点；
当m∈（x0，2]时，h（x）在区间（x0，m）内有零点．
所以h（x）在（1，2）内至少有一个零点，不妨设为x1，则h（x1）=g（x1）（ ﹣x0）﹣f（ ）=0．
由（Ⅰ）知g（x）在[1，2]上单调递增，故0＜g（1）＜g（x1）＜g（2），
于是| ﹣x0|= ≥ = ．
因为当x∈[1，2]时，g（x）＞0，故f（x）在[1，2]上单调递增，
所以f（x）在区间[1，2]上除x0外没有其他的零点，而 ≠x0，故f（ ）≠0．
又因为p，q，a均为整数，所以|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|是正整数，
从而|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．
所以| ﹣x0|≥ ．所以，只要取A=g（2），就有| ﹣x0|≥ ．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；不等式的证明；函数的零点
【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，求出极值点，通过列表判断函数的单调性求出单调区间即可．
（Ⅱ）由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），推出h（m）=g（m）（m﹣x0）﹣f（m），
令函数H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），求出导函数H′1（x）利用（Ⅰ）知，推出h（m）h（x0）＜0．
（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且 ，令m= ，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．
由（Ⅱ）知，当m∈[1，x0）时，当m∈（x0，2]时，通过h（x）的零点．转化推出| ﹣x0|= ≥ = ．推出|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．然后推出结果．
1 / 12017年高考理数真题试卷（天津卷）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2017·天津）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=（ ）
A．{2} B．{1，2，4}
C．{1，2，4，5} D．{x∈R|﹣1≤x≤5}
【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：∵A={1，2，6}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4，6}，
又C={x∈R|﹣1≤x≤5}，∴（A∪B）∩C={1，2，4}．
故选：B．
【分析】由并集概念求得A∪B，再由交集概念得答案．
2．（2017·天津）设变量x，y满足约束条件 ，则目标函数z=x+y的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】D
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划
【解析】【解答】解：变量x，y满足约束条件 的可行域如图：
目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值，
由 可得A（0，3），目标函数z=x+y的最大值为：3．
故选：D．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．
3．（2017·天津）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】选择结构；循环结构；程序框图
【解析】【解答】解：第一次N=24，能被3整除，N= ≤3不成立，
第二次N=8，8不能被3整除，N=8﹣1=7，N=7≤3不成立，
第三次N=7，不能被3整除，N=7﹣1=6，N= =2≤3成立，
输出N=2，
故选：C
【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可．
4．（2017·天津）设θ∈R，则“|θ﹣ |＜ ”是“sinθ＜ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；正弦函数的图象；正弦函数的性质；含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解：|θ﹣ |＜ ﹣ ＜θ﹣ ＜ 0＜θ＜ ，
sinθ＜ ﹣ +2kπ＜θ＜ +2kπ，k∈Z，
则（0， ） [﹣ +2kπ， +2kπ]，k∈Z，
可得“|θ﹣ |＜ ”是“sinθ＜ ”的充分不必要条件．
故选：A．
【分析】运用绝对值不等式的解法和正弦函数的图象和性质，化简两已知不等式，结合充分必要条件的定义，即可得到结论．
5．（2017·天津）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为 ．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）
A． =1 B． =1 C． =1 D． =1
【答案】B
【知识点】斜率的计算公式；两条直线平行的判定；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设双曲线的左焦点F（﹣c，0），离心率e= = ，c= a，
则双曲线为等轴双曲线，即a=b，
双曲线的渐近线方程为y=± x=±x，
则经过F和P（0，4）两点的直线的斜率k= = ，
则 =1，c=4，则a=b=2 ，
∴双曲线的标准方程： ；
故选B．
【分析】由双曲线的离心率为 ，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x，根据直线的斜率公式，即可求得c的值，求得a和b的值，即可求得双曲线方程．
6．（2017·天津）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log25.1），b=g（20.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数的奇偶性；利用对数函数的单调性比较大小；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，当x＞0，f（x）＞f（0）=0，且f′（x）＞0，
∴g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（x）=xf（x）偶函数，
∴a=g（﹣log25.1）=g（log25.1），
则2＜﹣log25.1＜3，1＜20.8＜2，
由g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（20.8）＜g（log25.1）＜g（3），
∴b＜a＜c，
故选C．
【分析】由奇函数f（x）在R上是增函数，则g（x）=xf（x）偶函数，且在（0，+∞）单调递增，则a=g（﹣log25.1）=g（log25.1），则2＜﹣log25.1＜3，1＜20.8＜2，即可求得b＜a＜c
7．（2017·天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f（ ）=2，f（ ）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（ ）
A．ω= ，φ= B．ω= ，φ=﹣
C．ω= ，φ=﹣ D．ω= ，φ=
【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得 ，
又f（ ）=2，f（ ）=0，得 ，
∴T=3π，则 ，即 ．
∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（ x+φ），
由f（ ）= ，得sin（φ+ ）=1．
∴φ+ = ，k∈Z．
取k=0，得φ= ＜π．
∴ ，φ= ．
故选：A．
【分析】由题意求得 ，再由周期公式求得ω，最后由若f（ ）=2求得φ值．
8．（2017·天津）已知函数f（x）= ，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．[﹣ ，2] B．[﹣ ， ]
C．[﹣2 ，2] D．[﹣2 ， ]
【答案】A
【知识点】函数恒成立问题；分段函数的应用
【解析】【解答】解：当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，
即为﹣x2+x﹣3≤ +a≤x2﹣x+3，
即有﹣x2+ x﹣3≤a≤x2﹣ x+3，
由y=﹣x2+ x﹣3的对称轴为x= ＜1，可得x= 处取得最大值﹣ ；
由y=x2﹣ x+3的对称轴为x= ＜1，可得x= 处取得最小值 ，
则﹣ ≤a≤ ①
当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，
即为﹣（x+ ）≤ +a≤x+ ，
即有﹣（ x+ ）≤a≤ + ，
由y=﹣（ x+ ）≤﹣2 =﹣2 （当且仅当x= ＞1）取得最大值﹣2 ；
由y= x+ ≥2 =2（当且仅当x=2＞1）取得最小值2．
则﹣2 ≤a≤2②
由①②可得，﹣ ≤a≤2．
故选：A．
【分析】讨论当x≤1时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得﹣x2+ x﹣3≤a≤x2﹣ x+3，再由二次函数的最值求法，可得a的范围；讨论当x＞1时，同样可得﹣（ x+ ）≤a≤ + ，再由基本不等式可得最值，可得a的范围，求交集即可得到所求范围．
二、二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．（2017·天津）已知a∈R，i为虚数单位，若 为实数，则a的值为 ．
【答案】﹣2
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：a∈R，i为虚数单位，
= = = ﹣ i
由 为实数，
可得﹣ =0，
解得a=﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简 ，再由复数为实数的条件：虚部为0，解方程即可得到所求值．
10．（2017·天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ．
【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：设正方体的棱长为a，
∵这个正方体的表面积为18，
∴6a2=18，
则a2=3，即a= ，
∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，
∴正方体的体对角线等于球的直径，
即 a=2R，
即R= ，
则球的体积V= π （ ）3= ；
故答案为： ．
【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可．
11．（2017·天津）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣ ）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为 ．
【答案】2
【知识点】直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程；极坐标系和平面直角坐标的区别
【解析】【解答】解：直线4ρcos（θ﹣ ）+1=0展开为：4ρ +1=0，化为：2 x+2y+1=0．
圆ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2y，配方为：x2+（y﹣1）2=1．
∴圆心C（0，1）到直线的距离d= = ＜1=R．
∴直线4ρcos（θ﹣ ）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为2．
故答案为：2．
【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d，与半径比较即可得出位置关系．
12．（2017·天津）若a，b∈R，ab＞0，则 的最小值为 ．
【答案】4
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：a，b∈R，ab＞0，
∴ ≥
=
=4ab+ ≥2 =4，
当且仅当 ，
即 ，
即a= ，b= 或a=﹣ ，b=﹣ 时取“=”；
∴上式的最小值为4．
故答案为：4．
【分析】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．
13．（2017·天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2 ， =λ ﹣ （λ∈R），且 =﹣4，则λ的值为 ．
【答案】
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；平面向量数乘的运算；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：如图所示，
△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，
=2 ，
∴ = +
= +
= + （ ﹣ ）
= + ，
又 =λ ﹣ （λ∈R），
∴ =（ + ） （λ ﹣ ）
=（ λ﹣ ） ﹣ + λ
=（ λ﹣ ）×3×2×cos60°﹣ ×32+ λ×22=﹣4，
∴ λ=1，
解得λ= ．
故答案为： ．
【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用 、 表示出 ，
再根据平面向量的数量积 列出方程求出λ的值．
14．（2017·天津）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个．（用数字作答）
【答案】1080
【知识点】基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可，
有A54=120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数；
②、四位数中只有一个偶数数字，
在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有C53 C41=40种取法，
将取出的4个数字全排列，有A44=24种顺序，
则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数；
则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个；
故答案为：1080．
【分析】根据题意，要求四位数中至多有一个数字是偶数，分2种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数数字，②、四位数中只有一个偶数数字，分别求出每种情况下四位数的数目，由分类计数原理计算可得答案．
三、三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（2017·天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB= ．
（Ⅰ）求b和sinA的值；
（Ⅱ）求sin（2A+ ）的值．
【答案】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，
故由sinB= ，可得cosB= ．
由已知及余弦定理，有 =13，
∴b= ．
由正弦定理 ，得sinA= ．
∴b= ，sinA= ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA= ，∴sin2A=2sinAcosA= ，
cos2A=1﹣2sin2A=﹣ ．
故sin（2A+ ）= = ．
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（Ⅰ）由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB，再由余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinA；
（Ⅱ）由同角三角函数基本关系式求得cosA，再由倍角公式求得sin2A，cos2A，展开两角和的正弦得答案．
16．（2017·天津）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 ， ， ．
（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
【答案】解：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；
则P（X=0）=（1﹣ ）×（1﹣ ）（1﹣ ）= ，
P（X=1）= ×（1﹣ ）×（1﹣ ）+（1﹣ ）× ×（1﹣ ）+（1﹣ ）×（1﹣ ）× = ，
P（X=2）=（1﹣ ）× × + ×（1﹣ ）× + × ×（1﹣ ）= ，
P（X=3）= × × = ；
所以，随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
随机变量X的数学期望为E（X）=0× +1× +2× +3× = ；
（Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，
则所求事件的概率为
P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）
=P（Y=0） P（Z=1）+P（Y=1） P（Z=0）
= × + ×
= ；
所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为 ．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率与独立事件
【解析】【分析】（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率值，
写出它的分布列，计算数学期望值；
（Ⅱ）利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值．
17．（2017·天津）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．
（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；
（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ，求线段AH的长．
【答案】（Ⅰ）证明：取AB中点F，连接MF、NF，
∵M为AD中点，∴MF∥BD，
∵BD 平面BDE，MF 平面BDE，∴MF∥平面BDE．
∵N为BC中点，∴NF∥AC，
又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE．
∵DE 平面BDE，NF 平面BDE，∴NF∥平面BDE．
又MF∩NF=F．
∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；
（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．
∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
∵PA=AC=4，AB=2，
∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），
则 ， ，
设平面MEN的一个法向量为 ，
由 ，得 ，取z=2，得 ．
由图可得平面CME的一个法向量为 ．
∴cos＜ ＞= ．
∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值为 ，则正弦值为 ；
（Ⅲ）解：设AH=t，则H（0，0，t）， ， ．
∵直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ，
∴|cos＜ ＞|=| |=| |= ．
解得：t=4．
∴当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ，此时线段AH的长为4．
【知识点】异面直线及其所成的角；平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（Ⅰ）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；
（Ⅱ）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角C﹣EM﹣N的余弦值，进一步求得正弦值；
（Ⅲ）设AH=t，则H（0，0，t），求出 的坐标，结合直线NH与直线BE所成角的余弦值为 列式求得线段AH的长．
18．（2017·天津）已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N+），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a2nb2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．
【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．
由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q+q2﹣6=0．
又因为q＞0，解得q=2．所以，bn=2n．
由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8①．
由S11=11b4，可得a1+5d=16②，
联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得an=3n﹣2．
所以，数列{an}的通项公式为an=3n﹣2，数列{bn}的通项公式为bn=2n．
（Ⅱ）设数列{a2nb2n﹣1}的前n项和为Tn，
由a2n=6n﹣2，b2n﹣1= 4n，有a2nb2n﹣1=（3n﹣1）4n，
故Tn=2×4+5×42+8×43+…+（3n﹣1）4n，
4Tn=2×42+5×43+8×44+…+（3n﹣1）4n+1，
上述两式相减，得﹣3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣（3n﹣1）4n+1
= =﹣（3n﹣2）4n+1﹣8
得Tn= ．
所以，数列{a2nb2n﹣1}的前n项和为 ．
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）设出公差与公比，利用已知条件求出公差与公比，然后求解{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．
19．（2017·天津）设椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为 ．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为 ．
（Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（Ⅱ）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为 ，求直线AP的方程．
【答案】（Ⅰ）解：设F的坐标为（﹣c，0）．
依题意可得 ，
解得a=1，c= ，p=2，于是b2=a2﹣c2= ．
所以，椭圆的方程为x2+ =1，抛物线的方程为y2=4x．
（Ⅱ）解：直线l的方程为x=﹣1，设直线AP的方程为x=my+1（m≠0），
联立方程组 ，解得点P（﹣1，﹣ ），故Q（﹣1， ）．
联立方程组 ，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y=﹣ ．
∴B（ ， ）．
∴直线BQ的方程为（ ﹣ ）（x+1）﹣（ ）（y﹣ ）=0，
令y=0，解得x= ，故D（ ，0）．
∴|AD|=1﹣ = ．
又∵△APD的面积为 ，∴ × = ，
整理得3m2﹣2 |m|+2=0，解得|m|= ，∴m=± ．
∴直线AP的方程为3x+ y﹣3=0，或3x﹣ y﹣3=0．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p即可得出方程；（Ⅱ）设AP方程为x=my+1，联立方程组得出B，P，Q三点坐标，从而得出直线BQ的方程，解出D点坐标，根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案．
20．（2017·天津）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数．
（Ⅰ）求g（x）的单调区间；
（Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；
（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且 ∈[1，x0）∪（x0，2]，满足| ﹣x0|≥ ．
【答案】（Ⅰ）解：由f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a，可得g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，
进而可得g′（x）=24x2+18x﹣6．令g′（x）=0，解得x=﹣1，或x= ．
当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表：
x （﹣∞，﹣1） （﹣1， ） （ ，+∞）
g′（x） + ﹣ +
g（x） ↗ ↘ ↗
所以，g（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（ ，+∞），单调递减区间是（﹣1， ）．
（Ⅱ）证明：由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），得h（m）=g（m）（m﹣x0）﹣f（m），
h（x0）=g（x0）（m﹣x0）﹣f（m）．
令函数H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），则H′1（x）=g′（x）（x﹣x0）．
由（Ⅰ）知，当x∈[1，2]时，g′（x）＞0，
故当x∈[1，x0）时，H′1（x）＜0，H1（x）单调递减；
当x∈（x0，2]时，H′1（x）＞0，H1（x）单调递增．
因此，当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H1（x）＞H1（x0）=﹣f（x0）=0，可得H1（m）＞0即h（m）＞0，
令函数H2（x）=g（x0）（x﹣x0）﹣f（x），则H′2（x）=g′（x0）﹣g（x）．由（Ⅰ）知，g（x）在[1，2]上单调递增，故当x∈[1，x0）时，H′2（x）＞0，H2（x）单调递增；当x∈（x0，2]时，H′2（x）＜0，H2（x）单调递减．因此，当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H2（x）＞H2（x0）=0，可得得H2（m）＜0即h（x0）＜0，．
所以，h（m）h（x0）＜0．
（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且 ，
令m= ，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．
由（Ⅱ）知，当m∈[1，x0）时，h（x）在区间（m，x0）内有零点；
当m∈（x0，2]时，h（x）在区间（x0，m）内有零点．
所以h（x）在（1，2）内至少有一个零点，不妨设为x1，则h（x1）=g（x1）（ ﹣x0）﹣f（ ）=0．
由（Ⅰ）知g（x）在[1，2]上单调递增，故0＜g（1）＜g（x1）＜g（2），
于是| ﹣x0|= ≥ = ．
因为当x∈[1，2]时，g（x）＞0，故f（x）在[1，2]上单调递增，
所以f（x）在区间[1，2]上除x0外没有其他的零点，而 ≠x0，故f（ ）≠0．
又因为p，q，a均为整数，所以|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|是正整数，
从而|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．
所以| ﹣x0|≥ ．所以，只要取A=g（2），就有| ﹣x0|≥ ．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；不等式的证明；函数的零点
【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，求出极值点，通过列表判断函数的单调性求出单调区间即可．
（Ⅱ）由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），推出h（m）=g（m）（m﹣x0）﹣f（m），
令函数H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），求出导函数H′1（x）利用（Ⅰ）知，推出h（m）h（x0）＜0．
（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且 ，令m= ，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．
由（Ⅱ）知，当m∈[1，x0）时，当m∈（x0，2]时，通过h（x）的零点．转化推出| ﹣x0|= ≥ = ．推出|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．然后推出结果．
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