2017年高考文数真题试卷（天津卷）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2017·天津）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，则（A∪B）∩C=（ ）
A．{2} B．{1，2，4}
C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，6}
2．（2017·天津）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2017·天津）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2017·天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为19，则输出N的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2017·天津）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（2017·天津）已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a=﹣f（ ），b=f（log24.1），c=f（20.8），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
7．（2017·天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（ ）=2，f（ ）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（ ）
A．ω= ，φ= B．ω= ，φ=﹣
C．ω= ，φ=﹣ D．ω= ，φ=
8．（2017·天津）已知函数f（x）= ，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．[﹣2，2] B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．（2017·天津）已知a∈R，i为虚数单位，若 为实数，则a的值为 ．
10．（2017·天津）已知a∈R，设函数f（x）=ax﹣lnx的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为 ．
11．（2017·天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ．
12．（2017·天津）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方
程为 ．
13．（2017·天津）若a，b∈R，ab＞0，则 的最小值为 ．
14．（2017·天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2 ， =λ ﹣ （λ∈R），且 =﹣4，则λ的值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（2017·天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac= （a2﹣b2﹣c2）．（13分）
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．
16．（2017·天津）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长（分钟） 收视人次（万）
甲 70 5 60
乙 60 5 25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．（13分）
（I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
17．（2017·天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（13分）
（I）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；
（II）求证：PD⊥平面PBC；
（II）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
18．（2017·天津）已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N*），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（13分）
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a2nbn}的前n项和（n∈N*）．
19．（2017·天津）设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）=exf（x）．（14分）
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=ex的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，
（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0；
（ii）若关于x的不等式g（x）≤ex在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围．
20．（2017·天津）已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为 ．（14分）
（I）求椭圆的离心率；
（II）设点Q在线段AE上，|FQ|= c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．
（i）求直线FP的斜率；
（ii）求椭圆的方程．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解：∵集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，
∴（A∪B）∩C={1，2，4，6}∩{1，2，3，4}={1，2，4}．
故选：B．
【分析】由并集定义先求出A∪B，再由交集定义能求出（A∪B）∩C．
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解：由2﹣x≥0得x≤2，
由|x﹣1|≤1得﹣1≤x﹣1≤1，
得0≤x≤2．
则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的必要不充分条件，
故选：B
【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
3．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】解：有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，
从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，
基本事件总数n= =10，
取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m= =4，
∴取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为p= = ．
故选：C．
【分析】先求出基本事件总数n= =10，再求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m= =4，由此能求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率．
4．【答案】C
【知识点】选择结构；循环结构；程序框图
【解析】【解答】解：第一次N=19，不能被3整除，N=19﹣1=18≤3不成立，
第二次N=18，18能被3整除，N= =6，N=6≤3不成立，
第三次N=6，能被3整除，N═ =2≤3成立，
输出N=2，
故选：C
【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可．
5．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），
可得c=2， ，即 ， ，
解得a=1，b= ，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为： ．
故选：D．
【分析】利用三角形是正三角形，推出a，b关系，通过c=2，求解a，b，然后得到双曲线的方程．
6．【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合；指数函数的图象与性质；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，
∴a=﹣f（ ）=f（log25），
b=f（log24.1），
c=f（20.8），
又1＜20.8＜2＜log24.1＜log25，
∴f（20.8）＜f（log24.1）＜f（log25），
即c＜b＜a．
故选：C．
【分析】根据奇函数f（x）在R上是增函数，化简a、b、c，即可得出a，b，c的大小．
7．【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得 ，
又f（ ）=2，f（ ）=0，得 ，
∴T=3π，则 ，即 ．
∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（ x+φ），
由f（ ）= ，得sin（φ+ ）=1．
∴φ+ = ，k∈Z．
取k=0，得φ= ＜π．
∴ ，φ= ．
故选：A．
【分析】由题意求得 ，再由周期公式求得ω，最后由若f（ ）=2求得φ值．
8．【答案】A
【知识点】含绝对值不等式的解法；分段函数的应用；函数最值的应用
【解析】【解答】解：根据题意，函数f（x）= 的图象如图：
令g（x）=| +a|，其图象与x轴相交与点（﹣2a，0），
在区间（﹣∞，﹣2a）上为减函数，在（﹣2a，+∞）为增函数，
若不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，则函数f（x）的图象在
g（x）上的上方或相交，
则必有f（0）≥g（0），
即2≥|a|，
解可得﹣2≤a≤2，
故选：A．
【分析】根据题意，作出函数f（x）的图象，令g（x）=| +a|，分析g（x）的图象特点，将不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立转化为函数f（x）的图象在g（x）上的上方或相切的问题，分析可得f（0）≥g（0），即2≥|a|，解可得a的取值范围，即可得答案．
9．【答案】-2
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：a∈R，i为虚数单位，
= = = ﹣ i
由 为实数，
可得﹣ =0，
解得a=﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简 ，再由复数为实数的条件：虚部为0，解方程即可得到所求值．
10．【答案】1
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程；两条直线的交点坐标
【解析】【解答】解：函数f（x）=ax﹣lnx，可得f′（x）=a﹣ ，切线的斜率为：k=f′（1）=a﹣1，
切点坐标（1，a），切线方程l为：y﹣a=（a﹣1）（x﹣1），
l在y轴上的截距为：a+（a﹣1）（﹣1）=1．
故答案为：1．
【分析】求出函数的导数，然后求解切线斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程，推出l在y轴上的截距．
11．【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：设正方体的棱长为a，
∵这个正方体的表面积为18，
∴6a2=18，
则a2=3，即a= ，
∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，
∴正方体的体对角线等于球的直径，
即 a=2R，
即R= ，
则球的体积V= π （ ）3= ；
故答案为： ．
【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可．
12．【答案】（x+1）2+ =1
【知识点】圆的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：设抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线l：x=﹣1，∵点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切与点A，
∵∠FAC=120°，∴∠FAO=30°，∴OA= = =1，∴OA= ，∴A（0， ），如图所示：
∴C（﹣1， ），圆的半径为CA=1，故要求的圆的标准方程为 ，
故答案为：（x+1）2+ =1．
【分析】根据题意可得F（﹣1，0），∠FAO=30°，OA= =1，由此求得OA的值，可得圆心C的坐标以及圆的半径，从而求得圆C方程．
13．【答案】4
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：a，b∈R，ab＞0，
∴ ≥
=
=4ab+ ≥2 =4，
当且仅当 ，
即 ，
即a= ，b= 或a=﹣ ，b=﹣ 时取“=”；
∴上式的最小值为4．
故答案为：4．
【分析】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．
14．【答案】
【知识点】向量加减法的应用；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：如图所示，
△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，
=2 ，
∴ = +
= +
= + （ ﹣ ）
= + ，
又 =λ ﹣ （λ∈R），
∴ =（ + ） （λ ﹣ ）
=（ λ﹣ ） ﹣ + λ
=（ λ﹣ ）×3×2×cos60°﹣ ×32+ λ×22=﹣4，
∴ λ=1，
解得λ= ．
故答案为： ．
【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用 、 表示出 ，
再根据平面向量的数量积 列出方程求出λ的值．
15．【答案】（Ⅰ）解：由 ，得asinB=bsinA，
又asinA=4bsinB，得4bsinB=asinA，
两式作比得： ，∴a=2b．
由 ，得 ，
由余弦定理，得 ；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得 ，代入asinA=4bsinB，得 ．
由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，
∴ ．
于是 ， ，
故 ．
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）由正弦定理得asinB=bsinA，结合asinA=4bsinB，得a=2b．再由 ，得 ，代入余弦定理的推论可求cosA的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ，代入asinA=4bsinB，得sinB，进一步求得cosB．利用倍角公式求sin2B，cos2B，展开两角差的正弦可得sin（2B﹣A）的值．
16．【答案】（Ⅰ）解：由已知，x，y满足的数学关系式为 ，即 ．
该二元一次不等式组所表示的平面区域如图：
（Ⅱ）解：设总收视人次为z万，则目标函数为z=60x+25y．
考虑z=60x+25y，将它变形为 ，这是斜率为 ，随z变化的一族平行直线．
为直线在y轴上的截距，当 取得最大值时，z的值最大．
又∵x，y满足约束条件，
∴由图可知，当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时，截距 最大，即z最大．
解方程组 ，得点M的坐标为（6，3）．
∴电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）直接由题意结合图表列关于x，y所满足得不等式组，化简后即可画出二元一次不等式所表示的平面区域；
（Ⅱ）写出总收视人次z=60x+25y．化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
17．【答案】解：（Ⅰ）如图，
由已知AD∥BC，
故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．
因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．
在Rt△PDA中，由已知，得 ，
故 ．
所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为 ．
证明：（Ⅱ）因为AD⊥平面PDC，直线PD 平面PDC，
所以AD⊥PD．
又因为BC∥AD，所以PD⊥BC，
又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．
解：（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，
则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．
因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，
所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．
由于AD∥BC，DF∥AB，故BF=AD=1，
由已知，得CF=BC﹣BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，
在Rt△DCF中，可得 ．
所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为 ．
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【分析】（Ⅰ）由已知AD∥BC，从而∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角，由此能求出异面直线AP与BC所成角的余弦值．
（Ⅱ）由AD⊥平面PDC，得AD⊥PD，由BC∥AD，得PD⊥BC，再由PD⊥PB，得到PD⊥平面PBC．
（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角，由PD⊥平面PBC，得到∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角，由此能求出直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
18．【答案】（Ⅰ）解：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．由已知b2+b3=12，得 ，而b1=2，所以q2+q﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以， ．
由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8．
由S11=11b4，可得a1+5d=16，联立①②，解得a1=1，d=3，
由此可得an=3n﹣2．
所以，{an}的通项公式为an=3n﹣2，{bn}的通项公式为 ．
（Ⅱ）解：设数列{a2nbn}的前n项和为Tn，由a2n=6n﹣2，有 ， ，
上述两式相减，得 = ．
得 ．
所以，数列{a2nbn}的前n项和为（3n﹣4）2n+2+16．
【知识点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．通过b2+b3=12，求出q，得到 ．然后求出公差d，推出an=3n﹣2．
（Ⅱ）设数列{a2nbn}的前n项和为Tn，利用错位相减法，转化求解数列{a2nbn}的前n项和即可．
19．【答案】（Ⅰ）解：由f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，可得f'（x）=3x2﹣12x﹣3a（a﹣4）=3（x﹣a）（x﹣（4﹣a）），
令f'（x）=0，解得x=a，或x=4﹣a．由|a|≤1，得a＜4﹣a．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （﹣∞，a） （a，4﹣a） （4﹣a，+∞）
f'（x） + ﹣ +
f（x） ↗ ↘ ↗
∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，a），（4﹣a，+∞），单调递减区间为（a，4﹣a）；
（Ⅱ）（i）证明：∵g'（x）=ex（f（x）+f'（x）），由题意知 ，
∴ ，解得 ．
∴f（x）在x=x0处的导数等于0；
（ii）解：∵g（x）≤ex，x∈[x0﹣1，x0+1]，由ex＞0，可得f（x）≤1．
又∵f（x0）=1，f'（x0）=0，
故x0为f（x）的极大值点，由（I）知x0=a．
另一方面，由于|a|≤1，故a+1＜4﹣a，
由（Ⅰ）知f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，
故当x0=a时，f（x）≤f（a）=1在[a﹣1，a+1]上恒成立，从而g（x）≤ex在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．
由f（a）=a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b=1，得b=2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．
令t（x）=2x3﹣6x2+1，x∈[﹣1，1]，
∴t'（x）=6x2﹣12x，
令t'（x）=0，解得x=2（舍去），或x=0．
∵t（﹣1）=﹣7，t（1）=﹣3，t（0）=1，故t（x）的值域为[﹣7，1]．
∴b的取值范围是[﹣7，1]．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；不等式的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，列表后可得f（x）的单调区间；
（Ⅱ）（i）求出g（x）的导函数，由题意知 ，求解可得 ．得到f（x）在x=x0处的导数等于0；
（ii）由（I）知x0=a．且f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，故当x0=a时，f（x）≤f（a）=1在[a﹣1，a+1]上恒成立，从而g（x）≤ex在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．由f（a）=a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b=1，得b=2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．构造函数t（x）=2x3﹣6x2+1，x∈[﹣1，1]，利用导数求其值域可得b的范围．
20．【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．由已知，可得 ．又由b2=a2﹣c2，可得2c2+ac﹣a2=0，即2e2+e﹣1=0．又因为0＜e＜1，解得 ．
所以，椭圆的离心率为 ；
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x=my﹣c（m＞0），则直线FP的斜率为 ．
由（Ⅰ）知a=2c，可得直线AE的方程为 ，即x+2y﹣2c=0，与直线FP的方程联立，可解得 ，即点Q的坐标为 ．
由已知|FQ|= ，有 ，整理得3m2﹣4m=0，所以 ，即直线FP的斜率为 ．
（ii）解：由a=2c，可得 ，故椭圆方程可以表示为 ．
由（i）得直线FP的方程为3x﹣4y+3c=0，与椭圆方程联立 消去y，整理得7x2+6cx﹣13c2=0，解得 （舍去），或x=c．因此可得点 ，进而可得 ，所以 ．由已知，线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离，故直线PM和QN都垂直于直线FP．
因为QN⊥FP，所以 ，所以 ÷FQN的面积为 ，同理 ÷FPM的面积等于 ，由四边形PQNM的面积为3c，得 ，整理得c2=2c，又由c＞0，得c=2．
所以，椭圆的方程为 ．
【知识点】直线的一般式方程；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．通过 ．转化求解椭圆的离心率．
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x=my﹣c（m＞0），则直线FP的斜率为 ．通过a=2c，可得直线AE的方程为 ，求解点Q的坐标为 ．利用|FQ|= ，求出m，然后求解直线FP的斜率．
（ii）求出椭圆方程的表达式你，求出直线FP的方程为3x﹣4y+3c=0，与椭圆方程联立通过 ，结合直线PM和QN都垂直于直线FP．结合四边形PQNM的面积为3c，求解c，然后求椭圆的方程．
1 / 12017年高考文数真题试卷（天津卷）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2017·天津）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，则（A∪B）∩C=（ ）
A．{2} B．{1，2，4}
C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，6}
【答案】B
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解：∵集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，
∴（A∪B）∩C={1，2，4，6}∩{1，2，3，4}={1，2，4}．
故选：B．
【分析】由并集定义先求出A∪B，再由交集定义能求出（A∪B）∩C．
2．（2017·天津）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解：由2﹣x≥0得x≤2，
由|x﹣1|≤1得﹣1≤x﹣1≤1，
得0≤x≤2．
则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的必要不充分条件，
故选：B
【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
3．（2017·天津）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】解：有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，
从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，
基本事件总数n= =10，
取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m= =4，
∴取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为p= = ．
故选：C．
【分析】先求出基本事件总数n= =10，再求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m= =4，由此能求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率．
4．（2017·天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为19，则输出N的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】选择结构；循环结构；程序框图
【解析】【解答】解：第一次N=19，不能被3整除，N=19﹣1=18≤3不成立，
第二次N=18，18能被3整除，N= =6，N=6≤3不成立，
第三次N=6，能被3整除，N═ =2≤3成立，
输出N=2，
故选：C
【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可．
5．（2017·天津）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），
可得c=2， ，即 ， ，
解得a=1，b= ，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为： ．
故选：D．
【分析】利用三角形是正三角形，推出a，b关系，通过c=2，求解a，b，然后得到双曲线的方程．
6．（2017·天津）已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a=﹣f（ ），b=f（log24.1），c=f（20.8），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合；指数函数的图象与性质；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，
∴a=﹣f（ ）=f（log25），
b=f（log24.1），
c=f（20.8），
又1＜20.8＜2＜log24.1＜log25，
∴f（20.8）＜f（log24.1）＜f（log25），
即c＜b＜a．
故选：C．
【分析】根据奇函数f（x）在R上是增函数，化简a、b、c，即可得出a，b，c的大小．
7．（2017·天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（ ）=2，f（ ）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（ ）
A．ω= ，φ= B．ω= ，φ=﹣
C．ω= ，φ=﹣ D．ω= ，φ=
【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得 ，
又f（ ）=2，f（ ）=0，得 ，
∴T=3π，则 ，即 ．
∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（ x+φ），
由f（ ）= ，得sin（φ+ ）=1．
∴φ+ = ，k∈Z．
取k=0，得φ= ＜π．
∴ ，φ= ．
故选：A．
【分析】由题意求得 ，再由周期公式求得ω，最后由若f（ ）=2求得φ值．
8．（2017·天津）已知函数f（x）= ，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．[﹣2，2] B． C． D．
【答案】A
【知识点】含绝对值不等式的解法；分段函数的应用；函数最值的应用
【解析】【解答】解：根据题意，函数f（x）= 的图象如图：
令g（x）=| +a|，其图象与x轴相交与点（﹣2a，0），
在区间（﹣∞，﹣2a）上为减函数，在（﹣2a，+∞）为增函数，
若不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，则函数f（x）的图象在
g（x）上的上方或相交，
则必有f（0）≥g（0），
即2≥|a|，
解可得﹣2≤a≤2，
故选：A．
【分析】根据题意，作出函数f（x）的图象，令g（x）=| +a|，分析g（x）的图象特点，将不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立转化为函数f（x）的图象在g（x）上的上方或相切的问题，分析可得f（0）≥g（0），即2≥|a|，解可得a的取值范围，即可得答案．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．（2017·天津）已知a∈R，i为虚数单位，若 为实数，则a的值为 ．
【答案】-2
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：a∈R，i为虚数单位，
= = = ﹣ i
由 为实数，
可得﹣ =0，
解得a=﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简 ，再由复数为实数的条件：虚部为0，解方程即可得到所求值．
10．（2017·天津）已知a∈R，设函数f（x）=ax﹣lnx的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为 ．
【答案】1
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程；两条直线的交点坐标
【解析】【解答】解：函数f（x）=ax﹣lnx，可得f′（x）=a﹣ ，切线的斜率为：k=f′（1）=a﹣1，
切点坐标（1，a），切线方程l为：y﹣a=（a﹣1）（x﹣1），
l在y轴上的截距为：a+（a﹣1）（﹣1）=1．
故答案为：1．
【分析】求出函数的导数，然后求解切线斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程，推出l在y轴上的截距．
11．（2017·天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ．
【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：设正方体的棱长为a，
∵这个正方体的表面积为18，
∴6a2=18，
则a2=3，即a= ，
∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，
∴正方体的体对角线等于球的直径，
即 a=2R，
即R= ，
则球的体积V= π （ ）3= ；
故答案为： ．
【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可．
12．（2017·天津）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方
程为 ．
【答案】（x+1）2+ =1
【知识点】圆的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：设抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线l：x=﹣1，∵点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切与点A，
∵∠FAC=120°，∴∠FAO=30°，∴OA= = =1，∴OA= ，∴A（0， ），如图所示：
∴C（﹣1， ），圆的半径为CA=1，故要求的圆的标准方程为 ，
故答案为：（x+1）2+ =1．
【分析】根据题意可得F（﹣1，0），∠FAO=30°，OA= =1，由此求得OA的值，可得圆心C的坐标以及圆的半径，从而求得圆C方程．
13．（2017·天津）若a，b∈R，ab＞0，则 的最小值为 ．
【答案】4
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：a，b∈R，ab＞0，
∴ ≥
=
=4ab+ ≥2 =4，
当且仅当 ，
即 ，
即a= ，b= 或a=﹣ ，b=﹣ 时取“=”；
∴上式的最小值为4．
故答案为：4．
【分析】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．
14．（2017·天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2 ， =λ ﹣ （λ∈R），且 =﹣4，则λ的值为 ．
【答案】
【知识点】向量加减法的应用；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：如图所示，
△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，
=2 ，
∴ = +
= +
= + （ ﹣ ）
= + ，
又 =λ ﹣ （λ∈R），
∴ =（ + ） （λ ﹣ ）
=（ λ﹣ ） ﹣ + λ
=（ λ﹣ ）×3×2×cos60°﹣ ×32+ λ×22=﹣4，
∴ λ=1，
解得λ= ．
故答案为： ．
【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用 、 表示出 ，
再根据平面向量的数量积 列出方程求出λ的值．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（2017·天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac= （a2﹣b2﹣c2）．（13分）
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．
【答案】（Ⅰ）解：由 ，得asinB=bsinA，
又asinA=4bsinB，得4bsinB=asinA，
两式作比得： ，∴a=2b．
由 ，得 ，
由余弦定理，得 ；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得 ，代入asinA=4bsinB，得 ．
由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，
∴ ．
于是 ， ，
故 ．
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）由正弦定理得asinB=bsinA，结合asinA=4bsinB，得a=2b．再由 ，得 ，代入余弦定理的推论可求cosA的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ，代入asinA=4bsinB，得sinB，进一步求得cosB．利用倍角公式求sin2B，cos2B，展开两角差的正弦可得sin（2B﹣A）的值．
16．（2017·天津）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长（分钟） 收视人次（万）
甲 70 5 60
乙 60 5 25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．（13分）
（I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
【答案】（Ⅰ）解：由已知，x，y满足的数学关系式为 ，即 ．
该二元一次不等式组所表示的平面区域如图：
（Ⅱ）解：设总收视人次为z万，则目标函数为z=60x+25y．
考虑z=60x+25y，将它变形为 ，这是斜率为 ，随z变化的一族平行直线．
为直线在y轴上的截距，当 取得最大值时，z的值最大．
又∵x，y满足约束条件，
∴由图可知，当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时，截距 最大，即z最大．
解方程组 ，得点M的坐标为（6，3）．
∴电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）直接由题意结合图表列关于x，y所满足得不等式组，化简后即可画出二元一次不等式所表示的平面区域；
（Ⅱ）写出总收视人次z=60x+25y．化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
17．（2017·天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（13分）
（I）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；
（II）求证：PD⊥平面PBC；
（II）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
【答案】解：（Ⅰ）如图，
由已知AD∥BC，
故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．
因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．
在Rt△PDA中，由已知，得 ，
故 ．
所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为 ．
证明：（Ⅱ）因为AD⊥平面PDC，直线PD 平面PDC，
所以AD⊥PD．
又因为BC∥AD，所以PD⊥BC，
又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．
解：（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，
则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．
因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，
所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．
由于AD∥BC，DF∥AB，故BF=AD=1，
由已知，得CF=BC﹣BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，
在Rt△DCF中，可得 ．
所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为 ．
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【分析】（Ⅰ）由已知AD∥BC，从而∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角，由此能求出异面直线AP与BC所成角的余弦值．
（Ⅱ）由AD⊥平面PDC，得AD⊥PD，由BC∥AD，得PD⊥BC，再由PD⊥PB，得到PD⊥平面PBC．
（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角，由PD⊥平面PBC，得到∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角，由此能求出直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
18．（2017·天津）已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N*），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（13分）
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a2nbn}的前n项和（n∈N*）．
【答案】（Ⅰ）解：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．由已知b2+b3=12，得 ，而b1=2，所以q2+q﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以， ．
由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8．
由S11=11b4，可得a1+5d=16，联立①②，解得a1=1，d=3，
由此可得an=3n﹣2．
所以，{an}的通项公式为an=3n﹣2，{bn}的通项公式为 ．
（Ⅱ）解：设数列{a2nbn}的前n项和为Tn，由a2n=6n﹣2，有 ， ，
上述两式相减，得 = ．
得 ．
所以，数列{a2nbn}的前n项和为（3n﹣4）2n+2+16．
【知识点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．通过b2+b3=12，求出q，得到 ．然后求出公差d，推出an=3n﹣2．
（Ⅱ）设数列{a2nbn}的前n项和为Tn，利用错位相减法，转化求解数列{a2nbn}的前n项和即可．
19．（2017·天津）设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）=exf（x）．（14分）
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=ex的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，
（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0；
（ii）若关于x的不等式g（x）≤ex在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围．
【答案】（Ⅰ）解：由f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，可得f'（x）=3x2﹣12x﹣3a（a﹣4）=3（x﹣a）（x﹣（4﹣a）），
令f'（x）=0，解得x=a，或x=4﹣a．由|a|≤1，得a＜4﹣a．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （﹣∞，a） （a，4﹣a） （4﹣a，+∞）
f'（x） + ﹣ +
f（x） ↗ ↘ ↗
∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，a），（4﹣a，+∞），单调递减区间为（a，4﹣a）；
（Ⅱ）（i）证明：∵g'（x）=ex（f（x）+f'（x）），由题意知 ，
∴ ，解得 ．
∴f（x）在x=x0处的导数等于0；
（ii）解：∵g（x）≤ex，x∈[x0﹣1，x0+1]，由ex＞0，可得f（x）≤1．
又∵f（x0）=1，f'（x0）=0，
故x0为f（x）的极大值点，由（I）知x0=a．
另一方面，由于|a|≤1，故a+1＜4﹣a，
由（Ⅰ）知f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，
故当x0=a时，f（x）≤f（a）=1在[a﹣1，a+1]上恒成立，从而g（x）≤ex在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．
由f（a）=a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b=1，得b=2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．
令t（x）=2x3﹣6x2+1，x∈[﹣1，1]，
∴t'（x）=6x2﹣12x，
令t'（x）=0，解得x=2（舍去），或x=0．
∵t（﹣1）=﹣7，t（1）=﹣3，t（0）=1，故t（x）的值域为[﹣7，1]．
∴b的取值范围是[﹣7，1]．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；不等式的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，列表后可得f（x）的单调区间；
（Ⅱ）（i）求出g（x）的导函数，由题意知 ，求解可得 ．得到f（x）在x=x0处的导数等于0；
（ii）由（I）知x0=a．且f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，故当x0=a时，f（x）≤f（a）=1在[a﹣1，a+1]上恒成立，从而g（x）≤ex在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．由f（a）=a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b=1，得b=2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．构造函数t（x）=2x3﹣6x2+1，x∈[﹣1，1]，利用导数求其值域可得b的范围．
20．（2017·天津）已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为 ．（14分）
（I）求椭圆的离心率；
（II）设点Q在线段AE上，|FQ|= c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．
（i）求直线FP的斜率；
（ii）求椭圆的方程．
【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．由已知，可得 ．又由b2=a2﹣c2，可得2c2+ac﹣a2=0，即2e2+e﹣1=0．又因为0＜e＜1，解得 ．
所以，椭圆的离心率为 ；
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x=my﹣c（m＞0），则直线FP的斜率为 ．
由（Ⅰ）知a=2c，可得直线AE的方程为 ，即x+2y﹣2c=0，与直线FP的方程联立，可解得 ，即点Q的坐标为 ．
由已知|FQ|= ，有 ，整理得3m2﹣4m=0，所以 ，即直线FP的斜率为 ．
（ii）解：由a=2c，可得 ，故椭圆方程可以表示为 ．
由（i）得直线FP的方程为3x﹣4y+3c=0，与椭圆方程联立 消去y，整理得7x2+6cx﹣13c2=0，解得 （舍去），或x=c．因此可得点 ，进而可得 ，所以 ．由已知，线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离，故直线PM和QN都垂直于直线FP．
因为QN⊥FP，所以 ，所以 ÷FQN的面积为 ，同理 ÷FPM的面积等于 ，由四边形PQNM的面积为3c，得 ，整理得c2=2c，又由c＞0，得c=2．
所以，椭圆的方程为 ．
【知识点】直线的一般式方程；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．通过 ．转化求解椭圆的离心率．
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x=my﹣c（m＞0），则直线FP的斜率为 ．通过a=2c，可得直线AE的方程为 ，求解点Q的坐标为 ．利用|FQ|= ，求出m，然后求解直线FP的斜率．
（ii）求出椭圆方程的表达式你，求出直线FP的方程为3x﹣4y+3c=0，与椭圆方程联立通过 ，结合直线PM和QN都垂直于直线FP．结合四边形PQNM的面积为3c，求解c，然后求椭圆的方程．
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