2017年高考理数真题试卷（山东卷）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.
1．（2017·山东）设函数y= 的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（ ）
A．（1，2） B．（1，2] C．（﹣2，1） D．[﹣2，1）
【答案】D
【知识点】交集及其运算；函数的定义域及其求法；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由4﹣x2≥0，解得：﹣2≤x≤2，则函数y= 的定义域[﹣2，2]，
由对数函数的定义域可知：1﹣x＞0，解得：x＜1，则函数y=ln（1﹣x）的定义域（﹣∞，1），
则A∩B=[﹣2，1），
故选D．
【分析】根据幂函数及对数函数定义域的求法，即可求得A和B，即可求得A∩B．
2．（2017·山东）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+ i，z =4，则a=（ ）
A．1或﹣1 B．或﹣ C．﹣ D．
【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由z=a+ i，则z的共轭复数 =a﹣ i，
由z =（a+ i）（a﹣ i）=a2+3=4，则a2=1，解得：a=±1，
∴a的值为1或﹣1，
故选A．
【分析】求得z的共轭复数，根据复数的运算，即可求得a的值．
3．（2017·山东）已知命题p： x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q
【答案】B
【知识点】复合命题的真假；对数函数的单调性与特殊点；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：命题p： x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题；
取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．
∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．
故选B．
【分析】由对数函数的性质可知命题p为真命题，则￢p为假命题，由不等式的性质可知，命题q是假命题，则￢q是真命题．因此p∧￢q为真命题．
4．（2017·山东）已知x，y满足约束条件 ，则z=x+2y的最大值是（ ）
A．0 B．2 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划
【解析】【解答】解：画出约束条件 表示的平面区域，如图所示；
由 解得A（﹣3，4），
此时直线y=﹣ x+ z在y轴上的截距最大，
所以目标函数z=x+2y的最大值为
zmax=﹣3+2×4=5．
故选：C．
【分析】画出约束条件表示的平面区域，根据图形找出最优解是
由 解得的点A的坐标，
代入目标函数求出最大值．
5．（2017·山东）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 = x+ ，已知 xi=225， yi=1600， =4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ）
A．160 B．163 C．166 D．170
【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由线性回归方程为 =4x+ ，
则 = xi=22.5， = yi=160，
则数据的样本中心点（22.5，160），
由回归直线经过样本中心点，则 = ﹣4x=160﹣4×22.5=70，
∴回归直线方程为 =4x+70，
当x=24时， =4×24+70=166，
则估计其身高为166，
故选C．
【分析】由数据求得样本中心点，由回归直线方程必过样本中心点，代入即可求得 ，将x=24代入回归直线方程即可估计其身高．
6．（2017·山东）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（ ）
A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，0
【答案】D
【知识点】选择结构；循环结构；程序框图
【解析】【解答】解：当输入的x值为7时，
第一次，不满足b2＞x，也不满足x能被b整数，故b=3；
第二次，满足b2＞x，故输出a=1；
当输入的x值为9时，
第一次，不满足b2＞x，也不满足x能被b整数，故b=3；
第二次，不满足b2＞x，但满足x能被b整数，故输出a=0
故选：D
【分析】根据已知中的程序框图，模拟程序的执行过程，可得答案．
7．（2017·山东）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（ ）
A．a+ ＜ ＜log2（a+b）） B．＜log2（a+b）＜a+
C．a+ ＜log2（a+b）＜ D．log2（a+b））＜a+ ＜
【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：∵a＞b＞0，且ab=1，
∴可取a=2，b= ．
则 = 4 ， = = ，log2（a+b）= = ∈（1，2），
∴ ＜log2（a+b）＜a+ ．
故选：B．
【分析】a＞b＞0，且ab=1，可取a=2，b= ．代入计算即可得出大小关系．
8．（2017·山东）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有 =36种不同情况，
且这些情况是等可能发生的，
抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的情况有 =20种，
故抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率P= = ，
故选：C．
【分析】计算出所有情况总数，及满足条件的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．
9．（2017·山东）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（ ）
A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A
【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin（A+C）=sinAcosC+sinB，
可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为△ABC为锐角三角形，所以2sinB=sinA，
由正弦定理可得：2b=a．
故选：A．
【分析】利用两角和与差的三角函数化简等式右侧，然后化简通过正弦定理推出结果即可．
10．（2017·山东）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2 的图象与y= +m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（ ）
A．（0，1]∪[2 ，+∞） B．（0，1]∪[3，+∞）
C．（0， ）∪[2 ，+∞） D．（0， ]∪[3，+∞）
【答案】B
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；函数的图象
【解析】【解答】解：根据题意，由于m为正数，y=（mx﹣1）2 为二次函数，在区间（0， ）为减函数，（ ，+∞）为增函数，
函数y= +m为增函数，
分2种情况讨论：
①、当0＜m≤1时，有 ≥1，
在区间[0，1]上，y=（mx﹣1）2 为减函数，且其值域为[（m﹣1）2，1]，
函数y= +m为增函数，其值域为[m，1+m]，
此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；
②、当m＞1时，有 ＜1，
y=（mx﹣1）2 在区间（0， ）为减函数，（ ，1）为增函数，
函数y= +m为增函数，其值域为[m，1+m]，
若两个函数的图象有1个交点，则有（m﹣1）2≥1+m，
解可得m≤0或m≥3，
又由m为正数，则m≥3；
综合可得：m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）；
故选：B．
【分析】根据题意，由二次函数的性质分析可得：y=（mx﹣1）2 为二次函数，在区间（0， ）为减函数，（ ，+∞）为增函数，分2种情况讨论：①、当0＜m≤1时，有 ≥1，②、当m＞1时，有 ＜1，结合图象分析两个函数的单调性与值域，可得m的取值范围，综合可得答案．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11．（2017·山东）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n= ．
【答案】4
【知识点】组合及组合数公式；二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：（1+3x）n的展开式中通项公式：Tr+1= （3x）r=3r xr．
∵含有x2的系数是54，∴r=2．
∴ =54，可得 =6，∴ =6，n∈N*．
解得n=4．
故答案为：4．
【分析】利用二项展开式的通项公式即可得出．
12．（2017·山东）已知 ， 是互相垂直的单位向量，若 ﹣ 与 +λ 的夹角为60°，则实数λ的值是 ．
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解： ， 是互相垂直的单位向量，
∴| |=| |=1，且 =0；
又 ﹣ 与 +λ 的夹角为60°，
∴（ ﹣ ） （ +λ ）=| ﹣ |×| +λ |×cos60°，
即 +（ ﹣1） ﹣λ = × × ，
化简得 ﹣λ= × × ，
即 ﹣λ= ，
解得λ= ．
故答案为： ．
【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．
13．（2017·山东）由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 ．
【答案】2+
【知识点】由三视图还原几何体；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V1=2×1×1=2，
圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积V2= ×π×12×1= ，
则该几何体的体积V=V1+2V1=2+ ，
故答案为：2+ ．
【分析】由三视图可知：长方体长为2，宽为1，高为1，圆柱的底面半径为1，高为1圆柱的 ，根据长方体及圆柱的体积公式，即可求得几何体的体积．
14．（2017·山东）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 =1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】y=± x
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：把x2=2py（p＞0）代入双曲线 =1（a＞0，b＞0），
可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，
∴yA+yB= ，
∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴yA+yB+2× =4× ，
∴ =p，
∴ = ．
∴该双曲线的渐近线方程为：y=± x．
故答案为：y=± x．
【分析】把x2=2py（p＞0）代入双曲线 =1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出．
15．（2017·山东）若函数exf（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为 ．
①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．
【答案】①④
【知识点】函数单调性的性质；指数函数的图象与性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：对于①，f（x）=2﹣x，则g（x）=exf（x）= 为实数集上的增函数；
对于②，f（x）=3﹣x，则g（x）=exf（x）= 为实数集上的减函数；
对于③，f（x）=x3，则g（x）=exf（x）=ex x3，
g′（x）=ex x3+3ex x2=ex（x3+3x2）=ex x2（x+3），当x＜﹣3时，g′（x）＜0，
∴g（x）=exf（x）在定义域R上先减后增；
对于④，f（x）=x2+2，则g（x）=exf（x）=ex（x2+2），
g′（x）=ex（x2+2）+2xex=ex（x2+2x+2）＞0在实数集R上恒成立，
∴g（x）=exf（x）在定义域R上是增函数．
∴具有M性质的函数的序号为①④．
故答案为：①④．
【分析】把①②代入exf（x），变形为指数函数判断；把③④代入exf（x），求导数判断．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．（2017·山东）设函数f（x）=sin（ωx﹣ ）+sin（ωx﹣ ），其中0＜ω＜3，已知f（ ）=0．（12分）
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣ ， ]上的最小值．
【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx﹣ ）+sin（ωx﹣ ）
=sinωxcos ﹣cosωxsin ﹣sin（ ﹣ωx）
= sinωx﹣ cosωx
= sin（ωx﹣ ），
又f（ ）= sin（ ω﹣ ）=0，
∴ ω﹣ =kπ，k∈Z，
解得ω=6k+2，
又0＜ω＜3，
∴ω=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）= sin（2x﹣ ），
将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y= sin（x﹣ ）的图象；
再将得到的图象向左平移 个单位，得到y= sin（x+ ﹣ ）的图象，
∴函数y=g（x）= sin（x﹣ ）；
当x∈[﹣ ， ]时，x﹣ ∈[﹣ ， ]，
∴sin（x﹣ ）∈[﹣ ，1]，
∴当x=﹣ 时，g（x）取得最小值是﹣ × =﹣ ．
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，根据f（ ）=0求出ω的值；
（Ⅱ）写出f（x）解析式，利用平移法则写出g（x）的解析式，求出x∈[﹣ ， ]时g（x）的最小值．
17．（2017·山东）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是 的中点．
（Ⅰ）设P是 上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；
（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．
【答案】解：（Ⅰ）∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP 平面ABP，AB∩AP=A，
∴BE⊥平面ABP，又BP 平面ABP，
∴BE⊥BP，又∠EBC=120°，
因此∠CBP=30°；
（Ⅱ）解法一、
取 的中点H，连接EH，GH，CH，
∵∠EBC=120°，∴四边形BEGH为菱形，
∴AE=GE=AC=GC= ．
取AG中点M，连接EM，CM，EC，
则EM⊥AG，CM⊥AG，
∴∠EMC为所求二面角的平面角．
又AM=1，∴EM=CM= ．
在△BEC中，由于∠EBC=120°，
由余弦定理得：EC2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，
∴ ，因此△EMC为等边三角形，
故所求的角为60°．
解法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
由题意得：A（0，0，3），E（2，0，0），G（1， ，3），C（﹣1， ，0），
故 ， ， ．
设 为平面AEG的一个法向量，
由 ，得 ，取z1=2，得 ；
设 为平面ACG的一个法向量，
由 ，可得 ，取z2=﹣2，得 ．
∴cos＜ ＞= ．
∴二面角E﹣AG﹣C的大小为60°．
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（Ⅰ）由已知利用线面垂直的判定可得BE⊥平面ABP，得到BE⊥BP，结合∠EBC=120°求得∠CBP=30°；
（Ⅱ）法一、取 的中点H，连接EH，GH，CH，可得四边形BEGH为菱形，取AG中点M，连接EM，CM，EC，得到EM⊥AG，CM⊥AG，说明∠EMC为所求二面角的平面角．求解三角形得二面角E﹣AG﹣C的大小．
法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出A，E，G，C的坐标，进一步求出平面AEG与平面ACG的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E﹣AG﹣C的大小．
18．（2017·山东）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．
（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．
【答案】解：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，
则P（M）= = ．
（II）X的可能取值为：0，1，2，3，4，
∴P（X=0）= = ，
P（X=1）= = ，
P（X=2）= = ，
P（X=3）= = ，
P（X=4）= = ．
∴X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
X的数学期望EX=0× +1× +2× +3× +4× =2．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；组合及组合数公式
【解析】【分析】（Ⅰ）利用组合数公式计算概率；
（Ⅱ）使用超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列，再计算数学期望．
19．（2017·山东）已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．
（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…Pn+1（xn+1，n+1）得到折线P1 P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=xn+1所围成的区域的面积Tn．
【答案】解：（I）设数列{xn}的公比为q，则q＞0，
由题意得 ，
两式相比得： ，解得q=2或q=﹣ （舍），
∴x1=1，
∴xn=2n﹣1．
（II）过P1，P2，P3，…，Pn向x轴作垂线，垂足为Q1，Q2，Q3，…，Qn，
即梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn，
则bn= =（2n+1）×2n﹣2，
∴Tn=3×2﹣1+5×20+7×21+…+（2n+1）×2n﹣2，①
∴2Tn=3×20+5×21+7×22+…+（2n+1）×2n﹣1，②
①﹣②得：﹣Tn= +（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）×2n﹣1
= + ﹣（2n+1）×2n﹣1=﹣ +（1﹣2n）×2n﹣1．
∴Tn= ．
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（I）列方程组求出首项和公比即可得出通项公式；
（II）从各点向x轴作垂线，求出梯形的面积的通项公式，利用错位相减法求和即可．
20．（2017·山东）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（13分）
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；
（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
【答案】解：（Ⅰ）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，∴f′（π）=2π．
∴曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣（π2﹣2）=2π（x﹣π）．
化为：2πx﹣y﹣π2﹣2=0．
（Ⅱ）h（x）=g （x）﹣a f（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx）
h′（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）+ex（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx）
=2（x﹣sinx）（ex﹣a）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）．
令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数u（x）在R上单调递增．
∵u（0）=0，∴x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．
（i）a≤0时，ex﹣a＞0，∴x＞0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；
x＜0时，h′（x）＜0，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．
∴x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．
（ii）a＞0时，令h′（x）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）=0．
解得x1=lna，x2=0．
①0＜a＜1时，x∈（﹣∞，lna）时，ex﹣elna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；
x∈（lna，0）时，ex﹣elna＞0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；
x∈（0，+∞）时，ex﹣elna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．
∴当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．
当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．
②当a=1时，lna=0，x∈R时，h′（x）≥0，∴函数h（x）在R上单调递增．
③1＜a时，lna＞0，x∈（﹣∞，0）时，ex﹣elna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；
x∈（0，lna）时，ex﹣elna＜0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；
x∈（lna，+∞）时，ex﹣elna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．
∴当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．
当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．
综上所述：a≤0时，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．
x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．
0＜a＜1时，函数h（x）在x∈（﹣∞，lna）是单调递增；函数h（x）在x∈（lna，0）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．
当a=1时，lna=0，函数h（x）在R上单调递增．
a＞1时，函数h（x）在（﹣∞，0），（lna，+∞）上单调递增；函数h（x）在（0，lna）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．
【知识点】导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（Ⅰ）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，可得f′（π）=2π即为切线的斜率，利用点斜式即可得出切线方程．
（Ⅱ）h（x）=g （x）﹣a f（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx），可得h′（x）=2（x﹣sinx）（ex﹣a）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）．令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，可得函数u（x）在R上单调递增．
由u（0）=0，可得x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．
对a分类讨论：a≤0时，0＜a＜1时，当a=1时，a＞1时，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．
21．（2017·山东）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，焦距为2．（14分）
（Ⅰ）求椭圆E的方程．
（Ⅱ）如图，该直线l：y=k1x﹣ 交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2，且看k1k2= ，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．
【答案】解：（Ⅰ）由题意知， ，解得a= ，b=1．
∴椭圆E的方程为 ；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立 ，得 ．
由题意得△= ＞0．
， ．
∴|AB|= ．
由题意可知圆M的半径r为
r= ．
由题意设知， ，∴ ．
因此直线OC的方程为 ．
联立 ，得 ．
因此，|OC|= ．
由题意可知，sin = ．
而 = ．
令t= ，则t＞1， ∈（0，1），
因此， = ≥1．
当且仅当 ，即t=2时等式成立，此时 ．
∴ ，因此 ．
∴∠SOT的最大值为 ．
综上所述：∠SOT的最大值为 ，取得最大值时直线l的斜率为 ．
【知识点】函数的值域；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意得关于a，b，c的方程组，求解方程组得a，b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得A，B的横坐标的和与积，由弦长公式求得|AB|，由题意可知圆M的半径r，则r= ．由题意设知 ．得到直线OC的方程，与椭圆方程联立，求得C点坐标，可得|OC|，由题意可知，sin = ．转化为关于k1的函数，换元后利用配方法求得∠SOT的最大值为 ，取得最大值时直线l的斜率为 ．
1 / 12017年高考理数真题试卷（山东卷）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.
1．（2017·山东）设函数y= 的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（ ）
A．（1，2） B．（1，2] C．（﹣2，1） D．[﹣2，1）
2．（2017·山东）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+ i，z =4，则a=（ ）
A．1或﹣1 B．或﹣ C．﹣ D．
3．（2017·山东）已知命题p： x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q
4．（2017·山东）已知x，y满足约束条件 ，则z=x+2y的最大值是（ ）
A．0 B．2 C．5 D．6
5．（2017·山东）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 = x+ ，已知 xi=225， yi=1600， =4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ）
A．160 B．163 C．166 D．170
6．（2017·山东）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（ ）
A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，0
7．（2017·山东）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（ ）
A．a+ ＜ ＜log2（a+b）） B．＜log2（a+b）＜a+
C．a+ ＜log2（a+b）＜ D．log2（a+b））＜a+ ＜
8．（2017·山东）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（2017·山东）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（ ）
A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A
10．（2017·山东）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2 的图象与y= +m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（ ）
A．（0，1]∪[2 ，+∞） B．（0，1]∪[3，+∞）
C．（0， ）∪[2 ，+∞） D．（0， ]∪[3，+∞）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11．（2017·山东）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n= ．
12．（2017·山东）已知 ， 是互相垂直的单位向量，若 ﹣ 与 +λ 的夹角为60°，则实数λ的值是 ．
13．（2017·山东）由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 ．
14．（2017·山东）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 =1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为 ．
15．（2017·山东）若函数exf（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为 ．
①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．（2017·山东）设函数f（x）=sin（ωx﹣ ）+sin（ωx﹣ ），其中0＜ω＜3，已知f（ ）=0．（12分）
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣ ， ]上的最小值．
17．（2017·山东）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是 的中点．
（Ⅰ）设P是 上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；
（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．
18．（2017·山东）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．
（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．
19．（2017·山东）已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．
（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…Pn+1（xn+1，n+1）得到折线P1 P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=xn+1所围成的区域的面积Tn．
20．（2017·山东）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（13分）
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；
（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
21．（2017·山东）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，焦距为2．（14分）
（Ⅰ）求椭圆E的方程．
（Ⅱ）如图，该直线l：y=k1x﹣ 交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2，且看k1k2= ，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算；函数的定义域及其求法；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由4﹣x2≥0，解得：﹣2≤x≤2，则函数y= 的定义域[﹣2，2]，
由对数函数的定义域可知：1﹣x＞0，解得：x＜1，则函数y=ln（1﹣x）的定义域（﹣∞，1），
则A∩B=[﹣2，1），
故选D．
【分析】根据幂函数及对数函数定义域的求法，即可求得A和B，即可求得A∩B．
2．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由z=a+ i，则z的共轭复数 =a﹣ i，
由z =（a+ i）（a﹣ i）=a2+3=4，则a2=1，解得：a=±1，
∴a的值为1或﹣1，
故选A．
【分析】求得z的共轭复数，根据复数的运算，即可求得a的值．
3．【答案】B
【知识点】复合命题的真假；对数函数的单调性与特殊点；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：命题p： x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题；
取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．
∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．
故选B．
【分析】由对数函数的性质可知命题p为真命题，则￢p为假命题，由不等式的性质可知，命题q是假命题，则￢q是真命题．因此p∧￢q为真命题．
4．【答案】C
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划
【解析】【解答】解：画出约束条件 表示的平面区域，如图所示；
由 解得A（﹣3，4），
此时直线y=﹣ x+ z在y轴上的截距最大，
所以目标函数z=x+2y的最大值为
zmax=﹣3+2×4=5．
故选：C．
【分析】画出约束条件表示的平面区域，根据图形找出最优解是
由 解得的点A的坐标，
代入目标函数求出最大值．
5．【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由线性回归方程为 =4x+ ，
则 = xi=22.5， = yi=160，
则数据的样本中心点（22.5，160），
由回归直线经过样本中心点，则 = ﹣4x=160﹣4×22.5=70，
∴回归直线方程为 =4x+70，
当x=24时， =4×24+70=166，
则估计其身高为166，
故选C．
【分析】由数据求得样本中心点，由回归直线方程必过样本中心点，代入即可求得 ，将x=24代入回归直线方程即可估计其身高．
6．【答案】D
【知识点】选择结构；循环结构；程序框图
【解析】【解答】解：当输入的x值为7时，
第一次，不满足b2＞x，也不满足x能被b整数，故b=3；
第二次，满足b2＞x，故输出a=1；
当输入的x值为9时，
第一次，不满足b2＞x，也不满足x能被b整数，故b=3；
第二次，不满足b2＞x，但满足x能被b整数，故输出a=0
故选：D
【分析】根据已知中的程序框图，模拟程序的执行过程，可得答案．
7．【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：∵a＞b＞0，且ab=1，
∴可取a=2，b= ．
则 = 4 ， = = ，log2（a+b）= = ∈（1，2），
∴ ＜log2（a+b）＜a+ ．
故选：B．
【分析】a＞b＞0，且ab=1，可取a=2，b= ．代入计算即可得出大小关系．
8．【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有 =36种不同情况，
且这些情况是等可能发生的，
抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的情况有 =20种，
故抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率P= = ，
故选：C．
【分析】计算出所有情况总数，及满足条件的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．
9．【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin（A+C）=sinAcosC+sinB，
可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为△ABC为锐角三角形，所以2sinB=sinA，
由正弦定理可得：2b=a．
故选：A．
【分析】利用两角和与差的三角函数化简等式右侧，然后化简通过正弦定理推出结果即可．
10．【答案】B
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；函数的图象
【解析】【解答】解：根据题意，由于m为正数，y=（mx﹣1）2 为二次函数，在区间（0， ）为减函数，（ ，+∞）为增函数，
函数y= +m为增函数，
分2种情况讨论：
①、当0＜m≤1时，有 ≥1，
在区间[0，1]上，y=（mx﹣1）2 为减函数，且其值域为[（m﹣1）2，1]，
函数y= +m为增函数，其值域为[m，1+m]，
此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；
②、当m＞1时，有 ＜1，
y=（mx﹣1）2 在区间（0， ）为减函数，（ ，1）为增函数，
函数y= +m为增函数，其值域为[m，1+m]，
若两个函数的图象有1个交点，则有（m﹣1）2≥1+m，
解可得m≤0或m≥3，
又由m为正数，则m≥3；
综合可得：m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）；
故选：B．
【分析】根据题意，由二次函数的性质分析可得：y=（mx﹣1）2 为二次函数，在区间（0， ）为减函数，（ ，+∞）为增函数，分2种情况讨论：①、当0＜m≤1时，有 ≥1，②、当m＞1时，有 ＜1，结合图象分析两个函数的单调性与值域，可得m的取值范围，综合可得答案．
11．【答案】4
【知识点】组合及组合数公式；二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：（1+3x）n的展开式中通项公式：Tr+1= （3x）r=3r xr．
∵含有x2的系数是54，∴r=2．
∴ =54，可得 =6，∴ =6，n∈N*．
解得n=4．
故答案为：4．
【分析】利用二项展开式的通项公式即可得出．
12．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解： ， 是互相垂直的单位向量，
∴| |=| |=1，且 =0；
又 ﹣ 与 +λ 的夹角为60°，
∴（ ﹣ ） （ +λ ）=| ﹣ |×| +λ |×cos60°，
即 +（ ﹣1） ﹣λ = × × ，
化简得 ﹣λ= × × ，
即 ﹣λ= ，
解得λ= ．
故答案为： ．
【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．
13．【答案】2+
【知识点】由三视图还原几何体；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V1=2×1×1=2，
圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积V2= ×π×12×1= ，
则该几何体的体积V=V1+2V1=2+ ，
故答案为：2+ ．
【分析】由三视图可知：长方体长为2，宽为1，高为1，圆柱的底面半径为1，高为1圆柱的 ，根据长方体及圆柱的体积公式，即可求得几何体的体积．
14．【答案】y=± x
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：把x2=2py（p＞0）代入双曲线 =1（a＞0，b＞0），
可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，
∴yA+yB= ，
∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴yA+yB+2× =4× ，
∴ =p，
∴ = ．
∴该双曲线的渐近线方程为：y=± x．
故答案为：y=± x．
【分析】把x2=2py（p＞0）代入双曲线 =1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出．
15．【答案】①④
【知识点】函数单调性的性质；指数函数的图象与性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：对于①，f（x）=2﹣x，则g（x）=exf（x）= 为实数集上的增函数；
对于②，f（x）=3﹣x，则g（x）=exf（x）= 为实数集上的减函数；
对于③，f（x）=x3，则g（x）=exf（x）=ex x3，
g′（x）=ex x3+3ex x2=ex（x3+3x2）=ex x2（x+3），当x＜﹣3时，g′（x）＜0，
∴g（x）=exf（x）在定义域R上先减后增；
对于④，f（x）=x2+2，则g（x）=exf（x）=ex（x2+2），
g′（x）=ex（x2+2）+2xex=ex（x2+2x+2）＞0在实数集R上恒成立，
∴g（x）=exf（x）在定义域R上是增函数．
∴具有M性质的函数的序号为①④．
故答案为：①④．
【分析】把①②代入exf（x），变形为指数函数判断；把③④代入exf（x），求导数判断．
16．【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx﹣ ）+sin（ωx﹣ ）
=sinωxcos ﹣cosωxsin ﹣sin（ ﹣ωx）
= sinωx﹣ cosωx
= sin（ωx﹣ ），
又f（ ）= sin（ ω﹣ ）=0，
∴ ω﹣ =kπ，k∈Z，
解得ω=6k+2，
又0＜ω＜3，
∴ω=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）= sin（2x﹣ ），
将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y= sin（x﹣ ）的图象；
再将得到的图象向左平移 个单位，得到y= sin（x+ ﹣ ）的图象，
∴函数y=g（x）= sin（x﹣ ）；
当x∈[﹣ ， ]时，x﹣ ∈[﹣ ， ]，
∴sin（x﹣ ）∈[﹣ ，1]，
∴当x=﹣ 时，g（x）取得最小值是﹣ × =﹣ ．
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，根据f（ ）=0求出ω的值；
（Ⅱ）写出f（x）解析式，利用平移法则写出g（x）的解析式，求出x∈[﹣ ， ]时g（x）的最小值．
17．【答案】解：（Ⅰ）∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP 平面ABP，AB∩AP=A，
∴BE⊥平面ABP，又BP 平面ABP，
∴BE⊥BP，又∠EBC=120°，
因此∠CBP=30°；
（Ⅱ）解法一、
取 的中点H，连接EH，GH，CH，
∵∠EBC=120°，∴四边形BEGH为菱形，
∴AE=GE=AC=GC= ．
取AG中点M，连接EM，CM，EC，
则EM⊥AG，CM⊥AG，
∴∠EMC为所求二面角的平面角．
又AM=1，∴EM=CM= ．
在△BEC中，由于∠EBC=120°，
由余弦定理得：EC2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，
∴ ，因此△EMC为等边三角形，
故所求的角为60°．
解法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
由题意得：A（0，0，3），E（2，0，0），G（1， ，3），C（﹣1， ，0），
故 ， ， ．
设 为平面AEG的一个法向量，
由 ，得 ，取z1=2，得 ；
设 为平面ACG的一个法向量，
由 ，可得 ，取z2=﹣2，得 ．
∴cos＜ ＞= ．
∴二面角E﹣AG﹣C的大小为60°．
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（Ⅰ）由已知利用线面垂直的判定可得BE⊥平面ABP，得到BE⊥BP，结合∠EBC=120°求得∠CBP=30°；
（Ⅱ）法一、取 的中点H，连接EH，GH，CH，可得四边形BEGH为菱形，取AG中点M，连接EM，CM，EC，得到EM⊥AG，CM⊥AG，说明∠EMC为所求二面角的平面角．求解三角形得二面角E﹣AG﹣C的大小．
法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出A，E，G，C的坐标，进一步求出平面AEG与平面ACG的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E﹣AG﹣C的大小．
18．【答案】解：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，
则P（M）= = ．
（II）X的可能取值为：0，1，2，3，4，
∴P（X=0）= = ，
P（X=1）= = ，
P（X=2）= = ，
P（X=3）= = ，
P（X=4）= = ．
∴X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
X的数学期望EX=0× +1× +2× +3× +4× =2．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；组合及组合数公式
【解析】【分析】（Ⅰ）利用组合数公式计算概率；
（Ⅱ）使用超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列，再计算数学期望．
19．【答案】解：（I）设数列{xn}的公比为q，则q＞0，
由题意得 ，
两式相比得： ，解得q=2或q=﹣ （舍），
∴x1=1，
∴xn=2n﹣1．
（II）过P1，P2，P3，…，Pn向x轴作垂线，垂足为Q1，Q2，Q3，…，Qn，
即梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn，
则bn= =（2n+1）×2n﹣2，
∴Tn=3×2﹣1+5×20+7×21+…+（2n+1）×2n﹣2，①
∴2Tn=3×20+5×21+7×22+…+（2n+1）×2n﹣1，②
①﹣②得：﹣Tn= +（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）×2n﹣1
= + ﹣（2n+1）×2n﹣1=﹣ +（1﹣2n）×2n﹣1．
∴Tn= ．
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（I）列方程组求出首项和公比即可得出通项公式；
（II）从各点向x轴作垂线，求出梯形的面积的通项公式，利用错位相减法求和即可．
20．【答案】解：（Ⅰ）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，∴f′（π）=2π．
∴曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣（π2﹣2）=2π（x﹣π）．
化为：2πx﹣y﹣π2﹣2=0．
（Ⅱ）h（x）=g （x）﹣a f（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx）
h′（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）+ex（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx）
=2（x﹣sinx）（ex﹣a）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）．
令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数u（x）在R上单调递增．
∵u（0）=0，∴x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．
（i）a≤0时，ex﹣a＞0，∴x＞0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；
x＜0时，h′（x）＜0，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．
∴x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．
（ii）a＞0时，令h′（x）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）=0．
解得x1=lna，x2=0．
①0＜a＜1时，x∈（﹣∞，lna）时，ex﹣elna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；
x∈（lna，0）时，ex﹣elna＞0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；
x∈（0，+∞）时，ex﹣elna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．
∴当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．
当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．
②当a=1时，lna=0，x∈R时，h′（x）≥0，∴函数h（x）在R上单调递增．
③1＜a时，lna＞0，x∈（﹣∞，0）时，ex﹣elna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；
x∈（0，lna）时，ex﹣elna＜0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；
x∈（lna，+∞）时，ex﹣elna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．
∴当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．
当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．
综上所述：a≤0时，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．
x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．
0＜a＜1时，函数h（x）在x∈（﹣∞，lna）是单调递增；函数h（x）在x∈（lna，0）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．
当a=1时，lna=0，函数h（x）在R上单调递增．
a＞1时，函数h（x）在（﹣∞，0），（lna，+∞）上单调递增；函数h（x）在（0，lna）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．
【知识点】导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（Ⅰ）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，可得f′（π）=2π即为切线的斜率，利用点斜式即可得出切线方程．
（Ⅱ）h（x）=g （x）﹣a f（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx），可得h′（x）=2（x﹣sinx）（ex﹣a）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）．令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，可得函数u（x）在R上单调递增．
由u（0）=0，可得x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．
对a分类讨论：a≤0时，0＜a＜1时，当a=1时，a＞1时，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．
21．【答案】解：（Ⅰ）由题意知， ，解得a= ，b=1．
∴椭圆E的方程为 ；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立 ，得 ．
由题意得△= ＞0．
， ．
∴|AB|= ．
由题意可知圆M的半径r为
r= ．
由题意设知， ，∴ ．
因此直线OC的方程为 ．
联立 ，得 ．
因此，|OC|= ．
由题意可知，sin = ．
而 = ．
令t= ，则t＞1， ∈（0，1），
因此， = ≥1．
当且仅当 ，即t=2时等式成立，此时 ．
∴ ，因此 ．
∴∠SOT的最大值为 ．
综上所述：∠SOT的最大值为 ，取得最大值时直线l的斜率为 ．
【知识点】函数的值域；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意得关于a，b，c的方程组，求解方程组得a，b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得A，B的横坐标的和与积，由弦长公式求得|AB|，由题意可知圆M的半径r，则r= ．由题意设知 ．得到直线OC的方程，与椭圆方程联立，求得C点坐标，可得|OC|，由题意可知，sin = ．转化为关于k1的函数，换元后利用配方法求得∠SOT的最大值为 ，取得最大值时直线l的斜率为 ．
1 / 1
