2012届新课标导与练二轮复习老师用书（共八专题，数学）

专题一　常以客观题形式考查的十个问题
(对应学生用书第1页)
高考试题中,某些问题的考查主要以客观题的形式出现,例如:集合与常用逻辑用语、复数、平面向量、程序框图、合情推理、不等式与线性规划、计数原理与二项式定理等.这十个问题在高考客观题中占有主体地位,所占分值比例较大,本专题对这十个问题进行专项研究.
第1讲　集合与常用逻辑用语
　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　 　　
(对应学生用书第1页)
一、体验高考
1.(2011年高考北京卷,理1)已知集合P={x|x2≤1},M={a}.若P∪M=P,则a的取值范围是(　C　)
(A)(-∞,-1] (B)[1,+∞)
(C)[-1,1] (D)(-∞,-1]∪[1,+∞)
解析:P={x|x2≤1}={x|-1≤x≤1},
由P∪M=P得M P,而M={a},
所以a的取值范围是-1≤a≤1.故选C.
2.(2011年高考安徽卷,理7)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是(　D　)
(A)所有不能被2整除的整数都是偶数
(B)所有能被2整除的整数都不是偶数
(C)存在一个不能被2整除的整数是偶数
(D)存在一个能被2整除的整数不是偶数
解析:∵原命题是全称命题,∴其否定一定是特称命题.故选D.
3.(2011年高考安徽卷,理8)设集合A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8},则满足S A且S∩B≠ 的集合S的个数为(　B　)
(A)57 (B)56 (C)49 (D)8
解析:法一:集合A的子集有26=64个,满足S∩B= 的子集就是集合{1,2,3}的所有子集,一共有23=8个,所以集合S的个数为26-23=64-8=56个.
法二:集合S是集合A的子集且至少含有集合{4,5,6}的一个元素,所以将S看作集合{4,5,6}的非空子集与集合{1,2,3}的子集的并集,因此一共有(23-1)×23=56个.
4.(2011年高考新课标全国卷,理10)已知a与b均为单位向量,其夹角为θ,有下列四个命题
p1:|a+b|>1 θ∈[0,)
p2:|a+b|>1 θ∈(,π]
p3:|a-b|>1 θ∈[0,)
p4:|a-b|>1 θ∈(,π]
其中的真命题是(　A　)
(A)p1,p4 (B)p1,p3 (C)p2,p3 (D)p2,p4
解析:由于a与b均为单位向量,所以|a|=|b|=1,于是|a+b|>1 (a+b)2>1 1+1+2a·b>1 2+2×1×1×cos θ>1 cos θ>- θ∈[0,),故命题p1为真命题;同理|a-b|>1 (a-b)2>1 1+1-2×1×1×cos θ>1 cos θ< θ∈(,π],故命题p4为真命题.选A.
5.(2010年高考安徽卷,理2)若集合A={x|x≥},则 RA等于(　A　)
(A)(-∞,0]∪(,+∞) (B)(,+∞)
(C)(-∞,0]∪[,+∞) (D)[,+∞)
解析:x≥ 0所以 RA=(-∞,0]∪(,+∞),故选A.
6.(2010年高考安徽卷,理11)“命题对任何x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是　　　　　　　　　　.
解析:全称命题的否定是特称命题,“任何”对应“存在”,“>”的否定是“≤”.
答案:存在x∈R,使得|x-2|+|x-4|≤3
二、感悟考情
1.高考对集合的考查主要是集合的含义、集合之间的基本关系和集合的运算,并且以集合的运算为主.试题往往与不等式的解集、函数的定义域、方程的解集、平面上的点集等相互交汇,试题难度不大,但涉及的知识面较广.同时还应注意在集合中常以创新题的形式考查考生分析、解决问题的能力.
2.高考对常用逻辑用语的考查主要是命题、充要条件、逻辑联结词和量词,并且以充要条件的判断、命题真假的判断为主,这两类问题通常把对相关逻辑知识的考查与具体数学知识融合在一起考查.对含有量词的命题的否定是新课改以来高考命题热点.该部分的备考以基本问题为主.
(对应学生用书第1~2页)
1.解决集合问题要注意的几点
(1)集合元素具有确定性、无序性、互异性,求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验.
(2)空集是任何集合的子集.由条件A B,A∩B=A,A∪B=B求解集合A时,务必分析研究A= 的情况.
(3)A∩B=A A B,A∪B=A B A.
2.四种命题及其关系
(1)四种命题的形式及相互关系如图:
(2)四种命题中原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题也同真同假.
(3)全称命题p:任意x∈M,p(x)的否定为特称命题 p:存在x0∈M, p(x0);
特称命题p:存在x0∈M,p(x0)的否定为全称命题 p:任意x∈M, p(x).
3.充分条件和必要条件
(1)若p q且q p,则称p是q的充分不必要条件;
(2)若p q且q p,则称p是q的必要不充分条件;
(3)若p q,则称p是q的充要条件;
(4)若p q且q p,则称p是q的既不充分也不必要条件.
(对应学生用书第2页)
考向一:集合间的关系与集合的运算
【例1】 (1)(2011年高考陕西卷)设集合M={y|y=|cos2x-sin2x|,x∈R},N={x||x-|<,i为虚数单位,x∈R},则M∩N为(　　)
(A)(0,1) (B)(0,1] (C)[0,1) (D)[0,1]
(2)(2011年安徽合肥一模)已知集合A={1,2,3},B={x∈R|x2-ax+1=0,a∈A},则满足A∩B=B的实数a的值为(　　)
(A)1 (B)2或3 (C)1或3 (D)1或2
解析:(1)在集合M中,y=|cos2x-sin2x|=|cos 2x|,而x∈R,所以0≤y≤1,即M=[0,1];在集合N中,|x-|<即|x+i|<,而x∈R,所以<,x2+1<2,解得-1(2)当a=1时,B={x∈R|x2-x+1=0}= ,满足A∩B=B;
当a=2时,B={x∈R|x2-2x+1=0}={1},这时A∩B={1}=B,满足条件;
当a=3时,B={x∈R|x2-3x+1=0}={,},这时A∩B= ,不满足A∩B=B.
故满足A∩B=B的实数a的值为1或2,选D.
研究集合之间的关系或进行集合的运算时,一定要分析集合中的元素是什么 满足哪些条件 必要时要先对集合进行化简,此时融合了其他数学知识的考查,然后再分析集合间的关系并运算.
考向二:与集合有关的信息迁移问题
【例2】 (2011年高考四川卷)设S为复数集C的非空子集.若对任意x,y∈S,都有x+y,x-y,xy∈S,则称S为封闭集.下列命题:
①集合S={a+bi|a,b为整数,i为虚数单位}为封闭集;
②若S为封闭集,则一定有0∈S;
③封闭集一定是无限集;
④若S为封闭集,则满足S T C的任意集合T也是封闭集.
其中的真命题是　　　.(写出所有真命题的序号)
名师导引:(1)按照给出的定义,怎样说明一个集合S为封闭集 【只需证明对集合S的任意两元素x,y,满足x+y∈S,x-y∈S,xy∈S即可】
(2)如何表示集合{a+bi|a,b为整数,i为虚数单位}中的元素 【该集合中的元素可表示为复数a+bi(a,b∈Z)的形式】
(3)在一个封闭集中取同一个元素,按照其定义能得到什么结论【x-x=0∈S】
解析:在集合S={a+bi|a,b为整数,i为虚数单位}中任取两个元素x=a+bi,y=c+di(a,b,c,d∈Z),则x+y=(a+c)+(b+d)i,x-y=(a-c)+(b-d)i,xy=(ac-bd)+(bc+ad)i,而a±c,b±d,ac-bd,bc+ad∈Z,所以x+y,x-y,xy∈S,故S为封闭集,即①为真命题;
若S为封闭集,设x∈S,则x+x,x-x,x2∈S,即0∈S,故②为真命题;
由于S={0}是封闭集,但它不是无限集,故命题③为假命题;
若取S=Z,T为整数和虚数构成的集合,满足S T C,但T不是封闭集,如+2i,-2i都在T中,但(+2i)+(-2i)=2 T.故④是假命题.
答案:①②
举一反三21:(2011年北京东城区综合训练)设非空集合S={x|m≤x≤l}满足:当x∈S时,有x2∈S,给出如下三个命题:①若m=1,则S={1};②若m=-,则≤l≤1;③若l=,则-≤m≤0.其中正确的命题的个数为(　　)
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:若m=1,则集合S={x|1≤x≤l},当x=l时,x2=l2∈S,∴1≤l2≤l,解得l=1,即集合S中只有一个元素1,所以S={1},所以命题①正确;
若m=-,则集合S={x|-≤x≤l},由(-)2≤l,且l2≤l,解得≤l≤1,所以命题②正确;若l=,则集合S={x|m≤x≤},由m≤m2≤,解得-≤m≤0,所以命题③正确.故选D.
考向三:命题及其真假的判断
【例3】 (1)(2011年山西省高考适应性训练)已知命题p:任意x∈R,9x2-6x+1>0;命题q:存在x∈R,sin x+cos x=,则(　　)
(A) p是假命题 (B) p∧ q是真命题
(C) q是真命题 (D)p∨q是真命题
(2)(2011年高考山东卷)已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是(　　)
(A)若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3
(B)若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3
(C)若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3
(D)若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3
解析:(1)由于9x2-6x+1=(3x-1)2≥0,因此命题p是假命题;又因为sin x+cos x=sin(x+)≤,且当x=2kπ+(k∈Z)时,sin x+cos x=,因此命题q是真命题.故p∨q是真命题,只有D选项正确,其他选项均错,故选D.
(2)原命题的条件是a+b+c=3,其否定为a+b+c≠3;原命题的结论是a2+b2+c2≥3,其否定是a2+b2+c2<3,故否命题是“若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3”,选A.
(1)判断含有“或”、“且”、“非”命题的真假的步骤:
①弄清构成它的命题p、q的真假;
②弄清结构形式;
③判断构成新命题的真假.
(2)注意命题的否命题与命题的否定是不同的,一般情况下只研究“若p,则q”形式的命题的否命题,其否命题为:“若 p,则 q”.
考向四:充分条件、必要条件的推理与判断
【例4】 (1)(2011年江西南昌模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,则“a6+a7>0”是“S9≥S3”的(　　)
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
(2)(2011年浙江永嘉模拟)已知在xOy平面内有一区域M,命题甲:点(a,b)∈{(x,y)||x|+|y|<1};命题乙:点(a,b)∈M.如果甲是乙的必要条件,那么区域M的面积有(　　)
(A)最小值2 (B)最大值2
(C)最小值1 (D)最大值1
解析:(1)由于{an}是等差数列,前n项和为Sn,若S9≥S3,则S9-S3≥0,即a4+a5+a6+a7+a8+a9≥0,而a4+a9=a5+a8=a6+a7,因此3(a6+a7)≥0,故a6+a7≥0,所以由S9≥S3,不一定可得a6+a7>0;但由a6+a7>0,一定可得S9≥S3,即“a6+a7>0”是“S9≥S3”的充分不必要条件,故选A.
(2)设A={(x,y)||x|+|y|<1},B={(x,y)|(x,y)∈M},由于甲是乙的必要条件,所以B A,即区域M的面积不大于{(x,y)||x|+|y|<1}的面积,而区域{(x,y)||x|+|y|<1}的面积等于2,所以区域M的面积有最大值2.故选B.
举一反三41:函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点的一个充分而不必要条件是(　　)
(A)a=1 (B)a≥-1
(C)a=0 (D)-1≤a≤0
解析:当a=0时,f(x)=2x-1只有一个零点;当a≠0时若函数只有一个零点,应满足Δ=4+4a=0,得a=-1,即当a=0或a=-1时函数f(x)只有一个零点,故函数f(x)只有一个零点的一个充分不必要条件可以是a=0,故选C.
【例题】 (2011年山东潍坊质检)下列四个命题:
①命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a=0,则ab≠0”;
②若命题p:存在x∈R,x2+x+1<0,则 p:任意x∈R,x2+x+1≥0;
③若命题“ p”与命题“p或q”都是真命题,则命题q一定是真命题;
④命题“若0其中正确命题的序号是　　　　　.(把所有正确命题序号都填上)
解析:对于①,原命题的否命题是“若a≠0,则ab≠0”,所以①错;易知②正确;对于③,命题“ p”是真命题,则命题p是假命题,又命题“p或q”为真命题,则命题q一定是真命题,所以③正确;对于④,若01,∴a<,∴1+a<+1,∴loga(1+a)>loga(+1),所以④错.故填②③.
答案:②③
(对应学生用书第101~102页)
A组
(限时:35分钟)
【选题明细表】
知识点、方法 题号
集合概念、集合间的关系 1、4、5、12、13
集合的运算 2、3、6、8、9、11
集合中的创新性问题 7、10、14
一、选择题
1.(2011年黄山市三模)已知集合A={0,1},集合B={y|x2+y2=1,x∈A},则下列关系正确的是(　C　)
(A)A∈B (B)A=B
(C)A B (D)A B
解析:A={0,1},B={0,1,-1},所以A B,故选C.
2.(2011年高考广东卷)已知集合A={(x,y)|x,y为实数,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y为实数,且y=x},则A∩B的元素个数为(　C　)
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:集合A为圆x2+y2=1上的点的集合,集合B为直线y=x上点的集合,故A∩B中有2个元素,选C.
3.(2011年浙江金华十校联考)设全集是实数集R,M={x|x≤1+,x∈R},N={1,2,3,4},则( RM)∩N等于(　B　)
(A){4} (B){3,4}
(C){2,3,4} (D){1,2,3,4}
解析:依题意 RM={x|x>1+,x∈R},
又N={1,2,3,4},
所以( RM)∩N={3,4},故选B.
4.(2011年安庆市三模理科)设集合A={x|y=x2-1},B={y|y=x2-1},C={(x,y)|y=x2-1},则正确的是(　D　)
(A)A∪B=C (B)B=C
(C)A B (D)B∩C=
解析:A={x|y=x2-1}=R,B={y|y=x2-1}={y|y≥-1},A,B均为数集,集合C为点集,选D.
5.(2011年辽宁大连期末考试)已知全集U=R,集合A={x|x=2n,n∈N}与B={x|x=2n,n∈N},则正确表示集合A,B关系的韦恩(Venn)图是(　A　)
解析:由于A={x|x=2n,n∈N}={1,2,4,8,16,…},B={x|x=2n,n∈N}={0,2,4,6,8,…}.因此A∩B≠ ,且A B,B A,故正确表示A、B关系的韦恩图是A.
6.(2011年巢湖六安淮南三市一中联考)已知集合A={x|x≤1或x≥3},集合B={x|k(A)(-∞,0)∪(3,+∞) (B)(-∞,0]∪[3,+∞)
(C)(-∞,1]∪[3,+∞) (D)(1,2)
解析:结合数轴,当( RA)∩B= 时,k+1≤1,或k≥3,所以k的取值范围是(-∞,0]∪[3,+∞).故选B.
7.(2011年广东佛山模拟)已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},定义集合A×B={(x,y)|x∈A,y∈B},则集合A×B中属于集合{(x,y)|logxy∈N}的元素个数是(　B　)
(A)3 (B)4 (C)8 (D)9
解析:由给出的定义得A×B={(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8)}.其中log22=1,log24=2,log28=3,log44=1,因此一共有4个元素,故选B.
8.(2011年皖南八校三模)已知集合M={x|≥0,x∈R},N={y|y=3x2+1,x∈R},则M∩N等于(　C　)
(A) (B){x|x≥1}
(C){x|x>1} (D){x|x≥1或x<0}
解析:M={x|x≤0或x>1},N={y|y≥1},
所以M∩N={x|x>1}.故选C.
9.(2011年宿州市三模)已知集合A={x||x-1|<2},B={x|()x<1},则A∩ RB等于(　D　)
(A)(-3,0) (B)(-3,0]
(C)(-1,0) (D)(-1,0]
解析:A={x||x-1|<2}={x|-1B={x|()x<1}={x|x>0},
从而 RB={x|x≤0},
则A∩ RB=(-1,0],选D.
10.(2011年山东济南调考)如图所示程序框图,已知集合A={x|程序框图中输出的x值},集合B={y|程序框图中输出的y值},全集U=Z,Z为整数集.当x=-1时,( UA)∩B等于(　D　)
(A){-3,-1,5} (B){-3,-1,5,7}
(C){-3,-1,7} (D){-3,-1,7,9}
解析:根据程序框图所表示的算法,框图中输出的x值依次为0,1,2,3,4,5,6;y值依次为-3,-1,1,3,5,7,9.于是A={0,1,2,3,4,5,6},B={-3,-1,1,3,5,7,9},因此( UA)∩B={-3,-1,7,9}.故选D.
二、填空题
11.(2011年安庆市三模)已知集合A={x|y=},B={y|y=()x,x>1},则A∩B=　　　　.
解析:A={x|y=}={x|log0.5(4x-3)≥0}=(,1],B=(0,),
从而A∩B=(,).
答案:(,)
12.(2011年广东肇庆模拟)若M={x∈Z|lox≥-1},则集合M的真子集的个数为　　　.
解析:M={x∈Z|lox≥-1}={x∈Z|0答案:7
13.(2011年江西南昌模拟)已知全集U={(x,y)|x∈R,y∈R},集合A={(x,y)|=1},B={(x,y)|y=x+1},则( UA)∩B=　　　.
解析:A={(x,y)|y=x+1,x≠2},它表示直线y=x+1上去掉点(2,3)的其余所有点,则 UA的元素为点(2,3)及直线y=x+1以外的所有点,而集合B表示直线y=x+1上的所有点,如图,易得( UA)∩B={(2,3)}.
答案:{(2,3)}
14.已知集合A、B,定义集合A与B的一种运算A B,其结果如下表所示:
A {1,2,3,4} {-1,1} {-4,8} {-1,0,1}
B {2,3,6} {-1,1} {-4,-2,0,2} {-2,-1,0,1}
A B {1,4,6} {-2,0,2,8} {-2}
按照上述定义,若M={-2011,0,2012},N={-2012,0,2013},则M N=　　　　　　　　　　　　.
解析:由给出的定义知集合A B的元素是由所有属于集合A但不属于B和属于集合B但不属于A的元素构成的,即A B={x|x∈A且x B,或x∈B且x A}.故M N={-2011,2012,-2012,2013}.
答案:{-2011,2012,-2012,2013}
B组
(限时:35分钟)
【选题明细表】
知识点、方法 题号
命题及真假判断 1、5、11、13、14
全称命题与特称命题 3、6、8
充分、必要条件推理判断 2、4、7、9、10、12
一、选择题
1.(2011年天津河西区质检)已知命题p:任意有理数都是实数,命题q:正数的对数都是负数,则以下命题中为真命题的是(　D　)
(A)p∧q (B)( p)∨q
(C)( p)∧( q) (D)( p)∨( q)
解析:命题p:任意有理数都是实数是真命题;命题q:正数的对数是负数是假命题,则p∧q是假命题;( p)∨q是假命题;( p)∧( q)是假命题;( p)∨( q)是真命题,故应选D.
2.(2011年合肥市三模)“a<0且-1(A)充要条件
(B)必要不充分条件
(C)充分不必要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:a+ab<0 a(1+b)<0 a<0且b>-1,或者a>0且b<-1.故选C.
3.(2011年河南郑州第一次质检)下列四个命题中的真命题为(　D　)
(A)存在x0∈Z,1<4x0<3 (B)存在x0∈Z,5x0+1=0
(C)任意x∈R,x2-1=0 (D)任意x∈R,x2+x+2>0
解析:由于x2+x+2=(x+)2+≥>0对x∈R恒成立,故任意x∈R,x2+x+2>0,即D选项为真命题.
4.(2011年皖南八校三模)“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的(　B　)
(A)充分必要条件
(B)充分而不必要条件
(C)必要而不充分条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:m=或m=-2时两直线垂直,故选B.
5.(2011年山东济南二月调研)下列结论中正确命题的个数是(　C　)
①命题p:“存在x∈R,x2-2≥0”的否定形式为 p:“任意x∈R,x2-2<0”;
②若 p是q的必要条件,则p是 q的充分条件;
③“M>N”是“()M>()N”的充分不必要条件.
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:容易判断①②是正确的,③是错误的,因为“M>N”是“()M>()N”的既不充分也不必要条件,故选C.
6.(2011年宿州市三模)命题:“对任意x>0,ex>x+1”的否定是(　B　)
(A)存在x≤0,ex≤x+1
(B)存在x>0,ex≤x+1
(C)存在x≤0,ex>x+1
(D)对任意x>0,ex≤x+1
解析:全称命题的否定为特称命题,“任意”对应“存在”,大于的否定是小于等于.故选B.
7.(2011年陕西省高三质检)若“a3”的充分不必要条件,则实数a的取值范围为(　B　)
(A)a>3 (B)a≥3 (C)a<1 (D)a≤1
解析:由于“a3”的充分不必要条件,
所以集合{x|a3}的真子集,
即a≥3,故选B.
8.(2011年安徽合肥模拟)已知p:存在x∈R,mx2+2≤0,q:任意x∈R,x2-2mx+1>0,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围是(　A　)
(A)[1,+∞) (B)(-∞,-1]
(C)(-∞,-2] (D)[-1,1]
解析:∵p∨q为假命题,∴p和q都是假命题.
由p:存在x∈R,mx2+2≤0为假命题,
得 p:任意x∈R,mx2+2>0为真命题,∴m≥0.①
由q:任意x∈R,x2-2mx+1>0为假命题,
得 q:存在x∈R,x2-2mx+1≤0为真命题,
∴Δ=(-2m)2-4≥0 m2≥1 m≤-1或m≥1.②
由①和②得m≥1,故选A.
9.(2011年福建泉州模拟)已知条件p:|x+1|>2,条件q:x>a,且 p是 q的充分不必要条件,则a的取值范围可以是(　A　)
(A)a≥1 (B)a≤1
(C)a≥-1 (D)a≤-3
解析:条件p:x>1或x<-3,所以 p:-3≤x≤1;
条件q:x>a,所以 q:x≤a,
由于 p是 q的充分不必要条件,所以a≥1,故选A.
10.(2011年浙江温州一模)如果对于任意实数x,表示不小于x的最小整数,例如<1.1>=2,<-1.1>=-1,那么“|x-y|<1”是“=”的(　B　)
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
解析:容易判断:当=时,一定有|x-y|<1,但当|x-y|<1时,不一定有=,例如当x=1.5,y=2.2时,|x-y|=0.7<1,但=2,=3,显然≠,所以“|x-y|<1”是“=”的必要不充分条件,故选B.
二、填空题
11.(2011年安庆市三模)命题“若x>y,则x3>y3-1”的否命题为　　　　　　　　.
解析:否命题既要否定条件,又要否定结论.
答案:若x≤y,则x3≤y3-1
12.(2011年淮北市二模)已知命题α:≤x≤1,命题β:a≤x≤a+1,若α的必要不充分条件是β,那么实数a的取值范围是　　　　.
解析:由α的必要不充分条件是β,即β是α的必要不充分条件,所以β α且β / α,又α:≤x≤1,β:a≤x≤a+1,所以a+1≥1且a≤,即0≤a≤.
答案:[0,]
13.设命题p:在直角坐标平面内,点M(sin α,cos α)与N(|a+1|,|a-2|)(a∈R)在直线x+y-2=0的异侧;命题q:若向量a,b满足a·b>0,则a与b的夹角为锐角.则p或q为　　　　命题,p且q为　　　　命题.
解析:命题q:若向量a,b满足a·b>0,则a与b的夹角为锐角,显然为假,因为当a=b时,a·b>0,但是a与b的夹角是0;点M(sin α,cos α)在单位圆上,在直线x+y-2=0的左下侧,∵|a+1|+|a-2|=|a+1|+|2-a|≥|a+1+2-a|=3>2,∴|a+1|+|a-2|-2>0,∴点N(|a+1|,|a-2|)(a∈R),在直线x+y-2=0的右上侧,故命题p正确,所以p或q为真命题,p且q为假命题.
答案:真　假
14.(2011年安徽省百校论坛第一次联考)若命题“存在实数x,使x2+ax+1<0”的否定是假命题,则实数a的取值范围为　　　　　　　　.
解析:由题意原命题为真,所以Δ=a2-4>0,解得a<-2或a>2.
答案:a<-2或a>2
第2讲　平面向量、复数、程序框图及合情推理
　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　 　　
(对应学生用书第3页)
一、体验高考
1.(2011年高考安徽卷,理1)设i是虚数单位,复数为纯虚数,则实数a为(　A　)
(A)2 (B)-2
(C)- (D)
解析:法一:==为纯虚数,所以2-a=0,a=2.
法二:设=bi得1+ai=b+2bi,所以b=1,a=2.故选A.
2.(2010年高考安徽卷,理1)i是虚数单位,等于(　B　)
(A)-i (B)+i
(C)+i (D)-i
解析:===+i,选B.
3.(2010年高考安徽卷,理3)设向量a=(1,0),b=(,),则下列结论中正确的是(　C　)
(A)|a|=|b| (B)a·b=
(C)a-b与b垂直 (D)a∥b
解析:a-b=(,-),(a-b)·b=0,所以a-b与b垂直.
4.(2011年高考安徽卷,理13)已知向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为　　　.
解析:设a与b的夹角为θ,依题意有:(a+2b)·(a-b)=a2+a·b-2b2=-7+2cos θ=-6,
所以cos θ=,
因为0≤θ≤π,故θ=.
答案:
5.(2011年高考安徽卷,理11)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是　　.
解析:第1次进入循环体有:T=0+0,
第2次有:T=0+1,
第3次有:T=0+1+2,
…
第n次有:T=0+1+2+…+(n-1),
令T=>105,解得n>15(负值舍去),
故n=16,此时输出k=15.
答案:15
6.(2010年高考安徽卷,理14)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出值x=　　　　.
解析:程序运行如下:
x=1,x=2,x=4,x=5,x=6,x=8,x=9,x=10,x=12,输出12.
答案:12
二、感悟考情
1.平面向量在高考中的考查内容主要集中在三个方向:(1)向量的概念与线性运算;(2)向量的坐标运算;(3)向量的数量积及其应用.其中向量加法、减法的平行四边形法则与三角形法则、两向量共线与垂直的条件以及向量与三角函数、解析几何的交汇问题是考查的热点内容,向量试题基础、灵活、常考常新.
2.高考对复数问题的考查常将复数的概念、复数的几何意义和复数的四则运算融合在一起考查,其中复数的运算、纯虚数的概念以及“分母实数化”一直是高考的热点.
3.程序框图在高考中主要考查类型有:(1)判断功能型,(2)结果输出型,(3)条件判断型.涉及内容主要围绕数列求和、求积,分段函数求值,统计等知识进行命题.
4.高考对合情推理的考查主要有两个方面:一是归纳推理;二是类比推理.重点考查利用这两种推理方法获得新命题、新结论.
(对应学生用书第3~4页)
1.平面向量
(1)两非零向量平行、垂直的充要条件
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
①a∥b a=λb(b≠0) x1y2-x2y1=0;
②a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2=0.
(2)两非零向量的数量积
若非零向量a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a·b=|a||b|cos=a1b1+a2b2.
(3)利用向量的数量积求线段的长度问题
①若a=(x,y),则|a|==;
②若A(x1,y1),B(x2,y2),
则||==.
(4)求向量的夹角问题
设θ为a与b(a≠0,b≠0)的夹角,则
①cos θ=;
②若a=(x1,y1),b=(x2,y2),
则cos θ=.
③夹角大小的判定方法
若a·b>0 a与b的夹角θ为锐角或零角;
若a·b<0 a与b的夹角θ为钝角或平角;
若a·b=0 a与b的夹角为90°.
(5)几个重要结论
①若向量a,b不共线,且λa+μ b=0,则λ=μ=0.
②|a|=.
③若a、b为不共线向量,则a+b、a-b为以a、b为邻边的平行四边形的对角线的向量(如图).
④G为△ABC的重心 ++=0 G(,).其中A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3).
⑤在△ABC中,若AD为BC边上的中线,则=(+).
2.复数
(1)复数是纯虚数的充要条件
①z=a+bi是纯虚数 a=0且b≠0(a,b∈R).
②z=a+bi是纯虚数 z=-(z≠0)(a,b∈R).
(2)复数加减法的几何意义
①若复数z1,z2对应的向量,不共线,则复数z1+z2是+所对应的复数.
②复数z1-z2是连接向量,的终点,并指向点Z1的复数.
3.程序框图
(1)算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构.
(2)算法的特征有:概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性.
(3)顺序结构是最简单的算法结构,而循环结构一定包含条件结构.
(4)条件语句表达的条件结构(用程序框图表示)为:
(5)循环语句表达的循环结构(用程序框图表示为):
①直到型
②当型
4.合情推理
(1)归纳推理是根据已有的事实和正确的结论推测某些结果的推理过程,通过观察特例,形成猜想,严格论证是发现(提出)问题,解决问题的关键环节.
(2)类比可以是形式的类比,用于发现结论;也可以是方法的类比,用于寻找方法.常见的类比有平面 空间,等差数列 等比数列,实数四则运算 虚数四则运算,向量点乘积 实数积等.类比所得结论不一定为真,需验证或证明.
(对应学生用书第4~5页)
考向一:复数的概念与运算
【例1】 (1)(2011年皖南八校三模)设a是实数,且+是实数,则a等于(　　)
(A) (B)1 (C) (D)2
(2)(2011年安徽江南十校联考)设复数z=x+yi(x∈R,y∈R),且满足(3+z)(2-i)=1+2i(i为虚数单位),则x-y的值为(　　)
(A)4 (B)-4 (C)-2 (D)2
解析:(1)+=+=∈R,2-2a=0,所以a=1.故选B.
(2)由(3+z)(2-i)=1+2i可得z=-3=-3=-3=-3+i,因此x=-3,y=1,故x-y=-4.故选B.
(1)处理有关复数的概念问题,首先要找准复数的实部与虚部(若复数为非标准的代数形式,则应通过分母实数化等方法转化为代数形式),然后根据定义解题.
(2)根据复数相等的充要条件求解复数问题时,也要将涉及的复数转化为复数的代数形式,然后再建立方程组求解.
考向二:平面向量的运算与应用
【例2】 (1)(2011年高考北京卷)已知向量a=(,1),b=(0,-1),c=(k,).若a-2b与c共线,则k=　　　.
(2)(2011年高考天津卷)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为　　　.
名师导引:(1)①向量a-2b的坐标如何求得 【利用向量减法以及数乘向量的坐标运算法则】
②如何用向量的坐标表示共线的条件 【若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b x1y2=x2y1】
(2)①P是腰DC上的动点,P点运动时,PC与PD的长度变化吗 怎样刻画这种变化 【PC与PD的长度都在变化,可设PC=x,PD=y】
②|+3|如何求解 如何用已知量和设出的参数x、y表示 【|+3|=
=,因此应用已知量和x、y表示||、||以及·】
③如何用已知的向量、、、等表示· 从而求得||、||以及· 【=+,=+】
④得到|+3|的表达式后怎样求出其最小值 【通过配方法】
解析:(1)由于a=(,1),b=(0,-1),
所以a-2b=(,3),而c=(k,),且(a-2b)∥c,
所以有×=3×k,解得k=1.
(2)
如图,设PC=x,PD=y.
由于∠ADC=∠BCD=90°,
所以PA=,PB=.
又=+,=+,
∴·=(+)·(+)
=·+·+·+·=-xy+2,
因此|+3|=
=
=
=
=≥5,
当且仅当3x=y时取最小值5.
答案:(1)1　(2)5
涉及平面向量数量积和模的最值等问题,通常都可利用两种方法求解,一是直接利用数量积的定义;二是建立坐标系通过坐标运算求解.利用数量积定义计算时要善于将相关向量分解为图形中的已知向量进行运算.
举一反三21:(2011年浙江杭州第一次质检)已知a,b是平面内的两个单位向量,设向量c=λa,且|c|≠1,a·(b-c)=0,则实数λ的取值范围是　　　.
解析:∵c=λa,∴|c|=|λa|=|λ||a|=|λ|≠1,
又∵a·(b-c)=0,∴a·b=a·c,
即|a||b|cos=|a||c|cos,
所以λ=cos,故λ的取值范围是λ∈(-1,1).
答案:(-1,1)
考向三:程序框图的输出结果与条件的补充
【例3】 (1)(2011年高考新课标全国卷)执行如图所示的程序框图,如果输入的N是6,那么输出的p是(　　)
(A)120 (B)720 (C)1440 (D)5040
(2)(2011年陕西省高三第一次质检)如图给出的是计算+++…+的值的一个程序框图,则空白框内应填入的条件是(　　)
(A)i>10 (B)i<10
(C)i>20 (D)i<20
解析:(1)当N=6时,按程序框图执行过程为:k=1,p=1 p=1,k=1<6 k=2,p=2 k=3,p=6 k=4,p=24 k=5,p=120 k=6,p=720.故输出p的值为720.选B.
(2)由表达式+++…+的最后一个项的分母为20可知,流程图中循环体退出循环时的n的值应当为22,i的值为11,其循环体共循环了10次,即判断框内可填的条件可以为n>20 或i>10 ,故应选A.
对于循环结构的框图的识图问题,应明确循环结构的框图的特征,明确框图中变量的变化特点,根据框图中的条件决定是否执行框图中的运算,从而确定程序运行的结果.
考向四:合情推理的应用
【例4】 (2011年高考山东卷)设函数f(x)=(x>0),观察:
f1(x)=f(x)=,
f2(x)=f(f1(x))=,
f3(x)=f(f2(x))=,
f4(x)=f(f3(x))=,
……
根据以上事实,由归纳推理可得:
当n∈N*且n≥2时,fn(x)=f(fn-1(x))=　.
解析:由于f1(x)=,f2(x)=,
f3(x)=,f4(x)=,
还可求得f5(x)=,
由以上结果可以发现:当n∈N*且n≥2时,fn(x)的表达式都是分式的形式,分子上都是x,分母上都是x的一次式,其中常数项依次为2,4,8,16,32,…,可知其规律是2n的形式,而x的一次项的系数比常数项都小1,因此可得fn(x)=(n∈N*且n≥2).
答案:
运用归纳推理得出一般结论时,要注意从等式、不等式的项数、次数、系数等多个方面进行综合分析,归纳发现其一般结论,若已给出的式子较少,规律不明显时,可多写出几个式子,发现其中的一般结论.
举一反三41:(2011年惠州二模)我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题:如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭图形所截得线段的比为定值k,那么甲的面积是乙的面积的k倍,你可以从给出的简单图形①(甲:大矩形ABCD,乙:小矩形EFCB)、②(甲:大直角三角形ABC,乙:小直角三角形DBC)中体会这个原理,现在图③中的曲线分别是+=1(a>b>0)与x2+y2=a2,运用上面的原理,图③中椭圆的面积为　　　　.
解析:由①②类比推理可知:=,故S椭圆=S圆=·πa2=abπ.
答案:abπ
【例题】 在如图所示的程序框图中,当输出的T的值最大时,n的值等于(　　)
(A)6 (B)7
(C)6或7 (D)8
解析:该程序框图的实质是输出等比数列an=64·()n-1的前n项的乘积Tn=a1a2…an(n=1,2,…,15),由于a7=1,所以在Tn(n=1,2,…,15)中T6=T7且最大.故选C.
(对应学生用书第103~104页)
A组
(限时:35分钟)
【选题明细表】
知识点、方法 题号
复数运算 1、3、5、7、11
向量运算及应用 2、4、6、8、9、10、12、13、14
一、选择题
1.(2011年淮北市二模)已知=1+i,其中m是实数,i是虚数单位,则在复平面内复数-9+mi对应的点在(　B　)
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
解析:m=(1+i)(1-i)=2,所以-9+mi=-9+2i.故在复平面内复数-9+mi对应的点在第二象限.选B.
2.(2011年宣城市三模)已知A、B、C是△ABC的三个顶点,=·+·+·,则△ABC为(　B　)
(A)等腰三角形 (B)直角三角形
(C)等腰直角三角形 (D)既非等腰又非直角三角形
解析:=·(+)+·=+· ·=0,BC⊥AC,所以△ABC是直角三角形.选B.
3.(2011年宣城市三模)若复数(b∈R)的实部与虚部互为相反数,则b等于(　C　)
(A) (B) (C)- (D)2
解析:==+i,
所以+=0 b=-,选C.
4.(2011年东北三校联考)已知平面向量a=(1,-3),b=(4,-2),若λa-b与a垂直,则λ等于(　B　)
(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2
解析:由于λa-b与a垂直,
所以(λa-b)·a=0,
即λa2-a·b=0,
所以10λ-10=0,
解得λ=1,故选B.
5.(2011年合肥市三模)已知复数(a∈R)对应的点都在圆心为原点,半径为的圆内(不包括边界),则a的取值范围是(　A　)
(A)(-2,2) (B)(0,2)
(C)(-,) (D)(-2,0)∪(0,2)
解析:==,由题意()2+()2<()2 -26.(2011年安庆市三模)已知·x2+·x-=0(x∈R),其中A,B,C三点共线,则满足条件的x(　C　)
(A)不存在 (B)有一个
(C)有两个 (D)以上情况均有可能
解析:由于三点A、B、C共线,
则=t =(1-t)+t,
又由条件知=x2+x,从而x2+x=1 x=,选C.
7.(2011年福建宁德模拟)设i为虚数单位,a,b为实数,则“ab<0”是“复数z=i(a+bi)在复平面上对应的点在第一象限”的(　B　)
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
解析:由于复数z=i(a+bi)=ai+bi2=-b+ai,其在复平面内对应的点为(-b,a),若该点在第一象限,必有-b>0且a>0,即ab<0;但当ab<0时,不一定有-b>0且a>0,即不一定点在第一象限,因此“ab<0”是“复数z=i(a+bi)在复平面上对应的点在第一象限”的必要不充分条件,故选B.
8.(2011年山西忻州模拟)已知两个单位向量a与b的夹角为135°,则|a+λb|>1的充要条件是(　D　)
(A)λ∈(0,)
(B)λ∈(-,0)
(C)λ∈(-∞,-)∪(,+∞)
(D)λ∈(-∞,0)∪(,+∞)
解析:由|a+λb|>1得|a+λb|2>1,
即|a|2+2λa·b+λ2|b|2>1,
又|a|=|b|=1,且=135°,
所以1+2λ×1×1×cos 135°+λ2>1,
即λ2-λ>0,
解得λ>或λ<0,
此即为|a+λb|>1的充要条件,故选D.
9.(2011年浙江金华十校联考)已知a+b+c=0,且cos=,|c|=|a|,则a与c的夹角等于(　D　)
(A)30° (B)60° (C)120° (D)150°
解析:将向量a,b,c首尾相接构成三角形,即=a,=b,=c,则∠ACB=120°,又|c|=|a|,根据正弦定理解得∠CAB=30°,
故∠ABC=30°,所以a与c的夹角是150°,选D.
10.已知||=1,||=k,∠AOB=,点C在∠AOB内,·=0,若=2m+m(m≠0),则k等于(　D　)
(A)1 (B)2 (C) (D)4
解析:由·=0,
得(2m+m)·=0,
即2m·+m·||||cos =0,
即2m+m·k·(-)=0,
解得k=4.故选D.
二、填空题
11.(2011年山东潍坊质检)若复数z=为纯虚数,则实数a=　　　.
解析:设=bi(b∈R且b≠0),
则(a+i)·bi=1,即-b+abi=1,
因此必有-b=1且ab=0,解得a=0.
答案:0
12.(2011年皖南八校三模)在△OAB中,已知OA=4,OB=2,点D是AB的中点,则·=　　　　.
解析:·=(+)·=(+)·(-)=(-)=-6.
答案:-6
13.(2011年安徽合肥质检)如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A,D分别在x轴、y轴(含原点)上滑动,则·的最大值是　　　.
解析:设∠BAx=θ(0°≤θ≤180°),
则∠OAD=90°-θ,
于是OA=AD·cos∠OAD=sin θ,
于是B点坐标为(sin θ+cos θ,sin θ),
即=(sin θ+cos θ,sin θ),
又∠CDy=90°-θ,所以C点坐标为(DC·sin∠CDy,OD+DC·cos∠CDy),即为(cos θ,sin θ+cos θ),
所以=(cos θ,sin θ+cos θ),
于是·=cos2θ+2cos θsin θ+sin2θ=1+sin 2θ≤2,
当且仅当θ=45°时取最大值2.
答案:2
14.(2011年合肥市三模)在△ABC中,AB⊥AC,AB=6,AC=4,D为AC的中点,点E在边AB上,且3AE=AB,BD与CE交于点G,则·=　　　　.
解析:以A为坐标原点,以AB,AC所在直线为x,y轴
建立直角坐标系,得B(6,0),C(0,4),D(0,2),E(2,0)
直线BD:+=1,
即x+3y-6=0,直线CE:+=1,
即2x+y-4=0
联立解得交点G(,),
所以=(,),而=(-6,4),
所以·=-.
答案:-
B组
(限时:35分钟)
【选题明细表】
知识点、方法 题号
程序框图、算法 1、3、5、7、8、9、11
合情推理 2、4、6、10、12、13、14
一、选择题
1.(2011年山东日照模拟)如图是求x1,x2,…,x10的乘积S的程序框图,图中空白框中应填入的内容为(　D　)
(A)S=S*(n+1) (B)S=S*xn+1
(C)S=S*n (D)S=S*xn
解析:空白框为循环体,应填入的内容是S=S*xn,由该语句实现累乘的功能,故选D.
2.(2011年福建厦门模拟)设f(x)=,又记f1(x)=f(x),fk+1(x)=f[fk(x)],k=1,2,…,则f2011(x)等于(　C　)
(A)- (B)x (C) (D)
解析:依题意可得f1(x)=,f2(x)=-,f3(x)=,f4(x)=x,f5(x)=f1(x)=,f6(x)=f2(x)=-,….因此fk(x)的表达式以4为周期重复出现,所以f2011(x)=f3(x)=,故选C.
3.(2011年皖南八校三模)如图,是一程序框图,则输出结果为(　C　)
(A) (B)
(C) (D)
解析:S=++…+=(1-+-+…+-)=1-=.故选C.
4.(2011年合肥市三模)已知函数f(x)对应关系如表所示,数列{an}满足:a1=3,an+1=f(an),则a2011等于(　A　)
x 1 2 3
f(x) 3 2 1
(A)3 (B)2
(C)1 (D)不确定
解析:由对应关系归纳推理可得:当n取奇数时an=3(当n取偶数时an=1),所以a2011=3.选A.
5.(2011年浙江金华十校联考)执行如图所示的程序框图,输出的S等于(　C　)
(A)25 (B)9 (C)17 (D)20
解析:运行过程中各变量的取值依次为:S=1,n=0,T=0 S=9,n=2,T=4 S=17,n=4,T=20,这时T>S,故输出S=17,选C.
6.(2011年淮北市二模)已知正整数的数对列如下:
(1,1),
(1,2),(2,1),
(1,3),(2,2),(3,1),
(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),
(1,5),(2,4),…,
则第60个数对是(　D　)
(A)(3,8) (B)(4,7)
(C)(4,8) (D)(5,7)
解析:观察可知横坐标与纵坐标之和为2的数对有1个,和为3的数对有2个,和为4的数对有3个,和为5的数对有4个,依此类推:和为n+1的数对有n个,并且这n个数对的排序是按照横坐标依次增大的顺序来排的.当n=10时,1+2+3+…+n==55,还差5个数对,且这5个数对的横、纵坐标之和为12,它们依次是(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),故第60个数对是(5,7).故选D.
7.(2011年蚌埠市三模)根据如图程序框图,若输出y的值是4,则输入的实数x的值为(　D　)
(A)1 (B)-2
(C)1或2 (D)1或-2
解析:直接验证x=1和x=-2.
或流程图得分段函数y=,
令y=4求出x值.
8.(2011年合肥市三模)执行如图的程序,输出的结果为(　B　)
(A) (B)
(C) (D)
解析:程序运行各变量的取值变化如下:
x 1 2 3 5 8 13 21 34 55
y 2 3 5 8 13 21 34 55 89
z 3 5 8 13 21 34 55 89 144
所以z>100时,y=89,z=144,输出.选B.
二、填空题
9.(2011年高考福建卷)运行如图所示的程序,输出的结果是　　　.
a=1
b=2
a=a+b
PRINT　a
END
解析:a=a+b=1+2=3,输出结果为a的值,等于3.
答案:3
10.(2011年皖北联考)在自然数中定义“ ”运算,观察下列等式:2 3=2+3+4;3 5=3+4+5+6+7;7 3=7+8+9;…;若3 n=42,则n=　　　.
解析:观察可得:a b表示从a开始连续b个自然数的和,所以n=7.
答案:7
11.(2011年高考山东卷)执行如图所示的程序框图,输入l=2,m=3,n=5,则输出的y的值是　　　.
解析:∵l2+m2+n2=22+32+52≠0,
所以y=70l+21m+15n
=70×2+21×3+15×5
=278>105,
∴y=278-105=173>105 y=173-105=68<105,
所以输出y=68.
答案:68
12.(2011年浙江金华十校联考)记An=1×2+2×3+3×4+…+(n-1)×n(n≥2),经计算:A2=1×2,A3=6×2,A4=12×4,A5=20×8,…,则An=　.
解析:由给出的已知结果可归纳得An=(n-1)·n·2n-2=n(n-1)·2n-2.
答案:n(n-1)·2n-2
13.(2011年辽宁沈阳二模)已知结论:在正三角形ABC中,若D是边BC的中点,G是三角形ABC的重心,则=2.若把该结论推广到空间中,则有结论:在棱长都相等的四面体ABCD中,若△BCD的中心为M,四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等,则等于　　　.
解析:设四面体内部一点O到四面体各面都相等的距离为d,则由题意知d=OM,设各个面的面积为S,则由等体积法得:4·S·OM=S·AM,4OM=AM=AO+OM,从而==3.
答案:3
14.(2011年安庆市三模)定义平面向量之间的一种运算“★”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),其中m,n,p,q∈R令a★b=mq-np.则下列说法中正确说法的序号是　　　　(填上所有正确说法的序号)
①a与b共线的充要条件是a★b=0
②a★b=b★a
③|a★b|≤|a||b|
④若a=(cos 40°,sin 40°),b=(sin 50°,cos 50°),则a★b=0.
解析:由向量a=(m,n),b=(p,q)知①正确:即为向量共线坐标形式的充要条件;
②错误:b★a=pn-qm,显然与a★b不相等;
③正确:|a★b|≤|a||b|,即为|mq-np|≤·,两边平方即可看出该式成立;
④正确:a★b=cos 40°cos 50°-sin 40°sin 50°=cos 90°=0.
答案:①③④
第3讲　不等式(包括选修45)与线性规划、计数原理与二项式定理
　　　　 　 　　　　　　 　　　　　　 　　
(对应学生用书第6页)
一、体验高考
1.(2011年高考安徽卷,理4)设变量x,y满足|x|+|y|≤1,则x+2y的最大值和最小值分别为(　B　)
(A)1,-1 (B)2,-2
(C)1,-2 (D)2,-1
解析:法一:画出不等式|x|+|y|≤1表示的平面区域,平移目标函数线,易知当直线x+2y=u经过点B,D时分别对应u的最小值和最大值,所以umax=2,umin=-2.
法二:绝对值不等式表示的区域是以(0,1),(-1,0),(0,-1),(1,0)为顶点的正方形,线性规划一定在顶点处取得最优解,带入目标函数计算可得最大值、最小值分别为2,-2.
2.(2011年高考广东卷,理5)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定,若M(x,y)为D上的动点,点A的坐标为(,1),则z=·的最大值为(　C　)
(A)4 (B)3
(C)4 (D)3
解析:由于M(x,y),A(,1),
所以=(x,y),=(,1),
故z=·=x+y.
画出不等式组所对应的可行域(如图),可设当直线l:x+y=0平移至经过点(,2)时截距最大,即x+y取最大值,这时最大值为×+2=4,故选C.
3.(2011年高考大纲全国卷,理7)某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本,则不同的赠送方法共有(　B　)
(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种
解析:分两类:一是取出1本画册,3本集邮册,此时赠送方法有=4种;
二是取出2本画册,2本集邮册,此时赠送方法有=6种.故赠送方法共有10种.
4.(2011年高考安徽卷,理12)设(x-1)21=a0+a1x+a2x2+…+a21x21,则a10+a11=　　　　 .
解析:a10,a11分别是含x10和x11项的系数,
所以a10=-,a11=,所以a10+a11=-=0.
答案:0
5.(2011年高考陕西卷,理15)若关于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解,则实数a的取值范围是　　　.
解析:法一:当x≤-1时,|x+1|+|x-2|=-x-1-x+2=-2x+1≥3;
当-1当x>2时,|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1>3;
综上可得|x+1|+|x-2|≥3,所以只要|a|≥3,
解得a≤-3或a≥3,
即实数a的取值范围是(-∞,-3]∪[3,+∞).
法二:由绝对值不等式性质|x+1|+|x-2|≥|x+1-x+2|=3,要使不等式存在实数解,
只需|a|≥3,所以a≤-3或a≥3,即实数a的取值范围是(-∞,-3]∪[3,+∞).
答案:(-∞,-3]∪[3,+∞)
6.(2010年高考安徽卷,理12)(-)6展开式中,x3的系数等于　　　　.
解析:要出现x3必须第一项4次,第二项2次,
所以是=15x3.
答案:15
二、感悟考情
1.高考对不等式的考查主要包含以下几方面:一是简单不等式的解法,二是基本不等式的应用,三是绝对值不等式.对不等式解法的考查主要涉及一元二次不等式和分式不等式,经常与集合问题融合在一起,题目基础、难度较低;对基本不等式的考查主要涉及函数或代数式的最值范围、不等式恒成立问题,试题难度中等,形式灵活.对绝对值不等式的考查主要有绝对值不等式的求解以及与绝对值不等式相关的参数问题求解,难度中等.
2.线性规划是高考的热点题型,常考常新,主要涉及平面区域问题,参数问题,线性及非线性目标函数的最值及范围问题等,难度为中等及中等以下.
3.高考对计数原理与二项式定理的考查主要是:一是考查利用排列与组合知识解决实际的计数问题;二是考查利用二项式定理解决二项展开式中特定项及特定项的系数的计算,二项展开式中系数和等问题,试题基础,难度较低.
(对应学生用书第6~7页)
1.一元二次不等式的恒成立问题
(1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的条件是
(2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的条件是
2.简单分式不等式的解法
(1)>0 f(x)g(x)>0,<0 f(x)g(x)<0.
(2)≥0 ,≤0
(3)对形如>a(≥a)等形式的分式不等式要采取:移项—通分—化乘积的方法转化为(1)或(2)的形式求解.
3.几个重要不等式
(1)|a|≥0,a2≥0(a∈R).
(2)a2+b2≥2ab(a,b∈R).
(3)≥,(a,b∈R+).
(4)ab≤()2(a,b∈R).
(5)≥≥≥(a,b∈R+).
4.线性规划问题
(1)线性规划是直线方程在解决实际问题中的应用,常通过二元一次不等式表示的平面区域来确定实际问题的解,应用极为广泛.常用数学思想方法:数形结合法.
(2)对线性目标函数z=Ax+By中的B的符号一定要注意.当B>0时,当直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最大,在y轴上截距最小时,z值最小;当B<0时,当直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最小,在y轴上截距最小时,z值最大.
(3)由于最优解是通过图形来观察的,故作图要准确,否则观察结果就可能有误.
5.解排列、组合应用题有如下策略和方法
(1)对无限制条件的问题——直接法.
(2),有以下几种题型和方法:
①每个元素都有附加条件——列表法或树形图法;
②有特殊元素或特殊位置——优先排列法;
③有相邻元素(相邻排列)——捆绑法;
④有不相邻元素(间隔排列)——插空法;
⑤有两个(或两个以上)元素排列顺序固定(定序排列)——消序法(除以,等).
6.解决二项式定理的有关问题的常用方法
(1)求解二项展开式中特定项,一般用通项公式、待定系数法求解.
(2)求解二项展开式系数和等问题,一般用赋值法.
(3)注意区分展开式中系数与二项式系数的不同.
(4)对于形式上接近二项展开式的代数式,要善于逆用二项式定理.
7.对于|ax+b|≥c(或|ax+b|≤c)型、|x+a|+|x+b|≥c(或|x+a|+|x+b|≤c)型的绝对值不等式,多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略,对于|f(x)|≥g(x)(或|f(x)|≤g(x))(g(x)≥0)型的不等式则转化为f(x)≥g(x)或f(x)≤-g(x)(或-g(x)≤f(x)≤g(x))进行求解.
(对应学生用书第7~8页)
考向一:常见不等式的解法
【例1】 (1)(2011年安徽合肥第一次质检)不等式≤0的解集是(　　)
(A)(-∞,-1)∪(-1,2] (B)(-1,2]
(C)(-∞,-1)∪[2,+∞) (D)[-1,2]
(2)(2011年北京东城区第一学期期末)已知函数f(x)=,那么不等式f(x)≥1的解集为　　　　.
解析:(1)原不等式可化为,
解得-1(2)当x>0时,由f(x)≥1得log3x≥1,解得x≥3;
当x≤0时,由f(x)≥1得()x≥1,解得x≤0.
综上可得原不等式的解集为(-∞,0]∪[3,+∞).
答案:(1)B　(2)(-∞,0]∪[3,+∞)
(1)求解分式不等式时通常将其转化为整式不等式求解,但一定要注意分母不等于零这一条件;(2)与分段函数有关的不等式,要分段求解,然后取各段解集的并集.
考向二:基本不等式的应用
【例2】 (1)(2011年辽宁大连模拟)若a>0,b>0且a+b=4,则下列不等式恒成立的是(　　)
(A)> (B)+≤1
(C)≥2 (D)≤
(2)(2011年山西省四校联考)设x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=2,a+=4,则+的最大值为(　　)
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
解析:(1)由于a>0,b>0且a+b=4,
所以4≥2,得≤2,ab≤4,≥,
从而A错,C错;又+==≥1,故B错,
a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab≥8,
所以≤,故选D.
(2)由ax=by=2得x=loga2,y=logb2,
所以=log2a,=log2b,
于是+=2log2a+log2b=log2a2b.
又a+=4≥2,即≤2,a≤4,a2b≤16,
所以+=log2a2b≤log216=4,
即+的最大值为4,故选A.
应用基本不等式求最值时一定要注意基本不等式成立的条件,必要时需要对相关的式子进行变形、构造常数等以符合基本不等式应用的条件,此外还要特别注意等号成立的条件,以确保能否真正取得相应的最值.
举一反三21:(2011年高考北京卷)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元,若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品(　　)
(A)60件 (B)80件
(C)100件 (D)120件
解析:设每批生产x件时,平均到每件产品的费用之和为y,则y==+≥2=20(元),当且仅当=,即x=80件时费用之和最小,故选B.
考向三:平面区域与线性规划问题
【例3】 (1)(2011年安徽合肥第一次质检)不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域,则k=　　　　.
(2)(2011年高考湖南卷)设m>1,在约束条件下,目标函数z=x+my的最大值小于2,则m的取值范围为(　　)
(A)(1,1+) (B)(1+,+∞)
(C)(1,3) (D)(3,+∞)
解析:(1)如图,在平面直角坐标系中分别画出三条直线所对应的平面区域,要使不等式组表示的区域是一个直角三角形,应使其中的两条边界直线垂直,当直线y=kx+1与直线x=0垂直,即在图中l1的位置时,围成的区域是直角三角形AOB,这时k=0;当直线y=kx+1与直线y=2x垂直时,即在图中l2位置时,围成的区域是直角三角形ABC,此时k=-,故k的值等于0或-.
(2)画出不等式组所对应的可行域(如图).
由于z=x+my,所以y=-x+z,
而m>1,则->-1.
故当直线z=x+my平移至经过可行域中的M点时,z取最大值.
由解得M(,).
所以z=x+my的最大值为+=,
依题意知<2,
解得1答案:(1)0或-　(2)A
举一反三31:(2011年广东揭阳模拟)已知点M(x,y)满足若ax+y的最小值为3,则a的值为(　　)
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:由各选项知a取正值,设ax+y=z,结合图形易得当直线y=-ax+z过点(1,0)时,ax+y取得最小值,故a=3.故选C.
考向四:用排列与组合解决实际计数问题
【例4】 (1)(2011年吉林长春高考模拟)用1,2,3,4,5,6这6个数字组成无重复数字的六位数,其中三个奇数1,3,5有且仅有2个相邻的六位数一共有(　　)
(A)36个 (B)72个
(C)144个 (D)432个
(2)(2011年湖南十二校联考)某地为上海“世博会”招募了20名志愿者,他们的编号分别是1号、2号、…、19号、20号,若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作,其中两个编号较小的人在一组,两个编号较大的人在另一组,那么确保5号和14号入选并被分配到同一组的选取种数是　　　　.
解析:(1)先从三个奇数1,3,5中任取两个,有种取法,将这两个奇数作为一个整体与另外一个奇数去插到三个偶数2,4,6已经排好后出现的四个空中,有种插法,其中三个偶数的排法有种,并且相邻的两个奇数可以互换位置,有种方法,故可以排成符合要求的六位数一共有=432个,故选D.
(2)要确保5号与14号入选并被分配到同一组,应再从其余的18人中任选2人,但必须保证5号与14号是选出的4人中编号较小的2个或编号较大的2个,若5号与14号是编号较小的2人,则应从15号~20号这6个人中任选2人,共有种选取方法;若5号与14号是编号较大的2个人,则应再从1号~4号这4个人中任选2人,共有种选取方法,故一共有+=15+6=21种选取种数.
答案:(1)D　(2)21
对于有限制条件的排列问题,往往从其中的特殊元素(或特殊位置)入手,先安排特殊元素(位置)再安排其他元素(位置),要求元素相邻可用捆绑法,要求元素不相邻,可用插空法;对于有限制条件的组合问题,可从限制条件入手,对选法进行分类,结合分类加法计数原理求解.
考向五:二项展开式的特定项或系数和问题
【例5】 (1)(2011年山东泰安模拟)(1+)6·(1+)10的展开式中的常数项为(　　)
(A)4246 (B)4245
(C)46 (D)1
(2)(2010年浙江杭州模拟)已知函数f(x)=(x-1)5-5(x-1)4+10(x-1)3-10(x-1)2+5x-1,f'(x)是函数f(x)的导数,则f'(3)=　　　　.
解析:(1)由二项式定理得(1+)6·(1+)10的展开式的通项为Tr+1=()r·()r'=··,其中r=0,1,2,…,6,r'=0,1,2,…,10,令4r-3r'=0得r=0,r'=0或r=3,r'=4或r=6,r'=8,所以展开式中的常数项为++=4246,故选A.
(2)由于f(x)=(x-1)5-5(x-1)4+10(x-1)3-10(x-1)2+5x-1=(x-1)5-5(x-1)4+10(x-1)3-10(x-1)2+5(x-1)-1+5=[(x-1)-1]5+5=(x-2)5+5.
于是f'(x)=[(x-2)5+5]'=5(x-2)4,
故f'(3)=5(3-2)4=5.
答案:(1)A　(2)5
当条件中所给的函数解析式或代数表达式类似于二项展开式时,应考虑逆用二项式定理,将其化简然后再解决其他问题,但一定要注意检查所给式子是否恰好是一个完整的二项展开式,否则,就要进行适当的变形.
考向六:绝对值不等式的求解
【例6】 (2011年高考全国新课标卷)设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集;
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值.
名师导引:(1)当a=1时,不等式f(x)≥3x+2可以整理成哪种类型的不等式 【直接代入化简整理得|x-1|≥2,属于|ax+b|≥c型】
(2)对于|x-a|+3x≤0,如何去掉绝对值符号 【根据x与a的大小关系去掉绝对值符号】
解:(1)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为|x-1|≥2.
由此可得x≥3或x≤-1.
故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤-1}.
(2) 由f(x)≤0 得|x-a|+3x≤0,
此不等式化为不等式组
或
即 或
因为a>0,所以不等式组的解集为{x|x≤-}.
由题设可得-= -1,故a=2.
考向七:不等式的证明
【例7】(2011年高考安徽卷)
(1)设x≥1,y≥1,证明x+y+≤++xy,
(2)1证明:(1)由于x≥1,y≥1,
要证x+y+≤++xy,
只需证xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2,
因为[y+x+(xy)2]-[xy(x+y)+1]
=[(xy)2-1]-[xy(x+y)-(x+y)]
=(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)
=(xy-1)(xy-x-y+1)
=(xy-1)(x-1)(y-1).
由条件x≥1,y≥1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0,
从而所要证明的不等式成立.
(2)设logab=x,logbc=y,由对数的换底公式得
logca=,logba=,logcb=,logac=xy.
于是,所要证明的不等式即为x+y+≤++xy,
其中x=logab≥1,y=logbc≥1.
故由(1)可知所要证明的不等式成立.
不等式证明的常用方法是:比较法、综合法与分析法,其中运用综合法证明不等式时,主要是运用基本不等式与柯西不等式证明,证明过程中一方面要注意不等式成立的条件,另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形.
【例1】 函数y=的最小值等于　　　　.
解析:y==
==+2sin2x-3
≥2-3=2-3,
当且仅当=2sin2x,
即sin2x=时函数y取到最小值2-3.
答案:2-3
【例2】 (2011年东北四市模拟)已知O为坐标原点,点M的坐标为(a,1)(a>0),点N(x,y)的坐标x、y满足不等式组.若当且仅当时,·取得最大值,则a的取值范围是(　　)
(A)(0,) (B)(,+∞)
(C)(0,) (D)(,+∞)
解析:·=(a,1)·(x,y)=ax+y,设z=ax+y,
则y=-ax+z.
在坐标系中画出不等式组对应的可行域(如图),
可行域是一个三角形ABC围成的区域,其中C(3,0).
要使·仅在(3,0)处取得最大值,
应使得直线y=-ax+z的斜率-a小于边界直线x+2y-3=0的斜率-,即-a<-,因此a>,
即a的取值范围是(,+∞).故选D.
(对应学生用书第105~106页)
A组
(限时:35分钟)
【选题明细表】
知识点、方法 题号
不等式的性质与解法 1、14
基本不等式及应用 2、5、8、11
平面区域问题 3、12
线性规划问题 4、7、9、10
绝对值不等式解法 6、13
一、选择题
1.(2011年山东聊城模拟)若不等式>m的解集是{x|0(A) (B)2 (C)- (D)-2
解析:>m即>0,x(mx-1)<0,
其解集为{x|0解得m=2,故选B.
2.(2011年六安巢湖淮南三市一中联考理科)若a>0,b>0,且a+b=1,则ab+的最小值为(　B　)
(A) (B) (C) (D)2
解析:a+b=1 1≥2 ab≤,又函数f(x)=x+在区间(0,1)上单调递减,
所以当a=b=,ab=时,ab+取最小值.故选B.
3.(2011年福建泉州模拟)在平面直角坐标系中,不等式组,(a为常数)所表示的平面区域的面积是9,则实数a的值是(　A　)
(A)1 (B)-5
(C)1或-5 (D)-1或5
解析:画出平面区域(如图),容易求得A(-2,2),B(a,a+4),C(a,-a),由于平面区域的面积是9,所以有·(2a+4)·(a+2)=9,
解得a=1(a=-5舍去).故选A.
4.(2011年皖北联考)已知x,y满足不等式组,目标函数z=ax+y只在点(1,1)处取最小值,则有(　D　)
(A)a>1 (B)a>-1
(C)a<1 (D)a<-1
解析:不等式区域是以(0,0),(0,2),(1,1)为顶点的三角形,由题意-a>1,所以a<-1.故选D.
5.(2011年安徽合肥一模)若M=(a∈R,a≠0),则M的取值范围为(　A　)
(A)(-∞,-4]∪[4,+∞) (B)(-∞,-4]
(C)[4,+∞) (D)[-4,4]
解析:当a>0时,M==a+≥2=4;
当a<0时,M==a+=-[(-a)+(-)]≤-4.
故M的取值范围是(-∞,-4]∪[4,+∞).故选A.
6.(2010年济宁模拟)如果关于x的不等式|x-a|+|x+4|≥1的解集是全体实数,则实数a的取值范围是(　D　)
(A)(-∞,3]∪[5,+∞) (B)[-5,-3]
(C)[3,5] (D)(-∞,-5]∪[-3,+∞)
解析:在数轴上,结合绝对值的几何意义可知a≤-5或a≥-3.故选D.
7.(2011年福建厦门模拟)若实数x,y满足则x2+y2的最小值是(　D　)
(A) (B)5 (C) (D)
解析:画出可行域(如图).
由于x2+y2=()2,
而表示可行域点与原点的距离,
因此A(1,2),C(2,1),
所以|OA|=,|OC|=,
而原点到直线x+y-3=0的距离d==<,
所以的最小值是,
x2+y2的最小值是,
故选D.
8.(2011年浙江杭州第一次质检)下列代数式中,最小值为4的是(　B　)
(A)a+ (B)|a+|
(C)sin x+ (D)|sin x+|
解析:由于|a+|=|a|+≥2=4,
当且仅当|a|=即a=±2时,|a+|取最小值4.
故选B.
9.(2011年淮北市二模)在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界),目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个,则a的值为(　A　)
(A)-3 (B)3 (C)-1 (D)1
解析:目标函数z=x+ay可以变形为y=-x+,由题图观察知:当直线y=-x+与直线AC重合时,最大,此时a<0,从而z最小.故由斜率k=-=,
解得a=-3.故选A.
10.(2011年高考四川卷,理9)某运输公司有12名驾驶员和19名工人,有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需送往A地至少72吨的货物,派用的每辆车需满载且只运送一次.派用的每辆甲型卡车需配2名工人,运送一次可得利润450元;派用的每辆乙型卡车需配1名工人,运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润z为(　C　)
(A)4650元 (B)4700元
(C)4900元 (D)5000元
解析:设该公司当天派甲型卡车x辆,乙型卡车y辆,
由题意得
利润z=450x+350y,可行域如图所示.
解得A(7,5).
当直线350y+450x=z过A(7,5)时z取最大值,
∴zmax=450×7+350×5=4900(元).故选C.
二、填空题
11.(2011年宿州市三模)已知x>0,y>0,xy=x+2y,若xy≥m-2恒成立,则实数m的最大值是　　　 .
解析:因为x>0,y>0,
所以xy=x+2y≥2 xy≥8,
若使xy≥m-2恒成立,
只需(xy)min≥m-2即可,
则m-2≤8 m≤10,故实数m的最大值是10.
答案:10
12.(2011年宿州市三模)设实数x,y满足 ,则u=-的取值范围为　　　　　　　 .
解析:作出约束条件为的可行域如图所示,
令t=,则t=表示可行域中的点(x,y)与(0,0)连线的斜率,
故≤t≤2,而u=t-在[,2]是增函数,
故u∈[-,].
答案:[-,]
13.(2010年广东惠州第二次调研)不等式|2x-1|-|x-2|<1的解集为　　　　.
解析:原不等式等价于不等式组①
或②或③
不等式组①无解,由②得由③得-2答案:{x|-214.(2011年河南高三毕业班质检)已知a>b≥2.现有下列不等式:①b2>3b-a;②1+>2(+);③ab>a+b;④loga3>logb3.其中正确的是　　　　.
解析:依题意得,对于①,b2+a>2b+b=3b,
即有b2>3b-a,因此①正确;
对于②,取a=4,b=2,此时1+=,2(+)=,1+=2(+),因此②不正确;
对于③,ab-(a+b)=(a-1)(b-1)-1>1×1-1=0,
因此有ab>a+b,③正确;
对于④,取a=9>b=3,此时loga3=④不正确.综上所述,其中正确的是①③.
答案:①③
B组
(限时:35分钟)
【选题明细表】
知识点、方法 题号
排列与组合 1、2、3、5、7、10、11、12
二项式定理 4、6、8、9、13
一、选择题
1.(2011年安徽合肥一质检)世博会期间,某班有四名学生参加了志愿者工作.将这四名学生分到A,B,C三个不同的展馆服务,每个展馆至少分配一人.若甲要求不到A馆,则不同的分配方案有(　C　)
(A)36种 (B)30种 (C)24种 (D)20种
解析:分配方案可分为三类,第一类,A中2人,有·=6种方案;第二类,B中2人,有·=9种方案;第三类,C中2人,有·=9种方案.共24种.故选C.
2.(2011年淮北市二模)合肥英才中学高一某班有20名女生和30名男生,现要组织10名学生参加周末志愿者小组,若这10名学生按性别分层抽样产生,则周末志愿者小组组成方法共有(　D　)
(A)种 (B)种
(C)种 (D)种
解析:因为10名学生要按性别分层抽样产生,所以女生为4名,男生为6名,只是抽出学生而已 ,没有顺序,所以共有种.
3.(2011年北京海淀期末)由数字0,1,2,3,4,5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是(　B　)
(A)72 (B)60 (C)48 (D)12
解析:据已知先将奇数1,3,5进行排列,在每一种排列中将偶数0,2,4插空,若插入前三个空中,由于0是特殊元素,先将0放在后面两个空中,然后将2,4排列在其他两个空中;若插入后三个空中,只需将0,2,4进行排列即可,综上可知共有+=60个,故选B.
4.(2011年江西六校联考)已知(x2+)n的展开式的各项系数和为32,则展开式中x的系数为(　B　)
(A)5 (B)10 (C)20 (D)40
解析:由展开式各项系数和为32知,2n=32,解得n=5,
于是(x2+)5的展开式通项公式
Tr+1=·(x2)5-r·()r=·x10-3r,
令r=3得x的系数为=10.故选B.
5.(2011年浙江杭州二质检)6名同学安排到3个社区A,B,C参加志愿者服务,每个社区安排两名同学,其中甲同学必须到A社区,乙和丙同学均不能到C社区,则不同的安排方法种数为(　B　)
(A)12 (B)9 (C)6 (D)5
解析:当乙、丙中有一人在A社区时有=6种安排方法;当乙、丙两人都在B社区时有=3种安排方法,所以共有9种不同的安排方法.故选B.
6.(2011年安庆市三模)若(2x+)n的展开式中,二项式系数最大的项只有第三项,则展开式中常数项的值为(　C　)
(A)12 (B)18 (C)24 (D)32
解析:由题意知<且> 3即n=4(由二项式系数的性质也可得出n=4),
又二项式(2x+)4展开式中第r+1项为
Tr+1=(2x)4-rx-r
=24-rx4-2r,
令4-2r=0,从而r=2,
故T3=22=24,选C.
7.(2011年宣城市三模)现准备将6台型号相同的电脑分配给5所学校,其中A、B两所学校每个学校至少2台,其他学校允许1台或2台,也可以没有,则不同的分配方案共有(　B　)
(A)12种 (B)15种 (C)20种 (D)30种
解析:列举出所有分配方案:
AB分2+2,其余2台给一个学校有3种,给2个学校也有3种,一共有6种方案;
AB分2+3,3+2,其余1台给一个学校有3种,一共有6种方案;
AB分3+3,2+4,4+2各有一种方案,共3种. 合计有6+6+3=15种方案.
8.(2010年浙江嘉兴质检)若(x+1)5=a5(x-1)5+…+a1(x-1)+a0,则a1的值为(　A　)
(A)80 (B)40 (C)20 (D)10
解析:由于x+1=x-1+2,因此(x+1)5=[(x-1)+2]5,
故展开式中x-1的系数为24=80.故选A.
9.(2011年安徽安庆二模)若(x+a)2(-1)5的展开式中常数项为-1,则a的值为(　D　)
(A)1 (B)9
(C)-1或-9 (D)1或9
解析:由于(x+a)2(-1)5=(x2+2ax+a2)(-1)5,而(-1)5的展开式通项公式Tr+1=·()5-r·(-1)r=(-1)r·xr-5,因此(-1)5展开式中x-2的系数为-,x-1的系数,常数项为-=-1,故(x+a)2(-1)5的展开式常数项为-+·2a-a2=-1,解得a2-10a+9=0,所以a=1或9.故选D.
10.(2011年安庆市三模)现有男大学生6名,女大学生4名,其中男、女班长各1人.从这10人中选派5人到某中学顶岗,班长中至少有一人参加,则不同的选派方法有多少种.(　D　)
(A)169 (B)140 (C)126 (D)196
解析:从班长两人中选1人或2人,分两类,则共有+=196(该题防止出现从班长两人中选1人,然后从剩下9人中选4人的错误,这种解法中有重复情况发生),选D.
二、填空题
11.(2011年合肥市三模)5名男生到某旅游风景区游玩,晚上入住一家宾馆,宾馆有3间客房可选,一间客房为3人间,其余为2人间,则5人入住两间客房的不同方法有　　　　种(用数字作答).
解析:只需选2人住一间2人间,有=20种方法.
答案:20
12.(2011年浙江温州模拟)有8个人乘1,2,3号车出去旅游,若每车至少2人,则有　　　　种不同的乘坐方法.
解析:由于每车至少2人,
所以三辆车上的人数可以是2,2,4,也可以是2,3,3,
因此一共可以有·=2940种不同的乘坐方法.
答案:2940
13.(2011年安徽淮南模拟)已知(a+x)5的展开式中x2的系数为k1,(+x)4(a∈R,a≠0)的展开式中x的系数为k2,则k1·k2=　　　　.
解析:(a+x)5展开式通项Tr+1=·a5-rxr,
因此x2的系数k1=·a3=10a3;(+x)4展开式中通项Tr+1=·()4-r·xr,
因此x的系数k2=·()3=,故k1·k2=40.
答案:40
专题二　三角函数及解三角形
(对应学生用书第9页)
从近几年高考试题可以看出,本专题的考查内容主要有三个方面:①三角函数的图象与性质;②三角函数基本公式的应用与恒等变换;③正弦定理、余弦定理以及解三角形问题.其中三角函数的图象与性质和解三角形问题是高考考查的热点,且常考常新.三角函数内容的难度和比重有所降低,题目难度不大,为中等及中等以下.
第1讲　三角函数的图象与性质
　　　　 　 　　　　　　 　　　　　　 　　
(对应学生用书第9页)
一、体验高考
1.(2011年高考全国卷,理5)设函数f(x)=cos ωx(ω>0),将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于(　C　)
(A) (B)3
(C)6 (D)9
解析:由题意得·k=(k∈Z),解得ω=6k,又ω>0,令k=1,得ωmin=6.故选C.
2.(2011年高考安徽卷,理9)已知函数f(x)=sin (2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤|f()|对x∈R恒成立,且f()>f(π),则f(x)的单调递增区间是(　C　)
(A)[kπ-,kπ+](k∈Z)
(B)[kπ,kπ+](k∈Z)
(C)[kπ+,kπ+](k∈Z)
(D)[kπ-,kπ](k∈Z)
解析:因为x∈R时,f(x)≤|f()|恒成立,
所以f()=sin (+φ)=±1,
所以+φ=±+2kπ(k∈Z)
所以φ=2kπ+或φ=2kπ-(k∈Z),
因为f()=sin (π+φ)=-sin φ>f(π)=sin (2π+φ)=sin φ,故sin φ<0,所以φ=2kπ-(k∈Z),
不妨取φ=-,所以f(x)=sin (2x-),
令-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),
得kπ+≤x≤kπ+π(k∈Z).
所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ+,kπ+](k∈Z),故选C.
3.(2011年高考江苏卷,9)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f(0)的值是　　　　.
解析:由图象可知,A=,周期T=4(π-)=π,所以=π,ω=2,这时f(x)=sin (2x+φ).又图象经过点(,0),所以sin(+φ)=0,
得+φ=π+2kπ,φ=2kπ+(k∈Z),
于是f(x)=sin(2x++2kπ),
故f(0)=sin(+2kπ)=.
答案:
4.(2011年高考安徽卷,文15)设f(x)=asin 2x+bcos 2x,其中a,b∈R,ab≠0,若f(x)≤|f()|对一切x∈R恒成立,则
①f()=0;
②|f()|<|f()|;
③f(x)既不是奇函数也不是偶函数;
④f(x)的单调递增区间是[kπ+,kπ+](k∈Z);
⑤存在经过点(a,b)的直线与函数f(x)的图象不相交.
以上结论正确的是　　　　(写出所有正确结论的编号).
解析:f(x)=asin 2x+bcos 2x=sin (2x+φ)≤.
因为f(x)≤|f()|对一切x∈R恒成立,所以x=是函数f(x)的对称轴,又周期T=π,
所以f(x)的对称轴是x=kπ+,x=kπ+,对称中心是(kπ+,0),(kπ+,0),
因此f()=0,所以①正确;
-==T,所以|f()|=|f()|,故②错误;
因为f(0)≠0,y轴不是对称轴,所以③正确;
f(x)在区间[kπ+,kπ+](k∈Z)上可能递增也可能递减,④错误;
因为b<,所以点(a,b)在直线y=±之间,过点(a,b)的直线与f(x)的图象一定相交,故⑤错误.
答案:①③
5.(2011年高考北京卷,理15)已知函数f(x)=4cos xsin(x+)-1.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间[-,]上的最大值和最小值.
解:(1)由于f(x)=4cos xsin(x+)-1
=4cos x(sin x+cos x)-1
=sin 2x+2cos2x-1
=sin 2x+cos 2x
=2sin(2x+)
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)由于-≤x≤,所以-≤2x+≤.
于是当2x+=,即x=时f(x)取得最大值2;
当2x+=-,
即x=-时f(x)取得最小值-1.
二、感悟考情
1.高考对三角函数图象的考查主要包括三个方面:一是五点法作图,二是图象变换,三是已知图象求函数解析式或解析式中参数的值.
2.高考对三角函数性质的考查是一个热点,侧重于对函数y=Asin(ωx+φ)的周期性、单调性、对称性以及最值等的考查,常与其他知识交汇以解答题的形式进行综合考查,试题难度中等.
(对应学生用书第9~10页)
1.函数y=Asin(ωx+φ)的图象
(1)“五点法”作图
设z=ωx+φ,令z=0,,π,,2π,求出x的值与相应的y的值,描点、连线可得.
(2)图象变换
①y=sin xy=sin(x+φ)
y=sin(ωx+φ)
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0).
②y=sin xy=sin ωx
y=sin(ωx+φ)
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)
(3)已知y=Asin(ωx+φ)的图象求解析式中φ的值时,通常要利用图象所经过的一点的坐标代入求解,如果选择的是函数的一个零点(一般考虑离原点最近的零点)应分两种情况求φ,当图象经过该零点时是递增的,则ωx0+φ=2kπ(k∈Z),当图象经过该零点时是递减的,则ωx0+φ=2kπ+π(k∈Z),因此求得φ的值.
2.函数y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)的性质
(1)周期性
弦函数的周期公式为:T=,
切函数的周期公式为:T=.
(2)单调性
利用整体换元法求解,例如令-+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ解得x的范围即得函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的增区间,令+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ解得x的范围即得其减区间,其他两种函数类似可得.
(3)对称性
①函数y=Asin(ωx+φ)的图象的对称轴由ωx+φ=kπ+(k∈Z)解得,对称中心的横坐标由ωx+φ=kπ(k∈Z)解得;
②函数y=Acos(ωx+φ)图象的对称轴由ωx+φ=kπ(k∈Z)解得,对称中心的横坐标由ωx+φ=kπ+(k∈Z)解得;
③函数y=Atan(ωx+φ)图象的对称中心由ωx+φ=(k∈Z)解得.
(4)奇偶性
①函数y=Asin(ωx+φ)是奇函数 φ=kπ(k∈Z),是偶函数 φ=kπ+(k∈Z);
②函数y=Acos(ωx+φ)是奇函数 φ=kπ+(k∈Z),是偶函数 φ=kπ(k∈Z);
③函数y=Atan(ωx+φ)是奇函数 φ=kπ(k∈Z).
3.函数y=Asin(ωx+φ)各性质间的联系
结合函数图象可观察出如下几点:
(1)函数图象的对称轴都经过函数的最值点,对称中心的横坐标都是函数的零点;
(2)相邻两对称轴(或对称中心)间的距离都是半个周期;
(3)图象上相邻两个最大(或小)值点之间的距离恰好等于一个周期.
(对应学生用书第10~11页)
考向一:函数y=Asin(ωx+φ)的解析式及图象变换
【例1】
(1)(2011年浙江宁波模拟)设偶函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示.△KLM为等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1,则f()的值为(　　)
(A)- (B)-
(C)- (D)
(2)(2011年东北三校第一次联考)要得到函数f(x)=sin(2x+)的导函数f'(x)的图象,只需将f(x)的图象(　　)
(A)向左平移个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)
(B)向左平移个单位,再把各点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)
(C)向左平移个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)
(D)向左平移个单位,再把各点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)
解析:(1)由△KLM为等腰直角三角形且KL=1知M点纵坐标为-,于是A=.又周期T=2×1=2,所以=2,ω=π,这时f(x)=sin(πx+φ),又函数为偶函数,所以φ=,此时f(x)=sin(πx+)=cos πx,
故f()=cos =,选D.
(2)∵f(x)=sin(2x+),
∴f'(x)=2cos(2x+)=2sin(2x+),
且f'(x)=2sin(2x+)=2sin[2(x+)+],
因此只需将f(x)图象向左平移个单位得到y=sin(2x+)的图象,再将各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到f'(x)的图象,故选C.
作三角函数图象左右平移变换时,平移的单位数是指单个变量x的变化量,因此由y=sin ωx(ω>0)的图象得到y=sin (ωx+φ)的图象时,应将图象上所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移个单位,而非|φ|个单位.
【例2】 (2011年山东潍坊一模)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)设g(x)=[f(x-)]2,求函数g(x)在x∈[-,]上的最大值,并确定此时x的值.
解:(1)由图知A=2,=,则=4×,∴ω=.
又f(-)=2sin[×(-)+φ]=2sin(-+φ)=0,
∴sin(φ-)=0,
∵0<φ<,∴-<φ-<,∴φ-=0,即φ=,
∴f(x)的解析式为f(x)=2sin(x+).
(2)由(1)可得f(x-)=2sin[(x-)+]
=2sin(x+),
∴g(x)=[f(x-)]2=4×
=2-2cos(3x+),
∵x∈[-,],∴-≤3x+≤,
∴当3x+=π,即x=时,g(x)max=4.
考向二:三角函数的奇偶性与对称性
【例3】 (1)(2011年湖南长沙模拟)定义行列式运算=a1a4-a2a3;将函数f(x)=的图象向左平移n(n>0)个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则n的最小值为(　　)
(A) (B) (C) (D)
(2)(2011年安徽合肥质检)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的图象关于直线x=对称,且f()=0,则ω的最小值为(　　)
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
解析:(1)由定义知f(x)=cos x-sin x=2cos(x+),将其图象向左平移n个单位时得到y=2cos(x++n)的图象,要使该函数为偶函数,应有+n=kπ(k∈Z),即n=kπ-(k∈Z),因此n的最小值是当k=1时取得的值,为,故选C.
(2)由f()=0知(,0)是f(x)图象的一个对称中心,又x=是一条对称轴,所以应有,解得ω≥2,即ω的最小值为2,故选A.
(1)求解三角函数奇偶性、对称性等问题应将三角函数化成y=Asin(ωx+φ)的形式再求解.(2)函数y=Asin(ωx+φ)的图象的一条对称轴与一个对称中心之间的距离最小为(T为函数周期).
举一反三31:(2011年广东实验中学、华师附中、广雅中学、深圳中学四校联考)已知函数f(x)=3sin(ωx-)(ω>0)和g(x)=3cos(2x+φ)的图象的对称中心完全相同,若x∈[0,],则f(x)的取值范围是(　　)
(A)[-,3] (B)[-3,3]
(C)[-,] (D)[0,]
解析:由两三角函数图象的对称中心完全相同,可知两函数的周期相同,故ω=2,所以f(x)=3sin(2x-),那么当x∈[0,]时,-≤2x-≤,所以-≤sin(2x-)≤1,故f(x)∈[-,3],故选A.
考向三:三角函数的周期性与单调性
【例4】 (2011年山东枣庄模拟)已知函数f(x)=Asin(x+φ)(A>0,-<φ<0)在x=时取得最大值,则f(x)在[-π,0]上的单调增区间是(　　)
(A)[-π,-] (B)[-,-]
(C)[-,0] (D)[-,0]
解析:依题意知+φ=2kπ+,于是φ=2kπ-,由于-<φ<0,所以φ=-,即f(x)=Asin(x-),令2kπ-≤x-≤2kπ+,得2kπ-≤x≤2kπ+,即f(x)的增区间是[2kπ-,2kπ+](k∈Z),故f(x)在[-π,0]上的增区间是[-,0],选D.
【例5】 (2011年广东六校联考)已知=(1,sin x-1),=(sin x+sin xcos x,sin x),f(x)=·(x∈R).求:
(1)函数f(x)的最大值和最小正周期;
(2)函数f(x)的单调递增区间.
名师导引:(1)坐标表示的条件下,如何求两个向量的数量积 【若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2】
(2)讨论三角函数的性质时,通常要把函数解析式化为什么形式最为方便 【化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式】
(3)求y=Asin(ωx+φ)的单调区间时应如何求解 【整体代换】
解:(1)f(x)=·
=sin x+sin xcos x+(sin x-1)sin x
=sin xcos x+sin2x
=sin 2x+
=sin 2x-cos 2x+
=sin(2x-)+.
令2x-=2kπ+,
得x=kπ+(k∈Z),
∴当x=kπ+(k∈Z)时,f(x)取得最大值,
f(x)的最小正周期为=π.
(2)∵f(x)=sin(2x-)+,
∴当2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
即当kπ-≤x≤kπ+,k∈Z时,
函数f(x)为增函数,
∴函数f(x)的单调递增区间是[kπ-,kπ+](k∈Z).
求解三角函数的周期、最值、单调区间等问题时,通常要运用各种三角函数公式,通过恒等变形(降幂、辅助角公式应用)将其解析式转化为y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)的形式,再研究其各种性质.
【例题】 (2011年北京东城区期末检测)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的最小正周期及解析式;
(2)设g(x)=f(x)-cos 2x,求函数g(x)在区间[0,]上的最大值和最小值.
解:(1)由图可得A=1,=-=,
所以T=π.
所以ω=2.
当x=时,f(x)=1,可得sin(2×+φ)=1,
令2×+φ=2kπ+(k∈Z),则φ=2kπ+(k∈Z).
因为|φ|<,所以φ=.
所以f(x)的解析式为f(x)=sin(2x+).
(2)g(x)=f(x)-cos 2x=sin(2x+)-cos 2x
=sin 2xcos +cos 2xsin -cos 2x
=sin 2x-cos 2x=sin(2x-).
因为0≤x≤,所以-≤2x-≤.
当2x-=,即x=时,g(x)有最大值,最大值为1;
当2x-=-,
即x=0时,g(x)有最小值,最小值为-.
(对应学生用书第107~108页)
(限时:35分钟)
【选题明细表】
知识点、方法 题号
三角函数的解析式与图象 2、4、5、6
三角函数的图象变换 1
奇偶性与对称性 3、7、8
周期性与单调性 8、9
综合 8、9、10
一、选择题
1.(2011年蚌埠市一模)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,|φ|<)的图象如图所示,为了得到g(x)=sin 2x的图象,则只要将f(x)的图象(　A　)
(A)向右平移个单位长度
(B)向右平移个单位长度
(C)向左平移个单位长度
(D)向左平移个单位长度
解析:由图象可得f(x)=sin (2x+),向右平移个单位长度即得g(x)=sin 2x的图象.故选A.
2.(2011年巢湖市一模)下图是函数y=sin(ωx+φ)的图象的一部分,A,B分别是图象上的一个最高点和一个最低点,O为坐标原点,则·的值为(　C　)
(A)π (B)π2+1
(C)π2-1 (D)π2-1
解析:由图可求得点B的坐标为(,-1),
所以·=(,1)·(,-1)=-1.
3.(2011年安徽皖中模拟)设函数f(x)=sin(ωx+)-1(ω>0)的导函数f'(x)的最大值为3,则f(x)图象的一条对称轴方程为(　D　)
(A)x= (B)x=
(C)x= (D)x=
解析:由于f(x)=sin(ωx+)-1,
所以f'(x)=ωcos(ωx+),
而f'(x)的最大值为3.
所以ω=3.
因此f(x)=sin(3x+)-1,
当x=时,f()=0取最值,
故f(x)图象的对称轴方程为x=,故选D.
4.(2011年合肥三模)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别为(　B　)
(A), (B)2, (C), (D)2,
解析:周期T=π ω=2,由sin (2×+φ)=0并结合图知+φ=kπ(k∈Z),
∴φ=-+kπ,
∵|φ|<,∴φ=,故选B.
二、填空题
5.(2011年山西省高考适应性训练)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ≤)的部分图象如图所示,则φ=　　　　.
解析:据图象知T=π-π,解得T=π,故ω=2,即y=f(x)=sin(2x+φ),
又由图象可得f()=sin(+φ)=1,
又0<φ≤,故φ=.
答案:
6.(2011年江苏南京第二次调研考试)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0).若f()=0,f()=2,则实数ω的最小值为　　　　.
解析:依题意得,因此有ω≥3,即实数ω的最小值是3.
答案:3
7.(2011年山东济南模拟)函数f(x)=sin(x+)+asin(x-)的一条对称轴方程为:x=,则a=　　　　.
解析:f(x)=sin(x+)+asin (x-)=sin (x+)-asin(-x)=sin(x+)-acos(x+),由对称轴的意义得f()=sin -acos =±,即a2-2a+3=0,解得a=.
答案:
三、解答题
8.(2011年广州综合测试)已知函数f(x)=sin xcos φ+cos xsin φ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若函数y=f(2x+)的图象关于直线x=对称,求φ的值.
解:(1)∵f(x)=sin(x+φ),
∴函数f(x)的最小正周期为2π.
(2)∵函数y=f(2x+)=sin(2x++φ),
又y=sin x的图象的对称轴为x=kπ+(k∈Z),
令2x++φ=kπ+,
将x=代入,得φ=kπ-(k∈Z).
∵0<φ<π,∴φ=.
9.(2011年黄山市二模)设a=(sin ,-cos ),b=(cos ,cos ),函数f(x)=a·b+(ω>0),若函数f(x)相邻的两个对称中心间的距离为.
(1)求ω的值及f(x)的单调递减区间;
(2)若x∈[-,],求函数f(x)的最大值和最小值.
解:(1)f(x)=a·b+=sin cos -cos2+
=sin ωx-cos ωx+1
=sin(ωx-)+1
由函数f(x)的相邻两个对称中心间的距离为可知f(x)的周期为π,
即=π ω=2,
由2kπ+≤2x-≤2kπ+(k∈Z) kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),
∴f(x)的单调递减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z).
(2)由于x∈[-,] -≤x≤ -≤2x-≤ 0≤f(x)≤,
故函数f(x)的最大值和最小值分别为和0.
10.(2011年皖南八校三模)已知直线y=2与函数f(x)=2sin2ωx+2sin ωxcos ωx-1(ω>0)的图象的两个相邻交点之间的距离为π.
(1)求f(x)的解析式,并求出f(x)的单调递增区间;
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的最大值及g(x)取得最大值时x的取值集合.
解:(1)f(x)=2sin2ωx+2sin ωxcos ωx-1
=1-cos 2ωx+sin 2ωx-1=2sin (2ωx-),
由题意可知函数的周期T==π,即ω=1,
所以f(x)=2sin (2x-),
令2kπ-≤2x-≤2kπ+其中k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+其中k∈Z,
即f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+]k∈Z.
(2)g(x)=f(x+)=2sin [2(x+)-]
=2sin (2x+),
则g(x)的最大值为2,
此时有2sin (2x+)=2,
即sin (2x+)=1,
即2x+=2kπ+,
其中k∈Z.
解得x=kπ+(k∈Z),
所以当g(x)取得最大值时x的取值集合为
{x|x=kπ+,k∈Z}.
第2讲　三角恒等变换与解三角形
　　　　 　 　　　　　　 　　　　　　 　　
(对应学生用书第12页)
一、体验高考
1.(2011年高考辽宁卷,理4)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asin Asin B+bcos2A=a,则=(　D　)
(A)2 (B)2 (C) (D)
解析:∵asin Asin B+bcos2A=a,
∴sin Asin Asin B+sin Bcos2A=sin A,
∴sin B(sin2A+cos2A)=sin A,即sin B=sin A,
∴==.故选D.
2.(2011年高考浙江卷,理6)若0<α<,-<β<0,cos(+α)=,cos(-)=,则cos(α+)=(　C　)
(A) (B)- (C) (D)-
解析:∵0<α<,∴<α+<π.
∵cos(+α)=,∴sin(+α)=.
∵-<β<0,∴<-<.
∵cos(-)=,∴sin(-)=.
∴cos(α+)=cos[(+α)-(-)]
=cos(+α)cos(-)+sin(+α)sin(-)
=×+×=.故选C.
3.(2011年高考天津卷,理6)如图,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,则sin C的值为(　D　)
(A) (B) (C) (D)
解析:设AB=a,则AD=a,BD=a,BC=a,
cos A===,
∴sin A==,
由正弦定理知sin C=·sin A=×=,故选D.
4.(2011年高考安徽卷,理14)已知△ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC的面积为　　　　.
解析:不妨设角A=120°,c则a=b+4,c=b-4,
于是cos 120°==-,
解得b=10,
所以S=bcsin 120°=15.
答案:15
5.(2010年高考安徽卷,理16)设△ABC是锐角三角形,a,b,c分别是内角A,B,C所对边长,并且
sin2A=sin (+B)sin (-B)+sin2B.
(1)求角A的值;
(2)若·=12,a=2,求b,c(其中b解:(1)因为sin2A=(cos B+sin B)(cos B-sin B)+sin2B
=cos2B-sin2B+sin2B=,
所以sin A=±.
又A为锐角,所以A=.
(2)由·=12可得
cbcos A=12.①
由(1)知A=,所以cb=24.②
由余弦定理知a2=c2+b2-2cbcos A,
将a=2及①代入,得
c2+b2=52,③
③+②×2,得(c+b)2=100,所以c+b=10.
因此,c,b是一元二次方程t2-10t+24=0的两个根.
解此方程并由b二、感悟考情
1.三角恒等变换是高考的热点内容,主要考查利用各种三角公式进行求值与化简,其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点,切化弦、角的变换是常考的三角变换思想.
2.正弦定理和余弦定理以及解三角形问题也是高考的必考内容.主要考查①边和角的计算;②三角形形状的判断;③面积的计算.
(对应学生用书第12页)
1.两角和与差的三角函数公式
(1)两角和与差的正弦公式
sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β;
(2)两角和与差的余弦公式
cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β;
(3)两角和与差的正切公式
tan(α±β)=.
2.二倍角公式
(1)二倍角的正弦公式
sin 2α=2sin αcos α;
(2)二倍角的余弦公式
cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
(3)二倍角的正切公式
tan 2α=.
3.公式的灵活运用
(1)逆用
即cos αcos β±sin αsin β=cos(α β).
sin αcos β±cos αsin β=sin(α±β).
cos2α-sin2α=cos 2α,2cos2α=1+cos 2α等.
如:①sin 15°cos 30°+cos 15°sin 30°=sin(15°+30°)
=sin 45°.
②cos 20°cos 25°-cos 70°cos 65°=cos 20°cos 25°-sin 20°sin 25°=cos(20°+25°)=cos 45°.
③==tan(45°+10°)=tan 55°.
④cos215°-sin215°=cos 30°.
(2)角的拆分与组合
如α+β+γ=(α+β)+γ,α=(α+β)-β,2β=(α+β)-(α-β)等.
(3)变形应用
tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β),
sin2x=,cos2x=.
4.辅助角公式
asin α+bcos α=sin(α+φ),(其中tan φ=).
如sin α±cos α=sin(α±).
5.正弦定理与余弦定理
(1)正弦定理
===2R(2R为△ABC外接圆的直径).
变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.
sin A=,sin B=,sin C=.
a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.
(2)余弦定理
a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,
c2=a2+b2-2abcos C.
推论:cos A=,cos B=,
cos C=.
变形:b2+c2-a2=2bccos A,a2+c2-b2=2accos B,a2+b2-c2=2abcos C.
(对应学生用书第13~14页)
考向一:三角恒等变换及其求值
【例1】 (2011年安徽皖南八校联考)已知sin(3π-α)=-2sin(+α),则sin αcos α等于(　　)
(A)- (B)
(C)或- (D)-
解析:法一:∵sin (3π-α)=sin(π-α)=-2sin(+α),
∴sin α=-2cos α,∴tan α=-2,
当α在第二象限时,,∴sin αcos α=-;
当α在第四象限时,,∴sin αcos α=-,
综上,sin αcos α=-,故选A.
法二:∵sin(3π-α)=sin(π-α)=-2sin(+α),
∴sin α=-2cos α,
∴tan α=-2,
∴sin αcos α===-,故选A.
【例2】 (2011年高考广东卷)已知函数f(x)=2sin(x-),x∈R,
(1)求f()的值;
(2)设α,β∈[0,],f(3α+)=,f(3β+2π)=,求cos(α+β)的值.
解:(1)f()=2sin(×-)=2sin =2×=.
(2)f(3α+)=2sin[(3α+)-]
=2sin α=,
∴sin α=.
f(3β+2π)=2sin[(3β+2π)-]=2sin(β+)
=2cos β=,
∴cos β=.
∵α,β∈[0,],∴cos α==,
sin β==,
∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=.
求解三角函数中的给值求值问题时,要注意两点:一是分析已知角和未知角之间的关系,正确地用已知角来表示未知角;二是正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示.
考向二:正、余弦定理的基本应用
【例3】 (2011年高考福建卷)如图,△ABC中,AB=AC=2,BC=2,点D在BC边上,∠ADC=45°,则AD的长度等于　　　　.
解析:法一:作AE⊥BC,垂足为E,
∵AB=AC=2,BC=2,
∴E为BC的中点,且EC=.
在Rt△AEC中,可得AE=1,
又∠ADE=45°,∴DE=1,∴AD=.
法二:∵AB=AC=2,BC=2,
∴由余弦定理得
cos C===.
又∵∠C∈(0°,180°),∴∠C=30°.
在△ADC中,由正弦定理得=,
即AD====.
答案:
举一反三31:(2011年东北三校联考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin22C+sin 2C·sin