【精品解析】2018年高考数学真题试卷（江苏卷）

2018年高考数学真题试卷（江苏卷）
一、填空题
1．（2018·江苏） 已知集合 ，那么 　 　.
2．（2018·江苏） 若复数 满足 ，其中 是虚数单位，则 的实部为　 　.
3．（2018·江苏） 已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为　 　.
4．（2018·江苏）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 的值为　 　.
5．（2018·江苏）函数 的定义域为　 　.
6．（2018·江苏）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率是　 　.
7．（2018·江苏）已知函数 的图像关于直线 对称，则 的值是　 　.
8．（2018·江苏）在平面直角坐标系 中，若双曲线 的右焦点 到一条渐近线的距离为 ，则其离心率的值是　 　
9．（2018·江苏）函数 满足 ，且在区间 上 ，则 的值为　 　
10．（2018·江苏）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为　 　
二、解答题
11．（2018·江苏）若函数 在 内有且只有一个零点，则 在 上的最大值与最小值的和为　 　
12．（2018·江苏）在平面直角坐标系 中， 为直线 上在第一象限内的点， 以 为直径的圆 与直线 交于另一点 ，若 ，则点 的横坐标为　 　
13．（2018·江苏）在 中，角 所对应的边分别为 ， 的平分线交 于点 ，且 ，则 的最小值为　 　
14．（2018·江苏）已知集合 ，将 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 ，记 为数列的前 项和，则使得 成立的 的最小值为　 　.
15．（2018·江苏）在平行四边形 中，
求证：
（1） 平面
（2）平面 平面
16．（2018·江苏）已知 为锐角， ， 。
（1）求 的值。
（2）求 的值。
17．（2018·江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 的一段圆弧 ( 为此圆弧的中点)和线段 构成，已知圆 的半径为40米，点 到 的距离为50米，先规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 .大棚Ⅱ内的地块形状为 要求 均在线段 上， 均在圆弧上，设 与 所成的角为θ
（1）用 分别表示矩形 和 的面积，并确定 的取值范围
（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3.求当 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.
18．（2018·江苏）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆C过点 ，焦点 ，圆O的直径为 .
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线 与圆O相切于第一象限内的点P.
①若直线 与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线 与椭圆C交于A、B两点.若 的面积为 ，求直线 的方程.
19．（2018·江苏）记 分别为函数 的导函数.若存在 ，满足 且 ，则称 为函数 与 的一个“S点”.
（1）证明：函数 与 不存在“S点”.
（2）若函数 与 存在“S点”，求实数 的值.
（3）已知函数 ， ，对任意 ，判断是否存在 ，使函数 与 在区间 内存在”S点”，并说明理由.
20．（2018·江苏）设{ }是首项为 ，公差为 的等差数列， 是首项 ，公比为q的等比数列
（1） 设 若 对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围
（2） 若 ， ， 证明：存在 ，使得 对
n=2，3，…， 均成立，并求 的取值范围（用 表示）。
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为A={0，1，2，8}，B={-1，1，6，8}，则
【分析】找出集合A，B公共元素即可
2．【答案】2
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：∵i·z=1+2i
得：z=
∴实部为2
【分析】Z=a+bi，(a，b∈R)，则a为实部，b为虚部。
3．【答案】90
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：
【分析】将所有数字加起来除以总个数。
4．【答案】8
【知识点】循环结构；程序框图
【解析】【解答】解：i=1，s=1，i=3，s=2，i=5，s=4，i=7，s=8
【分析】模拟程序运行，即可得出运行后输出S的值。
5．【答案】
【知识点】对数函数的概念与表示；不等式
【解析】【解答】解： ，即 。
【分析】偶次被开方数非负，得到不等式，解对数不等式。
6．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：
【分析】从5合产生中选2名 ，是2名女生 。
7．【答案】
【知识点】正弦函数的图象
【解析】【解答】解：
【分析】将 作整体看，正弦对称轴方程为 ，解出 ，由 的范围，得出 的值。
8．【答案】2
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的参数方程
【解析】【解答】解：右焦点F（C，0）到 的距离，
【分析】点到直线距离公式，得到焦点到渐近线的距离。
9．【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的周期性
【解析】【解答】解：
又
【分析】先算 ，再算
10．【答案】
【知识点】组合几何体的面积、体积问题；图形的对称性
【解析】【解答】解：此多面体为正八面体，是两个正四棱锥
【分析】由正方体对称性，可知多面体为正八面体。
11．【答案】-3
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：
当a≤0时，
∴
时，则在 为零点，舍去
当a＞0时， 递减， 递增，又 只有一个零点，
∴ 在 递增，（0，1）递减
最大值与最小值和为-3
【分析】先求导，根据a的不同值分类讨论，有且仅有一个零点，得到a=3，再分析 单调性，求出最值。
12．【答案】3
【知识点】平面向量坐标表示的应用
【解析】【解答】解： 又C为AB中点，
∴
设l的倾斜角为 ，
【分析】先求出 斜率，再联立方程组，求出 。
13．【答案】9
【知识点】平均值不等式
【解析】【解答】解：
当且仅当 .
故答案为：9
【分析】先由面积公式得到a，c关系，再用均值不等式，求出最值.
14．【答案】27
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：
不符
符合
所以n最小值27
【分析】列举法，用求和公式看符不符合题意。
15．【答案】（1）解：因为 ，又AB 面 ， 面
∴
（2）解：∵ ，∴四边形ABB1A1为菱形，
∴
又 ，
∴ ，
又
， ，
∴ ，
∴
∴
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）先在面 内找到直线 与AB 平行，得到线面平行。（2）在面 内找到两直线 ，BC与 垂直，则线面垂直，又线在面 内，则面
16．【答案】（1）解：∵ 则
（2）解：由（1）可知， ，
，所以
即 ， =-2
【知识点】同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）同三角函数关系，得到 ，再用倍角公式。（2）配凑角，
17．【答案】（1）解：
当B，N重合时， 最小，此时
当C，P重合时， 最大，此时 ，所以
（2）解：设年总产值为y，甲种蔬菜单位面积年产值为4t，乙种蔬菜面积总产值为3t
∴
其中
设
令 ，
∴
当
当
∴当 时，总产值y最大
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】由图形，根据三角函数值，求出面积由导数求出单调性即可
18．【答案】（1）解：∵∴圆O： ，点 在椭圆上，
又 ∴a=2，b=1，即 ：
（2）解：①直线l概率 ，设l：y=kx+m（ ，m＞0）
，
，
∴
又 ，又
∴
②设 ，由①知
又l与椭圆C相交，由②得过程知
∴
又
O到l距离d
∵
=
又 ∴
∴直线l方程：
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）由椭圆方程，待定系数法求出椭圆；（2）①联立直线，围与直线椭圆相切， ，求出k，m；②联立直线与椭圆方程，由弦长公式，点到直线距离公式求出面积。
19．【答案】（1）解：
∴ 无解
∴ 不存在“S”点
（2）解：
（3）解：
令
令
∴ 在 上有零点，则ln（x）在 上有零点
∴ 与 在区间 有在“S”点
【知识点】简单复合函数求导法则；函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【分析】（1）求导，联立方程；（2）导数应用，构造函数；（3）构造函数，再次求导，分析函数。
20．【答案】（1）解：∵ 对n=1，2，3，4成立
∵∴
（2）解：∵ 且 ，对n=2，3，….，m+1均成立
∴
即
∵∴
∴
又 ∴存在 ，使 ，对 成立
∴m=1时，
当 时，设 ，则
= ，
设
∵q-1＞0∴
∵
∴
设 ，设
∵
在 恒成立，∴
∴∴
∴ 对n=2，3，…，.m均成立，∴
∴
∴
【知识点】数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）有数列构建不等式；（2）根据m值分类论证，构造函数，应用导数，分析单调性。
1 / 12018年高考数学真题试卷（江苏卷）
一、填空题
1．（2018·江苏） 已知集合 ，那么 　 　.
【答案】
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为A={0，1，2，8}，B={-1，1，6，8}，则
【分析】找出集合A，B公共元素即可
2．（2018·江苏） 若复数 满足 ，其中 是虚数单位，则 的实部为　 　.
【答案】2
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：∵i·z=1+2i
得：z=
∴实部为2
【分析】Z=a+bi，(a，b∈R)，则a为实部，b为虚部。
3．（2018·江苏） 已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为　 　.
【答案】90
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：
【分析】将所有数字加起来除以总个数。
4．（2018·江苏）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 的值为　 　.
【答案】8
【知识点】循环结构；程序框图
【解析】【解答】解：i=1，s=1，i=3，s=2，i=5，s=4，i=7，s=8
【分析】模拟程序运行，即可得出运行后输出S的值。
5．（2018·江苏）函数 的定义域为　 　.
【答案】
【知识点】对数函数的概念与表示；不等式
【解析】【解答】解： ，即 。
【分析】偶次被开方数非负，得到不等式，解对数不等式。
6．（2018·江苏）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率是　 　.
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：
【分析】从5合产生中选2名 ，是2名女生 。
7．（2018·江苏）已知函数 的图像关于直线 对称，则 的值是　 　.
【答案】
【知识点】正弦函数的图象
【解析】【解答】解：
【分析】将 作整体看，正弦对称轴方程为 ，解出 ，由 的范围，得出 的值。
8．（2018·江苏）在平面直角坐标系 中，若双曲线 的右焦点 到一条渐近线的距离为 ，则其离心率的值是　 　
【答案】2
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的参数方程
【解析】【解答】解：右焦点F（C，0）到 的距离，
【分析】点到直线距离公式，得到焦点到渐近线的距离。
9．（2018·江苏）函数 满足 ，且在区间 上 ，则 的值为　 　
【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的周期性
【解析】【解答】解：
又
【分析】先算 ，再算
10．（2018·江苏）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为　 　
【答案】
【知识点】组合几何体的面积、体积问题；图形的对称性
【解析】【解答】解：此多面体为正八面体，是两个正四棱锥
【分析】由正方体对称性，可知多面体为正八面体。
二、解答题
11．（2018·江苏）若函数 在 内有且只有一个零点，则 在 上的最大值与最小值的和为　 　
【答案】-3
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：
当a≤0时，
∴
时，则在 为零点，舍去
当a＞0时， 递减， 递增，又 只有一个零点，
∴ 在 递增，（0，1）递减
最大值与最小值和为-3
【分析】先求导，根据a的不同值分类讨论，有且仅有一个零点，得到a=3，再分析 单调性，求出最值。
12．（2018·江苏）在平面直角坐标系 中， 为直线 上在第一象限内的点， 以 为直径的圆 与直线 交于另一点 ，若 ，则点 的横坐标为　 　
【答案】3
【知识点】平面向量坐标表示的应用
【解析】【解答】解： 又C为AB中点，
∴
设l的倾斜角为 ，
【分析】先求出 斜率，再联立方程组，求出 。
13．（2018·江苏）在 中，角 所对应的边分别为 ， 的平分线交 于点 ，且 ，则 的最小值为　 　
【答案】9
【知识点】平均值不等式
【解析】【解答】解：
当且仅当 .
故答案为：9
【分析】先由面积公式得到a，c关系，再用均值不等式，求出最值.
14．（2018·江苏）已知集合 ，将 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 ，记 为数列的前 项和，则使得 成立的 的最小值为　 　.
【答案】27
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：
不符
符合
所以n最小值27
【分析】列举法，用求和公式看符不符合题意。
15．（2018·江苏）在平行四边形 中，
求证：
（1） 平面
（2）平面 平面
【答案】（1）解：因为 ，又AB 面 ， 面
∴
（2）解：∵ ，∴四边形ABB1A1为菱形，
∴
又 ，
∴ ，
又
， ，
∴ ，
∴
∴
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）先在面 内找到直线 与AB 平行，得到线面平行。（2）在面 内找到两直线 ，BC与 垂直，则线面垂直，又线在面 内，则面
16．（2018·江苏）已知 为锐角， ， 。
（1）求 的值。
（2）求 的值。
【答案】（1）解：∵ 则
（2）解：由（1）可知， ，
，所以
即 ， =-2
【知识点】同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）同三角函数关系，得到 ，再用倍角公式。（2）配凑角，
17．（2018·江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 的一段圆弧 ( 为此圆弧的中点)和线段 构成，已知圆 的半径为40米，点 到 的距离为50米，先规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 .大棚Ⅱ内的地块形状为 要求 均在线段 上， 均在圆弧上，设 与 所成的角为θ
（1）用 分别表示矩形 和 的面积，并确定 的取值范围
（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3.求当 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.
【答案】（1）解：
当B，N重合时， 最小，此时
当C，P重合时， 最大，此时 ，所以
（2）解：设年总产值为y，甲种蔬菜单位面积年产值为4t，乙种蔬菜面积总产值为3t
∴
其中
设
令 ，
∴
当
当
∴当 时，总产值y最大
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】由图形，根据三角函数值，求出面积由导数求出单调性即可
18．（2018·江苏）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆C过点 ，焦点 ，圆O的直径为 .
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线 与圆O相切于第一象限内的点P.
①若直线 与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线 与椭圆C交于A、B两点.若 的面积为 ，求直线 的方程.
【答案】（1）解：∵∴圆O： ，点 在椭圆上，
又 ∴a=2，b=1，即 ：
（2）解：①直线l概率 ，设l：y=kx+m（ ，m＞0）
，
，
∴
又 ，又
∴
②设 ，由①知
又l与椭圆C相交，由②得过程知
∴
又
O到l距离d
∵
=
又 ∴
∴直线l方程：
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）由椭圆方程，待定系数法求出椭圆；（2）①联立直线，围与直线椭圆相切， ，求出k，m；②联立直线与椭圆方程，由弦长公式，点到直线距离公式求出面积。
19．（2018·江苏）记 分别为函数 的导函数.若存在 ，满足 且 ，则称 为函数 与 的一个“S点”.
（1）证明：函数 与 不存在“S点”.
（2）若函数 与 存在“S点”，求实数 的值.
（3）已知函数 ， ，对任意 ，判断是否存在 ，使函数 与 在区间 内存在”S点”，并说明理由.
【答案】（1）解：
∴ 无解
∴ 不存在“S”点
（2）解：
（3）解：
令
令
∴ 在 上有零点，则ln（x）在 上有零点
∴ 与 在区间 有在“S”点
【知识点】简单复合函数求导法则；函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【分析】（1）求导，联立方程；（2）导数应用，构造函数；（3）构造函数，再次求导，分析函数。
20．（2018·江苏）设{ }是首项为 ，公差为 的等差数列， 是首项 ，公比为q的等比数列
（1） 设 若 对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围
（2） 若 ， ， 证明：存在 ，使得 对
n=2，3，…， 均成立，并求 的取值范围（用 表示）。
【答案】（1）解：∵ 对n=1，2，3，4成立
∵∴
（2）解：∵ 且 ，对n=2，3，….，m+1均成立
∴
即
∵∴
∴
又 ∴存在 ，使 ，对 成立
∴m=1时，
当 时，设 ，则
= ，
设
∵q-1＞0∴
∵
∴
设 ，设
∵
在 恒成立，∴
∴∴
∴ 对n=2，3，…，.m均成立，∴
∴
∴
【知识点】数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）有数列构建不等式；（2）根据m值分类论证，构造函数，应用导数，分析单调性。
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