【精品解析】2018年高考理数真题试卷（全国Ⅰ卷）

2018年高考理数真题试卷（全国Ⅰ卷）
一、选择题：
1．（2018·全国Ⅰ卷理）设 ，则 =（　　）
A．0 B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：z= + = ，∴ ，
故答案为：C。
【分析】先由复数的乘除运算求出复数z，再由几何意义求模.
2．（2018·全国Ⅰ卷理）已知集合 ，则 RA=（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：A= ，
∴ RA={x| 1≤x≤2} ，
故答案为：B.
【分析】先解二次不等式求出集合A，再进行补集运算.
3．（2018·全国Ⅰ卷理）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例。得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是（　　）
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【答案】A
【知识点】概率的应用
【解析】【解答】解：经济增长一倍，A中种植收入应为2a 37%>a 60%，
∴种植收入增加，则A错。
故答案为：A
【分析】设建设前的经济收入为1，则建设后的经济收入为2，由建设前后的经济收入饼图对比，对各选项分析得到正确答案.
4．（2018·全国Ⅰ卷理）记 为等差数列 的前n项和，若 ，则a5=（　　）
A．-12 B．-10 C．10 D．12
【答案】B
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解： 3S3=S2+S4 S3+3a3=a3+a4 9a2=5a2+a3 4a2=a3 ，又 a1=2 ，
∴d=-3.
则 ，
故答案为：B。
【分析】由等差数列的的前n项和公式将条件列出关于公差d的方程，求出d，得到通项公式，再求值.
5．（2018·全国Ⅰ卷理）设函数 ，若 为奇函数，则曲线y=f(x)在点（0，0）处的切线方程为（　　）
A．y=-2x B．y=-x C．y=2x D．y=x
【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：∵ ，且 是奇函数，
∴a-1=0 a=1， .
∴ .
∴y-0=x-0 y=x .
故答案为：D.
【分析】由函数f(x)是奇函数，求出a=1得到函数的解析式，再由导数的几何意义求在点(0，0)处的切线方程。
6．（2018·全国Ⅰ卷理）在 中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解： = ，
故答案为：A。
【分析】以向量 和 为基底向量，由点E是AD的中点将向量 表示为 ，再由点D是BC的中点，将其表示为基底向量的线性表示形式.
7．（2018·全国Ⅰ卷理）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（　　）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】解：画出圆柱侧面展开图如图：
，
故答案为：B。
【分析】侧面上MN的最短距离就是圆柱的侧面展开图MCDE中的MN，其中MC=2，CN=4，在直角三角形MCN中求出MN.
8．（2018·全国Ⅰ卷理）设抛物线 的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为 的直线与C交于M，N两点，则 （　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】抛物线的应用
【解析】【解答】解：设 ，
∴ ，即 ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D。
【分析】将直线方程代入到抛物线方程中，消去y得到关于x的二次方程，结合韦达定理，由平面 向量的数量积的坐标运算求出值.
9．（2018·全国Ⅰ卷理）已知函数 ， .若 存在2个零点，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】由g（x）=0得f（x）=-x-a，作出函数f（x）和y=-x-a的图象如图：
当直线y=-x-a的截距-a≤1，即a≥-1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点，
故实数a的取值范围是[-1，+∞），
故答案为：C
【分析】作出分段函数的图象，函数g(x)有两个零点等价于f(x)的图象与直线y=-x-a有两个交点，结合图形得到a的范围.
10．（2018·全国Ⅰ卷理）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别记为 ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】几何概型
【解析】【解答】解：记三角形区域面积为S1，黑色部分面积为S2，AB=a，AC=b，BC=c.则c2=a2+b2，
∴S1= ab，S2= .
即S1=S2，
故答案为：A.
【分析】先求出三个部分的面积，再由几何概型概率公式求出概率，再比较大小.
11．（2018·全国Ⅰ卷理）已知双曲线C： ，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若 为直角三角形，则 =（　　）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【知识点】双曲线的应用
【解析】【解答】解：双曲线C：的渐近线方程为，渐近线夹角为60°， ，不妨设 ， ，∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】由于 不是直角，则只可能 ， 为直角，则由渐近线的方程求出斜率，得到MN的斜率，求出直线MN的方程，与渐近线方程联立求出M，N的坐标，再求|MN|.
12．（2018·全国Ⅰ卷理）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：如图截面，S=6 ，
故答案为：A.
【分析】由正方体的每条棱所在直线与平面 所成的角相等，得到平面 与其中一条对角线垂直，此时截面与相应侧面构成正三棱锥，再求出截面面积的最大值.
二、填空题
13．（2018·全国Ⅰ卷理）若 ， 满足约束条件 则 的最大值为　 　.
【答案】6
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：z=3x+2y，过点A（2，0）时，zmax=3 2+2 0=6.
【分析】作出平面区域，平移目标直线，得到最优解，求出最大值.
14．（2018·全国Ⅰ卷理）记 为数列 的前n项的和，若 ，则 =　 　.
【答案】-63
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：∵
，作差，
∴ ，
∴ ，
∴ 。
【分析】将n换成n-1得到另一个式子，两式相减得到数列的递推关系式，得到数列 为等比数列，求出通项公式求再求 .
15．（2018·全国Ⅰ卷理）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有　 　种.(用数字填写答案)
【答案】16
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】，没有女生入选有 种选法，
从6名学生中任意选3人有 种选法，
故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20-4=16种，
故答案为：16.
【分析】由至少有女生不入选，分成1女2男和3男两类，由组合数公式求选法种数.
16．（2018·全国Ⅰ卷理）已知函数 ，则 的最小值是　 　.
【答案】
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：由题意得：T=2π是 的一个周期。
只需要考虑函数在[0，2π)上的值域，
先求该函数在[0，2π)上的极值点
，
令 可得： 或
此时x= 或
∴ 的最小值只能在点x= ，π或 和边界点x=0中取到，计算可得
∴函数的最小值为：
【分析】求出函数的导数，由导数研究函数的单调性求出最值.
17．（2018·全国Ⅰ卷理）在平面四边形 中，
（1）求 ；
（2）若 求 .
【答案】（1）解：在 中，由正弦定理得 .
由题设知， ，所以 .
由题设知， ，所以 .
（2）解：由题设及（1）知， .
在 中，由余弦定理得
.
所以 .
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【分析】：(1)在三角形ABD中，由正弦定理求出 ，再由同角关系式求出 ；(2)由 ，求出 ，再在 中由余弦定理求出BC.
18．（2018·全国Ⅰ卷理）如图，四边形 为正方形， 分别为 的中点，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）解：由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，又 ，
∴BF⊥平面PEF.
∴又 平面ABFD，
平面PEF⊥平面ABFD.
（2）解：作PH⊥EF，垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.
以H为坐标原点， 的方向为y轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz.
由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE= .又PF=1，EF=2，故PE⊥PF.
可得 .
则 为平面ABFD的法向量.
设DP与平面ABFD所成角为 ，则 .
∴DP与平面ABFD所成角的正弦值为 .
【知识点】平面与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)在翻折过程中，作 于H，由 得到 ，从而得到面面垂直；(2)DP与平面所成的角就是 ，在三角形中求其正弦值.
19．（2018·全国Ⅰ卷理）设椭圆 的右焦点为 ，过 得直线 与 交于 两点，点 的坐标为 .
（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程；
（2）设 为坐标原点，证明： .
【答案】（1）解：由已知得 ，l的方程为x=1.
由已知可得，点A的坐标为 或 .
所以AM的方程为 或 .
（2）解：当l与x轴重合时， .
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以 .
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为 ， ，
则 ，直线MA，MB的斜率之和为 .由 得 .将 代入 得 .所以， .则 .
从而 ，故MA，MB的倾斜角互补，所以 .
综上， .
【知识点】椭圆的应用
【解析】【分析】(1)由椭圆方程得F的坐标，得到直线l的方程，代入椭圆方程中求出点A，B的坐标，再求出直线AM的方程；(2) 等价于直线MA，MB的斜率互为相反数，设出直线l的方程代入到椭圆的方程中，消去x得到关于y的二次方程，由韦达定理计算直线MA，MB的斜率的和为0，得证.
20．（2018·全国Ⅰ卷理）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验。设每件产品为不合格的概率为品p（ ），且各件产品是否为不合格品相互独立。
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为 ，求 的最大值点
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的 作为 的值。已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用
(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱的检验费用与赔偿费用的和记为 ，求 ；
(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【答案】（1）解：20件产品中恰有2件不合格品的概率为 .因此
.
令 ，得 .当 时， ；当 时， .
所以 的最大值点为 .
（2）解：由（1）知， .
（i）令 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知 ， ，即 .
所以 .
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于 ，故应该对余下的产品作检验.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)由20件产品恰有2件不合格的产品，则其余18件产品合格，得到f(p)的表达式，由导数研究函数的单调性求出最值；(2)由题意得到X的可能取值为2，27，求出X=2和X=27时对应的概率，得到分布列，再求期望值；(3)由于对每一箱产品都检验时费用为400元，由(2)中期望值为依据，则费用为900元，由此作出决定.
21．（2018·全国Ⅰ卷理）已知函数
（1）讨论 的单调性；
（2）若 存在两个极值点 ，证明：
【答案】（1）解： 的定义域为 ， .
若 ，则 ，当且仅当 ， 时 ，所以 在 单调递减.
若 ，令 得， 或 .
当 时， ；
当 时， .所以 在 单调递减，在 单调递增.
（2）解：由（1）知， 存在两个极值点当且仅当 .由于 的两个极值点 满足 ，所以 ，不妨设 ，则 .由于 ，
所以 等价于 .
设函数 ，由（1）知， 在 单调递减，又 ，从而当 时， .
所以 ，即 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)求出函数的导数，对a分类讨论研究函数的单调性；(2)当函数f(x)存在两个极值点时，则函数有导数有两个异号零点即导方程有两个相异实根，求出a的范围，不等式左边即相当于函数的导数，从而证明不等式.
三、选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（2018·全国Ⅰ卷理）在直角坐标系xOy中，曲线 的方程为 ，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
（1）求 的直角坐标方程
（2）若 与 有且仅有三个公共点，求 的方程
【答案】（1）解：由 ， 得 的直角坐标方程为
．
（2）解：由（1）知 是圆心为 ，半径为 的圆．
由题设知， 是过点 且关于 轴对称的两条射线．
记 轴右边的射线为 ， 轴左边的射线为 ．
由于 在圆 的外面，
故 与 有且仅有三个公共点等价于 与 只有一个公共点，且 与 有两个公共点，或 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点．
当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 ．
经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 只有一个公共点， 与 有两个公共点．
当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 ．
经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 没有公共点．
综上，所求 的方程为 ．
【知识点】简单曲线的极坐标方程
【解析】【分析】(1)由互化公式将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)曲线 是一条折线，两曲线有三个公共点，则折线的一条与圆相交，另一个与圆相切，由此求出k的值得到曲线 的方程.
四、选考题[选修4-5：不等式选讲]
23．（2018·全国Ⅰ卷理）已知
（1）当 时，求不等式 的解集
（2）若 时，不等式 成立，求 的取值范围
【答案】（1）解：当 时， ，即
故不等式 的解集为 ．
（2）解：当 时 成立等价于当 时 成立．
若 ，则当 时 ；
若 ， 的解集为 ，所以 ，故 ．
综上， 的取值范围为 ．
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】(1)通过对x分类讨论去掉绝对值，解不等式，求出解集；(2)不等式恒成立等价于f(x)-x>0对于 恒成立，即函数f(x)-x的最小值大于0，由此求出a的范围.
1 / 12018年高考理数真题试卷（全国Ⅰ卷）
一、选择题：
1．（2018·全国Ⅰ卷理）设 ，则 =（　　）
A．0 B． C．1 D．
2．（2018·全国Ⅰ卷理）已知集合 ，则 RA=（　　）
A． B．
C． D．
3．（2018·全国Ⅰ卷理）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例。得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是（　　）
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．（2018·全国Ⅰ卷理）记 为等差数列 的前n项和，若 ，则a5=（　　）
A．-12 B．-10 C．10 D．12
5．（2018·全国Ⅰ卷理）设函数 ，若 为奇函数，则曲线y=f(x)在点（0，0）处的切线方程为（　　）
A．y=-2x B．y=-x C．y=2x D．y=x
6．（2018·全国Ⅰ卷理）在 中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则 （　　）
A． B．
C． D．
7．（2018·全国Ⅰ卷理）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（　　）
A． B． C． D．2
8．（2018·全国Ⅰ卷理）设抛物线 的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为 的直线与C交于M，N两点，则 （　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．（2018·全国Ⅰ卷理）已知函数 ， .若 存在2个零点，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．（2018·全国Ⅰ卷理）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别记为 ，则（　　）
A． B． C． D．
11．（2018·全国Ⅰ卷理）已知双曲线C： ，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若 为直角三角形，则 =（　　）
A． B．3 C． D．4
12．（2018·全国Ⅰ卷理）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2018·全国Ⅰ卷理）若 ， 满足约束条件 则 的最大值为　 　.
14．（2018·全国Ⅰ卷理）记 为数列 的前n项的和，若 ，则 =　 　.
15．（2018·全国Ⅰ卷理）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有　 　种.(用数字填写答案)
16．（2018·全国Ⅰ卷理）已知函数 ，则 的最小值是　 　.
17．（2018·全国Ⅰ卷理）在平面四边形 中，
（1）求 ；
（2）若 求 .
18．（2018·全国Ⅰ卷理）如图，四边形 为正方形， 分别为 的中点，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求 与平面 所成角的正弦值.
19．（2018·全国Ⅰ卷理）设椭圆 的右焦点为 ，过 得直线 与 交于 两点，点 的坐标为 .
（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程；
（2）设 为坐标原点，证明： .
20．（2018·全国Ⅰ卷理）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验。设每件产品为不合格的概率为品p（ ），且各件产品是否为不合格品相互独立。
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为 ，求 的最大值点
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的 作为 的值。已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用
(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱的检验费用与赔偿费用的和记为 ，求 ；
(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
21．（2018·全国Ⅰ卷理）已知函数
（1）讨论 的单调性；
（2）若 存在两个极值点 ，证明：
三、选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（2018·全国Ⅰ卷理）在直角坐标系xOy中，曲线 的方程为 ，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
（1）求 的直角坐标方程
（2）若 与 有且仅有三个公共点，求 的方程
四、选考题[选修4-5：不等式选讲]
23．（2018·全国Ⅰ卷理）已知
（1）当 时，求不等式 的解集
（2）若 时，不等式 成立，求 的取值范围
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：z= + = ，∴ ，
故答案为：C。
【分析】先由复数的乘除运算求出复数z，再由几何意义求模.
2．【答案】B
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：A= ，
∴ RA={x| 1≤x≤2} ，
故答案为：B.
【分析】先解二次不等式求出集合A，再进行补集运算.
3．【答案】A
【知识点】概率的应用
【解析】【解答】解：经济增长一倍，A中种植收入应为2a 37%>a 60%，
∴种植收入增加，则A错。
故答案为：A
【分析】设建设前的经济收入为1，则建设后的经济收入为2，由建设前后的经济收入饼图对比，对各选项分析得到正确答案.
4．【答案】B
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解： 3S3=S2+S4 S3+3a3=a3+a4 9a2=5a2+a3 4a2=a3 ，又 a1=2 ，
∴d=-3.
则 ，
故答案为：B。
【分析】由等差数列的的前n项和公式将条件列出关于公差d的方程，求出d，得到通项公式，再求值.
5．【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：∵ ，且 是奇函数，
∴a-1=0 a=1， .
∴ .
∴y-0=x-0 y=x .
故答案为：D.
【分析】由函数f(x)是奇函数，求出a=1得到函数的解析式，再由导数的几何意义求在点(0，0)处的切线方程。
6．【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解： = ，
故答案为：A。
【分析】以向量 和 为基底向量，由点E是AD的中点将向量 表示为 ，再由点D是BC的中点，将其表示为基底向量的线性表示形式.
7．【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】解：画出圆柱侧面展开图如图：
，
故答案为：B。
【分析】侧面上MN的最短距离就是圆柱的侧面展开图MCDE中的MN，其中MC=2，CN=4，在直角三角形MCN中求出MN.
8．【答案】D
【知识点】抛物线的应用
【解析】【解答】解：设 ，
∴ ，即 ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D。
【分析】将直线方程代入到抛物线方程中，消去y得到关于x的二次方程，结合韦达定理，由平面 向量的数量积的坐标运算求出值.
9．【答案】C
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】由g（x）=0得f（x）=-x-a，作出函数f（x）和y=-x-a的图象如图：
当直线y=-x-a的截距-a≤1，即a≥-1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点，
故实数a的取值范围是[-1，+∞），
故答案为：C
【分析】作出分段函数的图象，函数g(x)有两个零点等价于f(x)的图象与直线y=-x-a有两个交点，结合图形得到a的范围.
10．【答案】A
【知识点】几何概型
【解析】【解答】解：记三角形区域面积为S1，黑色部分面积为S2，AB=a，AC=b，BC=c.则c2=a2+b2，
∴S1= ab，S2= .
即S1=S2，
故答案为：A.
【分析】先求出三个部分的面积，再由几何概型概率公式求出概率，再比较大小.
11．【答案】B
【知识点】双曲线的应用
【解析】【解答】解：双曲线C：的渐近线方程为，渐近线夹角为60°， ，不妨设 ， ，∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】由于 不是直角，则只可能 ， 为直角，则由渐近线的方程求出斜率，得到MN的斜率，求出直线MN的方程，与渐近线方程联立求出M，N的坐标，再求|MN|.
12．【答案】A
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：如图截面，S=6 ，
故答案为：A.
【分析】由正方体的每条棱所在直线与平面 所成的角相等，得到平面 与其中一条对角线垂直，此时截面与相应侧面构成正三棱锥，再求出截面面积的最大值.
13．【答案】6
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：z=3x+2y，过点A（2，0）时，zmax=3 2+2 0=6.
【分析】作出平面区域，平移目标直线，得到最优解，求出最大值.
14．【答案】-63
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：∵
，作差，
∴ ，
∴ ，
∴ 。
【分析】将n换成n-1得到另一个式子，两式相减得到数列的递推关系式，得到数列 为等比数列，求出通项公式求再求 .
15．【答案】16
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】，没有女生入选有 种选法，
从6名学生中任意选3人有 种选法，
故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20-4=16种，
故答案为：16.
【分析】由至少有女生不入选，分成1女2男和3男两类，由组合数公式求选法种数.
16．【答案】
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：由题意得：T=2π是 的一个周期。
只需要考虑函数在[0，2π)上的值域，
先求该函数在[0，2π)上的极值点
，
令 可得： 或
此时x= 或
∴ 的最小值只能在点x= ，π或 和边界点x=0中取到，计算可得
∴函数的最小值为：
【分析】求出函数的导数，由导数研究函数的单调性求出最值.
17．【答案】（1）解：在 中，由正弦定理得 .
由题设知， ，所以 .
由题设知， ，所以 .
（2）解：由题设及（1）知， .
在 中，由余弦定理得
.
所以 .
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【分析】：(1)在三角形ABD中，由正弦定理求出 ，再由同角关系式求出 ；(2)由 ，求出 ，再在 中由余弦定理求出BC.
18．【答案】（1）解：由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，又 ，
∴BF⊥平面PEF.
∴又 平面ABFD，
平面PEF⊥平面ABFD.
（2）解：作PH⊥EF，垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.
以H为坐标原点， 的方向为y轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz.
由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE= .又PF=1，EF=2，故PE⊥PF.
可得 .
则 为平面ABFD的法向量.
设DP与平面ABFD所成角为 ，则 .
∴DP与平面ABFD所成角的正弦值为 .
【知识点】平面与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)在翻折过程中，作 于H，由 得到 ，从而得到面面垂直；(2)DP与平面所成的角就是 ，在三角形中求其正弦值.
19．【答案】（1）解：由已知得 ，l的方程为x=1.
由已知可得，点A的坐标为 或 .
所以AM的方程为 或 .
（2）解：当l与x轴重合时， .
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以 .
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为 ， ，
则 ，直线MA，MB的斜率之和为 .由 得 .将 代入 得 .所以， .则 .
从而 ，故MA，MB的倾斜角互补，所以 .
综上， .
【知识点】椭圆的应用
【解析】【分析】(1)由椭圆方程得F的坐标，得到直线l的方程，代入椭圆方程中求出点A，B的坐标，再求出直线AM的方程；(2) 等价于直线MA，MB的斜率互为相反数，设出直线l的方程代入到椭圆的方程中，消去x得到关于y的二次方程，由韦达定理计算直线MA，MB的斜率的和为0，得证.
20．【答案】（1）解：20件产品中恰有2件不合格品的概率为 .因此
.
令 ，得 .当 时， ；当 时， .
所以 的最大值点为 .
（2）解：由（1）知， .
（i）令 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知 ， ，即 .
所以 .
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于 ，故应该对余下的产品作检验.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)由20件产品恰有2件不合格的产品，则其余18件产品合格，得到f(p)的表达式，由导数研究函数的单调性求出最值；(2)由题意得到X的可能取值为2，27，求出X=2和X=27时对应的概率，得到分布列，再求期望值；(3)由于对每一箱产品都检验时费用为400元，由(2)中期望值为依据，则费用为900元，由此作出决定.
21．【答案】（1）解： 的定义域为 ， .
若 ，则 ，当且仅当 ， 时 ，所以 在 单调递减.
若 ，令 得， 或 .
当 时， ；
当 时， .所以 在 单调递减，在 单调递增.
（2）解：由（1）知， 存在两个极值点当且仅当 .由于 的两个极值点 满足 ，所以 ，不妨设 ，则 .由于 ，
所以 等价于 .
设函数 ，由（1）知， 在 单调递减，又 ，从而当 时， .
所以 ，即 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)求出函数的导数，对a分类讨论研究函数的单调性；(2)当函数f(x)存在两个极值点时，则函数有导数有两个异号零点即导方程有两个相异实根，求出a的范围，不等式左边即相当于函数的导数，从而证明不等式.
22．【答案】（1）解：由 ， 得 的直角坐标方程为
．
（2）解：由（1）知 是圆心为 ，半径为 的圆．
由题设知， 是过点 且关于 轴对称的两条射线．
记 轴右边的射线为 ， 轴左边的射线为 ．
由于 在圆 的外面，
故 与 有且仅有三个公共点等价于 与 只有一个公共点，且 与 有两个公共点，或 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点．
当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 ．
经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 只有一个公共点， 与 有两个公共点．
当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 ．
经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 没有公共点．
综上，所求 的方程为 ．
【知识点】简单曲线的极坐标方程
【解析】【分析】(1)由互化公式将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)曲线 是一条折线，两曲线有三个公共点，则折线的一条与圆相交，另一个与圆相切，由此求出k的值得到曲线 的方程.
23．【答案】（1）解：当 时， ，即
故不等式 的解集为 ．
（2）解：当 时 成立等价于当 时 成立．
若 ，则当 时 ；
若 ， 的解集为 ，所以 ，故 ．
综上， 的取值范围为 ．
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】(1)通过对x分类讨论去掉绝对值，解不等式，求出解集；(2)不等式恒成立等价于f(x)-x>0对于 恒成立，即函数f(x)-x的最小值大于0，由此求出a的范围.
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