2018年高考理数真题试卷（全国Ⅱ卷）
一、选择题
1．（2018·全国Ⅱ卷理） （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】
故答案为：D
【分析】由复数的除法运算可得.
2．（2018·全国Ⅱ卷理）已知集合 .则A中元素的个数为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】A
【知识点】集合中元素的个数问题
【解析】【解答】集合A及点集元素是（0，0）（0，1）（-1，0）（1，0）（0，-1）（1，1）（1，-1）（-1，1）（-1，-1）共9个元素；
故答案为：A
【分析】由集合知识，可得集合A为点集，满足不程式 ，画出图象取整点可得。
3．（2018·全国Ⅱ卷理）函数 的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象与图象变化；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】f(x)= 因为f(x)= =-f(x) 所以f(x)为奇函数，排除A，又x ， ， ，但指数增长快些，
故答案为：B
【分析】由函数的性质：定义域、值域、单调性、奇偶性可得。
4．（2018·全国Ⅱ卷理）已知向量，满足=1， = 1 ，则·(2-)=（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】 .
故答案为：B
【分析】由已知代入运算即可。
5．（2018·全国Ⅱ卷理）双曲线 （a>0，b>0）的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】∵e= = ，
∴3= =2
∴
∴渐近线方程为：y=
故答案为：A
【分析】由离心率 可得 ，进而可求 ，即可求渐近线方程。
6．（2018·全国Ⅱ卷理）在 中， 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】∵
∴AB2=1+52-2×5×（ ）=26+6=32
∴AB=
故答案为：A
【分析】先由 用二倍角公式可求 ，再由余弦定理可得。
7．（2018·全国Ⅱ卷理）为计算 ，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（ ）
A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4
【答案】B
【知识点】循环结构；程序框图
【解析】【解答】依题意：i=1时，N=0+ ，T=0+
i=2时，N=0+ + ，T= ，依次下去…
∴i=i+2
故答案为：B
【分析】由程序框图知识可知。
8．（2018·全国Ⅱ卷理）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】不超过30的素数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共10个
记任取两数和为30为事件A
P（A）=
故答案为：C
【分析】在不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个数，从10个数中任选2个共有 种，则记其和等于30为事件A的结果总数为 种.
9．（2018·全国Ⅱ卷理）在长方形ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1= ，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】以点D为坐标原点，以DA，DC， 分别为 轴， 轴， 轴建系，
=（1，1， ）A（1，0，0）D1（0，0 ）
∴
故答案为：C
【分析】以点D为坐标原点，以DA，DC， 分别为 轴， 轴， 轴建系，根据异面直线所成的角求解即可.
10．（2018·全国Ⅱ卷理）若 在 是减函数，则a的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的性质
【解析】【解答】∵
由0+2kπ≤x+≤π+2kπ，（k∈Z）得：-+2kπ≤x≤+2kπ（k∈Z）
因此[ a，a] [-，]
∴[ a，a] [-，]
∴ a﹤a
a≥-，a≤
∴0﹤a≤
从而a的最大值为.
故答案为：A
【分析】利用两角和差的正弦公式化简，再结合已知条件求出最大值.
11．（2018·全国Ⅱ卷理）已知 是定义为 的奇函数，满足 。若 ，则 （ ）
A．-50 B．0 C．2 D．50
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】∵f（1-x）=f（1+x）
∴y=f（x）图象关于x=1对称，又是奇函数
∴f（x）是一个周期函数，且T=4
又f（1）=2 f（x）= f（2-x）
∴f（2）=f（0）=0
f（3）=f（-1）=-f（1）=-2 f（4）=f（0）=0
∴f（1）=2，f（2）=0，f（3）=-2，f（4）=0
∴原式f（1）+f（2）+…+ f（50）=f（1）+f（2）=2
故答案为：C
【分析】根据函数的对称性、奇偶性求出函数的周期数是4.
12．（2018·全国Ⅱ卷理）已知 、 是椭圆C： 的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为 的直线上， 为等腰三角形， ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】∵过A直线斜率为
∴tanα=
即
∴
∴
∴e=
故答案为：D
【分析】记 ，则 依题意可求 ，再由正弦定理得到 ，代入数据，可得离心率。
二、填空题。
13．（2018·全国Ⅱ卷理）曲线 在点 处的切线方程为 .
【答案】y=2x
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】y=2ln（x+1）
∴在点（0，0）处的切线方程为：y=2x
故答案为：y=2x
【分析】由曲线在某点处的导数的几何意义，得切线的斜率，由点斜式写出切线方程。
14．（2018·全国Ⅱ卷理）若x，y满足约束条件 ，则 的最大值为 .
【答案】9
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】依题意：画出可行域
当z=x+y，过点A（5，4）时，z有最大值zmax=9
故答案为：9
【分析】先画出可行域，由线性目标函数经过区域可得 。
15．（2018·全国Ⅱ卷理）已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0则sin（α+β）= 。
【答案】-
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】∵①
②
①2+②2得：
1+1+2sin（α+β）=1
∴sin（α+β）=-
故答案为：-
【分析】把两式平方相加即可。
16．（2018·全国Ⅱ卷理）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为 ，SA与圆锥底面所成角为45°。若△SAB的面积为 ，则圆锥的侧面积为 。
【答案】
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图：设母线长为l
∵
∴
∴
2r=
r=
∴
【分析】先由 ，可得 可由 的面积等于 ，可求圆锥母线长，再由线面角 可求圆锥的高和底面圆的半径，代入圆锥侧面积公式可求。
三、解答题
17．（2018·全国Ⅱ卷理）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=-7，S3=-15.
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值。
【答案】（1）设数列的公差为d，由题意有：
a1=-7，S3=3a2=-15
a2=-5，d=2
∴an=a1+（n-1）d=-7+2（n-1）=2n-9
所以{an}的通项公式为：an=2n-9
（2）由（1）知数列{an}的前n项和
Sn=n（n-8）=n2-8n=（n-4）2-16≥-16
当n=4时取等，所以Sn的最小值为-16
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据等差数列a1，S3可求得数列的公差，进而可求{an}的通项公式；
（2）由前n项和公式易得Sn，再根据二次函数求最值.
18．（2018·全国Ⅱ卷理）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额 (单位：亿元)的折线图。
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了 与时间变量t的两个线性回归模型，根据2000年至2016年的数据（时间变量 的值依次为1，2，…….，17）建立模型①： .根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：
（1） 分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资的预测值；
（2） 你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由。
【答案】（1）由题意可知模型①中，2018年对应的t=19，
预测值 =-30.4+13.5×19=226.1亿元
此时基础设施的投资预测值为226.1亿元；
模型②中，2018年对应的t=9，
预测值 =99+17.5×9=256.5亿元
此时基础设施的投资预测值为：256.5亿元；
（2）用模型②预测得到的2018年的基础设施的投资更可靠。因为从折线图上看，基础设施的投资在2009年到2010年发生了很大程度上的突变，所以用模型①预测2018年的会有一定程度的失真。
【知识点】线性回归方程
【解析】【分析】（1）根据函数表达式可求预估值；（2）看图易知可靠性.
19．（2018·全国Ⅱ卷理）设抛物线
的焦点为F，过F点且斜率
的直线
与
交于
两点，
.
（1）求
的方程。
（2）求过点
且与
的准线相切的圆的方程.
【答案】（1）设直线l 的方程：y=k(x-1)将其代入抛物线C：y2=4x得到：
K2x2-（2k2+4）x+k2=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），△=（2k2+4）-4k2=16k2+16＞0
X1+x2=2+
而 ，且k＞0
解得：k=1
所以直线l的方程：y=x-1
（2）由（1）得A，B的中点坐标为：（3，2），所以AB的垂直平分线方程为y-2=-（x-3），即y=-x+5
设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则
解得： 或
因此所求圆的方程为：（x-3）2+（y-2）2=16或（x-11）2+（y+6）2=144
【知识点】抛物线的应用
【解析】【分析】（1）由弦长公式，直线与抛物线相交知识易得l的方程；（2）找圆心，求半径。
20．（2018·全国Ⅱ卷理）如图，在三角锥 中， ， ， 为 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）PA=PC=AC=4 且O是AC的中点
PO⊥AC
∵AB=BC=2 ，AC=4，
∴
∴∠ABC=90° 连接BO
则OB=OC
∴PO2+BO2=PB2
PO⊥OB，PO⊥OC
OB∩OC=O
∴PO⊥平面ABC
（2）∵PO⊥平面ABC，∴PO⊥OB
∴AB=BC=2 O是AC的中点
∴OB⊥AC OB⊥平面PAC
如图所示以O为坐标原点， 为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系O-xyz
则P（0，0， ） A（，0，-2，0），C（0，2，0），B（2，0，0）
平面PAC法向量为 =（1，0，0）设M（x，2-x，0）
平面PAM法向量为 =（1，λ，μ），
=（0，2， ）， = （x，4-x，0）
则 即
即
得到 ，∴x=-4（舍）
，x=
即M
∴PAM的法向量
记PC与平面PAM所成的角为θ
∴
即PC与平面PAM所成的角为的正弦值为 .
【知识点】直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理易得；（2）先由条件建系，找到点M的位置，再用公式求线面角.
21．（2018·全国Ⅱ卷理）已知函数
（1）若a=1，证明：当 时，
（2）若 在 只有一个零点，求 .
【答案】（1）a=1时，f（x）=ex-x2
欲证x≥0时，f（x）≥等价于证明：
令 则
∴g（x）是（0，+∞）上的减函数，
所以g（x）≤g（0）=1，即
所以ex-x2≥1，即f（x）≥1
（2）当a﹥0时， 令h’（x）=0 解得x=2，h（2）=
当x∈（0，2），h’（x）﹤0，x∈（2，+∞），h’（x）﹥0；∴h（x）在（0，2）单调递减，∴在（2，+∞）单调递增.
（i）0﹤a﹤ 时，h（2）=1- ﹥0，此时h（x）在（0，+∞）上无零点，不合题意；（ii）a= 时，h（2）=0，h（x）在（0，+∞）上只有一个零点，符合题意；（iii）a﹥ 时，h（0）=1﹥0，h（2）=1- ﹤0；由（1）知：x﹥0，ex﹥x2+1 ∴ex= ﹥ 令 ﹥ax2，解得：x﹥4 ，当b﹥4 时，eb﹥ ﹥ab2取b满足b﹥2，且b﹥4 ，则 所以此时h（x）在（0，+∞）上有两个零点，不合题意；综上：a= 时，f（x）在（0，+∞）上只有一个零点.
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）利用导数证明不等式；（2）运用函数零点，求参数的值.
四、选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（2018·全国Ⅱ卷理）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，直线 的参数方程为 ( 为参数)
（1）求 和 的直角坐标方程
（2）若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ，求 的斜率
【答案】（1）曲线C的直角坐标方程：
当cosα≠0，l的直角坐标方程为：xtanα y+2 tanα=0
当cosα=0，l的直角坐标方程为：x=1
（2）将直线l的参数方程代入曲线C得：
设l与曲线C交于A，B两点
点（1，2）恰好在直线l上，且是A，B两点的中点
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2
则有参数的几何意义：
故 =0
于是直线l的斜率k=tanα=-2
【知识点】参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）由参数方程与普通方程的互化易得；（2）由中点坐标公式易得.
五、选考题[选修4-5：不等式选讲]
23．（2018·全国Ⅱ卷理）设函数
（1） 当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，求 的取值范围
【答案】（1）a=1时，时，由
当x≥2时，由f（x）≥0得：6-2x≥0，解得：x≤3；
当-1＜x＜x时，f（x）≥0；
当x≤-1时，由f（x）≥0得：4+2x≥0，解得x≥-2
所以f（x）≥0的解集为{x|-2≤x≤3}
（2）若f（x）≤1，即 恒成立
也就是x∈R， 恒成立
当x=2时取等，所以x∈R， 等价于
解得：a≥2或a≤-6
所以a的取值范围(-∞，-6] ∪[2，+∞）
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）由绝对值不等式的解法易得；（2）由绝对值几何意义转化易得.
1 / 12018年高考理数真题试卷（全国Ⅱ卷）
一、选择题
1．（2018·全国Ⅱ卷理） （ ）
A． B． C． D．
2．（2018·全国Ⅱ卷理）已知集合 .则A中元素的个数为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
3．（2018·全国Ⅱ卷理）函数 的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2018·全国Ⅱ卷理）已知向量，满足=1， = 1 ，则·(2-)=（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
5．（2018·全国Ⅱ卷理）双曲线 （a>0，b>0）的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（2018·全国Ⅱ卷理）在 中， 则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2018·全国Ⅱ卷理）为计算 ，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（ ）
A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4
8．（2018·全国Ⅱ卷理）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（2018·全国Ⅱ卷理）在长方形ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1= ，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2018·全国Ⅱ卷理）若 在 是减函数，则a的最大值是（ ）
A． B． C． D．
11．（2018·全国Ⅱ卷理）已知 是定义为 的奇函数，满足 。若 ，则 （ ）
A．-50 B．0 C．2 D．50
12．（2018·全国Ⅱ卷理）已知 、 是椭圆C： 的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为 的直线上， 为等腰三角形， ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题。
13．（2018·全国Ⅱ卷理）曲线 在点 处的切线方程为 .
14．（2018·全国Ⅱ卷理）若x，y满足约束条件 ，则 的最大值为 .
15．（2018·全国Ⅱ卷理）已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0则sin（α+β）= 。
16．（2018·全国Ⅱ卷理）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为 ，SA与圆锥底面所成角为45°。若△SAB的面积为 ，则圆锥的侧面积为 。
三、解答题
17．（2018·全国Ⅱ卷理）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=-7，S3=-15.
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值。
18．（2018·全国Ⅱ卷理）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额 (单位：亿元)的折线图。
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了 与时间变量t的两个线性回归模型，根据2000年至2016年的数据（时间变量 的值依次为1，2，…….，17）建立模型①： .根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：
（1） 分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资的预测值；
（2） 你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由。
19．（2018·全国Ⅱ卷理）设抛物线
的焦点为F，过F点且斜率
的直线
与
交于
两点，
.
（1）求
的方程。
（2）求过点
且与
的准线相切的圆的方程.
20．（2018·全国Ⅱ卷理）如图，在三角锥 中， ， ， 为 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值.
21．（2018·全国Ⅱ卷理）已知函数
（1）若a=1，证明：当 时，
（2）若 在 只有一个零点，求 .
四、选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（2018·全国Ⅱ卷理）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，直线 的参数方程为 ( 为参数)
（1）求 和 的直角坐标方程
（2）若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ，求 的斜率
五、选考题[选修4-5：不等式选讲]
23．（2018·全国Ⅱ卷理）设函数
（1） 当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，求 的取值范围
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】
故答案为：D
【分析】由复数的除法运算可得.
2．【答案】A
【知识点】集合中元素的个数问题
【解析】【解答】集合A及点集元素是（0，0）（0，1）（-1，0）（1，0）（0，-1）（1，1）（1，-1）（-1，1）（-1，-1）共9个元素；
故答案为：A
【分析】由集合知识，可得集合A为点集，满足不程式 ，画出图象取整点可得。
3．【答案】B
【知识点】函数的图象与图象变化；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】f(x)= 因为f(x)= =-f(x) 所以f(x)为奇函数，排除A，又x ， ， ，但指数增长快些，
故答案为：B
【分析】由函数的性质：定义域、值域、单调性、奇偶性可得。
4．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】 .
故答案为：B
【分析】由已知代入运算即可。
5．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】∵e= = ，
∴3= =2
∴
∴渐近线方程为：y=
故答案为：A
【分析】由离心率 可得 ，进而可求 ，即可求渐近线方程。
6．【答案】A
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】∵
∴AB2=1+52-2×5×（ ）=26+6=32
∴AB=
故答案为：A
【分析】先由 用二倍角公式可求 ，再由余弦定理可得。
7．【答案】B
【知识点】循环结构；程序框图
【解析】【解答】依题意：i=1时，N=0+ ，T=0+
i=2时，N=0+ + ，T= ，依次下去…
∴i=i+2
故答案为：B
【分析】由程序框图知识可知。
8．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】不超过30的素数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共10个
记任取两数和为30为事件A
P（A）=
故答案为：C
【分析】在不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个数，从10个数中任选2个共有 种，则记其和等于30为事件A的结果总数为 种.
9．【答案】C
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】以点D为坐标原点，以DA，DC， 分别为 轴， 轴， 轴建系，
=（1，1， ）A（1，0，0）D1（0，0 ）
∴
故答案为：C
【分析】以点D为坐标原点，以DA，DC， 分别为 轴， 轴， 轴建系，根据异面直线所成的角求解即可.
10．【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的性质
【解析】【解答】∵
由0+2kπ≤x+≤π+2kπ，（k∈Z）得：-+2kπ≤x≤+2kπ（k∈Z）
因此[ a，a] [-，]
∴[ a，a] [-，]
∴ a﹤a
a≥-，a≤
∴0﹤a≤
从而a的最大值为.
故答案为：A
【分析】利用两角和差的正弦公式化简，再结合已知条件求出最大值.
11．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】∵f（1-x）=f（1+x）
∴y=f（x）图象关于x=1对称，又是奇函数
∴f（x）是一个周期函数，且T=4
又f（1）=2 f（x）= f（2-x）
∴f（2）=f（0）=0
f（3）=f（-1）=-f（1）=-2 f（4）=f（0）=0
∴f（1）=2，f（2）=0，f（3）=-2，f（4）=0
∴原式f（1）+f（2）+…+ f（50）=f（1）+f（2）=2
故答案为：C
【分析】根据函数的对称性、奇偶性求出函数的周期数是4.
12．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】∵过A直线斜率为
∴tanα=
即
∴
∴
∴e=
故答案为：D
【分析】记 ，则 依题意可求 ，再由正弦定理得到 ，代入数据，可得离心率。
13．【答案】y=2x
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】y=2ln（x+1）
∴在点（0，0）处的切线方程为：y=2x
故答案为：y=2x
【分析】由曲线在某点处的导数的几何意义，得切线的斜率，由点斜式写出切线方程。
14．【答案】9
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】依题意：画出可行域
当z=x+y，过点A（5，4）时，z有最大值zmax=9
故答案为：9
【分析】先画出可行域，由线性目标函数经过区域可得 。
15．【答案】-
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】∵①
②
①2+②2得：
1+1+2sin（α+β）=1
∴sin（α+β）=-
故答案为：-
【分析】把两式平方相加即可。
16．【答案】
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图：设母线长为l
∵
∴
∴
2r=
r=
∴
【分析】先由 ，可得 可由 的面积等于 ，可求圆锥母线长，再由线面角 可求圆锥的高和底面圆的半径，代入圆锥侧面积公式可求。
17．【答案】（1）设数列的公差为d，由题意有：
a1=-7，S3=3a2=-15
a2=-5，d=2
∴an=a1+（n-1）d=-7+2（n-1）=2n-9
所以{an}的通项公式为：an=2n-9
（2）由（1）知数列{an}的前n项和
Sn=n（n-8）=n2-8n=（n-4）2-16≥-16
当n=4时取等，所以Sn的最小值为-16
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据等差数列a1，S3可求得数列的公差，进而可求{an}的通项公式；
（2）由前n项和公式易得Sn，再根据二次函数求最值.
18．【答案】（1）由题意可知模型①中，2018年对应的t=19，
预测值 =-30.4+13.5×19=226.1亿元
此时基础设施的投资预测值为226.1亿元；
模型②中，2018年对应的t=9，
预测值 =99+17.5×9=256.5亿元
此时基础设施的投资预测值为：256.5亿元；
（2）用模型②预测得到的2018年的基础设施的投资更可靠。因为从折线图上看，基础设施的投资在2009年到2010年发生了很大程度上的突变，所以用模型①预测2018年的会有一定程度的失真。
【知识点】线性回归方程
【解析】【分析】（1）根据函数表达式可求预估值；（2）看图易知可靠性.
19．【答案】（1）设直线l 的方程：y=k(x-1)将其代入抛物线C：y2=4x得到：
K2x2-（2k2+4）x+k2=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），△=（2k2+4）-4k2=16k2+16＞0
X1+x2=2+
而 ，且k＞0
解得：k=1
所以直线l的方程：y=x-1
（2）由（1）得A，B的中点坐标为：（3，2），所以AB的垂直平分线方程为y-2=-（x-3），即y=-x+5
设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则
解得： 或
因此所求圆的方程为：（x-3）2+（y-2）2=16或（x-11）2+（y+6）2=144
【知识点】抛物线的应用
【解析】【分析】（1）由弦长公式，直线与抛物线相交知识易得l的方程；（2）找圆心，求半径。
20．【答案】（1）PA=PC=AC=4 且O是AC的中点
PO⊥AC
∵AB=BC=2 ，AC=4，
∴
∴∠ABC=90° 连接BO
则OB=OC
∴PO2+BO2=PB2
PO⊥OB，PO⊥OC
OB∩OC=O
∴PO⊥平面ABC
（2）∵PO⊥平面ABC，∴PO⊥OB
∴AB=BC=2 O是AC的中点
∴OB⊥AC OB⊥平面PAC
如图所示以O为坐标原点， 为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系O-xyz
则P（0，0， ） A（，0，-2，0），C（0，2，0），B（2，0，0）
平面PAC法向量为 =（1，0，0）设M（x，2-x，0）
平面PAM法向量为 =（1，λ，μ），
=（0，2， ）， = （x，4-x，0）
则 即
即
得到 ，∴x=-4（舍）
，x=
即M
∴PAM的法向量
记PC与平面PAM所成的角为θ
∴
即PC与平面PAM所成的角为的正弦值为 .
【知识点】直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理易得；（2）先由条件建系，找到点M的位置，再用公式求线面角.
21．【答案】（1）a=1时，f（x）=ex-x2
欲证x≥0时，f（x）≥等价于证明：
令 则
∴g（x）是（0，+∞）上的减函数，
所以g（x）≤g（0）=1，即
所以ex-x2≥1，即f（x）≥1
（2）当a﹥0时， 令h’（x）=0 解得x=2，h（2）=
当x∈（0，2），h’（x）﹤0，x∈（2，+∞），h’（x）﹥0；∴h（x）在（0，2）单调递减，∴在（2，+∞）单调递增.
（i）0﹤a﹤ 时，h（2）=1- ﹥0，此时h（x）在（0，+∞）上无零点，不合题意；（ii）a= 时，h（2）=0，h（x）在（0，+∞）上只有一个零点，符合题意；（iii）a﹥ 时，h（0）=1﹥0，h（2）=1- ﹤0；由（1）知：x﹥0，ex﹥x2+1 ∴ex= ﹥ 令 ﹥ax2，解得：x﹥4 ，当b﹥4 时，eb﹥ ﹥ab2取b满足b﹥2，且b﹥4 ，则 所以此时h（x）在（0，+∞）上有两个零点，不合题意；综上：a= 时，f（x）在（0，+∞）上只有一个零点.
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）利用导数证明不等式；（2）运用函数零点，求参数的值.
22．【答案】（1）曲线C的直角坐标方程：
当cosα≠0，l的直角坐标方程为：xtanα y+2 tanα=0
当cosα=0，l的直角坐标方程为：x=1
（2）将直线l的参数方程代入曲线C得：
设l与曲线C交于A，B两点
点（1，2）恰好在直线l上，且是A，B两点的中点
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2
则有参数的几何意义：
故 =0
于是直线l的斜率k=tanα=-2
【知识点】参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）由参数方程与普通方程的互化易得；（2）由中点坐标公式易得.
23．【答案】（1）a=1时，时，由
当x≥2时，由f（x）≥0得：6-2x≥0，解得：x≤3；
当-1＜x＜x时，f（x）≥0；
当x≤-1时，由f（x）≥0得：4+2x≥0，解得x≥-2
所以f（x）≥0的解集为{x|-2≤x≤3}
（2）若f（x）≤1，即 恒成立
也就是x∈R， 恒成立
当x=2时取等，所以x∈R， 等价于
解得：a≥2或a≤-6
所以a的取值范围(-∞，-6] ∪[2，+∞）
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）由绝对值不等式的解法易得；（2）由绝对值几何意义转化易得.
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