2018年高考理数真题试卷（天津卷）
一、选择题
1．（2018·天津）设全集为R，集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ 则
故答案为：B
【分析】先求B的补集，再与A取交集.
2．（2018·天津）设变量x，y满足约束条件 则目标函数 的最大值为（ ）
A．6 B．19 C．21 D．45
【答案】C
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：将 平移至-x+y=1与x+y=5的交点（2，3）时，
故答案为：C
【分析】先画出可行域，再将目标函数平移至点（2，3）时z有最大值.
3．（2018·天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：N=20，i=2，T=0.
∴T=1，i=3，i＜5
∴
∴i=4，i＜5
∴
∴T=2，i=5≥5
即T=2
故答案为：B
【分析】按照程序方框图，一步计算，直到i≥5为止.
4．（2018·天津）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：∵
故|x |< ”是“ x3<1 ”的充分不必要条件，
故答案为：A
【分析】先解绝对值不等式，再解高次不等式，找到集合之间关系.
5．（2018·天津）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用对数函数的单调性比较对数值的大小
【解析】【解答】解：
则a，b，c的大小关系为：c>a>b
故答案为：D
【分析】先判断出b比1小，再将比1都大的a，c化为同底，由对函数的单调性，可比较a，c的大小.
6．（2018·天津）将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间 上单调递增
B．在区间 上单调递减
C．在区间 上单调递增
D．在区间 上单调递减
【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：
∵
故答案为：A
【分析】先求出平移后的解析式，再对A、B、C、D进行检验.
7．（2018·天津）已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为 和 ，且 ，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：
∴
∴双曲线渐近线方程为
又 即
则
则b=3
∴双曲线方程为
故答案为：C
【分析】先由离心率，将双曲线方程用一个参数a表示，再利用通径两端点到渐近线距离之和为6，求出a，即可得到双曲线方程.
8．（2018·天津）如图，在平面四边形ABCD中， ， ， ， . 若点E为边CD上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量数量积的性质
【解析】【解答】解：以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系，则
设 ∴
又
∴
∴
又E在CD上
设
又
又 ，当 时， 有最大值
故答案为：A
【分析】先建系，利用垂直，求出C，再利用数量积，得到二次函数，求出最值.
二、填空题：
9．（2018·天津）i是虚数单位，复数
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：
【分析】将分子，分母乘以分母的共轭复数.
10．（2018·天津）在 的展开式中， 的系数为
【答案】
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：∵ 的通式为
∴
则
【分析】先写出二项式的通式，令x的指数为2，求出是通式中第3项，则可得到系数.
11．（2018·天津）已知正方体 的棱长为1，除面 外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥 的体积为
【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：∵四凌锥M-EFGH为所有棱长均为 的正四棱锥.
∴
【分析】判断四棱锥为正四棱锥，高为棱长的一半.
12．（2018·天津）已知圆 的圆心为C，直线 ( 为参数)与该圆相交于A，B两点，则 的面积为 .
【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程
【解析】【解答】解：∵
又直线
∴圆心到直线距离 ，又
即
【分析】先将参数方程化为普通方程，再用勾股定理算弦长.
13．（2018·天津）已知 ，且 ，则 的最小值为 .
【答案】
【知识点】函数的最值及其几何意义
【解析】【解答】解：∵a-3b+6=0 a-3b=-6
又
【分析】对 用均值不等式.
14．（2018·天津）已知 ，函数 若关于 的方程 恰有2个互异的实数解，则 的取值范围是 .
【答案】（4，8）
【知识点】根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】解：∵
∴
=0与 =0要么无根，要么有同号根，同号根时在范围内.
则
4a8
【分析】两方程若有根，正好是合题意的同号根，则分类讨论.
三、解答题：
15．（2018·天津）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知 .
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和 的值.
【答案】解：.解：（Ⅰ） 中，由正弦定理
∴
又
（Ⅱ） 中，∵a=2，c=3， 则
由
∵∴
∴
∴
【知识点】正弦定理
【解析】【分析】（Ⅰ）由正弦定理，得到A.B关系，代入等式，解出 .
（Ⅱ）由余弦定理，得到b，再由正弦定理得到 ，从而 由二倍角公式算出.
16．（2018·天津）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
【答案】解：解：（Ⅰ）由已知甲乙丙三个部门员工人数之比为3：2：2，∴从甲乙丙三个部门中分别抽到3人，2人，2人（Ⅱ）（i）随机变量 取值可能为0.1.2.3∴随机变量x的分布列为
X 0 1 2 3
P
∴x的数学期望为 （ii）解：设事件B为：“抽取3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”，事件C为：“抽取3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则 由①知 ， 则： 则事件A发生的概率为 .
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（Ⅰ）分层抽样对应成比例；（Ⅱ）概率分布列通式写出来，再算期望。
17．（2018·天津）如图， 且AD=2BC， ， 且EG=AD， 且CD=2FG， ，DA=DC=DG=2.
（Ⅰ）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证： MN//平面CDE ；
（Ⅱ）求二面角 的正弦值；
（Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.
【答案】解：（Ⅰ）以D为原点，DA，DC，DG为x，y，z轴正方问建立间直角坐标系，则设 为面CDE法向量则 令z=-1∴又 ，则 ，又 ∴（Ⅱ） 设 是面BCE法向量，则 z=1∴设 是面BCF法向量，则 令z=1∴∴则二面角E-BC-F正弦值为 （Ⅲ）设线段DP=h，h∈[0，2]，则P（0，0，h）∴ 为平面ADGE的一个法向量，则 则
【知识点】直线与平面平行的性质；直线与平面所成的角
【解析】【分析】建立空间直角坐标系。
（Ⅰ）计算面CDE法向量，法向量与直线MN方向向量垂直，得证；
（Ⅱ）计算面BCE，面BCF法向量，两平面法向量夹角正弦值与二面角，平面角正弦值相等；
（Ⅲ）计算 ， 夹角，解方程。
18．（2018·天津）设 是等比数列，公比大于0，其前n项和为 ， 是等差数列.已知 ， ， ， .
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 的前n项和为 ，
（i）求 ；
（ii）证明 .
【答案】解：（Ⅰ）设等比数列 公比为q，由 ，
∵q>0，∴q=2，则 。
设等差数列 公差为d，由 ，由 ，
则
∴ 。
∴ 通项公式为 ，通项公式为 ，
（Ⅱ）(i)解由（1） ，
故 ，
(ii) ， = 。
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（Ⅰ）由等差数列，等比数列通项公式写出；
（Ⅱ）（i）等比数列求和公式求出 ，再用分组求和算出 ；
（ii）将进行化简，然后裂项相消，证明结论。
19．（2018·天津）设椭圆 (a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为 ，点A的坐标为 ，且 .
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l： 与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若 (O为原点)，求k的值.
【答案】解：解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，则 ，
又 。
由 ，从而ab=6.
∴a=3.b=2.
即椭圆方程为： 。
（Ⅱ）设 ，由已知 。
故 ，
又
从而
∴
又 ，
又 。 ，
又 ，
∴ 。
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆几何性质，得到a，b。
（Ⅱ）由已知条件得到P，Q纵坐标关系，联立方程组，将P，Q纵坐标分别用k表示。
20．（2018·天津）已知函数 ， ，其中a>1.
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线平行，证明 ；
（Ⅲ）证明当 时，存在直线l，使l是曲线 的切线，也是曲线 的切线.
【答案】解：（Ⅰ）∵h(x)= ，
令 0， 。
由a>1，则h(x)在 递减，在 递增。
（Ⅱ）证明：由 ，则 在点 处切线斜率为 ，由 ，则 在点 处切线斜率为
又 = 两边取以a为底的对称，
则 ，
∴ 。
（Ⅲ）证明：曲线 在点 切线 ，
曲线 在点 处切线
，
要证明当 时，存在直线l，使l是曲线 的切线，也是曲线 的切线，只需证明当 时，存在 ，使得 ， 重合。即需证明：
当 时， ，
由 得：
代入 得： ③，
因此 ，关于 方程③存在实数解即可。
设 ，
则 时， 存在零点， ，
时， ，
时，
又 ， ，
，而 ，
∴ 在 ，
∴ 。
∵ ，
∴ -1.
∴ = 。
下面证明存在实数t，使得 。
，
当 时：有 = 。
∴存在t，使得 ，
∴ 时，存在 。
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】( Ⅰ)导数运算，找到导函数的零点。(Ⅱ)（i）利用导函数意义，证明切线斜率相导。(ii)先将题意转化为方程③有解，再构造函数证明 有零点。
1 / 12018年高考理数真题试卷（天津卷）
一、选择题
1．（2018·天津）设全集为R，集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．（2018·天津）设变量x，y满足约束条件 则目标函数 的最大值为（ ）
A．6 B．19 C．21 D．45
3．（2018·天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2018·天津）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2018·天津）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．（2018·天津）将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间 上单调递增
B．在区间 上单调递减
C．在区间 上单调递增
D．在区间 上单调递减
7．（2018·天津）已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为 和 ，且 ，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2018·天津）如图，在平面四边形ABCD中， ， ， ， . 若点E为边CD上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：
9．（2018·天津）i是虚数单位，复数
10．（2018·天津）在 的展开式中， 的系数为
11．（2018·天津）已知正方体 的棱长为1，除面 外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥 的体积为
12．（2018·天津）已知圆 的圆心为C，直线 ( 为参数)与该圆相交于A，B两点，则 的面积为 .
13．（2018·天津）已知 ，且 ，则 的最小值为 .
14．（2018·天津）已知 ，函数 若关于 的方程 恰有2个互异的实数解，则 的取值范围是 .
三、解答题：
15．（2018·天津）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知 .
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和 的值.
16．（2018·天津）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
17．（2018·天津）如图， 且AD=2BC， ， 且EG=AD， 且CD=2FG， ，DA=DC=DG=2.
（Ⅰ）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证： MN//平面CDE ；
（Ⅱ）求二面角 的正弦值；
（Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.
18．（2018·天津）设 是等比数列，公比大于0，其前n项和为 ， 是等差数列.已知 ， ， ， .
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 的前n项和为 ，
（i）求 ；
（ii）证明 .
19．（2018·天津）设椭圆 (a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为 ，点A的坐标为 ，且 .
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l： 与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若 (O为原点)，求k的值.
20．（2018·天津）已知函数 ， ，其中a>1.
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线平行，证明 ；
（Ⅲ）证明当 时，存在直线l，使l是曲线 的切线，也是曲线 的切线.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ 则
故答案为：B
【分析】先求B的补集，再与A取交集.
2．【答案】C
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：将 平移至-x+y=1与x+y=5的交点（2，3）时，
故答案为：C
【分析】先画出可行域，再将目标函数平移至点（2，3）时z有最大值.
3．【答案】B
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：N=20，i=2，T=0.
∴T=1，i=3，i＜5
∴
∴i=4，i＜5
∴
∴T=2，i=5≥5
即T=2
故答案为：B
【分析】按照程序方框图，一步计算，直到i≥5为止.
4．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：∵
故|x |< ”是“ x3<1 ”的充分不必要条件，
故答案为：A
【分析】先解绝对值不等式，再解高次不等式，找到集合之间关系.
5．【答案】D
【知识点】利用对数函数的单调性比较对数值的大小
【解析】【解答】解：
则a，b，c的大小关系为：c>a>b
故答案为：D
【分析】先判断出b比1小，再将比1都大的a，c化为同底，由对函数的单调性，可比较a，c的大小.
6．【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：
∵
故答案为：A
【分析】先求出平移后的解析式，再对A、B、C、D进行检验.
7．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：
∴
∴双曲线渐近线方程为
又 即
则
则b=3
∴双曲线方程为
故答案为：C
【分析】先由离心率，将双曲线方程用一个参数a表示，再利用通径两端点到渐近线距离之和为6，求出a，即可得到双曲线方程.
8．【答案】A
【知识点】平面向量数量积的性质
【解析】【解答】解：以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系，则
设 ∴
又
∴
∴
又E在CD上
设
又
又 ，当 时， 有最大值
故答案为：A
【分析】先建系，利用垂直，求出C，再利用数量积，得到二次函数，求出最值.
9．【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：
【分析】将分子，分母乘以分母的共轭复数.
10．【答案】
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：∵ 的通式为
∴
则
【分析】先写出二项式的通式，令x的指数为2，求出是通式中第3项，则可得到系数.
11．【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：∵四凌锥M-EFGH为所有棱长均为 的正四棱锥.
∴
【分析】判断四棱锥为正四棱锥，高为棱长的一半.
12．【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程
【解析】【解答】解：∵
又直线
∴圆心到直线距离 ，又
即
【分析】先将参数方程化为普通方程，再用勾股定理算弦长.
13．【答案】
【知识点】函数的最值及其几何意义
【解析】【解答】解：∵a-3b+6=0 a-3b=-6
又
【分析】对 用均值不等式.
14．【答案】（4，8）
【知识点】根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】解：∵
∴
=0与 =0要么无根，要么有同号根，同号根时在范围内.
则
4a8
【分析】两方程若有根，正好是合题意的同号根，则分类讨论.
15．【答案】解：.解：（Ⅰ） 中，由正弦定理
∴
又
（Ⅱ） 中，∵a=2，c=3， 则
由
∵∴
∴
∴
【知识点】正弦定理
【解析】【分析】（Ⅰ）由正弦定理，得到A.B关系，代入等式，解出 .
（Ⅱ）由余弦定理，得到b，再由正弦定理得到 ，从而 由二倍角公式算出.
16．【答案】解：解：（Ⅰ）由已知甲乙丙三个部门员工人数之比为3：2：2，∴从甲乙丙三个部门中分别抽到3人，2人，2人（Ⅱ）（i）随机变量 取值可能为0.1.2.3∴随机变量x的分布列为
X 0 1 2 3
P
∴x的数学期望为 （ii）解：设事件B为：“抽取3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”，事件C为：“抽取3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则 由①知 ， 则： 则事件A发生的概率为 .
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（Ⅰ）分层抽样对应成比例；（Ⅱ）概率分布列通式写出来，再算期望。
17．【答案】解：（Ⅰ）以D为原点，DA，DC，DG为x，y，z轴正方问建立间直角坐标系，则设 为面CDE法向量则 令z=-1∴又 ，则 ，又 ∴（Ⅱ） 设 是面BCE法向量，则 z=1∴设 是面BCF法向量，则 令z=1∴∴则二面角E-BC-F正弦值为 （Ⅲ）设线段DP=h，h∈[0，2]，则P（0，0，h）∴ 为平面ADGE的一个法向量，则 则
【知识点】直线与平面平行的性质；直线与平面所成的角
【解析】【分析】建立空间直角坐标系。
（Ⅰ）计算面CDE法向量，法向量与直线MN方向向量垂直，得证；
（Ⅱ）计算面BCE，面BCF法向量，两平面法向量夹角正弦值与二面角，平面角正弦值相等；
（Ⅲ）计算 ， 夹角，解方程。
18．【答案】解：（Ⅰ）设等比数列 公比为q，由 ，
∵q>0，∴q=2，则 。
设等差数列 公差为d，由 ，由 ，
则
∴ 。
∴ 通项公式为 ，通项公式为 ，
（Ⅱ）(i)解由（1） ，
故 ，
(ii) ， = 。
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（Ⅰ）由等差数列，等比数列通项公式写出；
（Ⅱ）（i）等比数列求和公式求出 ，再用分组求和算出 ；
（ii）将进行化简，然后裂项相消，证明结论。
19．【答案】解：解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，则 ，
又 。
由 ，从而ab=6.
∴a=3.b=2.
即椭圆方程为： 。
（Ⅱ）设 ，由已知 。
故 ，
又
从而
∴
又 ，
又 。 ，
又 ，
∴ 。
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆几何性质，得到a，b。
（Ⅱ）由已知条件得到P，Q纵坐标关系，联立方程组，将P，Q纵坐标分别用k表示。
20．【答案】解：（Ⅰ）∵h(x)= ，
令 0， 。
由a>1，则h(x)在 递减，在 递增。
（Ⅱ）证明：由 ，则 在点 处切线斜率为 ，由 ，则 在点 处切线斜率为
又 = 两边取以a为底的对称，
则 ，
∴ 。
（Ⅲ）证明：曲线 在点 切线 ，
曲线 在点 处切线
，
要证明当 时，存在直线l，使l是曲线 的切线，也是曲线 的切线，只需证明当 时，存在 ，使得 ， 重合。即需证明：
当 时， ，
由 得：
代入 得： ③，
因此 ，关于 方程③存在实数解即可。
设 ，
则 时， 存在零点， ，
时， ，
时，
又 ， ，
，而 ，
∴ 在 ，
∴ 。
∵ ，
∴ -1.
∴ = 。
下面证明存在实数t，使得 。
，
当 时：有 = 。
∴存在t，使得 ，
∴ 时，存在 。
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】( Ⅰ)导数运算，找到导函数的零点。(Ⅱ)（i）利用导函数意义，证明切线斜率相导。(ii)先将题意转化为方程③有解，再构造函数证明 有零点。
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