2018年高考数学真题试卷（浙江卷）
一、选择题
1．（2018·浙江）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则 （ ）
A． B．{1，3}
C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5}
【答案】C
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：因为全集 ， ，所以根据补集的定义得 ，
故答案为：C.
【分析】根据补集的定义直接求解： UA是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合．
2．（2018·浙江）双曲线 的焦点坐标是（ ）
A．( ，0)，( ，0) B．( 2，0)，(2，0)
C．(0， )，(0， ) D．(0， 2)，(0，2)
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线方程为 ，所以焦点坐标可设为 ，
因为 ，所以焦点坐标为 ，
故答案为：B.
【分析】求得双曲线的a，b，由c=，求得c=2，即可得到所求焦点坐标．
3．（2018·浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】详解：根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为
故答案为：C.
【分析】直接利用三视图的复原图求出几何体的体积．注意画出图形，结合图中数据即可求出它的体积．
4．（2018·浙江）复数 (i为虚数单位)的共轭复数是（ ）
A．1+i B．1 i C． 1+i D． 1 i
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】详解： ，∴共轭复数为 ，
故答案为：B.
【分析】由复数的除法运算化简复数为a+bi（a，b∈R）的形式，则其共轭复数可求．
5．（2018·浙江）函数y= sin2x的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：令 ，
因为 ，所以 为奇函数，排除选项A，B；
因为 时， ，所以排除选项C，
故答案为：D.
【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果．可根据三角函数图象及其性质，利用排除法即可．
6．（2018·浙江）已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】详解：因为 ，所以根据线面平行的判定定理得 .
由 不能得出 与 内任一直线平行，所以 是 的充分不必要条件，
故答案为：A.
【分析】根据线面平行的定义和性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．当命题“若p则q”为真时，可表示为p q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．
7．（2018·浙江）设0
ξ 0 1 2
P
则当p在（0，1）内增大时，（ ）
A．D（ξ）减小 B．D（ξ）增大
C．D（ξ）先减小后增大 D．D（ξ）先增大后减小
【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】详解： ，
，
，∴ 先增后减，
故答案为：D.
【分析】求出随机变量ξ的分布列与方差，再讨论D（ξ）的单调情况．解题的关键是掌握离散型随机变量的数学期望与方差.
8．（2018·浙江）已知四棱锥S ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S AB C的平面角为θ3，则（ ）
A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1
C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ1
【答案】D
【知识点】异面直线及其所成的角；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】详解：设O为正方形ABCD的中心，M为AB中点，过E作BC的平行线EF，交CD于F，过O作ON垂直EF于N，连接SO，SN，OM，则SO垂直于底面ABCD，OM垂直于AB，
因此
从而
因为 ，所以 即 ，
故答案为：D.
【分析】根据图形的特征作出三个角，表示出三个角的正弦或正切值，根据三角函数的单调性即可得出三个角的大小．
9．（2018·浙江）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为 ，向量b满足b2 4e·b+3=0，则|a b|的最小值是（ ）
A． 1 B． +1 C．2 D．2
【答案】A
【知识点】平面向量数量积的性质
【解析】【解答】详解：设 ，
则由 得 ，
由 得
因此 的最小值为圆心 到直线 的距离 减去半径1，为
故答案为：A.
【分析】则向量b的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，再由已知得到向量a的终点在不含端点O的两条射线y=± （x＞0）上，利用直线和圆的位置关系可得答案．
10．（2018·浙江）已知 成等比数列，且 ．若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；等比数列概念与表示；数列的应用
【解析】【解答】a1，a2，a3，a4 成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，a1＞1，设公比为q
当q>0时 ， a1+a2+a3+a4>a1+a2+a3>ln(a1+a2+a3) ，不成立；
即a1>a3，a2当q=-1时 ， a1+a2+a3+a4=0，ln(a1+a2+a3) >0，等式不成立，所以q≠-1；
当q<-1时 ， a1+a2+a3+a4<0，ln(a1+a2+a3) >0，a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)不成立，
当q∈（-1，0）时，a1>a3>0，a2故答案为：B
【分析】利用等比数列的性质以及对数函数的单调性，通过数列的公比的讨论分析判断即可．
二、填空题
11．（2018·浙江）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为 ， ， ，则 当 时， ， ．
【答案】8；11
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】详解：
【分析】直接利用方程组以及z的值，求解即可．解题的关键是掌握方程组的解法.
12．（2018·浙江）若 满足约束条件 则 的最小值是 ，最大值是 ．
【答案】-2；8
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】详解：作可行域，如图中阴影部分所示，则直线 过点A(2，2)时 取最大值8，过点B(4，-2)时 取最小值-2.
【分析】】作出题中不等式组表示的平面区域，将目标函数z=x+3y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，然后求解最优解得到结果．
13．（2018·浙江）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a= ，b=2，A=60°，则sin B= ，c= ．
【答案】；3
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】详解：由正弦定理得 ，所以
由余弦定理得 （负值舍去）.
【分析】由正弦定理能求出sinB，由余弦定理能求出c．正弦定理：①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
14．（2018·浙江）二项式 的展开式的常数项是 ．
【答案】7
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】详解：二项式 的展开式的通项公式为 ，
令 得 ，故所求的常数项为
【分析】利用二项式定理写出二项展开式的通项并整理，由x的指数为0求得r值，则答案可求．
15．（2018·浙江）已知λ∈R，函数f(x)= ，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是 ．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是 ．
【答案】(1，4)；
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象
【解析】【解答】详解：由题意得 或 ，所以 或 ，即 ，不等式f(x)<0的解集是
当 时， ，此时 ，即在 上有两个零点；当 时， ，由 在 上只能有一个零点得 .综上， 的取值范围为 .
【分析】利用分段函数转化求解不等式的解集即可；数形结合，通过函数的零点得到不等式求解即可．
16．（2018·浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成 个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
【答案】1260
【知识点】基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】详解：若不取零，则排列数为 若取零，则排列数为
因此一共有 个没有重复数字的四位数.
【分析】可先从1，3，5，7，9中任取2个数字，然后通过0是否存在，分类讨论，求解即可．
17．（2018·浙江）已知点P(0，1)，椭圆 +y2=m(m>1)上两点A，B满足 =2 ，则当m= 时，点B横坐标的绝对值最大．
【答案】5
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】详解：设 ，由 得
因为A，B在椭圆上，所以
，
与 对应相减得 ，当且仅当 时取最大值.
【分析】设点的坐标：A（x1，y1），B（x2，y2），运用向量共线的坐标表示，以及点满足椭圆方程，求得y1，y2，点B横坐标表示成m的函数，
运用二次函数的最值求法，可得所求最大值和m的值．
三、解答题
18．（2018·浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（ ）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）= ，求cosβ的值．
【答案】解：（Ⅰ）由角 的终边过点 得 ，
所以 .
（Ⅱ）由角 的终边过点 得 ，
由 得 .
由 得 ，
所以 或
【知识点】三角函数的化简求值；两角和与差的余弦公式
【解析】【分析】（Ⅰ）利用三角函数的定义求sin α，再利用诱导公式，则sin（α+π）的值可得；
（Ⅱ）由已知条件即可求sinα，cosα，cos（α+β），再由配角法cosβ=cos[（α+β）-α]展开后代值计算得答案．
19．（2018·浙江）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．
（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；
（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．
【答案】解：（Ⅰ）由 得 ，
所以 .
故 .
由 ， 得 ，
由 得 ，
由 ，得 ，所以 ，故 .
因此 平面 .
（Ⅱ）如图，过点 作 ，交直线 于点 ，连结 .
由 平面 得平面 平面 ，
由 得 平面 ，
所以 是 与平面 所成的角
由 得 ，
所以 ，故 .
因此，直线 与平面 所成的角的正弦值是 .
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（I）先证得AB1⊥A1B1，AB1⊥B1C1，利用直线和平面垂直的判定可得AB1⊥平面A1B1C1；
（II）建立适当的空间坐标系，求出平面ABB1的法向量，用空间向量求直线与平面的夹角即可得出线面角的大小．
20．（2018·浙江）已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1 bn）an}的前n项和为2n2+n．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．
【答案】解：（Ⅰ）由 是 的等差中项得 ，
所以 ，
解得 .
由 得 ，
因为 ，所以 .
（Ⅱ）设 ，数列 前n项和为 .
由 解得 .
由（Ⅰ）可知 ，
所以 ，
故 ，
.
设 ，
所以 ，
因此 ，
又 ，所以
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的应用；数列的求和
【解析】【分析】（Ⅰ）运用等比数列和等差数列性质，列方程求解公比q；
（Ⅱ）设cn=（bn+1-bn）an=（bn+1-bn）2n-1，运用数列的递推式可得cn=4n-1，再由数列的恒等式求得bn，运用错位相减法，可得所求数列的通项公式．
21．（2018·浙江）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
（Ⅱ）若P是半椭圆x2+ =1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ）设 ， ， ．
因为 ， 的中点在抛物线上，所以 ， 为方程
即 的两个不同的实数根．
所以 ．
因此， 垂直于 轴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
所以 ， ．
因此， 的面积 ．
因为 ，所以 ．
因此， 面积的取值范围是
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；抛物线的应用；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（Ⅰ）设出点的坐标，运用中点坐标公式可得M的坐标，由中点在抛物线上，代入化简整理，由韦达定理即可得到结论；
（Ⅱ）先表示出△PAB面积，再由配方和换元法，可得面积S关于新元的三次函数，运用单调性可得所求范围．
22．（2018·浙江）已知函数f(x)= lnx．
（Ⅰ）若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8 8ln2；
（Ⅱ）若a≤3 4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点．
【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）的导函数 ，由 得 ，因为 ，所以 ．由基本不等式得 ．因为 ，所以 ．由题意得 ．设 ，则 ，所以
x （0，16） 16 （16，+∞）
g'（x） - 0 +
g（x） ↘ 2-4ln2 ↗
所以g（x）在[256，+∞）上单调递增故 ，即 ．（Ⅱ）令m= ，n= ，则f（m）–km–a>|a|+k–k–a≥0，f（n）–kn–a< ≤ <0，所以，存在x0∈（m，n）使f（x0）=kx0+a，所以，对于任意的a∈R及k∈（0，+∞），直线y=kx+a与曲线y=f（x）有公共点．由f（x）=kx+a得 ．设h（x）= ，则h′（x）= ，其中g（x）= ．由（Ⅰ）可知g（x）≥g（16），又a≤3–4ln2，故–g（x）–1+a≤–g（16）–1+a=–3+4ln2+a≤0，所以h′（x）≤0，即函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，因此方程f（x）–kx–a=0至多1个实根．综上，当a≤3–4ln2时，对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】解题的关键是掌握利用导数研究函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力.
1 / 12018年高考数学真题试卷（浙江卷）
一、选择题
1．（2018·浙江）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则 （ ）
A． B．{1，3}
C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5}
2．（2018·浙江）双曲线 的焦点坐标是（ ）
A．( ，0)，( ，0) B．( 2，0)，(2，0)
C．(0， )，(0， ) D．(0， 2)，(0，2)
3．（2018·浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．（2018·浙江）复数 (i为虚数单位)的共轭复数是（ ）
A．1+i B．1 i C． 1+i D． 1 i
5．（2018·浙江）函数y= sin2x的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2018·浙江）已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2018·浙江）设0ξ 0 1 2
P
则当p在（0，1）内增大时，（ ）
A．D（ξ）减小 B．D（ξ）增大
C．D（ξ）先减小后增大 D．D（ξ）先增大后减小
8．（2018·浙江）已知四棱锥S ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S AB C的平面角为θ3，则（ ）
A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1
C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ1
9．（2018·浙江）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为 ，向量b满足b2 4e·b+3=0，则|a b|的最小值是（ ）
A． 1 B． +1 C．2 D．2
10．（2018·浙江）已知 成等比数列，且 ．若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2018·浙江）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为 ， ， ，则 当 时， ， ．
12．（2018·浙江）若 满足约束条件 则 的最小值是 ，最大值是 ．
13．（2018·浙江）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a= ，b=2，A=60°，则sin B= ，c= ．
14．（2018·浙江）二项式 的展开式的常数项是 ．
15．（2018·浙江）已知λ∈R，函数f(x)= ，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是 ．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是 ．
16．（2018·浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成 个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
17．（2018·浙江）已知点P(0，1)，椭圆 +y2=m(m>1)上两点A，B满足 =2 ，则当m= 时，点B横坐标的绝对值最大．
三、解答题
18．（2018·浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（ ）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）= ，求cosβ的值．
19．（2018·浙江）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．
（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；
（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．
20．（2018·浙江）已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1 bn）an}的前n项和为2n2+n．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．
21．（2018·浙江）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
（Ⅱ）若P是半椭圆x2+ =1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．
22．（2018·浙江）已知函数f(x)= lnx．
（Ⅰ）若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8 8ln2；
（Ⅱ）若a≤3 4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：因为全集 ， ，所以根据补集的定义得 ，
故答案为：C.
【分析】根据补集的定义直接求解： UA是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合．
2．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线方程为 ，所以焦点坐标可设为 ，
因为 ，所以焦点坐标为 ，
故答案为：B.
【分析】求得双曲线的a，b，由c=，求得c=2，即可得到所求焦点坐标．
3．【答案】C
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】详解：根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为
故答案为：C.
【分析】直接利用三视图的复原图求出几何体的体积．注意画出图形，结合图中数据即可求出它的体积．
4．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】详解： ，∴共轭复数为 ，
故答案为：B.
【分析】由复数的除法运算化简复数为a+bi（a，b∈R）的形式，则其共轭复数可求．
5．【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：令 ，
因为 ，所以 为奇函数，排除选项A，B；
因为 时， ，所以排除选项C，
故答案为：D.
【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果．可根据三角函数图象及其性质，利用排除法即可．
6．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】详解：因为 ，所以根据线面平行的判定定理得 .
由 不能得出 与 内任一直线平行，所以 是 的充分不必要条件，
故答案为：A.
【分析】根据线面平行的定义和性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．当命题“若p则q”为真时，可表示为p q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．
7．【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】详解： ，
，
，∴ 先增后减，
故答案为：D.
【分析】求出随机变量ξ的分布列与方差，再讨论D（ξ）的单调情况．解题的关键是掌握离散型随机变量的数学期望与方差.
8．【答案】D
【知识点】异面直线及其所成的角；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】详解：设O为正方形ABCD的中心，M为AB中点，过E作BC的平行线EF，交CD于F，过O作ON垂直EF于N，连接SO，SN，OM，则SO垂直于底面ABCD，OM垂直于AB，
因此
从而
因为 ，所以 即 ，
故答案为：D.
【分析】根据图形的特征作出三个角，表示出三个角的正弦或正切值，根据三角函数的单调性即可得出三个角的大小．
9．【答案】A
【知识点】平面向量数量积的性质
【解析】【解答】详解：设 ，
则由 得 ，
由 得
因此 的最小值为圆心 到直线 的距离 减去半径1，为
故答案为：A.
【分析】则向量b的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，再由已知得到向量a的终点在不含端点O的两条射线y=± （x＞0）上，利用直线和圆的位置关系可得答案．
10．【答案】B
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；等比数列概念与表示；数列的应用
【解析】【解答】a1，a2，a3，a4 成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，a1＞1，设公比为q
当q>0时 ， a1+a2+a3+a4>a1+a2+a3>ln(a1+a2+a3) ，不成立；
即a1>a3，a2当q=-1时 ， a1+a2+a3+a4=0，ln(a1+a2+a3) >0，等式不成立，所以q≠-1；
当q<-1时 ， a1+a2+a3+a4<0，ln(a1+a2+a3) >0，a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)不成立，
当q∈（-1，0）时，a1>a3>0，a2故答案为：B
【分析】利用等比数列的性质以及对数函数的单调性，通过数列的公比的讨论分析判断即可．
11．【答案】8；11
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】详解：
【分析】直接利用方程组以及z的值，求解即可．解题的关键是掌握方程组的解法.
12．【答案】-2；8
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】详解：作可行域，如图中阴影部分所示，则直线 过点A(2，2)时 取最大值8，过点B(4，-2)时 取最小值-2.
【分析】】作出题中不等式组表示的平面区域，将目标函数z=x+3y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，然后求解最优解得到结果．
13．【答案】；3
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】详解：由正弦定理得 ，所以
由余弦定理得 （负值舍去）.
【分析】由正弦定理能求出sinB，由余弦定理能求出c．正弦定理：①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
14．【答案】7
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】详解：二项式 的展开式的通项公式为 ，
令 得 ，故所求的常数项为
【分析】利用二项式定理写出二项展开式的通项并整理，由x的指数为0求得r值，则答案可求．
15．【答案】(1，4)；
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象
【解析】【解答】详解：由题意得 或 ，所以 或 ，即 ，不等式f(x)<0的解集是
当 时， ，此时 ，即在 上有两个零点；当 时， ，由 在 上只能有一个零点得 .综上， 的取值范围为 .
【分析】利用分段函数转化求解不等式的解集即可；数形结合，通过函数的零点得到不等式求解即可．
16．【答案】1260
【知识点】基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】详解：若不取零，则排列数为 若取零，则排列数为
因此一共有 个没有重复数字的四位数.
【分析】可先从1，3，5，7，9中任取2个数字，然后通过0是否存在，分类讨论，求解即可．
17．【答案】5
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】详解：设 ，由 得
因为A，B在椭圆上，所以
，
与 对应相减得 ，当且仅当 时取最大值.
【分析】设点的坐标：A（x1，y1），B（x2，y2），运用向量共线的坐标表示，以及点满足椭圆方程，求得y1，y2，点B横坐标表示成m的函数，
运用二次函数的最值求法，可得所求最大值和m的值．
18．【答案】解：（Ⅰ）由角 的终边过点 得 ，
所以 .
（Ⅱ）由角 的终边过点 得 ，
由 得 .
由 得 ，
所以 或
【知识点】三角函数的化简求值；两角和与差的余弦公式
【解析】【分析】（Ⅰ）利用三角函数的定义求sin α，再利用诱导公式，则sin（α+π）的值可得；
（Ⅱ）由已知条件即可求sinα，cosα，cos（α+β），再由配角法cosβ=cos[（α+β）-α]展开后代值计算得答案．
19．【答案】解：（Ⅰ）由 得 ，
所以 .
故 .
由 ， 得 ，
由 得 ，
由 ，得 ，所以 ，故 .
因此 平面 .
（Ⅱ）如图，过点 作 ，交直线 于点 ，连结 .
由 平面 得平面 平面 ，
由 得 平面 ，
所以 是 与平面 所成的角
由 得 ，
所以 ，故 .
因此，直线 与平面 所成的角的正弦值是 .
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（I）先证得AB1⊥A1B1，AB1⊥B1C1，利用直线和平面垂直的判定可得AB1⊥平面A1B1C1；
（II）建立适当的空间坐标系，求出平面ABB1的法向量，用空间向量求直线与平面的夹角即可得出线面角的大小．
20．【答案】解：（Ⅰ）由 是 的等差中项得 ，
所以 ，
解得 .
由 得 ，
因为 ，所以 .
（Ⅱ）设 ，数列 前n项和为 .
由 解得 .
由（Ⅰ）可知 ，
所以 ，
故 ，
.
设 ，
所以 ，
因此 ，
又 ，所以
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的应用；数列的求和
【解析】【分析】（Ⅰ）运用等比数列和等差数列性质，列方程求解公比q；
（Ⅱ）设cn=（bn+1-bn）an=（bn+1-bn）2n-1，运用数列的递推式可得cn=4n-1，再由数列的恒等式求得bn，运用错位相减法，可得所求数列的通项公式．
21．【答案】解：（Ⅰ）设 ， ， ．
因为 ， 的中点在抛物线上，所以 ， 为方程
即 的两个不同的实数根．
所以 ．
因此， 垂直于 轴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
所以 ， ．
因此， 的面积 ．
因为 ，所以 ．
因此， 面积的取值范围是
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；抛物线的应用；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（Ⅰ）设出点的坐标，运用中点坐标公式可得M的坐标，由中点在抛物线上，代入化简整理，由韦达定理即可得到结论；
（Ⅱ）先表示出△PAB面积，再由配方和换元法，可得面积S关于新元的三次函数，运用单调性可得所求范围．
22．【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）的导函数 ，由 得 ，因为 ，所以 ．由基本不等式得 ．因为 ，所以 ．由题意得 ．设 ，则 ，所以
x （0，16） 16 （16，+∞）
g'（x） - 0 +
g（x） ↘ 2-4ln2 ↗
所以g（x）在[256，+∞）上单调递增故 ，即 ．（Ⅱ）令m= ，n= ，则f（m）–km–a>|a|+k–k–a≥0，f（n）–kn–a< ≤ <0，所以，存在x0∈（m，n）使f（x0）=kx0+a，所以，对于任意的a∈R及k∈（0，+∞），直线y=kx+a与曲线y=f（x）有公共点．由f（x）=kx+a得 ．设h（x）= ，则h′（x）= ，其中g（x）= ．由（Ⅰ）可知g（x）≥g（16），又a≤3–4ln2，故–g（x）–1+a≤–g（16）–1+a=–3+4ln2+a≤0，所以h′（x）≤0，即函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，因此方程f（x）–kx–a=0至多1个实根．综上，当a≤3–4ln2时，对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】解题的关键是掌握利用导数研究函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力.
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