专题八：概率与统计
自 我 测 试
一、填空题：
1.从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为 .
1.
2.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人， 则样本容量为 .
2.15
3.样本中共有5个个体，其值分别为a,0,1,2,3,若该样本的平均值为1，则方差为____ .
3.2
4.某单位200名职工的年龄分布情况如下图，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组. 若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是 .若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取 人 .
4. 37 , 20
5． 4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 .
5．
6．在棱长为2的正方体中，点为底面的中心，在正方体内随机取一点，则点到点的距离大于1的概率为 .
6．
7.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60
名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，
…后画出如图的频率分布直方图.
观察图形的信息，回答下列问题：估计这次考试的
及格率（60分及以上为及格）为____ _;
平均分为______________.
7. 0.75,71
8．集合，，点P的坐标为（，），，，则点P在直线下方的概率为 .
8．
9.已知函数，其中，则使得在
上有解的概率为__________．
9.
10. 甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中任想一个数字,记为,再由乙猜甲刚才想的数字
把乙猜的数字记为,且,若,则称甲乙“心有灵犀”。现任意找两个人玩这个游戏,得出他们”心有灵犀”的概率为 .
10.
二、解答题：
11.为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表（单位：人）
求x,y ;
若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C的概率。
11.
12.某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：
初一年级
初二年级
初三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.
求x的值；
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
已知y245,z245,求初三年级中女生比男生多的概率.
12.解：（1）
（2）初三年级人数为y＋z＝2000－（373＋377＋380＋370）＝500， 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为： 名
（3）设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生男生数记为（y，z）；
由（2）知 ，且 ,基本事件空间包含的基本事件有：（245，255）、（246，254）、（247，253）、……（255，245）共11个 事件A包含的基本事件有：（251，249）、（252，248）、（253，247）、(254,246)、(255,245) 共5个
13.为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查．6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10．把这6名学生的得分看成一个总体． （Ⅰ）求该总体的平均数；（Ⅱ）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
13.解：（Ⅰ）总体平均数为．
（Ⅱ）设表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．
从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：，，，，，，，，，，，，，，．共15个基本结果．事件包括的基本结果有：，，，，，，．
共有7个基本结果．所以所求的概率为 ．
14．口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．⑴.甲、乙按以上规则各摸一个球，求事件“甲赢且编号的和为6”发生的概率；
⑵.这种游戏规则公平吗?试说明理由.
14．解：⑴设“甲胜且两数字之和为6”为事件A，事件A包含的基本事件为（1，5）,（2，4）（3，3）,（4，2）,（5，1），共5个． 又甲、乙二人取出的数字共有5×5＝25（个）等 可能的结果， 所以． 答：编号的和为6的概率为．
⑵这种游戏规则不公平． 设“甲胜”为事件B，“乙胜”为事件C， 则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2） ，（4，4），（5，1） ，（5，3），（5，5）．
所以甲胜的概率P（B）＝，从而乙胜的概率P（C）＝1－＝．
由于P（B）≠P（C），所以这种游戏规则不公平．
专题八：概率与统计
第一课时：古典概型与几何概型
一、复习目标
理解古典概型、了解几何概型的概念，准确计算基本事件个数以及样本空间的测度，能用概率公式求概率.
二、考点整合：
1．古典概型：
理解古典概型的特点及概率的计算公式．
运用列举法求概率．
2．（1）了解几何概型的概念,会解决与长度、面积、体积、角度相关的几何概型．
（2）会用几何概型的概率计算公式．
三、题型解析:
1.从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出3条，可以构成三角形的概率为 .
【答案】 0.75
【点评】基本事件总数为4，不符的只有2，3，5一种情形．
2.把分别写有“劳” “动” “节”的三张卡片随意的排成一排,则能使卡片从左到右
或从右到左为劳动节的概率为 .
【答案】
【点评】可枚举.
3．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 .
【答案】
【点评】基本事件总数为6，和为奇数的有4种情形.
4．已知集合，，（可以等于)，从集合中任取一元素，则该元素的模为的概率为______________.
【答案】
【点评】A中有4个元素:0,1,1+i,i; B中有7个元素:0,1,1+i,i,-1+i,2i,-1其中元素的模为
的有1+i,-1+i.
5．三张卡片上分别写上字母E、E、B，将三张卡片随机地排成一行，
恰好排成英文单词BEE的概率为 .
【答案】
【点评】题中三张卡片随机地排成一行，共有三种情况：，概率为：
6．在区间上随机取一个数,的值介于0到之间的概率为 .
【答案】
【点评】这是一个测度为长度的几何概型．
在区间[-1，1]上随机取一个数x,即时,要使的值介于0到之间,需使或∴或，区间长度为，
由几何概型知的值介于0到之间的概率为.
7.已知={(x，y)|x+y6，x0，y0}，A={(x，y)| x4，y0，x－2y0}，若向区域上随机投一点， 则点落入区域的概率为_____________.
【答案】
【点评】这是一个测度为面积的几何概型．
8.一元二次方程＝0中，a、b是随机投掷骰子所得点数，则该方程有两个正根的概率为 .
【答案】
【点评】基本事件总数为36,满足的条件是有4组.
四、达标测试：
1．如图，沿田字型的路线从往走，且只能向右或向下走，
随机地选一种走法，则经过点的概率是 ▲ ．
1．
2.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为 .
【答案】0.2
【点评】本题考查等可能事件的概率知识．从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2．
3.连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a=（m,n）与向量b=（1,-1）的夹角为，则的概率是________________；
【答案】
【点评】 m-n≥0,可用表格法枚举.
4．将分别写有1，3，6的三张卡片排成一排，其中6也可以当9用，则三张卡片的数
字按序构成等比数列的概率是 .
【答案】
【点评】可用树形图分类列举,得基本事件总数为12，构成等比数列的有:139;931.
5．设有关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0，若a是从区间[0,3]内任取的一个数，b是从区间[0,2]内任取的一个数，则上述方程有实根的概率为 ．
【答案】
【点评】牵涉到到两个变量的概率问题可联想几何概型,这是一个测度为面积的几何概型．
6．某市统计的2008～2011年新生婴儿数及男婴数（单位：人）见下表：
时间
2008
2009
2010
2011
总数
21 840
23 070
20 094
19 982
男
11 453
12 031
10 297
10 242
（1）试计算2008年该市的男婴的出生频率；（精确到0.001）
(2 )该市的男婴的出生概率约是多少?
解：(1)P=
(2 )同理可求得2009、2010、2011男婴的出生频率分别为：0.521,0.512,0.513
由以上计算可知,各年的男婴出生频率在0.51～0.52之间,所以男婴出生概率约为0.52
【点评】利用概率的统计定义.
7．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：
（1）两数之和为5的概率；（2）两数中至少有一个奇数的概率；
（3）以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x,y)在圆x2+y2=15的内部的概率．
解: 将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件
（1）记“两数之和为5”为事件A，则事件A中含有4个基本事件，
所以P（A）=；
答：两数之和为5的概率为．
（2）记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，
所以P（B）=；
答：两数中至少有一个奇数的概率．
（3）基本事件总数为36，点（x，y）在圆x2+y2=15的内部记为事件C，则C包含8个事件，
所以P（C）=．
答：点(x,y)在圆x2+y2=15的内部的概率．
【点评】可利用课本中的7×7表格．
8．甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
（1）设（i,j）分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；
（2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少？
（3）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，否则，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．
解：（1）甲乙二人抽到的牌的所有情况（方片4用4′表示）为（2，3）、（2，4）（2，4′）、（3，2）、（3，4）、（3，4′）、（4，2）、（4，3）、（4，4′）、（4，2′）、（4′，3）、（4′，4），共12种不同情况
（2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4．
因此乙抽到的牌的数字大3的概率为
（3）由甲抽到的牌比乙大有（3，2）、（4，2）、（4，3）（4′，2）、（4′，3）共5种
甲胜的概率p1=，乙获胜的概率为
∴此游戏不公平
9.已知求直线其中
（1）求两直线无交点的概率;
（2）求两直线交点位于第一象限的概率.
解: 基本事件总数为36
两直线的截距不同,只要斜率相同,有(1,2),(2,4),(3,6),∴概率为.
交点位于第一象限 ∴
满足条件的实数对有6对, ∴概率为．
专题八：概率与统计
第三课时：统计
一、复习目标
读懂直方图，了解总体分布估计，能进行平均值、方差、标准差的计算.
二、考点整合
1．抽样方法：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样。
2．统计图表：频率分布直方图、频率分布条形图、频率分布折线图、茎叶图。
3．样本的数据特征，用样本估计总体。
三、题型解析
1.从某社区300户高收入家庭，720户中等收入家庭，180户低收入家庭中，用分层抽样法选出200户调查社会购买力的某项指标，则三种家庭应分别抽取的户数依次为________.
【答案】50，120，30
【点评】按各层所占比例抽取样本数。
2.下图是在2012年国家公务员考试面试上，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为________.
【答案】85，1.6
【点评】茎叶各自的含义，特征数的计算.
3.采用系统抽样的方法，从个体数为1003的总体中抽取一个容量为50的样本，在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率是_______.
【答案】50/1003
【点评】在简单抽样中,未抽样前各个个体最后被抽到的概率相等.
4.从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）125 124 121 123 127则该样本标准差 （克）（用数字作答）．
【答案】 2
【点评】标准差与原始数据单位一致。
因为样本平均数，
则样本方差所以
5.某人5上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数
为10，方差为2，则的值为 .
【答案】 208
【点评】平均数、方差公式逆用。
6. 一组数据中每个数据都减去构成一组新数据，则这组新数据的平均数是，方差是，则原来一组数的方差为 .
【答案】
【点评】方差反应一组数据的稳定程度。若数据成倍，则方差如何变化？
7.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据可知a＝ .若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为 。
【答案】0.030 3
【点评】频率分布直方图，在统计中占有重要位置，务必搞通。
8. 为科学地比较考试成绩，有些选拔性考试常常会将考试分数转化为标准分，转化关系式为Z＝(其中x是某位学生的考试分数，是该次考试的平均分，s是该次考试的标准差，Z称为这个学生的标准分)．转化后可能出现小数和负值，因此又常将Z分数作线性变换为其他分数．如某次学业选拔考试采用的是T分数，线性变换公式是T＝40Z＋60．已知在这次考试中某位考生的考试分数是85，这次考试的平均分是70，标准差是25．则该考生的T分数是 ．
【答案】84
【点评】Z＝0.6,这是一道知识题.
四、达标测试
1．某篮球学校的甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下．则罚球命中率较高的是 .
【答案】甲
【点评】茎叶图的认识。
2.某地有居民100 000户，其中普通家庭99 000户,高收入家庭1 000户．从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取l00户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收人家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是 .
【答案】
【点评】本题分层抽样问题，首先根据拥有3套或3套以上住房的家庭所占的比例，得出100 000户，居民中拥有3套或3套以上住房的户数，它除以100 000得到的值，为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计.
该地拥有3套或3套以上住房的家庭可以估计有：
户，所以所占比例的合理估计是.
3.右图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，
数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部
分的面积为 ．
【答案】4.6
【点评】本题是概率的应用.
4． 将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图。若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于 。
【答案】60
【点评】设第一组至第六组数据的频率分别为，则，解得，所以前三组数据的频率分别是，
故前三组数据的频数之和等于=27，解得n=60。
本小题考查频率分布直方图的基础知识，熟练基本公式是解答好本题的关键。
5.根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80 mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款．据《法制晚报》报道，2010年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图是对这28800人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为 人．
【答案】4320
【点评】强化对频率分布直方图的认识.
6.有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5，15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5，23．5) 9 [23.5,27.5) 18
[27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5．39.5) 7 [39.5,43.5) 3
根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5)的概率约是 .
【答案】
【点评】从到共有22，所以。
7．某广告公司招聘广告策划人员，对A、B、C三名候选人进行了三项素质测试，测试成绩如下表（单位：分）：
A
B
C
创新
72
85
67
综合知识
50
74
70
语言
88
45
67
（1）若根据三项测试的平均成绩确定录取人选，则哪位候选人将被录用；
（2）如果公司将创新、综合知识、语言三项测试分数按4:3:1的比例确定个人的测试成绩，此时哪位选人将被录用；
序号()
每天睡眠时间
（小时）
组中值()
频数
频率
()
1
[4，5)
4.5
8
0.04
2
[5，6)
5.5
52
0.26
3
[6，7)
6.5
60
0.30
4
[7，8)
7.5
56
0.28
5
[8，9)
8.5
20
0.10
6
[9，10)
9.5
4
0.02
（3）以上（1）、（2）的结果说明了什么．
解：（1），，；
因为A的平均分数最高，所以A将被录用．
（2）；，
．因为的测试成绩最高，所以将被录用；
（3）不同的计算标准，就会有不同的结果，其中（1）比较看中一个人的平均水平．（2）比较看中一个人的创新能力．从整体看，一个人要有特长，才有可能被录用．
8．国家教育部、体育总局和共青团中央曾共同号召，在全国各级各类学校要广泛、深入地开展全国亿万大中小学生阳光体育运动.为此某网站于2010年1月18日至24日，在全国范围内进行了持续一周的在线调查，随机抽取其中200名大中小学生的调查情况，就每天的睡眠时间分组整理如下表所示：
（1）估计每天睡眠时间小于8小时的学生所占的百分比约是多少；
（2）该网站利用上面的算法流程图，对样本数据作进一步统计分析， 求输出的S的值，并说明S的统计意义.
序号()
每天睡眠时间
（小时）
组中值()
频数
频率
()
1
[4，5)
4.5
8
0.04
2
[5，6)
5.5
52
0.26
3
[6，7)
6.5
60
0.30
4
[7，8)
7.5
56
0.28
5
[8，9)
8.5
20
0.10
6
[9，10)
9.5
4
0.02
专题八：概率与统计
第二课时：概率的综合应用
一、复习目标
概率的综合应用,理解互斥事件与对立事件的概念，能用互斥事件至少有一个发生的概率加法公式解决一些简单实际问题.
二考点整合
1．随机事件的概率意义，概型把握与应用，准确把握基本空间、事件空间，
运用概率公式求概率．
2．理解互斥事件与对立事件的概念，能用互斥事件至少有一个发生的概率加法公式解决一些简单实际问题．
三、题型解析
1.盒子中有大小相同的3只红球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ __ __.
【答案】
【点评】古典概型
2.从1,2,3,4,5,6这6个数字中, 任取2个数字相加, 其和为奇数的概率是 ________ .
【答案】
【点评】古典概型，基本事件总数为15，事件A包含9个基本事件．
3．在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程的概率是 .
【答案】
【点评】10种情形中只有取1或5符合.
4．甲、乙两人下中国象棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则甲获胜的概率为 .
【答案】
【点评】本题为互斥事件有一个发生.
5.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为____________.
【答案】
【点评】逆向问题，正向求解.由得
6.点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为 ．
【答案】
【点评】如图可设,则,根据几何概率可知其整体事件 是其周长，则其概率是.
7．甲. 乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者等候另一人15分钟，过时即可离去，则两人会面的概率是 .
【答案】
【点评】 几何概型，以面积为测度．
8.某校有两个食堂,有甲、乙、丙三名同学，各自随机选择其中一个食堂用晚餐，则他们三人在同一食堂用晚餐概率是 .
【答案】
【点评】 可列举得三人到食堂用晚餐有8种情况,有2种情形是同一食堂用餐.
四、达标测试
1．从1,2,3,4,5这5个数中一次随机取两个数，则这两个数的和为5的概率为 。
1．1/5
2．种某种植物200棵，一年生长的高度统计如下表：
高度（cm）
[10，20）
[20，30）
[30，40）
[40，50）
[50，60）
棵数
20
30
80
40
30
则该植物一年里生长的高度在[30，50）（cm）内的概率为 .
【答案】0.6.
【点评】古典概型，0.6.
3. 口袋内装有形状、大小完全相同的红球、白球、黑球若干.从中随机取出一个球，摸出红球概率为0.42, 摸出白球概率为0.28,若红球为21个,则黑球的个数为_______.
【答案】15
【点评】 互斥事件的概率 ,用0.42:21=0.3:x,x=15．
4.盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出3个球，则所取出的3个球颜色不全相同的概率等于_______.
【答案】
【点评】从5个球中任取3个球即有2个球不取，有10种情况，只有一种情形颜色相同．
5．甲、乙二人参加普法知识竞答，共有5个不同的题目，其中选择题3个，判断题2
个，甲、乙二人依次各抽一题，则甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是 .
【答案】
【点评】可认为基本事件总数为20，那么符合条件的有6种情形．
6．盒子里装有大小相同的球8个，其中三个1号球，三个2号球，两个3号球，第一次从盒子中先任取一个球，放回后第二次再任取一个球.（1）求第一次与第二次取到的球上的号码的和是4的概率；（2）记第一次与第二次取到的球的号码的积小于6的概率．
解：（1）记“第一次与第二次取到的球上的号码的和是4”为事件A，则，
所以第一次与第二次取到的球上的号码的和是4的概率是
（2）记“第一次与第二次取到的球的号码的积小于6”为事件B，则，
所以第一次与第二次取到的球的号码的积小于6的概率
【点评】第（2）小问用对立事件.
7. 设平面向量＝ （ m , 1）, = ( 2 , n )，其中 m， n {1,2,3,4}．
（I）请列出有序数组（ m，n ）的所有可能结果；
（II）记“使得（-）成立的（ m，n ）”为事件A，求事件A发生的概率．
【点评】本题主要考查概率、平面向量等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查化归与转化思想、必然与或然思想．
8.现有8名奥运会志愿者，其中志愿者通晓日语，通晓俄语，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
（Ⅰ）求被选中的概率；（Ⅱ）求和不全被选中的概率．
解：（Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间
{，，
，，，
，，，
}
由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用表示“恰被选中”这一事件，则
{，}
事件由6个基本事件组成，因而．
（Ⅱ）用表示“不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“全被选中”这一事件，由于{}，事件有3个基本事件组成，所以，由对立事件的概率公式得．
【点评】运用互斥事件有一个发生的概率加法公式一般是“正难则反”.在解决至多、至少的有关问题时，通常考虑用对立事件的概率公式．
