新课标——回归教材函 数
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新课标——回归教材
函 数
1.函数的概念.理解注意(1):都是非空数集;(2)任意性:集合中的任意一个元素;(3)唯一性:在集合中有唯一确定的数和它对应;(3)定不定:集合一定是函数的定义域,集合不一定是函数的值域,函数值域一定是集合的子集.
典例:(1)函数图像与直线至多有一个公共点,但与直线的公共点可能没有,也可能有任意个.
(2)已知,则集合中元素有 0或1 个;
(3)若函数的定义域、值域都是闭区间,则＝ 2 .
2.同一函数.函数三要素是:定义域,值域和对应法则.而值域可由定义域和对应法则唯一确定,因此当两个函数的定义域和对应法则相同时,它们一定为同一函数.
典例:若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么解析式为,值域为{4,1}的“孪生函数”共有 9 个.
3.映射的概念.理解注意:映射是函数概念的推广,表现在集合可以为任意非空集合,不一定是表示数,可以是其它人或事物本身.
典例:(1)设集合,映射满足条件“对任意的,是奇数”,这样的映射有 12 个;
(2)设是集合到集合的映射,若,则一定是.
4.求函数定义域的常用方法（一切函数问题:定义域优先）
(1)使函数的解析式有意义.
解析式 求定义域 解析式 求定义域 解析式 求定义域
为偶数)
(,)
典例:(1)函数的定义域是;
(2)若函数的定义域为R,则;
(3)函数定义域是,且,则函数定义域是;
(4)设函数,①若的定义域是R,求实数的取值范围;②若的值域是R,求实数的取值范围（答:①; ②）
(2)使实际问题有意义.
实际问题 有意义 实际问题 有意义 实际问题 有意义
三角形中 ，最大角,最小角 距离或弧长或面积或体积等 为正数 年月日等 为正整数
(3)复合函数的定义域.
简单函数定义域 复合函数定义域 求法备注
若已知的定义域为 则的定义域由不等式解出 解不等式
复合函数定义域 简单函数定义域 求法备注
若的定义域为 则的定义域为在上的值域 求值域法
典例:(1)若函数的定义域为,则的定义域为;
(2)若函数的定义域为,则函数的定义域为．
5.求函数值域(最值)的方法:
(1)配方法——二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类:一是求闭区间上的最值;二是求区间定（动）,对称轴动（定）的最值问题.求二次函数的最值问题,勿忘数形结合,注意“两看”:一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系）.
典例:(1)函数的值域是;
(2)已知在时有最大值,则;
(2)换元法——通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数,其函数特征是函数解析式含有根式.
典例:(1)的值域为;
(2)的值域为;（令,注意:换元要等价）;
(3)的值域为;(…)
(4)的值域为;(令…)
(3)函数有界性法——利用已学过函数的有界性,如三角函数的有界性.
典例:函数,,值域分别是:;
(4)单调性法——利用函数的单调性.
典例:(1)求,,的值域
为;
(5)数形结合法——函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离、直线斜率等.
典例:(1)若点,则及的取值范围;
(2)函数的值域;
(3)函数的值域注意:异侧和最小,同侧差最大.
(6)判别式法——分式函数(分子或分母中有一个是二次),其定义域通常为
典例:(1)函数的值域
(2)若的定义域为R,值域为[0,2],求常数的值（答:）
(7)不等式法——利用基本不等式求函数的最值或值域.
其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和平方等技巧.
典例:(1)型,可直接用不等式性质,如函数的值域.
(2)型, ,如函数的值域
(3)型,如①函数的值域;②函数的值域 .
(4) 设成等差数列,成等比数列,则的取值范围是.
(8)导数法——一般适用于高次多项式函数.
典例:函数,的最小值是.
提醒:(1)写函数的定义域、值域时,你按要求写成集合形式了吗？
(2)函数的最值与值域之间有何关系？
典例:函数且的值域是,不要错觉为.
6.分段函数的概念.分段函数是在其定义域的不同子集上,分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数,它是一类较特殊的函数.在求分段函数的值时,一定首先要判断属于定义域的哪个子集,然后再代相应的关系式;分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集.
典例:(1)设函数,则不等式的解集为;
(2)已知,则不等式的解集是.
7.求函数解析式的常用方法:
(1)待定系数法——已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种:一般式:;顶点式:;零点式:,要会根据已知条件的特点,灵活地选用二次函数的表达形式.
典例:若为二次函数,且,且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为2,求的解析式.（答:）
(2)代换(配凑)法——已知形如的表达式,求的表达式.
典例:(1)已知求的解析式（答:）;
这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性,即的定义域应是的值域.
(2)若,则函数=;
(3)若是奇函数,且,那么时,= .
(3)方程的思想——已知条件是含有及另外一个函数的等式,可抓住等式的特征对等式的进行赋值,从而得到关于及另外一个函数的方程组.
典例:(1)已知,求的解析式（答:）;
(2)已知是奇函数,是偶函数,且+= ,则=.
8.函数的奇偶性.
(1)具有奇偶性的函数的定义域的特征:定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时,务必先判定函数定义域是否关于原点对称.
典例:若为奇函数,其中,则值是 0 ;
(2)确定函数奇偶性的常用方法（若函数解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性）:
①定义法: 典例:(1)判断函数的奇偶性 奇函数_.
(2)判断函数的奇偶性 既是奇函数又是偶函数 ;
②利用函数奇偶性定义的等价形式:或().
典例:判断的奇偶性 偶函数 .
③图像法:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于轴对称.
典例:判断的奇偶性 奇函数 .
(3)函数奇偶性的性质:
①奇(偶)函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同(反).
②若为偶函数,则.
典例:若偶函数在上单调递减,且=2,则不等式的解集为
④若奇函数定义域中含有0,则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条件.
典例:若为奇函数,则实数＝ 1 .
⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”.
典例:设是定义域为R的任一函数, ,.
①判断与的奇偶性; 答案:;
②若将函数,表示成一个奇函数和一个偶函数之和,则＝
⑥复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”.
⑦既奇又偶函数有无穷多个(,定义域是关于原点对称的任意一个数集).
9.函数的单调性.
(1)确定函数的单调性或单调区间的常用方法:
①在解答题中常用:定义法（取值—作差—变形—定号）、导数法（在区间内,若总有,则为增函数;反之,若在区间内为增函数,则,请注意两者的区别所在.
典例:已知函数在区间上是增函数,则的取值范围是;
②在小题中还可用数形结合法、特殊值法等等,特别要注意双勾函数图象和单调性在解题中的运用:增区间为,减区间为和.
典例:(1)若函数在上是减函数,则取值范围是;
(2)已知函数在区间上为增函数,则实数的取值范围;
(3)若函数的值域为R,则的取值范围是;
③复合函数法:复合函数单调性的特点是同增异减.
典例:函数的单调递增区间是.
特别提醒:求单调区间时,第一,勿忘定义域;
典例:若在区间上为减函数,则的取值范围;
第二,在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”;
第三,单调区间应该用区间表示,不能用集合或不等式表示;
第四,你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗 ①比较大小;②解不等式;③求参数范围. 典例:已知奇函数是定义在上的减函数,若,求实数的取值范围.（答:）
10. 常见的图象变换
①的图象是把函数图象沿轴向左平移个单位得到的.
典例:设的图像与的图像关于直线对称,的图像由的图像向右平移1个单位得到,则为
②(的图象是把函数图象沿轴向右平移个单位得到的.
典例: (1)若,则函数的最小值为 2 ;
(2)要得到的图像,需作关于 y 轴对称图像,再向右平移3个单位而得到;
(3)函数的图象与轴的交点个数有 2 个.
③函数+图象是把函数的图象沿轴向上平移个单位得到的;
④函数+图象是把函数的图象沿轴向下平移个单位得到的; 典例:将函数的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线对称,那么 ( C )
⑤函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的得到的.
典例:(1)将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),再将此图像沿轴方向向左平移2个单位,所得图像对应的函数为;
(2)如若函数是偶函数,则函数的对称轴方程是．
⑥函数图象是把函数图象上各点纵坐标变为原来的倍得到的.
11. 函数的对称性.
①满足条件的函数的图象关于直线对称.
典例:若满足且方程有等根,则＝.
②点关于轴对称点为;函数关于轴的对称曲线方程为;
③点关于轴对称点为;函数关于轴的对称曲线方程为;
④点关于原点对称点为;函数关于原点对称曲线方程为;
:⑤点关于直线的对称点为;
曲线关于直线的对称曲线的方程为.
特别地,点关于直线的对称点为;
曲线关于直线的对称曲线的方程为;
点关于直线的对称点为;
曲线关于直线的对称曲线的方程为.
典例:己知函数,若的图像是,它关于直线对称图像是关于原点对称的图像为对应的函数解析式是;
⑥曲线关于点的对称曲线的方程为.
典例:若函数与的图象关于点（-2,3）对称,则＝.
⑦形如的图像是双曲线,其两渐近线分别直线(由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定),对称中心是点.
典例:已知函数图象与关于直线对称,且图象关于点对称,则a的值为 2 .
⑧的图象先保留原来在轴上方的图象,作出轴下方的图象关于轴的对称图形,然后擦去轴下方的图象得到;的图象先保留在轴右方的图象,擦去轴左方的图象,然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到.
典例:(1)作出函数及的图象;
(2)若函数是定义在R上的奇函数,则函数的图象关于对称.
提醒:(1)从结论②③④⑤⑥可看出,求对称曲线方程的问题,实质上是利用代入法转化为求点的对称问题;(2)证明函数图像的对称性,即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上;(3)证明图像与的对称性,需证两方面:①证明上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在上;②证明上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在上.
典例:(1)已知函数.求证:函数的图像关于点成中心对称图形;
(2)设曲线C的方程是,将C沿轴, 轴正方向分别平行移动单位长度后得曲线.
①写出曲线的方程（答:）;
②证明曲线C与关于点对称.
12. 函数的周期性.
(1)类比“三角函数图像”得
①若图像有两条对称轴,则必是周期函数,且一周期为;
②若图像有两个对称中心,则是周期函数,且一周期为;
③如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴,则函数必是周期函数,且一周期为;
典例:(1)已知定义在上的函数是以2为周期的奇函数,则方程在上至少有 5 个实数根.
(2)由周期函数的定义“函数满足,则是周期为的周期函数”得:
①函数满足,则是周期为2的周期函数;
②若恒成立,则;③若恒成立,则.
④若恒成立,则.类比记忆.
典例:(1)设是上的奇函数,,当时,,则=;
(2)定义在上的偶函数满足,且在上是减函数,若是锐角三角形的两个内角,则的大小关系为;
(3)已知是偶函数,且=993,=是奇函数,求的值(答:993);
(4)设,又,则= .
13.指数式、对数式:
,,,,,,,,,, .
典例:(1)的值为 8 ;(2)的值为
(3)已知函数,定义使为整数的数叫做企盼数,则在区间内这样的企盼数共有 9 个.
14. 指数、对数值的大小比较:
(1)化同底后利用函数的单调性; (2)作差或作商法;
(3)利用中间量(0或1); (4)化同指数(或同真数)后利用图象比较.
15. 函数的应用.
(1)求解数学应用题的一般步骤:①审题—认真读题,确切理解题意,明确问题的实际背景,寻找各量之间的内存联系;②建模—通过抽象概括,将实际问题转化为相应的数学问题,别忘了注上符合实际意义的定义域;③解模—求解所得的数学问题;④回归—将所解得的数学结果,回归到实际问题中去. (2)常见的函数模型有:①建立一次函数或二次函数模型;②建立分段函数模型;③建立指数函数模型;④建立双勾函数型.
典例:某旅店有客床100张,各床每天收费10元时可全部额满.若每床每天收费每提高2元,则减少10张客床租出,这样,为了减少投入多获利,每床每天收费应提高( B )
A 2元 B 4元 C 6元 D 8元
16. 抽象函数
抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式,只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题.求解抽象函数问题的常用方法是:
(1)借鉴模特函数进行类比探究.几类常见的抽象函数:
①正比例函数型: ---------------;
②幂函数型: --------------,;
③指数函数型: ------------,;
④对数函数型: -----,;
⑤三角函数型: ----- .
典例:若是R上的奇函数,且为周期函数,若它的周期为T,则 0 .
(2)利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究
典例:(1)设函数表示除以3的余数,则对任意的,都有( A )
A B C D
(2)设,若,,求（答:）;
(3)设是奇函数,且,证明:直线是图象的一条对称轴;
(4)已知定义域为的函数满足,且当时,单调递增.如果,且,则的值的符号是 负 .
(3)利用一些方法（如赋值法（令＝0或1,求出或、令或等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究.
典例:(1)若,满足,则的奇偶性是 奇函数 ;
(2)若,满足,则的奇偶性是 偶函数 ;
(3)已知是定义在上的奇函数,当时, 的
图像如右图所示,那么不等式的解集是
;
(4)设的定义域为,对任意,都有,
且时,,又.①求证为减函数;②解不等式.（答:）．
y
x
O
1 2 3
函 数
1.函数的概念.理解注意(1):都是非空数集;(2)任意性:集合中的任意一个元素;(3)唯一性:在集合中有唯一确定的数和它对应;(3)定不定:集合一定是函数的定义域,集合不一定是函数的值域,函数值域一定是集合的子集.
典例:(1)函数图像与直线至多有一个公共点,但与直线的公共点可能没有,也可能有任意个.
(2)已知,则集合中元素有 0或1 个;
(3)若函数的定义域、值域都是闭区间,则＝ 2 .
2.同一函数.函数三要素是:定义域,值域和对应法则.而值域可由定义域和对应法则唯一确定,因此当两个函数的定义域和对应法则相同时,它们一定为同一函数.
典例:若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么解析式为,值域为{4,1}的“孪生函数”共有 9 个.
3.映射的概念.理解注意:映射是函数概念的推广,表现在集合可以为任意非空集合,不一定是表示数,可以是其它人或事物本身.
典例:(1)设集合,映射满足条件“对任意的,是奇数”,这样的映射有 12 个;
(2)设是集合到集合的映射,若,则一定是.
4.求函数定义域的常用方法（一切函数问题:定义域优先）
(1)使函数的解析式有意义.
解析式 求定义域 解析式 求定义域 解析式 求定义域
为偶数)
(,)
典例:(1)函数的定义域是;
(2)若函数的定义域为R,则;
(3)函数定义域是,且,则函数定义域是;
(4)设函数,①若的定义域是R,求实数的取值范围;②若的值域是R,求实数的取值范围（答:①; ②）
(2)使实际问题有意义.
实际问题 有意义 实际问题 有意义 实际问题 有意义
三角形中 ，最大角,最小角 距离或弧长或面积或体积等 为正数 年月日等 为正整数
(3)复合函数的定义域.
简单函数定义域 复合函数定义域 求法备注
若已知的定义域为 则的定义域由不等式解出 解不等式
复合函数定义域 简单函数定义域 求法备注
若的定义域为 则的定义域为在上的值域 求值域法
典例:(1)若函数的定义域为,则的定义域为;
(2)若函数的定义域为,则函数的定义域为．
5.求函数值域(最值)的方法:
(1)配方法——二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类:一是求闭区间上的最值;二是求区间定（动）,对称轴动（定）的最值问题.求二次函数的最值问题,勿忘数形结合,注意“两看”:一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系）.
典例:(1)函数的值域是;
(2)已知在时有最大值,则;
(2)换元法——通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数,其函数特征是函数解析式含有根式.
典例:(1)的值域为;
(2)的值域为;（令,注意:换元要等价）;
(3)的值域为;(…)
(4)的值域为;(令…)
(3)函数有界性法——利用已学过函数的有界性,如三角函数的有界性.
典例:函数,,值域分别是:;
(4)单调性法——利用函数的单调性.
典例:(1)求,,的值域
为;
(5)数形结合法——函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离、直线斜率等.
典例:(1)若点,则及的取值范围;
(2)函数的值域;
(3)函数的值域注意:异侧和最小,同侧差最大.
(6)判别式法——分式函数(分子或分母中有一个是二次),其定义域通常为
典例:(1)函数的值域
(2)若的定义域为R,值域为[0,2],求常数的值（答:）
(7)不等式法——利用基本不等式求函数的最值或值域.
其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和平方等技巧.
典例:(1)型,可直接用不等式性质,如函数的值域.
(2)型, ,如函数的值域
(3)型,如①函数的值域;②函数的值域 .
(4) 设成等差数列,成等比数列,则的取值范围是.
(8)导数法——一般适用于高次多项式函数.
典例:函数,的最小值是.
提醒:(1)写函数的定义域、值域时,你按要求写成集合形式了吗？
(2)函数的最值与值域之间有何关系？
典例:函数且的值域是,不要错觉为.
6.分段函数的概念.分段函数是在其定义域的不同子集上,分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数,它是一类较特殊的函数.在求分段函数的值时,一定首先要判断属于定义域的哪个子集,然后再代相应的关系式;分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集.
典例:(1)设函数,则不等式的解集为;
(2)已知,则不等式的解集是.
7.求函数解析式的常用方法:
(1)待定系数法——已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种:一般式:;顶点式:;零点式:,要会根据已知条件的特点,灵活地选用二次函数的表达形式.
典例:若为二次函数,且,且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为2,求的解析式.（答:）
(2)代换(配凑)法——已知形如的表达式,求的表达式.
典例:(1)已知求的解析式（答:）;
这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性,即的定义域应是的值域.
(2)若,则函数=;
(3)若是奇函数,且,那么时,= .
(3)方程的思想——已知条件是含有及另外一个函数的等式,可抓住等式的特征对等式的进行赋值,从而得到关于及另外一个函数的方程组.
典例:(1)已知,求的解析式（答:）;
(2)已知是奇函数,是偶函数,且+= ,则=.
8.函数的奇偶性.
(1)具有奇偶性的函数的定义域的特征:定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时,务必先判定函数定义域是否关于原点对称.
典例:若为奇函数,其中,则值是 0 ;
(2)确定函数奇偶性的常用方法（若函数解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性）:
①定义法: 典例:(1)判断函数的奇偶性 奇函数_.
(2)判断函数的奇偶性 既是奇函数又是偶函数 ;
②利用函数奇偶性定义的等价形式:或().
典例:判断的奇偶性 偶函数 .
③图像法:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于轴对称.
典例:判断的奇偶性 奇函数 .
(3)函数奇偶性的性质:
①奇(偶)函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同(反).
②若为偶函数,则.
典例:若偶函数在上单调递减,且=2,则不等式的解集为
④若奇函数定义域中含有0,则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条件.
典例:若为奇函数,则实数＝ 1 .
⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”.
典例:设是定义域为R的任一函数, ,.
①判断与的奇偶性; 答案:;
②若将函数,表示成一个奇函数和一个偶函数之和,则＝
⑥复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”.
⑦既奇又偶函数有无穷多个(,定义域是关于原点对称的任意一个数集).
9.函数的单调性.
(1)确定函数的单调性或单调区间的常用方法:
①在解答题中常用:定义法（取值—作差—变形—定号）、导数法（在区间内,若总有,则为增函数;反之,若在区间内为增函数,则,请注意两者的区别所在.
典例:已知函数在区间上是增函数,则的取值范围是;
②在小题中还可用数形结合法、特殊值法等等,特别要注意双勾函数图象和单调性在解题中的运用:增区间为,减区间为和.
典例:(1)若函数在上是减函数,则取值范围是;
(2)已知函数在区间上为增函数,则实数的取值范围;
(3)若函数的值域为R,则的取值范围是;
③复合函数法:复合函数单调性的特点是同增异减.
典例:函数的单调递增区间是.
特别提醒:求单调区间时,第一,勿忘定义域;
典例:若在区间上为减函数,则的取值范围;
第二,在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”;
第三,单调区间应该用区间表示,不能用集合或不等式表示;
第四,你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗 ①比较大小;②解不等式;③求参数范围. 典例:已知奇函数是定义在上的减函数,若,求实数的取值范围.（答:）
10. 常见的图象变换
①的图象是把函数图象沿轴向左平移个单位得到的.
典例:设的图像与的图像关于直线对称,的图像由的图像向右平移1个单位得到,则为
②(的图象是把函数图象沿轴向右平移个单位得到的.
典例: (1)若,则函数的最小值为 2 ;
(2)要得到的图像,需作关于 y 轴对称图像,再向右平移3个单位而得到;
(3)函数的图象与轴的交点个数有 2 个.
③函数+图象是把函数的图象沿轴向上平移个单位得到的;
④函数+图象是把函数的图象沿轴向下平移个单位得到的; 典例:将函数的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线对称,那么 ( C )
⑤函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的得到的.
典例:(1)将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),再将此图像沿轴方向向左平移2个单位,所得图像对应的函数为;
(2)如若函数是偶函数,则函数的对称轴方程是．
⑥函数图象是把函数图象上各点纵坐标变为原来的倍得到的.
11. 函数的对称性.
①满足条件的函数的图象关于直线对称.
典例:若满足且方程有等根,则＝.
②点关于轴对称点为;函数关于轴的对称曲线方程为;
③点关于轴对称点为;函数关于轴的对称曲线方程为;
④点关于原点对称点为;函数关于原点对称曲线方程为;
:⑤点关于直线的对称点为;
曲线关于直线的对称曲线的方程为.
特别地,点关于直线的对称点为;
曲线关于直线的对称曲线的方程为;
点关于直线的对称点为;
曲线关于直线的对称曲线的方程为.
典例:己知函数,若的图像是,它关于直线对称图像是关于原点对称的图像为对应的函数解析式是;
⑥曲线关于点的对称曲线的方程为.
典例:若函数与的图象关于点（-2,3）对称,则＝.
⑦形如的图像是双曲线,其两渐近线分别直线(由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定),对称中心是点.
典例:已知函数图象与关于直线对称,且图象关于点对称,则a的值为 2 .
⑧的图象先保留原来在轴上方的图象,作出轴下方的图象关于轴的对称图形,然后擦去轴下方的图象得到;的图象先保留在轴右方的图象,擦去轴左方的图象,然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到.
典例:(1)作出函数及的图象;
(2)若函数是定义在R上的奇函数,则函数的图象关于对称.
提醒:(1)从结论②③④⑤⑥可看出,求对称曲线方程的问题,实质上是利用代入法转化为求点的对称问题;(2)证明函数图像的对称性,即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上;(3)证明图像与的对称性,需证两方面:①证明上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在上;②证明上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在上.
典例:(1)已知函数.求证:函数的图像关于点成中心对称图形;
(2)设曲线C的方程是,将C沿轴, 轴正方向分别平行移动单位长度后得曲线.
①写出曲线的方程（答:）;
②证明曲线C与关于点对称.
12. 函数的周期性.
(1)类比“三角函数图像”得
①若图像有两条对称轴,则必是周期函数,且一周期为;
②若图像有两个对称中心,则是周期函数,且一周期为;
③如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴,则函数必是周期函数,且一周期为;
典例:(1)已知定义在上的函数是以2为周期的奇函数,则方程在上至少有 5 个实数根.
(2)由周期函数的定义“函数满足,则是周期为的周期函数”得:
①函数满足,则是周期为2的周期函数;
②若恒成立,则;③若恒成立,则.
④若恒成立,则.类比记忆.
典例:(1)设是上的奇函数,,当时,,则=;
(2)定义在上的偶函数满足,且在上是减函数,若是锐角三角形的两个内角,则的大小关系为;
(3)已知是偶函数,且=993,=是奇函数,求的值(答:993);
(4)设,又,则= .
13.指数式、对数式:
,,,,,,,,,, .
典例:(1)的值为 8 ;(2)的值为
(3)已知函数,定义使为整数的数叫做企盼数,则在区间内这样的企盼数共有 9 个.
14. 指数、对数值的大小比较:
(1)化同底后利用函数的单调性; (2)作差或作商法;
(3)利用中间量(0或1); (4)化同指数(或同真数)后利用图象比较.
15. 函数的应用.
(1)求解数学应用题的一般步骤:①审题—认真读题,确切理解题意,明确问题的实际背景,寻找各量之间的内存联系;②建模—通过抽象概括,将实际问题转化为相应的数学问题,别忘了注上符合实际意义的定义域;③解模—求解所得的数学问题;④回归—将所解得的数学结果,回归到实际问题中去. (2)常见的函数模型有:①建立一次函数或二次函数模型;②建立分段函数模型;③建立指数函数模型;④建立双勾函数型.
典例:某旅店有客床100张,各床每天收费10元时可全部额满.若每床每天收费每提高2元,则减少10张客床租出,这样,为了减少投入多获利,每床每天收费应提高( B )
A 2元 B 4元 C 6元 D 8元
16. 抽象函数
抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式,只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题.求解抽象函数问题的常用方法是:
(1)借鉴模特函数进行类比探究.几类常见的抽象函数:
①正比例函数型: ---------------;
②幂函数型: --------------,;
③指数函数型: ------------,;
④对数函数型: -----,;
⑤三角函数型: ----- .
典例:若是R上的奇函数,且为周期函数,若它的周期为T,则 0 .
(2)利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究
典例:(1)设函数表示除以3的余数,则对任意的,都有( A )
A B C D
(2)设,若,,求（答:）;
(3)设是奇函数,且,证明:直线是图象的一条对称轴;
(4)已知定义域为的函数满足,且当时,单调递增.如果,且,则的值的符号是 负 .
(3)利用一些方法（如赋值法（令＝0或1,求出或、令或等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究.
典例:(1)若,满足,则的奇偶性是 奇函数 ;
(2)若,满足,则的奇偶性是 偶函数 ;
(3)已知是定义在上的奇函数,当时, 的
图像如右图所示,那么不等式的解集是
;
(4)设的定义域为,对任意,都有,
且时,,又.①求证为减函数;②解不等式.（答:）．
y
x
O
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