【精品解析】2019年高考理数真题试卷（北京卷）

2019年高考理数真题试卷（北京卷）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（2019·北京）已知复数z=2+i，则 =（　　）
A． B． C．3 D．5
2．（2019·北京）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2019·北京）已知直线l的参数方程为 （t为参数），则点（1，0）到直线l的距离是（　　）
A． B． C． D．
4．（2019·北京）已知椭圆 （a>b>0）的离心率为 ，则（　　）
A．a2=2b2 B．3a2=4b2 C．a=2b D．3a=4b
5．（2019·北京）若x，y满足|x|≤1-y，且y≥-1.则3x+y的最大值为（　　）
A．-7 B．1 C．5 D．7
6．（2019·北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。两颗星的星等与亮度满足m2-m1= ，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）.已知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（　　）
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10-10.1
7．（2019·北京）设点A，B，C不共线，则“ 与 的夹角为锐角”是“| + |>| |”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2019·北京）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2=1+|x|y就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任一点到原点的距离都不超过 ；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是（　　）
A．① B．② C．①② D．①②③
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．（2019·北京）函数f（x）=sin22x的最小正周期是　 　.
10．（2019·北京）设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2=-3，S5=-10，则a5=　 　，Sn的最小值为　 　.
11．（2019·北京）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得.其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1.那么该几何体的体积为　 　.
12．（2019·北京）已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：
①l⊥m：②m∥α：③l⊥α.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：　 　。
13．（2019·北京）设函数f（x）=ex+ae-x（a为常数）。若f（x）为奇函数，则a=　 　：若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是　 　.
14．（2019·北京）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒。为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元。每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付　 　元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为　 　。
三、解答题共6小题，共80分。
15．（2019·北京）在△ABC中，a=3，b-c=2，cosB=- .
（I）求b，c的值；
（II）求sin（B-C）的值.
16．（2019·北京）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3。E为PD的中点，点F在PC上，且 .
（I）求证：CD⊥平面PAD；
（II）求二面角F-AE-P的余弦值；
（III）设点G在PB上，且 .判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由。
17．（2019·北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变。近年来，移动支付已成为主要支付方式之一。为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
支付金额（元） 支付方式 （0，1000] （1000，2000] 大于2000
仅使用A 18人 9人 3人
仅使用B 10人 14人 1人
（I）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；
（II）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；
（III）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化。现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元，根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.
18．（2019·北京）已知抛物线C：x2=-2py经过点（2，-1）.
（I）求抛物线C的方程及其准线方程；
（II）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=-1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
19．（2019·北京）已知函数f（x）= x3-x2+x.
（I）求曲线y=f（x）的斜率为1的切线方程；
（II）当x∈[-2，4]时，求证：x-6≤f（x）≤x；
（IlI）设F（x）=|f（x）-（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[-2，4]上的最大值为M（a）. 当M（a）最小时，求a的值.
20．（2019·北京）已知数列{an}，从中选取第i1项、第i2项…第im项（i1（I）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
（II）已知数列{an}的长度为P的递增子列的末项的最小值为am0，长度为q的递增子列的末项的最小值为an0，若p（III）设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等。若{an}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s-1，且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有2s-1个（s=1.2.…），求数列{an}的通项公式。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】根据 ，得 ，
所以 ，
故答案为：D.
【分析】根据z得到其共轭，结合复数的乘法运算即可求解.
2．【答案】B
【知识点】循环结构
【解析】 【解答】k=1，s=1， s= ，k<3,故执行循环体k=1+1=2， ；
此时k=2<3，故继续执行循环体k=3， ，此时k=3，结束循环，输出s=2.
故答案为：B.
【分析】根据程序框图，依次执行循环体，直到k=3时结束循环，输出s=2即可.
3．【答案】D
【知识点】参数方程化成普通方程
【解析】 【解答】消去参数t，得直线的方程为：4x-3y+2=0，
所以（1,0）到直线的距离 .
故答案为：D.
【分析】将直线的参数方程化为普通方程，结合点到直线的距离公式即可求出相应的距离.
4．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】 【解答】因为椭圆的离心率为 ，所以a=2c
故 ，
所以 ，
因此 ，
故答案为：B.
【分析】根据椭圆的离心率，求出a、b、c的关系，即可确定相应的结论.
5．【答案】C
【知识点】简单线性规划
【解析】 【解答】根据题意，x、y满足 ，
作出可行域及目标函数相应的直线，
平移该直线，可知在经过（2,-1）时取最大值5.
故答案为：C.
【分析】作出可行域和目标函数相应的直线，平移该直线，即可求出相应的最大值.
6．【答案】A
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：设太阳的亮度为 ，天狼星的亮度为 ，
根据题意 ，
故 ，
所以 ；
故答案为：A.
【分析】根据已知，结合指数式与对数式的转化即可求出相应的比值.
7．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】 【解答】解： ,
所以若 ，则有 ,
所以 ，故 与 的夹角为锐角；
若 与 的夹角为锐角，则 ，故 ，
综上为充分必要条件；
故答案为：C.
【分析】通过平面向量的线性运算及数量积运算，判定充分必要性即可.
8．【答案】C
【知识点】曲线与方程
【解析】 【解答】解：①曲线经过（1,0）、（-1,0）、（0,1）、（0，-1）、（1,1）、（1，-1）共6个整点，故①正确；
②曲线上（1,1）和（1，-1）到原点的距离最远，为 ，故曲线上任意一点到原点的距离都不超过 ，故②正确；
③心形曲线的面积大于（1，1）、（1，-1）、（-1,1）、（-1，-1）四个点为顶点的正方形面积-边长为1的正方形面积，所以 S>3，故③错误；
故答案为：C.
【分析】根据曲线的方程，结合曲线的形状，逐一判断即可.
9．【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】 【解答】解： ，
所以最小正周期 .
故答案为： .
【分析】根据余弦的二倍角公式，结合正弦函数的周期性即可求出相应的最小正周期.
10．【答案】0；-10
【知识点】等差数列概念与表示
【解析】 【解答】解： ，
解得 ，所以 ，
，
根据二次函数的性质，当n=4或5时， 有最小值-10.
故答案为：0；-10.
【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式，解方程组求出首项和公差，即可求出 和 ，结合二次函数的性质求出最小值即可.
11．【答案】40
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】根据三视图，可知正方体体积 ，
去掉的四棱柱体积 ，
故该几何体的体积V=64-24=40.
故答案为40.
【分析】根据三视图确定几何体的结构特征，求出相应的体积即可.
12．【答案】若②③，则①
【知识点】复合命题的真假；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】若 ，则 垂直于 内任意一条直线，
若 ，则 ；
故答案为若②③，则①.
【分析】根据空间直线与平面垂直的性质，即可得到相应的结论.
13．【答案】-1；a≤0
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】 【解答】解：若函数为奇函数，则f（0）=0，代入的1+a=0，
所以a=-1；
若函数f（x）在R上单调递增，则 在R上为常函数或单调递增，所以 ；
故答案为a=-1； .
【分析】根据奇函数在x=0有定义，则f（0）=0，代入求解即可；
根据函数的单调性，结合指数函数的性质，即可求出a的取值范围.
14．【答案】130；15
【知识点】函数的值
【解析】 【解答】①草莓和西瓜各一盒，总价60+80=140元，
140>120，故顾客可少付10元，此时需要支付140-10=130元；
②要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，
根据题意，买草莓两盒，消费最低，此时消费120元，
故实际付款（120-x）元，此时李明得到 ，
故 ，解得 ；
故最大值为15.
故答案为①130；②15.
【分析】①根据已知，直接计算即可；
②根据题意，要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，因此选最低消费求解，即可求出相应的最大值.
15．【答案】 解：（I）根据余弦定理 ，
故 ，
解得c=5，B=7；
（II）根据 ，得 ，
根据正弦定理， ，
得 ，解得 ，所以 ，
所以 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】 【分析】（I）根据余弦定理，解方程即可求出c和b；
（II）根据同角三角函数的平方关系，求出sinB，结合正弦定理，求出sinC和cosC，即可依据两角和的正弦公式，求出sin（B-C）.
16．【答案】 （I）证明：因为PA 平面ABCD，所以PA CD，
又因为CD AD， ，所以CD 平面PAD；
（II）过A作AM BC交BC于M，
以A为原点，AM，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
由于PA=AD=CD=2,BC=3,E为PD的中点， ,
A（0，0，0），C（2，2，0），D（0,2,0），P（0,0,2）， ，
E（0,1,1），M（2,0,0）
由已知，平面AEP的法向量为 ，
设平面AEF的法向量为 ，且 ，
由 得 令z=-1，则 ，
设二面角F-AE-P的夹角为 ，
则 ，
而二面角F-AE-P为锐二面角，故其余弦值为 ；
（III）设点B（2，-1,0），由于 ，且 ,
则 ,
所以 ,
而平面AEF的法向量 ，
且 ,所以 ，而 平面AEF，
所以AG在平面AEF内.
【知识点】直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】 【分析】（I）根据线面垂直的判定定理，证明线线垂直，即可得到线面垂直；
（II）建立空间直角坐标系，表示点的坐标，写出相应的向量，求出平面的法向量，结合空间向量的数量积运算，即可求出二面角的余弦值；
（III）根据空间向量，证明法向量与直线的方向向量垂直，再根据点在平面内，即可证明直线在平面内.
17．【答案】 解：（I）抽取的100人中，A，B两种支付方式都使用的人数为100-5-18-9-3-10-14-1=40，
设A，B两种支付方式都使用为事件A，则P（A）= ，
即A，B两种支付方式都使用的概率为 ；
（II）X的可能取值为0,1,2；
其中P（X=0）= ，P（X=1）= ,
P（X=2）= ，
所以分布列为
X 0 1 2
P
（III）不能认为样本仅使用A支付的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，因为概率是在大量重复试验下得到的一个预测结合，不能确定是不是一定发生。
【知识点】用样本的频率分布估计总体分布；古典概型及其概率计算公式
【解析】 【分析】（I）求出相应的人数，结合古典概型求出相应的概率即可；
（II）求出离散型随机变量X的可能取值和相应的概率，即可得到相应的分布列；
（III）根据概率的含义，从统计的角度进行分析即可.
18．【答案】 解：（I）将（2，-1）代入抛物线方程，
得 ，解得p=2，故抛物线方程为 ，其准线方程为y=1；
（II）过焦点（0，-1）作直线l，由于直线与抛物线有两个交点，故直线l的斜率存在，
设l：y=kx-1， ，
将直线方程与抛物线方程联立，得 ，
由韦达定理 ，
则 ，
令y=-1，则 ，
设以AB为直径的圆上点P（a，b），则 ，
，
整理得 ，
令a=0，则 ，所以b=1或b=-3，
即以AB为直径的圆经过y轴的两个定点（0,1）和（0，-3）.
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】 【分析】（I）将点的坐标代入，即可求出抛物线的方程和准线；
（II）将直线方程与抛物线方程联立，表示点的坐标，结合圆的特点，求出圆的方程，即可求出相应定点坐标.
19．【答案】 解（I） ，令 ，
则 ，
因为 ，
故斜率为1的直线为y=x或 ，
整理得，斜率为1的直线方程为x-y=0或 ；
（II）构造函数g（x）=f（x）-x+6，
则 ，令 ，则 ，
故g（x）在[-2,0]上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，故g（x）的最小值为g（-2）或 ，
而g（-2）=0， ，故 ，
所以 ，故在[-2,4]上， ；
构造函数h（x）=f（x）-x，
则 ，令 ，则 ，
故h（x）在[-2,0]上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，故h（x）的最大值为h（0）或h（4），
因为h（0）=0，h（4）=0，
所以 ，故在[-2,4]上， ，
综上在[-2,4]上， ；
（Ⅲ）令 ，
则 ，令 ，则 ，
故 （x）在[-2,0]上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 （x）的最小值为 （-2）=-6-a或 ，
最大值为 （0）=-a或 （4）=12-a，
故 其最大值 ，
故当a=3时，M（a）有最小值9.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】 【分析】（I）求导数，根据导数的几何意义，结合斜率为1，求出切点坐标，利用点斜式，即可求出相应的切线方程；
（II）构造函数，要证 ，只需要证在[-2,4]上 和 即可，求导数，利用导数确定函数单调性，求出函数极值即可证明；
（Ⅲ）求导数，利用导数确定函数单调性，求出函数的最值，确定M（a）的表达式，即可求出M（a）取最小值时相应的a值.
20．【答案】 解：（I）1,3,5,6或1,3,5,9或1,3,6,9或3,5,6,9或1,5,6,9（写出任意一个即可）；
（II）设数列 的长度为q的一个递增数列为 且 ；
设数列 的长度为p的一个递增数列为 且 ；
因为p ;
（III） （用数学归纳法证明即可）.
【知识点】数列的应用
【解析】 【分析】（I）根据题意直接写出符合题意的数列即可；
（II）构造数列证明即可；
（III）根据题意写出通项公式即可.
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一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（2019·北京）已知复数z=2+i，则 =（　　）
A． B． C．3 D．5
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】根据 ，得 ，
所以 ，
故答案为：D.
【分析】根据z得到其共轭，结合复数的乘法运算即可求解.
2．（2019·北京）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】循环结构
【解析】 【解答】k=1，s=1， s= ，k<3,故执行循环体k=1+1=2， ；
此时k=2<3，故继续执行循环体k=3， ，此时k=3，结束循环，输出s=2.
故答案为：B.
【分析】根据程序框图，依次执行循环体，直到k=3时结束循环，输出s=2即可.
3．（2019·北京）已知直线l的参数方程为 （t为参数），则点（1，0）到直线l的距离是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】参数方程化成普通方程
【解析】 【解答】消去参数t，得直线的方程为：4x-3y+2=0，
所以（1,0）到直线的距离 .
故答案为：D.
【分析】将直线的参数方程化为普通方程，结合点到直线的距离公式即可求出相应的距离.
4．（2019·北京）已知椭圆 （a>b>0）的离心率为 ，则（　　）
A．a2=2b2 B．3a2=4b2 C．a=2b D．3a=4b
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】 【解答】因为椭圆的离心率为 ，所以a=2c
故 ，
所以 ，
因此 ，
故答案为：B.
【分析】根据椭圆的离心率，求出a、b、c的关系，即可确定相应的结论.
5．（2019·北京）若x，y满足|x|≤1-y，且y≥-1.则3x+y的最大值为（　　）
A．-7 B．1 C．5 D．7
【答案】C
【知识点】简单线性规划
【解析】 【解答】根据题意，x、y满足 ，
作出可行域及目标函数相应的直线，
平移该直线，可知在经过（2,-1）时取最大值5.
故答案为：C.
【分析】作出可行域和目标函数相应的直线，平移该直线，即可求出相应的最大值.
6．（2019·北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。两颗星的星等与亮度满足m2-m1= ，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）.已知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（　　）
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10-10.1
【答案】A
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：设太阳的亮度为 ，天狼星的亮度为 ，
根据题意 ，
故 ，
所以 ；
故答案为：A.
【分析】根据已知，结合指数式与对数式的转化即可求出相应的比值.
7．（2019·北京）设点A，B，C不共线，则“ 与 的夹角为锐角”是“| + |>| |”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】 【解答】解： ,
所以若 ，则有 ,
所以 ，故 与 的夹角为锐角；
若 与 的夹角为锐角，则 ，故 ，
综上为充分必要条件；
故答案为：C.
【分析】通过平面向量的线性运算及数量积运算，判定充分必要性即可.
8．（2019·北京）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2=1+|x|y就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任一点到原点的距离都不超过 ；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是（　　）
A．① B．② C．①② D．①②③
【答案】C
【知识点】曲线与方程
【解析】 【解答】解：①曲线经过（1,0）、（-1,0）、（0,1）、（0，-1）、（1,1）、（1，-1）共6个整点，故①正确；
②曲线上（1,1）和（1，-1）到原点的距离最远，为 ，故曲线上任意一点到原点的距离都不超过 ，故②正确；
③心形曲线的面积大于（1，1）、（1，-1）、（-1,1）、（-1，-1）四个点为顶点的正方形面积-边长为1的正方形面积，所以 S>3，故③错误；
故答案为：C.
【分析】根据曲线的方程，结合曲线的形状，逐一判断即可.
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．（2019·北京）函数f（x）=sin22x的最小正周期是　 　.
【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】 【解答】解： ，
所以最小正周期 .
故答案为： .
【分析】根据余弦的二倍角公式，结合正弦函数的周期性即可求出相应的最小正周期.
10．（2019·北京）设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2=-3，S5=-10，则a5=　 　，Sn的最小值为　 　.
【答案】0；-10
【知识点】等差数列概念与表示
【解析】 【解答】解： ，
解得 ，所以 ，
，
根据二次函数的性质，当n=4或5时， 有最小值-10.
故答案为：0；-10.
【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式，解方程组求出首项和公差，即可求出 和 ，结合二次函数的性质求出最小值即可.
11．（2019·北京）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得.其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1.那么该几何体的体积为　 　.
【答案】40
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】根据三视图，可知正方体体积 ，
去掉的四棱柱体积 ，
故该几何体的体积V=64-24=40.
故答案为40.
【分析】根据三视图确定几何体的结构特征，求出相应的体积即可.
12．（2019·北京）已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：
①l⊥m：②m∥α：③l⊥α.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：　 　。
【答案】若②③，则①
【知识点】复合命题的真假；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】若 ，则 垂直于 内任意一条直线，
若 ，则 ；
故答案为若②③，则①.
【分析】根据空间直线与平面垂直的性质，即可得到相应的结论.
13．（2019·北京）设函数f（x）=ex+ae-x（a为常数）。若f（x）为奇函数，则a=　 　：若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是　 　.
【答案】-1；a≤0
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】 【解答】解：若函数为奇函数，则f（0）=0，代入的1+a=0，
所以a=-1；
若函数f（x）在R上单调递增，则 在R上为常函数或单调递增，所以 ；
故答案为a=-1； .
【分析】根据奇函数在x=0有定义，则f（0）=0，代入求解即可；
根据函数的单调性，结合指数函数的性质，即可求出a的取值范围.
14．（2019·北京）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒。为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元。每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付　 　元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为　 　。
【答案】130；15
【知识点】函数的值
【解析】 【解答】①草莓和西瓜各一盒，总价60+80=140元，
140>120，故顾客可少付10元，此时需要支付140-10=130元；
②要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，
根据题意，买草莓两盒，消费最低，此时消费120元，
故实际付款（120-x）元，此时李明得到 ，
故 ，解得 ；
故最大值为15.
故答案为①130；②15.
【分析】①根据已知，直接计算即可；
②根据题意，要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，因此选最低消费求解，即可求出相应的最大值.
三、解答题共6小题，共80分。
15．（2019·北京）在△ABC中，a=3，b-c=2，cosB=- .
（I）求b，c的值；
（II）求sin（B-C）的值.
【答案】 解：（I）根据余弦定理 ，
故 ，
解得c=5，B=7；
（II）根据 ，得 ，
根据正弦定理， ，
得 ，解得 ，所以 ，
所以 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】 【分析】（I）根据余弦定理，解方程即可求出c和b；
（II）根据同角三角函数的平方关系，求出sinB，结合正弦定理，求出sinC和cosC，即可依据两角和的正弦公式，求出sin（B-C）.
16．（2019·北京）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3。E为PD的中点，点F在PC上，且 .
（I）求证：CD⊥平面PAD；
（II）求二面角F-AE-P的余弦值；
（III）设点G在PB上，且 .判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由。
【答案】 （I）证明：因为PA 平面ABCD，所以PA CD，
又因为CD AD， ，所以CD 平面PAD；
（II）过A作AM BC交BC于M，
以A为原点，AM，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
由于PA=AD=CD=2,BC=3,E为PD的中点， ,
A（0，0，0），C（2，2，0），D（0,2,0），P（0,0,2）， ，
E（0,1,1），M（2,0,0）
由已知，平面AEP的法向量为 ，
设平面AEF的法向量为 ，且 ，
由 得 令z=-1，则 ，
设二面角F-AE-P的夹角为 ，
则 ，
而二面角F-AE-P为锐二面角，故其余弦值为 ；
（III）设点B（2，-1,0），由于 ，且 ,
则 ,
所以 ,
而平面AEF的法向量 ，
且 ,所以 ，而 平面AEF，
所以AG在平面AEF内.
【知识点】直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】 【分析】（I）根据线面垂直的判定定理，证明线线垂直，即可得到线面垂直；
（II）建立空间直角坐标系，表示点的坐标，写出相应的向量，求出平面的法向量，结合空间向量的数量积运算，即可求出二面角的余弦值；
（III）根据空间向量，证明法向量与直线的方向向量垂直，再根据点在平面内，即可证明直线在平面内.
17．（2019·北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变。近年来，移动支付已成为主要支付方式之一。为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
支付金额（元） 支付方式 （0，1000] （1000，2000] 大于2000
仅使用A 18人 9人 3人
仅使用B 10人 14人 1人
（I）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；
（II）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；
（III）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化。现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元，根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.
【答案】 解：（I）抽取的100人中，A，B两种支付方式都使用的人数为100-5-18-9-3-10-14-1=40，
设A，B两种支付方式都使用为事件A，则P（A）= ，
即A，B两种支付方式都使用的概率为 ；
（II）X的可能取值为0,1,2；
其中P（X=0）= ，P（X=1）= ,
P（X=2）= ，
所以分布列为
X 0 1 2
P
（III）不能认为样本仅使用A支付的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，因为概率是在大量重复试验下得到的一个预测结合，不能确定是不是一定发生。
【知识点】用样本的频率分布估计总体分布；古典概型及其概率计算公式
【解析】 【分析】（I）求出相应的人数，结合古典概型求出相应的概率即可；
（II）求出离散型随机变量X的可能取值和相应的概率，即可得到相应的分布列；
（III）根据概率的含义，从统计的角度进行分析即可.
18．（2019·北京）已知抛物线C：x2=-2py经过点（2，-1）.
（I）求抛物线C的方程及其准线方程；
（II）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=-1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
【答案】 解：（I）将（2，-1）代入抛物线方程，
得 ，解得p=2，故抛物线方程为 ，其准线方程为y=1；
（II）过焦点（0，-1）作直线l，由于直线与抛物线有两个交点，故直线l的斜率存在，
设l：y=kx-1， ，
将直线方程与抛物线方程联立，得 ，
由韦达定理 ，
则 ，
令y=-1，则 ，
设以AB为直径的圆上点P（a，b），则 ，
，
整理得 ，
令a=0，则 ，所以b=1或b=-3，
即以AB为直径的圆经过y轴的两个定点（0,1）和（0，-3）.
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】 【分析】（I）将点的坐标代入，即可求出抛物线的方程和准线；
（II）将直线方程与抛物线方程联立，表示点的坐标，结合圆的特点，求出圆的方程，即可求出相应定点坐标.
19．（2019·北京）已知函数f（x）= x3-x2+x.
（I）求曲线y=f（x）的斜率为1的切线方程；
（II）当x∈[-2，4]时，求证：x-6≤f（x）≤x；
（IlI）设F（x）=|f（x）-（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[-2，4]上的最大值为M（a）. 当M（a）最小时，求a的值.
【答案】 解（I） ，令 ，
则 ，
因为 ，
故斜率为1的直线为y=x或 ，
整理得，斜率为1的直线方程为x-y=0或 ；
（II）构造函数g（x）=f（x）-x+6，
则 ，令 ，则 ，
故g（x）在[-2,0]上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，故g（x）的最小值为g（-2）或 ，
而g（-2）=0， ，故 ，
所以 ，故在[-2,4]上， ；
构造函数h（x）=f（x）-x，
则 ，令 ，则 ，
故h（x）在[-2,0]上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，故h（x）的最大值为h（0）或h（4），
因为h（0）=0，h（4）=0，
所以 ，故在[-2,4]上， ，
综上在[-2,4]上， ；
（Ⅲ）令 ，
则 ，令 ，则 ，
故 （x）在[-2,0]上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 （x）的最小值为 （-2）=-6-a或 ，
最大值为 （0）=-a或 （4）=12-a，
故 其最大值 ，
故当a=3时，M（a）有最小值9.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】 【分析】（I）求导数，根据导数的几何意义，结合斜率为1，求出切点坐标，利用点斜式，即可求出相应的切线方程；
（II）构造函数，要证 ，只需要证在[-2,4]上 和 即可，求导数，利用导数确定函数单调性，求出函数极值即可证明；
（Ⅲ）求导数，利用导数确定函数单调性，求出函数的最值，确定M（a）的表达式，即可求出M（a）取最小值时相应的a值.
20．（2019·北京）已知数列{an}，从中选取第i1项、第i2项…第im项（i1（I）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
（II）已知数列{an}的长度为P的递增子列的末项的最小值为am0，长度为q的递增子列的末项的最小值为an0，若p（III）设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等。若{an}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s-1，且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有2s-1个（s=1.2.…），求数列{an}的通项公式。
【答案】 解：（I）1,3,5,6或1,3,5,9或1,3,6,9或3,5,6,9或1,5,6,9（写出任意一个即可）；
（II）设数列 的长度为q的一个递增数列为 且 ；
设数列 的长度为p的一个递增数列为 且 ；
因为p ;
（III） （用数学归纳法证明即可）.
【知识点】数列的应用
【解析】 【分析】（I）根据题意直接写出符合题意的数列即可；
（II）构造数列证明即可；
（III）根据题意写出通项公式即可.
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